清华微积分(高等数学)课件第十六讲定积分
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大学数学微积分第16讲《求导法则》课件
高等院校非数学类本科数学课程
大 学 数 学（一）
—— 一元微积分学
第十六讲 求导法则
第四章 一元函数的导数与微分
本章学习要求： ▪ 理解导数和微分的概念。熟悉导数的几何意义以及函数的可
导、可微、连续之间的关系。 ▪ 熟悉一阶微分形式不变性。 ▪ 熟悉导数和微分的运算法则，能熟练运用求导的基本公式、
例6 设 y a0 xn a1xn1 an1x2 an1x an，
求 y。
解 由和的求导公式
y (a0 xn ) (a1xn1) (an2 x2 ) (an1x) (an )
a0n xn1 a1(n 1)xn2 an2 2x an1
通常说, 多项式的导数仍是多项式, 其次 数降低一次, 系数相应改变.
1 x2
y arctanx, ( x ), 求y。
例17
解 它是 x tan y , y ( , )的反函数,
22
且 x tan y 满足定理的条件,
又 (tan y) 1 tan2 y 0
故
y
(arctan
x)
1 (tan
y)
1
1 tan 2
y
1 1 x2
x ( , )
(arctan
又 x cos y 在 (0, ) 内单调、连续、可导, 且
d x (cos y) sin y 0 dy
故 y (arccos x) d y 1 1
d x d x (cos y) dy
1 1
1
sin y
1 cos2 y
1 x2
(1 x 1)
(arccos x) 1
(1 x 1)
x 等价无穷小替代
lim
ln 1
大 学 数 学（一）
—— 一元微积分学
第十六讲 求导法则
第四章 一元函数的导数与微分
本章学习要求： ▪ 理解导数和微分的概念。熟悉导数的几何意义以及函数的可
导、可微、连续之间的关系。 ▪ 熟悉一阶微分形式不变性。 ▪ 熟悉导数和微分的运算法则，能熟练运用求导的基本公式、
例6 设 y a0 xn a1xn1 an1x2 an1x an，
求 y。
解 由和的求导公式
y (a0 xn ) (a1xn1) (an2 x2 ) (an1x) (an )
a0n xn1 a1(n 1)xn2 an2 2x an1
通常说, 多项式的导数仍是多项式, 其次 数降低一次, 系数相应改变.
1 x2
y arctanx, ( x ), 求y。
例17
解 它是 x tan y , y ( , )的反函数,
22
且 x tan y 满足定理的条件,
又 (tan y) 1 tan2 y 0
故
y
(arctan
x)
1 (tan
y)
1
1 tan 2
y
1 1 x2
x ( , )
(arctan
又 x cos y 在 (0, ) 内单调、连续、可导, 且
d x (cos y) sin y 0 dy
故 y (arccos x) d y 1 1
d x d x (cos y) dy
1 1
1
sin y
1 cos2 y
1 x2
(1 x 1)
(arccos x) 1
(1 x 1)
x 等价无穷小替代
lim
ln 1
《高数》定积分课件
《高数》定积分ppt 课件
目录
• 定积分的概念 • 定积分的计算 • 微积分的应用 • 定积分的物理应用 • 定积分的进一步理解
01
CATALOGUE
定积分的概念
定积分的定义
01
定积分是积分的一种，是函数在区间上积分和的极 限。
02
定积分常用于计算平面图形的面积、体积等。
03
定积分的定义基于极限思想，通过分割、近似、求 和、取极限等步骤来定义。
物体在重力作用下的功与能
总结词
通过定积分计算重力做功和能量变化
详细描述
在重力作用下，物体运动过程中重力所做的功和能量变化可以用定积分表示。 通过定积分计算，可以得出重力做功和能量变化的具体数值。
05
CATALOGUE
定积分的进一步理解
定积分的极限思想
定积分是通过对曲线下的面积进行极限分割，再求和得到的结果，这个过 程体现了极限的思想。
可加性
对于任意分割的两个区间上的定积分，其和等于两区间上定积分的和 。
区间区间上定积分的值 之和。
比较性质
如果函数在不同区间上单调增加或减少，则其定积分的值也相应增加 或减少。
02
CATALOGUE
定积分的计算
微积分基本定理
总结词
微积分基本定理是定积分计算的基础， 它建立了积分与微分的联系，为解决定 积分问题提供了重要的思路和方法。
另一个函数的定积分进行计算。这些方法在实际应用中具有广泛的应用价值。
积分中值定理
总结词
积分中值定理揭示了定积分与被积函数之间 的关系，它是解决定积分问题的一个重要工 具。
详细描述
积分中值定理指出，对于连续函数f(x)在闭 区间[a,b]上的定积分∫baf(x)dx=f(ξ)(b−a) ，其中ξ∈[a,b]。这个定理说明了定积分的 结果等于被积函数在一个子区间上的取值与 该区间长度的乘积。这个定理在解决定积分 问题时非常有用，特别是当我们需要找到被
