第2章2_5平面波的角谱

（18）
就化为远场衍射即夫琅和费衍射的情况。(18)式还可表为
ψ ( x, y , z ) =
A x y ϕ( , ) λz λz λz
（19）
ψ ( x, y , z ) =
A x y ϕ( , ) λz λz λz
（19）
上式表示除了与积分变量无关的相位因子A以外， ϕ 为 ψ 的傅里叶变换，频域宗量为 x / λz及 y / λz 。
平面波的角谱
一、角谱 设单色光波沿Z方向传播 照射到xy平面上 方向传播， 平面上， 设单色光波沿 方向传播，照射到 平面上，在xy平面上 平面上 的光场复振幅分布用 ψ ( x, y,0) = ψ ( x, y ) 函数表示。 函数表示。 下面讨论的目的是要寻求与xy平面相距为 且与 下面讨论的目的是要寻求与 平面相距为z且与 平面平 平面相距为 且与xy平面平 行的下一个平面上的光场复振幅分布。 行的下一个平面上的光场复振幅分布。 根据频谱分析知： 根据频谱分析知：
不同方向的平面波的权函数 A(α / λ , β / λ ) 称为 ψ ( x, y )的 它和空间频率的实质是相同的。 角谱，它和空间频率的实质是相同的。
A(α / λ , β / λ ) 和 ψ ( x, y ) 的关系就是傅立叶变换： 的关系就是傅立叶变换：
+∞ α β α β A( , ) = ∫ ∫ψ ( x, y ) exp[−i 2π ( x + y )]dxdy λ λ λ λ −∞
α β α β α β ψ ( x, y ) = ∫ ∫ A( , ) exp[−i 2π ( x + y )]d ( )d ( ) λ λ λ λ λ λ −∞
(6)
α β α β α β ψ ( x, y ) = ∫ ∫ A( , ) exp[−i 2π ( x + y )]d ( )d ( ) λ λ λ λ λ λ −∞
ψ ( x, y,0) = ψ ( x, y ) = ∫ ∫ A(u, v) exp[−i 2π (ux + vy )]dudv
−∞ ∞
(1)
v 的单位振幅的平面波： 一个波矢量为 k 的单位振幅的平面波：
v v 2π E ( x, y , z ) = exp(ik ⋅ r ) = exp[i (αx + β y + γz )]
+∞ α β α β A( , ; z ) = ∫ ∫ψ ( x, y, z ) exp[−i 2π ( x + y )]dxdy （8） λ λ λ λ −∞ ∞ α β α β α β ψ ( x, y, z ) = ∫ ∫ A( , ; z ) exp[i 2π ( x + y )]d ( )d ( ) λ λ λ λ λ λ （9） −∞
(7)
二、角谱的传播 的关系。为此， 现在来进一步寻求 ψ ( x, y , z ) 与 ψ ( x, y ,0) 的关系。为此，首 的关系。 先求A(α / λ , β / λ ; z ) 与 A(α / λ , β / λ ) 的关系。
A 首先， 的关系为: 首先， (α / λ , β / λ ; z ) 与 ψ ( x, y, z ) 的关系为
E ( x, y,0) = exp[i
v
(3)
2π v v 2π (α ⋅ r )] = exp[i (αx + βy )]
λ
λ
(4)
将（4）式与（1）式相比较，发现只要取： 式与（ 式相比较，发现只要取：
u =α /λ,
∞
v = β /λ
(5)
v 则（1）式可用矢量 α = (α , β ) 表示为： 表示为：
A0 ( f x ) = δ ( f x − α x )
距离传播后的角谱为： 经d+f1距离传播后的角谱为：
A( f x , d + f1 ) = δ ( f x − α x ) exp[−iπλ (d + f 1 ) f x2 ]
