北京市朝阳区2018届高三第二次综合练习(二模)数学(理)试题

北京市朝阳区高三年级第二次综合练习

数学学科测试（理工类） 第Ⅰ卷（共40分）

一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合{}2|log 1A x x =>，{}|1B x x =≥，则A

B =（ ）

A ．(12]，

B ．(1)+∞，

C ．(12)，

D ．[1)+∞，

2.在ABC △中，1AB =，AC =6

C π

∠=，则B ∠=（ ）

A ．

4π B ．4π或2π C ．34π D ．4π或34

π

3.执行如图所示的程序框图，则输出的S 值为（ ）

A ．10

B ．13

C ．40

D ．121

4.在极坐标系中，直线l ：cos sin 2ρθρθ+=与圆C ：2cos ρθ=的位置关系为（ ） A ．相交且过圆心 B ．相交但不过圆心 C.相切 D ．相离

5.如图，角α，β均以Ox 为始边，终边与单位圆O 分别交于点A ，B ，则OA OB ⋅=（ ）

A ．sin()αβ-

B ．sin()αβ+ C.cos()αβ- D ．cos()αβ+

6.已知函数22()x x a f x x x a ⎧⎪=⎨<⎪⎩

，，

，≥则“0a ≤”是“函数()f x 在[0)+∞，上单调递增”的（ ）

A ．充分而不必要条件

B ．必要而不充分条件 C.充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件

7.某校象棋社团组织中国象棋比赛，采用单循环赛制，即要求每个参赛选手必须且只须和其他选手各比赛一场，胜者得2分，负者得0分，平局两人各得1分.若冠军获得者得分比其他人都多，且获胜场次比其他人都少，则本次比赛的参赛人数至少为（ ） A ．4 B ．5 C.6 D ．7

8.若三个非零且互不相等的实数1x ，2x ，3x 成等差数列且满足

123

112

x x x +=，则称1x ，2x ，3x 成一个“β等差数列”.已知集合{}|100M x x x =∈Z ，≤，则由M 中的三个元素组成的所有数列中，“β等差数列”的个数为（ ）

A ．25

B ．50 C.51 D ．100

第Ⅱ卷（共110分）

二、填空题（每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上） 9.计算

2

1

(1)i =+ ． 10.双曲线22x y λ-=（0λ≠）的离心率是 ；该双曲线的两条渐近线的夹角是 .

11.若31()n x x -展开式的二次项系数之和为8，则n = ；其展开式中含31

x 项的系数

为 .（用数字作答）

12.已知某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的底面和三个侧面中，直角三角形的个数是 .

13.已知不等式组021(1)y x y y k x ⎧⎪

+⎨⎪++⎩≥≤≥在平面直角坐标系xOy 中所表示的平面区域为D ，D 的面积

S ，则下面结论：

①当0k >时，D 为三角形；②当0k <时，D 为四边形；

③当13k =时，4S =；④当1

03k <≤时，S 为定值.

其中正确的序号是 ．

14.如图，已知四面体ABCD 的棱AB ∥平面α，

且AB 其余的棱长均为1.四面体ABCD 以AB 所在的直线为轴旋转x 弧度，且始终在水平放置的平面α上方.如果将四面体ABCD 在平面α内正投影面积看成关于x 的函数，记为()S x ，则函数()S x 的最小值为 ；()S x 的最小正周期为 ．

三、解答题 （本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15.已知函数()2sin (sin cos )f x x x x a =+-的图象经过点(1)2π

，，a ∈R .

（1）求a 的值，并求函数()f x 的单调递增区间；

（2）若当[0]2

x π

∈，时，不等式()f x m ≥恒成立，求实数m 的取值范围.

16.某市旅游管理部门为提升该市26个旅游景点的服务质量，对该市26个旅游景点的交通、安全、环保、卫生、管理五项指标进行评分.每项评分最低分0分，最高分100分.每个景点总分为这五项得分之和，根据考核评分结果，绘制交通得分与安全得分散点图、交通得分与景点总分散点图如下：

请根据图中所提供的信息，完成下列问题：

（1）若从交通得分排名前5名的景点中任取1个，求其安全得分大于90分的概率； （2）若从景点总分排名前6名的景点中任取3个，记安全得分不大于90分的景点个数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望；

（3）记该市26个景点的交通平均得分为1x ，安全平均得分为2x ，写出1x 和2x 的大小关系.（只写结果）

17. 如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PBC ⊥平面ABCD .PBC △是等腰三角形，且3PB PC ==.在梯形ABCD 中，AB DC ∥，AD DC ⊥，5AB =，4AD =，3DC =

（1）求证：AB ∥平面PDC ； （2）求二面角A PB C --的余弦值；

（3）在线段AP 上是否存在点H ，使得BH ⊥平面ADP ？请说明理由. 18. 已知函数2()2x f x xe ax ax =++（a ∈R ）

（1）若曲线()y f x =在点(0(0))f ，处的切线方程为30x y +=，求a 的值；

（2）当1

02a -<≤时，讨论函数()f x 的零点个数.

19. 已知抛物线2:2C y x =.

（1）写出抛物线C 的直线方程，并求出抛物线C 的焦点到准线的距离；

（2）过点(20)，

且斜率存在的直线l 与抛物线C 交于不同的两点A ，B ，且点B 关于x 轴的对称点为D ，直线AD 与x 轴交于点M . 1）求点M 的坐标；

2）求OAM △与OAB △面积之和的最小值.

20. 若无穷数列{}a 满足：存在p q a a =（p ，*q ∈Ν，p q >），并且只要p q a a =，就有p i q I a ta ++=(t 为常数，123i =，

，，），则成{}n a 具有性质T . （1）若{}n a 具有性质T ，且3t =，14a =，25a =，41a =，55a =，78936a a a ++=，求3a ； （2）若无穷数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2n n S b =+（b ∈R ），证明存在无穷多个b 的不同取值，使得数列{}n a 具有性质T ；

（3）设{}n b 是一个无穷数列，数列{}n a 中存在p q a a =（p ，*q ∈N ，p q >），且1cos n n n a b a +=（*n ∈N ），求证：“{}n b 为常数列”是“对任意正整数1a ，{}n a 都具有性质T ”的充分不必要条件.