梅逊增益公式及应用
梅逊公式
回章首
回节首
21
解: 有三条前向通路， 前向通路的增益分别为
n3
p1 G1G2 G3G4 G5 p2 G1G6 G4 G5 p3 G1G2 G7
有四个独立的回路，分别为
L1 G2 G3G4 G5 H 2 L2 G6 G4 G5 H 2
在四个回路中，L3与L4不接触。
L3 G2 G7 H 2 L4 G4 H1
特征式为
1 ( L1 L2 L3 L4 ) L3 L4
回章首 回节首 22
前向通路p1与四个回路均接触，
1 1
前向通路p2与四个回路均接触，
2 1
前向通路p3与回路L4不接触，
L3a L4 ,
a
3 1 L4
闭环传递函数为
Y (s) P 1 ( p11 p2 2 p3 3 ) R( s) p1 p2 p3 (1 L4 ) 1 ( L1 L2 L3 L4 ) L3 L4 G1G2G3G4G5 G1G6G4G5 G1G2G7 (1 G4 H1 ) 1 G2G3G4G5 H 2 G6G4G5 H 2 G2G7 H 2 G4 H1 G2G7 H 2G4 H1
(2-123)
回章首
回节首
18
特征式
的计算公式为
1 La Lb Lc
a b,c
d ,e, f
L
d
Le L f ....
(2-124)
L —所有独立回路增益之和； —所有每两个互不接触回路增益乘积之和； L L —所有每三个互不接触回路增益乘积之和。 L L L
a a
2.4 梅森公式
(该通道所有传递函数的乘积) (回路传输之和） (两两不接触回路传输之和）
(特征式中，去掉与第k条通道相接触的 回路增益，剩下的部分
[例2.20] 用梅逊增益公式求图所示的传递函数。
G4
R
1
G1
G2
H
G3
C
回路与两个前向通道接触， 解 : 前向通道: △1=1， △ 2=1
P1=G1G2G3 P2=G4G3
L2 L5 G1G2G4G7 H 2 H3
特征式:
1 La Lb Lc
1 ( L1 L2 L3 L4 L5 ) (L1L2 L1L4 L2 L5 )
1 G2 H1 G4 H 2 G1G2G3G4G5 H3 G6G4G5 H3 G1G2G7 H 3 G2G4 H1H 2 G2G4G5G6 H1H3 G1G2G4G7 H 2 H3
C ( s) Gr ( s ) R( s) Gn ( s ) N (s) R( s) N ( s) 1 s
3 1 求出：a1 1, a2 , a3 2 2
8 1 s 1 C ( s) 2 2 s 6s 8 s s 6s 8 s
1
G2 ( s)
反馈通道: G2 (s)G3 (s)G1 ( s)
Y ( s) 1 D1 ( s ) D1 ( s) 1 G1G2G3
G1G3 Y (s) D2 ( s ) D2 ( s ) 1 G1G2G3
例[2.24] 系统结构如图，求 r (t ) n(t ) 1 时的输出。
1.给定输入作用下的闭环传递函数 令D(s)=0
C (s) ( s) R( s)
梅森公式-信号流图
例4 已知系统信号流图， 解：三个回路
求传递函数 X4/X1及 X2/X1。
L
a
d eg bcg
c
有两个互不接触回路
L L
b
deg
f
则 1 d eg bcg deg
1. X 1 X 4 , p1 aef , p2 abcf 1 1 d , 2 1
x2
(g)
x2
x3
x5 L5 a23a35a52
a12 a23 a34 a45 (1 a44 )a12 a23 a35 P 1 (a23 a32 a23 a34 a42 a44 a23 a34 a52 a23 a35 a52 ) a23 a32 a44 a23 a35 a52 a44
2 1 a44
x3
a42 a12
a44 a34 x4 a35 a52 a45 x5
(a)
a23 x2 a32 x3
x1
(d)
x2
x3
互不接触
L1 a23a32
L12 a23a32a44 L2 a23a34a42
(e) (f)
x2
x4 x4 x5 L3 a44 互不接触 L22 a23a35a52a44 L4 a23a34a45a52
E(s)=
R(s)[ (1+G2H2) + (- G3G2H3) ] + (–G2H3) N(s)