式中f 为透镜L 的焦距。则在L 坐标为( 式中 1为透镜 1的焦距。则在 1坐标为 x ' , y ' )的输入 的输入 平面上的场为上式的傅里叶变换： 平面上的场为上式的傅里叶变换： 2 U 1 ( x ' ) ∝ exp[ −iπλ (d + f1 )α x ] exp(i 2πα x x ' ) 此光场透过透镜L 的效应是乘上一个因子： 此光场透过透镜 1的效应是乘上一个因子： exp(−i π x ' 2 )
2 2
（富里叶变换） 富里叶变换）
1 exp[−iπλz (u + v )] ⇔ exp[iπ ( x 2 + y 2 ) / λz ] iλ z
根据卷积的变换性质，相应的空域信号为
1 exp(i 2πz / λ )ψ ( x, y ) ∗ exp[iπ ( x 2 + y 2 ) / λz ] iλ z
四、夫琅和费衍射
在(16)式中加入更为强烈的近似条件：
z >> π (ξ 2 + η 2 ) / λ
（17）
则该式化为：
ψ ( x, y , z ) =
1 exp(i 2πz / λ ) exp[iπ ( x 2 + y 2 ) / λz ] iλ z
∞ −∞
× ∫ ∫ ψ (ξ ,η ) exp[−i 2π (ξx + ηy ) / λz ]dξdη
1 1 1 − λ 2 ρ 2 = 1 − λ 2 ρ 2 − λ4 ρ 4 + L 2 8
(14)
A(α / λ , β / λ ; z ) = A(u , v; z ) = A(u , v) exp(i 2πz / λ ) exp[−iπλz (u 2 + v 2 )]
(15)
由于
A(u , v ) ⇔ ψ ( x, y )
代入亥姆霍兹方程， 以 ψ ( x, y , z ) 代入亥姆霍兹方程，交换积分与微分的次 也满足亥姆霍兹方程： 序，可知 A(α / λ , β / λ ; z )也满足亥姆霍兹方程：
α β d2 2 ( 2 + k z ) A( , ; z ) = 0 λ λ dz
式中
（10）
kz =
2π
λ
1 − (α 2 + β 2 )
五、角谱的衍射
设在xy平面上有一个不透光的屏，屏上带一个透光 的孔，孔的复透过率用光瞳函数p(x，y)来表示。这 样一来，屏后面的透射场 ψ t 可用入射波的场 ψ i 表为： ψ t ( x, y ) = ψ i ( x, y ) p ( x, y ) （20） 在频域中，上式变为：
At (α / λ , β / λ ) = Ai (α / λ , β / λ ) * P (α / λ , β / λ（21） )
A( ,
（22）
（12）式或（22）式原则上可以解决任何光波的传播 ）式或（ ） 及衍射问题。 及衍射问题。
六、角谱应用的一个例子
——从衍射角度讨论条纹的定域 从衍射角度讨论条纹的定域
大家知道，使用扩展光源将得到定域条纹。 大家知道，使用扩展光源将得到定域条纹。现 在，我们对一个简单的干涉系统用衍射积分计 算其干涉场，看一下定域条纹是如何得到的， 算其干涉场，看一下定域条纹是如何得到的， 并通过这个例子使大家了解如何用衍射积分来 计算光学系统各部分的光场分布。 计算光学系统各部分的光场分布。
2 2
2πz exp i 1 − (α 2 + β 2 ) λ
在光学信息处理中这一效应等价于空间滤波。 在光学信息处理中这一效应等价于空间滤波。
α 2 + β 2 ≥ 1 时，取正整数 µ = α 2 + β 2 − 1 ，则角谱 则角谱: 当
α β α β 2πµz A( , ; z ) = A( , ) exp − λ λ λ λ λ
ψ ( x, y , z ) =
∞ 1 = exp(i 2πz / λ ) ∫ ∫ ψ (ξ ,η ) exp{iπ [( x − ξ ) 2 + ( y − η ) 2 ] / λz}dξdη −∞ iλ z
(16)
式中: ψ (ξ ,η ) 表示z＝0平面上的光场复振幅分布。(16)式正是菲涅耳衍射公式。 上述积分在z＝0的平面进行（衍射孔径所在平面）。
α β α β ; z ) = A( , ) exp(ik z z ) λ λ λ λ α β 2πz 1 − (α 2 + β 2 ) 三、菲涅尔衍射 = A( , ) exp i λ λ λ
