2020年高考数学《立体几何初步》专题 三垂线定理学案
高中数学 2.2.3.6三垂线定理(2)教案 新人教A版必修2
课题：2.2.3.6三垂线定理（2）课 型：新授课一、课题：三垂线定理（2）二、教学目标：1．进一步明确三垂线定理及逆定理的内容；2．能在新的情景中正确识别定理中的“三垂线”，并能正确应用．三、教学重、难点：三垂线定理的应用。
四、教学过程：（一）复习：1．三垂线定理及其逆定理的内容；2．练习：已知：在正方体1AC 中，求证：（1）111BD AC ⊥；（2）11BD B C ⊥． （二）新课讲解：例1．点A 为BCD ∆所在平面外的一点，点O 为点A 在平面BCD 内的射影，若,AC BD AD BC ⊥⊥，求证：AB CD ⊥．证明：连结,,OB OC OD ，∵AO BCD ⊥平面，且AC BD ⊥∴BD OC ⊥（三垂线定理逆定理）同理OD BC ⊥，∴O 为ABC ∆的垂心，∴OB CD ⊥， 又∵AO BCD ⊥平面，∴AB CD ⊥（三垂线定理）【练习】：BCD ∆所在平面外的一点A 在平面BCD 内的射影O 为BCD ∆的垂心，求证：点B 在ACD ∆内的射影P 是ACD ∆的垂心．例2．已知：四面体S ABC -中，,SA ABC ABC ⊥∆平面是锐角三角形，H 是点A 在面SBC 上的射影，求证：H 不可能是SBC ∆的垂心．证明：假设H 是SBC ∆的垂心，连结BH ，则BH SC ⊥，∵BH SBC ⊥平面∴BH 是AB 在平面SBC 内的射影，∴SC AB ⊥（三垂线定理）又∵SA ABC ⊥平面，AC 是SC 在平面ABC 内的射影∴ AB AC ⊥（三垂线定理的逆定理）∴ABC ∆是直角三角形，此与“ABC ∆是锐角三角形”矛盾∴假设不成立，所以，H 不可能是SBC ∆的垂心．例3．已知：如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是1CC 的中点，F 是,AC BD 的交点，求证：1A F BED ⊥平面．证明：1AA ABCD ⊥平面，AF 是1A F 在面ABCD 上的射影又∵AC BD ⊥，∴1A F BD ⊥取BC 中点G ，连结1,FG B G ，∵111111,A B BCC B FG BCC B ⊥⊥平面平面，∴,B G 为1A F 在面11BCC B 上的射影，又∵正方形11BCC B 中，,E G 分别为1,CC BC 的中点，∴1BE B G ⊥，∴1A F BE ⊥（三垂线定理）又∵EB BD B =，∴1A F BED ⊥平面．五、课堂小结：三垂线定理及其逆定理的应用．六、作业：1．已知P 是ABC ∆所在平面外一点，,,PA PB PC 两两垂直，H 是ABC ∆的垂心， 求证：PH ⊥平面ABC ．2．已知P 是ABC ∆所在平面外一点，,,PA PB PC 两两垂直，求证：P 在平面ABC 内的射影O 是ABC ∆的垂心．3．如图，ABC ∆是正三角形，F 是BC 的中点，DF ⊥平面ABC ，四边形ACDE 是菱形，求证：AD BE ⊥．4．如图，过直角三角形BPC 的直角顶点P 作线段PA ⊥平面BPC ，求证：P 在平面ABC 内的射影H 是ABC ∆的垂心．课后记：中国书法艺术说课教案今天我要说课的题目是中国书法艺术，下面我将从教材分析、教学方法、教学过程、课堂评价四个方面对这堂课进行设计。
第九章立体几何教案(15)
三垂线定理（1）教学目的：知识目标：三垂线定理及其逆定理的形成和论证．三垂线定理及其逆定理的简单应用． 能力目标：利用投影、运算机模拟运动，增强直观性，鼓励学生的学习动机，培育学生的空间想象能力和转化的数学思想方式。
德育目标：通过定理的论证和练习的训练渗透化繁为简的思想和转化的思想． 教学重点：掌握三垂线定理及逆定理。
教学难点：两个定理的证明及应用． 教学疑点及解决方式（1）三垂线定理及其逆定理，揭露了平面内的直线与平面的垂线、斜线及斜线在平面内的射影这三条直线的垂直关系，其实质是平面内的一条直线与平面的一条斜线（或斜线在平面内的射影）垂直的判定定理．（2）本节课的两个定理，涉及的直线较多，学生在熟悉和理解上都会存在困难，为了加深印象并说明复杂的直线位置关系，能够采用一些教具，或让学生预备三根竹签，依照教师的要求摆放．在学生感性熟悉的基础上，进行理性的证明和记忆，有助于定理的掌握．（3）三垂线定理是先有直线a 垂直于射影AO 的条件，然后取得a 垂直于斜线PO 的结论；而其逆定理则是已知直线a 垂直于斜线PO ，再推出a 垂直于射影AO ．在引历时容易引发混淆，解决的办法是，构造一个同时利用这两个定理的问题，引导学生分清．（4）教学核心是定理的形成教学，教学的指导思想是：遵循由具体探讨抽象、由简单到复杂的熟悉规律，启发学生反复试探，不断内化成为自己的认知结构． 讲课类型：新讲课教学模式：讲练结合 启发引导 自学指导 发觉教学法 偿试指导法 启发、诱导发觉教学.教 具：多媒体、实物投影仪 教学进程： 一、温习引入： （1） 温习旧知，揭露课题例1（引例）在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中， ① 找平面AC 的斜线BD 1的射影 ② BD 1与AC 的位置关系如何？③ BD 1与AC 成多少度的角？通过回忆斜线、射影、直线与直线的位置关系，揭露这节课所要学的内容与原来所学的知识之间的内在联系，也就是提示学生这节课的目的是利用所学过的数学知识去总结结论，发觉定理，从而为定理的证明打下了基础。
高考数学一轮复习《三垂线定理》学案
第5课时三垂线定理斜线和平面所成角，是这条斜线和平面内任一条直线所成角中．变式训练1：如图，道旁有一条河，河对岸有电塔AB，塔顶A到道路距离为AC，且测得∠BCA ＝30°，在道路上取一点D，又测得CD＝30m，∠CDB＝45°．求电塔AB的高度．解：BC＝30，AB＝BC tan30°＝103例2．如图，矩形纸片A1A2A3A4，B、C、B1、C1分别为A1 A4、A2A3的三等分点，将矩形片沿BB1，CC1折成三棱柱，若面对角线A1B1⊥BC1；求证：A2C⊥A1B1．解：取A2B1中点D1∵A2C1＝B1C1∴C1D1⊥A2B1又A1A2⊥面A2B1C1∴C1D1⊥A1A2∴C1D1⊥面A1A2B1B ∴BD1是BC1在面A2B上的射影由A1B1⊥BC1∴BD1⊥A1B1取A1B中点D 同理可证A2D是A2C在面A2B上的射影B1A1 B CA1A2B1C1A2C1CBDABC基础过关∵A 2D BD 1 ∴A 2DBD 1是平行四边形 由BD 1⊥A 1B 1 ∴A 1B 1⊥A 2D ∴A 2C⊥A 1B 1变式训练2：如图，在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝3，AA 1＝4，M 为AA 1中点，P 是BC 上一点，且由P 沿棱柱侧面经过棱CC 1到M 的最短路线长29，设这条最短路线与CC 1交点N ，求：(1) PC 和NC 的长；(2) 平面NMP 与平面ABC 所成二面角(锐角)大小． 解：将侧面BB 1C 1C 绕棱CC 1旋转120°使其与侧面 AA 1C 1C 在同一平面上，点P 运动到点P 1的位置，连接MP 1，则MP 1就是由点P 沿棱柱侧面经过棱CC 1到点M 的最短路线 设PC ＝x ，则P 1C ＝x ，在Rt△MAP 1中，由勾股定理得x ＝2 ∴PC＝P 1C ＝2 ∵5211==AP C P MA NC ∴NC＝54(2) 连接PP 1，则PP 1就是平面NMP 与平面ABC 的交线，作NH⊥PP 1于H ，又CC 1⊥平面ABC ，连结CH ，由三垂线定理得CH⊥PP 1∴∠NHC 就是平面NMP 与平面ABC 所成的平面角(锐角) 在Rt△PHC 中 ∵∠PCH＝21∠P CP 1＝60°∴CH＝2PC ＝1在Rt△PHC 中 tanNHC ＝54故平面NMP 与平面ABC 所成二面角大小为arctan 54 例3.如图在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中， 点E 是棱BC 的中点，点F 是棱CD 上的动点． (1) 试确定点F 的位置，使得D 1E ⊥面AB 1F ； (2) 当D 1E ⊥面AB 1F 时，求二面角C 1－EF －A 大小．解：(1) 连结A 1B ，则A 1B 是D 1E 在面ABB 1A 1内的射影 ∵AB 1⊥A 1B ∴D 1E⊥AB 1于是D 1E⊥平面AB 1F ⇔D 1E⊥AF连结DE ，则DE 是D 1E 在底面ABCD 内的射影 ∴D 1E⊥AF ⇔DE⊥AF∵ABCD 是正方形，E 是BC 的中点 ∴当且仅当F 是CD 的中点时，DE⊥AF 即当点F 是CD 的中点时，D 1E⊥面AB 1F(2) 当D 1E⊥平面AB 1F 时，由(1) 知点F 是CD 的中点，又已知点E 是BC 的中点，连结EF ，则EF∥BD 连AC ，设AC 与EF 交点H ，则CH⊥EF，连C 1H ，则CH 是C 1H 在底面ABCD 内的射影 ∴C 1H⊥EF即∠C 1HC 是二面角C 1－EF －C 的平面角D 1 C 1B 1A 1BADFCEA 1 C 1B 1M N CPB A在Rt△C 1HC 中 ∵C 1C ＝1 CH ＝41AC ＝42∴tan∠C 1HC ＝221=CHCC∴∠C 1HC ＝arctan 22 ∴∠AHC 1＝π－arctan22变式训练3：正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中棱长a ，点P 在AC 上，Q 在BC 1上，AP ＝BQ ＝a ， (1) 求直线PQ 与平面ABCD 所成角的正切值； (2) 求证：PQ⊥AD ．(1) 解：过Q 作QM∥CC 1交BC 于M 则QM⊥面ABCD ∴∠QPM 就是所求角 ∵BCBMBC BQ =1即a a BCBM2=∴aa a BCCM22-=aa a ACCP 22-= ∴ACCP BC CM=∴PM∥AB在Rt△PQM 中 PM ＝a212- QM ＝a 22∴tan∠QPM＝PMQM＝aa 21222-＝2＋1(2) 由(1) 可知PM⊥BC PQ 在面ABCD 内的射影是PM. ∴PQ⊥BC 又AD∥BC ∴PQ⊥AD例4．如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AD ＝AA 1＝1，AB ＝2，点E 在棱AB 上移动． (1) 证明：D 1E⊥A 1D ；(2) 当E 为AB 的中点时，求点E 到面ACD 1的距离； (3) AE 等于何值时，二面角D 1－EC －D 的大小为4π． (1) 证明：∵ AE⊥平面AA 1DD 1，A 1D⊥AD 1，∴A 1D⊥D 1E ．(2) 设点E 到面ACD 1的距离为h ，在△ACD 1中，AC ＝CD 1＝5，AD 1＝2，C AD S 1∆＝21·2·215-＝23，而ADC S ∆＝21·AE·BC＝21． ∴ABC D V -1＝31ABC S ∆·DD 1＝31C AD S 1∆·h ∴21×1＝23×h， ∴h＝31(3) 过D 作DH⊥CE 于H ，连D 1H 、DE ，则D 1H⊥CE，∴∠DHD 1为二面角D 1－EC －D 的平面角．设AE ＝x ，则BE ＝2－xAACD B CEDB在Rt△D 1DH 中，∵∠DHD 1＝4π，∴DH＝1 ∵在Rt△ADE 中，DE ＝21x +，∴在Rt△DHE 中，EH ＝x ，在Rt△DHC 中，CH ＝3，CE ＝542+-x x ，则x ＋3＝542+-x x ，解得x ＝2－3．即当x ＝2－3时，二面角为D 1－EC －D 的大小为4π． 变式训练4：如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是边长为a 的正方形，且PD ＝a ，PA ＝PC ＝2a ．(1) 求证：PD⊥面ABCD ； (2) 求直线PB 与AC 所成角； (3) 求二面角A －PB －D 大小．证明：(1) ∵PC＝2a PD ＝DC ＝a∴PD 2＋DC 2＝PC 2∴△PDC 是直角三角形 ∴PD⊥DC 同理PD ⊥DA 又∵DA∩DC＝D ∴P D⊥平面ABCD(2) 连BD ∵ABCD 是正方形 ∴AC⊥BD 又∵P D⊥平面ABCD AC⊥PB(三垂线定理) ∴PB 与AC 所成角为90°(3) 设AC∩BD＝0 作AE⊥PB 于E ，连OE ∵AC⊥BD PD⊥平面ABCD AC ⊂面ABCD ∴PD⊥AC ∴AC⊥平面PDB又∵OE 是AE 在平面PDB 内的射影 ∴OE⊥PB∴∠AEO 就是二面角A －PB －O 的平面角 又∵AB＝a PA ＝a 2 PB ＝a 3 ∵PD⊥面ABCD DA⊥AB ∴ PA⊥AB 在Rt△PAB 中 AE·PB＝PA·AB ∴AE＝a 36 AO ＝a 22∴sin∠AEO＝23 ∴∠AEO＝60°1．求直线和平面所成的角的一般步骤是一找(作)，二证，三算．寻找直线在平面内的射影是关键，基本原理是将空间几何问题转化为平面几何问题，主要转化到一个三角形内，通过解三角形来解决．2．三垂线定理及逆定理，是判定两条线互相垂直的重要方法，利用它解题时要抓住如下几个环节：一抓住斜线，二作出垂线，三确定射影．３．证明线线垂直的重要方法：三垂线定理及逆定理；线⊥面⇒线⊥线；向量法．P ABCD小结归纳。