1 - G1H1 + G2H2
+ G1G2H3 -G1H1G2 H2
信号流图
R(s) 1
e
g
a
f
b
信号流图梅森公式
回路传输(增益)：回路上各支路传输的乘积称为回路传输或回
路增益。
2/5/2020
5
信号流图的等效变换
串联支路合并：
ab x1 x2 x3
并联支路的合并：
a
x1 b x2
ab
x1
x3
ab
x1
x2
回路的消除：
ab
x1
x2
x c
3
b
a 1 bc
x1 x2 x3
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6
信号流图的等效变换
P
1
n k1
Pkk
1 L a L b L c L d L e L f .（.正. 负号间隔）
式中： La 流图中所有不同回路的回路传输之和；
LbLc 所有互不接触回路中，每次取其中两个回
路传输乘积之和；
LdLeLf 所有互不接触回路中，每次取其中三个
18
梅逊公式||例2-15
例2-15：数数有几个回路和前向通道。
G6
R
G5
1
G2
1
G7
G3
G4
1
G1
1
H2
G8
H1
有四个回路，分别是：
1
C
G 2 H 2 , G 1 G 2 G 3 G 4 H 1 , G 1 G 2 G 7 G 4 H 1 , G 1 G 2 G 8 G 4 H 1
ug ue
u1
u2
ua
G f
[解]：前向通道有一条；ug ,P 1G 1G 2G 3G u
有一个回路； L a G 1 G 2 G 3 G u G f
自动控制原理第二章梅森公式-信号流图课件
ABCD
然后，通过分析梅森公式 的各项系数，确定系统的 极点和零点。
最后，将梅森公式的分析 结果转换为信号流图，进 一步明确系统各变量之间 的传递关系。
梅森公式在信号流图中的应用实例
假设一个控制系统的传递函数为 (G(s) = frac{s^2 + 2s + 5}{s^2 + 3s + 2})
在信号流图中，将极点和零点表示为相 应的节点，并根据梅森公式的各项系数 确定各节点之间的传递关系。
02
信号流图基础
信号流图定义与构成
信号流图定义
信号流图是一种用于描述线性动 态系统数学模型的图形表示方法 ，通过节点和支路表示系统中的 信号传递和转换过程。
信号流图构成
信号流图由节点和支路组成，节 点表示系统的动态方程，支路表 示输入输出之间的关系。
信号流图的绘制方法
确定系统动态方程
根据系统描述，列出系统的动态方程。
2
梅森公式与信号流图在描述和分析线性时不变系 统时具有互补性，二者可以相互转换。
3
信号流图能够直观地表示系统各变量之间的传递 关系，而梅森公式则提供了对系统频率特性的分 析手段。
如何使用梅森公式进行信号流图分析
首先，将系统的传递函数 转换为梅森公式的形式。
根据极点和零点的位置， 判断系统的稳定性、频率 响应特性等。
在未来研究中的可能发展方向
随着科技的不断进步和应用需求的不断变化，控制系统面临着越来越多的 挑战和机遇。
在未来研究中，可以利用梅森公式和信号流图进一步探索复杂系统的分析 和设计方法，提高系统的性能和稳定性。
同时，随着人工智能和大数据技术的应用，可以结合这些技术对控制系统 进行智能化分析和优化设计，提高系统的自适应和学习能力。
梅森增益公式适用范围.docx
梅森增益公式适用范围标题：梅森增益公式适用范围的阐述引言：梅森增益公式是电子电路设计中常用的一种分析工具，用于计算电路增益和频率响应。
然而，在实际应用中，梅森增益公式的适用范围有一定限制。
本文将就梅森增益公式的适用范围展开阐述，以帮助读者更好地理解和使用这一公式。
一、梅森增益公式简介梅森增益公式是一种基于网络理论的公式，用于计算复杂电路的总增益。
它是由美国电子工程师梅森提出的，一般用于线性、定常、时不变的电路分析。
二、适用范围的限制1. 线性电路要求梅森增益公式适用于线性电路，即电路的元件和信号是线性的。
对于非线性电路，例如包含二极管、晶体管等非线性元件的电路，梅森增益公式就不再适用。
2. 定常电路要求第1页/共6页梅森增益公式适用于定常电路，即电路的参数是固定的，不随时间变化。