目录
• 定积分的概念 • 定积分的计算 • 微积分的应用 • 定积分的物理应用 • 定积分的进一步理解
01
CATALOGUE
定积分的概念
定积分的定义
01
定积分是积分的一种，是函数在区间上积分和的极 限。
02
定积分常用于计算平面图形的面积、体积等。
03
定积分的定义基于极限思想，通过分割、近似、求 和、取极限等步骤来定义。
物体在重力作用下的功与能
总结词
通过定积分计算重力做功和能量变化
详细描述
在重力作用下，物体运动过程中重力所做的功和能量变化可以用定积分表示。 通过定积分计算，可以得出重力做功和能量变化的具体数值。
05
CATALOGUE
定积分的进一步理解
定积分的极限思想
定积分是通过对曲线下的面积进行极限分割，再求和得到的结果，这个过 程体现了极限的思想。
可加性
对于任意分割的两个区间上的定积分，其和等于两区间上定积分的和 。
区间区间上定积分的值 之和。
比较性质
如果函数在不同区间上单调增加或减少，则其定积分的值也相应增加 或减少。
02
CATALOGUE
定积分的计算
微积分基本定理
总结词
微积分基本定理是定积分计算的基础， 它建立了积分与微分的联系，为解决定 积分问题提供了重要的思路和方法。
另一个函数的定积分进行计算。这些方法在实际应用中具有广泛的应用价值。
积分中值定理
总结词
积分中值定理揭示了定积分与被积函数之间 的关系，它是解决定积分问题的一个重要工 具。
详细描述
积分中值定理指出，对于连续函数f(x)在闭 区间[a,b]上的定积分∫baf(x)dx=f(ξ)(b−a) ，其中ξ∈[a,b]。这个定理说明了定积分的 结果等于被积函数在一个子区间上的取值与 该区间长度的乘积。这个定理在解决定积分 问题时非常有用，特别是当我们需要找到被
高等数学(微积分)ppt课件
，且f'(x0)=0，则可通过二阶导数 f''(x0)的符号来判断f(x)在x0处取得极大值还是极小值。
曲线的凹凸性与拐点
凹凸性
若函数f(x)在区间I上二阶可导，且 f''(x)>0（或<0），则称曲线y=f(x)在 I上是凹的（或凸的）。
拐点
拐点的判定
若函数f(x)在点x0处二阶可导，且 f''(x0)=0，则可通过三阶导数f'''(x0) 的符号来判断点(x0,f(x0))是否为曲线 的拐点。
THANKS
感谢观看
非线性微分方程
通过变量替换、积分等方法求解，或 利用数值方法近似求解
级数的概念与性质
级数的定义 无穷序列的部分和序列
级数的性质 加法、减法、乘法、除法、重排等性
质
级数的收敛与发散 部分和序列有极限则级数收敛，否则 发散
常见级数及其敛散性 等差级数、等比级数、调和级数、交 错级数等，通过比较法、比值法、根 值法等方法判断其敛散性
VS
极限的性质
唯一性、局部有界性、保号性、保不等式 性、迫敛性等。
极限的运算法则
极限的四则运算法则
若两个函数的极限存在，则它们的和、差、积、商（分母不为零）的极限也存在，且等于这两 个函数极限的和、差、积、商。
复合函数的极限运算法则
设函数$y=f[g(x)]$是由函数$u=g(x)$与函数$y=f(u)$复合而成，若$lim_{x
无穷小量的定义
如果函数$f(x)$当$x to x_0$(或$x to infty$)时的极限为零，那么称函数$f(x)$为当$x to x_0$(或$x to infty$)时 的无穷小量。
曲线的凹凸性与拐点
凹凸性
若函数f(x)在区间I上二阶可导，且 f''(x)>0（或<0），则称曲线y=f(x)在 I上是凹的（或凸的）。
拐点
拐点的判定
若函数f(x)在点x0处二阶可导，且 f''(x0)=0，则可通过三阶导数f'''(x0) 的符号来判断点(x0,f(x0))是否为曲线 的拐点。
THANKS
感谢观看
非线性微分方程
通过变量替换、积分等方法求解，或 利用数值方法近似求解
级数的概念与性质
级数的定义 无穷序列的部分和序列
级数的性质 加法、减法、乘法、除法、重排等性
质
级数的收敛与发散 部分和序列有极限则级数收敛，否则 发散
常见级数及其敛散性 等差级数、等比级数、调和级数、交 错级数等，通过比较法、比值法、根 值法等方法判断其敛散性
VS
极限的性质
唯一性、局部有界性、保号性、保不等式 性、迫敛性等。
极限的运算法则
极限的四则运算法则
若两个函数的极限存在，则它们的和、差、积、商（分母不为零）的极限也存在，且等于这两 个函数极限的和、差、积、商。
复合函数的极限运算法则
设函数$y=f[g(x)]$是由函数$u=g(x)$与函数$y=f(u)$复合而成，若$lim_{x
无穷小量的定义
如果函数$f(x)$当$x to x_0$(或$x to infty$)时的极限为零，那么称函数$f(x)$为当$x to x_0$(或$x to infty$)时 的无穷小量。
通用版2020版高考数学大一轮复习第16讲定积分与微积分基本定理课件理新人教A版ppt版本
0 +t
10
0 =60(m).