三垂线定理教案
三垂线定理教案【课题】三垂线定理【教学目标】根据教学大纲的要求、本节课的特点和学生对空间图形的认知特点，本节课的教学目的确定如下：知识目标：理解并掌握三垂线定理及其证明，准确把握几个垂直关系的实质，初步学会应用三垂线定理解决相关问题。
能力目标：通过对三垂线定理的探索过程，进一步渗透立体几何证明中的转化思想，具体体现在线线垂直与线面垂直的辨证关系上：线⊥线判定线⊥面性质线⊥线情感目标：通过数学严密的逻辑推理教学，使学生感受数学的严谨性，体会数学的美。
【教学重点、难点】重点：三垂线定理的理解和应用。
难点：正确做出或找出射影，熟练掌握并运用三垂线定理【教学方法】讲授法【教学工具】三角板，多媒体。
本节课内容较多，又涉及到很多的空间图形，所以采用多媒体课件来教学有助于降低学生学习的难度，提高课堂学习效率，还准备一把三角尺，建立三垂线定理中几条直线的模型，帮助理解三垂线定理的实质。
【教学过程】（一）复习提问：1、线⊥线判定线⊥面性质线⊥线2、何为平面的斜线、何为斜线在平面上的射影？（二）新课讲授：练习：已知PA、PO分别是平面α的垂线、斜线，AO是PO在平面α上的射影. a ⊂α,a ⊥AO 。
求证a ⊥PO三垂线定理：如果平面内的一条直线与平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，则它就与这条斜线垂直。
（垂影则垂斜） 分析定理中的3个垂直关系： 1、PA ⊥α （线面垂直） 2、a ⊥AO （线影垂直） 3、a ⊥PO （线斜垂直） 分析定理中的4条直线：PA —垂线 PO —斜线 AO —射影 a —平面内的直线（三）定理应用例1、已知P 是平面ABC 外一点，PA ⊥平面ABC ，AC ⊥BC,求证：PC ⊥BC (例1) (练习1) （选择这道例题的主要目的是直接应用定理）练习1：已知：PA ⊥正方形ABCD 所在平面，O 为对角线BD 的中点。
求证：PO ⊥BD, PC ⊥BD练习2：已知: PA ⊥平面PBC ，M 是BC 的中点 ，且PB=PC 求证： BC ⊥ AM（练习题设计意图：深化对定理的理解） Aα aOPP A BC P A B CD OP A PAC例2、在正方体AC 1中，求证 ：A 1C ⊥BD ， A 1C ⊥BC 1（例题设计意图：培养学生在变换位置的形式下应用三垂线定理的能力）小结运用三垂线定理证明的一般步骤：一定（定平面）二找（ 找平面的垂线、斜线及其射影） 三证（证平面内一直线与斜线垂直）（ 解题回顾设计意图帮助学生理顺解题思路）练习3：填空：如图，ABCD 是矩形，PA ⊥平面AC,连接PB 、PC 、PD 。
高中数学 2三垂线定理教案 新人教A版必修2
福建省漳州市芗城中学高中数学 2三垂线定理教案新人教A版必修2授课类型：新授课授课时间：第周年月日（星期）一、教学目标1、知识与技能：理解三垂线定理及其逆定理的证明，准确把握“空间三线”垂直关系的实质；掌握三垂线定理及其逆定理解题的一般步骤。
2、过程与方法：通过三垂线定理的证明及应用，体会空间线线、线面垂直关系的转化。
3、情感态度与价值观：培养学生的观察、猜想和论证能力；培养学生对待知识的科学态度和辩证唯物主义观点。
二、教学重点：三垂线定理及其逆定理的证明和初步应用。
难点：三垂线定理中的垂直关系及证明过程。
关键：把握住斜线和它在平面上的射影必定同时垂直于平面内的某条直线。
三、教材分析：1、“三垂线定理”是高中立体几何中的重要内容之一，它是在研究了空间直线和平面垂直的基础上研究两条直线垂直关系的一个重要定理，它既是线面垂直关系的一个应用，又为以后学习面面垂直，研究空间距离、空间角奠定了基础，同时这节课也是培养学生空间想象能力和逻辑思维能力的重要内容，对培养学生的探索精神和创新能力都有重要意义。
2、本节课的教学过程为：猜、证、比、用，即猜想平面内的直线与平面的斜线垂直的特征；证明三垂线定理及其逆定理；比较两个定理；应用定理证题。
由于本节课安排在立体几何学习的初始阶段，是学生空间观念形成的关键时期，因此要重视让学生动手做模型，教师演示指导，让学生直观地感受到空间线面、线线关系的变化，再在教师的引导下思考线面、线线垂直关系存在的因果关系，逐步推理、猜想命题，论证命题，从而发现定理，揭示定理的实质，在定理论证中进一步发展定理，引出逆定理，再进行比较，从而更进一步地把握定理的关键。
对定理的应用，只要求学生在理解定理的基础上，理清应用定理证题的一般步骤，学会证明一些简单问题。
3、本节课采用启发、引导、探索式相结合的教学方法，启发、引导学生积极思考，勇于探索，使学生的心理达到一种“欲罢不能”的兴奋状态，从而产生浓厚的学习兴趣，发挥学生的主观能动性，体现学生的主体作用。
三垂线定理教学设计
《三垂线定理》教学设计许平一、教学目标：1．认知目标：（1）使学生掌握三垂线定理及其逆定理的内容，并能从口头上和书面上作出正确的表达；（2）初步掌握运用三垂线定理或逆定理证空间两直线垂直的思考方法。
2．能力目标：通过探索三垂线定理及其证明，培养学生观察问题，发现问题的能力和空间想象能力，培养学生空间计算能力和逻辑思维能力.3．情感目标：激发学生学习兴趣，培养学生不断发现、探索新知的精神；渗透事物相互转化理论联系实际的辩证唯物主义观点，并通过图形的立体美、对称美，培养学生的审美意识。
二、重点、难点：(1)掌握并正确表达定理的内容是本节课的重点；(2)构造运用定理的条件证空间两直线垂直的思维能力是本节课的难点。
三、对象分析：对高中学生来说，空间观念正在形成，因此本节课的重点是要学生通过模型演示、推理论证，领会三垂线定理及其逆定理的实质，正确认识“空间三线”的垂直关系；同时掌握用“线面垂直法”研究空间直线垂直关系的思想方法。
本节教学的难点是准确把握“空间三线”垂直关系的实质，掌握应用三垂线定理及其逆定理证题的一般步骤。
领会定理实质的关键是要认识到平面内一条直线与斜线及其在平面内的射影确定的平面垂直；应用定理的关键是要找到平面的垂线，射影就可由垂足与斜足确定，问题便会迎刃而解。
四、教材分析：“三垂线定理”是在立体几何中研究了空间直线和平面垂直关系的基础上研究空间两条直线垂直关系的一个重要定理。
它既是线面垂直关系的一个应用，又为以后学习面面垂直，研究空间距离、空间角、多面体与旋转体的性质奠定了基础，同时这节课也是培养学生空间想象能力和逻辑思维能力的重要内容，对培养学生的探索精神和创新能力都有重要意义五、学法指导教学矛盾的主要方面是学生的学。
学是中心，会学是目的。
因此在教学中要不断指导学生学会学习。
根据立体几何教学的特点，本节课主要是教给学生“动手做、动脑想、大胆猜、严格证、多训练、勤钻研”的研讨式学习方法，这样做增加了学生的参与机会，增强了参与意识，教给了学生获取知识的途径，思考问题的方法，使学生真正成了教学的主体。
三垂线定理及其逆定理的练习课教案
三垂线定理及其逆定理的练习课教案第一篇：三垂线定理及其逆定理的练习课教案三垂线定理及其逆定理的练习课教案教学目标1．进一步理解、记忆并应用三垂线定理及其逆定理；2．理解公式cosθ1·cosθ2＝cosθ的证明及其初步应用；（课本第122页第3题）3．理解正方体的体对角线与其异面的面对角线互相垂直及其应用；4．了解课本第33页第11题．教学重点和难点教学的重点是进一步掌握三垂线定理及其逆定理并应用它们来解有关的题．教学的难点是在讲公式cosθ1·cosθ2＝cosθ应用时比较θ2与θ的大小．教学设计过程师：上一节课我们讲了三垂线定理及其逆定理的证明并初步应用了这两个定理来解一些有关的题．今天我们要进一步应用这两个定理来解一些有关的题，先看例1．例1 如图1，AB和平面α所成的角是θ1；AC在平面α内，BB′⊥平面α于B′，AC和AB的射影AB′成角θ2，设∠BAC＝θ．求证：cosθ1·cosθ2＝cosθ．师：这是要证明三个角θ，θ2和θ的余弦的关系，θ已经在直角△ABB′中，我们能否先作出两个直角三角形分别使θ2和θ是这两个直角三角形中的锐角．11生：作B′D⊥AC于D，连BD，则BD⊥AC于D．这时θ2是直角△B′DA中的一个锐角，θ是直角△ABD中的一个锐角．师：刚才的表述是应用三垂线定理及其逆定理时常常使用的“套话”，我们一定要很好理解并能熟练地应用．现在已经知道θ1、θ2和θ分别在三个直角三角形中，根据三角函数中的余弦的定义分别写出这三个角的余弦，再来证明这公式．师：这个公式的证明是利用余弦的定义把它们转化成邻边与斜边的比，为此要先作出直角三角形，为了作出直角三角形我们应用了三垂线定理．当然也可用它的逆定理．这个公式是在课本第121页总复习参考题中的第3题．我们为什么要提前讲这个公式呢？讲这个公式的目的是为了用这个公式，因为在解许多有关题时都要用到这公式．那我们要问在什么条件下可用这个公式？生：因为θ1是斜线AB与平面α所成的角，所以只有当图形中出现斜线与平面所成的角时，才有可能考虑用这公式．师：为了在使用这个公式时方便、易记，我们规定θ1表示斜线与平面所成的角，θ2是平面内过斜足的一条射线与斜线射影所成的角，θ是这条射线与斜线所成的角．下面我们来研究一下这个公式的应用．应用这个公式可解决两类问题．第一是求值．即已知这公式中的两个角，即可求出第三个角或其余弦值．例如：θ＝60°，这时θ2＜θ；当θ1＝45°，θ2＝135°时，cosθ＝cos45°·cos135°＝第二是比较θ2与θ的大小．因为我们已经规定θ1是斜线与平面所成的角，一定有0°＜θ1＜90°，它的大小不变，为了比较θ2与θ的大小，下面分三种情况进行讨论．（1）θ2＝90°，因为θ2＝90°，所以cosθ2＝0，因此cosθ＝cosθ1·cosθ2＝0，故θ＝90°．当θ＝90°时，我们也可以证明θ＝90°．2一条直线如果和斜线的射影垂直，那么它就和斜线垂直．这就是三垂线定理．一条直线如果和斜线垂直，那么它就和斜线的射影垂直．这就是三垂线定理的逆定理．所以，我们可以这样说，这个公式是三垂线定理及其逆定理的一般情况，而三垂线定理及其逆定理是这公式的特殊情况．现在我们来研究在θ2是锐角时，θ2与θ的大小．（2）0°＜θ2＜90°．师：在这个条件下，我们怎样来比较θ2与θ的大小？生：因为0°＜θ1＜90°，所以0＜cosθ1＜1，又因为0°＜θ2＜90°，所以0＜cosθ2＜1．又因为cosθ＝cosθ1·cosθ2，所以0＜cosθ1＜1，而且cosθ＝cosθ1·cosθ2＜cosθ2，在锐角条件下，余弦函数值大的它所对应的角小．所以θ2＜θ．师：现在我们来讨论当θ是钝角时，θ2与θ的大小．2（3）90°＜θ2＜180°．在这个条件下，我们不再用公式cosθ1·cosθ2＝cosθ做理论上的证明来比较θ2与θ的大小，而是一起来看模型（或图形）．我们假设θ2的邻补角为θ′2，θ的邻补角为θ′，即θ＋θ′2＝180°，θ＋θ′＝180°．在模型（或图形）中我们可以看出当θ2是钝角时，θ也是钝角，所以它们的两个邻补角θ′2和θ′都是锐角，由对第二种情况的讨论我们2知道θ′2＜θ′．由等量减不等量减去小的大于减去大的，所以由θ2＝180°－θ′2，θ＝180°－θ′，可得θ2＞θ．