对于具有非定常特性的电路，如含有开关、变阻器等可变元件的电路，梅森增益公式无法提供准确的结果。
3. 时不变电路要求梅森增益公式适用于时不变电路，即电路的参数与时间无关。
在实践中，例如考虑温度变化、电源变化等因素会导致电路参数发生改变，因此这些情况下梅森增益公式不能得到准确的结果。
三、梅森增益公式的优势尽管梅森增益公式存在一定的适用范围限制，但它仍然是电子电路设计中常用的工具。
以下是梅森增益公式的一些优势：1. 简单易用相比其他复杂的电路分析方法，梅森增益公式简单易懂，计算过程相对简单直观。
这使得它成为工程师们在电路设计、故障排除等方面的重要工具。
2. 可模块化分析梅森增益公式支持对电路进行模块化分析。
通过将复杂的电路划分为多个子电路，可以使用梅森增益公式计算每个子电路的增益，进而得到整个电路的总增益。
这种分析方法便于对电路进行优化和调试。
第2页/共6页3. 提供定量分析结果梅森增益公式给出的是数值化的增益结果，可以帮助工程师量化地评估和比较不同电路的性能。
这对于电路设计者来说非常重要，可以在设计初期对各个子电路进行评估和优化。
最新梅森公式例子
1
C(s) 1
G8
G7 G9
R(s) G1 G2 G3 G4
G5 G6
1
-H1
-H2
-H3
第一条回路增益 L1= - G4 H1 第二条回路增益 L1= - G6 H2 第三条回路增益 L3= - G2 G3 G4 G5 G6 H3 第四条回路增益 L4= - G2 G3 G4 G9 G6 H3 第五条回路增益 L5= - G7 G4 G5 G6 H3 第六条回路增益 L6= - GG7 G9
R(s) G1 G2 G3 G4
G5 G6
1
-H1
-H2
-H3
第一条回路增益 L1= - G4 H1 第二条回路增益 L1= - G6 H2
第三条回路增益 L3= - G2 G3 G4 G5 G6 H3
1
C(s) 1
G8
G7 G9
R(s) G1 G2 G3 G4
G5 G6
1
-H1
-H2
-H3
第一条回路增益 L1= - G4 H1 第二条回路增益 L1= - G6 H2 第三条回路增益 L3= - G2 G3 G4 G5 G6 H3 第四条回路增益 L4= - G2 G3 G4 G9 G6 H3
1
C(s) 1
G8
G7 G9
R(s) G1 G2 G3 G4
G5 G6
1
R(s) G1 G2 G3 G4 G5
G6
1
-H1
-H2
-H3
第一条前向通路增益 P1=G1 G2 G3 G4 G5 G6
第二条前向通路增益 P2=G1 G2 G8
第三条前向通路增益 P3=G1 G7 G4 G5 G6 第四条前向通路增益 P4=G1 G2 G3 G4 G9 G6
专题5-梅森增益公式
应用叠加原理,令R(s)=0,可直接 由梅森公式求得扰动作用N(s)到输 出量C(s)之间的闭环传递函数
N (s)
C(s) N (s)
G2 (s) 1 G1(s)G2 (s)H (s)
同样,可求得系统在扰动作用下的输出C(s)为
C(s)
N
(s)N
(s)
1
G2 (s) G1(s)G2 (s)H
(s)
精品资料
精品资料
第二章控制系统(kònɡ zhì xì tǒnɡ)数学模型小结
1. 数学(shùxué)模型是描述系统元、部件及系统动态特性的数学(shùxué)表达式， 是对系统进行分析研究的主要依据。
2. 根据实际系统用解析法建立数学模型，一般必须首先分析系统各元、部件 的工作原理，然后利用基本定律，并舍去次要因素及进行适当的线性化处理，最 后获得既简单又能反映元、部件及系统动态本质的时域数学模型—微分方程。
应用叠加原理令ns0可直接求得输入信号rs到输出信号cs之间的传递函数为输入信号下的闭环传递函数应用叠加原理令rs0可直接由梅森公式求得扰动作用ns到输出量cs之间的闭环传递函数扰动作用下的闭环传递函数显然当输入信号rs和扰动作用ns同时作用时系统输出cs为闭环系统的误差传递函数闭环系统在输入信号或扰动作用时以误差信号es作为输出量时的传递函数称为误差传递函数
精品资料
前向通路(tōnglù)有一条(即n=1): p回1路=G有1G三2个G3:LG14 . G2G3H2 , L2 G3G4H3 ,所有回路都接触,故 1 1.