(2)该质点在第 5 s 到第 10 s 所经过的路程 S2=
10 5
(t+1)dt=12t2
10
5 +t
10
5 =42.5(m).
(3)设质点到达另一点所需要的时间为
x,显然
x>0,则根据题意有
������ 0
(t+1)dt=112,即
1 2
������2
+
������
个小区间,在每个小区间[xi-1,xi]上任取一点
������
������
ξi(i=1,2,…,n),作和式 ∑ f(ξi)Δx= ∑
������ =1
������ =1
������-������ ������
f(ξi),当
n→∞时,上述和式无限接近某个 常数 ,这个常数叫作函数 f(x)在区间[a,b]上的定积分,记
������ ������
f(x)dx=
.
4.微积分基本定理
如果
f(x)是区间[a,b]上的连续函数,并且有
F'(x)=f(x),那么
������ ������
f(x)dx=
F(b)F(a)
.
课前双基巩固
常用结论
若 f(x)是区间[-a,a](a>0)上的连续的偶函数,则
������ -������
.
[答案] 8
[解析]
2 1
f(x)dx+
4 2
f(x)dx=
4 1
f(x)dx=8.
课前双基巩固
4.[教材改编] 直线 y=x-4、曲线 y= 2������及 x 轴所围成的封闭
10
0 =60(m).
(2)该质点在第 5 s 到第 10 s 所经过的路程 S2=
10 5
(t+1)dt=12t2
10
5 +t
10
5 =42.5(m).
(3)设质点到达另一点所需要的时间为
x,显然
x>0,则根据题意有
������ 0
(t+1)dt=112,即
1 2
������2
+
������
个小区间,在每个小区间[xi-1,xi]上任取一点
������
������
ξi(i=1,2,…,n),作和式 ∑ f(ξi)Δx= ∑
������ =1
������ =1
������-������ ������
f(ξi),当
n→∞时,上述和式无限接近某个 常数 ,这个常数叫作函数 f(x)在区间[a,b]上的定积分,记
������ ������
f(x)dx=
.
4.微积分基本定理
如果
f(x)是区间[a,b]上的连续函数,并且有
F'(x)=f(x),那么
������ ������
f(x)dx=
F(b)F(a)
.
课前双基巩固
常用结论
若 f(x)是区间[-a,a](a>0)上的连续的偶函数,则
������ -������
.
[答案] 8
[解析]
2 1
f(x)dx+
4 2
f(x)dx=
4 1
f(x)dx=8.
课前双基巩固
4.[教材改编] 直线 y=x-4、曲线 y= 2������及 x 轴所围成的封闭
清华大学微积分课件(全)x66_ppt课件
3 d ) rdr 0(r 1 2
1 2
D
11
[解法2] 利用Gauss公式
补上底面 S 1:
S : z 1 x y
2
2 2
2
z 0 , x y 1
xdy ^ dz ydz ^ dx zdx ^ dy S
S
1
z
n
y
SS 1
o
n1
D xy
D xy
Z dx ^ dy 0 Z [ x ,y ,z ( x ,y )] dxdy ( 2 )
1
S3
同理可证
Z Zdx ^ dy dV 比较 ( 1 ) 式与 (2 ) 式 ,可以得到 z S
X Xdy ^ dz dV , x S
S3
n
Z [ x ,y ,z ( x ,y )] dxdy ( 1 ) 1
2018/11/16
D xy
9
另一方面,曲面积分
S外
Zdx ^ dy Zdx ^ dy Zdx ^ d Zdx^ dy
S 1 S 2 S 3
[注意] Z [x ,y ,z ( x , y )] dxdy 2
z
n
y
T 2 2 v ( x ,y , z ), dS 1 4 x 4 y d o D xdy ^ dz ydz ^ dx zdx ^ dy
S
2 2 x v ndS (x y 1 ) d
S 2
0
2018/11/16
2若 向 向 曲 量 面 场
定1 理 ： 设 为空间有 ,其 界 边 S 是 闭 界 分 域
《高数定积分》课件
05
广义积分及其收敛性判别法
广义积分的概念及分类
广义积分的定义
广义积分是相对于正常积分而言的一种特殊积分，其积分区间可能包含无穷大或者无界 函数。
广义积分的分类
根据被积函数和积分区间的不同，广义积分可分为无穷限广分的收敛性判别法
比较判别法
通过比较被积函数与已知收敛或发散的函数，来判断广义积分的收敛性。
换元法求解定积分
01
换元法的基本思想
通过变量代换简化定积分的计算 。
02
常见的换元方法
03
换元法的注意事项
三角函数代换、倒代换、根式代 换等。
代换后需调整积分上下限，并验 证代换的可行性。
分部积分法求解定积分
分部积分法的基本思想
将复杂函数拆分为简单函数 进行积分。
常见的分部积分公式
幂函数与三角函数、幂函数 与指数函数、幂函数与对数 函数等。
06
定积分在经济学等领域的应用
由边际函数求原经济函数
边际函数与定积分的关系
