基本初等函数导数公式附导数运算法则
基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(上课)
题型三 商的导数
例 3 求下列函数的导数． (1)y＝sxin2x； (2)y＝xx2＋ ＋33； (3)y＝tanx； (4)y＝x·sinx－co2sx.
【解析】 (1)y′＝x2′·sinsxi－ n2xx2·sinx′ ＝2xsinxs－ in2xx2·cosx. (2)y′＝x＋3′·x2＋x32＋ －3x2＋3x2＋3′ ＝x2＋3x－ 2＋2x3x2＋3＝－x2＋ x2＋ 6x3－23. (3)∵y＝tanx＝csoinsxx， ∴y′＝csoinsxx′＝sinx′cosxc－ os2sxinx·cosx′
f (x) • g(x) f (x)g(x) f (x)g(x)
3.两个函数的商的导数,等于第一个函数的导 数乘第二个函数,减去第一个函数乘第二个函 数的导数 ,再除以第二个函数的平方.即:
f g
(x) (x)
f
(
x)
g
(x) f (
g(x)2
§1.2 导数的计算
探要点·究所然 情境导学
前面我们已经学习了几个常用函数的导数和基 本初等函数的导数公式，这样做起题来比用导数的 定义显得格外轻松.对于由四则运算符号连接的两 个或两个以上基本初等函数的导数如何求，正是本 节要研究的问题.
一、基本初等函数的导数公式
1.若f(x)=c,则 f ' (x) = 0 ；
【总结提升】
函数f(x)在某点处导数的大小表示函数在 此点附近变化的快慢.由上述计算可
知 c′(98) 25c′(90) .它表示纯净度为98%左
右时净化费用的变化率,大约是纯净度为90% 左右时净化费用的变化率的25倍.这说明,水 的纯净度越高,需要的净化费用就越多,而且 净化费用增加的费用也越快.
基本初等函数的导数公式及导数的运算法则
基本初等函数的导数公式及导数的运算法则（一）基本初等函数的导数公式表x y x y xy x y y x y cos )6(log )5(ln )4(1)3(5)2()1(125======、求下列函数的导数例 例处的切线方程。
在、求函数2cos 2π==x x y（二）导数的四则运算法则：（2）推论：[]''()()cf x cf x = （常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数）例3、根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求下列函数的导数．（1）323y x x =-+（2）y = （3）sin ln y x x x =⋅⋅；（4）4x x y =； （5）1ln 1ln x y x -=+． （6）2(251)x y x x e =-+⋅；三．课堂练习1、求下列函数的导数：)1()3( )sin ()2( cos )1(1)1(2322+=-=+-=x f y x b ax y xx x y ω 2、已知曲线C ：y ＝3 x 4－2 x 3－9 x 2＋4，求曲线C 上横坐标为1的点的切线方程；3、处的导数。
在求3332=++=x x x y 4、处的切线方程。
，在点求曲线)20(1P e y x += ______________________1216______________)42()04(4522处的切线方程为垂直，则过点的切线与直线上的点，若过点是曲线、的坐标为，则于处的切线恰好平行，若曲线上一点，、，上两点、曲线P x y P x y P P AB P B A x x y +-==-= 7、曲线3()2f x x x =+-在0P 点处的切线平行于直线41y x =-，则0P 点的坐标为 ．8、已知抛物线2y x bx c =++上的点（1，2）处的切线与直线2y x =-平行，求b ，c 的值。
基本初等函数的导数公式及导数的运算法则
基本初等函数的导数公式及导数的运算法则导数是微积分中一个重要的概念，它描述了函数在给定点处的变化率。
在微积分中有许多基本的初等函数，它们都有对应的导数公式和导数的运算法则。
下面，我将介绍一些常见的基本初等函数的导数公式及导数的运算法则。