C(s) R(s)
1
p11
G1G2G3G4 1 G G H 2 3 2 精品资料 G3G4H3 G1G2G3G4H1
(s) C(s) G1(s)G2 (s)
梅森增益公式
具有任意条前向通路及任意个单独回路和不接触回路的复杂信号流图，求取从任意源节点到任意阱节点之间传递函数的梅森增益公式记为
式中
——从源节点到阱节点的传递函数（或总增益）；
——从源节点到阱节点的前向通路总数；
——从源节点到阱节点的第
条前向通路总增益；
——流图特征式
式中
——所有单路回路增益之和；
——所有互不接触的单独回路中，每次取其中两个回路的回路增益的乘积之和；
——所有互不接触的单独回路中，每次取其中三个回路的回路增益的乘积之和；
——流图余因子式，它等于流图特征式中除去与第
条前向通路相接触的回路增益项（包括回路增益的乘积项）以后的余项式。
[1]。
梅森公式的理解
是包含于，你理解的有点偏差，举个例子如果有三个互不接触的回路，取两个不接触的回路应有三项，取三个互不接触回路就一项。
具体的应该是这样：
梅森公式G(s)=Σ(Ρκ*△κ)╱△G(s)= ——系统总传递函数；n——是前向通道数；Ρκ——第k条前向通路的传递函数，由输入端单向传递至输出端的信号通道称为前向通道；△——流图的特征式△=1-ΣLi+ΣLjLk-ΣLiLjLk+······
L A
bc为每两个不接触回路增益乘积之和
a为所有回路增益之和；L a L b
Li——所有单独回路的增益之和；
LjLk——所有互不接触的单独回路中，取其中两个不接触的回路增益乘积之和；LiLjLk——所有互不接触的单独回路中，取三个互不接触回路增益之和；
△κ——第k条前向通路特征式的余因子，即对于流图的特征式△，将与第k 条前向通路相接触的回路
增益代以零值，余下的即为△κ。
对于复杂的结构，理论上有很多项，但实际上△就取到前两三项。
2.7 梅逊公式
△1= 1
∑Pk△k= P1△1= G1 G2 G3 G4G5 G6 将中△与第K条前向通道相接触 条前向通道相接触（ △k：将中△与第 条前向通道相接触（有 重合部分）回路所在项去掉之后的余子式。 重合部分）回路所在项去掉之后的余子式。
例：试用梅逊公式求传函C(S)/R(S)。 试用梅逊公式求传函 。
一、梅逊公式
∑Pk△k C(s) : G(S)= R(s) = i G = G1 G3 2 △ 1、G(S)：从输入通道到输出通道总的传递 、 ： H1 H2 H3 函数（总增益）。 函数（总增益）。 2、△：称为系统主特征式 、 △=1- ∑La+ ∑LbLc-∑LdLeLf+…
所有单独回路增益 回路增益之和 ∑La — 所有单独回路增益之和 ∑LbLc—所有两两互不接触回路增益乘积之和 所有两两互不接触回路增益乘积之和 ∑LdLeLf—所有三个互不接触回路增益乘积之和 所有三个互不接触回路增益乘积之和
R G1 G2 1 H2 G3 H4 H1 4 G4 C
2 H3
G5
G6 3
解： 3、G(S) 、
△＝1＋G2G3H2 ＋G4G5H3 ＋G3G4H4 ＋G1G2G3G4G5G6H1＋G2G3G4G5H2 H3
∑Pk△k= P1△1= G1 G2 G3 G4G5 G6 ∑Pk△k C(s) : G(S)= R(s) = i = △
= G1 G2 G3 G4G5 G6
n
△
应用梅逊公式， 应用梅逊公式，将大大简化结构 变换的计算。 变换的计算。但当系统结构较复 杂时，容易将前向通道、 杂时，容易将前向通道、回路数 及余子式判断错，需格外注意。 及余子式判断错，需格外注意。
例：试用梅逊公式求传函C(S)/R(S)。 试用梅逊公式求传函 。 G4 4 G3 2 H2
自动控制信号流图及梅逊增益公式自学讲义
1、信号流图的起源信号流图的起源是梅逊（mason)利用图解法表示一个或一组线性方程组并图解求解的方法。
（1956年） 如：欧姆定律 U=IR.U如：五个变量的一组代数方程式： 45253442331211cx gx dx x bx x fx ax x ex x x x x ++==+=+==2、信号流图的表示节点表示系统的变量，从左到右顺序设置。
每个节点标志的变量是所有流向该节点的信号之代数和，而从同一节点流向各支路的信号均用该节点的变量表示。
支路相当于乘法器。
信号在支路上只能沿箭头单向传递。
节点分为输入节点，如上图x1，只有输出而无输入； 输出节点，如上图x5，只有输入而无输出；混合节点，如上图x2,x3,x4，既有输入又有输出。
3、几个名词的定义前向通路：信号从输入节点到输出节点传递时，每个节点只通过一次的通路。
前向通路增益为各个支路的增益乘积。
