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苏州中学2021届10月月考高三数学试卷

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2021年高三10月月考试卷(数学)

2021年高三10月月考试卷(数学)

2021年高三10月月考试卷（数学）一、填空题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．把答案填写在答题卡．．．相应位置上．．．．．．1、原命题：“设”以及它的逆命题，否命题、逆否命题中，真命题共有个.2、已知命题，命题，则命题p是命题q的条件3、若向量满足且，则实数k的值为4、若不等式的解集为，求的值5、已知等差数列的前项和为，若，且三点共线（该直线不过点），则等于6、若复数满足，且在复平面内所对应的点位于轴的上方，则实数的取值范围是。

７．已知、、是三角形的三个顶点，，则的形状为。

８．在条件的最大值为 .9．把实数a，b，c，d排成形如的形式，称之为二行二列矩陈。

定义矩阵的一种运算·，该运算的几何意义为平面上的点（x，y）在矩阵的作用下变换成点，若点A在矩阵的作用下变换成点（2，4），则点A的坐标为 .10、把一条长是6m的绳子截成三段，各围成一个正三角形，则这三个正三角形的面积和最小值是m2.11、对，记，按如下方式定义函数：对于每个实数，.则函数最大值为．12、已知函数，直线：9x＋2y＋c＝0．若当x∈[－2，2]时，函数y＝f(x)的图像恒在直线的下方，则c的取值范围是________________________二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，只．有．一项．．是符合题目要求的．13 定义集合与的运算，则等于（A）（B）（C）（D）（）14．根据表格中的数据，可以断定函数的一个零点所在的区间是15、函数（）是上的减函数，则的取值范围是 A. B. C. D.（ ） 16．在股票买卖过程中，经常用两种曲线来描述价格变化情况：一种是即时价格曲线y=f (x )，另一种平均价格曲线y=g(x )，如f (2)=3表示股票开始卖卖后2小时的即时价格为3元；g(2)=3表示2小时内的平均价格为3元。

下面给出了四个图象，实线表示y=f (x )，虚线表示y=g(x )，其中可能．．正确的是 （ ）三、解答题：本大题共６小题，共８0分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）设函数． （I ）解不等式；（II ）若关于的不等在恒成立，试求的取值范围． 18．（本小题满分12分）已知等差数列的前4项和为10，且、 、成等比数列． （1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前n 项和． 19．（本小题满分12分）设函数，其中向量R x x x n x m ∈==),2sin 3,(cos ),1,cos 2(.（Ⅰ）求f (x )的最小正周期与单调减区间；（Ⅱ）在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，已知f (A ) =2，b = 1，△ABC 的面积为，求的值.ABCD20．（本小题满分1４分）为迎接xx年的奥运会，某厂家拟在xx年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）x万件与年促销费用m万元（）（k为常数），如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件。

最新江苏省2022-2021年高三(上)10月月考数学试卷(解析版)

最新江苏省2022-2021年高三(上)10月月考数学试卷(解析版)

高三（上）10月月考数学试卷一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．已知集合A={0，1，2}，B={x|x2﹣x≤0}，则A∩B=．2．设x∈R，则“|x﹣2|＜1”是“x2+x﹣2＞0”的条件．（填充分不必要、必要不充分、充要条件、既不充分也不必要）3．计算：=．4．幂函数f（x）=xα（α∈R）过点，则f（4）=．5．函数f（x）=ln（2x2﹣3）的单调减区间为．6．若命题“∃x0∈R，x02+（a﹣1）x0+1≤0”假命题，则实数a的取值范围为．7．若方程2x+x=4的解所在区间为[m，m+1]（m∈Z），则m=．8．若直线y=2x+m是曲线y=xlnx的切线，则实数m的值为．9．设函数f（x）=，若f（x）的值域为R，是实数a的取值范围是．10．设周期函数f（x）是定义在R上的奇函数，若f（x）的最小正周期为3，且满足f（1）＞﹣2，f（2）=m2﹣m，则m的取值范围是．11．已知1+2x+4x•a＞0对一切x∈（﹣∞，1]上恒成立，则实数a的取值范围是．12．已知函数f（x）=|lgx|，若0＜a＜b，且f（a）=f（b），则a+2b的取值范围是．13．设方程2x+x+2=0和方程log2x+x+2=0的根分别为p和q，函数f （x）=（x+p）（x+q）+2，则f （2），f （0），f （3）的大小关系为．14．设方程|ax﹣1|=x的解集为A，若A⊂≠[0，2]，则实数a的取值范围是．二、解答题15．已知集合A={x|x2﹣3（a+1）x+2（3a+1）＜0}，B=，（1）当a=2时，求A∩B；（2）求使B⊆A的实数a的取值范围．16．已知命题p：方程x2+mx+1=0有负实数根；命题q：方程4x2+4（m﹣2）x+1=0无实数根，若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，求实数m的取值范围．17．设函数．（1）当a=b=2时，证明：函数f（x）不是奇函数；（2）设函数f（x）是奇函数，求a与b的值；（3）在（2）条件下，判断并证明函数f（x）的单调性，并求不等式的解集．18．某厂生产某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件，需另投入成本为C（x），当年产量不足80千件时，C（x）=x2+10x（万元）；当年产量不小于80千件时，C（x）=51x+﹣1450（万元）．每件商品售价为0.05万元．通过市场分析，该厂生产的商品能全部销售完．（1）写出年利润L（x）（万元）最新年产量x（千件）的函数解析式；（2）年产量为多少千件时，该厂在这一产品的生产中所获利润最大，最大利润是多少？19．已知函数f（x）=ax3﹣+1（x∈R），其中a＞0．（Ⅰ）若a=1，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；（Ⅱ）若在区间[﹣]上，f（x）＞0恒成立，求a的取值范围．高三（上）10月月考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．已知集合A={0，1，2}，B={x|x2﹣x≤0}，则A∩B={0，1} ．【考点】交集及其运算．【分析】求出B中不等式的解集确定出B，找出A与B的交集即可．【解答】解：由B中不等式变形得：x（x﹣1）≤0，解得：0≤x≤1，即B=[0，1]，∵A={0，1，2}，∴A∩B={0，1}，故答案为：{0，1}2．设x∈R，则“|x﹣2|＜1”是“x2+x﹣2＞0”的充分不必要条件．（填充分不必要、必要不充分、充要条件、既不充分也不必要）【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：由|x﹣2|＜1得﹣1＜x﹣2＜1，得1＜x＜3，由x2+x﹣2＞0得x＞1或x＜﹣2，则（1，3）⊊（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞），故“|x﹣2|＜1”是“x2+x﹣2＞0”的充分不必要条件，故答案为：充分不必要3．计算：=11．【考点】对数的运算性质．【分析】利用指数、对数的性质、运算法则直接求解．【解答】解：=+3+（0.5）﹣2=4+3+4=11．故答案为：11．4．幂函数f（x）=xα（α∈R）过点，则f（4）=2．【考点】幂函数的性质．【分析】把幂函数y=xα的图象经过的点（2，）代入函数的解析式，求得α的值，即可得到函数解析式，从而求得f（4）的值．【解答】解：∵已知幂函数y=xα的图象过点（2，），则2α=，∴α=，故函数的解析式为f（x）=x，∴f（4）=4=2，故答案为：2．5．函数f（x）=ln（2x2﹣3）的单调减区间为（﹣）．【考点】复合函数的单调性．【分析】由真数大于0求出函数的定义域，进一步得到内函数的减区间，然后由复合函数的单调性得答案．【解答】解：由2x2﹣3＞0，得x或x．∵内函数t=2x2﹣3在（﹣）上为减函数，且外函数y=lnt为定义域上的增函数，∴函数f（x）=ln（2x2﹣3）的单调减区间为（﹣）．故答案为：（﹣）．6．若命题“∃x0∈R，x02+（a﹣1）x0+1≤0”假命题，则实数a的取值范围为（﹣1，3）．【考点】特称命题．【分析】命题“∃x0∈R，x02+（a﹣1）x0+1≤0”假命题，则命题“∀x∈R，x2+（a ﹣1）x+1＞0”是真命题，可得△＜0，解出即可得出．【解答】解：命题“∃x0∈R，x02+（a﹣1）x0+1≤0”假命题，则命题“∀x∈R，x2+（a﹣1）x+1＞0”是真命题，则△=（a﹣1）2﹣4＜0，解得﹣1＜a＜3．则实数a的取值范围为（﹣1，3）．故答案为：（﹣1，3）．7．若方程2x+x=4的解所在区间为[m，m+1]（m∈Z），则m=1．【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】方程2x+x=4的解转化为函数f（x）=2x+x﹣4的零点问题，把区间端点函数值代入验证即可．【解答】解：令f（x）=2x+x﹣4，由y=2x和y=x﹣4均为增函数，故f（x）=2x+x﹣4在R上为增函数，故f（x）=2x+x﹣4至多有一个零点，∵f（1）=2+1﹣4＜0f（2）=4+2﹣4＞0∴f（x）=2x+x﹣4在区间[1，2]有一个零点，即方程方程2x+x=4的解所在区间为[1，2]，故m=1，故答案为：18．若直线y=2x+m是曲线y=xlnx的切线，则实数m的值为﹣e．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】设切点为（x0，x0lnx0），对y=xlnx求导数得y′=lnx+1，从而得到切线的斜率k=lnx0+1，结合直线方程的点斜式化简得切线方程为y=（lnx0+1）x﹣x0，对照已知直线列出最新x0、m的方程组，解之即可得到实数m的值．【解答】解：设切点为（x0，x0lnx0），对y=xlnx求导数，得∴切线的斜率k=lnx0+1，故切线方程为y﹣x0lnx0=（lnx0+1）（x﹣x0），整理得y=（lnx0+1）x﹣x0，与y=2x+m比较得，解得x0=e，故m=﹣e．故答案为：﹣e9．设函数f（x）=，若f（x）的值域为R，是实数a的取值范围是（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞）．【考点】函数的值域．【分析】f（x）是分段函数，在每一区间内求f（x）的取值范围，再求它们的并集得出值域；由f（x）的值域为R，得出a的取值范围．【解答】解：函数f（x）=，当x＞2时，f（x）=2x+a，在（2，+∞）上为增函数，f（x）∈（4+a，+∞）；当x≤2时，f（x）=x+a2，在（﹣∞，2]上为增函数，f（x）∈（﹣∞，2+a2]；若f（x）的值域为R，则（﹣∞，2+a2]∪（4+a，+∞）=R，则2+a2≥4+a，即a2﹣a﹣2≥0解得a≤﹣1，或a≥2，则实数a的取值范围是（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞）．故答案为：（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞）．10．设周期函数f（x）是定义在R上的奇函数，若f（x）的最小正周期为3，且满足f（1）＞﹣2，f（2）=m2﹣m，则m的取值范围是（﹣1，2）．【考点】函数奇偶性的判断；函数的周期性．【分析】根据f（x）为奇函数且周期为3便可得到f（2）=﹣f（1），这便得到f （1）=﹣m2+m，根据f（1）＞﹣2即可得到﹣m2+m＞﹣2，解该不等式即可得到m的取值范围．【解答】解：根据条件得：f（2）=f（2﹣3）=f（﹣1）=﹣f（1）=m2﹣m；∴f（1）=﹣m2+m；∵f（1）＞﹣2；∴﹣m2+m＞﹣2；解得﹣1＜m＜2；∴m的取值范围为（﹣1，2）．故答案为：（﹣1，2）．11．已知1+2x+4x•a＞0对一切x∈（﹣∞，1]上恒成立，则实数a的取值范围是（﹣，+∞）．【考点】函数恒成立问题．【分析】分离出参数a后转化为求函数的最值即可，通过换元后利用二次函数的性质可求得最大值．【解答】解：1+2x+4x•a＞0可化为a＞，令t=2﹣x，由x∈（﹣∞，1]，得t∈[，+∞），则a＞﹣t2﹣t，﹣t2﹣t=﹣在[，+∞）上递减，当t=时﹣t2﹣t取得最大值为﹣，所以a＞﹣．故答案为：（﹣，+∞）．12．已知函数f（x）=|lgx|，若0＜a＜b，且f（a）=f（b），则a+2b的取值范围是（3，+∞）．【考点】对数函数的值域与最值；对数的运算性质．【分析】画出函数f（x）的图象，则数形结合可知0＜a＜1，b＞1，且ab=1，再将所求a+2b化为最新a的一元函数，利用函数单调性求函数的值域即可【解答】解：画出y=|lgx|的图象如图：∵0＜a＜b，且f（a）=f（b），∴|lga|=|lgb|且0＜a＜1，b＞1∴﹣lga=lgb即ab=1∴y=a+2b=a+，a∈（0，1）∵y=a+在（0，1）上为减函数，∴y＞1+=3∴a+2b的取值范围是（3，+∞）故答案为（3，+∞）13．设方程2x+x+2=0和方程log2x+x+2=0的根分别为p和q，函数f （x）=（x+p）（x+q）+2，则f （2），f （0），f （3）的大小关系为f（3）＞f（2）=f（0）．【考点】二次函数的性质．【分析】把两个方程分别看作指数函数与直线y=﹣x﹣2的交点B和对数函数与直线y=﹣x﹣2的交点A的横坐标分别为p和q，而指数函数与对数函数互为反函数则最新y=x对称，求出AB的中点坐标得到p+q=﹣2；然后把函数f（x）化简后得到一个二次函数，对称轴为直线x=﹣=1，所以得到f（2）=f（0）且根据二次函数的增减性得到f（2）和f（0）都小于f（3）得到答案．【解答】解：如图所示：，方程2x+x+2=0和方程log2x+x+2=0可以分别看作方程方程2x=﹣x﹣2和方程log2x=﹣x﹣2，方程2x+x+2=0和方程log2x+x+2=0的根分别为p和q，即分别为函数y=2x与函数y=﹣x﹣2的交点B横坐标为p；y=log2x与y=﹣x﹣2的交点C横坐标为q．由y=2x与y=log2x互为反函数且最新y=x对称，所以BC的中点A一定在直线y=x 上，联立得，解得A点坐标为（﹣1，﹣1），根据中点坐标公式得到=﹣1即p+q=﹣2，则f（x）=（x+p）（x+q）+2=x2+（p+q）x+pq+2为开口向上的抛物线，且对称轴为x=﹣=1，得到f（0）=f（2）且当x＞1时，函数为增函数，所以f（3）＞f（2），综上，f（3）＞f（2）=f（0）故答案为：f（3）＞f（2）=f（0）．14．设方程|ax﹣1|=x的解集为A，若A⊂≠[0，2]，则实数a的取值范围是a=﹣1或﹣≤a≤1或a≥．【考点】其他不等式的解法．【分析】将绝对值不等式转化为不等式组，然后解之．【解答】解：∵A⊂≠[0，2]，方程两边平方得a2x2﹣2ax+1=x2，整理得（a2﹣1）x2﹣2ax+1=0，当a=1时，方程为|x﹣1|=x，解得x=，A={}，满足题意；当a=﹣1时，方程为|x+1|=x，解得x=﹣，A=∅，满足题意；当a2﹣1≠0时，方程等价于[（a+1）x﹣1][（a﹣1）x﹣1]=0，要使A⊂≠[0，2]，①两根为正根时，只要0≤≤2并且0≤≤2，解得a ≥且a≥，所以a≥；②当＞0并且＜0时，只要0≤≤2，解得﹣≤a＜1；所以A⊂≠[0，2]，则实数a的取值范围是﹣≤a≤1或a≥；故答案为：a=﹣1或﹣≤a≤1或a≥．二、解答题15．已知集合A={x|x2﹣3（a+1）x+2（3a+1）＜0}，B=，（1）当a=2时，求A∩B；（2）求使B⊆A的实数a的取值范围．【考点】交集及其运算；集合的包含关系判断及应用．【分析】（1）把a的值分别代入二次不等式和分式不等式，然后通过求解不等式化简集合A，B，再运用交集运算求解A∩B；（2）把集合B化简后，根据集合A中二次不等式对应二次方程判别式的情况对a进行分类讨论，然后借助于区间端点值之间的关系列不等式组求解a的范围．【解答】解：（1）当a=2时，A={x|x2﹣3（a+1）x+2（3a+1）＜0}={x|x2﹣9x+14=0}=（2，7），B=={x|}=（4，5），∴A∩B=（4，5）（2）∵B=（2a，a2+1），①当a＜时，A=（3a+1，2）要使B⊆A必须，此时a=﹣1，②当时，A=∅，使B⊆A的a不存在．③a＞时，A=（2，3a+1）要使B⊆A，必须，此时1≤a≤3．综上可知，使B⊆A的实数a的范围为[1，3]∪{﹣1}．16．已知命题p：方程x2+mx+1=0有负实数根；命题q：方程4x2+4（m﹣2）x+1=0无实数根，若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，求实数m的取值范围．【考点】复合命题的真假．【分析】通过p为真，求出实数m的取值范围；通过q为真，利用判别式小于0，即可求实数m的取值范围，通过p或q为真，p且q为假，分类讨论求出求实数m的取值范围．【解答】解：p：方程有负根m=﹣=﹣（x+）≥2；q：方程无实数根，即△=16（m﹣2）2﹣16＜0，解得1＜m＜3，∵“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，∴p、q一真一假，当p为真q为假时，解得m≥3，当p为假q为真时，，解得1＜m＜2，∴1＜m＜2或m≥3，所以实数m的取值范围为1＜m＜2或m≥3．17．设函数．（1）当a=b=2时，证明：函数f（x）不是奇函数；（2）设函数f（x）是奇函数，求a与b的值；（3）在（2）条件下，判断并证明函数f（x）的单调性，并求不等式的解集．【考点】函数奇偶性的判断；函数单调性的性质．【分析】（1）根据函数奇偶性的定义进行判断函数f（x）不是奇函数；（2）根据奇函数的性质建立方程即可求a与b的值；（3）根据函数单调性的定义或性质证明函数f（x）的单调性，并利用单调性的性质解不等式．【解答】解：（1）当a=b=2时，，∵，f（1）=0，∴f（﹣1）≠﹣f（1），∴函数f（x）不是奇函数．（2）由函数f（x）是奇函数，得f（﹣x）=﹣f（x），即对定义域内任意实数x都成立，整理得（2a﹣b）•22x+（2ab﹣4）•2x+（2a﹣b）=0对定义域内任意实数x都成立，∴，解得或经检验符合题意．（3）由（2）可知易判断f（x）为R上的减函数，证明：∵2x+1在定义域R上单调递增且2x+1＞0，∴在定义域R上单调递减，且＞0，∴在R上单调递减．由，不等式，等价为f（x）＞f（1），由f（x）在R上的减函数可得x＜1．另解：由得，即，解得2x＜2，∴x＜1．即不等式的解集为（﹣∞，1）．18．某厂生产某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件，需另投入成本为C（x），当年产量不足80千件时，C（x）=x2+10x（万元）；当年产量不小于80千件时，C（x）=51x+﹣1450（万元）．每件商品售价为0.05万元．通过市场分析，该厂生产的商品能全部销售完．（1）写出年利润L（x）（万元）最新年产量x（千件）的函数解析式；（2）年产量为多少千件时，该厂在这一产品的生产中所获利润最大，最大利润是多少？【考点】函数模型的选择与应用；函数解析式的求解及常用方法．【分析】（1）分两种情况进行研究，当0＜x＜80时，投入成本为C（x）=x2+10x （万元），根据年利润=销售收入﹣成本，列出函数关系式，当x≥80时，投入成本为C（x）=51x+﹣1450，根据年利润=销售收入﹣成本，列出函数关系式，最后写成分段函数的形式，从而得到答案；（2）根据年利润的解析式，分段研究函数的最值，当0＜x＜80时，利用二次函数求最值，当x≥80时，利用基本不等式求最值，最后比较两个最值，即可得到答案．【解答】解：（1）∵每件商品售价为0.05万元，∴x千件商品销售额为0.05×1000x万元，①当0＜x＜80时，根据年利润=销售收入﹣成本，∴L（x）=（0.05×1000x）﹣﹣10x﹣250=﹣+40x﹣250；②当x≥80时，根据年利润=销售收入﹣成本，∴L（x）=（0.05×1000x）﹣51x﹣+1450﹣250=1200﹣（x+）．综合①②可得，L（x）=；（2）①当0＜x＜80时，L（x）=﹣+40x﹣250=﹣+950，∴当x=60时，L（x）取得最大值L（60）=950万元；②当x≥80时，L（x）=1200﹣（x+）≤1200﹣200=1000，当且仅当x=，即x=100时，L（x）取得最大值L已知函数f（x）=ax3﹣+1（x∈R），其中a＞0．（Ⅰ）若a=1，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；（Ⅱ）若在区间[﹣]上，f（x）＞0恒成立，求a的取值范围．【考点】函数恒成立问题；利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）把a=1代入到f（x）中得到切点的坐标，利用导数求出直线切线，即可求出切线方程；（Ⅱ）求出f′（x）=0时x的值，分0＜a≤2和a＞2两种情况讨论函数的增减性分别得到f（﹣）和f（）及f（﹣）和f（）都大于0，联立求出a的解集的并集即可．【解答】（Ⅰ）解：当a=1时，f（x）=，∴f（2）=3；∵f′（x）=3x2﹣3x，∴f′（2）=6．所以曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y﹣3=6（x﹣2），即y=6x﹣9；（Ⅱ）解：f′（x）=3ax2﹣3x=3x（ax﹣1）．令f′（x）=0，解得x=0或x=．以下分两种情况讨论：（1）若0＜a≤2，则；当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：x （﹣，0）0（0，）f′（x）+0﹣f（x）增极大值减当时，f（x）＞0，等价于即．解不等式组得﹣5＜a＜5．因此0＜a≤2；（2）若a＞2，则当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：0（0，）（，）x（﹣，0）f′（x）+0﹣0+f（x）增极大值减极小值增当时，f（x）＞0等价于即解不等式组得或．因此2＜a＜5．综合（1）和（2），可知a的取值范围为0＜a＜5．。

