浅谈“万有引力和重力”的关系

浅谈“万有引力与重力”的关系
王习成
【摘要】 关于万有引力和重力的区别与联系，是学生学习的一个难点。

当学生在学完万有引力之后，很容易混淆万有引力和重力两个概念，再加上中学物理中常有F 引= mg 的近似处理，学生更是容易把万有引力理解为重力。

【关键词】 重力 万有引力
一、万有引力定律
1. 内容： 自然界中任何两个物体间都存在着相互作用的引力，引力的大小与这两个物体的质量的乘积成正比，与它们之间的距离的平方成反比。

2. 公式：221r
m m G F = 引力常量：G=6.67×10—11 N ·m 2/kg 2 r ：质点(球心)间的距离
3. 条件: 质点或均质球体
4. 理解: 普遍性、相互性、宏观性
二、万有引力和重力的区别与联系
1. 万有引力：物体受地球的引力：2R
Mm G F = 方向：指向地心。

2. 重力：由于地球的吸引而使物体受到的力，叫做重力。

方向： 竖直向下，指垂直于当地的水平面 （重力与万有引力是同一性质的力。

）
重力是由于地球对物体的吸引力而产生的，但重力又不等于万有引力。

这是由于地球转动因素的结果。

如果地球不是转动的，那么物体所受的重力就等于地球对它的万有引力。

另一方面，由于万有引力大小还与物体的距离有关，因此，物体位于地球表面不同高度，物体所受的重力也要发生变化。

（一）地表上的万有引力和重力
由于地球自转，静止在地球上的物体也跟着绕地轴作圆周运动，这个作圆周运动的向心力就由万有引力的一个分力来提供。

因此，在地球表面上的物体所受的万有引力可以分解成物体所受的重力和随地球自转做圆周运动的向心力。

在早期，人们认为地球是一个惯性系，于是，相对地球静止的物体便处于平衡状态。

如果这个物体是用绳子悬挂着，它只可能受两个力，那就是重力W 和绳子张力T ，如图1所示。

基于简单的平衡关系，有W = T 。

若在绳子中间接一个测力计，重力的大小就通过测T 的大小间接测量出来了，而重力的方向就是绳子收缩的反方向。

至于重力的性质，人们初步意识到它是“由于地球的吸引而产生的”。

后来，人们认识到地球存在自转，是一个非惯性系，地表上（除两极外）所有“静止”的物体事实上都处在匀速圆周运动的状态中，因此，都存在向心加速度。

但是，当我们仍然考查用绳子悬挂“静止”的物体时，它毕竟还是只会受到两个力的作用。

两个力中，绳子张力T 的性质是不会变的（大小和方向不会变），而两个力不再平衡，那么，另一个力（重力W ）的分析就值得反省了。

牛顿发现万有引力之后，这个问题迎刃而解。

现在，人们已经能够对地表上“静止”的悬挂物进行正确的受力分析——它受到绳子张力T 和万有引力F 的作用，T 和F 的合力ΣF 即物体做圆周运动的向心力，如图2所示。

由图可知，由于F 指向地心O 而ΣF 指向物体做圆周运动的圆心O ′，故T 并不沿地球半径方向。

严格地说，有了这个分析后，物体的“重力”就不存在了。

但是，由于人们一直是在地球上研究问题的，已经习惯了地球是惯性系的这种错觉。

在这种错觉下，物体仍“平衡”，为了维护这种“平衡”，必须找到一个T 的平衡力——这就是我们习惯认识中的重力。

由图2不难看出，它的方向不会沿地球半径指向地心（赤道和两极的物体除外）。

把T 矢量反向、成为W 矢量后，和F 矢量、ΣF 矢量构成图3 。

在图3的新平行四边形中，F 处在“合力”位置。

因此，也常常这样说：重力是万有引力的一个分力（另一个分力是物体做圆周运动的向心力）。

至此，重力的性质就完全清楚了。

重力概念的保留，纯粹是为了屈从人们的错误习惯吗？不完全是这样。

因为，定量的计算表明，在地表，重力W 和万有引力F 的差别并不会很大。

根据圆周运动知识，2F = mr ω引
其中ω为地球自转角速度，ω =2T π=2243600π⨯= -57.2710⨯rad/s 。

r 是物体到地轴的距离，设物体所在的纬度为θ ；
则r = R cos θ地 。

当θ = 0时，6
max r = R = 6.3610m ⨯地
对于质量为1kg 的物体： F 向= 1×6.36×106×(-57.2710⨯)2 = -23.3610⨯N
而它受到的万有引力
24-11
262mM 1 5.9810F = G = 6.6710 = 9.86N R (6.3610)⨯⨯⨯⨯⨯地引地 F 向
引F =1293，重力G F F =- 向引， G 和引F 的大小和方向差别都非常小。