如：x1->x2->x3->x4->x5. 前向通路增益为p1=abc；x1->x2 ->x5. 前向通路增益为p2=d。
回路：起点和终点在同一节点，而且信号通过每一节点不多于一次的闭合通路称为回路。
回路增益：回路中所有支路增益乘积。
如：x2->x3 ->x2. 回路1增益L1=ae；X3->x4 ->x3. 回路2增益L2=bf；X5->x5. 回路3增益L3=g。
不接触回路：回路之间没有公共节点时，称不接触回路。
如：回路1和回路3；回路2和回路3。
4、信号流图的绘制由动态结构图绘制4、梅逊增益公式来源：按克莱姆法则求解线性联立方程组时，将解的分子多项式及分母多项式与信号流图巧妙联系的结果。
图中有3个独立回路，没有互不接触的回路。
前向通路只有一条，与所有回路都接触。
∆∆=∑=nk kk P s G 1)(之后的余子式。
路所在项去掉条前向通道相接触的回中与第：将；个前向通道的传递函数第之和。
信号与系统7_梅森公式的证明及应用
电子工程系 无22班 喻浩 赵欣 肖元章 马存庆 蔡金蝉
梅森公式
梅森公式的回顾
大家都知道，用梅逊公式可不必简化信号流图而直接求得
从输入节点到输出节点之间的总传输。（即总传递函数）
其表达式为：P
1
n k 1
Pk k
式中： P 总传输（即总传递函数）；
n 从输入节点到输出节点的前向通道总数；
回路传输乘积之和；
k 第k个前向通道的特征式的余子式；其值为 中除去与
第k个前向通道接触的回路后的剩余部分；
梅森公式的推导
梅森公式的推导（先 用一个一般性的图来证明）
如右图已知信号流图如图所 示，所对应的代数方程为
V1 mV1 lV3 bR
f
m
h
R1
Ⅰ
b
l
Ⅱ
V3
k
Ⅲ
Ⅳ
C
V1 d Ⅴ e V2 1
和
1 m bR l 2 g fR e (1 m) fR debR dlfR gbR
d 0 1 [bde f (1 m dl) bg]R
梅森公式的推导
根据克莱姆法则得
C
V2
2
1 (m
[bde f (1 m dl) bg]R dl ke h gkl) mh dlh
j,k
而△值就是
1 Li Lj Lk 1 (m dl ke h gkl) mh dlh mke
i
j,k
可见，传递函数的分母△取决于信号流图的拓扑结构特征。
梅森逊公式的推导
1 Li Lj Lk 1 (m dl ke h gkl) mh dlh mke
梅逊增益公式及应用
①
G5(s)
②
G7 ( s)
+ + C(s) G4 ( s )
R(s) 1
G6 ③
G1
G2
G3
G4
①
② -G7 -G5
1 C(s)
R(s) 1
G6 ③
G1
G2
G3
G4
1 C(s)
①
② -G7 -G5
解：两条前向通路: P1 = G1G2G3G4 P2 = G1G6
闭环回路三条:
L1 = -G3G5 L2 = -G1G2G3G4G7 L3 = -G1G6G7
=1-L1+L2-L3 =1- （ ab＋cd＋ef＋ gh＋ij＋ kfdb ）+ （ abef+abgh+abij+cdgh+cdij+efij+kfdbij ）- abefij
第一条前向通路与所有回路均有接触，所以1=1
第二条前向通路与回路cd不接触，所以2=1-cd
T
G(s)
1
P11 P22
L4 G1G4 L5 G4H2
1 G1G2H1 G2G3H2 G1G2G3 G1G4 G4H2
前向通道： P1 1
1 1 G1G2H1 G2G3H2 G4H2 1 G1G2H1 G2G3H2 G1G2G3 G1G4 G4H2
Es Rs
1
P11
1
1 G1G2 H1
③ -G7
三个回环之间都有公共节点，流图特征式为 ：
1 C(s)
=1- L1- L2-…….. =1+ G2G3G6+G3G4G5+G1G2G3G7
三根T 个据 G回梅(环逊s) 均公 CR与式((前，ss)) 向系 1通统k路总n1增PPk1接益k触为，：所以1=1
梅森公式例子
-H2
G8 G7 R(s) G 1 G2 G3 G4 -H1 -H3 G9 G5 G6 1 1 1 C(s)
-H2
第三条前向通路增益 P3=G1 G7 G4 G5 G6 第三条前向通路与各个回路都接触， 特征式的余因子 ∆3=1
G8 G7 R(s) G 1 G2 G3 G4 -H1 -H3 G9 G5 G6 1 1 1 C(s)
C(s)
R(s) G 1
G2
1
1
1
C(s)
-H2
G8 G7 R(s) G 1 G2 G3 G4 -H1 -H3 G9 G5 G6 1 1 1C(s)
-H2
第一条前向通路增益 P1=G G2 G3 G4 -H1 -H3 G9 G5 G6 1 1 1 C(s)