2021-2022年高三(上)10月月考数学试卷

2021-2022年高三(上)10月月考数学试卷

2021年高三（上）10月月考数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分1．（5分）（xx•江苏模拟）已知集合M={x|x＜3}，N={x|log2x＞1}，则M∩N={x|2＜x＜3} ．考点：对数函数的定义域；交集及其运算．专题：计算题．分析：先求出集合N，然后再求集合M∩N．解答：解：∵M={x|x＜3}，N={x|log2x＞1}={x|x＞2}，∴M∩N={x|2＜x＜3}．故答案为：{x|2＜x＜3}．点评：本题考查集合的运算和对数函数的定义域，解题时要全面考虑，避免不必要的错误．2．（5分）已知=3+i（a，n∈R，i为虚数单位），则a+b=6．考点：复数相等的充要条件．专题：计算题．分析：由已知中=3+i，可得a+bi=（3+i）•（2﹣i），由复数乘法运算法则，求出（3+i）•（2﹣i）后，根据复数相等的充要条件，可以分别求出a，b的值，进而得到a+b的值．解答：解：∵=3+i∴a+bi=（3+i）•（2﹣i）=7﹣i ∴a=7，b=﹣1∴a+b=6点评：本题考查的知识点是复数相等的充要条件，复数的基本运算，其中根据复数相等的充要条件求出参数a，b的值，是解答本题的关键．3．（5分）在△ABC中，，则∠B=45°．考点：正弦定理．专题：计算题．分析：先根据正弦定理可知，进而根据题设条件可知，推断出sinB=cosB，进而求得B．解答：解：由正弦定理可知，∵∴∴sinB=cosB∴B=45°故答案为45°点评：本题主要考查了正弦定理的应用．属基础题．4．（5分）（xx•黄埔区一模）执行如图的程序框图，若p=15，则输出的n=5．考点：程序框图．专题：计算题．分析：由已知可得循环变量n的初值为1，循环结束时S≥p，循环步长为1，由此模拟循环执行过程，即可得到答案．解答：解：当n=1时，S=2，n=2；当n=2时，S=6，n=3；当n=3时，S=14，n=4；当n=4时，S=30，n=5；故最后输出的n值为5点评：本题考查的知识点是程序框图，处理本类问题最常用的办法是模拟程序的运行，其中分析循环过程中各变量在循环中的值是关键．5．（5分）（xx•怀化二模）若向量，满足且与的夹角为，则=．考点：合情推理的含义与作用．专题：计算题．分析：要求两个向量的和的模长，首先求两个向量的和的平方再开方，根据多项式运算的性质，代入所给的模长和夹角，求出结果，注意最后结果要开方．解答：解：∵且与的夹角为，∴===，故答案为：点评：本题考查向量的和的模长运算，考查两个向量的数量积，本题是一个基础题，在解题时最后不要忽略开方运算，是一个送分题目．这种题目会在高考卷中出现．6．（5分）函数的图象如图所示，则f（x）的表达式是f（x）=．考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题：计算题；图表型；数形结合；数形结合法．分析：由函数图象知，函数的最大值是，最小值是，易求出A与K，又由最高点的横坐标与最低点的横坐标求出，即可求出ω，再将点（）代入求出φ即可得到函数的解析式解答：解：由图知，周期，所以ω=2．又，所以k=1．因为，则．由，得sin（2×+φ）=1，即得2×+φ=得．故．故答案为点评：本题考查由f（x）=Asin（ωx+φ）+k的部分图象确定其解析式，解题的关键是从图象的几何特征得出解析式中参数的方程求出参数，求解本题难点是求初相φ的值，一般是利用最值点的坐标建立方程求之，若代入的点不是最值点，要注意其是递增区间上的点还是递减区间上的点，确定出正确的相位值，求出初相，此处易出错，要好好总结规律．7．（5分）（xx•江西模拟）已知sin（﹣x）=，则sin2x的值为．考点：二倍角的正弦；两角和与差的正弦函数．专题：计算题．分析：利用诱导公式和两角和公式对sin2x化简整理，然后把sin（﹣x）=代入即可得到答案．解答：解：sin2x=cos（﹣2x）=1﹣2sin2（﹣x）= 故答案为点评：本题主要考查了三角函数中的二倍角公式．属基础题．8．（5分）（xx•四川）设数列{a n}中，a1=2，a n+1=a n+n+1，则通项a n=．考点：数列递推式．专题：计算题；压轴题．分析：根据数列的递推式，依次写出n=1，2，3…n的数列相邻两项的关系，进而格式相加即可求得答案．解答：解：∵a1=2，a n+1=a n+n+1∴a n=a n﹣1+（n﹣1）+1，a n﹣1=a n﹣2+（n﹣2）+1，a n﹣2=a n﹣3+（n﹣3）+1，…，a3=a2+2+1，a2=a1+1+1，a1=2=1+1将以上各式相加得：a n=[（n﹣1）+（n﹣2）+（n﹣3）++2+1]+n+1=故答案为；点评：此题重点考查由数列的递推公式求数列的通项公式．重视递推公式的特征与解法的选择；抓住a n+1=a n+n+1中a n+1，a n系数相同是找到方法的突破口；此题可用累和法，迭代法等；9．（5分）双曲线x2﹣=1的渐近线被圆x2+y2﹣6x﹣2y+1=0所截得的弦长为4．考点：圆与圆锥曲线的综合．专题：计算题；分类讨论．分求出渐近线方程，由点到直线的距离公式求出圆心到渐近线的距离，将此距离和半析：径作比较，得出结论，再求弦长即可．解答：解：由题得双曲线x2﹣=1的渐近线是：y=±2x圆x2+y2﹣6x﹣2y+1=0的标准方程为：（x﹣3）2+（y﹣1）2=9∴圆心（3，1），半径r=3．∴（3，1）到直线y=2x的距离d=．故有，得到弦长l=4；∵（3，1）到直线y=﹣2x的距离d=＞r，此时圆于直线相离．综上得：双曲线x2﹣=1的渐近线被圆x2+y2﹣6x﹣2y+1=0所截得的弦长为4．故答案为：4．点评：本题考查双曲线的简单性质，点到直线的距离公式的应用，直线和圆的位置关系．考查计算能力以及分类讨论能力．10．（5分）设直线x=t与函数f（x）=x2，g（x）=lnx的图象分别交于点M，N，则当MN 达到最小时t的值为．考点：利用导数求闭区间上函数的最值．专题：综合题．分析：将两个函数作差，得到函数y=f（x）﹣g（x），求此函数的最小值，确定对应的自变量x的值，即可得到结论．解答：解：设函数y=f（x）﹣g（x）=x2﹣lnx（x＞0），求导数得y′=2x﹣=（x＞0）令y′＜0，则函数在（0，）上为单调减函数，令y′＞0，则函数在（，+∞）上为单调增函数，所以当x=时，函数取得最小值为+ln2所以当MN达到最小时t的值为故答案为：点评：本题考查导数知识的运用，解题的关键是构造函数，确定函数的单调性，从而求出函数的最值．11．（5分）函数上的最大值为．考点：利用导数研究函数的单调性；函数单调性的性质．专题：函数的性质及应用；导数的概念及应用．分析：用导数判断函数的单调性，由单调性可求最大值．解解：y′=1+2cosx，当x∈[﹣，]时，y′＞0，答：所以y=x+2sinx在[﹣，]上单调递增，所以当x=时，y=x+2sinx取得最大值为：+2sin=+2．故答案为：+2．点评：本题考查函数的单调性，对于由不同类型的函数构成的函数最值问题，常用函数的性质解决．12．（5分）若函数f（x）满足f（x+2）=f（x）且x∈[﹣1，1]时f（x）=|x|，则函数y=f（x）的图象与函数y=log3|x|的图象的交点个数是4．考点：函数的周期性；带绝对值的函数．专题：计算题．分析：先根据题意确定f（x）的周期和奇偶性，进而在同一坐标系中画出两函数大于0时的图象，可判断出x＞0时的两函数的交点，最后根据对称性可确定最后答案．解答：解：∵f（x+2）=f（x），x∈（﹣1，1）时f（x）=|x|，∴f（x）是以2为周期的偶函数∵y=log3|x|也是偶函数，∴y=f（x）的图象与函数y=log3|x|的图象的交点个数只要考虑x＞0时的情况即可当x＞0时图象如图：故当x＞0时y=f（x）的图象与函数y=log3|x|的图象有2个交点∴y=f（x）的图象与函数y=log3|x|的图象的交点个数为4故答案为：4．点评：本题主要考查函数的基本性质﹣﹣单调性、周期性，考查数形结合的思想．数形结合在数学解题中有重要作用，在掌握这种思想能够给解题带来很大方便．13．（5分）（xx•天津）如图，在△ABC中，∠BAC=120°，AB=2，AC=1，D是边BC上一点，DC=2BD，则=．考点：平面向量数量积的运算．专题：压轴题．分析：法一：选定基向量，将两向量，用基向量表示出来，再进行数量积运算，求出的值．法二：由余弦定理得，可得，又夹角大小为∠ADB，，所以=．解答：解：法一：选定基向量，，由图及题意得，= ∴=（）（）=+==法二：由题意可得∴，∵，∴=．故答案为：﹣．点评：本题主要考查余弦定理和向量数量积的应用．向量和三角函数的综合题是高考热点，要给予重视．14．（5分）关于x的方程（x2﹣1）2﹣|x2﹣1|+k=0有5个不同的实根，则实数k=0．考点：函数的图象；分段函数的解析式求法及其图象的作法．专题：计算题；数形结合．分析：讨论x2﹣1的正负，画出高次函数的图象，观察即可得出答案．解答：解：当x2﹣1≥0时原方程为（x2﹣1）（x2﹣2）=﹣k（x﹣1）（x+1）（x+）（x﹣）=﹣k当x＜0时原方程为（x2﹣1）x2=﹣k（x+1）（x﹣1）x2=﹣k两种情况联立图象为由此可知只有当k=0时，方程才可能有五个不同实根．故答案为0．点评：本题考查了高次方程的解，技巧有把高次方程因式分解，把所有根在数轴上从小到大依次排列，用平滑曲线从右上方开始顺次穿过所有根，值得注意的是如果根所在的因式为偶次曲线穿而不过，像图中的﹣1，0，1处．在x轴上下方的线分别代表y 的值的正负．二、解答题（本大题共6道题，计90分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）．15．（14分）（xx•天津）在△ABC中，已知AC=2，BC=3，．（Ⅰ）求sinB的值；（Ⅱ）求的值．考点：正弦定理；同角三角函数基本关系的运用；两角和与差的正弦函数；二倍角的余弦．专题：计算题．分析：（1）利用cosA，求得sinA，进而根据正弦定理求得sinB．（2）根据cosA小于0判断A为钝角，从而角B为锐角，进而根据sinB求得cosB和cos2B，进而利用倍角公式求得sin2B，最后根据两角和公式求得答案．解答：（Ⅰ）解：在△ABC中，，由正弦定理，．所以．（Ⅱ）解：∵，所以角A为钝角，从而角B为锐角，∴，，．==．点评：本小题考查同角三角函数的基本关系式、两角和公式、倍角公式、正弦定理等的知识，考查基本运算能力16．（14分）（xx•南通模拟）设等差数列{a n}的前n项和为S n，且a5+a13=34，S3=9．（1）求数列{a n}的通项公式及前n项和公式；（2）设数列{b n}的通项公式为，问：是否存在正整数t，使得b1，b2，b m（m≥3，m∈N）成等差数列？若存在，求出t和m的值；若不存在，请说明理由．考点：等差数列的性质．专题：综合题；探究型．分析：（1）设出等差数列的公差为d，根据等差数列的性质及通项公式化简a5+a13=34，S3=9，即可求出首项和公差，分别写出通项公式及前n项和的公式即可；（2）把（1）求得的通项公式a n代入得到数列{b n}的通项公式，因为b1，b2，b m成等差数列，所以2b2=b1+b m，利用求出的通项公式化简，解出m，因为m与t都为正整数，所以得到此时t和m的值即可．解答：解：（1）设等差数列{a n}的公差为d．由已知得即解得．故a n=2n﹣1，S n=n2（2）由（1）知．要使b1，b2，b m成等差数列，必须2b2=b1+b m，即，（8分）．整理得，因为m，t为正整数，所以t只能取2，3，5．当t=2时，m=7；当t=3时，m=5；当t=5时，m=4．故存在正整数t，使得b1，b2，b m成等差数列．点评：此题考查学生灵活运用等差数列的性质、通项公式及前n项和的公式化简求值，是一道中档题．17．（14分）多面体ABCDE中，AB=BC=AC=AE=1，CD=2，AE⊥面ABC，AE∥CD．（1）在BC上找一点N，使得AN∥面BED（2）求证：面BED⊥面BCD．考点：平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．专题：计算题；证明题；空间位置关系与距离．分析：（1）分别取BC、BD中点为N、M，连接MN、AN、EM．可证出四边形AEMN为平行四边形，得AN∥EM，结合线面平行的判定定理，可得AN∥面BED；（2）利用空间线线平行的性质，结合线面垂直的判定与性质可证出EM⊥CD且EM⊥BC，可得EM⊥面BCD，最后根据面面垂直的判定定理，证出面BED⊥面BCD．解答：解：（1）分别取BC、BD中点为N、M，连接MN、AN、EM∵MN是△ABC的中位线，∴MN∥CD且MN=CD …（2分）又∵AE∥CD且AE=CD，∴MN、AE平行且相等．∴四边形AEMN为平行四边形，得AN∥EM …（4分）∵AN⊄面BED，EM⊂面BED，∴AN∥面BED…（6分）（2）∵AE⊥面ABC，AN⊂面ABC，∴AE⊥AN又∵AE∥CD，AN∥EM，∴EM⊥CD…（8分）∵N为BC中点，AB=AC，∴AN⊥BC∴结合AN∥EM得EM⊥BC…（10分）∵BC、CD是平面BCD内的相交直线，∴EM⊥面BCD…（12分）∵EM⊂面BED，∴面BED⊥面BCD …（14分）点评：本题给出特殊的四面体，求证线面平行并且面面垂直，着重考查了空间线面平行、线面垂直和面面垂直的判定与性质等知识，属于中档题．18．（16分）开口向下的抛物线y=ax2+bx（a＜0，b＞0）在第一象限内与直线x+y=4相切．此抛物线与x轴所围成的图形的面积记为．（1）求a与b的关系式，并用b表示S（b）的表达式；（2）求使S（b）达到最大值的a、b值，并求S max．考点：直线与圆锥曲线的关系；函数最值的应用．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）直线x+y=4与抛物线y=ax2+bx相切，即它们有唯一的公共点，联立方程，利用判别式必须为0，确定a与b的关系式，代入，即可用b表示S（b）的表达式；（2）求导数，确定函数的单调性，可求函数的极值与最值，即可得到结论．解答：解：（1）依题设可知抛物线开口向下，且a＜0，b＞0，直线x+y=4与抛物线y=ax2+bx相切，即它们有唯一的公共点，由方程组得ax2+（b+1）x﹣4=0，其判别式必须为0，即（b+1）2+16a=0．∴，代入得：；（2）；令S'（b）=0，在b＞0时得b=3，且当0＜b＜3时，S'（b）＞0；当b＞3时，S'（b）＜0，故在b=3时，S（b）取得极大值，也是最大值，即a=﹣1，b=3时，S取得最大值，且．点评：本题考查直线与抛物线的位置关系，考查导数知识的运用，确定函数关系式是关键．19．（16分）（2011•扬州模拟）在平面直角坐标系xOy中，如图，已知椭圆E：的左、右顶点分别为A1、A2，上、下顶点分别为B1、B2．设直线A1B1的倾斜角的正弦值为，圆C与以线段OA2为直径的圆关于直线A1B1对称．（1）求椭圆E的离心率；（2）判断直线A1B1与圆C的位置关系，并说明理由；（3）若圆C的面积为π，求圆C的方程．考点：圆与圆锥曲线的综合；圆的标准方程；直线与圆的位置关系；椭圆的简单性质．专题：综合题．分析：（1）设椭圆E的焦距为2c（c＞0），因为直线A1B1的倾斜角的正弦值为，所以，由此能求出椭圆E的离心率．（2）由，设a=4k（k＞0），，则，于是A1B1的方程为：，故OA2的中点（2k，0）到A1B1的距离d=，由此能够证明直线A1B1与圆C相切．（3）由圆C的面积为π知圆半径为1，从而，设OA2的中点（1，0）关于直线A1B1：的对称点为（m，n），则，由此能求出圆C的方程．解答：解：（1）设椭圆E的焦距为2c（c＞0），因为直线A1B1的倾斜角的正弦值为，所以，于是a2=8b2，即a2=8（a2﹣c2），所以椭圆E的离心率．（4分）（2）由可设a=4k（k＞0），，则，于是A1B1的方程为：，故OA2的中点（2k，0）到A1B1的距离d=，（6分）又以OA2为直径的圆的半径r=2k，即有d=r，所以直线A1B1与圆C相切．（8分）（3）由圆C的面积为π知圆半径为1，从而，（10分）设OA2的中点（1，0）关于直线A1B1：的对称点为（m，n），则（12分）解得．所以，圆C的方程为（14分）点评：本题考查圆锥曲线和直线的位置关系的综合运用，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．20．（16分）（xx•兰州一模）已知f（x）=xlnx，g（x）=x3+ax2﹣x+2（I）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）求函数f（x）在[t，t+2]（t＞0）上的最小值；（Ⅲ）对一切的x∈（0，+∞），2f（x）≤g′（x）+2恒成立，求实数a的取值范围．考点：利用导数研究函数的极值；函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性．专题：综合题；压轴题；转化思想．分析：（I）求出f′（x），令f′（x）小于0求出x的范围即为函数的减区间，令f′（x）大于0求出x的范围即为函数的增区间；（Ⅱ）当时t无解，当即时，根据函数的增减性得到f（x）的最小值为f（），当即时，函数为增函数，得到f（x）的最小值为f（t）；（Ⅲ）求出g′（x），把f（x）和g′（x）代入2f（x）≤g′（x）+2中，根据x大于0解出，然后令h（x）=，求出h（x）的最大值，a大于等于h（x）的最大值，方法是先求出h′（x）=0时x的值，利用函数的定义域和x的值分区间讨论导函数的正负得到函数的单调区间，根据函数的增减性即可得到函数的最大值，即可求出a的取值范围．解答：解：（Ⅰ）f′（x）=lnx+1令f′（x）＜0解得∴f（x）的单调递减区间为令f′（x）＞0解得∴f（x）的单调递增区间为；（Ⅱ）当时，t无解当，即时，∴；当，即时，f（x）在[t，t+2]上单调递增，∴f（x）min=f（t）=tlnt∴；（Ⅲ）由题意：2xlnx≤3x2+2ax﹣1+2即2xlnx≤3x2+2ax+1 ∵x∈（0，+∞）∴设，则令h′（x）=0，得（舍）当0＜x＜1时，h′（x）＞0；当x＞1时，h′（x）＜0∴当x=1时，h（x）取得最大值，h（x）max=﹣2∴a≥﹣2故实数a的取值范围[﹣2，+∞）点评：本题要求学生会利用导函数的正负得到函数的额单调区间以及会根据函数的增减性得到函数的极值，掌握不等式恒成立时所满足的条件，是一道中档题．。

2021年高三10月月考试题 数学文 含答案

2021年高三10月月考试题 数学文 含答案

开 是输入秘密★启用前2021年高三10月月考试题 数学文 含答案一、选择题：（每小题5分，共计50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1.已知，则的值为 A.B.C.D.2.“”是“”的( )条件A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充分必要D ．既不充分也不必要 3.函数的定义域是A ．B ．C ．D ．4.已知是夹角为的两个单位向量，若向量，则A ．2B ．4C ．5D ．7 5．已知等差数列中，是方程的两根，则A ．B ．C ．1007D ．xx 6. 函数的零点所在的一个区间是 A ． B ． C ． D ．7.在中，角的对边分别为，已知命题若，则；命题若，则为等腰三角形或直角三角形，则下列的判断正确的是为真 B.为假 C.为真 D.为假8.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 A ． B ． C ．16 D ．329.设对任意实数，不等式总成立．则实数的取值范围是 A ． B ． C ． D ．10.过双曲线的左焦点作圆的切线，切点为，延长交抛物线于点．若，则双曲线的离心率为 A ． B ． C ． D ． 二、填空题：（每小题5分，共计25分，把答案填在答题卡的相应位置．）11.复数（是虚数单位），则 .12.设为定义在上的奇函数，当时，（为实常数），则 .13.不等式组所表示的平面区域面积为 .14．如图是某算法的程序框图，若任意输入中的实数， 则输出的大于的概率为 .设与是定义在同一区间上的两个函数，若函数在上有两个不同的零点，则称和在上 是“关联函数”，区间称为“关联区间”．若与在[0,3]A B MC D P上是“关联函数”，则的取值范围是 . 三、解答题：（本大题共6小题，共计75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）16.某公司近年来科研费用支出万元与公司所获得利润万元之间有如下的统计数据：（1）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程；（2）试根据（1）求出的线性回归方程，预测该公司科研费用支出为10万元时公司所获得的利润．参考公式：用最小二乘法求线性回归方程的系数公式：参考数据：2×18+3×27+4×32+5×35=42017.已知．（1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）若 求函数的单调区间.18.先将函数的图象上所有的点都向右平移个单位，再把所有的点的横坐标都伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象. （1）求函数的解析式和单调递减区间； （2）若为锐角三角形的内角，且，求的值.19.已知三棱锥中，⊥，,为的中点，为的中点，且△为正三角形． （1）求证：⊥平面； （2）若，，求三棱锥的体积．20.已知数列中，点在直线上，其中. （1）求证：为等比数列并求出的通项公式； （2）设数列的前且，令的前项和。

江苏省苏州市吴江汾湖高级中学2021-2021学年高一上学期10月月考数学试卷 Word版含答案

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2021-2021学年第一学期汾湖高级中学阶段性教学反馈训练高一数学试卷试卷分值：150分 考试用时：120分钟一、单选题（8*5=40分） 1、已知集合{}{}22,10A x x B x x =-≤<=+>则A B ⋃（ ）A.B. C.D.2、不等式20x x-<的解集是（ ） A ．{}0x x >B ．{|2}x x < C ． {20}x x x ><或 D ．{|02}x x <<3、下列四个图形中，不是以x 为自变量的函数的图象是 ( )4、设x ∈R ，则“213x -≤”是“311x ≥+”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 5、已知全集U R =，集合{}202,{0}A x x B x x x =≤≤=->，则图中的阴影部分表示的集合为( )A ．(1](2,)-∞+∞，B ．(0)(12)-∞，，C ．[1)2， D ．(12]， 6、在x a=处取最小值，则a 等于（ ）A.3B. 13+C. 12D.47、若不等式23208kx kx +-<对一切实数x 都成立，则k 的取值范围是（ ） A.()3,0- B.](3,0- C.()(),30,-∞-+∞ D.()),30,⎡-∞-+∞⎣8、已知函数(),()f x g x 分别由下表给出，则满足(())(())f g x g f x >的x 为( )2122-+-=x x x y 若函数A. 0B. 1C. 2D. 3二、多选题（全对得5分，少选得3分，选错一个则全错，共计20分）9、下列各组函数中，表示同一个函数的是（）22.(),().()0),()1.(),()11.()()A f x x g t tB f x x g xxC f x g x xxD f x g x===≥=-==-+==10、已知集合{1,1}M=-，{|1}N x mx==，且M N M⋃=，则实数m的值可以为（）A．1 B．-1 C．2 D．011、十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.若,,Ra b c∈，则下列命题正确的是（）A．若0ab≠且a b<，则11a b>B．若01a<<，则3a a<C．若0a b>>，则11b ba a+>+D．若c b a<<且0ac<，则22cb ab<12、下列结论中正确的是（）A. 当x>的最小值是2 B. 当10,2x xx>+≥C. 当51,42445x xx<-+-的最大值是1 D. 若3210,a aa>+的最小值是三、填空题（本题共计20分，每空5分）13、已知函数21,(2)()(5),(2)x xf xf x x⎧+≤=⎨->⎩则(12)f=______14、______________432的取值范围是有意义的使x xx x +-- 15、若一块矩形运动场地的面积为2100m ，则该场地一条对角线长度的最小值为______m16、已知实数0,2x y x y >>+=，则413x y x y++-的最小值是______ 四、解答题（17题10分，18-22题每题12分，共计70分） 17、集合 {}|310A x x =≤<， {}|13516B x x =<-<（Ⅰ）求 A B ； （Ⅱ）求18、如图，定义在[)1,-+∞上的函数()f x 的图像由一条线段及抛物线的一部分组成．(1)求()f x 的解析式； (2)求函数()y f x =的值域。