边际函数描述的是经济量变化的瞬时速率，而定积分则可用于求取原经济函数，即总量 函数。
求原经济函数的步骤
首先确定边际函数的表达式，然后根据定积分的定义，对边际函数进行积分，得到原经 济函数的表达式。
示例
已知某产品的边际收益函数为MR(q)，通过对其进行定积分，可以得到总收益函数 TR(q)。
曲线的长度、图形的面积等。
THANKS
感谢观看
原函数与不定积分概念
原函数定义
原函数是指一个函数的导数等于给定函数的函数。根据微积分基本定理，不定积分就是求原函数的过 程。
不定积分性质
不定积分具有线性性质、常数倍性质和积分区间可加性。这些性质在求解复杂函数的定积分时非常有 用。
《高数定积分》课件
五、定积分的综合应用
微积分基础
我们将回顾一些微积分的基本概念和公式，为 之后的应用题做好准备。
微积分的发展
我们将探索微积分在数学及其他领域中的发展 历程，并了解它对现代科学的重要影响。
微积分与实际问题
我们将讨论微积分在实际问题中的应用，包括 物理、工程、经济等领域。
综合应用题
通过解决一些具体应用题，我们将展示定积分 在解决实际问题中的威力和价值。
《高数定积分》PPT课件
欢迎来到《高数定积分》PPT课件！在本课程中，我们将深入探讨定积分的概 念、计算方法、应用及扩展。准备好跟我们一起进入数学的奇妙世界吧！
一、定积分的概念和性质
定积分的定义
通过讨论函数的变化率， 我们引入了定积分的概念， 它能够帮助我们计算函数 曲线下的面积。
定积分的性质
定积分具有线性性、可加 性、保号性等特点，这些 性质为积分计算提供了便 利。
的问题的一种方法，我们将展示如何
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
有理函数的积分
4
运用它解决实际问题。
通过学习有理函数的积分，我们能够 解决一类常见的函数积分问题。
三、定积分应用
几何应用
我们将介绍如何使用定积分 计算曲线长度、旋转体体积 等与几何相关的应用。
物理应用
通过物理应用的例子，我们 将展示定积分在速度、加速 度、质量等物理概念中的用 途。
经济应用
我们将探讨定积分在经济学 中的应用，如利润、成本、 消费者剩余等问题。
四、定积分的扩展
1 不定积分
不定积分是定积分的逆运算，通过学习不定积分，我们可以还原出原函数。
2 反常积分
反常积分用于计算无界函数、无法普通方法计算的函数等特殊情况下的积分问题。
《定积分计算》课件
02
微积分基本定理
微积分基本定理的表述
微积分基本定理
定积分等于被积函数的一个原函数在 积分上限与积分下限之差的代数和。
公式表示
∫baf(x)dx=F(b)-F(a)，其中F(x)是f(x) 的一个原函数，a和b分别为定积分的 下限和上限。
微积分基本定理的应用
解决定积分计算问题
通过微积分基本定理，可以直接计算定积分的值，只需找到被积函 数的一个原函数，并计算其在上下限的函数值之差。
详细描述
分部积分法是将复合函数进行分解，将原定 积分转化为两个或多个更简单的定积分的和 或差。这种方法的关键是选择合适的函数进 行分解，以便简化计算过程。
04
定积分的几何应用
平面图形的面积
总结词
定积分在计算平面图形面积方面具有广泛应用。
详细描述
通过定积分，我们可以计算各种平面图形的面积，如矩形、圆形、三角形等。定积分的基本思想是将图形分割成若干 个小部分，然后求和这些小部分的面积，最后取极限得到整个图形的面积。
公式示例
对于矩形，其面积为 (A = l times w)，其中 (l) 为长度，(w) 为宽度；对于圆形，其面积为 (A = pi r^2) ，其中 (r) 为半径。
体积的计算
01
总结词
定积分在计算三维空间中物体的体积方面具有重要作用。
02 03
详细描述
通过定积分，我们可以计算各种三维物体的体积，如长方 体、圆柱体、球体等。同样地，定积分的基本思想是将物 体分割成若干个小部分，然后求和这些小部分的体积，最 后取极限得到整个物体的体积。
05
定积分的物理应用
变速直线运动的路程
总结词
通过定积分计算变速直线运动的路程
高三第一轮复习课件——第十六讲定积分与微积分基本定理
（7）bexdxex a
|baeb
ea
第21页
课堂小结：
定积分的计算（利用微积分基本定理）
（1）求函数f(x)在某个区间上的定积分，关键是求函数
f(x)的一个原函数，正确运用求导运算与求原函数运算互
为逆运算的关系；若原函数不易寻找时，先把f(x)进行变
形。
（2）计算简单定积分的步骤
①把被积函数变为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函
由 此 得 到 N 个 点 (xi , yi )(i 1, 2,…,N) ， 再 数 出 其 中 满 足
yi f (xi )(i 1, 2,…,N) 的 点 数 N1 ， 那 么 由 随 机 模 拟 方 案 可 得 积 分
1
0
f
(
x)dx
的近似值为
。
第20页
常见函数的定积分运算：
（1）a bkdxkx|bak(ba)（k是常数）
a
a
a
(2)定积分性质②可推广到任意有限个函数的情况.