根据以上讨论现在小结如下：当θ2＝90°时，θ＝θ2＝90°，它们都是直角．当0°＜θ2＜90°时，θ2＜θ，它们都是锐角；当90°＜θ2＜180°时，θ2＞θ，它们都是钝角．关于公式cosθ1·cosθ2＝cosθ的应用，今后还要随着课程的进展而反复提到．现在我们来看例2．例2 如图2，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求证：（1）A1C⊥平面C1DB于G；（2）垂足G为正△C1DB的中心；（3）A1G＝2GC．师：我们先来证明第（1）问．要证直线与平面垂直即要证什么？生：要证A1C与平面C1DB内两条相交的直线垂直．师：我们先证A1C为什么与DB垂直？生：连AC，对平面ABCD来说，A1A是垂线，A1C是斜线，AC 是A1C在平面ABCD上的射影，因为AC⊥DB（正方形的性质），所以A1C⊥DB．（三垂线定理）同理可证A1C⊥BC1．因为A1C⊥平面C1DB（直线与平面垂直的判定理）（在证A1C⊥BC1时，根据情况可详、可略，如果学生对应用三垂线定理还不太熟悉，则可让学生把这证明过程再叙述一遍，因为这时是对平面B1BCC1来说，A1B1是垂线，A1C是斜线，B1C是A1C 在平面B1BCC1上的射影，由B1C⊥BC1，得A1C⊥BC1）师：现在来证第（2）问，垂足G为什么是正△C1DB的中心？生：因为A1B＝A1C1＝A1D，所以BG＝GC1＝DG，故G是正△C1DB的外心，正三角形四心合一，所以G是正△C1DB的中心．师：现在来证第（3）问，我们注意看正方体的对角面A1ACC1，在这对角面内有没有相似三角形？生：在正方体的对角面A1ACC1内，由平面几何可知△A1GC1∽△OGC，且A1C1∶OC＝A1G∶GC，所以A1G∶GC＝2∶1，因此A1G＝2GC．师：例2是在正方体的体对角线与其异面的面对角线互相垂直引申而来，而例2也是一个基本的题型，对于以后证有关综合题型时很有用．所以对例2的证明思路和有关结论，尽可能的理解、记住．现在我们来看例3．例3 如图3，已知：Rt△ABC在平面α内，PC⊥平面α于C，D 为斜边AB的中点，CA＝6，CB＝8，PC＝12．求：（1）P，D两点间的距离；（2）P点到斜边AB的距离．师：现在先来解第（1）问，求P，D两点间的距离．师：现在我们来解第（2）问，求P点到AB边的距离．生：作PE⊥AB于E，连CE则CE⊥AB．（三垂线定理的逆定理）PE就是P点到AB边的距离．师：要求PE就要先求CE，CE是直角三角形ABC斜边上的高，已知直角三角形的三边如何求它斜边上的高呢？生：可用等积式CE·AB＝AC·CB，即斜边上的高与斜边的乘积等于两直角边的乘积．师：这个等积式是怎样证明的？生：有两种证法．因CE·AB是Rt△ABC面积的二倍，而AC·CB也是Rt△ABC面积的二倍，所以它们相等；也可用△BCE∽△ABC，对应边成比例推出这个等积式．师：这个等积式很有用，根据这个等积式，我们可以由直角三角形的三边求出斜边上的高，这个等积式以后在求有关距离问题时会常常用到，所以要理解、记住、会用．现在就利用这等积式先求CE，再求PE．师：通过这一题我们要区分两种不同的距离概念及求法；在求点到直线距离时，经常要用到三垂线定理或其道定理；在求直角三角形斜边上的高时会利用上述的等积式来求斜边上的高．现在我们来看例4．例4 如图4，已知：∠BAC在平面α内，PO α，PO⊥平面α于O．如果∠PAB＝∠PAC．求证：∠BAO＝∠CAO．（这个例题就是课本第32页习题四中的第11题．这个题也可以放在讲完课本第30页例1以后讲．不论在讲课本第30页例1，还是在讲这个例时，都应先用模型作演示，使学生在观察模型后，得出相关的结论，然后再进行理论上的证明，这样使学生对问题理解得具体、实在，因而效果也较好）师：当我们观察了模型后，很容易就猜想到了结论．即斜线PA在平面α上的射线是∠BAC的角平分线所在的直线，现在想一想可以有几种证法？生：作OD⊥AB于D，作OE⊥AC于E，连PD，PE，则PD⊥AB，PE⊥AC．所以Rt△PAD≌Rt△PAE，因此PD＝PE，故OD＝OE，所以∠BAO＝∠CAO．师：今天我们讲了公式cosθ1·cosθ2＝cosθ．能否用这公式来证明这题．（利用这公式来证明这个题，完全是由学生想到的，当然如果有的班学生成绩较差，思路不活，也可做些必要的提示）生：因为∠PAO是斜线与平面α所成的角，所以可以考虑用公式cosθ1·cosθ2＝cosθ．∠PAO相当于θ1；∠PAB＝∠PA C它们都相当于θ，由公式可得θ2＝θ′2，即∠BAO＝∠CAO．师：今天我们是应用三垂线定理及其逆定理来解这四个例题．例1、例2、例4是三个基本题．对这三个题一定要会证、记住、会用．关于这三个题的应用，以后还会在讲课过程中反复出现．在高考题中也曾用到．作业课本第33页第13题．补充题1．已知：∠BSC＝90°，直线SA∩平面BSC＝S．∠ASB＝∠ASC＝60°，求：SA和平面BSC所成角的大小．［45°］2．已知：AB是平面α的一斜线，B为斜足，AB＝a．直线AB与平面α所成的角等于θ，AB在平面α内的射影A1B与平面α内过B 3．已知：P为Rt△ABC所在平面外一点，∠ACB＝90°，P到直角顶点C的距离等于24，P到平面ABC的距离等于12，P到AC 4．已知：∠BAC在平面α内，PA是平面α的斜线，∠BAC＝60°，∠PAB＝∠PAC＝45°．PA＝a，PO⊥平面α于O．PD⊥AC于D，PE⊥AB于E．求：（1）PD的长；课堂教学设计说明1．如前所述，在学习过三垂线定理及其逆定理以后，教学要达到第二个“高潮”．也就是说要学生在这一学科的学习上攀登上第二个高峰．攀登第二个高峰要比攀登第一个高峰（求异面直线所成的角）要困难得多．因为题型较杂，知识面较广，思路较活．这都给学习造成很大的困难．但是，也正是这种困难才能激发起学生的学习兴趣和积极性．所以我不论是在北京师大二附中还是在北京九十二中教学时都安排了一节新课，三节到四节练习课，采用精讲多练的方法，使学生见到的题型更多，解题的思路更活．使他们比较容易地登上新的高峰，从而使以后的学习较为顺利．2．在解每一个例题时，如何灵活地应用三垂线定理及其逆定理是我们讲课的重点，也是时刻要把握住的中心环节．特别是一个空间图形有多个平面时，首先要找出“基准平面”，也就是说对于哪一个平面来用三垂线定理或其逆定理，在“基准平面”找出后，再找出“第一垂线”，也就是垂直“基准平面”的直线，然后斜线、射影也就迎刃而解了．3．在讲练习课时，要讲的例题很多，但一定要讲下述四个基本题：（1）△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，PA⊥平面ABC．求证：BC⊥平面PAC．（2）课本第122页第3题．（3）课本第33页第11题．（4）正方体的体对角线与其异面的面对角线互相垂直．因为上述四个基本题和与之对应的基本图形常常包含于某些综合题和与之对应的综合图形之中，并且往往起着决定性作用．因此，在我们解一些综合题时，通过观察和分析，如果发现存在上述情况，就可以将它们化归为上述基本题和与之对应的基本图形去解．这是在解立体几何题时又一重要的化归思想——“综合图形基本化”．（请参看《数学通报》1998年第2期《化归方法与立体几何教学》）这四个基本题都是应用三垂线定理与其逆定理解题典型．对这四个基本题和与之对应的基本图形，一定要让学生会证、理解、掌握、记住．这样才有可能应用它们来解综合题，这四个基本题是四个台阶，是向上攀登必不可缺的台阶．4．为了利用公式cosθ1·cosθ2＝cosθ来比较θ2与θ的大小，特选三题供老师们选用．（1）二面角α-AB-β的平面角是锐角，C是α内一点（它不在棱上），点D是C在β内的射影，点E是棱AB上任一点，∠CEB为锐角，求证：∠BEC＞∠DEB．（提示：∠CED相当于θ1，∠DEB相当于θ2，∠CEB相当于θ，θ＞θ2）（2）在△ABC中，∠B，∠C是两个锐角，BC在平面α内，AA′⊥平面α于A′，A′ BC上，求证：∠BAC＜∠BA′C．（提示：∠ABA′相当于θ1，∠A′BC相当于θ2，∠ABC相当于θ，因为∠ABC为锐角，所以∠A′BC也为锐角，故θ＞θ2）AC＝15，A1B＝5，A1C＝9．试比较这两个三角形的内角A和A1的大小．（提示：由cos∠BAC＝cos∠BA1C，得∠BAC＝∠BA1C，又因为∠ABC是钝角，∠ABC＜∠A1BC，而∠ACB是锐角，∠ACB＞∠A1CB，所以才有可能得出∠BAC＝∠BA1C）第二篇：三垂线定理及逆定理-高中数学知识口诀三垂线定理及逆定理上海市同洲模范学校宋立峰三垂线定理及逆定理面内直线面外点，过点引出两直线；斜线斜足定射影，斜垂射影必共面。
2020版高考数学一轮复习第7章立体几何初步第4节垂直关系教学案文含解析北师大版
第四节 垂直关系[考纲传真] 1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定定理.2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的垂直关系的简单命题．1．直线与平面垂直(1)定义：如果一条直线和一个平面内的任意一条直线都垂直，那么称这条直线和这个平面垂直．(2)定理αα⊥a(1)定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫作二面角．这条直线叫作二面角的棱，这两个半平面叫作二面角的面．(2)二面角的度量——二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫作二面角的平面角．平面角是直角的二面角叫作直二面角．3．平面与平面垂直(1)定义：两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直． (2)定理⊥lα∩1．若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面．2．一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这条直线与另一个平面也垂直．3．两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面．4．过一点有且只有一条直线与已知平面垂直．5．过一点有且只有一个平面与已知直线垂直．[基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)直线l与平面α内的无数条直线都垂直，则l⊥α．( )(2)垂直于同一个平面的两平面平行．( )(3)垂直于同一条直线的两个平面平行．( )(4)若两个平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面．( )[答案](1)×(2)×(3)√(4)×2．“直线a与平面M内的无数条直线都垂直”是“直线a与平面M垂直”的( ) A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件B[根据直线与平面垂直的定义知“直线a与平面M内的无数条直线都垂直”不能推出“直线a与平面M垂直”，反之可以，所以是必要不充分条件．故选B．]3．(教材改编)设α，β是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，且lα，mβ．( ) A．若l⊥β，则α⊥βB．若α⊥β，则l⊥mC．若l∥β，则α∥βD．若α∥β，则l∥mA[∵l⊥β，lα，∴α⊥β(面面垂直的判定定理)，故A正确．]4．如图所示，已知PA⊥平面ABC，BC⊥AC，则图中直角三角形的个数为________．4 [∵PA ⊥平面ABC ， ∴PA ⊥AB ，PA ⊥AC ，PA ⊥BC ， 则△PAB ，△PAC 为直角三角形． 由BC ⊥AC ，且AC ∩PA ＝A ， ∴BC ⊥平面PAC ，从而BC ⊥PC ． 因此△ABC ，△PBC 也是直角三角形．]5．边长为a 的正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角，则折叠后AC 的长为________．