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江苏省苏州星海中学2021届高三数学上学期10月月考试题（含解析）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．）1．已知集合A ＝{0，1}，B ＝{﹣1，0}，则A B ＝ ． 答案：{﹣1，0，1} 考点：集合间的运算解析：因为集合A ＝{0，1}，B ＝{﹣1，0}，所以A B ＝{﹣1，0，1}．2．函数1()lg(1)1f x x x=++-的定义域是 ． 答案：(﹣1，1)(1，+∞)考点：函数的另一与 解析：由题意，得1010x x -≠⎧⎨+>⎩，解得x ＞﹣1，且x ≠1，所以原函数的定义域是(﹣1，1)(1，+∞)．3．“a ＞1”是“()cos f x ax x =+在R 上单调递增”的 条件．（空格处请填写“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”或“既不充分也不必要条件”） 答案：充分不必要条件考点：常用的逻辑用语（充要条件）解析：因为()cos f x ax x =+，所以()sin f x a x '=-．当a ＞1时，()sin f x a x '=-＞0恒成立，所以()f x 在R 上单调递增成立；当()cos f x ax x =+在R 上单调递增，则()sin f x a x '=-≥0恒成立，则a ≥1．故“a ＞1”是“()cos f x ax x =+在R 上单调递增”的充分不必要条件．4．在△ABC 中，若a ＝2，b ＝B ＝3π，则角A 的大小为 ． 答案：6π 考点：正弦定理解析：由正弦定理，得sin A sin Ba b =，即2sin A sin 3=，解得sinA ＝12，因为0＜A ＜π，所以A ＝6π或56π，当A ＝56π时，A ＋B ＞π，不符题意，所以A ＝6π．5．已知α∈(0，π)，cos α＝45-，则tan()4πα+＝ ． 答案：17考点：同角三角函数关系式，两角和与差的正切公式 解析：由cos α＝45-以及22sin cos 1αα+=，得29sin 25α=，又α∈(0，π)，则sin α＞0，所以sin α＝35，tan 3sin 354cos 45ααα===--，则tan tan 4tan()41tan tan 4παπαπα++=- 3114371()14-+==--⨯．6．设n S 是首项不为零的等差数列{}n a 的前n 项和，且1S ，2S ，4S 成等比数列，则21a a ＝ ． 答案：1或3考点：等差数列与等比数列解析：因为n S 是首项不为零的等差数列{}n a 的前n 项和，所以11S a =，212S a d =+，4146S a d =+，又1S ，2S ，4S 成等比数列，则2214S S S =⋅， 即2111(2)(46)a d a a d +=+，化简得0d =或12d a =，所以2111a da a =+＝1或3． 7．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题:“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯?”意思是：一共7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯 ． 答案：3考点：等比数列的前n 项和解析：设第n 层塔的灯数为n a ，n 层塔共有灯数为n S ，可知{}n a 以2为公比的等比数列，则717(21)38121a S -==-，求得1a ＝3． 8．在曲线331y x x =-+的所有切线中，斜率最小的切线的方程为 ． 答案：31y x =-+考点：导数的几何意义解析：因为331y x x =-+，所以233y x '=-，当x ＝0时，斜率有最小值为﹣3，此时切点坐标为(0，1)，故此时切线方程为31y x =-+．9．若函数62()3log 2a x x f x x x -+≤⎧=⎨+>⎩，，(a ＞0且a ≠1)的值域是[4，+∞)，则a 的取值范围是 ．答案：(1，2] 考点：函数的值域解析：当x ≤2时，y ＝﹣x ＋6≥4，要使()f x 的值域是[4，+∞)，则y ＝3log a x +的最小值要大于或等于4，所以13log 24a a >⎧⎨+≥⎩，解得1＜a ≤2．10．如图，平面四边形ABCD 中，若AC ＝5，BD ＝2，则(AB DC)(AC BD)+⋅+＝答案：1考点：平面向量数量积解析：取BD 中点O ，则(AB DC)(AC BD)(OB OA OC OD)(AC BD)+⋅+=-+-⋅+ ＝2222(DB AC)(AC BD)AC BD (5)21++=-=-=．11．设()f x 是定义在R 上的可导函数，且满足()()0f x xf x '+>，则不等式(1)f x +>21(1)x x --的解集为 ．答案：[1，2)考点：利用导数研究函数的单调性解析：令()()g x xf x =，则()()()0g x f x xf x ''=+>，所以()()g x xf x =单调递增 1)f x +>21(1)x x --11)x x ++>221(1)x x --即2(1)(1)g x g x +>-，根据()()g x xf x =单调递增，可得如下不等式组：21010xx⎧+≥⎪-≥⎨>，解得1≤x＜2，故原不等式的解集为[1，2)．12．若正数a，b满足21a b+=，则224a b++的最大值为．答案：1716考点：基本不等式解析：22214(2)4414a b a b ab ab++=+-=-=⋅-211171()14216+≤⨯+=，当且仅当21164a bab+=⎧⎪⎨=⎪⎩时，取“＝”．13．已知函数21()221xe x a xf xx ax x⎧--≥-⎪=⎨-+<-⎪⎩，，(e是自然对数的底数)恰有三个不同的零点，则实数a的取值范围是．答案：[32-，）考点：函数与方程解析：当a＝0时，x＜﹣1时，2()20f x x=+>，而()xf x e x=-，最多两个零点，即有()f x不可能有三个零点；当a＞0时，x＜﹣1时，22()2()f x a x a=-+-递减，且()(1)320f x f a>-=+>，而()xf x e x=-，最多两个零点，即有()f x不可能有三个零点；当a＜0时，x＜﹣1时，由于()f x的对称轴为x＝a，可得顶点为(a，2﹣a2)，若2﹣a2＞0，不满足题意；若2﹣a2＜0，3＋2a≥0，110ae---<，解得32a-≤<，满足()f x恰有三个零点；若2﹣a2＝0，3＋2a＞0，110ae---≥，解得a∈∅，不满足题意；综上可得a的范围是[32-，）．14．已知△ABC ，若存在△A 1B 1C 1，满足111cos A cos B cos C1sin A sin B sinC ===，则称△A 1B 1C 1是△ABC的一个“友好”三角形．若等腰△ABC 存在“友好”三角形，则其底角的弧度数为 ． 答案：38π考点：三角函数与解三角形 解析：1cos A 1A sin A =⇒∈(0，2π)，11(A A )(A A )022ππ+---=，存在友好⇔B ＋C ﹣A ＝2π（循环）在锐角△ABC 中， 等腰△ABC 存在友好⇒底＋底﹣顶＝2π⇒底＝38π． 二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（本小题满分14分）在△ABC 中，角A ，B ，C 对边分别为a ，b ，c ，且sin 2C sin Bc b=． （1）求角C 的值； （2）若3sin(B )35π-=，求cosA 的值．16．（本小题满分14分）已知函数()2cos(3sin)222xxxf x ωωω=-(ω＞0)的最小正周期为2π．（1）求函数()f x 的表达式；（2）设θ∈(0，2π)，且6()35f θ=，求cos θ的值．17．（本小题满分14分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足11221n n n S a ++=-+，且1a ，25a +，3a 成等差数列．（1）求1a ，2a 的值； （2）求证：数列{}2nn a +是等比数列，并求数列{}na 的通项公式．18．（本小题满分16分）如图，某机场建在一个海湾的半岛上，飞机跑道AB 的长为4.5 km ，且跑道所在的直线与海岸线l 的夹角为60度（海岸线可以看做是直线），跑道上离海岸线距离最近的点B 到海岸线的距离BC ＝43km ．D 为海湾一侧海岸线CT 上的一点，设CD ＝x (km )，点D 对跑道AB 的视角为θ．（1）将tan θ表示为x 的函数；（2）求点D 的位置，使θ取得最大值．19．（本小题满分16分）已知数列{}n a 中，1=1a ，2=a a ，且12()n n n a k a a ++=+对任意正整数n 都成立，数列{}n a 的前n 项和为n S ．（1）若12k =，且18171S =，求a ； （2）是否存在实数k ，使数列{}n a 是公比不为1的等比数列，且任意相邻三项m a ，1m a +，2m a +按某顺序排列后成等差数列，若存在，求出所有k 的值；若不存在，请说明理由；（3）若12k =-，求n S （用a ，n 表示）．20．（本小题满分16分）已知函数1()ln f x a x x=+，a ∈R ． （1）求函数()f x 的单调递减区间；（2）当x ∈[1，2]时，()f x 的最小值是0，求实数a 的值；（3）试问过点P(0，2)可作多少条直线与曲线()y f x =相切？并说明理由．附加题21．A．已知点A在变换T：xy⎡⎤⎢⎥⎣⎦→xy'⎡⎤⎢⎥'⎣⎦＝2x yy+⎡⎤⎢⎥⎣⎦作用后，再绕原点逆时针旋转90°，得到点B，若点B坐标为(﹣3，4)，求点A的坐标．B ．求曲线C 1：222121x t ty t ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩被直线l ：12y x =-所截得的线段长．22．如图，在四棱锥O —ABCD 中，底面ABCD 是边长为1的萎形，∠ABC ＝45°，OA ⊥平面ABCD ，OA ＝2，M 为OA 的中点．（1）求异面直线AB 与MD 所成角的大小；（2）求平面OAB 与平面OCD 所成二面角的余弦值．23．设数列{}n t 满足101t <<，1sin n n n t t t +=-．（1）求证：101n n t t +<<<；（2）若112t =，求证：2112n n t -≤．。

苏州中学2021届10月月考高三数学试卷

苏州中学2021届10月月考高三数学试卷

2 2 4 5 2 江苏省苏州中学 2020-2021 学年第一学期调研考试 高三数学一、 单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40分．1．已知集合 A = {x | x 2- x - 2 ≤ 0}， B = {x | y = x }，则 A B = （）A. {x | -1 ≤ x ≤ 2}B. {x | 0 ≤ x ≤ 2}C. {x | x ≥ -1}D. {x | x ≥ 0}⎛ π ⎫ 3 ⎛ π ⎫2．已知sin α - ⎪ = ,α ∈ 0, ⎪， 则 cos α = ( )⎝ ⎭ ⎝ ⎭A.B.1010C.D.2103 若 b < a < 0 ，则下列不等式：① a > b ；② a + b < ab ；③ ab正确的不等式的有( ) < 2a - b 中，A ．0 个B ．1 个C ．2 个D ．3 个4 若函数 f (x ) = ax 2 + bx (a > 0,b > 0) 的图象在点(1,f (1)) 处的切线斜率为 2 ， 8a + b 则的最小值是( )abA ．10B ． 9C ．8D ． 35 Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数 I (t ) （t 的单位：天）的 Logistic 模型： I (t )= K1 + e -0.23(t -53) ，其中 K 为最大确诊病例数．当 I (t * ) = 0.95K 时，标志着已初步 遏制疫情，则 t * 约为( ) (ln19 ≈ 3) A ． 60B ． 63C ． 66D ． 693 2 7 2 22⎨ ,⎧x l n x , 6 已知函数 f (x ) = ⎪x ⎪⎩ e xx > 0 x ≤ 0 则函数 y = f (1- x ) 的图象大致是( )A.B.C.D.7 若定义在 R 上的奇函数 f (x )满足对任意的 x ∈R ，都有 f (x ＋2)＝－f (x )成立， 且 f (1)＝8，则 f (2 019)，f (2 020)，f (2 021)的大小关系是( ) A ．f (2 019)<f (2 020)<f (2 021) B ．f (2 019)>f (2 020)>f (2 021) C ．f (2 020)>f (2 019)>f (2 021)D ．f (2 020)<f (2 021)<f (2 019)8 地面上有两座相距 120 m 的塔，在矮塔塔底望高塔塔顶的仰角为 α，在高塔塔底望矮塔塔顶的仰角为α 2，且在两塔底连线的中点 O 处望两塔塔顶的仰角互为余角，则两塔的高度分别为( )A. 50 m ，100 mB. 40 m ，90 mC. 40 m ，50 mD. 30 m ，40 m二、 多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的四个选 项中，有多项符合题目要求．全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分．9 等腰直角三角形直角边长为 1，现将该三角形绕其某一边旋转一周，则所形成的几何体的表面积可以为( ) B. (1 + 2)πC. 2 2πD. (2 +2π)A.2π－ 210 关于 x 的不等式(ax -1)(x + 2a -1) > 0 的解集中恰有 3 个整数，则 a 的值可以为 ( ) A ．2B ．1C ．－1D ． 111 声音是由物体振动产生的声波,其中包含着正弦函数.纯音的数学模型是函数y = A sin ωt ,我们听到的声音是由纯音合成的,称之为复合音.若一个复合音的数学 模型是函数 f (x ) = sin x + 1sin 2x ,则下列结论正确的是（ ）2A. 2π 是 f ( x ) 的一个周期B. f ( x ) 在 0, 2π 上有3 个零点C. f ( x )最大值为3 3 D. f (x ) 在⎡0, π ⎤上是增函数4⎢⎣ 2 ⎥⎦12 对于具有相同定义域 D 的函数 f (x ) 和 g (x ) ，若存在函数 h (x ) = kx + b （ k ，b为常数），对任给的正数 m ，存在相应的 x 0 ∈ D ，使得当 x ∈ D 且 x > x 0 时，总有⎧0 < f (x ) - h (x ) < m⎨0 < h (x ) - g (x ) < m 则称直线l : y = kx + b 为曲线 y = f (x ) 与 y = g (x ) 的“分⎩， 渐近线”. 给出定义域均为 D= {x x > 1} 的四组函数, 其中曲线 y = f (x ) 与y = g (x ) 存在“分渐近线”的是( )A. f (x ) = x 2 ， g (x ) =B. f (x ) = 10- x+ 2 ， g (x ) =2x - 3xC. f (x ) = x 2 +1x， g (x ) =x ln x +1 ln xD. f (x ) = 2x 2x +1， g (x ) = 2(x -1- e - x )二、 填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． 13 若二次函数 f (x )＝－x 2＋2ax ＋4a ＋1 有一个零点小于－1，一个零点大于 3， 则实数 a 的取值范围是_ ．x14 在整数集Z 中，被5 除所得余数为k 的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即[k]={5n+k 丨n∈Z}，k=0,1,2,3,4.给出如下四个结论：①2020∈[0]；②-3∈[3]；③Z=[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]④“整数a,b 属于同一“类”的充要条件是“a -b ∈[0]”.其中正确结论有（填写正确结论标号）．15 已知sin θ＋cos θ＝7，θ∈(0，π)，则tan θ＝.1316 A、B、C 是平面上任意不同三点，BC＝a，CA＝b，AB＝c，则y＝c＋b a +b c的最小值是．四、解答题：本题共6 小题，第17 题为10 分，第18-22 题每题12 分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知集合A＝{x|y＝log2(－4x2＋15x－9)，x∈R}，B＝{x||x－m|≥1，x∈R}．(1)求集合A；(2)若p：x∈A，q：x∈B，且p 是q 的充分不必要条件，求实数m 的取值范围．18.已知函数f (x)＝A sin(ωx＋φ)⎛A>0，ω>0，0<φ<π⎫的部分图象如图所示，其中点⎝2⎭P(1,2)为函数f(x)图象的一个最高点，Q(4,0)为函数f(x)的图象与x轴的一个交点，O 为坐标原点．(1)求函数f (x)的解析式；(2)将函数y＝f (x)的图象向右平移2 个单位长度得到y＝g(x)的图象，求函数h(x)＝f (x)·g(x)的图象的对称中心．19.如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，△ABC 和△AA1C 均是边长为2 的等边三角形，点O 为AC 中点，平面AA1C1C⊥平面ABC.(1)证明：A1O⊥平面ABC；(2)求直线AB 与平面A1BC1所成角的正弦值．20.已知函数f (x)＝x2＋(x－1)|x-a|．(1)若a＝－1，解方程f (x)＝1；(2)若函数f (x)在R 上单调递增，求实数a 的取值范围；(3)若a<1，且不等式f (x)≥2x－3 对一切实数x∈R 恒成立，求实数a 的取值范围．21 在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆（a＞b＞0）的左、右顶点分别为 A、B，焦距为 2，直线 l 与椭圆交于 C，D 两点（均异于椭圆的左、右顶点）．当直线l 过椭圆的右焦点F 且垂直于x 轴时，四边形ABCD 的面积为6．(1)求椭圆的标准方程；(2)设直线AC, BD 的斜率分别为k1 , k2 ．①若k2 = 3k1，求证：直线l 过定点；②若直线l 过椭圆的右焦点F，试判断k1是否为定值，并说明理由．k222 设函数f (x)= ln (x + 1)+a (x2-x )，其中a ∈R ．(1)讨论函数f (x)极值点的个数，并说明理由；(2)若∀x > 0, f (x)≥ 0 成立，求a 的取值范围．。

2021年江苏省苏州市木渎高级中学高三数学文月考试卷含解析

2021年江苏省苏州市木渎高级中学高三数学文月考试卷含解析

2021年江苏省苏州市木渎高级中学高三数学文月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 设的内角，，所对的边分别为，，，若，则的形状为（）．A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定参考答案：B∵，，，∵，∴，∴，为直角三角形，故选．2. 已知关于的不等式有解，函数为减函数，则成立是成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件参考答案：B3. 中国古代数学名著《九章算术》卷第五“商功”共收录28个题目，其中一个题目如下：今有城下广四丈，上广二丈，高五丈，袤一百二十六丈五尺，问积几何？其译文可用三视图来解释：某几何体的三视图如图所示（其中侧视图为等腰梯形，长度单位为尺），则该几何体的体积为（）A．3795000立方尺B．2024000立方尺C．632500立方尺D．1897500立方尺参考答案：D【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可得，直观图为底面为侧视图是直棱柱，利用图中数据求出体积．【解答】解：由三视图可得，直观图为底面为侧视图，是直棱柱，体积为=1897500立方尺，故选D．4. 复数，则的模为A．B．C．D．参考答案：D5. 的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为（） A．－20 B．—10 C．10 D．20参考答案：C令，可得各项系数和为，所以。

所以，的展开式的通项公式为，当时，；所以展开式的常数项为，选C.6. 几何体三维视图如图所示，若它的面积为80，则=（）A. B. C. D.参考答案：C略7. 若x∈(e－1,1)，a＝ln x，b＝2ln x，c＝ln3x，则()A．a<b<c B．c<a<bC．b<a<c D．b<c<a参考答案：C8. （多选题）三棱锥P?ABC的各顶点都在同一球面上，PC⊥底面ABC，若，，且，则下列说法正确的是（）A. 是钝角三角形B. 此球的表面积等于5πC. BC⊥平面PACD. 三棱锥A?PBC的体积为参考答案：BC【分析】根据余弦定理可得底面为直角三角形，计算出三棱锥的棱长即可判断A，找到外接球的球心求出半径即可判断B，根据线面垂直判定定理可判断C，根据椎体的体积计算公式可判断D.【详解】如图，在底面三角形ABC中，由，，，利用余弦定理可得：，∴，即，由于底面ABC，∴，，∵，∴平面PAC，故C正确；∴，由于，即为锐角，∴是顶角为锐角的等腰三角形，故A错误；取D为AB中点，则D为的外心，可得三角形外接圆的半径为1，设三棱锥的外接球的球心为O，连接OP，则，即三棱锥的外接球的半径为，∴三棱锥球的外接球的表面积等于，故B正确；，故D错误；故选：BC.【点睛】本题主要考查了线面垂直的判定，椎体的体积计算以及三棱锥外接球体积的计算等等，属于中档题.9. 对于实数a、b，定义运算“?”：a?b=，设f（x）=（2x﹣3）?（x﹣3），且关于x的方程f（x）=k（k∈R）恰有三个互不相同的实根x1、x2、x3，则x1?x2?x3取值范围为（）A．（0，3）B．（﹣1，0）C．（﹣∞，0）D．（﹣3，0）参考答案：D【考点】函数的图象；函数的零点与方程根的关系．【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用．【分析】根据定义求出f（x）解析式，画出图象，判断即可．【解答】解：∵a?b=，∴f（x）=（2x﹣3）?（x﹣3）=，其图象如下图所示：由图可得：x1=﹣k，x2?x3=k，故x1?x2?x3=﹣k2，k∈（0，3），∴x1?x2?x3∈（﹣3，0），故选：D．【点评】本题考察了函数的图象，在求解零点问题中的应用．属于中档题．10. 定义在上的函数，如果对于任意给定的等比数列，仍是等比数列，则称为“保等比数列函数”. 现有定义在上的如下函数：①；②；③；④.则其中是“保等比数列函数”的的序号为（）A．① ② B．③ ④ C．①③ D．② ④参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 下列命题中，正确的是①平面向量与的夹角为，，，则②已知，其中θ∈，则③是所在平面上一定点，动点P满足：，，则直线一定通过的内心参考答案：①②③12. 已知△ABC 中，∠A，∠B，∠C 的对边分别为a ，b ，c ，若a=2，b=2，A=B ，则A=．参考答案：【考点】正弦定理．【分析】由题意和正弦定理列出方程，由二倍角的正弦公式化简后求出cosA 的值，由内角的范围和特殊角的三角函数值求出角A． 【解答】解：因为a=2，b=2，A=B ， 所以由正弦定理得，，则，即，化简得，cosA=， 由0＜A ＜π得A=，故答案为：．13. 设向量，，若，则___________.参考答案：略14. 已知，，则________________.参考答案：15. 如图，一艘船上午9：30在A 处测得灯塔S 在它的北偏东30°处，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午10：00到达B 处，此时又测得灯塔S 在它的北偏东75°处，且与它相距8n mile ．此船的航速是 n mile/h ．参考答案：32【考点】解三角形的实际应用．【分析】由题意及图形在△ABS 中，已知∠BAS=30°，∠ASB=45°，又已知三角形ABS 中边BS=8，先求出边AB 的长，再利用物理知识解出．【解答】解：因为在△ABS 中，已知∠BAS=30°，∠ASB=45°，且边BS=8，利用正弦定理可得：??AB=16，又因为从A 到S 匀速航行时间为半个小时，所以速度应为：（mile/h ）．故答案为：32．16. 观察下列等式：，，，……，由以上等式推测到一个一般的结论：对于n ∈，。

2021届江苏省苏州中学高三(10月份)调研数学试题(解析版)

2021届江苏省苏州中学高三(10月份)调研数学试题(解析版)