第8页
2.微积分基本定理
一般地,如果f(x)在区间[a,b]上连续,且F'(x)=f(x),那
么
b
f(x )d x F(b)F(a).
a
这个结论叫做微积分基本定理,又叫做牛顿—莱布
尼茨公式.
也可表示为
bf(x)dxF
a
(x)
b a
.
第9页
注意:(1)①用定义求定积分的方法:分割､近似代替､求和､取 极限,要借助于求曲边梯形的面积､变力作功等案例,体会定 积分的基本思想方法.
3
．
y 3x2
任取一个点 M x, y ，则点 M
取自阴影部分的概率为
高数定积分ppt课件
1
1
解：在区间[0， 1]内，x x x (1 x) 0， 即x x
x dx x dx
2 3 0 0
1
1
2)
4
3
ln xdx 与 （lnx) dx
2 3
2
4
解：在区间[3， 4]内， 1 ln x 0，则 ln x (ln x) ln x(1 ln x) 0 ln x dx (ln x) dx
a x0
xi 1
i xi
xn b
x
(1)、 分割
在 [a，b] 中任意取 n 1 个分点
a x0 x1 xn 1 xn b，把区间 [a，b] 分成 n 个小区间[ xi 1，xi ]，每个小区间的长度 记为x xi xi 1 (i 1， 2， ，n).
0
f ( )x
i 1 i
n
i
6
定义 设函数 y f ( x)在[a，b]上有定义，在 [a，b] 得到 n 个小区间 [ xi 1，xi ]，其长度记为 xi xi xi 1
1i n
中任意取n 1个分点，a x0 x1 x2 xn 1 xn b， (i 1， 2， ，n)，记 maxxi ，任取 i [ xi 1，xi ]，
2 3 3 4 4
16
例题2
1)
π 5 π 2 解：在区间 [ ， ]上，函数 f ( x) 1 sin x 4 4 之最大值和最小值分别 为 π 2 M f( ） 1 1 2， m f ( π) 1 2 5 π π 积分区间 b a π 4 4 π (1 sin x)dx 2 π
【备战】高中数学 第16讲 定积分与微积分基本定理配套课件 理 新人教B
＝______abf_(x_)_dx_±__abg_(_x)_d_x ________．
a
3．(定积分的可加性)如果积分区间[a，b]被点 c 分成
两
个
小
区
间
[a
，
c]
与
[c
，
b]
，
则
b
f(x)dx
＝
___acf(_x_)d_x_＋__cb_f(_x_)d_x______ .
a
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第16讲 定积分与微积分基本定理
基 础
这时只要这些区间中长度最大的区间的长度趋向于零即
可．
(2)当
n
n
n→＋∞时，和式f(ξi)Δx＝
b－n af(ξi)无限接
i＝1
i＝1
近某个唯一确定的常数．它不依赖于对区间[a，b]的分割
方法，也不依赖于在每个小区间[xi－1，xi]上取点的方式．即
bf（x）dx是一个客观上存在的仅仅依赖于积分上下限和 a
面 讲 考
(3)∫π2π6cos2xdx＝∫2ππ61＋c2os2xdx＝12∫π26π(1＋cos2x)dx
点
＝12
＝12
＝12π2－π6＋12sinπ－sin3π＝π6－ 83. (4)根据定积分的几何意义，所求的定积分是圆 x2＋y2＝4 在
第二象限部分的面积，其面积是 π，故0 4－x2dx＝π. －2
双
向
固
基 础
点
面
讲 考
第16讲 定积分与微积分基本
点
多
定理
元
提
能
力
教
师
备
用 题
返回目录
考试大纲
1．了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想， 了解定积分的概念．
定积分与微积分基本定理课件
定积分与微积分基本定理 ppt课件
欢迎来到本次课程，我们将深入探讨定积分与微积分的基本定理。
定积分的概念与性质
1 概念
定积分是用来计算曲线下面的面积或者计算变化率的数学工具。
2 性质
定积分具有加法性、线性性、保号性、保序性等基本性质。
3 重要定理
有界函数定积分存在性定理、定积分的中值定理等。
定积分的定义
1 黎曼和
定积分定义为用无穷小矩形逼近曲线下面的面积，并在极限存在时得出结果。
2 积分上限与下限
定义了定积分的区间，上限与下限决定了曲线下面的范围。
3 求解方法
可以进行直接计算、几何意义、等价改写等方式求解定积分。
计算定积分的方法
1
换元法
通过变量代换，把原有的积分式子转化为更简单的形式，以便求解。
2
分部积分法
通过将积分式子分解成两个函数的乘积，再逐步求解得到结果。
3
级数法
将函数展开成幂级数，再通过对级数求积分计算定积分。
微积分基本定理的内容
第一基本定理
定积分与原函数之间的关系，使得我们可以通 过求导得到定积分。
第二基本定理
计算定积分时，我们可以通过寻找原函数的算 法来简化计和推导来证明微积分基本定理的正确性，为其在实际使用中奠定基础。
微积分基本定理的应用
物理学
微积分在物理学中常用于描述运 动、力学和电磁学等领域。
经济学
工程学
经济学家使用微积分来研究需求 和供给、垄断和竞争等经济现象。
工程学中的建模和设计过程依赖 于微积分来解决复杂的问题。
展望与总结