a [如图所示，取BD 的中点O ，连接A ′O ，CO ，则∠A ′OC 是二面角A ′BD C 的平面角．即∠A ′OC ＝90°，又A ′O ＝CO ＝22a ， ∴A ′C ＝a 22＋a 22＝a ，即折叠后AC 的长(A ′C )为a .]►考法1 直线与平面垂直的判定【例1】 (2018·全国卷Ⅱ)如图，在三棱锥P ABC 中，AB ＝BC ＝22，PA ＝PB ＝PC ＝AC ＝4，O 为AC 的中点．(1)证明：PO ⊥平面ABC ；(2)若点M 在棱BC 上，且MC ＝2MB ，求点C 到平面POM 的距离． [解] (1)证明：因为AP ＝CP ＝AC ＝4，O 为AC 的中点， 所以OP ⊥AC ，且OP ＝2 3. 连接OB ．因为AB ＝BC ＝22AC ，所以△ABC 为等腰直角三角形，且OB ⊥AC ，OB ＝12AC ＝2. 由OP 2＋OB 2＝PB 2知，OP ⊥OB ． 由OP ⊥OB ，OP ⊥AC ，OB 平面ABC ，AC平面ABC ，OB ∩AC ＝O ，知PO ⊥平面ABC ．(2)作CH ⊥OM ，垂足为H .又由(1)可得OP ⊥CH ，OP平面POM ，OM平面POM ，OP ∩OM ＝O ，所以CH ⊥平面POM .故CH 的长为点C 到平面POM 的距离．由题设可知OC ＝12AC ＝2，CM ＝23BC ＝423，∠ACB ＝45°.所以OM ＝253，CH ＝OC ·MC ·sin∠ACB OM ＝455.所以点C 到平面POM 的距离为455.►考法2 直线与平面垂直的性质【例2】 (2017·江苏高考)如图，在三棱锥A BCD 中，AB ⊥AD ，BC ⊥BD ，平面ABD ⊥平面BCD ，点E ，F (E 与A ，D 不重合)分别在棱AD ，BD 上，且EF ⊥AD ．求证：(1)EF∥平面ABC；(2)AD⊥AC．[证明](1)在平面ABD内，因为AB⊥AD，EF⊥AD，所以EF∥AB．又因为EF平面ABC，AB平面ABC，所以EF∥平面ABC．(2)因为平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，BC平面BCD，BC⊥BD，所以BC⊥平面ABD．因为AD平面ABD，所以BC⊥AD．又AB⊥AD，BC∩AB＝B，AB平面ABC，BC平面ABC，所以AD⊥平面ABC．又因为AC平面ABC，所以AD⊥AC．＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．证明：(1)CD ⊥AE ； (2)PD ⊥平面ABE .[证明] (1)在四棱锥P ABCD 中，∵PA ⊥平面ABCD ，CD 平面ABCD ，∴PA ⊥CD ．又∵AC ⊥CD ，且PA ∩AC ＝A ， ∴CD ⊥平面PAC ．而AE平面PAC ，∴CD ⊥AE .(2)由PA ＝AB ＝BC ，∠ABC ＝60°，可得AC ＝PA ． ∵E 是PC 的中点，∴AE ⊥PC ．由(1)知AE ⊥CD ，且PC ∩CD ＝C ，∴AE ⊥平面PCD ． 又PD平面PCD ，∴AE ⊥PD ．∵PA ⊥底面ABCD ，∴PA ⊥AB ．又∵AB ⊥AD ，且PA ∩AD ＝A ，∴AB ⊥平面PAD ，而PD 平面PAD ，∴AB ⊥PD ．又AB ∩AE ＝A ，∴PD ⊥平面ABE .【例3】 (2018·全国卷Ⅰ)如图，在平行四边形ABCM 中，AB ＝AC ＝3，∠ACM ＝90°.以AC 为折痕将△ACM 折起，使点M 到达点D 的位置，且AB ⊥DA ．(1)证明：平面ACD ⊥平面ABC ；(2)Q 为线段AD 上一点，P 为线段BC 上一点，且BP ＝DQ ＝23DA ，求三棱锥Q ABP 的体积．[解] (1)证明：由已知可得，∠BAC ＝90°，BA ⊥AC ． 又BA ⊥AD ，且AC平面ACD ，AD平面ACD ，AC ∩AD ＝A ，所以AB ⊥平面ACD ．又AB平面ABC ，所以平面ACD ⊥平面ABC ．(2)由已知可得，DC ＝CM ＝AB ＝3，DA ＝3 2.又BP ＝DQ ＝23DA ，所以BP ＝2 2.作QE ⊥AC ，垂足为E ，则QE13DC ． 由已知及(1)可得DC ⊥平面ABC ，所以QE ⊥平面ABC ，QE ＝1.因此，三棱锥Q ABP 的体积为V Q －ABP ＝13×QE ×S △ABP ＝13×1×12×3×22sin 45°＝1.(2018·江苏高考)在平行六面体11111111求证：(1)AB ∥平面A 1B 1C ； (2)平面ABB 1A 1⊥平面A 1BC ．[证明] (1)在平行六面体ABCD A 1B 1C 1D 1中，AB ∥A 1B 1.因为AB平面A 1B 1C ，A 1B 1平面A 1B 1C ，所以AB ∥平面A 1B 1C ．(2)在平行六面体ABCD A 1B 1C 1D 1中，四边形ABB 1A 1为平行四边形． 又因为AA 1＝AB ，所以四边形ABB 1A 1为菱形， 因此AB 1⊥A 1B ．又因为AB 1⊥B 1C 1，BC ∥B 1C 1， 所以AB 1⊥BC ． 又因为A 1B ∩BC ＝B ，A 1B 平面A 1BC ，BC平面A 1BC ，所以AB 1⊥平面A 1BC ． 因为AB 1平面ABB 1A 1，所以平面ABB 1A 1⊥平面A 1BC ．【例4】 如图，三棱锥P ABC 中，PA ⊥平面ABC ，PA ＝1，AB ＝1，AC ＝2，∠BAC ＝60°.(1)求三棱锥P ABC 的体积；(2)在线段PC 上是否存在一点M ，使得AC ⊥BM ，若存在求PMMC的值，并说明理由． [解] (1)由题设AB ＝1，AC ＝2，∠BAC ＝60°， 可得S △ABC ＝12·AB ·AC ·sin 60°＝32.由PA ⊥平面ABC ，可知PA 是三棱锥P ABC 的高， 又PA ＝1，所以三棱锥P ABC 的体积V ＝13·S △ABC ·PA ＝36. (2)在线段PC 上存在一点M ，使得AC ⊥BM ，此时PM MC ＝13.证明如下：如图，在平面PAC 内，过点M 作MN ∥PA 交AC 于N ，连接BN ，BM .由PA ⊥平面ABC 知PA ⊥AC ， 所以MN ⊥AC ． 由MN ∥PA 知AN NC ＝PM MC ＝13.所以AN ＝12，在△ABN 中，BN 2＝AB 2＋AN 2－2AB ·AN cos∠BAC ＝12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122－2×1×12×12＝34，所以AN 2＋BN 2＝AB 2， 即AC ⊥BN .由于BN ∩MN ＝N ，故AC ⊥平面MBN . 又BM平面MBN .所以AC ⊥BM .DC ＝2AB ＝2，DA ＝ 3.(1)线段BC 上是否存在一点E ，使平面PBC ⊥平面PDE ？若存在，请给出BE CE的值，并进行证明；若不存在，请说明理由．(2)若PD ＝3，线段PC 上有一点F ，且PC ＝3PF ，求三棱锥A FBD 的体积． [解] (1)存在线段BC 的中点E ，使平面PBC ⊥平面PDE ，即BE CE＝1.证明如下： 连接DE ，PE ，∵∠BAD ＝∠ADC ＝90°，AB ＝1，DA ＝3，∴BD ＝DC ＝2，∵E 为BC 的中点，∴BC ⊥DE ，∵PD ⊥平面ABCD ，∴BC ⊥PD ， ∵DE ∩PD ＝D ，∴BC ⊥平面PDE ，∵BC 平面PBC ，∴平面PBC ⊥平面PDE .(2)∵PD ⊥平面ABCD ，且PC ＝3PF ，∴点F 到平面ABCD 的距离为23PD ＝233，∴三棱锥A FBD 的体积V A FBD ＝V F ABD ＝13×S △ABD ×233＝13×12×1×3×233＝13.【例5】 如图1，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠BAD ＝π2，AB ＝BC ＝12AD ＝a ，E 是AD的中点，O 是AC 与BE 的交点．将△ABE 沿BE 折起到图2中△A 1BE 的位置，得到四棱锥A 1BCDE .图1 图2(1)证明：CD ⊥平面A 1OC ；(2)当平面A 1BE ⊥平面BCDE 时，四棱锥A 1BCDE 的体积为362，求a 的值． [解] (1)证明：在题图1中，连接EC (图略)， 因为AB ＝BC ＝12AD ＝a ，E 是AD 的中点，∠BAD ＝π2，所以BE ⊥AC ．即在题图2中，BE ⊥A 1O ，BE ⊥OC ， 从而BE ⊥平面A 1OC ．又CD ∥BE ，所以CD ⊥平面A 1OC ． (2)由已知，平面A 1BE ⊥平面BCDE ， 且平面A 1BE ∩平面BCDE ＝BE ，又由(1)可得A 1O ⊥BE ，所以A 1O ⊥平面BCDE . 即A 1O 是四棱锥A 1BCDE 的高．由题图1知，A 1O ＝AO ＝22AB ＝22a ，平行四边形BCDE 的面积S ＝BC ·AB ＝a 2，从而四棱锥A 1BCDE 的体积为V ＝13S ·A 1O ＝13×a 2×22a ＝26a 3.由26a 3＝362，得a ＝6.AC 上，且EF ∥BC ，将△AEF 沿EF 折起到△PEF 的位置，使得二面角P EF B 的大小为60°.(1)求证：EF ⊥PB ；(2)当点E 为线段AB 的靠近B 点的三等分点时，求四棱锥P EBCF 的侧面积．[解] (1)证明：在Rt△ABC 中，∵AB ＝BC ＝3，∴BC ⊥AB ．∵EF ∥BC ，∴EF ⊥AB ，翻折后垂直关系没变，仍有EF ⊥PE ，EF ⊥BE ， ∴EF ⊥平面PBE ，∴EF ⊥PB ．(2)∵EF ⊥PE ，EF ⊥BE ，∴∠PEB 是二面角P EF B 的平面角， ∴∠PEB ＝60°，又PE ＝2，BE ＝1，由余弦定理得PB ＝3，∴PB 2＋BE 2＝PE 2，∴PB ⊥BE ，∴PB ，BC ，BE 两两垂直，又EF ⊥PE ，EF ⊥BE ， ∴△PBE ，△PBC ，△PEF 均为直角三角形． 由△AEF ∽△ABC 可得，EF ＝23BC ＝2，S △PBC ＝12BC ·PB ＝332，S △PBE ＝12PB ·BE ＝32，S △PEF ＝12EF ·PE ＝2. 在四边形BCFE 中，过点F 作BC 的垂线，垂足为H (图略)，则FC 2＝FH 2＋HC 2＝BE 2＋(BC －EF )2＝2，∴FC ＝ 2.在△PFC 中，FC ＝2，PC ＝BC 2＋PB 2＝23，PF ＝PE 2＋EF 2＝22，由余弦定理可得cos∠PFC ＝PF 2＋FC 2－PC 22PF ·FC ＝－14，则sin∠PFC ＝154，S △PFC ＝12PF ·FC sin∠PFC ＝152. ∴四棱锥P EBCF 的侧面积为S △PBC ＋S △PBE ＋S △PEF ＋S △PFC ＝2＋23＋152.1．(2018·全国卷Ⅲ)如图，矩形ABCD 所在平面与半圆弧︵CD 所在平面垂直，M 是︵CD 上异于C ，D 的点．(1)证明：平面AMD ⊥平面BMC ；(2)在线段AM 上是否存在点P ，使得MC ∥平面PBD ？说明理由．[解] (1)证明：由题设知，平面CMD ⊥平面ABCD ，交线为CD ．因为BC ⊥CD ，BC平面ABCD ，所以BC ⊥平面CMD ，故BC ⊥DM .因为M 为︵CD 上异于C ，D 的点，且DC 为直径，所以DM ⊥CM . 又BC ∩CM ＝C ，所以DM ⊥平面BMC ． 而DM平面AMD ，故平面AMD ⊥平面BMC ．(2)当P 为AM 的中点时，MC ∥平面PBD ． 证明如下：如图，连接AC 交BD 于O .因为ABCD 为矩形，所以O 为AC 中点．连接OP ，因为P 为AM 中点，所以MC ∥OP .MC 平面PBD ，OP平面PBD ，所以MC ∥平面PBD ．2．(2017·全国卷Ⅰ)如图，在四棱锥P ABCD 中，AB ∥CD ，且∠BAP ＝∠CDP ＝90°。
2019-2020学年高中数学 2.2.3.6三垂线定理(2)教案 新人教A版必修2.doc