2021届江苏省苏州中学高三（10月份）调研数学试题一、单选题1．已知集合{}220A x x x =--≤，{B x y ==，则A B =（ ）A ．{}12x x -≤≤ B ．{}02x x ≤≤ C ．{}1x x ≥- D ．{}0x x ≥【答案】C【分析】根据一元二次不等式的解法以及定义域的求法化简集合，再进行并集运算. 【详解】∵集合{}220A x x x =--≤，∴集合{}|12A x x =-≤≤∵集合{B x y ==，∴集合{}0B x x =≥∴{}1A B x x ⋃=≥- 故选：C.【点睛】本题主要考查了集合的并集运算，涉及了一元二次不等式的解法，定义域的求解，属于基础题. 2．已知345sin πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则cos α=（ ）A ．B C D 【答案】A【分析】利用角的变换cos cos 44ππαα⎡⎤⎛⎫=-+⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦化简，求值. 【详解】0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，,444πππα⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭4cos 45πα⎛⎫-== ⎪⎝⎭，cos cos cos cos sin sin 444444ππππππαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=--- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦4355=-=. 故选：A【点睛】本题考查三角函数给值求在值，意在考查转化与变形，计算能力，属于基础题型.3．若0b a <<，则下列不等式：① a b >；② a b ab +<；③22a a b b<-中，正确的不等式的有（ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个【答案】C【分析】根据不等式的性质以及2()0a b ->即可判断正误. 【详解】由0b a <<知：||||b a >，0a b ab +<<，而2()0a b ->，则有222a b ab +>，即22a a b b<-， 即②③都正确. 故选：C【点睛】本题考查了不等式的性质，属于基础题.4．函数2()(0,0)f x ax bx a b =+>>在点(1,(1))f 处的切线斜率为2，则8a bab+的最小值是（ ） A ．10 B ．9C ．8D．【答案】B【解析】对函数求导可得，()'2.f x ax b =+根据导数的几何意义，()'122f a b =+=，即b1.2a += 8a b ab +=81b a +=(81b a +)·b (2a +)=8a b 2b a +，当且仅当228a b2a b b a +=⎧⎪⎨=⎪⎩即1343a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时，取等号.所以8a b ab +的最小值是9. 故选B.点睛：本题主要考查导数的几何意义，求分式的最值结合了重要不等式，“1”的巧用，注意取等条件5．Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I (t )(t 的单位：天)的Logistic 模型：0.23(53)()=1et I K t --+，其中K 为最大确诊病例数．当I (*t )=0.95K 时，标志着已初步遏制疫情，则*t 约为（ ）（ln19≈3） A ．60 B ．63 C ．66 D ．69【答案】C【分析】将t t *=代入函数()()0.23531t KI t e--=+结合()0.95I t K *=求得t*即可得解.【详解】()()0.23531t K I t e--=+，所以()()0.23530.951t K I t K e**--==+，则()0.235319t e*-=，所以，()0.2353ln193t *-=≈，解得353660.23t *≈+≈. 故选：C.【点睛】本题考查对数的运算，考查指数与对数的互化，考查计算能力，属于中等题.6．已知函数ln ,0(),0e xx x x f x x x >⎧⎪=⎨≤⎪⎩则函数()1y f x =-的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】本题可用特殊值排除法解决问题,代入特殊值0x =、1x =故排除CD ；当0x <时,利用导数判断单调性,排除A,当01x <<时, ()10y f x =-<,当1x >时,()10y f x =-<,即可得出最后答案. 【详解】解：①当0x =时,()()1011ln10y f f =-==⨯=；②当1x =时,()()1100ln00y f f =-==⨯=；故排除CD;③ 当0x <时,11x ->,所以()()()1l 11n y f x x x -==--()()()()'''1ln 11ln 1x x y x x --+--= ()()()'1ln 1111x x x x=--+--- ()ln 110x =---<所以()1y f x =-在0x <时单调递减,故排除A. ④当01x <<时,011x <-<,()()()1l 11n y f x x x -==--11x,()ln 10x -<,()()()1n 101l x x y f x -∴=--<=,故B 符合,⑤当1x >时,10x -<()11e 1xx xy f --=-=, 110,0e xx ,()110e 1xy f x x--∴==<-,故B 符合. 故选：B【点睛】本题考查函数图象,分段讨论图象的单调性、值域,利用排除法即可解得. 7．若定义在R 上的奇函数()f x 满足对任意的x ∈R ，都有()()2f x f x +=-成立，且()18f =，则()2019f ，()2020f ，()2021f 的大小关系是（ ） A ．()()()201920202021f f f << B ．()()()201920202021f f f >> C ．()()()202020192021f f f >> D ．()()()202020212019f f f <<【答案】A【分析】由()()2f x f x +=-，可推出()()4f x f x +=，从而可知函数()f x 是周期函数，周期为4，进而可得出()()20191f f =-，()()20200f f =，()()20211f f =，然后根据()f x 是R 上的奇函数，求出三个函数值，即可得出答案.【详解】因为()()2f x f x +=-，所以()()()42f x f x f x +=-+=，即()f x 是周期函数，周期为4，又函数()f x 是R 上的奇函数，所以()00=f ，()()118f f -=-=-，则()()()2019318f f f ==-=-，()()202000f f ==，()()202118f f ==， 所以()()()201920202021f f f <<. 故选：A.【点睛】本题考查函数的奇偶性、周期性的应用，考查学生的推理能力与计算求解能力，属于中档题.8．地面上有两座相距120 m 的塔，在矮塔塔底望高塔塔顶的仰角为α，在高塔塔底望矮塔塔顶的仰角为2α，且在两塔底连线的中点O 处望两塔塔顶的仰角互为余角，则两塔的高度分别为（ ） A ．50 m ，100 m B ．40 m ，90 m C ．40 m ，50 m D ．30 m ，40 m【答案】B【分析】在直角三角形中分别表示α、2α的正切值，由二倍角公式把二者联系起来，再分别表示β、2πβ-的正切值，根据互余二者联系起来，然后再解两个不等式组成的方程组可得解.【详解】设高塔高H m ，矮塔高h m ，在O 点望高塔塔顶的仰角为β. 则tan tan 1202120H h αα==，， 根据三角函数的倍角公式有221201201120hH h ⨯=⎛⎫- ⎪⎝⎭①因为在两塔底连线的中点O 望两塔塔顶的仰角互为余角， 所以在O 点望矮塔顶的仰角为2πβ-，由tan 60H β=，tan 260hπβ⎛⎫-=⎪⎝⎭，得6060H h =.② 联立①②解得H ＝90，h ＝40. 即两座塔的高度分别为40 m ，90 m. 故选：B.【点睛】本题主要考查解三角形的实际应用，二倍角的正切公式、诱导公式.二、多选题9．等腰直角三角形直角边长为1 ，现将该三角形绕其某一边旋转一周 ，则所形成的几何体的表面积可以为（ ）A B ．(1π+C ．D ．(2π+【答案】AB【分析】分2种情况，一种是绕直角边，一种是绕斜边，分别求形成几何体的表面积. 【详解】如果是绕直角边旋转，形成圆锥，圆锥底面半径为1，高为1，母线就是直角，所以所形成的几何体的表面积是)22111S rl r πππππ=+=⨯⨯=.如果绕斜边旋转，形成的是上下两个圆锥，圆锥的半径是直角三角形斜边的高2，两个圆锥的母线都是直角三角形的直角边，母线长是1，所以写成的几何体的表面积221S rl ππ=⨯=⨯=.综上可知形成几何体的表面积是)1π.故选：AB【点睛】本题考查旋转体的表面积，意在考查空间想象能力和计算能力，属于基础题型. 10．关于x 的不等式()()1210ax x a -+->的解集中恰有3个整数，则a 的值可以为（ ） A ．12-B ．1C ．－1D ．2【答案】AC【分析】由题意先判断出0a <，写出不等式的解集，由不等式()()1210ax x a -+->的解集中恰有3个整数，则这3个整数中一定有0和1,所以分这3个数为101-，，，或0,1,2，分别计算求解即可.【详解】不等式()()1210ax x a -+->的解集中恰有3个整数 当0a =时，不等式化为10x -<，则解集中有无数个整数. 当0a >时，不等式()()1210ax x a -+->的解集中有无数个整数. 所以0a <，10a <，121a ->，所以112a a<- 所以不等式的解集为：1|12x x a a ⎧⎫<<-⎨⎬⎩⎭，由不等式()()1210ax x a -+->的解集中恰有3个整数，则这3个整数中一定有0和1.则这3个整数为：101-，，，或0,1,2， 若这3个整数为：101-，，，则122121a a -≤⎧⎪⎨-≤<-⎪⎩， 解得：12a =-若这3个整数为：0,1,2，则212311a a<-≤⎧⎪⎨≥-⎪⎩，解得：1a =-所以实数a 的取值集合是1,12⎧⎫--⎨⎬⎩⎭. 故选：AC.【点睛】本题考查一元二次不等式的解法与应用问题，考查分类讨论思想的应用，属于中档题.11．声音是由物体振动产生的声波,其中包含着正弦函数.纯音的数学模型是函数sin y A t ω=,我们听到的声音是由纯音合成的,称之为复合音.若一个复合音的数学模型是函数()1sin sin 22f x x x =+,则下列结论正确的是（ ）A ．2π是()f x 的一个周期B ．()f x 在0,2π上有3个零点C ．()f x 的最大值为4D ．()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数 【答案】ABC【分析】①分别计算sin y x =和1sin 22y x =的周期,再求其最小公倍数即可得到()f x 的周期.②令0f x即可求得零点.③对()f x 求导,令()'0f x =,判断单调性即可求得极值.④对()f x 求导,令()'0f x >,即可求出单调递增区间. 【详解】解：因为：()1sin sin 22f x x x =+ ①sin y x =的周期是2π,1sin 22y x =的周期是22ππ=, 所以()1sin sin 22f x x x =+的周期是2π,故A 正确. ②当()1sin sin 202f x x x =+=,[]0,2x π∈时,sin sin cos 0x x x +=sin (1cos )0x x +=sin 0x =或1cos 0x +=解得0x =或32x π=或2x π=, 所以()f x 在0,2π上有3个零点,故B 正确. ③()1sin sin 22f x x x =+()sin sin cos f x x x x =+()'22cos cos sin f x x x x =+-22cos cos 1x x =+-令()'0f x =,求得1cos 2x =或cos 1x =-, 因为()f x 在11,2 单调递增,在1,12⎛⎫⎪⎝⎭单调递减,所以1cos 2x =时取得最大值,则sin x =()max 12224f x =+⨯=,故C 正确. ④由③得()'22cos cos 1f x x x =+-, 要求增区间则()'0f x >, 即cos 1x <-（不成立）,或1cos 12x <≤, 所以0223k x k +≤<+πππ所以()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数是错误的,故D 错误. 故选：ABC【点睛】本意考查正弦、余弦函数的周期性、零点、单调性、极值,利用导数法求单调性和极值会使计算简便.12．对于具有相同定义域D 的函数()f x 和()g x ，若存在函数()h x kx b =+（k ，b为常数），对任给的正数m ，存在相应的0x D ∈，使得当x D ∈且0x x >时，总有()()()()00f x h x mh x g x m ⎧<-<⎪⎨<-<⎪⎩，则称直线:l y kx b =+为曲线()y f x =与()y g x =的“分渐近线”.给出定义域均为{}|1D x x =>的四组函数，其中曲线()y f x =与()y g x =存在“分渐近线”的是（ ）A ．()2f x x =，()g x =B ．()102xf x -=+，()23x g x x-=C ．()21x f x x+=，()ln 1ln x x g x x +=D ．()221x f x x =+，()()21xg x x e -=--【答案】BD【分析】根据分渐近线的定义，对四组函数逐一分析，由此确定存在“分渐近线”的函数. 【详解】解：()f x 和()g x 存在分渐近线的充要条件是x →∞时，()()0,()()f x g x f x g x -→>．对于①，()2f x x =，()g x =当1x >时，令()()()2F x f x g x x =-=，由于()20F x x '=->，所以()h x 为增函数，不符合x →∞时，()()0f x g x -→，所以不存在分渐近线； 对于②，()1022xf x -=+>，()232,(1)x g x x x-=<> ()()f x g x ∴>，2313()()10210xxx f x g x x x--⎛⎫-=+-=+ ⎪⎝⎭，因为当1x >且x →∞时，()()0f x g x -→，所以存在分渐近线；对于③，21()x f x x+=，ln 1()ln x x g x x +=，21111111()()ln ln ln x x nx f x g x x x x x x x x x++-=-=+--=-当1x >且x →∞时，1x 与1ln x 均单调递减，但1x的递减速度比1ln x 快，所以当x →∞时，()()f x g x -会越来越小，不会趋近于0，所以不存在分渐近线；对于④，22()1x f x x =+，()()21xg x x e -=--，当x →∞时，22()()220+1222+1x x x f x g x x e x x e--=-+++=→，且()()0f x g x ->，因此存在分渐近线． 故存在分渐近线的是BD ． 故选：BD ．【点睛】本小题主要考查新定义概念的理解和运用，考查函数的单调性，属于难题.三、填空题13．若二次函数()2241f x x ax a =-+++有一个零点小于1-，一个零点大于3，则实数a 的取值范围是____________.【答案】4,5⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【分析】由二次函数()2241f x x ax a =-+++的图象开口向下，且在区间(),1-∞-，()3,+∞内各有一个零点，可得()()1030f f ->⎧⎪⎨>⎪⎩，求解即可. 【详解】因为二次函数()2241f x x ax a =-+++的图象开口向下，且在区间(),1-∞-，()3,+∞内各有一个零点，所以()()112410396410f a a f a a -=--++>⎧⎪⎨=-+++>⎪⎩，解得45a >.所以实数a 的取值范围是4,5⎛⎫+∞⎪⎝⎭. 故答案为：4,5⎛⎫+∞⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查二次函数的零点分布，考查学生的计算求解能力，属于基础题. 14．在整数集Z 中，被5除所得余数为k 的所有整数组成一个“类”，记为[k ]，即[k ]＝{5n ＋k | n ∈Z}，k ＝0，1，2，3，4.给出如下四个结论：①2 014∈[4]； ②－3∈[3]； ③Z ＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]；④整数a ，b 属于同一“类”的充要条件是“a －b ∈[0]”．其中，正确的结论是________． 【答案】①③④【分析】对各个选项分别进行分析，利用类的定义直接求解． 【详解】在①中，∵2014÷5＝402…4，∴2014∈[4]，故①正确； 在②中，∵﹣3＝5×（﹣1）+2，∴﹣3∉[3]，故②错误； 在③中，∵整数集中的数被5除的数可以且只可以分成五类， ∴Z ＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]，故③正确； 在④中，∵2015÷5＝403，2010÷5＝402， ∴2015与2010属于同一个“类”[0]，故④正确． 故答案为①③④．【点睛】本题为同余的性质的考查，具有一定的创新，关键是对题中“类”的题解，属基础题．15．已知sin θ＋cos θ＝713，θ∈(0，π)，则tan θ＝________.【答案】125-【分析】已知等式两边平方，利用同角三角函数间的基本关系化简，求出2sin cos αα的值小于0，得到sin 0α>，cos 0α<，再利用完全平方公式及同角三角函数间的基本关系求出sin α与cos α的值，即可求出tan α的值． 【详解】解：将已知等式7sin cos 13αα+=①两边平方得：22249(sin cos )sin 2sin cos cos 12sin cos 169αααααααα+=++=+=， 1202sin cos 0169αα∴=-<， 0απ<<，sin 0α∴>，cos 0α<，即sin cos 0αα->，2289(sin cos )12sin cos 169αααα∴-=-=， 17sin cos 13αα∴-=②， 联立①②，解得：12sin 13α=，5cos 13α=-，则12tan 5α=-． 故答案为：125-． 【点睛】本题考查了同角三角函数间的基本关系，以及完全平方公式的应用，熟练掌握基本关系是解本题的关键，属于中档题．四、解答题16．已知A 、B 、C 是平面上任意三点，且BC a =，=CA b ，AB c =.则c by a b c=++的最小值是______.12【详解】依题意，得b c a +，于是 1c b c b c y a b c a b c+=+=+-++ 12c b c b c a b c+++=+-+ 11122222c a b c c a b a b c a b c ++++-=+--++17．已知集合(){}22|log 4159,A x y x x x ==-+-∈R ，{}|1,B xx m x =-≥∈R ‖ （1）求集合A ；（2）若p ：x A ∈，q ：x B ∈，且p 是q 的充分不必要条件，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）3|34A x x ⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭（2）[)1,4,4⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦【分析】(1)在函数有意义的条件下，解一元二次不等式、绝对值不等式即可． （2）从集合的角度理解充分不必要条件，再由集合的包含关系求解即可． 【详解】解：（1）∵(){}22|log 4159,A x y x x x R ==-+-∈ ∴241590x x -+->，则(3)(43)0x x --< ∴334x <<，∴3|34A x x ⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭. （2）∵{}|1,B xx m x =-≥∈R ‖ ∴由||1x m -≥可得：1x m -≥或1x m -≤- ∴1x m ≥+或1x m -≤ ∴{|1B x x m =≥+或}1x m ≤- ∵p ：x A ∈，q ：x B ∈， 且p 是q 的充分不必要条件 ∴13m -≥或314m +≤ ∴4m ≥或14m ≤-∴实数m 的取值范围是[)1,4,4⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦.【点睛】本题考查不等式的解法以及充分条件与必要条件，属于基础题． 18．已知函数()sin()(0,0,0)2f x A x A πωϕωϕ=+>><<的部分图象如图所示，其中点(1,2)P 为函数图象的一个最高点，(4,0)Q 为函数图象与x 轴的一个交点，O 为坐标原点．（Ⅰ）求函数()f x 的解析式；（Ⅱ）将函数()y f x =的图象向右平移2个单位得到()y g x =的图象，求函数()()()h x f x g x =⋅图象的对称中心．【答案】（Ⅰ）()2sin()63f x x ππ=+；（Ⅱ）1(3,1)()2k k Z +∈． 【解析】试题分析：（Ⅰ）要确定()sin()f x A x ωϕ=+的解析式，利用最高点确定A ，由P 、Q 两点确定周期，从而可确定ω，再结合五点法（或正弦函数的性质）可确定ϕ；（Ⅱ）由平移变换得出()g x 的表达式，从而求出()()f x g x ，展开后用二倍角公式和两角差的正弦公式化函数为一个三角函数，同样结合正弦函数的性质可得对称中心． 试题解析：（Ⅰ）由题意得振幅2A =，周期4(41)12T =⨯-=，又212πω=，则6πω=将点(1,2)P 代入()2sin()6f x x πϕ=+，得sin()16x πϕ+=，∵02πϕ<<， ∴3πϕ=，故()2sin()63f x x ππ=+．（Ⅱ）由题意可得()2sin (2)2sin 636g x x x πππ⎡⎤=-+=⎢⎥⎣⎦．∴2()()()4sin()sin 2sin 23cos 636666h x f x g x x x x x x ππππππ=⋅=+⋅=+⋅1cos312sin()3336x x x ππππ=-=+-．由36x k πππ-=得13()2x k k Z =+∈∴()y h x =图像的对称中心为1(3,1)()2k k Z +∈【解析】函数()sin()f x A x ωϕ=+的解析式与性质．19．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，ABC ∆和△1AA C 均是边长为2的等边三角形，点O 为AC 中点，平面11AA C C ⊥平面ABC ．（1）证明：1A O ⊥平面ABC ；（2）求直线AB 与平面11A BC 所成角的正弦值． 【答案】（1）理由见解析；（2）64【分析】（1）证明1A O AC ⊥，通过平面11AA C C ⊥平面ABC ，推出1A O ⊥平面ABC ． （2）如图，以O 为原点，OB ，OC ，1OA 为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系．求出相关点的坐标，求出平面11A BC 的法向量为(,,)n x y z =，设直线AB 与平面11A BC 所成角为α，利用空间向量的数量积求解即可． 【详解】（1）证明：11AA AC =，且O 为AC 的中点， 1A O AC ∴⊥，又平面11AA C C ⊥平面ABC ，且交线为AC ，又1AO ⊂平面11AAC C ， 1A O ∴⊥平面ABC ；（2）解：如图，以O 为原点，OB ，OC ，1OA 为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系．由已知可得(0O ，0，0)(0A ，1-，110),(3,0,0),(0,0,3)(0,2,3)B A C ， 1(3,0,3)A B =-，11(3,1,0),(0,2,0)AB AC == 平面11A BC 的法向量为(,,)n x y z =，则有20330y x z =⎧⎪⎨-=⎪⎩，所以n 的一组解为(1,0,1)n =， 设直线AB 与平面11A BC 所成角为α， 则sin cos ,AB n α=又·36cos ,22AB n AB n AB n===， 所以直线AB 与平面11A BC 所成角的正弦值：64． 【点睛】关键点睛：解题的关键在平面与平面垂直的判断定理的应用，以及利用法向量求解直线与平面所成角，主要考查学生空间想象能力以及计算能力，难度属于中档题 20．已知函数2()(1)f x x x x a =+--． （1）若1a =-，解方程()1f x =；（2）若函数()f x 在R 上单调递增，求实数a 的取值范围；（3）若1a <且不等式()23f x x ≥-对一切实数x ∈R 恒成立，求a 的取值范围 【答案】（1）；（2）；（3）【详解】（1）当1a =-时，， 故有221,1(){1,1x x f x x -≥-=<-，当1x ≥-时，由()1f x =，有2211x -=，解得1x =或1x =- 当1x <-时，()1f x =恒成立 ∴ 方程的解集为或（2）22(1),(){(1),x a x a x af x a x a x a-++≥=+-<，若在上单调递增，则有1{410a a a +≤+>， 解得，13a ≥∴ 当13a ≥时，在上单调递增（3）设()()(23)g x f x x =--则22(3)3,(){(1)3,x a x a x ag x a x a x a-+++≥=--+< 不等式()23f x x ≥-对一切实数x ∈R 恒成立，等价于不等式()0g x ≥对一切实数x ∈R 恒成立．1a <，∴当(,)x a ∈-∞时，()g x 单调递减，其值域为2(23,)a a -++∞，由于2223(1)22a a a -+=-+≥，所以()0g x ≥成立． 当[,)x a ∈+∞时，由1a <，知34a a +<， ()g x 在34a x +=处取最小值， 令，得35a -≤≤，又1a <，所以31a -≤<综上，[3,1a ∈-）．21．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右顶点分别为A 、B ，焦距为2，直线l 与椭圆交于,CD 两点（均异于椭圆的左、右顶点）.当直线l过椭圆的右焦点F 且垂直于x 轴时，四边形ACBD 的面积为6. （1）求椭圆的标准方程；（2）设直线,AC BD 的斜率分别为12,k k . ①若213k k =，求证：直线l 过定点；②若直线l 过椭圆的右焦点F ，试判断12k k 是否为定值，并说明理由.【答案】（1）22143x y +=；（2）①证明见解析；②1231k k = 【分析】（1）由题意焦距为2，设点0(1,)C y ，代入椭圆22221(0)x y a b a b +=>>，解得20b y a=±，从而四边形ACBD 的面积226222ABC b S a b a ∆===，由此能求出椭圆的标准方程．（2）①由题意1:(2)AC y k x =+，联立直线与椭圆的方程22143x y +=，得22211(34)16120k x k ++-=，推导出212186(34k C k --+，12112)34k k +，222286(34k D k -+，22212)34k k -+，由此猜想：直线l 过定点(1,0)P ，从而能证明P ，C ，D 三点共线，直线l 过定点(1,0)P ． ②由题意设1(C x ，1)y ，2(D x ，2)y ，直线:1l x my =+，代入椭圆标准方程：22143x y +=，得22(34)690m y my ++-=，推导出122634m y y m +=-+，122934y y m =-+，由此推导出111121212122212112222(2)(1)1(2)(3)332y k x y x y my my y y y k y x y my my y y x +---=====+++-（定值）．【详解】（1）由题意焦距为2，可设点0(1,)C y ，代入椭圆22221(0)x y a b a b +=>>，得202211y a b +=，解得20b y a =±， ∴四边形ACBD 的面积226222ABCb S a b a∆===，23b ∴=，24a =，∴椭圆的标准方程为22143x y +=．（2）①由题意1:(2)AC y k x =+，联立直线与椭圆的方程22143x y +=，得22211(34)16120k x k ++-=，211211612234k x k -∴-=+，解得211216834k x k -=+，从而11112112(1)34k y k x k =+=+， 212186(34k C k -∴-+，12112)34k k +，同理可得222286(34k D k -+，22212)34k k -+， 猜想：直线l 过定点(1,0)P ，下证之：213k k =，12221222122212121234348686113434PC PDk k k k k k k k k k -++∴-=------++ 1211112222221211114124364401449143691414k k k k k k k k k k k k =+=+=-=------，P ∴，C ，D 三点共线，∴直线l 过定点(1,0)P ．②12k k 为定值，理由如下： 由题意设1(C x ，1)y ，2(D x ，2)y ，直线:1l x my =+，代入椭圆标准方程：22143x y +=，得22(34)690m y my ++-=，1,2y ∴=，122634m y y m ∴+=-+，122934y y m =-+， ∴111121212122212112222(2)(1)(2)(3)32y k x y x y my my y y y k y x y my my y y x +---====+++- 222222222963()34343499333434m m my y m m m m m y y m m -----++++==-+-+++2222313493334my m m y m -++==-++（定值）． 【点睛】本题考查椭圆标准方程的求法，考查直线过定点的证明，考查两直线的斜率的比值是否为定值的判断与求法，考查椭圆、直线方程、韦达定理等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，属于中档题． 22．设函数()()()2ln 1f x x a x x =++-，其中a R ∈.（Ⅰ）讨论函数()f x 极值点的个数，并说明理由； （Ⅱ）若()0,0x f x ∀>≥成立，求a 的取值范围. 【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）a 的取值范围是[]0,1.【解析】试题分析：（Ⅰ）先求()2121211ax ax a f x ax a x x ++-=+-='++，令()221g x ax ax a =++-通过对a 的取值的讨论，结合二次函数的知识，由导数的符号得到函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）根据（1）的结果()00=f 这一特殊性，通过对参数的讨论确定a 的取值范围.试题解析：函数()()()2ln 1f x x a x x =++-的定义域为()1,-+∞()2121211ax ax a f x ax a x x ++-=+-='++ 令()221g x ax ax a =++-，()1,x ∈-+∞（1）当0a = 时，()10g x => ，()0f x '> 在()1,-+∞上恒成立 所以，函数()f x 在()1,-+∞上单调递增无极值； （2）当0a > 时， ()()28198a a a a a ∆=--=-①当809a <≤时，0∆≤ ，()0g x ≥ 所以，()0f x '≥，函数()f x 在()1,-+∞上单调递增无极值； ②当89a >时，0∆> 设方程2210ax ax a ++-=的两根为1212,(),x x x x <因为1212x x +=-所以，1211,44x x -- 由()110g -=>可得：111,4x -<<- 所以，当()11,x x ∈-时，()()0,0g x f x '>> ，函数()f x 单调递增； 当()12,x x x ∈时，()()0,0g x f x '<< ，函数()f x 单调递减； 当()2,x x ∈+∞时，()()0,0g x f x '>> ，函数()f x 单调递增； 因此函数()f x 有两个极值点．（3）当0a < 时，0∆>由()110g -=>可得：11,x <-当()21,x x ∈-时，()()0,0g x f x '>> ，函数()f x 单调递增； 当()2,x x ∈+∞时，()()0,0g x f x '<< ，函数()f x 单调递减； 因此函数()f x 有一个极值点．综上：当0a < 时，函数()f x 在()1,-+∞上有唯一极值点； 当809a ≤≤时，函数()f x 在()1,-+∞上无极值点； 当89a >时，函数()f x 在()1,-+∞上有两个极值点； （Ⅱ）由（Ⅰ）知， （1）当809a ≤≤时，函数()f x 在()0,+∞上单调递增， 因为()00=f所以，()0,x ∈+∞时，()0f x > ，符合题意；（2）当819a <≤ 时，由()00g ≥ ，得20x ≤ 所以，函数()f x 在()0,+∞上单调递增，又()00=f ，所以，()0,x ∈+∞时，()0f x > ，符合题意； （3）当1a > 时，由()00g < ，可得20x >所以()20,x x ∈ 时，函数()f x 单调递减；又()00=f所以，当()20,x x ∈时，()0f x < 不符合题意；（4）当0a <时，设()()ln 1h x x x =-+因为()0,x ∈+∞时，()11011x h x x x =-=>++' 所以()h x 在()0,+∞ 上单调递增，因此当()0,x ∈+∞时，()()00h x h >=即：()ln 1x x +<可得：()()()221f x x a x x ax a x <+-=+- 当11x a>- 时，()210ax a x +-< 此时，()0,f x < 不合题意.综上所述，a 的取值范围是0,1【解析】1、导数在研究函数性质中的应用；2、分类讨论的思想.。