A( ,
（12）
பைடு நூலகம்
将(12)式中相因子内的根号作泰勒展开：
ρ 2 = u 2 + v 2 。在上式中忽略二级以上小量，则 式中
∞
(6)
xy平面向 （6）式表示：z=0平面上的光场，即透过xy平面向+z 式表示：z=0平面上的光场， 透过xy平面向+z 平面上的光场 方向传播的波，可以用不同方向的平面波展开。 方向传播的波，可以用不同方向的平面波展开。
（5）式表示复振幅分布的空间频率正比于 α / λ或β / λ ，
中的低频分量对应于与z 在 ψ ( x, y ) 中的低频分量对应于与z轴夹角不大的平 面波分量。而高频分量则对应于与z 面波分量。而高频分量则对应于与z轴夹角较大的 平面波分量。这是一个重要的概念。 平面波分量。这是一个重要的概念。
（11）
（10）式的一个解是： ）式的一个解是：
A( ,
α β α β ; z ) = A( , ) exp(ik z z ) λ λ λ λ α β 2πz = A( , ) exp i 1 − (α 2 + β 2 ) λ λ λ
（12）
光沿+z方向传播的效果 方向传播的效果， 当 α + β < 1 时，光沿 方向传播的效果，在频域 内表现为乘以一个沿z轴的相位延迟因子 内表现为乘以一个沿 轴的相位延迟因子
前面(12)式为角谱在自由空间中的传播公式：
A(
α β α β , ; z ) = A ( , ) exp λ λ λ λ
2π z i λ
1 − (α
2
+ β 2)
（12）
如果考虑到xy平面上光瞳函数的作用，(12)式改写为:
α β α β α β 2πz ; z ) = [ Ai ( , ) ∗ P ( , )] exp i 1 − (α 2 + β 2 ) λ λ λ λ λ λ λ
exp(i 2πα x x)
这里
α x = x s /(λf 0 )
为准直透镜L ，f 0 为准直透镜 的焦距。 的焦距。
先讨论光经B-M1-P传播到 的光场分布。利用平面波 传播到P的光场分布 先讨论光经 传播到 的光场分布。 角谱与相应的空间频率关系，这样，在分束器B上的平 角谱与相应的空间频率关系，这样，在分束器 上的平 面波角谱为： 面波角谱为：
其中 α 、β 和
γ 是
v 的方向余弦。 k 的方向余弦。
λ
(2)
ψ ( x, y,0) = ψ ( x, y ) = ∫ ∫ A(u, v) exp[−i 2π (ux + vy )]dudv
−∞
∞
(1)
引入二维矢量： 引入二维矢量：
α = (α , β )
则在z=0的平面上 则在z=0的平面上 z=0
如图1所示，是一个变形的马赫 曾德 曾德(Mach—Zhender） 如图 所示，是一个变形的马赫—曾德 所示 ） 干涉仪，可用来记录非相干光全息图。为简便计， 干涉仪，可用来记录非相干光全息图。为简便计，只限于讨 论一维情况。 论一维情况。 设( x s , y s)为扩展光 为扩展光 源上的任一点， 源上的任一点，由 该点光源发出 的光经准直透镜后 的入射平面波为: 的入射平面波为
(13)
表示一个随z的增大迅速衰减的波，称隐失波， 表示一个随 的增大迅速衰减的波，称隐失波，它只存在于很 的增大迅速衰减的波 接近于xy平面的一个簿层内 这是近场光学要讨论的问题。 平面的一个簿层内， 接近于 平面的一个簿层内，这是近场光学要讨论的问题。 下面只讨论前一种情况。 下面只讨论前一种情况。
式中P为p的角谱。（21）式说明透射波的角谱为入射波的 角谱与光瞳函数角谱的卷积。引入光阑后，一般来讲信号 的空间分布受到压缩。根据测不准原理，信号在频域中的 分布必然展宽。(21)式所示的卷积运算的结果，总是使入射波的角 式所示的卷积运算的结果， 式所示的卷积运算的结果
谱变得更加平滑，换言之，有更多的能量扩散到高频段中去。 谱变得更加平滑，换言之，有更多的能量扩散到高频段中去。