-H2
第一条前向通路增益 P1=G1 G2 G3 G4 G5 G6 第二条前向通路增益 P1=G1 G2 G8
G8 G7 R(s) G 1 G2 G3 G4 -H1 -H3 G9 G5 G6 1 1 1 C(s)
-H2
第一条前向通路增益 P1=G1 G2 G3 G4 G5 G6 第二条前向通路增益 P2=G1 G2 G8 第三条前向通路增益 P3=G1 G7 G4 G5 G6
-H2
第四条前向通路增益 P4=G1 G2 G3 G4 G9 G6 第四条前向通路与各个回路都接触， 特征式的余因子 ∆4=1
G8 G7 R(s) G 1 G2 G3 G4 -H1 -H3 第五条前向通路增益 P5=G1 G7 G4 G9 G6 第五条前向通路与各个回路都接触， 特征式的余因子 ∆5=1 G9 G5 G6 1 1 1 C(s)
还有没有前向通路啦？
G8 G7 R(s) G 1 G2 G3 G4 -H1 -H3 第一条回路增益 L1= - G4 H1 G9 G5 G6 1 1 1 C(s)
梅森公式经典例题
梅森公式经典例题摘要：一、梅森公式简介1.梅森公式的定义2.梅森公式在数学中的重要性二、经典例题解析1.例题一：利用梅森公式求解2.例题二：利用梅森公式求解3.例题三：利用梅森公式求解三、例题解答与总结1.例题一解答2.例题二解答3.例题三解答4.总结：梅森公式在解题中的应用与技巧正文：一、梅森公式简介梅森公式，又称伯努利公式，是数学领域中一个非常重要的公式。
它是由瑞士数学家雅各布·伯努利（Jacob Bernoulli）提出的，用于描述调和级数的性质。
梅森公式在数学中具有很高的地位，被广泛应用于组合数学、概率论、数论等多个领域。
二、经典例题解析接下来，我们将通过三个经典例题来解析梅森公式在实际问题中的应用。
例题一：利用梅森公式求解题目：已知等差数列的前n 项和为S_n，求S_n^2 与n^3 之间的关系。
解答：根据梅森公式，我们可以得到S_n = n*(2a + (n-1)*d)/2，其中a 为数列的首项，d 为公差。
将S_n 代入S_n^2 中，我们可以得到S_n^2 = n^2*(4a^2 + 4a*d + d^2 + 2a*(n-1)*d)/4。
通过化简，我们可以发现S_n^2 与n^3 之间的关系为S_n^2 = n^2*(2a^2 + 2a*d + d^2)/4 +n^3*(a*d - a^2)/4。
例题二：利用梅森公式求解题目：求解组合数C(n, k) 的梅森公式表示。
解答：根据梅森公式，我们可以得到C(n, k) = n! / (k! * (n-k)!)。
将C(n, k) 的定义代入梅森公式中，我们可以得到C(n, k) = (n*(n-1)*...*(n-k+1)) / (k*(k-1)*...*1)。
进一步化简，我们可以得到C(n, k) = n*(n-1)*...*(n-k+1) / k!。
例题三：利用梅森公式求解题目：已知正整数n，求解1^2 + 2^2 + ...+ n^2 的值。
7_梅森公式的证明及应用
梅森公式的推导
• 以上我们用一个比较简单但是又不是一般 性的图导出了梅森定理。对于一般性的情 况，证明也是类似的。
• 一般情况的证明是很麻烦的，下面简述其 证明过程中的关键步骤。
梅森公式的推导
• 梅森定理证明的关键步骤: • 从上面的证明可以看出，信号流图中的一些量与
写出来的节点方程组得系数矩阵的一些量是由一 定的联系的，事实上它们之间是必然联系的。 • 为了了解这其中的联系，我们引进信号流图的矩 阵描述。 • 信号流图有两个显著的特点，即支路和节点的关 联，即支路和节点的赋权。因此，我们自然联想 到用矩阵来描叙它。
• 定理3 B和S对应方子矩阵F1和F2(它们有同样的行和列 所定义)均为非奇异的，当且仅当对应于F1和F2 的列的支路形成环或不接触环集。不接触环集是 由一些不接触环组成的集合。不接触的意义是该 集合众人和两个环都没有公共节点。
梅森公式的推导
• 定理4 设F1和F2分别为B和S的非奇异子矩阵，令 L1，L2，…Lr为对应于F1和F2的列的支路所形成 的不接触环集。N为环集（L1，L2，…Lr）中有偶 数支路的环数。当且仅当N为偶数时。F1 和F2的 行列式（即都为1和-1）。
梅森公式的推导
根据克莱姆法则得
C
V2
2
[bde f (1 m dl) bg]R
1 (m dl ke h gkl) mh dlh
mk e
于是传递函数为
(s) C(s) 2
bde f (1 m dl) bg
R(s) R 1 (m dl ke h gkl) mh dlh mke
1
y
2
... ... ... ...