2021年江苏省苏州市大学附属中学高三数学理月考试卷含解析

2021年江苏省苏州市大学附属中学高三数学理月考试卷含解析

2020-2021学年江苏省苏州市大学附属中学高三数学理月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 函数的图象如图所示，为得到函数的图象，可将的图象（）A．向右平移个单位长度 B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度 D．向左平移个单位长度参考答案：A略2. 已知方程有一负根且无正根，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.参考答案：C3. ．图象的一个对称中心是（）A． B． C． D．参考答案：B略4. 展开式中，中间项的系数为70。

若实数满足，则的最小值是（）A． B． C．5 D．1参考答案：A展开后共有9项，中间项为，系数=70，因为，所以。

因此实数满足，画出可行域如图所示。

显然当目标函数过点A（1，－1），故选择A。

5. 同时具有性质“①最小正周期是π，②图象关于直线x=对称”的一个函数是（）A． y=sin（+） B． y=cos（x+） C． y=cos（2x﹣） D． y=sin（2x﹣）参考答案：D考点：三角函数的周期性及其求法；正弦函数的对称性．专题：三角函数的求值．分析：利用周长公式及对称性判断即可得到结果．解答：解：A、y=sin（+），∵ω=，∴T=4π，不合题意；B、y=cos（x+），∵ω=1，∴T=2π，不合题意；C、y=cos（2x﹣），∵ω=2，∴T=π，令2x﹣=0，即x=，不合题意；D、y=sin（2x﹣），∵ω=2，∴T=π，令2x﹣=，即x=，即图象关于直线x=对称，符合题意，故选：D．点评：此题考查了三角函数的周期性及其求法，以及正弦函数的对称性，熟练掌握周期公式是解本题的关键．6. 如图圆C内切于扇形AOB，∠AOB=，若在扇形AOB内任取一点，则该点在圆C内的概率为（）A．B．C．D．参考答案：C【考点】几何概型；扇形面积公式．【分析】本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件对应的包含的事件对应的是扇形AOB，满足条件的事件是圆，根据题意，构造直角三角形求得扇形的半径与圆的半径的关系，进而根据面积的求法求得扇形OAB的面积与⊙P的面积比．【解答】解：由题意知本题是一个等可能事件的概率，设圆C的半径为r，试验发生包含的事件对应的是扇形AOB，满足条件的事件是圆，其面积为⊙C的面积=π?r2，连接OC，延长交扇形于P．由于CE=r，∠BOP=，OC=2r，OP=3r，则S扇形AOB==；∴⊙C的面积与扇形OAB的面积比是．∴概率P=，故选C．7. 若直线y=kx 与圆（x ﹣2）2+y 2=1的两个交点关于直线2x+y+b=0对称，则k ，b 的值分别为C DA 略8. 定义在R 上的偶函数f (x )满足：对任意x 1，x 2∈0，＋∞)，且x 1≠x 2都有>0，则( ) A ．f (3)<f (－2)<f (1) B ．f (1)<f (－2)<f (3) C ．f (－2)<f (1)<f (3) D ．f (3)<f (1)<f (－2) 参考答案：B9. 已知向量，则“”是“”的( )(A) 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件(C) 充要条件(D) 既不充分也不必要条件参考答案：A试题分析：根据向量垂直的充要条件，可知若则两个向量的数量积等于0，再用向量的数量积的坐标公式计算即可；当k=2时，如果，∴当k=2是的充分不必要条件．故选A ．考点：判断两个向量的垂直关系10. 条件甲“a ＞1”是条件乙“a ＞”成立的 （ ） A ．既不充分也不必要条件 B ．充要条件C ．充分不必要条件D ．必要不充分条件 参考答案：B二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知椭圆的焦点重合，则该椭圆的离心率是 ．参考答案：12. 设数列满足，，则参考答案：1313. 已知向量=（﹣1，m ），=（0，1），若向量与的夹角为，则实数m 的值为 ．参考答案：【考点】平面向量数量积的运算． 【分析】分别用坐标和定义计算cos ＜＞，列方程得出m 即可．【解答】解：=m ，||=，||=1，∴cos ＜＞==．∵向量与的夹角为，∴=，解得m=，故答案为．【点评】本题考查了平面向量的坐标运算，数量积运算，属于基础题．14. 若一个圆锥的侧面展开图是面积为的半圆面，则该圆锥的体积为。

2021-2022年高三10月月考数学试题 含答案(I)

2021-2022年高三10月月考数学试题 含答案(I)

2021-2022年高三10月月考数学试题含答案(I)一．填空题1、已知全集，集合，则2、设复数z1=1+i,z2=-2+xi(xÎR),若，则x的值等于3、已知圆C: 与直线相切，则圆C的半径4、如图，在正四棱柱中，底面的边长为3，BD1与底面所成的角的大小为，则该正四棱柱的高等于5、已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点与双曲线: 的右焦点重合，则抛物线C的方程是6、在二项式的展开式中，x的一次项系数为。

（用数字作答）7、已知角的顶点在坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，角的终边与圆心在原点的单位圆（半径为1的圆）交于第三象限内的点，则。

（用数值表示）8、设无穷等比数列的公比则n®¥lim(a2+a4+a6+···+a2n)=9、某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是 cm310、在中，已知且的面积S=1，则的值为11、现有10个数，它们能构成一个以1为首项，-2为公比的等不数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是12、设是定义域在R上且周期为2的函数，在区间[-1,1]上,f(x)=ax+1,-1£x£0bx+2x+1,0£x£1ìíïîï其中，若，则的值为13、定义：曲线C上的点到直线L的距离的最小值称为曲线C到直线L的距离。

已知曲线C1：到直线L: 的距离等于C2: 到直线L: 的距离，则实数a=14、已知，定义：表示不小于x的最小整数。

如A(3)=2,A(-0.4)=0,A(-1.1)=-1等。

若，则正实数x的取值范围是二、选择题15、已知直线和平面，无论直线与平面具有怎样的位置关系，在平面内总存在一条直线与直线（）A、相交B、垂直C、平行D、异面16、已知向量，则下列能使成立的一组向量是（）A、 B、C、 D、17、若满足2x-y£0x+y£3x³0ìíïîï，则的最大值为（）A、4B、5C、0D、318、设函数其中。

2021-2022年高三数学上学期10月月考试题 文 苏教版

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2021年高三数学上学期10月月考试题 文 苏教版一、填空题：1.设全集为，集合，集合，则(∁)=________▲___2.命题“对，都有”的否定为______▲____，使得3.已知是第二象限角，且则_____________4.等比数列中，，前三项和，则公比的值为 或1 ．5.已知向量，，，若，则实数__▲___16.直线被圆截得的弦长等于 ．7.已知是等差数列，，，则过点的直线的斜率 ▲ .8. 过原点作曲线的切线，则此切线方程为________▲_________9.设为正实数，且，则的最小值是 ▲ . 10.函数的单调增区间为______▲________11. 已知函数的图像在点处的切线斜率为，则 ．12.设是定义在上周期为4的奇函数，若在区间，，则____▲_____13.已知点和圆，是圆上两个动点，且，则 (为坐标原点)的取值范围是 . [2,22]14. 如果直线和函数的图象恒过同一个定点，且该定点始终落在圆的内部或圆上，那么的取值范围 ▲ .二、解答题： 15. 设集合，.（1）当1时，求集合； （2）当时，求的取值范围． 解：（1） （2）15. 设函数2()sin(2++cos cos 6f x x x x x π=）.(1). 已知，求函数的值域； (2). 设为的三个内角，若，求.解：（1）cos ()cos x f x x x x +=+++1122222222＝＝所以函数f(x)的最大值是，最小正周期为。

（2）==, 所以,又C 为ABC 的内角 所以,又因为在ABC 中, cosB=, 所以 , 所以2113223sin sin()sin cos cos sin 232326A B C B C B C +=+=+=⨯+⨯=17.设公比大于零的等比数列 的前项和为，且，，数列的前项和为，满足，，． （Ⅰ）求数列、的通项公式；（Ⅱ）设，若数列是单调递减数列，求实数的取值范围．（Ⅰ）由， 得又（，则得)1(23142132111232211+=⋅⋅⋅--⋅-⋅+-=⋅⋅⋅⋅-----n n n n n n n n b b b b b b b b n n n n n n 所以，当时也满足．（Ⅱ），所以，使数列是单调递减数列，则对都成立，即max )1224(01224+-+>⇒<-+-+n n n n λλ， ，当或时，所以．18.已知水渠在过水断面面积为定值的情况下，过水湿周越小，其流量越大．现有以下两种设计，如图： 图①的过水断面为等腰过水湿周．图②的过水断面为等腰梯形,60,//,,0=∠=BAD BC AD CD AB ABCD 过水湿周．若△与梯形的面积都为.图① 图② （1）分别求和的最小值；（2）为使流量最大，给出最佳设计方案．（1）在图①中，设∠，AB ＝BC ＝a ． 则，由于S 、a 、皆为正值，可解得．当且仅当，即＝90°时取等号． 所以，的最小值为．在图②中，设AB ＝CD ＝m ，BC ＝n ，由∠BAD ＝60° 可求得AD ＝m ＋n ，， 解得．S S mm S m m S 432322332232=≥+=-+，的最小值为．当且仅当，即时取等号．（2）由于，则的最小值小于的最小值．所以在方案②中当取得最小值时的设计为最佳方案19.已知数列的奇数项是首项为的等差数列，偶数项是首项为的等比数列.数列前项和为，且满足，. (1)求数列的通项公式; (2)若，求正整数的值；（3）是否存在正整数，使得恰好为数列中的一项？若存在，求出所有满足条件的值，若不存在，说明理由.20. 已知函数．（1）求函数的极值； （2）求函数的单调区间；（3）若不等式对一切正实数恒成立，求实数的取值范围． 解：（1）g （x ）＝lnx －x ＋1，g′（x ）＝1x －1＝1－xx ，当0＜x ＜1时，g′（x ）＞0；当x ＞1时，g′（x ）＜0，可得g （x ）在（0,1）上单调递增，在（1，＋∞）上单调递减， 故g （x ）有极大值为g （1）＝0，无极小值． （2）h （x ）＝lnx ＋|x －a|．当a ≤0时，h （x ）＝lnx ＋x －a ，h′（x ）＝1＋1x＞0恒成立，此时h （x ）在（0，＋∞）上单调递增；当a ＞0时，h （x ）＝⎩⎨⎧lnx ＋x －a ，x ≥a ，lnx －x ＋a ，0＜x ＜a ．①当x ≥a 时，h （x ）＝lnx ＋x －a ，h′（x ）＝1＋1x ＞0恒成立，此时h （x ）在（a ，＋∞）上单调递增；②当0＜x ＜a 时，h （x ）＝lnx －x ＋a ，h′（x ）＝1x －1＝1－xx．当0＜a ≤1时，h′（x ）＞0恒成立，此时h （x ）在（0，a ）上单调递增；当a ＞1时，当0＜x ＜1时h′（x ）＞0，当1≤x ＜a 时h′（x ）≤0， 所以h （x ）在（0，1）上单调递增，在（1，a ）上单调递减． 综上，当a ≤1时，h （x ）的增区间为（0，＋∞），无减区间； 当a ＞1时，h （x ）增区间为（0，1），（a ，＋∞）；减区间为（1，a ）．（3）不等式（x2－1）f （x ）≥k （x －1）2对一切正实数x 恒成立， 即（x2－1）lnx ≥k （x －1）2对一切正实数x 恒成立． 当0＜x ＜1时，x2－1＜0；lnx ＜0，则（x2－1）lnx ＞0； 当x ≥1时，x2－1≥0；lnx ≥0，则（x2－1）lnx ≥0． 因此当x ＞0时，（x2－1）lnx ≥0恒成立． 又当k ≤0时，k （x －1）2≤0，故当k ≤0时，（x2－1）lnx ≥k （x －1）2恒成立． 下面讨论k ＞0的情形．当x ＞0且x ≠1时，（x2－1）lnx －k （x －1）2＝（x2－1）[lnx －k(x －1)x ＋1]．设h （x ）＝lnx －k(x －1)x ＋1（ x ＞0且x ≠1），h′（x ）＝1x －2k (x ＋1)2＝x2＋2(1－k)x ＋1x(x ＋1)2．记△＝4（1－k ）2－4＝4（k2－2k ）．①当△≤0，即0＜k ≤2时，h′（x ）≥0恒成立，故h （x ）在（0，1）及（1，＋∞）上单调递增． 于是当0＜x ＜1时，h （x ）＜h （1）＝0，又x2－1＜0，故（x2－1） h （x ）＞0，即（x2－1）lnx ＞k （x －1）2．当x ＞1时，h （x ）＞h （1）＝0，又x2－1＞0，故（x2－1） h （x ）＞0，即（x2－1）lnx ＞k （x －1）2． 又当x ＝1时，（x2－1）lnx ＝k （x －1）2． 因此当0＜k ≤2时，（x2－1）lnx ≥k （x －1）2对一切正实数x 恒成立．②当△＞0，即k ＞2时，设x2＋2（1－k ）x ＋1＝0的两个不等实根分别为x1，x2（x1＜x2）． 函数φ（x ）＝x2＋2（1－k ）x ＋1图像的对称轴为x ＝k －1＞1， 又φ（1）＝4－2k ＜0，于是x1＜1＜k －1＜x2．故当x ∈（1，k －1）时，φ（x ）＜0，即h′（x ）＜0，从而h （x ）在（1，k －1）在单调递减；而当x ∈（1，k －1）时，h （x ）＜h （1）＝0，此时x2－1＞0，于是（x2－1） h （x ）＜0，即（x2－1）lnx ＜k （x －1）2， 因此当k ＞2时，（x2－1）lnx ≥k （x －1）2对一切正实数x 不恒成立．综上，当（x2－1）f （x ）≥k （x －1）2对一切正实数x 恒成立时，k ≤2，即k 的取值范围是（－∞，2]．。

2021年高三数学10月月考试卷 理(含解析)

2021年高三数学10月月考试卷 理(含解析)

2021年高三数学10月月考试卷 理（含解析）注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明一、选择题（题型注释）1．已知集合，集合 ，则=（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】试题分析：因为 ，，所以.考点：集合的交集.2．若，则（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】试题分析：由题意可得：()()()()()622lim 2lim 0'000000-==+-+=+-+→→x f h h x f h x f h h x f h x f hh . 考点：导数的定义及应用.3．函数的定义域为（ ）A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：因为，所以，所以函数的定义域为.考点：函数的定义域.4．已知函数，，若，则（ ）A.1B.2C.3D.-1【答案】A【解析】试题分析：由题意可得：()[]()10115111=⇒=-⇒==-=-a a a f g f a .考点：幂函数方程求解.5．已知分别是定义在上的偶函数和奇函数，且，则（ ）A. B. C.1 D.3【答案】C【解析】试题分析：因为，所以，又因为分别是定义在上的偶函数和奇函数，所以.考点：函数奇偶性的应用.6．已知集合，={|，，}，则集合中所有元素之和为（ ）A ．2B ．-2C ．0D ．【答案】B【解析】试题分析：当或，又因为，所以符合题意；当，，所以符合题意；当，，所以符合题意；当，，所以符合题意；所以，所以集合中所有元素之和为-2.考点：元素与集合的关系.7．曲线在点（1,1）处切线的斜率等于（ ）A ．B ．C ．2D ．1【答案】C【解析】试题分析：由可得：，所以，所以曲线在点处切线的斜率.考点：导数的几何意义.8．.若则（ ）A. B. C. D.1【答案】B【解析】试题分析：令，则，所以()()()()m m dx x dx m x dx dx x f x dx x f m 2312221021021010210+=+=+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+==⎰⎰⎰⎰⎰， 所以考点：定积分的应用.9．下列四个图中，函数的图象可能是（ ）A B C D 【答案】C【解析】试题分析：因为是奇函数，所以向左平移一个单位可得：，所以的图像关于中心对称，故排除A,D当时，恒成立，所以应选C考点：函数的图像.10．如图所示的是函数的大致图象，则等于（）A．B． C．D．【答案】D【解析】试题分析：由图像可得：，所以，由题意可得：是函数的两个极值点，故是方程的根，所以，则.考点：利用导数研究函数极值.第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明评卷人得分二、填空题（题型注释）11．物体运动方程为，则时瞬时速度为【答案】【解析】试题分析：由题意可得：，所以当时瞬时速度为考点：导数的几何意义.12．已知=是奇函数，则实数的值是【答案】【解析】试题分析：因为，所以对于定义域内的所有的有，即：⇒-+-=+++⇒⎪⎭⎫⎝⎛-+-=⎪⎭⎫⎝⎛+++⇒⎪⎭⎫⎝⎛+--=⎪⎭⎫⎝⎛++axaxxaxaaxaxxaxaaxax211221lg12lg12lg12lg()()111221222222-=⇒⎪⎩⎪⎨⎧==+⇒-+=-aaaxaax考点：奇函数性质的应用.13．如图所示，已知抛物线拱形的底边弦长为，拱高为，其面积为____________.【答案】【解析】试题分析：建立如图所示的坐标系：所以设抛物线的方程为所以函数与轴围成的部分的面积为3|34)4(22322222abxabdxxabsaaaa=⎪⎭⎫⎝⎛-=-=--⎰，所以阴影部分的面积为.考点：定积分的应用.14．不等式的解集为____________．【答案】【解析】试题分析：原不等式等价于设，则在上单调增.所以，原不等式等价于22()(2)212f x f x x x x x >+⇔>+⇔<->或所以原不等式的解集为：.考点：解不等式.15．已知为上增函数，且对任意，都有，则____________．【答案】10【解析】试题分析：令，则且，所以，所以，所以.考点：函数单调性的应用.评卷人得分 三、解答题（题型注释）16．已知函数的定义域为，函数（1）求函数的定义域；（2）若是奇函数，且在定义域上单调递减，求不等式的解集.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）由题意可得：，解此不等式组即可得出函数的定义域；（2）由不等式可得根据单调性得进而可得不等式的解集.试题解析：（1）由题意可知：，解得 3分∴函数的定义域为 4分（2）由得， ∴又∵是奇函数， ∴ 8分又∵在上单调递减，∴ 11分∴的解集为考点：函数的定义域、奇偶性、单调性的应用.17．已知曲线 在点 处的切线 平行直线，且点 在第三象限.（1）求的坐标；（2）若直线 , 且 也过切点 ,求直线的方程.【答案】（1）;（2）.【解析】试题分析：（1）根据曲线方程求出导数，因为已知直线的斜率为4，根据切线与已知直线平行得到斜率都为4，所以令导数等于4得到关于的方程，求出方程的解，即为的横坐标，又因为切点在第三象限，所以即可写出满足条件的切点坐标；（2）直线的斜率为4，根据垂直两直线的斜率之积等于，可得直线的斜率为，又由（1）可知切点的坐标，即可写出直线的方程.试题解析：由，得， 2分由 平行直线得，解之得.当时，; 当时，. 4分又∵点在第三象限,∴切点的坐标为 6分（2）∵直线, 的斜率为4, ∴直线的斜率为, 8分∵过切点,点的坐标为 （－1,－4）∴直线的方程为 11分即 12分考点：利用导数研究曲线方程.18．若实数满足，则称为的不动点．已知函数，其中为常数．（1）求函数的单调递增区间；（2）若存在一个实数，使得既是的不动点，又是的极值点．求实数的值；【答案】（1）当时，的单调递增区间为，当时，的单调递增区间为，；（2）.【解析】试题分析：（1）首先求出函数的导函数，然后根据的取值范围讨论导数的正负进而得出函数的单调区间；（2）由题意可得：，解方程组可得.试题解析：（1）因，故. 1分当时，显然在上单增； 3分当时，由知或. 5分所以，当时，的单调递增区间为；当时，的单调递增区间为， 6分（2）由条件知，于是， 8分即，解得 11分从而. 12分考点：函数性质的综合应用.19．统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量（升）关于行驶速度（千米/小时）的函数解析式可以表示为：3138(0120)12800080y x x x =-+<≤，已知甲、乙两地相距100千米（1）当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？（2）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？【答案】（1）17.5；（2）以80千米／小时的速度匀速行驶时耗油最少,最少为11.25升.【解析】试题分析：利用基本不等式解决实际问题时，应先仔细阅读题目信息，理解题意，明确其中的数量关系，并引入变量，依题意列出相应的函数关系式，然后利用基本不等式求解；（2）在求所列函数的最值时，若用基本不等式时，等号取不到时，可利用函数的单调性求解；（3）基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，常常用于比较数的大小或证明不等式，解决问题的关键是分析不等式两边的结构特点，选择好利用基本不等式的切入点.试题解析：（1）当时，汽车从甲地到乙地行驶了小时， 2分要耗油 4分答当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油17.5升 5分（2）当速度为千米/小时时，汽车从甲地到乙地行驶了小时，设油耗为升，依题意得（） 7分方法一则（） 8分所以当时，有最小值． 11分方法二 8分＝11.25 10分当且仅当时成立，此时可解得 11分答：当汽车以80千米／小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少,最少为11.25升． 12分考点：基本不等式及函数模型的应用.20．已知函数,函数（1）当时,求函数的表达式;（2）若,函数在上的最小值是2 ,求的值;（3）在（2）的条件下,求直线与函数的图象所围成图形的面积.【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】试题分析：（1）对的取值分类讨论，化简绝对值求出得到和导函数相等，代入到即可；（2）根据基本不等式得到的最小值即可求出；（3）根据（2）知，首先联立直线与函数解析式求出交点，利用定积分求出直线与函数图像围成的区域的面积即可.试题解析：（1）∵,∴当时,，当时,,.∴当时,函数. 4分（2）∵由（1）知当时,,∴当时, 当且仅当时取等号.∴函数在上的最小值是,∴依题意得∴. 8分（3）由解得∴直线与函数的图象所围成图形的面积= 13分考点：导数及函数单调性、定积分的应用.21．设关于的方程有两个实根，函数.（1）求的值；（2）判断在区间的单调性，并加以证明；（3）若均为正实数，证明：f f λαμβμαλβαβλμλμ⎛⎫⎛⎫++-<- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭【答案】（1）＋；（2）单调递增；（3）见解析.【解析】试题分析：（1）因为是方程的的两个实根，利用韦达定理即可得到的解析式，求出进而即可求出的值；（2）利用导数及二次函数的图像来讨论导数的正负，即可判断函数的单调性；（3）首先求出的取值范围，然后根据函数的单调性判断出函数值的取值范围，把两个函数值相减即可得到要证的结论.试题解析：（1）∵是方程的两个根， ∴，， 1分∴，又，∴， 3分即，同理可得∴＋ 4分（2）∵， 6分将代入整理的 7分又，∴在区间的单调递增; 8分（3）∵，∴ 10分由（2）可知，同理()()f f f f λαμβμαλβαβλμλμ⎛⎫⎛⎫++-<- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭12分由（1）可知，，， ∴11()()||||||f f αβαβαβαβαβ--=-==- ∴f f λαμβμαλβαβλμλμ⎛⎫⎛⎫++-<- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭14分考点：函数与方程、函数的单调性、不等式的证明.I37858 93E2 鏢vCL35541 8AD5 諕731076 7964 祤31161 79B9 禹3@36434 8E52 蹒22231 56D7 囗25356 630C 挌38136 94F8 铸。

