2020年高考数学《立体几何初步》专题 三垂线定理学案

第5课时 三垂线定理

1．和一个平面相交，但不和这个平面 的直线叫做平面的斜线，斜线和平面的交点叫做 ．

2．射影(1) 平面外一点向平面引垂线的 叫做点在平面内的射影； (2) 过垂足和斜足的直线叫斜线在平面内的 ． 斜线上任意一点在平面上的射影一定在 ． 垂线在平面上的射影只是 ．

直线和平面平行时，直线在平面上的射影是和该直线 的一条直线． 3．如图，AO 是平面α斜线，A 为斜足，OB⊥α，B 为垂足，AC ⊂α，∠OAB＝1θ，∠BAC ＝2θ， ∠OAC＝θ，则cos θ＝ ． 4．直线和平面所成的角

平面的斜线和它在这个平面内的 所成 的 叫做这条直线和平面所成角．

斜线和平面所成角，是这条斜线和平面内任一条直线所成角中 ． 5．三垂线定理：在平面内的一条直线如果和这个平面的一条斜线的 垂直，那么它也和 垂直．

逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条 垂直，那么它也和这条 垂直．

例1. 已知Rt ∆ABC 的斜边BC 在平面α内，A 到α的距离2，两条直角边和平面α所成角分别是45°和30°．求：(1) 斜边上的高AD 和平面α所成的角； (2) 点A 在α内的射影到BC 的距离． 答案：(1) 60° (2)3

32

变式训练1：如图，道旁有一条河，河对岸有电塔AB ，塔顶A 到道路距离为AC ，且测得∠BCA ＝30°，在道路上取一点D ，又测得CD ＝30m ，∠CDB＝45°．求电塔AB 的高度． 解：BC ＝30，AB ＝BC tan 30°＝103

例2．如图，矩形纸片A 1A 2A 3A 4，B 、C 、B 1、C 1 分别为A 1 A 4、A 2A 3的三等分点，将矩形片沿

典型例题

C

O

B

A

D A B

C

基础过关

BB 1，CC 1折成三棱柱，若面对角线A 1B 1⊥BC 1；

求证：A 2C ⊥A 1B 1．

解：取A 2B 1中点D 1 ∵A 2C 1＝B 1C 1 ∴C 1D 1⊥A 2B 1 又A 1A 2⊥面A 2B 1C 1 ∴C 1D 1⊥A 1A 2

∴C 1D 1⊥面A 1A 2B 1B ∴BD 1是BC 1在面A 2B 上的射影 由A 1B 1⊥BC 1 ∴BD 1⊥A 1B 1

取A 1B 中点D 同理可证A 2D 是A 2C 在面A 2B 上的射影 ∵A 2D BD 1 ∴A 2DBD 1是平行四边形 由BD 1⊥A 1B 1 ∴A 1B 1⊥A 2D ∴A 2C⊥A 1B 1

变式训练2：如图，在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，A B ＝3，AA 1＝4，M 为AA 1中点，P 是BC 上一点，且由P 沿棱柱侧面经过棱CC 1到M 的最短路线长29，设这条最短路线与CC 1交点N ，求：

(1) PC 和NC 的长；

(2) 平面NMP 与平面ABC 所成二面角(锐角)大小． 解：将侧面BB 1C 1C 绕棱CC 1旋转120°使其与侧面 AA 1C 1C 在同一平面上，点P 运动到点P 1的位置，

连接MP 1，则MP 1就是由点P 沿棱柱侧面经过棱CC 1到点M 的最短路线 设PC ＝x ，则P 1C ＝x ，在Rt△MAP 1中，由勾股定理得x ＝2 ∴PC＝P 1C ＝2 ∵5

2

11==A P C P MA

NC

∴NC＝5

4

(2) 连接PP 1，则PP 1就是平面NMP 与平面ABC 的交线，作NH⊥PP 1于H ，又CC 1⊥平面ABC ，连结CH ，由三垂线定理得CH⊥PP 1

∴∠NHC 就是平面NMP 与平面ABC 所成的平面角(锐角) 在Rt△PHC 中 ∵∠PCH＝2

1∠PCP 1＝60°

∴CH＝2

PC ＝1

在Rt△PHC 中 tanNHC ＝5

4

故平面NMP 与平面ABC 所成二面角大小为arctan 5

4

例3.如图在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中， 点E 是棱BC 的中点，点F 是棱CD 上的动点． (1) 试确定点F 的位置，使得D 1E ⊥面AB 1F ；

B 1

A 1

B C

A 1

A 2

B 1

C 1

A 2

C 1

C

B

D 1

C 1

B 1

A

F

C

A 1

C 1

B 1

M N C

P

B

A

(2) 当D 1E ⊥面AB 1F 时，求二面角C 1－EF －A 大小． 解：(1) 连结A 1B ，则A 1B 是D 1E 在面ABB 1A 1内的射影 ∵AB 1⊥A 1B ∴D 1E⊥AB 1 于是D 1E⊥平面AB 1F ⇔D 1E⊥AF

连结DE ，则DE 是D 1E 在底面ABCD 内的射影 ∴D 1E⊥AF

⇔

DE⊥AF

∵ABCD 是正方形，E 是BC 的中点 ∴当且仅当F 是CD 的中点时，DE⊥AF 即当点F 是CD 的中点时，D 1E⊥面AB 1F

(2) 当D 1E⊥平面AB 1F 时，由(1) 知点F 是CD 的中点，又已知点E 是BC 的中点，连结EF ，则EF∥BD 连AC ，设AC 与EF 交点H ，则CH⊥EF，连C 1H ，则CH 是C 1H 在底面ABCD 内的射影 ∴C 1H⊥EF

即∠C 1HC 是二面角C 1－EF －C 的平面角 在Rt△C 1HC 中 ∵C 1C ＝1 CH ＝4

1AC ＝

4

2

∴tan∠C 1HC ＝

221=CH

C

C ∴∠C 1HC ＝arctan 2

2

∴∠AHC 1＝π－arctan22

变式训练3：正方体ABC D －A 1B 1C 1D 1中棱长a ，点P 在AC 上，Q 在BC 1上，AP ＝BQ ＝a ， (1) 求直线PQ 与平面ABCD 所成角的正切值； (2) 求证：PQ⊥AD ．

(1) 解：过Q 作QM∥CC 1交BC 于M 则QM⊥面ABCD ∴∠QPM 就是所求角 ∵

BC

BM

BC BQ =1即a

a BC

BM

2=

∴a

a a BC

CM

22-=

a

a a AC

CP 22-= ∴AC

CP BC

CM

=

∴PM∥AB

在Rt△PQM 中 PM ＝

a

2

12- QM ＝

a 2

2

∴tan∠QPM＝

PM

QM

＝a

a 2

1222-＝2＋1

(2) 由(1) 可知PM⊥BC PQ 在面ABCD 内的射影是PM. ∴PQ⊥BC 又AD∥BC ∴PQ⊥AD

例4．如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AD ＝AA 1＝1，AB ＝2，点E 在棱AB 上移动． (1) 证明：D 1E⊥A 1D ；