通过学习定积分与微积分的基本定理，你将更深入理解数学背后的美妙，并能应用于各个领域。
欢迎来到本次课程，我们将深入探讨定积分与微积分的基本定理。
定积分的概念与性质
1 概念
定积分是用来计算曲线下面的面积或者计算变化率的数学工具。
2 性质
定积分具有加法性、线性性、保号性、保序性等基本性质。
3 重要定理
有界函数定积分存在性定理、定积分的中值定理等。
定积分的定义
1 黎曼和
定积分定义为用无穷小矩形逼近曲线下面的面积，并在极限存在时得出结果。
2 积分上限与下限
定义了定积分的区间，上限与下限决定了曲线下面的范围。
3 求解方法
可以进行直接计算、几何意义、等价改写等方式求解定积分。
计算定积分的方法
1
换元法
通过变量代换，把原有的积分式子转化为更简单的形式，以便求解。
2
分部积分法
通过将积分式子分解成两个函数的乘积，再逐步求解得到结果。
3
级数法
将函数展开成幂级数，再通过对级数求积分计算定积分。
微积分基本定理的内容
第一基本定理
定积分与原函数之间的关系，使得我们可以通 过求导得到定积分。
第二基本定理
计算定积分时，我们可以通过寻找原函数的算 法来简化计和推导来证明微积分基本定理的正确性，为其在实际使用中奠定基础。
微积分基本定理的应用
物理学
微积分在物理学中常用于描述运 动、力学和电磁学等领域。
经济学
工程学
经济学家使用微积分来研究需求 和供给、垄断和竞争等经济现象。
工程学中的建模和设计过程依赖 于微积分来解决复杂的问题。
展望与总结
通过学习定积分与微积分的基本定理，你将更深入理解数学背后的美妙，并能应用于各个领域。
《高数》定积分课件
《高数》定积分PPT课件
一场深入浅出、生动有趣的《高数》定积分知识演讲，解构常见问题，让你 真正掌握定积分的要点和方法。
定积分的概念
什么是定积分？
定积分是用来计算曲线下面的 面积或体积的方法。
定积分的意义
它可以帮助我们解决各种实际 问题，如曲线下面的面积、体 积等。
定积分的计算方法
定积分的基本计算方法包括换 元法、分部积分法、换限积分 法。
定积分的性质
基本性质
定积分满足线性性、可加性、伸缩性、位移性等基本性质。
运算法则
定积分的运算法则包括换元法、ຫໍສະໝຸດ 部积分法、换限积分法。应用领域
定积分在物理、经济、工程等领域有广泛应用。
定积分的计算
1
几何意义
定积分的计算可以用几何形象的方法
基本计算方法
2
来理解，几何意义明显。
常见的计算方法包括基本公式、分部
定积分在货币供应量计算、经 济模型构建等方面有广泛应用。
定积分的拓展
除了用于计算面积和体积外，定积分还可以用于求解各类几何和物理现象的 积分，以及概率论、统计分布、微积分方程等领域。
致谢
感谢各位聆听，希望新掌握的知识可以为您的学习和工作带来帮助。
积分法、换元法、反常积分。
3
常见例题解析
例题分析，掌握方法和技巧，熟练掌 握定积分的计算方式
定积分的应用
在几何学中的应用
在物理学中的应用
在经济学中的应用
通过定积分可以计算平面图形 的面积、曲线图形的弧长，从 而在建筑设计中得到广泛应用。
在牛顿定律、万有引力等天文、 力学问题中，定积分可以发挥 关键作用。
一场深入浅出、生动有趣的《高数》定积分知识演讲，解构常见问题，让你 真正掌握定积分的要点和方法。
定积分的概念
什么是定积分？
定积分是用来计算曲线下面的 面积或体积的方法。
定积分的意义
它可以帮助我们解决各种实际 问题，如曲线下面的面积、体 积等。
定积分的计算方法
定积分的基本计算方法包括换 元法、分部积分法、换限积分 法。
定积分的性质
基本性质
定积分满足线性性、可加性、伸缩性、位移性等基本性质。
运算法则
定积分的运算法则包括换元法、ຫໍສະໝຸດ 部积分法、换限积分法。应用领域
定积分在物理、经济、工程等领域有广泛应用。
定积分的计算
1
几何意义
定积分的计算可以用几何形象的方法
基本计算方法
2
来理解，几何意义明显。
常见的计算方法包括基本公式、分部
定积分在货币供应量计算、经 济模型构建等方面有广泛应用。
定积分的拓展
除了用于计算面积和体积外，定积分还可以用于求解各类几何和物理现象的 积分，以及概率论、统计分布、微积分方程等领域。
致谢
感谢各位聆听，希望新掌握的知识可以为您的学习和工作带来帮助。
积分法、换元法、反常积分。
3
常见例题解析
例题分析，掌握方法和技巧，熟练掌 握定积分的计算方式
定积分的应用
在几何学中的应用
在物理学中的应用
在经济学中的应用
通过定积分可以计算平面图形 的面积、曲线图形的弧长，从 而在建筑设计中得到广泛应用。
在牛顿定律、万有引力等天文、 力学问题中，定积分可以发挥 关键作用。
【备战】高中数学 第16讲 定积分与微积分基本定理配套课件 理 新人教B版
a
(2)一物体在变力 F＝F(x)的作用下运动，则变力在 位移区间 [a ，b]内所做的功，是函数 F＝F(x)在[a，b] b 上的定积分，即 W＝ ) F(x)dx.(
[答案] (1)√
(2)√
a
[解析] 根据物理学知识和定积分的概念可得．
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第16讲
定积分与微积分基本定理
考点统计 1.定积分的计算
b bg(x)dx f(x)dx±
a
a c ___________________ .