2019-2020学年高中数学 2.2.3.6三垂线定理（2）教案 新人教A版必修2课 型：新授课一、课题：三垂线定理（2）二、教学目标：1．进一步明确三垂线定理及逆定理的内容；2．能在新的情景中正确识别定理中的“三垂线”，并能正确应用．三、教学重、难点：三垂线定理的应用。
四、教学过程：（一）复习：1．三垂线定理及其逆定理的内容；2．练习： 已知：在正方体1AC 中，求证：（1）111BD AC ⊥；（2）11BD B C ⊥． （二）新课讲解：例1．点A 为BCD ∆所在平面外的一点，点O 为点A 在平面BCD 内的射影，若,AC BD AD BC ⊥⊥，求证：AB CD ⊥．证明：连结,,OB OC OD ， ∵AO BCD ⊥平面，且AC BD ⊥ ∴BD OC ⊥（三垂线定理逆定理）同理OD BC ⊥，∴O 为ABC ∆的垂心， ∴OB CD ⊥， 又∵AO BCD ⊥平面，∴AB CD ⊥（三垂线定理） 【练习】：BCD ∆所在平面外的一点A 在平面BCD 内的射影O 为BCD ∆的垂心，求证：点B 在ACD ∆内的射影P 是ACD ∆的垂心． 例2．已知：四面体S ABC -中，,SA ABC ABC ⊥∆平面是锐角三角形，H 是点A 在面SBC 上的射影，求证：H 不可能是SBC ∆的垂心． 证明：假设H 是SBC ∆的垂心，连结BH ，则BH SC ⊥，∵BH SBC ⊥平面∴BH 是AB 在平面SBC 内的射影， ∴SC AB ⊥（三垂线定理）又∵SA ABC ⊥平面，AC 是SC 在平面ABC 内的射影 ∴ AB AC ⊥（三垂线定理的逆定理）∴ABC ∆是直角三角形，此与“ABC ∆是锐角三角形”矛盾 ∴假设不成立，所以，H 不可能是SBC ∆的垂心．例3．已知：如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是1CC 的中点，F 是,AC BD 的交点，求证：1A F BED ⊥平面．证明：1AA ABCD ⊥平面，AF 是1A F 在面ABCD 上的射影D CBAD 1C 1B 1A 1O DCBAHCSBAGFEDCB AD 1C 1B 1A 1又∵AC BD ⊥，∴1A F BD ⊥ 取BC 中点G ，连结1,FG B G ，∵111111,A B BCC B FG BCC B ⊥⊥平面平面， ∴,B G 为1A F 在面11BCC B 上的射影，又∵正方形11BCC B 中，,E G 分别为1,CC BC 的中点，∴1BE B G ⊥， ∴1A F BE ⊥（三垂线定理）又∵EBBD B =，∴1A F BED ⊥平面．五、课堂小结：三垂线定理及其逆定理的应用． 六、作业：1．已知P 是ABC ∆所在平面外一点，,,PA PB PC 两两垂直，H 是ABC ∆的垂心， 求证：PH ⊥平面ABC ．2．已知P 是ABC ∆所在平面外一点，,,PA PB PC 两两垂直，求证：P 在平面ABC 内的射影O 是ABC ∆的垂心．3．如图，ABC ∆是正三角形，F 是BC 的中点，DF ⊥平面ABC ，四边形ACDE 是菱形， 求证：AD BE ⊥． 4．如图，过直角三角形BPC 的直角顶点P 作线段PA ⊥平面BPC ，求证：P 在平面ABC 内的射影H 是ABC ∆的垂心．课后记：HP C B AAB C ED F。
2020高中数学 第九章 三垂线定理(一)教学案 苏教版
三垂线定理（一）一、素质教育目标（一）知识教学点1．三垂线定理及其逆定理的形成和论证．2．三垂线定理及其逆定理的简单应用．（二）能力训练点1．猜想和论证能力的训练．2．由线面垂直证明线线垂直的方法（线面垂直法）；3．训练学生分清三垂线定理及其逆定理中各条直线之间的关系；4．善于在复杂图形中分离出适用的直线用于解题．（三）德育渗透点通过定理的论证和练习的训练渗透化繁为简的思想和转化的思想．二、教学重点、难点、疑点及解决方法1．教学重点（1）掌握三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直．（2）掌握三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直．2．教学难点：两个定理的证明及应用．3．教学疑点及解决方法（1）三垂线定理及其逆定理，揭示了平面内的直线与平面的垂线、斜线及斜线在平面内的射影这三条直线的垂直关系，其实质是平面内的一条直线与平面的一条斜线（或斜线在平面内的射影）垂直的判定定理．（2）本节课的两个定理，涉及的直线较多，学生在认识和理解上都会存在困难，为了加深印象并说明复杂的直线位置关系，可以采用一些教具，或者让学生准备三根竹签，按照教师的要求摆放．在学生感性认识的基础上，进行理性的证明和记忆，有助于定理的掌握．（3）三垂线定理是先有直线a垂直于射影AO的条件，然后得到a垂直于斜线PO的结论；而其逆定理则是已知直线a垂直于斜线PO，再推出a垂直于射影AO．在引用时容易引起混淆，解决的办法是，构造一个同时使用这两个定理的问题，引导学生分清．（4）教学核心是定理的形成教学，教学的指导思想是：遵循由具体探究抽象、由简单到复杂的认识规律，启发学生反复思考，不断内化成为自己的认知结构．三、课时安排本课题共安排2课时，本节课为第一课时．四、学生活动设计三垂线定理及其逆定理的条件和结论都比较简单，但应用却很广泛，为了培养学生的能力，应让学生探索定理的命题形式，充分利用好手中的三根竹签．设计学生活动符合建构主义的教学思想，也符合教师为主导、学生为主体的教学思想；教师根据教学要求，提出问题，创设情景，引导学生观察、猜想，主动发现，主动发展，从而调动了学生学习的积极性．五、教学步骤（一）温故知新，引入课题师：我们已经学习了直线和平面的垂直关系，学新课之前，让我们作个简单的回顾：1．直线和平面垂直的定义？2．直线和平面垂直的判定定理．3．什么叫做平面的斜线、斜线在平面上的射影？4．已知平面α和斜线l，如何作出l在平面α上的射影？（板书）l∩α＝A，作出l在平面α上的射影（二）猜想推测，激发兴趣师：根据直线与平面垂直的定义我们知道，平面内的任意一条直线都和平面的垂线垂直，那么，平面内的任意一条直线是否也都和平面的一条斜线垂直呢？（教师演示教具，用一个三角板的一条直角边当平面的斜线，一根包有色纸的竹竿摆放在桌面的不同位置当作平面内的不同直线，学生容易看出它们不一定互相垂直．）师：是否平面内的任意一条直线都不和这条平面的斜线垂直呢？（教师将三角板的另一条直角边平放在桌面上，并提示学生注意这条直角边与平面的关系——在平面上，与斜线的关系——垂直．）师：在平面上有几条直线和这条斜线垂直？（学生可能会回答一条，也可能回答无数条，教师应调整桌面上的竹竿位置，使其平行于三角板的直角边，然后平行移动，并向学生说明，这些直线都与斜线垂直．）师：平面内一条直线具备什么条件，才能和平面的一条斜线垂直？（学生的直觉判断是要与那条和桌面接触的直角边平行，这是正确的，但无多大用途；这时教师提醒学生注意斜线在平面内的射影，并调整教具，将三角板的斜边当作平面的斜线，构成垂线、斜线和射影的立体模型；要求学生与同桌配合，摆放课前准备的竹签成教师示范的模型；然后在教师的引导之下观察、猜想，与同桌的探讨中发现了只要与斜线的射影垂直就和斜线垂直．）（三）层层推进，证明定理师：猜测和实验的结论不一定正确，那么你想怎样证明这个猜想呢？（若用幻灯或投影仪，可以节省板书时间．）已知：PA、PO分别是平面α的垂线、斜线，AO是PO在平面α求证：a⊥PO．师：这是证明两条直线互相垂直的问题，你准备怎么证明？分析：从直线和平面垂直的定义可知，要证两条直线互相垂直，只要证明其中一条直线垂直于另一条直线所在的平面即可．师：这个平面你找到了吗？生：是平面PAO．师：怎样证明a⊥平面PAO呢？生：只要证明a垂直于平面PAO内的两条相交直线．证明：说明：1．定理的证明，体现了“由线面垂直证明线线垂直”的方法；2．上述命题反映了平面内的直线、平面的斜线和斜线在平面内的射影这三条直线之间的垂直关系，这就是著名的三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直．3．改变定理的题设和结论，得到逆命题：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直．可以用同样的方法证明，这就是三垂线定理的逆定理（请学生简要说明其证明方法和步骤）．4．定理中包含了三个垂直关系：PA⊥α，AO⊥a，PO⊥a，看出三垂线定理名称的来由．5．从定理的条件看，关键的是直线和平面的相对位置关系，而与平面本身是否水平放置无关；在平面内的直线a与斜线或斜线的射影的位置关系关键在于垂直；这样直线a的如下四种位置关系，都是三垂线定理及其逆定理常见的情形．6．从定理的结论看，三垂线定理及其逆定理是判断直线垂直的重要命题．（四）初步运用，提高能力1．（见课后练习题1．）已知：点O是△ABC的垂心，OP⊥平面ABC．求证：PA⊥BC．（学生先思考，教师作如下点拨）（1）什么叫做三角形垂心？（2）点O是△ABC的垂心可以得到什么结论？（3）可以考虑使用三垂线定理证明：你能找出本题中，应用三垂线定理必须涉及到的几个重要元素？生：首先先确定一个平面——平面ABC，斜线是PA，PA在平面ABC上的射影是AD，∵AD垂直于BC，∴PA⊥BC．师：他的回答是否有缺漏？生：应该交代BC是平面ABC上的一条直线．师：对，这个交代是必需的！（视学生程度作适当补充，用教具演示，还可以举反例说明．）证明：连接AO并延长交BC与D．师：三垂线定理是证明空间两条直线互相垂直的重要方法，上面的示例反映了应用三垂线定理解题的一般步骤，即确定一个平面、平面的垂线、斜线和斜线在平面上的射影．同时要注意的是平面内的一条直线和射影垂直，有这条直线和斜线垂直（定理）；平面内的一条直线和斜线垂直，有这条直线和射影垂直（逆定理），同学们必须理解掌握．2．（见课本例1）如果一个角所在平面外一点到角的两边距离相等，那么这一点在平面上的射影在这个角的平分线上．⊥AC，PO⊥α，垂足分别是E、F、O，PE＝PF．求证：∠BAO＝∠CAO．（学生思考，教师作适当的点拨．）（1）在平面几何中，证明点在角的平分线上的常规方法是什么？（2）PE＝PF给我们提供了什么结论？（3）所缺的垂直关系可以用三垂线定理或逆定理证明，你能列出证明所需的条件吗？证明：3．（课堂练习，师生共同完成．）如图1-91，点P为平面ABC外一点，PA⊥BC，PC⊥AB，求证：PB⊥AC．分析：证明直线与直线垂直的问题，可以考虑三垂线定理及其逆定理，图形中缺少的平面的垂线需要添加上去．证明：过P作平面ABC的垂线，垂足为O，连结AO、BO、CO．∵ PA⊥BC，∴AO⊥BC（三垂线逆定理）．同理可证 CO⊥AB，∴O是△ABC的垂心．∵OB⊥AC，∴PB⊥AC（三垂线定理）．（五）归纳小结，强化思想师：这节课，我们学习了三垂线定理及其逆定理，定理的证明方法是证明空间两条直线互相垂直的基本方法，我们称之为线面垂直法；还通过三个练习的训练加深了定理的理解，同时得到立体几何问题解决的一般思路．六、布置作业作为一般要求，完成习题四11、12、13．提高要求，完成以下两个补充练习：1．如图1-92，PA⊥△ABC所在平面，AB＝AC＝13，BC＝10，PA＝5，求点P到直线BC 的距离．参考答案：设BC的中点为D，连结PD．∵AB＝AC＝13，BC＝10，∴AD⊥BC．且AD＝12．又∵PA⊥平面ABC，∴PD⊥BC．即 PD的长度就是P到直线BC的距离．而 PD＝13．2．（课后练习题2略作改变）如图1-93，l是平面α的斜线，斜足是O，A是l上任意一点，AB是平面α的垂线，B 是垂足，设OD是平面α内与OB不同的一条直线，AC垂直于OD于C，若直线l与平面α所成的角θ＝45°，∠BOC＝45°，求∠AOC的大小．参考答案：连结BC．中，有∠AOC＝60°．讲评作业时说明：求角大小的问题，往往先确定（或构造）一个包含这个角的三角形，然后解三角形．由此，我们还验证了∠AOC＞θ．。
《三垂线定理》教学设计
《三垂线定理》教学设计《三垂线定理》教学设计一、教学目标：1．认知目标：掌握三垂线定理及其逆定理(1) 定理的证明(2) 定理的应用2．能力目标：(1)能够利用"线线垂直"→"线面垂直"及"线面垂直"→"线线垂直"(2)能够熟练的想象出"线线"、"线面"间的位置关系3．情感目标：(1)通过自己发现,探索,找出结论,激发学生学习兴趣;(2)培养学生主动探求、发现的精神。