1.常数函数导数公式：如果f(x)=C，其中C为常数，则其导数为f'(x)=0。
2.幂函数导数公式：如果f(x) = x^n，其中n为常数，则其导数为f'(x) = nx^(n-1)。
例如：f(x)=x^3，则f'(x)=3x^23.指数函数导数公式：如果f(x)=e^x，则其导数为f'(x)=e^x。
例如：f(x)=e^2，则f'(x)=e^24.对数函数导数公式：如果f(x) = ln(x)，则其导数为f'(x) = 1/x。
例如：f(x) = ln(2)，则f'(x) = 1/25.三角函数导数公式：(1) 如果f(x) = sin(x)，则其导数为f'(x) = cos(x)。
(2) 如果f(x) = cos(x)，则其导数为f'(x) = -sin(x)。
(3) 如果f(x) = tan(x)，则其导数为f'(x) = sec^2(x)。
6.反三角函数导数公式：(1) 如果f(x) = arcsin(x)，则其导数为f'(x) = 1/√(1-x^2)。
(2) 如果f(x) = arccos(x)，则其导数为f'(x) = -1/√(1-x^2)。
(3) 如果f(x) = arctan(x)，则其导数为f'(x) = 1/(1+x^2)。
导数的运算法则：1.常数乘法法则：设c为常数，f(x)为可导函数，则(cf(x))' = c*f'(x)。
例如：如果f(x)=2x，则f'(x)=2*1=22.求和差法则：设f(x)，g(x)为可导函数，则(f(x)±g(x))'=f'(x)±g'(x)。
基本初等函数的导数公式及导数的运算法则
上导乘下,下导乘上,差比下方
[ f ( x) g ( x)] f ( x) g ( x) f ( x) g ( x)
如果上式中f(x)=c,则公式变为：
[cg ( x)] cg ( x)
例2 根据基本初等函数的导数公式和导数
运算法则，求函数y=x3-2x+3的导数。
y (x 解：因为2x 3)
p(t ) p0 (1 5%)
t
解:根据基本初等函数导数公式表,有
(t ) 1.05t ln1.05 p
所以 p(10) 1.05 ln1.05 0.08(元 / 年)
10
因此,在第10个年头,这种商品的价格 约以0.08元/年的速度上涨.
导数的运算法则:(和差积商的导数)
导数的运算法则:(和差积商的导数)
[ f ( x) g ( x)]' f '( x) g '( x)
[ f ( x) g ( x)] f ( x) g ( x) f ( x) g ( x)
轮流求导之和
f ( x) f ( x) g ( x) f ( x) g ( x) ( g ( x) 0) g ( x) 2 g ( x)
是否有切线，如果有， 求出切线的方程.
试自己动手解答.
1 有,切y x 2
线的 方程 为
基本初等函数的导数公式
公式1.若f ( x) c, 则f '( x) 0; 公式2.若f ( x) x n , 则f '( x) nx n 1 ; 公式3.若f ( x) sin x, 则f '( x) cos x; 公式4.若f ( x) cos x, 则f '( x) sin x; 公式5.若f ( x) a x , 则f '( x) a x ln a ( a 0); 公式6.若f ( x) e x , 则f '( x) e x ; 1 公式7.若f ( x) log a x, 则f '( x) ( a 0, 且a 1); x ln a 1 公式8.若f ( x) ln x, 则f '( x) ; x
导数的运算法则及复合函数的导数公式
x y yu u， x
达标练习
1.函数y=x2cosx的导数为（
A. y′=2xcosx-x2sinx C. y′=x2cosx-2xsinx
）
B. y′=2xcosx+x2sinx D. y′=2xcosx-x2sinx
1 x 2. 求y= 3 x 的导数 2 1 x 3. 求y= sin x 的导数
再利用导数的运算法则(3)来计算。
1 ( 3) y ; 2 cos x
思考？
如何求函数y=ln(x+2)的导数呢？ 函数y=ln(3x+2)的导数呢？
拆分下列复合函数
1. 2. 3. 4.