...
a a n1
...
信号流图梅森公式
信号在支路上只能沿箭头单向传递，即只有前因后果的因 果关系。
对于给定的系统,节点变量的设置是任意的，因此信号流图 不是唯一的。
Sunday, March 08, 2020
8
信号流图的绘制
[信号流图的绘制]：
根据结构图
列出系统各环节的拉氏方程，按变量间的数学关系绘制
Ld LeLf 所有互不接触回路中，每次取其中三个
回路传输乘积之和；
k 第k个前向通道的特征余子式；其值为 中除去与第k个
前向通道接触的回路后的剩余部分。
Sunday, March 08, 2020
13
梅逊公式||例2-13a
n
Pk k
P k 1
例2-13a：求速度控制系统的总传输(s) 。（不计扰动）
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12
梅逊公式
P
1
n k 1
Pk k
1 La LbLc Ld LeLf ...（正负号间隔）
式中： La 流图中所有不同回路的回路传输之和；
LbLc 所有互不接触回路中，每次取其中两个回
路传输乘积之和；
1
Pk k
k 1
P11
G1G2G3Gu 1 G1G2G3GuGf
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14
梅逊公式||例2-13
[例2-13]：绘出两级串联RC电路的信号流图并用Mason公式计算 总传递函数。
ui (s) ue (s) 1 I1(s) -
1 u(s)
-
R1
P1 G1G2G3G4 P2 G1G2G7G4
梅森增益公式适用范围
梅森增益公式适用范围
【最新版】
目录
一、梅森增益公式的背景和来源
二、梅森增益公式的定义和含义
三、梅森增益公式的适用范围和应用实例
四、梅森增益公式的优点和局限性
正文
一、梅森增益公式的背景和来源
梅森增益公式，是由塞缪尔·杰斐逊·梅森推导出的一种用于计算信号流图（即拓扑图）中节点增益的公式。
该公式的来源可以追溯到按克莱姆（Gramer）规则求解线性联立方程式组时，将解的分子多项式及分母多项式与信号流图巧妙联系的结果。
二、梅森增益公式的定义和含义
梅森增益公式是一种用于计算从源节点到阱节点的传递函数（或总增益）的方法。
公式如下：
P = 1 + Σ(pk * Gk)
其中，P 为从源节点到阱节点的传递函数（或总增益），n 为从源节点到阱节点的前向通路总数，pk 为从源节点到阱节点的第 j 条前向通路总增益，Gk 为第 j 条前向通路的增益。
三、梅森增益公式的适用范围和应用实例
梅森增益公式主要适用于控制系统和信号处理领域，特别是在处理多变量、多回路包括内循环回路的信号流图时，具有很好的实用性。
例如，在电子电路、通信系统、自动控制等领域，梅森增益公式可以帮助工程师
快速准确地计算出系统的总增益，从而为系统的设计和优化提供有力支持。
四、梅森增益公式的优点和局限性
梅森增益公式的优点在于，它可以通过检查信号流图确定，并且可以很容易地处理多变量、多回路包括内循环回路的信号流图。
此外，该方法还可以求解多元方程组，从而得到系统的传递函数。
然而，梅森增益公式也存在一定的局限性。
首先，它仅适用于线性系统，对于非线性系统则无法适用。
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T G(s)
G1G2G3G4 G1G6 G1G3G5G6
1 G3G5 G1G2G3G4G7 G1G6G7 G1G3G5G6G7
例: 试利用梅逊公式求下图所示信号流的总增益。
解： 首先确定信号流图中由输入节点到输出节点间的前向 通路数,由图可知：
n= 2，且有： P1=acegi P2=kgi L1=ab＋cd＋ef＋ gh＋ij＋ kfdb L2=abef+abgh+abij+cdgh+cdij+efij+kfdbij L3=abefij
P k——为第K条前向通路的增益； ——信号流图特征式，是信号流图所表示的代数方程组的系数
行列式；