二、重点、难点：本节课重点是三垂线定理及逆定理的证明及初步应用本节课难点是三垂线定理及逆定理中各线、面的作用三、对象分析及教学设计：该班学生基础中等，有一定的'分析问题、解决问题的能力，但积极性不够。
同时解决问题的能力有限,对于一些问题需要及时强化巩固。
考虑用多媒体技术来激发学生的主动性，使他们能够积极的投入到学习中去，自主去感受。
使学习者个体自我潜能得到真正有意义的开发和发展。
四、网络教学环境设计：在多媒体网络教室实施教学,学生机上都装有《几何画板》4.03及本课件，使得每个学生都能通过自己的操作体会到线线、线面之间的位置关系。
同时教师又能控制学生的电脑，能够进行课件的演示。
五、教学过程设计与分析：教学过程设计思路及多媒体应用分析[复习]线线垂直的定义及线面垂直的定义在计算机上，学生自己浏览和复习演示斜线及斜线在平面上的射影[提出问题、引入］已知一平面α和平面的一斜线pa，在平面内有没有直线与已知直线垂直,如果没有,请说明理由;如有,找出其中一条.由于前面复习时演示了斜线及斜线在平面上的射影,在计算机上演示直线和平面,通过线面之间图形的旋转,让学生体会线面之间的关系,学生很容易发现结论[学生回答][学生1]在平面内和斜线在平面上的射影垂直的直线是满足条件的直线[学生2]一定吗?学生2提出疑问,可以让学生自己在电脑上拖动直线a,观察是否始终和直线pa垂直.[教师演示]显示平面的垂线,斜线在平面上的射影,旋转平面的位置,移动直线a的位置.在整个动态变化过程中,让学生体会它们之间的关系[提问]如何进行证明此结论呢?[学生分析完成证明]在电脑上打出证明过程.[讲解]此定理为三垂线定理,。
三垂线定理的证明及应用教案
三垂线定理的证明及应用教案教学目的使学生掌握三垂线定理及其应用，同时培养学生观察、猜想和论证能力．教学过程一、复习和新课引入师：我们已经学习过直线与平面的垂直关系，请大家回答几个问题：(1)直线与平面垂直的定义．(2)直线与平面垂直的判定定理．(3)何谓平面的斜线、斜线在平面上的射影．生：略．师：(板书)设斜线l∩α=O，作出l在平面α上的射影．(师生共同完成图1．学生叙述画法，教师画图，再次深化概念．)[平面的垂线、斜线及斜线在平面上的射影是三垂线定理的基础，引导学生温故而知新是十分必要的．]二、猜想与发现师：根据直线和平面垂直的定义，我们知道，平面内的任意一条直线都和平面的垂线垂直．现在我们想一想，平面内的任意一条直线是否也都和平面的一条斜线垂直呢？(演示教具：用两根铁丝在桌面上演示，学生容易看出平面内的任意一条直线，并不一定和平面的一条斜线垂直．)师：那么，是否平面内的所有直线都不和平面的一条斜线垂直呢？[演示教具：如图2，设直线l(铁丝)和平面α(桌面)斜交，使直线m(铁丝)和l垂直，把直线m沿直线l平行移动到平面α内的n的位置，此时学生发现平面α内有直线与平面的斜线垂直．]师：如果我们把铁丝m在平面内平行移动，使其到不同的位置(直线)，那么，这些直线与铁丝l垂直吗？[学生根据“两条异面直线所成的角”的原理也很快判定这些直线与l(铁丝)垂直．]师：平面内一条直线具备什么条件，才能和平面的一条斜线垂直呢？即怎样判定平面内的直线与平面的一条斜线垂直呢？[指导学生用三角板和铅笔在桌面上搭成模型(如图3)，使铅笔与三角板的斜边垂直，引导学生观察猜想发现规律．经过实验，发现铅笔和三角板在平面α内的直角边垂直时便与斜边垂直．]师：(启发)如何归结为数学问题呢？(学生们恍然大悟，终于发现了，平面内的一条直线如果和平面的斜线的射影垂直就和平面的斜线垂直．)师：实验得出的结果是否正确还得进行证明．[引入新课是课堂教学的重要环节．新课引入得好，这节课就成功了一半，教师根据教与学的实际，提出问题，创设情境，引导学生观察、猜想，发现新知识，从而调动了学生的积极性，培养了学生的探索能力，体现了教师为主导、学生为主体的教学思想．]三、证明师：现在我们把由实验发现的结论表达成命题的形式．(学生叙述，教师板书．)已知：如图4，PA、PO分别是平面α的垂线和斜线，AO是PO在平面α上求证：a⊥PO．师：这是证明两条直线互相垂直的问题．在立体几何中怎样证明两条直线互相垂直呢？(学生思考、议论，教师归纳．)师：常用的方法是证明一条直线垂直于另一条直线所在的平面．现在要证明a⊥平面PAO呢？只要证明a⊥平面PAO内的两条相交直线即可．证明 (师生共同完成．)师：这个命题的证明，体现了“由线面垂直证线线垂直”的方法．这个方法很重要，大家要给以足够的重视．上述命题反映了平面内的一条直线、平面的斜线和斜线在这个平面内的射影这三者之间的垂直关系．这就是有名的三垂线定理．下面请大家根据已知条件和结论，把三垂线定理完整地表达出来．(学生叙述，教师板书．)三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直．[这样由具体到抽象地研究问题，能够培养学生的概括能力．从“猜想”到“证明”是质的升华！是学习数学必须具备的重要素质，引导学生证明猜想结果，总结定理，比直接给出定理记得牢，理解得深刻，又能培养学生的能力．]四、剖析定理师：(逐字逐句地阅读定理，同时圈点重要字眼，并提出下面几个问题让学生讨论．)(1)本定理的证明过程是对水平位置的平面α而进行的．那么定理对其他位置的平面是否成立？并说明理由．(2)直线a是平面α内垂直于AO的任意一条直线，a和斜线PO的位置关系有几种？反映三垂线定理的图形有几种可能的情况？并画出图形．(学生分组讨论，教师巡回指导，适时点拨，解答疑难，启发诱导，掌握讨论情况，然后教师总结．)师：(1)三垂线定理对任意位置的平面都成立．因为定理中并没有水平平面的限制．定理的实质是研究平面内的一条直线与这个平面的斜线及斜线在这个平面内的射影三者的垂直关系，与平面的位置无关．(2)因为a是平面α内的任意一条直线，所以a与斜线PO的位置关系有两种情况：一是不过斜足O的异面垂直；一是过斜足O的相交垂直．反映三垂线定理的图形有四种情况(如图5)．以上四种情况的图形在证题时都是经常遇到的，应该灵活运用三垂线定理．a不过斜足O时的情况容易被忽略，这是证题时确定三垂直关系的一个难点，应当给以足够的重视．[剖析定理是几何教学中的一个重要环节．通过剖析，可以加深对定理的理解，为应用定理奠定基础，这是提高教学质量的重要措施．]五、定理的应用[定理的应用是学习定理的重要环节．它既能巩固所学知识又能培养能力．]师：请同学们证明下题：已知：如图6，O是△ABC的垂心，PO⊥平面 ABC，连结PA．求证：BC⊥PA．(学生思考后，教师分析．)ABC，所以，要证明BC⊥PA，只要证明BC垂直PA在平面ABC上的射影即可．那么，怎样确定PA的射影呢？请大家把证明过程写在练习本上．(同时指定一学生上黑板板演．)生：(板演)因为PO、PA是平面的垂线和斜线，连结AO且延长交BC于D(图7)，则AO是PA在平面ABC上的射影．又O是△ABC的垂心，所以AD⊥BC，由三垂线定理可得BC⊥PA．师：请谈谈证明的思路．生：先找出平面的垂线、斜线以及这条斜线在平面上的射影，……．师：他回答完整吗，生：应先确定一个平面及平面内的一条直线．师：这点补充得好！三垂线定理是证明空间两条直线互相垂直的重要方法．应用三垂线定理的思维过程是：“一定”——定平面及平面内的一条直线；“二找”——找这个平面的垂线、斜线及斜线在这个平面上的射影；“三证”——证明平面内的一条直线与射影垂直．[在复杂图形中应用三垂线定理时，需要先确定反映三垂线定理的基本图形，然后才能着手证明，因而掌握三垂线的证题步骤是十分必要的．]师：我们来研究第二道题．(板书．)已知：正方体ABCD－A1B1C1D1．求证：(1)A1C⊥BC1；(2)A1C⊥平面C1DB．先考虑A1C⊥BC1如何证明？(在此指导下，学生们通过认真观察，独立思考，确定平面BCC1B1及平面内的一条直线BC1，A1B1是平面BCC1B1的垂线，A1C是斜线，从而找到了反映三垂线定理的基本图形．连结B1C，用三垂线定理证明A1C⊥BC1．)证明略．师：把第(1)小题作为条件证明第(2)小题，只需再证A1C⊥BD就可以了．[学生连结AC，顺利地证明了A1C⊥BD，第(2)小题的证明就水到渠成了．证明过程是：师：在数学证明中，相同的证明方法可用“同理可证”代替推理过程．但必须注意推理的严密性．例如，上面的证明过程中，要防止漏掉 BC1∩D B=B．(证明时，有些同学漏掉了这一点，经教师指导才改正，“同理”的运用也是如此．)[讲定理的应用时，关键是选好例题．这两道题的安排是由易到难，第一道题是直接应用定理，第二道题难度增大，要求学生在复杂的图形中通过观察和分析确定反映三垂线定理的基本图形，再应用定理，以培养学生灵活应用定理的能力．]六、小结(师生共同进行．)(1)本节课的教学可概括为四个字：猜、证、剖、用，即猜想平面内的直线与平面的斜线垂直的特征；证明三垂线定理；剖析定理的内容；应用定理证题．(2)叙述三垂线定理的内容，定理的证明方法是证明空间两条直线互相垂直的基本方法，称为线面垂直法．(3)此定理是空间两条直线垂直的判定定理，与平面的位置无关．运用定理的步骤是：“一定、二找、三证明”．七、课外作业课本习题：略．补充题：写出三垂线定理的逆定理，并加以证明．课后扎记学生们反映这样讲定理好，记得牢，理解得深刻．不仅学习了知识，而且培养了能力．从学生的作业来看，书写规范，推理正确，这反映学生对此定理掌握得好，运用得好．这类课型是体现教师为主导、学生为主体的教学思想的好形式．[课后扎记是课堂教学的继续，是不教学的教学．主要记载来自学生的信息，教师教学中的点滴体会及失败的教训．为改进教学和总结经验提供参考资料，本人长期坚持，收到了较好效果．]。
2020高中数学第九章三垂线定理(二)教学案苏教版
三垂线定理（二）一、素质教育目标（一）知识教课点三垂线定理及其逆定理的应用．（二）能力训练点1．初步掌握三垂线定理及其逆定理应用的规律．2．擅长在复杂图形中分别出合用的直线用于解题．3．进一步培育学生的识图能力、思想能力和解决问题的能力．（三）德育浸透点经过加强训练浸透化繁为简的思想和转变的思想．二、教课重点、难点、疑点及解决方法1．教课重点：三垂线定理及其逆定理的应用规律．2．教课难点：对复杂图形怎样分别出切合定理的条件用以解题以及解决问题的能力的培育是教课的难点．三、课时安排本课题共安排 2 课时，本节课为第二课时．四、学生活动设计惯例教课，教师课前设计好幻灯片，上课时讲练联合，学生思虑并记录重点步骤，个别学生回答以下问题．五、教课步骤（一）温故知新，引入课题师：上节课我们学习了三垂线定理及其逆定理，请一个同学来表达一下定理的内容．生：在平面内的一条直线，假如和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直．生：在平面内的一条直线，假如和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直．（学生回答时，教师画出图形，板书以下：）并指出： a 一定在平面α内，但不必定经过点O．师：从定理的结论看，三垂线定理及其逆定理是判断直线和直线垂直的重要命题，在论证直线和直线垂直的问题中，我们经常用到它们．这节课，我们就来学习它们的应用．（二）解题训练，提升能力例 1 Rt △ ABC在平面α内，∠ C＝ 90°， AC＝ 16， P 为α外一点， PA＝ PB＝PC，假如 P 到 BC的距离为 17，求点 P 到平面α的距离．剖析：求点到平面的距离，点到直线的距离，需要先作出这个距离，而后在适合的三角形中解这个三角形，此题重点的问题是确立点 P 在平面 a 内射影 O的详细地点和直角三角形的外心性质．解：作 PO⊥平面α，∵PA ＝ PB＝ PC，∴ OA＝ OB＝ OC．∴O 为 Rt△ ABC的外心．取 BC中点 D，连接 PD、 OD．则 OD是△ ABC中位线．由三垂线定理知PD⊥ BC，即 PD＝ 17，在 Rt △ ABC中， OP＝说明：这个例题经过三垂线定理证明直线与直线垂直，进而获得点到直线的距离，利用勾股定理解直角三角形是这种问题的常用方法．教师指引学生看书，并解说课本例题：（课本例 2）道旁有一条河，此岸有电塔 AB，高 15m，只有测角器和皮尺作丈量工具，可否求出电塔顶与道路的距离？