y= sin(-3x+5) y=sin2x 2x y=cos x y=cos
3
复合函数的求导法则
定理 设函数 y = f (u)， u = (x) 均可导， 则复合函数 y = f ( (x)) 也可导. 且
轮流求导之和
f ( x) f ( x) g ( x) f ( x) g ( x) ( g ( x) 0) g ( x) 2 g ( x)
上导乘下,下导乘上,差比下方
[ f ( x) g ( x)] f ( x) g ( x) f ( x) g ( x)
1.2.2
导数的运算法则及复合函 数的导数公式
1．求导数的方法 (1)定义法：运用导数的定义来求函数的导数． (2)公式法：运用已知函数的导数公式及导数的 则运算法则求导数．
基本初等函数的导数公式：
原函数 y＝C y＝xn 导函数
y＝sin x y＝cos x y＝ax(a>0，a≠1) x y′＝ex y＝e 1 y＝logax(a>0，a≠1) y′＝ y＝ln x
基本初等函数的导数公式及导数的运算法则
讲解经济学中的温水煮青蛙现象。虽然每年只有8分钱，但在 不知不觉中物价已经让你承担不起。
例5 日常生活中的饮用水通常是经过净化的。随着水 纯净度的提高，所需净化费用不断增加。已知将1吨水 净化到纯净度x%时所需费用（单位：元）为
c(x) 5284 (80 x 100) 100 x
求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时变化率： （1）90％ （2）98％
解：净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数
c'(x)
( 5284 100 x
)'
5284'(100
x) 5284 (100 x)2Βιβλιοθήκη (100x)'
0 (100 x) 5284 (1) (100 x)2
5284 (100 x)2
例2 假设某国家在20年期间的平均通货膨胀率为5％，物价p(单位： 元)与时间t（单位：年）有如下函数关系
p(t) p0 (1 5%)t
其中p0为t = 0时的物价。假定某种商品的p0=1,那么在第10个年 头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少（精确到）?
解：根据基本初等函数导数公式表，有
p'(t) 1.05t ln1.05 p'(10) 1.0510 ln1.05 0.08(元 / 年)
解：因为 y (x3 2x 3)
(x3 ) (2x) (3) 3x2 2
所以，函数y=x3-2x+3的导数是
y ' 3x2 2
既然导数可求，那可以求这个函数图像的切线吗？原来的旧方 法没用了吧！我们用几何画板画出此函数的图像。
2.已知函数y=xlnx (1)求这个函数的导数 (2)求这个函数在点x=1处的切线方程
1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则1
1 2 作业1：求 y 2 的导数. x x 作业2:求下列函数的导数:
x (1) y ; 2 1 x (2) y tan x;
2
(3) y (2 x 3)(1 x );
2
作业3：P18习题1.2 A组 第4题（1） 第6题
小结:
导数运算法则：
1. f ( x) g ( x) f ( x) g ( x)
2. f ( x) g ( x) f ( x) g ( x) f ( x) g ( x)
特别地：(cf(x)) = cf (x) (c 为常数).
f ( x) f ( x) g ( x) f ( x) g ( x) 3. ( g ( x) 0) 2 g ( x) g ( x)
1.2.2基本初等函数的导数公式 及导数的运算法则
基本初等函数的导数公式
1、若f ( x ) c, 则 2、若f ( x ) x , 则 3、若f ( x ) sin x, 则 4、若f ( x ) cos x, 则 5、若f ( x ) a , 则
x
1. f '( x) 0; 2. f '( x) x 1 ; 3. f '( x) cos x; 4. f '( x) sin x; 5. f '( x) a ln a (a 0);
x
6、若f ( x ) e x , 则 7、若f ( x ) log a x, 则 8、若f ( x ) ln x, 则
6. f '( x) e x ; 1 7. f '( x) (a 0, 且a 1); x ln a 1 8. f '( x) ; x
基本初等函数的导数公式及导数的运算法则
公式3.若f (x) sin x,则f '(x) cos x;
公式4.若f (x) cos x,则f '(x) sin x;
公式5.若f (x) ax ,则f '(x) ax ln a(a 0);
公式6.若f (x) ex ,则f '(x) ex;
公式7.若f
(2)求 y＝1x＋x22＋x33的导数．
[解析] (1)①y′＝(x2sinx)′＝(x2)′sinx＋x2(sinx)′ ＝2xsinx＋x2cosx. ②y′＝[x2(x2－1)]′＝(x2)′(x2－1)＋x2(x2－1)′ ＝2x(x2－1)＋x2·2x＝4x3－2x. (2)y′＝1x＋x22＋x33′＝1x＋2x－2＋3x－3′ ＝－x12－4x－3－9x－4＝－x12－x43－x94.