2021年高三10月月考数学(理)试卷 含解析

2021年高三10月月考数学(理)试卷 含解析

2021年高三10月月考数学（理）试卷含解析一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1．已知复数z=（1+i）（2﹣i）（i为虚数单位），则= ．2．设集合 M={x|x2+x﹣6＜0}，N={x|1≤x≤3}，则M∩N=．3．某算法流程图如图所示，则输出k的值是．4．已知α是第二象限角，且sinα=，则tan（α+）= ．5．曲线y=2lnx在点（e，2）处的切线（e是自然对数的底）与y轴交点坐标为．6．已知函数，则的值为．7．对任意的θ∈（0，），不等式+≥|2x﹣1|恒成立，则实数x的取值范围是．8．求“方程3x+4x=5x的解”有如下解题思路：设，则f（x）在R上单调递减，且f（2）=1，所以原方程有唯一解x=2．类比上述解题思路，方程的解为．9．如图所示，已知点O为△ABC的重心，OA⊥OB，AB=6，则•的值为．10．若函数，则函数y=f（f（x））的值域是．11．已知函数f（x）=（a∈R）．若存在实数m，n，使得f（x）≥0的解集恰为[m，n]，则a的取值范围是．12．设曲线y=（ax﹣1）e x在点A（x0，y1）处的切线为l1，曲线y=（1﹣x）e﹣x在点B（x0，y2）处的切线为l2．若存在，使得l1⊥l2，则实数a的取值范围为．13．已知f（x）是定义在[1，+∞]上的函数，且f（x）=，则函数y=2xf（x）﹣3在区间（1，xx）上零点的个数为．14．若存在α，β∈R，使得，则实数t的取值范围是．二、解答题（本大题共6小题，共90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）15．（15分）已知函数．（1）设，且，求θ的值；（2）在△ABC中，AB=1，，且△ABC的面积为，求sinA+sinB的值．16．（15分）已知二次函数f（x）=ax2﹣bx+1．（1）若f（x）＜0的解集是（，），求实数a，b的值；（2）若a为正整数，b=a+2，且函数f（x）在[0，1]上的最小值为﹣1，求a的值．17．（15分）如图，一个半圆和长方形组成的铁皮，长方形的边AD为半圆的直径，O为半圆的圆心，AB=1，BC=2，现要将此铁皮剪出一个等腰三角形PMN，其底边MN⊥BC．（1）设∠MOD=30°，求三角形铁皮PMN的面积；（2）求剪下的铁皮三角形PMN面积的最大值．18．（15分）已知函数f（x）=+，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为x+2y﹣3=0．（Ⅰ）求a、b的值；（Ⅱ）证明：当x＞0，且x≠1时，f（x）＞．19．（15分）心理学家研究某位学生的学习情况发现：若这位学生刚学完的知识存留量为1，则x天后的存留量；若在t（t＞4）天时进行第一次复习，则此时存留量比未复习情况下增加一倍（复习的时间忽略不计），其后存留量y2随时间变化的曲线恰好为直线的一部分，其斜率为，存留量随时间变化的曲线如图所示．当进行第一次复习后的存留量与不复习的存留量相差最大时，则称此时刻为“二次复习最佳时机点”（1）若a=﹣1，t=5，求“二次复习最佳时机点”；（2）若出现了“二次复习最佳时机点”，求a的取值范围．20．（15分）已知函数f（x）=x3+ax2+b（a，b∈R）．（1）试讨论f（x）的单调性；（2）若b=c﹣a（实数c是与a无关的常数），当函数f（x）有三个不同的零点时，a的取值范围恰好是（﹣∞，﹣3）∪（1，）∪（，+∞），求c的值．xx学年江苏省连云港市灌南县华侨双语学校高三（上）10月月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1．（xx•江苏模拟）已知复数z=（1+i）（2﹣i）（i为虚数单位），则=3﹣i．【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【专题】数系的扩充和复数．【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．【解答】解：由z=（1+i）（2﹣i）=3+i，∴=3﹣i．故答案为：3﹣i．【点评】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，考查了计算能力，属于基础题．2．（xx•江苏三模）设集合M={x|x2+x﹣6＜0}，N={x|1≤x≤3}，则M∩N=[1，2）．【考点】交集及其运算．【专题】计算题．【分析】求出集合M中不等式的解集，确定出集合M，找出M与N解集的公共部分，即可求出两集合的交集．【解答】解：由集合M中不等式x2+x﹣6＜0，分解因式得：（x﹣2）（x+3）＜0，解得：﹣3＜x＜2，∴M=（﹣3，2），又N={x|1≤x≤3}=[1，3]，则M∩N=[1，2）．故答案为：[1，2）【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．3．（xx•江苏模拟）某算法流程图如图所示，则输出k的值是5．【考点】程序框图．【专题】计算题；算法和程序框图．【分析】根据题意，模拟程序框图的运行过程，即可得出该程序运行后输出的结果．【解答】解：模拟程序框图的运行过程，得；k=1，S=10﹣1=9；k=2，S=9﹣2=7；k=3，S=7﹣3=4；k=4，S=4﹣4=0；S≤0，输出k=4+1=5．故答案为：5．【点评】本题考查了循环结构的程序框图应用问题，解题时应模拟程序的运行过程，是基础题目．4．（xx•江苏四模）已知α是第二象限角，且sinα=，则tan（α+）=．【考点】两角和与差的正切函数．【专题】三角函数的求值．【分析】由同角三角函数基本关系可得tanα，代入两角和的正切公式可得．【解答】解：∵α是第二象限角sinα=，∴cosα=﹣=﹣，∴tanα==﹣，∴tan（α+）==．故答案为：【点评】本题考查两角和的正切公式，涉及同角三角函数基本关系，属基础题．5．（xx秋•仪征市期末）曲线y=2lnx在点（e，2）处的切线（e是自然对数的底）与y轴交点坐标为（0，0）．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】导数的综合应用．【分析】求出曲线方程的导函数，把切点横坐标代入导函数中表示出的导函数值即为切线的斜率，由切点坐标和斜率表示出切线方程，把x=0代入切线方程中即可求出y轴交点坐标．【解答】解：对y=2lnx求导得：y′=，∵切点坐标为（e，2），所以切线的斜率k=，则切线方程为：y﹣2=（x﹣e），把x=0代入切线方程得：y=0，所以切线与y轴交点坐标为（0，0）．故答案为：（0，0）．【点评】本题的解题思想是把切点的横坐标代入曲线方程的导函数中求出切线的斜率，进而写出切线方程．6．（xx•盐城三模）已知函数，则的值为．【考点】二倍角的正弦；同角三角函数基本关系的运用；二倍角的余弦．【专题】计算题．【分析】利用公式tanx=、sin2α=2sinαcosα、cos2α=2cos2α﹣1即可化简求值．【解答】解：因为f（x）==，所以f（）=．【点评】本题考查同角三角函数的基本关系及正余弦的倍角公式．7．（xx•江苏模拟）对任意的θ∈（0，），不等式+≥|2x﹣1|恒成立，则实数x的取值范围是[﹣4，5] ．【考点】基本不等式．【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值；不等式．【分析】θ∈（0，），可得+=（sin2θ+cos2θ）=5+，利用基本不等式的性质即可得出最小值．根据对任意的θ∈（0，），不等式+≥|2x﹣1|恒成立，可得|2x﹣1|≤，即可得出．【解答】解：∵θ∈（0，），∴+=（sin2θ+cos2θ）=5+≥=9，当且仅当tanθ=时取等号．∵对任意的θ∈（0，），不等式+≥|2x﹣1|恒成立，∴|2x﹣1|≤=9，∴﹣9≤2x﹣1≤9，解得﹣4≤x≤5．∴实数x的取值范围是[﹣4，5]．故答案为：[﹣4，5]．【点评】本题考查了基本不等式的性质、同角三角函数基本关系式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．8．（xx春•姜堰市期中）求“方程3x+4x=5x的解”有如下解题思路：设，则f（x）在R上单调递减，且f（2）=1，所以原方程有唯一解x=2．类比上述解题思路，方程的解为﹣1或1．【考点】类比推理．【专题】计算题；推理和证明．【分析】类比求求“方程3x+4x=5x的解”的解题思路，设f（x）=x3+x，利用导数研究f（x）在R上单调递增，从而根据原方程可得x=，解之即得方程的解．【解答】解：类比上述解题思路，设f（x）=x3+x，由于f′（x）=3x2+1≥0，则f（x）在R 上单调递增，∵，∴x=，解之得，x=﹣1或1．故答案为：﹣1或1．【点评】本题主要考查了类比推理，考查了导数与单调性的关系，函数单调性的应用，属于中档题．9．（xx•江苏模拟）如图所示，已知点O为△ABC的重心，OA⊥OB，AB=6，则•的值为72．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】计算题；平面向量及应用．【分析】由三角形的重心的向量表示，可得=﹣（+），由向量的三角形法则，代入向量OC，再由向量垂直的条件和勾股定理，计算即可得到所求值．【解答】解：连接CO延长交AB于M，则由O为重心，则M为中点，且=﹣2=﹣2×（+）=﹣（+），由OA⊥OB，AB=6，则=0，+==36．则•=（﹣）•（﹣）=（2+）（2+）=5+2（+）=0+2×36=72．故答案为：72．【点评】本题考查三角形重心的向量表示，考查向量垂直的条件，考查向量的平方即为模的平方，考查运算能力，属于中档题．10．（2011•江苏二模）若函数，则函数y=f（f（x））的值域是．【考点】指数函数的定义、解析式、定义域和值域；函数的值域．【专题】计算题；分类讨论．【分析】讨论x的正负，代入相应的解析式，然后求出函数f（x）的值域，再代入相应的解析式，求出y=f（f（x））的值域，即可求出所求．【解答】解：设x＜0，则f（x）=2x∈（0，1）∴y=f（f（x））=f（2x）当x∈（0，1）时f（x）=﹣2﹣x∈（﹣1，﹣）设x＞0，则f（x）=﹣2﹣x∈（﹣1，0）∴y=f（f（x））=f（﹣2﹣x）当x∈（﹣1，0）时f（x）=2x∈（，1）综上所述：y=f（f（x））的值域是故答案为：【点评】本题主要考查了指数函数的值域，以及复合函数的值域问题，同时考查了分类讨论的思想，属于中档题．11．（xx•徐州三模）已知函数f（x）=（a∈R）．若存在实数m，n，使得f（x）≥0的解集恰为[m，n]，则a的取值范围是（0，）．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．【专题】函数的性质及应用；导数的综合应用．【分析】分别讨论a的取值范围，利用参数分离法，结合导数研究函数的最值即可得到结论．【解答】解：当a=0时，f（x）==＞0，则不存在f（x）≥0的解集恰为[m，n]，当a＜0时，f（x）=＞0，此时函数f（x）单调递减，则不存在f（x）≥0的解集恰为[m，n]，当a＞0时，由f（x）≥0得，当x＜0，＞0，，此时（x）=＞0，则f（x）≥0的解集为（﹣∞，0），不满足条件，当x＞0时，不等式等价为a，设g（x）=，则g，当x＞1时，g′（x）＜0，当0＜x＜1时，g′（x）＞0，即当x=1时，g（x）取得极大值，同时也是最大值g（1）=，∴若存在实数m，n，使得f（x）≥0的解集恰为[m，n]，则必有a，即0＜a，故答案为：（0，）【点评】本题主要考查导数的综合应用，考查分类讨论的数学思想，综合性较强，难度较大．12．（xx•徐州模拟）设曲线y=（ax﹣1）e x在点A（x0，y1）处的切线为l1，曲线y=（1﹣x）e﹣x在点B（x0，y2）处的切线为l2．若存在，使得l1⊥l2，则实数a的取值范围为．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；函数的值域；两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系．【专题】计算题．【分析】根据曲线方程分别求出导函数，把A和B的横坐标x0分别代入到相应的导函数中求出切线l1和切线为l2的斜率，然后根据两条切线互相垂直得到斜率乘积为﹣1，列出关于等式由解出，然后根据为减函数求出其值域即可得到a的取值范围．【解答】解：函数y=（ax﹣1）e x的导数为y′=（ax+a﹣1）e x，∴l1的斜率为，函数y=（1﹣x）e﹣x的导数为y′=（x﹣2）e﹣x∴l2的斜率为，由题设有k1•k2=﹣1从而有∴a（x02﹣x0﹣2）=x0﹣3∵得到x02﹣x0﹣2≠0，所以，又a′=，另导数大于0得1＜x0＜5，故在（0，1）是减函数，在（1，）上是增函数，x0=0时取得最大值为=；x0=1时取得最小值为1．∴故答案为：【点评】此题是一道综合题，考查学生会利用导数求切线的斜率，会求函数的值域，掌握两直线垂直时斜率的关系．13．（xx•崇川区校级一模）已知f（x）是定义在[1，+∞]上的函数，且f（x）=，则函数y=2xf （x）﹣3在区间（1，xx）上零点的个数为11．【考点】函数零点的判定定理．【专题】计算题；函数的性质及应用．【分析】令函数y=2xf（x）﹣3=0，得到方程f（x）=，从而化函数的零点为方程的根，再转化为两个函数的交点问题，从而解得．【解答】解：令函数y=2xf（x）﹣3=0，得到方程f（x）=，当x∈[1，2）时，函数f（x）先增后减，在x=时取得最大值1，而y=在x=时也有y=1；当x∈[2，22）时，f（x）=f（），在x=3处函数f（x）取得最大值，而y=在x=3时也有y=；当x∈[22，23）时，f（x）=f（），在x=6处函数f（x）取得最大值，而y=在x=6时也有y=；…，当x∈[210，211）时，f（x）=f（），在x=1536处函数f（x）取得最大值，而y=在x=1536时也有y=；综合以上分析，将区间（1，xx）分成11段，每段恰有一个交点，所以共有11个交点，即有11个零点．故答案为：11．【点评】本题考查了函数的零点与方程的根的关系及函数的交点的应用，属于基础题．14．（xx•泰州二模）若存在α，β∈R，使得，则实数t的取值范围是[，1] ．【考点】三角函数中的恒等变换应用．【专题】计算题；函数思想；综合法；导数的综合应用；三角函数的求值．【分析】由α≤α﹣5cosβ，得到cosβ＜0，由已知α≤t，即，令，则f′（t）=，令f′（t）=0，则sinβ=0，当sinβ=0时，f（t）取得最小值，然后由t≤α﹣5cosβ，即，令，则．令f′（t）=0，则sinβ=0．当sinβ=0时，f（t）取得最大值．【解答】解：∵α≤α﹣5cosβ，∴0≤﹣5cosβ．∴cosβ＜0．∵α≤t，∴，即．令，则f′（t）==，令f′（t）=0，则sinβ=0．∴当sinβ=0时，f（t）取得最小值．f（t）=．∵t≤α﹣5cosβ，∴α≥t+5cosβ．∴即．令，则．令f′（t）=0，则sinβ=0．当sinβ=0时，f（t）取得最大值．f（t）=．则实数t的取值范围是：[，1]．故答案为：[，1]．【点评】本题考查了三角函数的恒等变换应用，考查了导数的综合运用，计算量大，具有一定的难度，是难题．二、解答题（本大题共6小题，共90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）15．（15分）（xx•河南校级二模）已知函数．（1）设，且，求θ的值；（2）在△ABC中，AB=1，，且△ABC的面积为，求sinA+sinB的值．【考点】余弦定理；同角三角函数基本关系的运用；两角和与差的余弦函数；正弦定理．【专题】计算题．【分析】（1）利用二倍角公式及辅助角公式对函数化简可得，f（x）=2cos（x+）+，由可得，cos（θ+）=，结合已知可求θ的值；（2）由（1）知由已知面积可得，从而有由余弦定理得可得a2+b2=再由正弦定理得可求．【解答】解：（1）==．（3分）由得于是（k∈Z）因为所以（7分）（2）因为C∈（0，π），由（1）知．（9分）因为△ABC的面积为，所以，于是．①在△ABC中，设内角A、B的对边分别是a，b．由余弦定理得，所以a2+b2=7．②由①②可得或于是．（12分）由正弦定理得，所以．（14分）【点评】（1）考查了二倍角公式的变形形式的应用，辅助角公式可以把函数化为一个角的三角函数，进而可以研究三角函数的性（2）考查了正弦定理及余弦定理及三角形的面积公式的综合运用．16．（15分）（xx秋•徐州期中）已知二次函数f（x）=ax2﹣bx+1．（1）若f（x）＜0的解集是（，），求实数a，b的值；（2）若a为正整数，b=a+2，且函数f（x）在[0，1]上的最小值为﹣1，求a的值．【考点】一元二次不等式的解法；二次函数在闭区间上的最值．【专题】计算题．【分析】（1）由一元二次不等式的解集与一元二次方程的根的关系可以得出，ax2﹣bx+1=0的解是x1=，x2=，由根系关系即可求得实数a，b的值；（1）将已知中函数f（x）化为顶点式的形式，再结合函数f（x）的最小值为﹣1，易得一个关于a的方程，解方程即可求出答案．【解答】解：（1）不等式ax2﹣bx+1＞0的解集是（，），故方程ax2﹣bx+1=0的两根是x1=，x2=，所以=x1x2=，=x1+x2=，所以a=12，b=7．（2）∵b=a+2，∴f（x）=ax2﹣（a+2）x+1=a（x﹣）2﹣+1，对称轴x==+，当a≥2时，x==+∈（，1]，∴f（x）min=f（）=1﹣=﹣1，∴a=2；当a=1时，x==+=，∴f（x）min=f（1）=﹣1成立．综上可得：a=1或a=2．【点评】本题考查的知识点是二次函数的性质，二次函数在闭区间上的最值，其中熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键．17．（15分）（xx•信阳一模）如图，一个半圆和长方形组成的铁皮，长方形的边AD为半圆的直径，O为半圆的圆心，AB=1，BC=2，现要将此铁皮剪出一个等腰三角形PMN，其底边MN⊥BC．（1）设∠MOD=30°，求三角形铁皮PMN的面积；（2）求剪下的铁皮三角形PMN面积的最大值．【考点】两角和与差的正弦函数．【专题】应用题；三角函数的图像与性质．【分析】（1）设MN交AD交于Q点由∠MOD=30°，利用锐角三角函数可求MQ，OQ，=MN•AQ可求进而可求MN，AQ，代入S△PMN（2）设∠MOQ=θ，由θ∈[0，]，结合锐角三角函数的定义可求MQ=sinθ，OQ=cosθ，代=MN•AQ=（1+sinθ）（1+cosθ）展开利用换元法，转化为二次入三角形的面积公式S△PMN函数的最值求解【解答】解：（1）设MN交AD交于Q点∵∠MOD=30°，∴MQ=，OQ=（算出一个得2分）=MN•AQ=××（1+）=…（6分）S△PMN（2）设∠MOQ=θ，∴θ∈[0，]，MQ=sinθ，OQ=cosθ=MN•AQ=（1+sinθ）（1+cosθ）∴S△PMN=（1+sinθcosθ+sinθ+cosθ）…．（11分）令sinθ+cosθ=t∈[1，]，=（t+1+）∴S△PMNθ=，当t=，的最大值为．…..…（14分）∴S△PMN【点评】本题主要考查了三角函数的定义的应用及利用三角函数求解函数的最值，换元法的应用是求解的关键18．（15分）（2011•新课标）已知函数f（x）=+，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为x+2y﹣3=0．（Ⅰ）求a、b的值；（Ⅱ）证明：当x＞0，且x≠1时，f（x）＞．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；导数在最大值、最小值问题中的应用．【专题】综合题；压轴题；分类讨论；转化思想．【分析】（I）据切点在切线上，求出切点坐标；求出导函数；利用导函数在切点处的值为切线的斜率及切点在曲线上，列出方程组，求出a，b的值．（II）构造新函数，求出导函数，通过研究导函数的符号判断出函数的单调性，求出函数的最值，证得不等式．【解答】解：（I）．由于直线x+2y﹣3=0的斜率为﹣，且过点（1，1）所以解得a=1，b=1（II）由（I）知f（x）=所以考虑函数，则所以当x≠1时，h′（x）＜0而h（1）=0，当x∈（0，1）时，h（x）＞0可得；当从而当x＞0且x≠1时，【点评】本题考查导函数的几何意义：在切点处的导数值为切线的斜率、考查通过判断导函数的符号求出函数的单调性；通过求函数的最值证明不等式恒成立．19．（15分）（2011•江苏二模）心理学家研究某位学生的学习情况发现：若这位学生刚学完的知识存留量为1，则x天后的存留量；若在t（t＞4）天时进行第一次复习，则此时存留量比未复习情况下增加一倍（复习的时间忽略不计），其后存留量y2随时间变化的曲线恰好为直线的一部分，其斜率为，存留量随时间变化的曲线如图所示．当进行第一次复习后的存留量与不复习的存留量相差最大时，则称此时刻为“二次复习最佳时机点”（1）若a=﹣1，t=5，求“二次复习最佳时机点”；（2）若出现了“二次复习最佳时机点”，求a的取值范围．【考点】函数模型的选择与应用．【专题】综合题；函数的性质及应用．【分析】（1）第一次复习后的存留量是y2，不复习时的存留量为y1，复习后与不复习的存留量差是y=y2﹣y1；把a、t代入，整理即得所求；（2）求出知识留存量函数y=+﹣（t＞4，且t、a是常数，x是自变量），y取最大值时对应的t、a取值范围即可．【解答】解：（1）设第一次复习后的存留量与不复习的存留量之差为y，由题意，第一次复习后的存留量是，不复习的存留量为；∴；当a=﹣1，t=5时，=≤=，当且仅当x=14时取等号，所以“二次复习最佳时机点”为第14天．（2）知识留存量函数=≤，当且仅当时取等号，由题意，所以﹣4＜a＜0．【点评】本题考查了含有字母参数的函数类型的应用，题目中应用基本不等式a+b≥2（a ＞0，b＞0）求出最值，有难度，是综合题．20．（15分）（xx•江苏）已知函数f（x）=x3+ax2+b（a，b∈R）．（1）试讨论f（x）的单调性；（2）若b=c﹣a（实数c是与a无关的常数），当函数f（x）有三个不同的零点时，a的取值范围恰好是（﹣∞，﹣3）∪（1，）∪（，+∞），求c的值．【考点】利用导数研究函数的单调性；函数零点的判定定理．【专题】综合题；导数的综合应用．【分析】（1）求导数，分类讨论，利用导数的正负，即可得出f（x）的单调性；（2）由（1）知，函数f（x）的两个极值为f（0）=b，f（﹣）=+b，则函数f（x）有三个不同的零点等价于f（0）f（﹣）=b（+b）＜0，进一步转化为a＞0时，﹣a+c＞0或a＜0时，﹣a+c＜0．设g（a）=﹣a+c，利用条件即可求c的值．【解答】解：（1）∵f（x）=x3+ax2+b，∴f′（x）=3x2+2ax，令f′（x）=0，可得x=0或﹣．a=0时，f′（x）＞0，∴f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增；a＞0时，x∈（﹣∞，﹣）∪（0，+∞）时，f′（x）＞0，x∈（﹣，0）时，f′（x）＜0，∴函数f（x）在（﹣∞，﹣），（0，+∞）上单调递增，在（﹣，0）上单调递减；a＜0时，x∈（﹣∞，0）∪（﹣，+∞）时，f′（x）＞0，x∈（0，﹣）时，f′（x）＜0，∴函数f（x）在（﹣∞，0），（﹣，+∞）上单调递增，在（0，﹣）上单调递减；（2）由（1）知，函数f（x）的两个极值为f（0）=b，f（﹣）=+b，则函数f（x）有三个不同的零点等价于f（0）＞0，且f（﹣）＜0，∴b＞0且+b＜0，∵b=c﹣a，∴a＞0时，﹣a+c＞0或a＜0时，﹣a+c＜0．设g（a）=﹣a+c，∵函数f（x）有三个不同的零点时，a的取值范围恰好是（﹣∞，﹣3）∪（1，）∪（，+∞），∴在（﹣∞，﹣3）上，g（a）＜0且在（1，）∪（，+∞）上g（a）＞0均恒成立，∴g（﹣3）=c﹣1≤0，且g（）=c﹣1≥0，∴c=1，此时f（x）=x3+ax2+1﹣a=（x+1）[x2+（a﹣1）x+1﹣a]，∵函数有三个零点，∴x2+（a﹣1）x+1﹣a=0有两个异于﹣1的不等实根，∴△=（a﹣1）2﹣4（1﹣a）＞0，且（﹣1）2﹣（a﹣1）+1﹣a≠0，解得a∈（﹣∞，﹣3）∪（1，）∪（，+∞），综上c=1．【点评】本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性，考查函数的零点，考查分类讨论的数学思想，难度大．28094 6DBE 涾37302 91B6 醶39449 9A19 騙E21759 54FF 哿20781 512D 儭31582 7B5E 筞31135 799F 禟Q29265 7251 牑35431 8A67 詧32475 7EDB 绛。