例 2 如图 1-96 ，在正方体 AC1中，求证：（ 1） AC1⊥ A1D．（2） AC1⊥平面 A1BD．剖析：本例重点在于指引学生察看图形变化时，怎样正确运用三垂线定理．事实上，要证明 AC1⊥ A1D，知足的射影所在平面是竖直地点的平面 DA1，垂线是 C1D1，斜线是 AC1，射影是 AD1．应该战胜思想定势给证题带来的悲观影响．教课时，教师先写出第（1）小题的题目，让学生思虑，并画出图形，写出证法重点，教师作个别指点．而后，让一个学生板演，教师讲评．接着教师再写出第（ 2）小题的题目，让全体同学察看、思虑．证明：（1）连接AD1，由正方形可得．∵A D1⊥ A1D，C1D1⊥平面 AD1，∴A C1⊥ A1D．（2）由（ 1） AC1⊥ A1D，同理可证： AC1⊥ A1B．A1D∩ A1B＝A1，∴A C1⊥平面 A1BD．例 3点P为平面ABC外一点，PA⊥ BC，PC⊥ AB，求证：PB⊥ AC．证明：过 P 作 PO⊥平面 ABC于 O，连接 OA、 OB、OC．例 4长方体ABCD-A1B1C1D1中，P、O、R分别是AA1、BB1、BC上的点，PQ∥AB，C1Q ⊥PR．求证： D1Q⊥ QR．剖析： PQ∥AB供给的结论是 PQ⊥平面 BB1C1C，又由于 C1Q⊥ PR，在平面 BB1C1C上，利用三垂线逆定理，就能够获得RQ⊥QC1；又由于D1Q在平面BB1C1C上的射影是QC1，再在这个平面上利用三垂线定理，就能够获得结论．证明：∵PQ∥ AB，在长方体 ABCD-A1B1C1D1中，得 PQ⊥平面 BB1C1C，PR是平面BB1C1C 的斜线， RQ是斜线 PR在平面 BB1C1C上∴RQ⊥ QC1．又∵ D1C1⊥平面BB1C1C， D1Q是平面 BB1C1C的斜线， QC1是∴D1Q⊥ QR．说明：此题运用了三垂线定理及其逆定理，商讨了直线与直线垂直关系的变换，图形中直线地点关系较为复杂，并且射影面也特别规地点，学生可能没法轻易看出，教师应该适合指引．（五）概括小结，加强思想师：这节课，我们学习了三垂线定理及其逆定理的一些应用．六、部署作业（复习参照题一）8、 9．增补：1．正三角形 ABC的边长为 a，AD⊥ BC于 D，沿 AD把△ ABC折起，使∠ BDC＝90°，求折起后点 B 到 AC的距离．解答：作BE⊥ AC于 E，连接 DE．∵BD⊥ DC，BD⊥ AD．∴BD⊥平面 ADC．又∵ BE⊥ AC，∴DE⊥ AC．2． Rt △ ABC中， M是斜边 AB的中点， PM⊥平面 ABC， PM＝AC＝ a，求点 P 到 BC边的距离．解答：作PN⊥ BC于 N，则 PN就是点 P 到 BC的距离．∵PM⊥平面 ABC，∴MN⊥ BC．又∵ AC⊥ BC， M是 AB的中点，3．设 P 是△ ABC所在平面 M外一点，当 P 分别知足以下条件时，判断点 P 在 M内的射影的地点．（1） P 到三角形各边的距离相等．（2） P 到三角形各极点的距离相等．（3） PA、 PB、 PC两两垂直．答案：设P 在平面 M内的射影是O．（1） O是△ ABC的心里；（2） O是△ ABC的外心；（3） O是△ ABC的垂心．。
2020高中数学第九章三垂线定理练习课二教学案苏教版
三垂线定理练习课二教课目的1．进一步理解、稳固并应用三垂线定理及其逆定理；2．应用上一节课上所讲的两个基此题来解相关的综合题；3．经过解综合题提升学生解综合题的能力．教课要点和难点教课的要点是进一步掌握三垂线定理及其逆定理，并能灵巧的应用它们来解相关的题．教课的难点是在空间图形中有很多平面时，怎样选好“基准平面”和“第一垂线”．教课方案过程师：上一节我们应用三垂线定理及其逆定理讲了四个例题．此中大多是基此题．今日我们一方面要在应用这些基此题的基础上解相关的综合题；此外我们再来解其余的综合题来提升我们的解综合题的能力．此刻看例1．例 1 如图 1，已知： PA⊥ PB，PA⊥ PC， PB⊥ PC，求证：△ABC是锐角三角形．师：这一题证法好多，因此我们要多想几种证法．因此∠ BAC是锐角．同理可证∠ ABC，∠ ACB都是锐角．师：我们能不可以直接用三垂线定理来证？生：由已知可得 PA⊥平面 PBC．在直角三角形 PBC中，作 PD⊥BC于 D，由于∠ PBC，∠PCB都是锐角，因此垂足 D 必定在斜边 BC内部，连 PD，则 PD⊥BC（三垂线定理）．关于△ ABC 来说，因垂足 D 在 BC边内部，因此∠ ABC，∠ ACB都是锐角，同理可证∠ BAC也是锐角．师：能不可以用公式cos θ· cos θ＝ cos θ来证明△ ABC为锐角三角形？1 2生：因 AP⊥平面 PBC，因此∠ ABP是线面角，相当于θ1，∠PBC相当于θ 2，因θ 1，θ2 都是锐角．因此 cos θ＞ 0，cos θ＞0， cos θ＝ cos θ · cos θ＞ 0，因此θ为锐角。
即∠1 2 1 2ABC是锐角，同理可证∠BAC，∠ ACB都是锐角．师：我们用了三种方法来证明△ABC是锐角三角形，此刻我们换一个角度来研究这个基本图形此外一个性质．看例2．例 2 如图 2，已知： PA⊥ PB，PA⊥ PC，PB⊥ PC． PH⊥平面 ABC于 H．求证： H 点是△ABC的垂心．师：垂心是三角形三边垂线（高线）的交点，要证H 是△ ABC的垂心，只需证AH⊥ BC 即可．生：由于PA⊥ BP，PA⊥ CP，因此PA⊥平面 PBC．故 PA⊥BC．关于平面ABC来说， PH是垂线，PA是斜线， AH是 PA在平面 ABC内的射线．由于PA⊥ BC，因此AH⊥BC．同理可证BH⊥ AC， CH⊥ AB．故 H 是△ ABC的垂心．师：由例 2 的演变可得例3，此刻我们来看例3．例 3 如图 3，△ ABC中，∠ BAC是锐角， PA⊥平面 ABC于 A， AO⊥平面 PBC于 O．求证： O不行能是△ PBC的垂心．师：要证明O不行能是△ PBC的垂心，用什么方法？生：用反证法．师：为何想到用反证法？生：由于直接证不好证．师：对，由于直接来证不好利用条件，而用反证法，假定O是△ PBC的垂心，则这样证明的思路就“活了”，便可利用已知条件，此刻我们用反证法来证明．生：假定O是△ PBC的垂心，则BO⊥ PC．对平面 PBC来说， AO是垂线， AB 是斜线， BO是 AB在平面 PBC内的射影．由于BO⊥ PC，因此AB ⊥PC．又由于PA⊥平面 ABC， PA⊥AB，因此 AB⊥平面 PAC，AB⊥ AC，∠ BAC是直角，与已知∠ BAC是锐角相矛盾．因此假定不可以建立，因此 O不行能是△ PBC的垂心．师：剖析例 3 我们能够看出例 3 是由例 2 演变而来．也就是说在PA⊥AB， PA⊥ ACO是△PBC的垂心条件下必定能够推导出AB⊥ AC．是例 2 的抗命题再加以演变而得．此刻我们来看例 4．例 4 如图 4，已知：∠ AOB在平面α内，∠ AOB＝ 60°， PO是平面α的一条斜线段，∠POA＝∠ POB＝ 45°， PP′⊥平面α于 P′，且 PP′＝ 3．求：（1） PO与平面α所成的角的正弦；（2） PO的长．师：我们怎样利用上节课所讲的两个基此题来解这题．生：因∠ POA＝∠ POB，因此 OP′是∠ AOB的均分线，∠ POP′相当于θ1，θ2＝30°，θ＝ 45°，由 cos θ1·cos30 °＝ cos师：在我们脑中假如“储藏”很多基此题，那么在我们解相关综合题时，就能“得心应手”．因此在平常我们必定要注意对基此题的理解、掌握，解这题的思路就是一个典型．下边我们来看例 5．（1）直线 MN是异面直线 A1B 和 B1D1的公垂线；（2）若这个正方体的棱长为 a，求异面直线 A1B 和 B1D1的距离．师：我们是在讲三垂线定理及其逆定理应用时讲这个例题的．因此我们想法用三垂线定理或它的逆定理来证明这一题．要用三垂线定理第一要确立关于哪一个平面来用三垂线定理．生：关于平面A1B1C1D1来用三垂线定理．师：这时MN是平面 A1B1 C1D1的斜线，我们怎样作平面A1B1C1D1的垂线呢？生：作 MP⊥ A1B1于 P，又由于D1A1⊥平面 A1ABB1，因此 A1D1⊥ PM，故 PM⊥平面 A1B1C1D1．师：关于平面 A1B1C1D1来说，MP是垂线，MN是斜线， NP是 MN在平面 A1B1C1D1上的射影．我们要证 MN⊥ B1D1，只需证 PN⊥ B1D1即可．在正方形 A1B1C1D1中，我们知道 A1C1⊥ B1D1，因此现在只需证PN∥ A1Q1即可．我们怎样利用已知条件来证PN∥ A1O1．＝O1N∶ NB1，因此 PN∥ A1O1，因此 PN⊥B1D1，故 MN⊥ B1D1．同理可证 MN⊥ A1B，因此MN 是异面直线 A1B 和 B1D1的公垂线．师：已知正方体的棱长为a，在直角三角形MNP中，怎样求出MN的长？师：这是一道很好、很典型的题，它很奇妙、很直接地求出异面直线A1B， B1D1的公垂线及这两异面直线的距离．这一道题我们的祖先们是怎样想出来的？这一问题我们利用课外活动时间来进行探究．今日就讲这五个例题，讲这五个例题的目的一是进一步应用三垂线定理及其逆定理，二是应用上节课刚讲过的基此题来解较综合的题．作业增补题1．已知：正方形ABCD的边长为 10， O为正方形中心，PO⊥平2．已知：在△ ABC中，∠ BAC＝ 90°， PC⊥△ ABC所在平面， D 为 AB上一点， PA，PD，PB与平面 ABC分别成 60°， 45°， 30°的角，求证： D 是 AB的中点．3．将正方形 ABCD沿对角线 BD折起来，使 A 点在平面 BCD的射影 O恰幸亏 BD上，又CD的中点为 E，求证： AE⊥ CD．〔提示：关于平面BCD来说， AO是垂线， OE是斜线 AE在平面上的射影〕AB＝ 13， AC＝ 15， A1B＝5， A1C＝9．试比较∠ BAC与∠ BA1C 的大小．〔提示：用余弦定理可得∠ BAC＝∠ BA1C〕5．已知：矩形ABCD所在平面为α，点P∈α，但P BC．作 PQ⊥平面α，问：点P 在什么地点时，∠QCB分别是（ 1）直角，（ 2）锐角，（ 3）钝角，并加以证明．〔提示：利用cos θ1·cos θ2＝ cosθ公式〕。
高中数学 必修二 2.2.3.6三垂线定理(2)教案 新人教A版必修2
课题：2.2.3.6三垂线定理（2）（一）复习：1．三垂线定理及其逆定理的内容； 2．练习：已知：在正方体1AC 中，求证：（1）111BD AC ⊥；（2）11BD B C ⊥． （二）新课讲解：例1．点A 为BCD ∆所在平面外的一点，点O 为点A 在平面BCD 内的射影，若,AC BD AD BC ⊥⊥，求证：AB CD ⊥．证明：连结,,OB OC OD ， ∵AO BCD ⊥平面，且AC BD ⊥ ∴BD OC ⊥（三垂线定理逆定理）同理OD BC ⊥，∴O 为ABC ∆的垂心， ∴OB CD ⊥， 又∵AO BCD ⊥平面，∴AB CD ⊥（三垂线定理） 【练习】：BCD ∆所在平面外的一点A 在平面BCD 内的射影O 为BCD ∆的垂心，求证：点B 在ACD ∆内的射影P 是ACD ∆的垂心． 例2．已知：四面体S ABC -中，,SA ABC ABC ⊥∆平面是锐角三角形，H 是点A 在面SBC 上的射影，求证：H 不可能是SBC ∆的垂心． 证明：假设H 是SBC ∆的垂心，连结BH ，则BH SC ⊥，∵BH SBC ⊥平面∴BH 是AB 在平面SBC 内的射影， ∴SC AB ⊥（三垂线定理）又∵SA ABC ⊥平面，AC 是SC 在平面ABC 内的射影 ∴ AB AC ⊥（三垂线定理的逆定理）∴ABC ∆是直角三角形，此与“ABC ∆是锐角三角形”矛盾 ∴假设不成立，所以，H 不可能是SBC ∆的垂心．例3．已知：如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是1CC 的中点，F 是,AC BD 的交点，求证：1A F BED ⊥平面．证明：1AA ABCD ⊥平面，AF 是1A F 在面ABCD 上的射影 又∵AC BD ⊥，∴1A F BD ⊥取BC 中点G ，连结1,FG B G ，∵111111,A B BCC B FG BCC B ⊥⊥平面平面， ∴,B G 为1A F 在面11BCC B 上的射影，O DCBAHCSBAGFEDCB A D 1C 1B 1A 1又∵正方形11BCC B 中，,E G 分别为1,CC BC 的中点，∴1BE B G ⊥， ∴1A F BE ⊥（三垂线定理）又∵EBBD B =，∴1A F BED ⊥平面．五、课堂小结：三垂线定理及其逆定理的应用．六、作业：1．已知P 是ABC ∆所在平面外一点，,,PA PB PC 两两垂直，H 是ABC ∆的垂心，求证：PH⊥平面ABC ．2．已知P 是ABC ∆所在平面外一点，,,PA PB PC 两两垂直，求证：P 在平面ABC 内的射影O 是ABC ∆的垂心． 3．如图，ABC ∆是正三角形，F 是BC 的中点，DF ⊥平面ABC ，四边形ACDE 是菱形， 求证：AD BE ⊥． 4．如图，过直角三角形BPC 的直角顶点P 作线段PA ⊥平面BPC ，求证：P 在平面ABC 内的射影H 是ABC ∆的垂心．课后记：HPCBAAB CED F。