法则1:两个函数的和(差)的导数,等于这两
个函数的导数的和(差),即:
[f(x) ±g(x)] ′= f'(x) ± g'(x);
应用1: 求下列函数的导数
(1)y=yx'3+s3inxx2 cos x
(2)y=x3-2x+3.
y ' 3x2 2
法则2:两个函数的积的导数,等于第一个函
练一练：
（1）下列各式正确的是（ C ）
A.(sin )' cos(为常数）
B（. cos x)' sin x C.(sin x)' cos x D.( x5 )' 1 x6
5
（2）下列各式正确的是（ D ）
A.(log
x a
)'
1 x
B.(log
基本初等函数的导数公式及导数的运算法则
5、若 f ( x) a ,则 f ( x) _______________
'
a ln a(a 0) x x ' e 6、若 f ( x) e ,则 f ( x) _______
x
1 7、若 f ( x) loga x ,则 f ( x) ________________ (a 0, 且a 1) x ln a 1 ' 8、若 f ( x) ln x ,则 f ( x) _____ x
2、求导数的一般步骤： （1）求函数的增量Δy=f(x0+Δx) －f(x0)
y （2）求平均变化率 x
（3）求极限 f ' ( x ) lim
y x 0 x
新课讲解
课题：基本初等函数的导数公式及导数的运算法则（1）
几个常用函数的导数 1、 函数 y f ( x) c 的导数 y ' 0
'
1
例题选讲
课题：基本初等函数的导数公式及导数的运算法则（1）
4
【例1】已知 y x （1）求y’; （2）求曲线在点(1，1)处的切线方程。
1 y x 4
'
3 4
1 3 y x 4 4
2
【练习】若抛物线y 4 x 上的点P到直线y 4 x 5 的距离最短，求点P的坐标。
1 4 s t 4t 3 16t 2 4
例题选讲
课题：基本初等函数的导数公式及导数的运算法则（1）
【例 5】偶函数 f(x)＝ax4＋bx3＋cx2＋dx＋e 的图象过点 P(0,1)，且在 x＝1 处的切线方程 为 y＝x－2，求 y＝f(x)的解析式．
几种常见函数的导数基本初等函数的导数公式及导数的运算法则
几种常见函数的导数基本初等函数的导数公式及导数的运算法则一、常见函数的导数公式：1.常数函数的导数公式：若f(x)=C（C为常数），则f'(x)=0。
2. 幂函数的导数公式：若f(x) = x^n（n为常数），则f'(x) = nx^(n-1)。
3. 指数函数的导数公式：若f(x) = a^x（a为正常数且a≠1），则f'(x) = ln(a)・a^x。
4. 对数函数的导数公式：若f(x) = log_a(x)（a为正常数且a≠1），则f'(x) = 1 / (x • ln(a))。
5.三角函数的导数公式：a) 正弦函数的导数公式：f(x) = sin(x)，则f'(x) = cos(x)。
b) 余弦函数的导数公式：f(x) = cos(x)，则f'(x) = -sin(x)。
c) 正切函数的导数公式：f(x) = tan(x)，则f'(x) = sec^2(x)。
d) 余切函数的导数公式：f(x) = cot(x)，则f'(x) = -csc^2(x)。
二、基本初等函数的导数公式：1.(f+g)'(x)=f'(x)+g'(x)（求和法则）2.(a・f)'(x)=a・f'(x)（常数倍法则）3.(f・g)'(x)=f'(x)・g(x)+f(x)・g'(x)（乘积法则）4.(f/g)'(x)=(f'(x)・g(x)-f(x)・g'(x))/(g(x))^2（商法则）5.(fⁿ)'(x)=n・f'(x)・f^(n-1)(x)（幂法则）其中，f'表示f的导数，fⁿ表示f的n次幂，f^(n-1)表示f的n-1次导数。
三、导数的运算法则：1.和差法则：(f+g)'(x)=f'(x)+g'(x)；(f-g)'(x)=f'(x)-g'(x)。
基本初等函数的导数公式及导数的运算法则
= 2 ln x 2.
(3) 求函数y = (2 x 3)(3 x - 2)的导数.
2
解：y = ( 2 x 2 3)( 3 x - 2) ( 2 x 2 3)( 3 x - 2)
= 4 x ( 3 x - 2) ( 2 x 2 3) 3
x 2 x 解： (2) y = - sin (1 - 2cos ) 2 4 x x 1 = sin cos = sin x , 2 2 2
y' = ( 1 sinx )' = 1 cos x . 2 2
x3 2. 求 y = 2 在点x = 3处的导数. x 3 2 2 ( x 3)' ( x 3) - ( x 3) ( x 3)' 解： y ' = 2 2 ( x 3)
n
* '
n -1
式，除部分上 ' x x = = 5. 若f ( x ) a ，则 f ( x ) a ln a； 一节已经证明 ' x x 过，其他的只 = = 6. 若f ( x ) e ，则 f ( x ) e ； 需要熟记，会 1 ' 7. 若 f ( x ) = log a x，则 f ( x ) = ； 用即可.