c
b f(x)dx＋ f(x)dx
a
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第16讲
双 向 固 基 础
定积分与微积分基本定理
如果 f(x)是[a，b]上的连续函数，并且有 F′(x)＝f(x)， b F(b)－F(a) 则 f(x)dx＝________ ．
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第16讲
双 向 固 基 础
定积分与微积分基本定理
三、定积分的性质
bf(x)dx k 1． 常数因子可提到积分号前， 即 kf(x)dx＝________(k
b
a
a
为常数)．
b 2． 代数和的积分等于积分的代数和， 即 [f(x)± g(x)]dx
a a ＝________________________ ． 3．(定积分的可加性)如果积分区间[a，b]被点 c 分成 b 两 个 小 区 间 [a ， c] 与 [c ， b] ， 则 f(x)dx ＝
双 向 固 基 础 点 面 讲 考 点 多 元 提 能 力 教 师 备 用 题
第16讲
定积分与微积分基本 定理
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考试大纲
(2)一物体在变力 F＝F(x)的作用下运动，则变力在 位移区间 [a ，b]内所做的功，是函数 F＝F(x)在[a，b] b 上的定积分，即 W＝ ) F(x)dx.(
[答案] (1)√
(2)√
a
[解析] 根据物理学知识和定积分的概念可得．
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第16讲
定积分与微积分基本定理
考点统计 1.定积分的计算
b bg(x)dx f(x)dx±
a
a c ___________________ .
c
b f(x)dx＋ f(x)dx
a
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第16讲
双 向 固 基 础
定积分与微积分基本定理
如果 f(x)是[a，b]上的连续函数，并且有 F′(x)＝f(x)， b F(b)－F(a) 则 f(x)dx＝________ ．
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第16讲
双 向 固 基 础
定积分与微积分基本定理
三、定积分的性质
bf(x)dx k 1． 常数因子可提到积分号前， 即 kf(x)dx＝________(k
b
a
a
为常数)．
b 2． 代数和的积分等于积分的代数和， 即 [f(x)± g(x)]dx
a a ＝________________________ ． 3．(定积分的可加性)如果积分区间[a，b]被点 c 分成 b 两 个 小 区 间 [a ， c] 与 [c ， b] ， 则 f(x)dx ＝
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第16讲
定积分与微积分基本 定理
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考试大纲
清华微积分(高等数学)课件第十七讲定积分(二)-36页精品文档
a
x
x
f R [ a ,b ] M 0 ,f ( x ) M x [ a ,b ]
xx
xx
0F (xx)F (x)f(t)d t f(t)dt
x
x
M x 0(x 0)
22.11.2019
5
[证] (2) 用导数定义证明
任 x [ a 取 ,b ],x x [ a ,b ]
满足三个条件：
(1) (t) C1[ , ];
(2) a (t) b;
(3) ( ) a, ( ) b ,
则有
b
f ( x)dx
f [ (t)] (t) dt
a
22.11.2019
20
x
b
x(t)
x
b
x(t)
a o
t
a o
a
a
0
对于右端,作 第变 一 :换 x项 t
又由 f(x)为偶函数知
22.11.2019
f(x)f( t)f(t)
24
从而由换元公式
0
0
a
f(x)d x f(t)d t f(t)dt
a
a
0
为什麽?