2021年高三10月月考数学试卷 含解析

2021年高三10月月考数学试卷 含解析

2021年高三10月月考数学试卷含解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分，请把答案填写在答题卡的相应位置上.1．抛物线y=4x2的焦点坐标是．2．复数z满足iz=|1﹣i|，则z的虚部为．3．运行如图所示的程序，输出的结果是．4．甲、乙两名考生填报志愿，要求甲、乙只能在A、B、C这3所院校中选择一所填报志愿．假设每位同学选择各个院校是等可能的，则院校A、B至少有一所被选择的概率为．5．为了了解某次参加知识竞赛的1252名学生的成绩，决定采用系统抽样的方法抽取一个容量为50的样本，那么总体中应随机剔除的个体数目是．6．命题“若α是锐角，则sinα＞0”的否命题是．7．已知+=2，则a= ．8．在等比数列{an }中，已知a1=1，ak=243，q=3，则数列{an}的前k项的和Sk= ．9．求值：4sin20°+tan20°=．10．设l是一条直线，α，β，γ是不同的平面，则在下列命题中，假命题是．①如果α⊥β，那么α内一定存在直线平行于β②如果α不垂直于β，那么α内一定不存在直线垂直于β③如果α⊥γ，β⊥γ，α∩β=l，那么l⊥γ④如果α⊥β，l与α，β都相交，那么l与α，β所成的角互余．11．向量=（cos10°，sin10°），=（cos70°，sin70°），|﹣2|=．12．若正实数x，y，z满足x+y+z=1，则+的最小值是．13．将函数f（x）=sinωx的图象向右平移个单位长度，所得图象与g（x）=cosωx的图象重合，则正数ω的最小值是．14．设函数f（x）=lnx+，m∈R，若对任意b＞a＞0，＜1恒成立，则m的取值范围为．二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤.15．（14分）设向量=（2，sinθ），=（1，cosθ），θ为锐角．（1）若•=，求sinθ+cosθ的值；（2）若∥，求sin（2θ+）的值．16．（14分）如图，在四面体ABCD中，AB=AC=DB=DC，点E是BC的中点，点F在线段AC上，且=λ．（1）若EF∥平面ABD，求实数λ的值；（2）求证：平面BCD⊥平面AED．17．（14分）已知数列{a n}的各项均为正数，其前n项和S n=（a n﹣1）（a n+2），n∈N*．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=（﹣1）n a n a n+1，求数列{b n}的前2n项的和T2n．18．（16分）某企业投入81万元经销某产品，经销时间共60个月，市场调研表明，该企业在经销这个产品期间第x个月的利润（单位：万元），为了获得更多的利润，企业将每月获得的利润投入到次月的经营中，记第x个月的当月利润率，例如：．（1）求g（10）；（2）求第x个月的当月利润率g（x）；（3）该企业经销此产品期间，哪个月的当月利润率最大，并求该月的当月利润率．19．（16分）已知椭圆E：的离心率为，且过点，设椭圆的右准线l与x轴的交点为A，椭圆的上顶点为B，直线AB被以原点为圆心的圆O所截得的弦长为．（1）求椭圆E的方程及圆O的方程；（2）若M是准线l上纵坐标为t的点，求证：存在一个异于M的点Q，对于圆O上任意一点N，有为定值；且当M在直线l上运动时，点Q在一个定圆上．20．（16分）设函数f（x）=x（x﹣1）2，x＞0．（1）求f（x）的极值；（2）设0＜a≤1，记f（x）在（0，a]上的最大值为F（a），求函数的最小值；（3）设函数g（x）=lnx﹣2x2+4x+t（t为常数），若使g（x）≤x+m≤f（x）在（0，+∞）上恒成立的实数m有且只有一个，求实数m和t的值．A.（附加题A.）[选修4-2：矩阵与变换]21．求曲线|x|+|y|=1在矩阵M=对应的变换作用下得到的曲线所围成图形的面积．B．[选修4-4：坐标系与参数方程]．22．在极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ+2sinθ，以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为（t为参数），求直线l被曲线C所截得的弦长．六、[必做题]第22题，第23题，每题10分，共计20分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．23．（10分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD是边长为2的菱形，∠ABC=60°，PA=，M为PC的中点．（1）求异面直线PB与MD所成的角的大小；（2）求平面PCD与平面PAD所成的二面角的正弦值．24．（10分）若存在n个不同的正整数a1，a2，…，a n，对任意1≤i＜j≤n，都有∈Z，则称这n个不同的正整数a1，a2，…，a n为“n个好数”．（1）请分别对n=2，n=3构造一组“好数”；（2）证明：对任意正整数n（n≥2），均存在“n个好数”．xx学年江苏省南京一中实验学校高三（上）10月月考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分，请把答案填写在答题卡的相应位置上.1．抛物线y=4x2的焦点坐标是．【考点】抛物线的简单性质．【专题】计算题．【分析】先化简为标准方程，进而可得到p的值，即可确定答案．【解答】解：由题意可知∴p=∴焦点坐标为故答案为【点评】本题主要考查抛物线的性质．属基础题．2．复数z满足iz=|1﹣i|，则z的虚部为．【考点】复数代数形式的乘除运算．【专题】计算题；转化思想；数学模型法；数系的扩充和复数．【分析】由iz=|1﹣i|，得，然后利用复数代数形式的乘除运算化简复数z得答案．【解答】解：由iz=|1﹣i|，得=，则z的虚部为：．故答案为：．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．3．运行如图所示的程序，输出的结果是﹣1．【考点】赋值语句．【专题】对应思想；试验法；算法和程序框图．【分析】模拟程序语言的运行过程，即可得出程序运行后输出的结果．【解答】解：模拟程序语言的运行过程，如下；a=1，b=2，a=1+2=3，b=2﹣3=﹣1；输出b=﹣1．故答案为：﹣1．【点评】本题考查了程序语言的语言问题，是基础题目．4．甲、乙两名考生填报志愿，要求甲、乙只能在A、B、C这3所院校中选择一所填报志愿．假设每位同学选择各个院校是等可能的，则院校A、B至少有一所被选择的概率为．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【专题】计算题；转化思想；综合法；概率与统计．【分析】院校A、B至少有一所被选择的对立事件是院校A、B都没有被选择，由此利用对立事件概率计算公式能求出院校A、B至少有一所被选择的概率．【解答】解：甲、乙两名考生填报志愿，要求甲、乙只能在A、B、C这3所院校中选择一所填报志愿．假设每位同学选择各个院校是等可能的，则基本事件总数n=3×3=9，院校A、B至少有一所被选择的对立事件是院校A、B都没有被选择，∴院校A、B至少有一所被选择的概率：p=1﹣=．故答案为：．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对立事件概率计算公式的合理运用．5．为了了解某次参加知识竞赛的1252名学生的成绩，决定采用系统抽样的方法抽取一个容量为50的样本，那么总体中应随机剔除的个体数目是2．【考点】系统抽样方法．【专题】计算题．【分析】从容量为N的总体中抽取容量为n的样本，系统抽样的前面两个步骤是：（1）将总体中的N个个体进行编号；（2）将整个编号按k分段，当为整数时，k=；当不是整数时，从总体中剔除一些个体，使剩下的总体中的个体的个数N′能被n整除，本题中学生总数不能被容量整除，故应从总体中随机剔除个体，保证整除即可．【解答】解：学生总数不能被容量整除，根据系统抽样的方法，应从总体中随机剔除个体，保证整除．∵1252=50×25+2，故应从总体中随机剔除个体的数目是2，故答案为：2．【点评】本题考查系统抽样，系统抽样的步骤，得到总数不能被容量整除时，应从总体中随机剔除个体，保证整除是解题的关键，属于基础题．6．命题“若α是锐角，则sinα＞0”的否命题是若α不是锐角，则sinα≤0．【考点】四种命题间的逆否关系．【专题】探究型．【分析】根据否命题与原命题之间的关系求解即可．【解答】解：根据否命题的定义可知，命题“若α是锐角，则sinα＞0”的否命题是：若α不是锐角，则sinα≤0．故答案为：若α不是锐角，则sinα≤0．【点评】本题主要考查四种命题之间的关系，比较基础．7．（xx•海门市校级模拟）已知+=2，则a=．【考点】对数的运算性质．【专题】计算题．【分析】利用换底公式对等式进行化简，便可求出a值．【解答】解：，可化为log a2+log a3=2，即log a6=2，所以a2=6，又a＞0，所以a=．故答案为：．【点评】本题主要考查对数的运算性质及其应用，考查运算能力，熟记相关公式并能灵活应用是解决该类题目的基础．8．在等比数列{a n}中，已知a1=1，a k=243，q=3，则数列{a n}的前k项的和S k=364．【考点】等比数列的前n项和；等比数列的通项公式．【专题】等差数列与等比数列．【分析】已知首项和公比，可以求出等比数列的前n项和公式，再代入a k=243，根据等比数列前n项和公式进行求解；【解答】解：等比数列前n项和为s n=，∵等比数列{a n}中，已知a1=1，a k=243，q=3，∴数列{a n}的前k项的和S k===364，故答案为：364；【点评】此题主要考查等比数列前n项和公式，直接代入公式进行求解，会比较简单；9．求值：4sin20°+tan20°=．【考点】三角函数的恒等变换及化简求值．【专题】计算题．【分析】把所求的式子利用同角三角函数间的基本关系切化弦后通分，再利用二倍角的正弦函数公式化简，利用和差化积公式及特殊角的三角函数值化简后，利用诱导公式及和差化积再化简，即可求出值．【解答】解：4sin20°+tan20°=4sin20°+======．故答案为：【点评】此题考查学生灵活运用同角三角函数间的基本关系化简求值，灵活运用和差化积公式及特殊角的三角函数值化简求值，是一道基础题．10．设l是一条直线，α，β，γ是不同的平面，则在下列命题中，假命题是④．①如果α⊥β，那么α内一定存在直线平行于β②如果α不垂直于β，那么α内一定不存在直线垂直于β③如果α⊥γ，β⊥γ，α∩β=l，那么l⊥γ④如果α⊥β，l与α，β都相交，那么l与α，β所成的角互余．【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【专题】综合题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离．【分析】利用面面垂直的判定定理和性质定理对四个命题分别分析解答．【解答】解：①如果α⊥β，那么α与β一定相交，所以在α内一定存在直线平行于β；正确；②如果α不垂直于β，α，β又不同，那么α与β相交不垂直或者平行，所以α内一定不存在直线垂直于β；正确；③如果α⊥γ，β⊥γ，α∩β=l，根据面面垂直的性质定理以及线面垂直的判定定理和性质定理，可以得到l⊥γ；故③正确；④如果α⊥β，l与α，β都相交，当l与交线垂直时，l与α，β所成的角互余；当直线l与交线不垂直，l与α，β所成的不角互余；故④错误；故答案为：④．【点评】本题考查了空间平面的位置关系；熟练掌握面面垂直的判定定理和性质定理是正确选择的关键．11．向量=（cos10°，sin10°），=（cos70°，sin70°），|﹣2|=．【考点】向量的模；平面向量数量积的运算．【专题】平面向量及应用．【分析】利用数量积运算及其性质、向量模的计算公式即可得出．【解答】解：∵向量=（cos10°，sin10°），=（cos70°，sin70°），∴=cos10°cos70°+sin10°sin70°=cos（70°﹣10°）=cos60°=．||==1，同理=1．∴|﹣2|===．故答案为：．【点评】本题考查了数量积运算及其性质、向量模的计算公式，属于基础题．12．若正实数x，y，z满足x+y+z=1，则+的最小值是3．【考点】基本不等式．【专题】转化法；不等式．【分析】由题意：x+y+z=1，那么，利用基本不等式求解．【解答】解：由题意：x、y、z＞0，满足x+y+z=1．则+==1+当且仅当z=x+y=时，取等号．∴+的最小值为3．故答案为：3．【点评】本题考查了基本不等式的变形化简能力和运用能力．属于基础题．13．将函数f（x）=sinωx的图象向右平移个单位长度，所得图象与g（x）=cosωx的图象重合，则正数ω的最小值是6．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】计算题；函数思想；三角函数的图像与性质．【分析】利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，诱导公式，得出结论．【解答】解：将f（x）=sinωx（ω＞0）的图象向右平移个单位长度后，可得y=sinω（x﹣）=sin（ωx﹣ω）的图象，根据所得图象与函数y=cosωx的图象重合，可得﹣ω•=2kπ+，即ω=﹣8k﹣2，k∈Z，故当k=﹣1时，ω取得最小值为6，故答案是：6．【点评】本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，诱导公式，属于基础题．14．（xx春•宜春校级期末）设函数f（x）=lnx+，m∈R，若对任意b＞a＞0，＜1恒成立，则m的取值范围为[，+∞）．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．【专题】函数思想；综合法；导数的概念及应用．【分析】由b＞a＞0，＜1恒成立，等价于f（b）﹣b＜f（a）﹣a恒成立；即h（x）=f（x）﹣x在（0，+∞）上单调递减；h′（x）≤0，求出m的取值范围．【解答】（Ⅲ）对任意b＞a＞0，＜1恒成立，等价于f（b）﹣b＜f（a）﹣a恒成立；设h（x）=f（x）﹣x=lnx+﹣x（x＞0），则h（b）＜h（a）．∴h（x）在（0，+∞）上单调递减；∵h′（x）=﹣﹣1≤0在（0，+∞）上恒成立，∴m≥﹣x2+x=﹣（x﹣）2+（x＞0），∴m≥；对于m=，h′（x）=0仅在x=时成立；∴m的取值范围是[，+∞）．【点评】本题考查了导数的综合应用问题，解题时应根据函数的导数判定函数的增减性以及求函数的极值和最值，应用分类讨论法，构造函数等方法来解答问题．二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤.15．（14分）（xx•南京二模）设向量=（2，sinθ），=（1，cosθ），θ为锐角．（1）若•=，求sinθ+cosθ的值；（2）若∥，求sin（2θ+）的值．【考点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量共线（平行）的坐标表示；三角函数的恒等变换及化简求值．【专题】计算题；证明题．【分析】（1）根据向量数量积的坐标公式列式并化简，得sinθcosθ=．再由同角三角函数的平方关系，可得（sinθ+cosθ）2的值，结合θ为锐角，开方即得sinθ+cosθ的值；（2）根据两个向量平行的充要条件列式，化简得tanθ=2．再由二倍角的正、余弦公式，结合弦化切的运算技巧，算出sin2θ和cos2θ的值，最后根据两角和的正弦公式，可得sin（2θ+）的值．【解答】解：（1）∵•=2+sinθcosθ=，∴sinθcosθ=．∴（sinθ+cosθ）2=1+2sinθcosθ=．又∵θ为锐角，∴sinθ+cosθ=（舍负）．（2）∵∥，∴2×cosθ=sinθ×1，可得tanθ=2．∴sin2θ=2sinθcosθ===，cos2θ=cos2θ﹣sin2θ===﹣．所以sin（2θ+）=sin2θ+cos2θ=×+×（﹣）=．【点评】本题以平面向量数量积运算为载体，考查了同角三角函数的基本关系、二倍角的正余弦公式和两角和的正弦公式等知识，属于中档题．16．（14分）（xx•南通模拟）如图，在四面体ABCD中，AB=AC=DB=DC，点E是BC的中点，点F在线段AC上，且=λ．（1）若EF∥平面ABD，求实数λ的值；（2）求证：平面BCD⊥平面AED．【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．【专题】计算题．【分析】（1）因为EF∥平面ABD，所以EF⊂平面ABC，EF∥AB，由此能够求出实数λ的值．（2）因为AB=AC=DB=DC，点E是BC的中点，所以BC⊥AE，BC⊥DE，由此能够证明平面BCD⊥平面AED．【解答】解：（1）因为EF∥平面ABD，易得EF⊂平面ABC，平面ABC∩平面ABD=AB，所以EF∥AB，又点E是BC的中点，点F在线段AC上，所以点F为AC的中点，由得；（2）因为AB=AC=DB=DC，点E是BC的中点，所以BC⊥AE，BC⊥DE，又AE∩DE=E，AE、DE⊂平面AED，所以BC⊥平面AED，而BC⊂平面BCD，所以平面BCD⊥平面AED．【点评】本题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系，考查空间想象与推理论证能力．17．（14分）已知数列{a n }的各项均为正数，其前n 项和S n =（a n ﹣1）（a n +2），n ∈N *．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）设b n =（﹣1）n a n a n +1，求数列{b n }的前2n 项的和T 2n ．【考点】数列递推式；数列的求和．【专题】等差数列与等比数列．【分析】（1）n=1，先求出a 1，利用条件再写一式，两式相减，可得a n ﹣a n ﹣1=1，从而可求数列{a n }的通项公式；（2）数列{b n }的前2n 项的和T 2n =﹣a 1a 2+a 2a 3﹣…+a 2n a 2n +1=2（a 2+a 4+…+a 2n ），又a 2，a 4，…，a 2n 是首项为3，公差为2的等差数列，从而可得结论．【解答】解：（1）当n=1时，S 1=（a 1﹣1）（a 1+2），所以a 1=﹣1或a 1=2，因为数列{a n }的各项均为正数，所以a 1=2 …（2分）当n ≥2时，S n =（a n ﹣1）（a n +2），S n ﹣1=（a n ﹣1﹣1）（a n ﹣1+2），两式相减得：（a n +a n ﹣1）（a n ﹣a n ﹣1﹣1）=0，…（6分）又因为数列{a n }的各项均为正数，所以a n +a n ﹣1＞0，所以a n ﹣a n ﹣1=1，所以a n =n +1； …（8分）（2）因为b n =（﹣1）n a n a n +1，所以数列{b n }的前2n 项的和T 2n =﹣a 1a 2+a 2a 3﹣…+a 2n a 2n +1=2（a 2+a 4+…+a 2n ），…（11分） 又a 2，a 4，…，a 2n 是首项为3，公差为2的等差数列，所以a 2+a 4+…+a 2n ==n 2+2n ，故T 2n =2n 2+4n ． …（14分）【点评】本题考查等差数列的通项与求和，考查数列递推式，确定数列的通项是关键．18．（16分）（xx •岳阳模拟）某企业投入81万元经销某产品，经销时间共60个月，市场调研表明，该企业在经销这个产品期间第x 个月的利润（单位：万元），为了获得更多的利润，企业将每月获得的利润投入到次月的经营中，记第x 个月的当月利润率，例如：．（1）求g （10）；（2）求第x 个月的当月利润率g （x ）；（3）该企业经销此产品期间，哪个月的当月利润率最大，并求该月的当月利润率．【考点】分段函数的应用；函数的最值及其几何意义．【专题】应用题．【分析】（1）当1≤x ≤20时，f （x ）=1，易知f （1）=f （2）=f （3）=…=f （9）=f （10）=1，从而知（2）求第x 个月的当月利润率，要考虑1≤x ≤20，21≤x ≤60时f （x ）的值，代入即可． （3）求那个月的当月利润率最大时，由（2）得出的分段函数，利用函数的单调性，基本不等式可得，解答如下：【解答】解：（1）由题意得：f （1）=f （2）=f （3）=…═f （9）=f （10）=1g （x ）===．（2）当1≤x ≤20时，f （1）=f （2）═f （x ﹣1）=f （x ）=1∴g （x ）====．当21≤x ≤60时，g（x）=====∴当第x个月的当月利润率；（3）当1≤x≤20时，是减函数，此时g（x）的最大值为当21≤x≤60时，当且仅当时，即x=40时，，又∵，∴当x=40时，所以，该企业经销此产品期间，第40个月的当月利润率最大，最大值为．【点评】本题是分段函数的应用题，借助分段函数考查反函数的单调性，基本不等式的应用，求分段函数的最值，综合性强，难度适中，值得学习．19．（16分）（2011•镇江一模）已知椭圆E：的离心率为，且过点，设椭圆的右准线l与x 轴的交点为A，椭圆的上顶点为B，直线AB被以原点为圆心的圆O所截得的弦长为．（1）求椭圆E的方程及圆O的方程；（2）若M是准线l上纵坐标为t的点，求证：存在一个异于M的点Q，对于圆O上任意一点N，有为定值；且当M在直线l上运动时，点Q在一个定圆上．【考点】圆与圆锥曲线的综合．【专题】综合题．【分析】（1）由椭圆E的离心率为，知a=2k，c=，b2=2k2，即椭圆E：，把点代入得k2=2，由此能求出椭圆E方程和圆的方程．（2）椭圆E的右准线l的方程为x=4．设l上取定的点M为（4，t），圆O上任意的一点N为（x0，y0），定点Q为（x，y）．由此能求出定值为：，Q在圆心，半径为的定圆上．【解答】（1）解：∵椭圆E：的离心率为，∴a=2k，c=，b2=2k2，∴椭圆E：，把点代入得k2=2，∴椭圆E方程：．圆的方程：x2+y2=4（2）证明：椭圆E的右准线l的方程为x=4．设l上取定的点M为（4，t），圆O上任意的一点N为（x0，y0），定点Q为（x，y）．∵NM与NQ的比是常数且Q不同于M，∴NQ2=λNM2，λ是正的常数（λ≠1），即（x0﹣x）2+（y0﹣y）2=λ（x0﹣4）2+λ（y0﹣t）2，即x02+y02﹣2xx0﹣2yy0+x2+y2=λ（x02+y02+16+t2﹣8x0﹣2ty0）．将x02+y02=4代入，有﹣2xx0﹣2yy0+x2+y2+4=﹣8λx0﹣2λty0+（20+t2）λ．又∵有无数组（x0，y0），∴，由①②代入③，得16λ2+t2λ2+4=（20+t2）λ，即（16+t2）λ2﹣（20+t2）λ+4=0，∴（λ﹣1）[（16+t2）λ﹣4]=0．又∵λ≠1，∴λ=，即存在一个定点Q（不同于点M），使得对于圆O上的任意一点N，均有为定值．将16+t2=代入③，得x2+y2+4=（+4）λ，即x2+y2=4λ，于是x2+y2=x，即（x﹣）2+y2=，故点Q在圆心（，0），半径为的定圆上．定值为：，Q在圆心，半径为的定圆上【点评】本题考查圆与圆锥曲线的综合运用，解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件．20．（16分）（2011•镇江一模）设函数f（x）=x（x﹣1）2，x＞0．（1）求f（x）的极值；（2）设0＜a≤1，记f（x）在（0，a]上的最大值为F（a），求函数的最小值；（3）设函数g（x）=lnx﹣2x2+4x+t（t为常数），若使g（x）≤x+m≤f（x）在（0，+∞）上恒成立的实数m有且只有一个，求实数m和t的值．【考点】利用导数研究函数的极值；导数在最大值、最小值问题中的应用．【专题】计算题；压轴题．【分析】（1）求导，令f′（x）=0得x=或x=1，令f′（x）＞0，令f′（x）＜0得f（x）的单调性，确定函数f（x）的极值．（2）由（1）知f（x）的单调性，以极值点为界，把a分成两类讨论，在两类分别求出F （a），求G（a），求G（a）最小值，两个最小值最小者，即为所求．（3）把连等式分成两个不等式x+m﹣g（x）≥0和f（x）﹣x﹣m≥0在（0，+∞）上恒成立的问题，把不等式的左边看作一个函数，利用导数求最小值，两个范围求交集再由实数m有且只有一个，可求m，进而求t．【解答】解：（1）f′（x）=（x﹣1）2+2x（x﹣1）=3x2﹣4x+1=（3x﹣1）（x﹣1），x＞0．令f′（x）=0，得x=或x=1，f（x），f′（x）随x的变化情况如下表∴当x=时，有极大值f（）=，当x=1时，有极小值f（1）=0．（2）由（1）知：f（x）在（0，]，[1，+∞）上是增函数，在[，1]上是减函数，①0＜a≤时，F（a）=a（a﹣1）2，G（a）=（a﹣1）2≥特别的，当a=时，有G（a）=，②当＜a≤1时，F（a）=f（）=，G（a）=≥特别的，当a=1时，有G（a）=，由①②知，当0＜a≤1时，函数的最小值为．（3）由已知得h1（x）=x+m﹣g（x）=2x2﹣3x﹣lnx+m﹣t≥0在（0，+∞）上恒成立，∵，∴x∈（0，1）时，h′1（x）＜0，x∈（1，+∞）时，h1（x）＞0∴x=1时，h′1（x）取极小值，也是最小值，∴当h1（1）=m﹣t﹣1≥0，m≥t+1时，h1（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，同样，h2（x）=f（x）﹣x﹣m=x3﹣2x2﹣m≥0在（0，+∞）上恒成立，∵h′2（x）=3x（x﹣），∴x∈（0，）时，h′2（x）＜0，x∈（，+∞），h′2（x）＞0，∴x=时，h2（x）取极小值，也是最小值，∴=﹣﹣m≥0，m≤﹣时，h2（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，∴t+1≤m≤﹣，∵实数m有且只有一个，∴m=﹣，t=．【点评】本题了考查导数与极值的关系，若f（a）=0：a的左侧f'（x）＞0，a的右侧f'（x）＜0则a是极大值点；a的左侧f'（x）＜0，a的右侧f'（x）＞0则a是极小值点；求F（a）时，要分类讨论，在求参数的范围时，经过两次转化为求函数的最值，使问题得以解决．A.（附加题A.）[选修4-2：矩阵与变换]21．（xx•南通模拟）求曲线|x|+|y|=1在矩阵M=对应的变换作用下得到的曲线所围成图形的面积．【考点】几种特殊的矩阵变换．【专题】数形结合；转化思想；矩阵和变换．【分析】将曲线|x|+|y|=1在矩阵M=对应的变换作用进行化简，作出表示的曲线所围成的图形即可得到结论．【解答】解：设曲线|x|+|y|=1上（x0，y0）在矩阵M=对应的变换作用下得到的曲线对应点为（x，y），∴[]=[]，即x0=x，y0=3y，代入|x|+|y|=1中得：|x|+|3y|=1，当x≥0，y≥0时，方程等价于x+3y=1；当x≥0，y≤0时，方程等价于x﹣3y=1；当x≤0，y≥0时，方程等价于﹣x+3y=1；当x≤0，y≤0时，方程等价于﹣x﹣3y=1，其图象为菱形ABCD，则曲线|x|+|y|=1在矩阵M=对应的变换作用下得到的曲线所围成图形的面积为×2×=．【点评】此题考查了几种特殊的矩形变换，确定出变换后的曲线方程是解本题的关键．B．[选修4-4：坐标系与参数方程]．22．（xx•江苏模拟）在极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ+2sinθ，以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为（t为参数），求直线l被曲线C所截得的弦长．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【专题】坐标系和参数方程．【分析】求出曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，求出圆心与半径，直线的参数方程为普通方程，利用圆心距半径半弦长满足勾股定理求解弦长即可．【解答】解：曲线C的直角坐标方程为x2+y2﹣2x﹣2y=0，圆心为（1，1），半径为，（3分）直线的直角坐标方程为x﹣y﹣=0，所以圆心到直线的距离为d==，（8分）所以弦长=2=．（10分）【点评】本题考查极坐标与参数方程与普通方程的互化，直线与圆的位置关系，考查计算能力．六、[必做题]第22题，第23题，每题10分，共计20分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．23．（10分）（xx•江苏模拟）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD 是边长为2的菱形，∠ABC=60°，PA=，M为PC的中点．（1）求异面直线PB与MD所成的角的大小；（2）求平面PCD与平面PAD所成的二面角的正弦值．【考点】直线与平面所成的角；异面直线及其所成的角．【专题】空间位置关系与距离；空间角．【分析】（1）建立坐标系设AC与BD交于点O，以O为顶点，向量，为x，y轴，平行于AP且方向向上的向量为z轴建立直角坐标系．求解得出COS＜，＞=即可得出夹角．（2）求解平面PCD的法向量为1=（x1，y1，z1），平面PAD的法向量为=（x2，y2，z2），利用cos＜，＞=，得出sin＜，＞=．即可得出平面PCD与平面PAD所成的二面角的正弦值．【解答】解：（1）设AC与BD交于点O，以O为顶点，向量，为x，y轴，平行于AP且方向向上的向量为z轴建立直角坐标系．则A（﹣1，0，0），C（1，0，0），B（0，﹣，0），D（0，，0），P（﹣1，0，），所以M（0，0，），=（0，，﹣），=（1，﹣，﹣），COS＜，＞===0，所以异面直线PB与MD所成的角为90°．（2）设平面PCD的法向量为1=（x1，y1，z1），平面PAD的法向量为=（x2，y2，z2），因为=（﹣1，，0），=（1，，﹣），=（0，0，﹣），由即令y1=1，得出=（，1，），由令y2=﹣1，得=（，﹣1，0），所以cos＜，＞===，所以sin＜，＞=．即可得出平面PCD与平面PAD所成的二面角的正弦值．【点评】本题考查了空间向量解决直线与直线的夹角，平面于平面的夹角，关键是准确求解向量的坐标，数量积，属于中档题．24．（10分）（xx•江苏模拟）若存在n个不同的正整数a1，a2，…，a n，对任意1≤i＜j≤n，都有∈Z，则称这n个不同的正整数a1，a2，…，a n为“n个好数”．（1）请分别对n=2，n=3构造一组“好数”；（2）证明：对任意正整数n（n≥2），均存在“n个好数”．【考点】进行简单的合情推理．【专题】综合题；转化思想；综合法；推理和证明．【分析】（1）利用新定义，分别对n=2，n=3构造一组“好数”；（2）利用数学归纳法进行证明即可．【解答】解：（1）当n=2时，取数a1=1，a2=2，因为=3∈Z，当n=3时，取数a1=2，a2=3，a3=4，则=﹣5∈Z，=﹣7∈Z，=﹣3∈Z，即a1=2，a2=3，a3=4可构成三个好数．（2）证：①由（1）知当n=2，3时均存在，②假设命题当n=k（k≥2，k∈Z）时，存在k个不同的正整数a1，a2，…，a k，使得对任意1≤i＜j≤k，都有∈Z成立，则当n=k+1时，构造k+1个数A，A+a1，A+a2，…，A+a k，（*）其中A=1×2×…×a k，若在（*）中取到的是A和A+a i，则=﹣﹣1∈Z，所以成立，若取到的是A+a i和A+a j，且i＜j，则=+，由归纳假设得∈Z，又a j﹣a i＜a k，所以a j﹣a i是A的一个因子，即∈Z，所以=+∈Z，所以当n=k+1时也成立．所以对任意正整数，均存在“n个好数”．【点评】本题考查新定义，考查数学归纳法的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．22614 5856 塖20912 51B0 冰22252 56EC 囬34307 8603 蘃28503 6F57 潗33414 8286 芆<3D25015 61B7 憷39581 9A9D 骝23060 5A14 娔24931 6163 慣37795 93A3 鎣。