1 ( x 2 3) - ( x 3) 2 x - x 2 - 6 x 3 = = 2 2 2 2 ( x 3) ( x 3)
当x = 3时,
1 -3 - 6 3 3 =- . f (3) = 2 2 6 (3 3)
2
例4:求曲线y=x3+3x－8在x=2处的切 线的方程. 解： f ( x) = ( x 3 3 x - 8) = 3 x 2 3
基本初等函数的导数公式及导数的运算法则
(x 2) (x 1) 2x 3
sin x (sin x)'cos x sin x(cos x)'
(3) y' ( )' cos x
cos2 x
cos2 x sin cos2 x
2
x
1 cos2
x
sec2
x.
例2求下列函数的导数.
(1) y 2sin x cos x 2x2 1 (2) y cos2 x sin 2 x
【教育类精品资料】
基本初等函数的导数公式 及导数的运算法则
一、基本初等函数的导数公式:
C'0C为常 (数 xn)'n(x)n1(nQ)
(sin x) cos x (cxo)ssixn
(ax)' ax lna,(ex)' ex
(loga
x)'
1 ,(lnx)' xlna
1 x
二、导数的运算法则:(和差积商的导数)
[f(x ) g (x ) ]' f'(x ) g '(x )
函 数 和 （ 差 ） 的 导 数 等 于 它 们 导 数 的 和 （ 差 ） .
（可以推广到求有限个函数的和（差）的导数.）
(轮流求导之和)
[f(x)g(x)]'f'(x)g(x)f(x)g(x)' [gf((xx))]' f'(x)g([xg)(x)f]2(x)g(x)'(g(x)0)
(2 )y f(1 x 2) 2 x x f(1 x 2); 21 x 2 1 x 2
(3) y[f(sin2 x)f(cos2 x)]
基本初等函数的导数公式及导数的运算法则
掌握基本初等函数的导数公式和导数的运算法则对于数学学习至关重要。本 节将深入讨论各种导数公式和运算法则，以及它们在不同领域中的应用。
常数函数的导数公式
1 公式：
常数函数的导数始终为零。
2 应用：
常数函数的导数公式可以用于求解速度恒定、变化缓慢的物理问题。
幂函数的导数公式
对数函数的导数公式
1
公式：
对数函数的导数公式是指数函数求导法则的逆运算。
2
应用：
对数函数的导数公式可以应用于解决指数增长和衰减的问题。
3
注意：
对数函数的导数公式只适用于正实数。
三角函数的导数公式
1
公式：
三角函数的导数公式是基于单位圆上的点的导数性质计算得出的。
2
应用：
三角函数的导数公式在物理学、工程学和波动学中有广泛的应用。
2 意义：
导数可以表示函数的变化率和速率。
导数与函数的单调性和凹凸性
1 单调性：
函数的导数可以判断函数 的单调性。
2 凹凸性：
函数的导数和二阶导数可 以判断函数的凹凸性。
3 应用：
导数与函数的单调性和凹 凸性在优化问题和最值问 题中具有重要作用。
1 公式：
幂函数的导数公式是基于指数函数求导法则推导而来。
2 应用：
幂函数的导数公式可以应用于描述变化速率不同的物理量之间的关系。
指数函数的导数公式
1
公式：
指数函数的导数公式与函数的底数和指数有关。
2
特殊情况：
当底数为常数<em>e</em>时，导数是函数自身。
3
应用：
指数函数的导数公式在经济学和生物学中具有广泛的应用。
1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则
情感态度与价值观
经历由实际问题中抽象出导数概 念，使同学们体会到通过导数也能刻
画现实世界中的数量关系的一个有效
数学模型.
教学重难点
重点
理解简单复合函数的复合过程.
难点
函数的积、商的求导法则的推 导及复合函数的结构分析.