a
定积分与积分变量
f (x)dx
0
所用字母无关！
a
0
a
f(x )d x f(x )d xf(x )dx
x2
2
0
1csoixsn2 xd
x
2
[例] 计 算3(x3) 1x2dx
3
9
[解]
3
(x3)
1 x2dx
相关主题
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k1
n
limf( 0k1
k)
xkC (ba)
即 bf(x )d xb C d x C (b a )
a
a
03.01.2021
编辑ppt
10
[例2] 证 明 Diric函 hle数 t
1 D(x)0
xx为 为有 无理 理在 数 数 [0, 1]上 不 可 积
[证] 任[0 给 , 1]的 一 个 xk n k 划 0 分
2
一、两个典型例子 y [例1] 曲边形的面积问题
曲边梯形 y f(x)
oa
03.01.2021
x x i 1 i
i
编辑ppt
x
3
d
(1) 细分:
在[a, b]区间任意插入分点:
a x 0 x 1 x i 1 x i x n b
将 [ a ,b ]分 n 个 成 [ 子 x k 1 ,x k ]区 (k 1 ,2 , 间 ,n )
a x0 x1 xk1 xk xn b 记 第k 个 小 区 间[ xk1 , xk ] (k 1,, n) 的
长 度 为 xk xk xk1 ; 任 取k [ xk1 , xk ],
n
构 造和 式:
k 1
f
( k
)xk ,
记
max
1 k n
xk
,
03.01.2021
编辑ppt
7
n
如 果
和
式 极 l i m 限
0 k1
f (k)xk
存
在 ,则
称f 在[a, b]上 可 ,积 记f R[a, b];并 且
称 此 极 限 值 f(x为 )在[a, b]上 的 定 积 . 分
记作:
积分上限
b
n
f(x)dx limf(
a
0k1
k)
xk
积分下限 定积分是 :
[a, b] 称为积分区间
n
n
(3)求和： sskv(k)tk
k1
k1
n
(4) 取极限:
03.01.2021
slim v( 编辑 pp0t k1
k)
tk
6
二、定积分的概念
（一）黎曼积分定义：
设 函 数 f :[a, b] R, 对 区 间[a, b]
作 任 意 划 分, 即 在[a, b]中 插 入 一 组 分 点:
任k 取 [x k 1,x k]是有 (k 理 1 , ,n 数 )
n
n
n
D( k) xk
k1
k1
xk1li m 0k1D(k)xk
1
另k 取 [x k 1 ,x k]是无 (k 理 1 , ,n )数
n
n
D(k)xk 0 k1
li m 0k1D(k)xk 0
03.0故 1.202D 1 iric函 hl数 e编[t辑0p,p在 t 1]上不可积 11
三、可积性条件与可积函数类
定积分作为黎曼和式的极限，其构造十分 复杂，因此想通过计算这个和式的极限来研 究定积分，实际上是不可行的. 另一途径是先 研究其存在性，得到有关可积性的理论。
定理1： 若f(x)在[a, b]上可积f(， x) 则
在[a,b]上有. 界
证明思路：反证法。假设 f(x) 在[a,b]上无界，
则至少在一个子区间上无界，所以黎曼
和式无界，与和式极限存在相矛盾.
03.01.2021
编辑ppt
12
定理2：
若函f(数 x)在 [a, b]上连 ,则 续 f(x)在 [a,b]上可 . 积
定理3： 若 有 界f(函 x)在 [数 a, b]上 只 有
有 限 个,则 间f(断 x)在 [点 a,b]上 可 . 积
将 曲 边 梯 形n个 分小 成曲 边 梯 形
(2) 取近似：
任 k [ x k 取 1 ,x k ] 记 , :x k x k x k 1
将 第k个 曲 边 梯 形 的 面 积 形用 面矩 积 编辑ppt
4
(3)求和:
n
n
AAkf(k)xk
(4) 取极限: k1
k1
n
分点越“ , 密 f(” k)xk 越接近曲边
k1
的面积
无,限 即 m 1 k 细 n x a k 分 x 0
n
如 果l极 i0m k1限 f(k)xk 存 在 n
则limf( ) x A 03.01.2021 0k1
k
k
编辑ppt
5
[例2] 变速直线运动的路程问题 已 知v速 v(度 t)求 , 在 时[间 a, b]内 间 隔
定理4：
若 函f(数 x)在 [a, b]上 单 ,则 调 f(x)在 [a,b]上 可 . 积
03.01.2021
编辑ppt
13
四、定积分的基本性质
定积分是一种极限，因此其性质与极限 性质密切相关
性质一： 线性性质
若f,gR[a, b],则对任意 ,常 ,有数
b
b
b
a [ f(x )g (x )d ] x af(x )d x a g (x )dx
所 走 过s的 . 路 程 (1)细分：在[a, b]区间任意插入分点:
a t0 t1 tk 1 tk tn b
将 [a ,b ]分 n 个 成 子 [tk 1 ,tk ]( 区 k 1 ,2 , 间 ,n )
(2)取近似：任k 取 [tk1, tk]以匀速近似变速
s k v (k ) tk (i 1 , ,n )
积分和式的极限
[例1]曲边梯形的面积
A
b
f (x)dx
a
[例2]变速直线运动的路程 s
b
v(t)dt
03.01.2021
编辑ppt
a
8
（二）定积分的几何意义
(1)若f (x) 0, 则 b f (x)dx A, 即 a 定积分表示曲边梯面形积的
(2)若f(x)0,则 b f(x)dxA, 即 a 定 积 分 表 示 曲 边面 梯积 形的 的负 值
作业
P166 习题6.2
1(1)(5). 2(2). 3(1)(3).
4(4)(5). 5(1).
复习：P158—166
预习：P168—174
03.01.2021
编辑ppt
1
第十六讲 定积分（一）
一、两个典型例子
二、定积分的概念
三、可积性条件与可积类
四、定积分的基本性质
03.01.2021
编辑ppt
x
y
a
o
xi1 i x i
b
Ai f(i)xi
f (i )
y f(x)
03.01.2021
编辑ppt
9
[例 1]证f明 (x)C 在 [a,b]上可积
[证] 任[给 a, b]的 一 个 xk划 n k0 分
任取 k[xk1, xk] (k1, ,n)
n
n
f(k)xkCxk
k1
k1
n
Cxk C(ba)