因此，在不是特别精确的计算中，认为G 和引F 相同是可以接受的。

[2]
（二）地表上空的万有引力和重力
设物体悬挂在高度为h 的地表上空（h 不可忽略），并设物体所在的纬度为θ ，则物体
做圆周运动的半径r = (R 地 + h )cos θ ，向心力ΣF = mr ω2 ，会随h 的增大而增大。

而万有引力F = G 2
mM R h)+地地（，会随h 的增大而减小。

设θ = 0 ，h = R 地 ，不难算出，ΣF = 6.72×10－2N ，F = 2.47N 。

由于F F ∑≈137，ΣF 相对F 是一个很难忽略的量。

设θ = 0 ，h = 2R 地 ，ΣF = 10.1×10－2N ，F = 1.10N 。

由于F F ∑≈111
，ΣF 相对F 已经不可能忽略了。

在刚才的情形下，重力W 和万有引力F 的差别自然就不同程度地变大了。

当然，在地表上建一个高度h = R 地 ，甚至2R 地的高塔来悬挂物体是不能的，那么，上面的讨论是不是没有实际意义呢？不是，因为人造卫星为我们提供这种可能。

同步卫星相对地表就是不动的，它不正相当于一个悬空的“高塔”吗？
同步卫星的高度h = 3.58×107m ≈5.60R 地 ，故ΣF = 0.222N ，F = 0.226N 。

此时F F ∑≈1
1，而同步卫星在赤道上空，矢量减法W =F －F ∑简化为代数减法：W = F －ΣF = 0 ，重力不复存在。

而在同步卫星上的物体都处于“漂浮”状态，用绳子悬挂时，T = 0 ，故W = 0 ，这个事实和刚才的计算是相符的。

但问题是，在非同步轨道的卫星上，F F
∑不可能为1 ，W 就不可能为0 。

然而，在这些卫星上，物体也是“轻飘飘”的，用绳子悬挂，T 总为0 ，W 就应该为0（即通常所说的完全失重）。

这不是矛盾的吗？
不能这样说，因为非同步的卫星相对地表不是静止的，并不能等效为地表上建立的高塔。

用它上面悬绳张力T 间接求W 已经偏离重力的原始定义，这个0值就不是传统意义上的重力W 。

鉴于传统的重力W 是一个假定物体平衡时出现的物理量，而在对待卫星时，已经没有人认为它是平衡的，所以对卫星讲“重力”没有实际意义。

不过，因为在地表上存在的W ≈F 的关系，人们也习惯性地把卫星受到的万有引力说成是重力。

所以，在看卫星上物体的失重问题时，视重为零，真重事实上指万有引力F ——这和传统意义的重力W 是不同的。

而在刚才的同步卫星中，传统意义的W 为零，人们谈到的真重则是F ，不为零。

1. 当物体由赤道向两极移动的过程中，向心力减小，重力增大，只有物体在两极时物体所受的万有引力才等于重力．
2. 除在两极处外，都不能说重力就是地球对物体的万有引力，但在忽略地球自转时，通
常认为重力等于万有引力，即:2
R Mm G mg = 注意：重力只是物体所受万有引力的一个分力，但是由于另一个分力F 向特别小，所以一般近似认为地球表面（附近）上的物体，所受重力等于万有引力。

3. 不考虑地球自转的条件下，地球表面的物体2R Mm G
mg = 4. 随纬度的升高，向心力减小，则重力将增大
赤道:R m R
Mm G mg 22ω-=
两极:2
R Mm G mg = 向心力远小于重力,万有引力近似等于重力。

. 地球表面的物体所受的重力的实质是物体所受万有引力的一个分力.
（三）重力加速度的计算方法:
当物体在高空时可忽略地球自转的作用，重力跟万有引力相等.
（1）在地面上，2R Mm G mg =，所以，地面2
R GM g = （2）在h 高度处()21h R GMm mg += 所以g h R R g 21⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+=. 注意： 随高度的增加，重力加速度减小，在计算时，h 这个因素不能忽略．
除上述原因外，地球密度的不均匀，既有大陆与海洋的差别，也有地球内部结构的差别.地球表面形状也有起伏。

因此，同一物体在地球上不同地点所受重力也略有差别的原因。

近些年来，科学技术的突飞猛进，人们做了一些精密的实验，向世人提供了一些结果可供探讨：
(1)在天文尺度上，万有引力定律的结果是很正确的。

(2)在较小的距离，如10Km 的范围内，利用人造卫星及火箭做了相当好的检验，G 接近常数。

(3)在更小的范围内，如两个物体的距离小到1cm 至10cm ，甚至1cm 以内时，测得的G 是不确定的，变化的。

因此，在近距离范围内，两物体间的万有引力是否服从反平方规律仍是一个值得探讨的
问题。

[1]
参考文献：
[1].《高中物理专题分析》杨兴国 叶禹卿主编 高等教育出版社
[2]. 百度文库《万有引力和重力的关系》。