知识要点
为了方便，今后我们可以直接使 用下面的初等函数的导数公式表：
基本初等函数的导数公式
f (x)
例8
求函数 y = 2x + 3 的导数.
2
解：函数 y 2 x 3 可以看作函数 y u
2
3
和 u 2x 3 的复合函数.由复合函数求 导法则有
y y u u
' x ' u ' x
2 '
2 x 3
'
4u 8x 12.
'
(2) y ' 2e x ;
(3) y ' 10 x 4 6 x;
(4) y ' 3sin x 4cos x;
1 x (5) y sin ; 3 3 1 ' (6) y . 2 x 1
'
u v
y u v x x x
y u v u v lim lim lim lim x 0 x x 0 x x 0 x x 0 x x
u ' ( x) v ' ( x)
例2
求y= x 3 + sin x的导数. 解：由导数的基本公式得：
y=-2/x3，那么函数y=1/(3x-2)2的导数又
是什么呢?
学习了这节课， 就可以解决这些 问题了！
基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(侨中公开课)
f (x)
g(x)
f
(
x)
g
(x) f (
g ( x)2
x)
g
(
x)
(
g
(
x)
0)
上导乘下,下导乘上,差比下方
[例 2] 求下列函数的导数： (1)y＝15x5－43x3＋3x＋ 2； (2)y＝(3x5－4x3)(4x5＋3x3)；
(3)y＝33 x4＋4 x3.
公式一: C= 0 (C为常数)
公式二: (x ) x 1(是常数)
算一算：求下列函数的导数
(1) y=x4 ;
(2) y=x-5 ;
4x3
-5x-6
(3) y x ;
1
x
1 2
1 (4) y x2 ;
-2x-3
2
注意公式中,n的任意性.
公式三: (sin x) cos x
应用1: 求下列函数的导数 (1)y=x3+sinx
y' 3x2 cos x
(2)y=x4-x2-x+3.
y' 4x3 2x 1
(3) y x3 2x 3
1
(4) y x 4 log2 x
法则2:
f (x) g(x)' f '(x) g(x) f (x) g'(x)
（1）下列各式正确的是（ C ）
A.(sin )' cos(为常数）
B（. cos x)' sin x C.(sin x)' cos x D.( x5 )' 1 x6
5
（2）下列各式正确的是（ D ）
基本初等函数的导数公式及导数的运算法则
y'x表示y对x的导数
即 y对 x的导数 y对 u 等 的于 导u数 对 x的 与导数. 的
由此,y可 ln 3 得 x2对 x的导数 yln 等 u对 u的 于
导数 u3 与 x2对 x的导数 ,即 的乘积
y'xyu ' u'xln u'3x2' 1 u33x3 2.
1321,
所以,纯净度为 98%时,费用的瞬时变化率
是1321元/吨.
函数 fx 在某点处的导数的大小表示函数
在此点附近变化的快慢 .由上述 计算可知,
c' 98 25c' 90.它表示纯净度为98%左
右时净 化费用的变化率 ,大约是纯 净 度 为
90% 左右时净化费用变化率的 25 倍 .这说
当p0 5时,pt 5 1.05t.这时,求p关于t的导 数可以看成求函数ft 5与 gt 1.05t 乘积
的导数.下面的" 导数运算法则"可以帮助我们解 决两个函数加、减、乘、除的求导问题.
导数运算法则
1 . f x g x ' f 'x g 'x ;
2 . f x g x ' f ' x g x f x g ' x ;
3 . g fx x 'f'x g x g x f2 x g 'x g x 0 .
例2 根据基本初等函数的导数公式 和导数运算法则,求函数 y x3 2x 3的导数.
1 ;
x ln a
8.
若 fx ln x,则 f ' x
基本初等函数的导数公式及导数的运算法则-课件
题型三 求较复杂函数的导数 例3 求下列函数的导数：
(1)y＝2x2sin(2x＋5)； (2)y＝a3x·cos(2x＋1)． 【解】 (1)由于[sin(2x＋5)]′＝cos(2x＋5)·(2x＋5)′ ＝2cos(2x＋5)， ∴y′＝(2x2)′sin(2x＋5)＋2x2[sin(2x＋5)]′ ＝4xsin(2x＋5)＋4x2cos(2x＋5)．
所以 f(x0)＝g(x0)，f′(x0)＝g′(x0)，
12x20＋2x0＝3ln x0＋b. ∴
x0＋
2＝3 . x0
由
x0＋
2＝ 3 得， x0
x0＝
1，或
x0＝－ 3(舍去 )，
所以 b＝52.