高二数学 三垂线定理(一) 学案
高二数学三垂线定理（一）学案（一）学案1、学习内容：三垂线定理（课本25-27页）2、学习要求：弄清三垂线定理及三垂线定理的逆定理中的条件和结论，要能在题目中找出条件或者创造条件去用两个定理解题3、定理的实质是：4、学习过程：（一）复习思考（你还清楚吗？）问题1、直线和平面垂直的定义问题2、直线和平面垂直的判定定理、问题3、PO是平面的垂线，O为垂足；PA为平面的斜线，A为斜足；AO是PO在平面内的射影。
（1）如果，直线a与PA的位置关系如何？（你能用手中的工具比划出来吗？）（2）如果，直线a与PA能垂直吗？（二）反思探究你能将以上问题3写成一个命题吗？猜想、归纳得出什么呢：猜想是否正确呢？你会证明吗？一个命题的证明需要先写出已知和求证，你可以写出来吗？（3）定理证明（你可以写出证明过程吗？）定理的逆命题：又是怎样证明的呢？（四）定理理解（你明白定理反映的实质吗？）（五）知识应用（你能用所学知识处理问题吗？）例1、已知PO垂直正方形OBCD所在平面，A为对角线OC、BD的交点。
求证：练习1、1、(课本27页练习题1)已知点O是的BC边的高上的任意一点，且平面ABC，求证：例2、（见课本26页例4）求证：如果一个角所在平面外一点到角的两边距离相等，那么这一点在平面内的射影在这个角的平分线上、⊥AC，PO⊥α，垂足分别是E、F、O，PE＝PF、求证：∠BAO＝∠CAO、练习2、2、(课本27页练习题2)已知平面ABC，AC=BC，D为AB的中点，求证：3、(课本27页练习题3)（六）知识回顾（所学知识在理解和运用上应注意什么？）你能小结吗？（七）课后巩固提高1、复习教材25-27页2、完成课本28页5、6题思考题：1、“斜线段相等则射影也相等”这一说话对吗？2、在四面体ABCD的四个面三角形中最多可以有几个直角三角形？3、在四面体ABCD中，已知,求证：。
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第5课时 三垂线定理1．和一个平面相交，但不和这个平面 的直线叫做平面的斜线，斜线和平面的交点叫做 ．2．射影(1) 平面外一点向平面引垂线的 叫做点在平面内的射影； (2) 过垂足和斜足的直线叫斜线在平面内的 ． 斜线上任意一点在平面上的射影一定在 ． 垂线在平面上的射影只是 ．直线和平面平行时，直线在平面上的射影是和该直线 的一条直线． 3．如图，AO 是平面α斜线，A 为斜足，OB⊥α，B 为垂足，AC ⊂α，∠OAB＝1θ，∠BAC ＝2θ， ∠OAC＝θ，则cos θ＝ ． 4．直线和平面所成的角平面的斜线和它在这个平面内的 所成 的 叫做这条直线和平面所成角．斜线和平面所成角，是这条斜线和平面内任一条直线所成角中 ． 5．三垂线定理：在平面内的一条直线如果和这个平面的一条斜线的 垂直，那么它也和 垂直．逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条 垂直，那么它也和这条 垂直．例1. 已知Rt ∆ABC 的斜边BC 在平面α内，A 到α的距离2，两条直角边和平面α所成角分别是45°和30°．求：(1) 斜边上的高AD 和平面α所成的角； (2) 点A 在α内的射影到BC 的距离． 答案：(1) 60° (2)332变式训练1：如图，道旁有一条河，河对岸有电塔AB ，塔顶A 到道路距离为AC ，且测得∠BCA ＝30°，在道路上取一点D ，又测得CD ＝30m ，∠CDB＝45°．求电塔AB 的高度． 解：BC ＝30，AB ＝BC tan 30°＝103例2．如图，矩形纸片A 1A 2A 3A 4，B 、C 、B 1、C 1 分别为A 1 A 4、A 2A 3的三等分点，将矩形片沿典型例题COBAD A BC基础过关BB 1，CC 1折成三棱柱，若面对角线A 1B 1⊥BC 1；求证：A 2C ⊥A 1B 1．解：取A 2B 1中点D 1 ∵A 2C 1＝B 1C 1 ∴C 1D 1⊥A 2B 1 又A 1A 2⊥面A 2B 1C 1 ∴C 1D 1⊥A 1A 2∴C 1D 1⊥面A 1A 2B 1B ∴BD 1是BC 1在面A 2B 上的射影 由A 1B 1⊥BC 1 ∴BD 1⊥A 1B 1取A 1B 中点D 同理可证A 2D 是A 2C 在面A 2B 上的射影 ∵A 2D BD 1 ∴A 2DBD 1是平行四边形 由BD 1⊥A 1B 1 ∴A 1B 1⊥A 2D ∴A 2C⊥A 1B 1变式训练2：如图，在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，A B ＝3，AA 1＝4，M 为AA 1中点，P 是BC 上一点，且由P 沿棱柱侧面经过棱CC 1到M 的最短路线长29，设这条最短路线与CC 1交点N ，求：(1) PC 和NC 的长；(2) 平面NMP 与平面ABC 所成二面角(锐角)大小． 解：将侧面BB 1C 1C 绕棱CC 1旋转120°使其与侧面 AA 1C 1C 在同一平面上，点P 运动到点P 1的位置，连接MP 1，则MP 1就是由点P 沿棱柱侧面经过棱CC 1到点M 的最短路线 设PC ＝x ，则P 1C ＝x ，在Rt△MAP 1中，由勾股定理得x ＝2 ∴PC＝P 1C ＝2 ∵5211==A P C P MANC∴NC＝54(2) 连接PP 1，则PP 1就是平面NMP 与平面ABC 的交线，作NH⊥PP 1于H ，又CC 1⊥平面ABC ，连结CH ，由三垂线定理得CH⊥PP 1∴∠NHC 就是平面NMP 与平面ABC 所成的平面角(锐角) 在Rt△PHC 中 ∵∠PCH＝21∠PCP 1＝60°∴CH＝2PC ＝1在Rt△PHC 中 tanNHC ＝54故平面NMP 与平面ABC 所成二面角大小为arctan 54例3.如图在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中， 点E 是棱BC 的中点，点F 是棱CD 上的动点． (1) 试确定点F 的位置，使得D 1E ⊥面AB 1F ；B 1A 1B CA 1A 2B 1C 1A 2C 1CBD 1C 1B 1AFCA 1C 1B 1M N CPBA(2) 当D 1E ⊥面AB 1F 时，求二面角C 1－EF －A 大小． 解：(1) 连结A 1B ，则A 1B 是D 1E 在面ABB 1A 1内的射影 ∵AB 1⊥A 1B ∴D 1E⊥AB 1 于是D 1E⊥平面AB 1F ⇔D 1E⊥AF连结DE ，则DE 是D 1E 在底面ABCD 内的射影 ∴D 1E⊥AF⇔DE⊥AF∵ABCD 是正方形，E 是BC 的中点 ∴当且仅当F 是CD 的中点时，DE⊥AF 即当点F 是CD 的中点时，D 1E⊥面AB 1F(2) 当D 1E⊥平面AB 1F 时，由(1) 知点F 是CD 的中点，又已知点E 是BC 的中点，连结EF ，则EF∥BD 连AC ，设AC 与EF 交点H ，则CH⊥EF，连C 1H ，则CH 是C 1H 在底面ABCD 内的射影 ∴C 1H⊥EF即∠C 1HC 是二面角C 1－EF －C 的平面角 在Rt△C 1HC 中 ∵C 1C ＝1 CH ＝41AC ＝42∴tan∠C 1HC ＝221=CHCC ∴∠C 1HC ＝arctan 22∴∠AHC 1＝π－arctan22变式训练3：正方体ABC D －A 1B 1C 1D 1中棱长a ，点P 在AC 上，Q 在BC 1上，AP ＝BQ ＝a ， (1) 求直线PQ 与平面ABCD 所成角的正切值； (2) 求证：PQ⊥AD ．(1) 解：过Q 作QM∥CC 1交BC 于M 则QM⊥面ABCD ∴∠QPM 就是所求角 ∵BCBMBC BQ =1即aa BCBM2=∴aa a BCCM22-=aa a ACCP 22-= ∴ACCP BCCM=∴PM∥AB在Rt△PQM 中 PM ＝a212- QM ＝a 22∴tan∠QPM＝PMQM＝aa 21222-＝2＋1(2) 由(1) 可知PM⊥BC PQ 在面ABCD 内的射影是PM. ∴PQ⊥BC 又AD∥BC ∴PQ⊥AD例4．如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AD ＝AA 1＝1，AB ＝2，点E 在棱AB 上移动． (1) 证明：D 1E⊥A 1D ；(2) 当E 为AB 的中点时，求点E 到面ACD 1的距离； (3) AE 等于何值时，二面角D 1－EC －D 的大小为4π．(1) 证明：∵ AE⊥平面AA 1DD 1，A 1D⊥AD 1，∴A 1D⊥D 1E ．(2) 设点E 到面ACD 1的距离为h ，在△A CD 1中，AC ＝CD 1＝5，AD 1＝2，C AD S 1∆＝21·2·215-＝23，而ADC S ∆＝21·AE·BC＝21． ∴ABC D V -1＝31ABC S ∆·DD 1＝31C AD S 1∆·h ∴21×1＝23×h， ∴h ＝31(3) 过D 作DH⊥CE 于H ，连D 1H 、DE ，则D 1H⊥CE，∴∠DHD 1为二面角D 1－EC －D 的平面角．设AE ＝x ，则BE ＝2－x 在Rt△D 1DH 中，∵∠DHD 1＝4π，∴DH＝1∵在Rt△ADE 中，DE ＝21x +，∴在Rt△DHE 中，EH ＝x ，在Rt△DHC 中，CH ＝3，CE ＝542+-x x ，则x ＋3＝542+-x x ，解得x ＝2－3．即当x ＝2－3时，二面角为D 1－EC －D 的大小为4π．变式训练4：如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是边长为a 的正方形，且PD ＝a ，PA ＝PC ＝2a ．(1) 求证：PD⊥面ABCD ； (2) 求直线PB 与AC 所成角； (3) 求二面角A －PB －D 大小． 证明：(1) ∵PC＝2a PD ＝DC ＝a∴PD 2＋DC 2＝PC 2∴△PDC 是直角三角形 ∴PD⊥DC 同理PD⊥DA 又∵DA∩DC＝D ∴PD⊥平面ABCD(2) 连BD ∵ABCD 是正方形 ∴AC⊥BD 又∵PD⊥平面ABCD AC⊥PB(三垂线定理) ∴PB 与AC 所成角为90°(3) 设AC∩BD＝0 作AE⊥PB 于E ，连OE ∵AC⊥BD PD⊥平面ABCD AC ⊂面ABCDAA 11D BCEDB 1P ABCD∴PD⊥AC ∴AC⊥平面PDB 又∵OE 是AE 在平面PDB 内的射影 ∴OE⊥PB∴∠AEO 就是二面角A －PB －O 的平面角 又∵AB＝a PA ＝a 2 PB ＝a3∵PD⊥面ABCD DA⊥AB ∴ PA⊥AB 在Rt△PAB 中 AE·PB＝PA·AB ∴AE＝a 36 AO ＝a 22∴sin∠AEO＝23∴∠AEO＝60°1．求直线和平面所成的角的一般步骤是一找(作)，二证，三算．寻找直线在平面内的射影是关键，基本原理是将空间几何问题转化为平面几何问题，主要转化到一个三角形内，通过解三角形来解决．2．三垂线定理及逆定理，是判定两条线互相垂直的重要方法，利用它解题时要抓住如下几个环节：一抓住斜线，二作出垂线，三确定射影．３．证明线线垂直的重要方法：三垂线定理及逆定理；线⊥面 线⊥线；向量法．小结归纳。