高三第一轮复习圆的方程及求法
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
圆的方程及求法
【提纲挈领】(请阅读下面文字,并在关键词下面记着重号)
1.掌握确定圆的几何要素,掌握圆的标准方程与一般方程. 2.初步了解用代数方法处理几何问题的思想. 主干知识归纳
1.圆的定义:平面内与定点的距离等于定长的点的集合(轨迹) 2.圆的方程:
方法规律总结
1.待定系数法求圆的方程
(1) 若已知条件与圆心(a ,b )和半径r 有关,则设圆的标准方程,依据已知条件列出关于a ,b ,r 的方程组,从而求出a ,b ,r 的值;
(2) 若已知条件没有明确给出圆心或半径,则选择圆的一般方程,依据已知条件列出关于D ,E ,F 的方程组,进而求出D ,E ,F 的值. 2.几何法求圆的方程:
利用圆的有关几何性质,如“圆心在圆的任一条弦的垂直平分线上”、“半径, 弦心距,弦长的一半构成
直角三角形”等.
3.求与圆有关的轨迹问题的四种方法
【指点迷津】
【类型一】确定圆的方程
【例1】:求经过点P (1,1)和坐标原点,并且圆心在直线2x +3y +1=0上的圆的方程 【解析】: 设圆的标准方程为(x -a )2+(y -b )2=r 2,
由题意列出方程组()()⎪⎩
⎪⎨⎧=++=-+-=+0
1321122
22
22b a r b a r b a ,解之得⎪⎩⎪⎨⎧=-==534
r b a ,
∴圆的标准方程是(x -4)2+(y +3)2=25. 答案:(x -4)2+(y +3)2=25.
【例2】:已知圆心为C 的圆经过点A (0,-6),B (1,-5),且圆心在直线l :x -y +1=0上,求圆的标准方程.
【解析】:法一:设圆的方程为x 2+y 2+Dx +Ey +F =0(D 2+E 2-4F >0),则圆心坐标为⎝⎛⎭
⎫-D 2,-E
2.
由题意可得⎪⎩
⎪
⎨⎧=--=+-+-+=+--0
205)5(10
6)6(222E D F E D F E ,消去F 得⎩⎨⎧ D +E -10=0D -E -2=0,解得⎩⎨⎧
D =6
E =4,代入求得
F =-12,
所以圆的方程为x 2+y 2+6x +4y -12=0,标准方程为(x +3)2+(y +2)2=25. 法二:因为A (0,-6),B (1,-5),所以线段AB 的中点D 的坐标为⎝⎛⎭⎫12,-11
2,
直线AB 的斜率k AB =
1)
6(5----=1,
因此线段AB 的垂直平分线l 的方程是y +11
2=-⎝⎛⎭
⎫x -12,即x +y +5=0.
圆心C 的坐标是方程组⎩⎨⎧ x +y +5=0x -y +1=0的解,解得⎩⎨⎧
x =-3
y =-2
,所以圆心C 的坐标是(-3,-2).
圆的半径长r =|AC |=2
2)26()30(+-++=5,
所以,圆心为C 的圆的标准方程是(x +3)2+(y +2)2=25. 答案:(x +3)2+(y +2)2=25.
【类型二】与圆有关的轨迹问题
【例1】:已知圆x 2+y 2=4上一定点A (2,0),B (1,1)为圆内一点,P ,Q 为圆上的动点. (1)求线段AP 中点的轨迹方程;
(2)若∠PBQ =90°,求线段PQ 中点的轨迹方程.
【解析】:(1)设AP 的中点为M (x ,y ),由中点坐标公式可知,P 点坐标为(2x -2,2y ). 因为P 点在圆x 2+y 2=4上,所以(2x -2)2+(2y )2=4. 故线段AP 中点的轨迹方程为(x -1)2+y 2=1.
(2)设PQ 的中点为N (x ,y ),在Rt △PBQ 中,|PN |=|BN |,设O 为坐标原点,连接ON (图略),则ON ⊥PQ ,所以|OP |2=|ON |2+|PN |2=|ON |2+|BN |2, 所以x 2+y 2+(x -1)2+(y -1)2=4.
故线段PQ 中点的轨迹方程为x 2+y 2-x -y -1=0. 答案:(1) (x -1)2+y 2=1. (2) x 2+y 2-x -y -1=0.
【例2】:已知直角三角形ABC 的斜边为AB ,且A (-1,0),B (3,0),求: (1)直角顶点C 的轨迹方程; (2)直角边BC 中点M 的轨迹方程.
【解析】:(1)设顶点C (x ,y ),因为AC ⊥BC ,且A ,B ,C 三点不共线,所以x ≠3且x ≠-1. 又k AC =
y x +1,k BC =y
x -3
,且k AC ·k BC =-1, 所以y x +1·y
x -3
=-1,化简得x 2+y 2-2x -3=0.
因此,直角顶点C 的轨迹方程为x 2+y 2-2x -3=0(x ≠3且x ≠-1).
(2)设点M (x ,y ),点C (x 0,y 0),因为B (3,0),M 是线段BC 的中点,由中点坐标公式得x =x 0+3
2
(x ≠3且x ≠1),y =y 0+02
,于是有x 0=2x -3,y 0=2y .
由(1)知,点C 在圆(x -1)2+y 2=4(x ≠3且x ≠-1)上运动,将x 0,y 0代入该方程得(2x -4)2+(2y )2=4, 即(x -2)2+y 2=1.
因此动点M 的轨迹方程为(x -2)2+y 2=1(x ≠3且x ≠1).