(2)y＝f(x)(x＞ 0)， y＝ g(x)(x＞ 0)
在 且公f′共(x点)＝(xx0，＋y20a)处 ，的g′切(x线)＝相3x同a2，，
x .
(3)y′＝(ex)′ (x4－ 3x2－ 5x＋ 6)＋e x(x4－ 3x2－ 5x＋ 6)′
＝e x(x4－ 3x2－ 5x＋ 6)＋e x(4x3－ 6x－ 5)
＝e x(x4＋ 4x3－ 3x2－ 11x＋ 1)．
(4)y＝x－12sin x，
∴y′＝1－12cos x.
题型二 求复合函数的导数 例2 求下列函数的导数：
的图象的一个公共点，两函数的图象在点 P 处有相同的切
线，用 t 表示 a，b，c.
解：∵函数 f(x)，g(x)的图象都过点 P(t,0)， ∴f(t)＝0，即 t3＋at＝0. ∵ t≠ 0，∴ a＝－ t2. 又 g(t)＝0，即 bt2＋c＝0，∴c＝ab. 又∵ f(x)， g(x)在点(t,0)处有 相同的切线， ∴ f′(t)＝ g′ (t)． 而 f′(x)＝3x2＋a，g′(x)＝2bx， ∴ 3t2＋ a＝ 2bt. 将 a＝－t2 代入上式得 b＝t. ∴ c＝ ab＝－ t3.
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1.2．2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则（一）教学目的：1熟练掌握基本初等函数的导数公式。
2掌握导数的四则运算法则；
3能利用给出的公式和法则求解函数的导数。
教学重点难点
重点：基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则
难点：基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则的应用
教学安排：两课时
教学过程：
引入：复习巩固导数的基本公式，及其基本运算规律。
且
知识讲解：
一：基本初等函数的导数公式
为了方便我们将可以直接使用的基本初等函数的导数公式表如下：
关于表特别说明：
1 常数函数
的导
数是
0；
2幂函数
导数是以对应幂函数的指数为系数
3
余弦函
数的导数是正弦函数的相反
数。
从图像上来看，正弦函数在区间上单调递增，瞬时变化率为正，
和余弦函数在该区间的正负是一致的，
余弦函数在区间上是单调递减，瞬时变化率为负，
和正弦函数在该区间的正负是相反的，故
有一个负号。
4
的导数是它自身。
5
例1计算下列函数的导数
强调：1幂函数和指数函数是两种不同的函数，关键是看变量所处的
位置是在底数上还是在指数上。
2 导函数的定义域决定于原函数的定义域。
练习：求下列函数的导数。
例2．（课本P14例1）假设某国家在20年期间的年均通货膨胀率为
那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约
是多少（精确到0.01
）？
/年）
在第10个年头，这种商品的价格约为0.08元/年的速度上涨．
提出问题：
10个年头，这种
0.01）？
二导数的计算法则
推论1
导数不变）
2
（常数与函数的积的导数，等于常数乘函数
的导数）
3
解决问题：
公式和求导法则，有
/年）
0.4元/年的速度上涨．例3 根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求下列函数的导数，并注明定义域。
（1
（2
（3
强调： 1 求导数是在定义域内实行的．
2 求较复杂的函数积、商的导数，必须细心、耐心．
例4（P15例3）日常生活中的饮水通常是经过净化的．随着水纯净
度的提高，所需净化费用不断增加．
已知将1吨水净化到纯净
所需净化费用的瞬时变化率：（1（24
5
38
y x x =+-练习：()
()
32
4
54338x y x
x -+'=
+-
解：净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数．
（1）
用的瞬时变化率是52.84元/吨．
（2）
所以，
费用的瞬时变化率是1321元/吨．
强调：
费用的瞬时变化率的
25倍．这说明，水的纯净度越高，需要的净化费用就越多，而且净化费用增加的速度也越快． 五．课堂练习
六．课堂小结
（1）基本初等函数的导数公式表 （2）导数的运算法则 七．布置作业 八．教学后记。