江苏省苏州市张家港高级中学2021届高三数学10月月考试题.doc

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江苏省苏州市张家港高级中学2021届高三数学10月月考试题一、填空题：本题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题卡上．．．．． 1. 已知集合A ＝{x |y ＝1－x }，B ＝{y |y ＝x 2}，则A ∩B ＝ ．． 2．命题“1x ∀>，x 2≥3”的否定是 ．3．已知角α的终边经过点P (m ，－3)，且cos α＝－45，则m ＝________.4．计算121lg lg 251004-⎛⎫-÷= ⎪⎝⎭．5.已知函数，则函数的定义域为_____．6．函数()|3|||f x x x a =+++的图像关于直线1x =对称，则a = . 7. 已知tan 2α=，则()()()()sin 3πcos πsin cos παααα+++--+＝ .8．若1(0,),sin cos 2απαα∈+=，则1tan tan αα-＝ ．9．在平面直角坐标系xOy 中，将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象向右平移φ⎝ ⎛⎭⎪⎫0<φ<π2个单位长度，若平移后得到的图象关于y 轴对称，则φ的值为________.10、已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增．若实数a 满足1(2)(2)a f f ->，则a 的取值范围是________．11 过曲线1(0)y x x x=->上一点00(,)P x y 处的切线分别与x 轴，y 轴交于点A 、B ，O 是坐标原点，若OAB ∆的面积为13，则0x =12. 已知定义在R 上的可导函数()y f x =的导函数为'()f x ，满足'()()f x f x <．且(1)y f x =+为偶函数，(2)1f =，则不等式()e x f x <的解集为 ．13. 已知函数111,[0,)22()12,[,2)2x x x f x x -⎧+∈⎪⎪=⎨⎪∈⎪⎩若存在12,x x ，当1202x x ≤<<时，12()()f x f x =，则12()x f x 的取值范围是 ．14、已知函数f (x )＝e x(e 为自然对数的底数)，g (x )＝a x ．若对任意的x 1∈R ，存在x 2＞x 1，使得f (x 1)＝g (x 2)，且x 2－x 1的最小值为ln22，则实数a 的值为 ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.(本题满分14分)设函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)＋3cos(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2的最小正周期为π，且满足f (－x )＝－f (x ).(1)求函数f (x )的单调增区间；(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，试求y ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6的最值，并写出取得最值时自变量x 的值.16(本题满分14分)17(本题满分14分)某厂花费2万元设计了某款式的服装．根据经验，每生产1百套该款式服装的成本为1万元，每生产x（百套）的销售额（单位：万元）20.4 4.20.805 ()914.7 5.3x x xP xxx⎧-+-<⎪=⎨->⎪-⎩≤，，，（1）该厂至少生产多少套此款式服装才可以不亏本？（2）试确定该厂生产多少套此款式服装可使利润最大，并求最大利润．（注：利润=销售额-成本，其中成本=设计费+生产成本）18(本题满分16分)已知函数()()22ln 24a f x a x x a x =-+--.（1）当曲线()f x 在3x =时的切线与直线41=-+y x 平行，求曲线()f x 在()()1,1f 处的切线方程；（2）求函数()f x 的极值，并求当()f x 有极大值且极大值为正数时，实数a 的取值范围.19．(本题满分16分)已知二次函数),,()(2R c b a c bx ax x f ∈++=,满足0)2(,2)2(=-=f f . （1）求实数b 的值.（2）若对任意实数x ，都有x x f ≥)(成立，求函数)(x f 的表达式；（3）在（2）的条件下，设)1()()(--=x m x f x g ,),0[+∞∈x ，若)(x g 图象上的点都位于直线41=y 的上方，求实数m 的取值范围．20．(本题满分16分)已知函数f (x )＝e x－a (x ＋1)，其中e 自然对数的底数，a ∈R ．(1)讨论函数f (x )的单调性，并写出相应的单调区间；(2)已知a ＞0，b ∈R ，若f (x )≥b 对任意x ∈R 都成立，求ab 的最大值； (3)设g (x )＝(a ＋e )x ，若存在x 0∈R ，使得f (x 0)＝g (x 0)成立，求a 的取值范围．张家港高级中学2021-2022第一学期10月学生自主学习检验高三数学试卷 命题：施曙光附加题部分21A ．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）已知m ，n ∈R ，向量11⎡⎤=⎢⎥⎣⎦α是矩阵12m n ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M 的属于特征值3的一个特征向量，求矩阵M 及另一个特征值．B ．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为1x t y t =+⎧⎨=⎩，( t 为参数)，椭圆C 的参数方程为)(sin cos 2为参数，θθθ⎪⎩⎪⎨⎧==y x .设直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，求线段AB 的长．【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共计20分．22.（本小题满分10分）如图，在四棱锥ABCDPA平面ABCD，AB= 1，AP= AD= 2.P-中，底面ABCD是矩形，⊥（1）求直线PB与平面PCD所成角的正弦值；（2）若点M，N分别在AB，PC上，且⊥MN平面PCD，试确定点M，N的位置．23.设()()n f n a b =+(2n ≥，N*n ∈)，若在()f n 的展开式中，存在连续的三项的二项式系数依次成等差数列，则称()f n 具有性质P ． (1)求证：(7)f 具有性质P ；(2)若存在2018n ≤，使得()f n 具有性质P ，求n 的最大值．高三数学第一次月考试卷答案1、[]1,0 2.1x ∃>，23x < 3. m ＝－4.4.20- 5、 6、5a =-7、3 8、273-9、φ＝5π12. 10、13.22a << 11、 5 12、(0,)+∞13、221[,)42- 14、e 15．解 (1)因为f (x )＝sin(ωx ＋φ)＋3cos(ωx ＋φ)＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋φ＋π3⎝⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2的最小正周期为π，且满足f (－x )＝－f (x )，所以ω＝2，φ＝－π3， (4)所以f (x )＝2sin 2x .令2x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z )，解得函数f (x )的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π4，k π＋π4(k ∈Z ) (7)(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3，9y ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6＝2sin 2⎝⎛⎭⎪⎫x －π6＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3….11 当2x －π3＝π2，即x ＝5π12时，f (x )取得最大值2；当2x －π3＝－π3，即x ＝0时，f (x )取得最小值－3 (14)1617 (1)05x <≤时，利润()()22()20.4 4.20.820.4 3.2 2.8y P x x x x x x x =-+=-+--+=-+-． ........................................................................................3分令20.4 3.2 2.80y x x =-+-≥得，17x ≤≤，从而15x ≤≤，即min 1x =．.................6分 （2）当05x <≤时，由（1）知()220.4 3.2 2.80.44 3.6y x x x =-+-=--+，所以当4x =时，max 3.6y =（万元）． .....................................8分 当5x >时，利润()()()99()214.729.7333y P x x x x x x =-+=--+=--+--．...10分因为()9933633x x x x -+-⋅--≥（当且仅当933x x -=-即6x =时，取“=”）， 所以max 3.7y =（万元）． .......................................................... 13分 综上，当6x =时，max 3.7y =（万元）．答：（1）该厂至少生产1百套此款式服装才可以不亏本；（2）该厂生产6百套此款式服装时，利润最大，且最大利润为3.7万元． .......14分18、解（1）()'22af x x a x=-+-， 由()'323243af a =-⨯+-=-，得3a =……………..2分 当1x =时，()()22391132144f =-+-⨯-=-，()3'1213221f =-⨯+-=，曲线()f x 在()()1,1f 处的切线方程为()9214y x +=-，即84170x y --=….6分 （2）()()()21'22x a x af x x a x x--+=-+-=…………8分 ①当0a ≤时，()'0f x ≤，所以，()f x 在()0,∞+递减，()f x 无极值…..10分 ②当0a >时，由()'0f x =得2ax =. 随x 的变化()'f x 、()f x 的变化情况如下：故()f x 有极大值，无极小值；()()22ln 22224a a a a f x a a ⎛⎫=-+-⨯-⎪⎝⎭极大ln 2a a a =-，……….14分 由()ln02af x a a =->极大，∵0a >，∴2a e >.所以，当()f x 的极大值为正数时，实数a 的取值范围为()2,e +∞。

2021年高三数学10月月考试题苏教版

2021年高三数学10月月考试题苏教版

EP 2021年高三数学10月月考试题苏教版一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题纸上．1.若集合，且，则实数的值为 ▲ .2.已知为虚数单位，若，则的值是 ▲ .3.某校高一、高二、高三分别有学生1600名、1200名、800名，为了解该校高中学生的牙齿健康状况，按各年级的学生数进行分层抽样，若高三抽取20名学生，则高一、高二共抽取的学生数为 ▲ .4.从1,2,3,4,5这5个数中一次随机地取2个数,则所取2个数的和为5的概率是 ▲ .5. 右图是一个算法的流程图，最后输出的k ＝ ▲ .6.已知，则的值等于 ▲ .7. 已知公差不为的等差数列的前项和为，且，若,则= ▲ .8．如图，在棱长为2的正方体ABCD —A1B1C1D1中，E ，F分别是棱AB ，BC 中点，则三棱锥A1—B1EF 的体积为 ▲ .9. 在直角三角形中，,则的值等于___▲_____.10.直线与圆相交于两点，若，则的取值范围是 ___▲_____. 11.已知f(x)是定义在R 上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2＋2x ，若f(2－a2)>f(a)，则实数a 的取值范围是___▲_____． 12．已知数列的通项公式为，若对任意，都有，则实数的取值范围是___▲_____ ．13.已知函数若方程|f(x)|=a 有三个零点，则实数的取值范围是 ▲ . 14．若的内角,满足,则的最大值为 ▲ .二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题卡的指定区域内． 15．（本小题满分14分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若，． （1）求的值； （2）求函数的值域．16．（本小题满分14分）如图，在三棱锥P —ABC 中，平面PAC 平面ABC ，，E ，F 分别是AP ，AC 的中点，点D 在棱AB 上，且．开始k ←1 S ←0S ＜k ←k ＋2S ←S ＋YN 输出结束(第5题)求证：（1）平面PBC；（2）平面DEF平面PAC．17、（本小题满分14分）某园林公司计划在一块以O为圆心，R(R为常数，单位为米)为半径的半圆形地上种植花草树木，其中阴影部分区域为观赏样板地，△OCD区域用于种植花木出售，其余区域用于种植草皮出售．如图所示．已知观赏样板地的成本是每平方米2元，花木的利润是每平方米8元，草皮的利润是每平方米3元．(1)设∠COD＝θ(单位：弧度)，用θ表示阴影部分的面积S阴影＝f(θ)；(2)园林公司应该怎样规划这块土地，才能使总利润最大？并求相对应的θ.18. （本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆的离心率为，过椭圆右焦点作两条互相垂直的弦与．当直线斜率为0时，．（1）求椭圆的方程；（2）求的取值范围．（第18题）19．（本题满分16分）已知等比数列的公比，前项和为成等差数列，数列的前项和为，其中。

江苏省苏州市铁路中学2021年高三数学文月考试题含解析

江苏省苏州市铁路中学2021年高三数学文月考试题含解析

江苏省苏州市铁路中学2021年高三数学文月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 如图，正方形ABCD的边长为1，延长BA至E，使AE=1，连接EC、ED则sin∠CED=（）A．B．C．D．参考答案：B【考点】两角和与差的正切函数；任意角的三角函数的定义．【分析】法一：用余弦定理在三角形CED中直接求角的余弦，再由同角三角关系求正弦；法二：在三角形CED中用正弦定理直接求正弦．【解答】解：法一：利用余弦定理在△CED中，根据图形可求得ED=，CE=，由余弦定理得cos∠CED=，∴sin∠CED==．故选B．法二：在△CED中，根据图形可求得ED=，CE=，∠CDE=135°，由正弦定理得，即．故选B．【点评】本题综合考查了正弦定理和余弦定理，属于基础题，题后要注意总结做题的规律．2. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．8+πB．8+πC．8+πD．8+3π参考答案：C【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由已知中的三视图可得，该几何体是两个半径为1的半球，一个棱长为2的正方体以及两个半圆柱组成，即可求出几何体的体积．【解答】解：由已知中的三视图可得，该几何体是两个半径为1的半球，一个棱长为2的正方体以及两个半圆柱组成，体积为+π×12×2=8+π．故选：C．3. 设集合，则(A) (B) (C) (D)参考答案：C，数轴上表示出来得到[1,2) .4. 已知一个几何体的三视图如所示，则该几何体的体积为（）.A．6 B．5.5 C．5 D．4.5参考答案：C5. 已知复数z满足，则= （）A．-2i B．-2 C．2i D．2参考答案：A6. 下列各组函数中，表示同一函数的是（）A . B．C .D .参考答案：B7. 如图2，设D是图中边长分别为1和2的矩形区域，E是D内位于函数图象下方的区域（阴影部分），从D内随机取一个点M，则点M取自E的概率为A． B．C． D．参考答案：A8. 如图,点P是正方形ABCD-A1B1C1D1外的一点,过点P作直线l,记直线l与直线AC1，BC的夹角分别为，，若，则满足条件的直线l（）A．有1条B．有2条C．有3条D．有4条参考答案：D9. 如果命题“”是假命题，则在下列各结论中，正确的为（）①命题“”是真命题；②命题“” 是假命题；③命题“”是真命题；④命题“”是假命题。

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2
12 对于具有相同定义域 D 的函数 f (x) 和 g(x) ，若存在函数 h(x) kx b（k，b
为常数），对任给的正数 m ，存在相应的 x0 D ，使得当 x D 且 x x0 时，总有
00
f (x) h(x)
h(x) g(x)
m m
则称直线l : y kx b 为曲线
第 3页 共 6页
则实数 a 的取值范围是_
．
第 4页 共 6页
14 在整数集 Z 中，被 5 除所得余数为 k 的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即
[k]={5n+k 丨 n∈Z}，k=0,1,2,3,4.给出如下四个结论：
①2020∈[0]；
②-3∈[3]；
③Z=[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]
C. f (x) = x2 1 ， g(x) x ln x 1
x
ln x
D. f (x) 2x2 ， g(x) 2(x 1 e x ) x 1
二、 填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． 13 若二次函数 f(x)＝－x2＋2ax＋4a＋1 有一个零点小于－1，一个零点大于 3，
④“整数 a,b 属于同一“类”的充要条件是“ a b ∈[0]”.
其中正确结论有
（填写正确结论标号）．
15 已知 sin θ＋cos θ＝ 7 ，θ∈(0，π)，则 tan θ＝
.
13
16 A、B、C 是平面上任意不同三点，BC＝a，CA＝b，AB＝c，则 y＝
c ＋b ab c

的最小值是
．
四、 解答题：本题共 6 小题，第 17 题为 10 分，第 18-22 题每题 12 分．解答时应 写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．已知集合 A＝{x|y＝log2(－4x2＋15x－9)，x∈R}，B＝{x||x－m|≥1，x∈R}． (1) 求集合 A； (2) 若 p：x∈A，q：x∈B，且 p 是 q 的充分不必要条件，求实数 m 的取值范围．
C．2 个
D．3 个
4 若函数 f (x) ax2 bx(a 0,b 0) 的图象在点(1,f (1)) 处的切线斜率为 2 ，
8a b
则
的最小值是( )
ab
A．10
B． 9
C．8
D．3 2
5 Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据
建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数 I (t) （ t 的单位：天）的 Logistic 模型：
的几何体的表面积可以为( )
A. 2
B. 1 2
C. 2 2 D. 2 2
第 2页 共 6页
10 关于 x 的不等式(ax 1)(x 2a 1) 0 的解集中恰有 3 个整数，则 a 的值可以为
() A．2
B．1
C．－1
D．－21
11 声音是由物体振动产生的声波,其中包含着正弦函数.纯音的数学模型是函数
A.
B.
C.
D.
7 若定义在 R 上的奇函数 f (x)满足对任意的 x∈R，都有 f (x＋2)＝－f (x)成立，
且 f (1)＝8，则 f (2 019)，f (2 020)，f (2 021)的大小关系是( )
A．f (2 019)<f (2 020)<f (2 021)
B．f (2 019)>f (2 020)>f (2 021)
18. 已知函数 f (x)＝Asin(ωx＋φ)A>0，ω>0，0<φ<π的部分图象如图所示，其中点
江苏省苏州中学 2020-2021 学年第一学期调研考试 高三数学
一、 单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．
1．已知集合 A x | x2 x 2 0 ， B x | y x ，则 A B （ ）
A. x | 1 x 2 B. x | 0 x 2 C. x | x 1 D. x | x 0
A. 50 m，100 m
B. 40 m，90 m
C. 40 m，50 m
D. 30 m，40 m
二、 多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的四个选
项中，有多项符合题目要求．全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得
0 分．
9 等腰直角三角形直角边长为 1，现将该三角形绕其某一边旋转一周，则所形成
C．f (2 020)>f (2 019)>f (2 021)
D．f (2 020)<f (2 021)<f (2 019)
8 地面上有两座相距 120 m 的塔，在矮塔塔底望高塔塔顶的仰角为 α，在高塔塔
底望矮塔塔顶的仰角为α 2
，且在两塔底连线的中点
O 处望两塔塔顶的仰角互为余
角，则两塔的高度分别为( )
3 2．已知 sin , 0, ， 则 cos ( )
4 5 2
A. 2 10
B. 3 2 10
C. 2 2
D. 7 2 10
3 若 b a 0 ，则下列不等式：① a b ；② a b ab ；③ a 2 2a b 中， b
正确的不等式的有( )
A．0 个
B．1 个
y f (x) 与
y g(x) 的“分
，
渐 近 线 ”. 给 出 定 义 域 均 为 D= x x 1 的 四 组 函 数 , 其中曲线 y f (x) 与
y g(x) 存在“分渐近线”的是( )
A. f (x) x2 ， g(x) x
B. f (x) 10 x 2 ， g(x) 2x 3 x
I
(t)=
1
K e0.23(t 53)
，其中
K 为最大确诊病例数．当
I (t* ) 0.95K 时，标志着已初步
遏制疫情，则 t* 约为( ) (ln19 3)
A． 60
B． 63
C． 66
D． 69
第 1页 共 6页
x ln x,
6
已知函数
f
(x)
x
ex,
x0
x 0 则函数 y f 1 x 的图象大致是( )
y Asin t ,我们听到的声音是由纯音合成的,称之为复合音.若一个复合音的数学
模型是函数 f x sin x 1 sin 2x ,则下列结论正确的是（ ）
2
A. 2 是 f x 的一个周期
B. f x 在 0,2π 上有 3 个零点
C. f x 最大值为 3 3
4
D. f x 在 0, 上是增函数
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