1 (所有不同回路增益之和) (所有两个互不接触回路增 益乘积之和) (所有三个互不接触回路增益乘积之和)
1 L1 L2 L3 (1)m Lm
i 1
1 1
T
C(s) R( s )
1
P11
1
G1G2 H1
G1G2G3 G2G3H2
G1G2G3
例：求系统的总增益。
R(s)+
G1(s)
G2(s) +
G6(s) ③
G3 ( s)
①
G5(s)
②
G7 ( s)
+ + C(s) G4 ( s )
R(s) 1
G6 ③
G1
G2
梅逊增益公式及应用
信号流图上从输入节点（源节点）输出节点到(汇节点)的总增 益公式，即梅逊公式(Mason)，表达式为：
T
G(s)
C(s) R( s )
1
n
Pk k
k 1
式中：
一定要记住的公式！
T——G(s)从输入节点到输出节点之间的总增益(即传递函数)；
n——为从输入节点到输出节点之间前向通路的总数；
三根T 个据 G回梅(环逊s) 均公 CR与式((前，ss)) 向系 1通统k路总n1增PPk1接益k触为，：所以1=1
G(s) C(s) P11
G1G2G3G4
R(s) 1 G2G3G6 G3G4G5 G1G2G3G4G7
R(s)+ +
H2(s)
—
1
P11 P22
L1 L2
L3
(acegi
kgi
kgicd) /
[1 (ab cd ef gh ij kfab) (abef abgh
abij cdgh cdij efij kfabij) abefij]
求C(s)/R(s)与E(s)/R(s)
式中： L1——信号流图中所有不同回环的增益之和； L2——所有两个互不接触回环增益的乘积之和； L3——所有三个互不接触回环增益的乘积之和； ………………… Lm——所有m个互不接触回环增益的乘积之和。
1 L1 L2 L3 (1)m Lm
k——第K条前向通路的信号流图特征式的余子式，即从 中除去与第K条前向通路相接触的闭环回路后余下的部分( 又称为因子)。
L2 =—G3G4G5 L3 =—G1G2G3G7 L1 = - G2G3G6 - G3G4G5 - G1G2G3G7
-G6
s) 1
G1
G2① G3
G4
-G5 ②
③ -G7
三个回环之间都有公共节点，流图特征式为 ：
1 C(s)
=1- L1- L2-…….. =1+ G2G3G6+G3G4G5+G1G2G3G7
G1(s) +
G2 ( s )
G3 ( s )
C(s)
——
H1(s)
R(s) 1
-H2
1
G1 G2
G3
1 C(s)
-H1
-1
R(s) 1
P1 G1G2G3
L1 G1G2H1 L2 G2G3H2 L3 G1G2G3
-H2
1
②
G1 G2
G3
1 C(s)
① -H1
-1 ③
3
1 Li 1 G1G2H1 G2G3H2 G1G2G3
G3
G4
①
② -G7 -G5
1 C(s)
R(s) 1
G6 ③
G1
G2
G3
G4
1 C(s)
①
② -G7 -G5
解：两条前向通路: P1 = G1G2G3G4 P2 = G1G6
闭环回路三条:
L1 = -G3G5 L2 = -G1G2G3G4G7 L3 = -G1G6G7
互不接触回路为: L1和L3 =1- Li + Li Lj =1+G3G5+G1G2G3G4G7+ G1G6G7+ G1G3G5G6G7 1=1 2= 1+G3G5
Es Rs
1
P11
1
1 G1G2 H1
G1G2H1 G2G3H2 G4H2 G2G3H2 G1G2G3 G1G4
G4 H 2
=1-L1+L2-L3 =1- （ ab＋cd＋ef＋ gh＋ij＋ kfdb ）+ （ abef+abgh+abij+cdgh+cdij+efij+kfdbij ）- abefij
第一条前向通路与所有回路均有接触，所以1=1
第二条前向通路与回路cd不接触，所以2=1-cd
T
G(s)
这个公式看起来是不是很难呢？实际上
！ 它很容易掌握的，我们来做几个例题吧
试用梅逊公式计算图示系统的总增益。 -G6
R(s) 1
G1
G2① G3
G4
1 C(s)
-G5 ②
③ -G7
解：输入节点R(s)和输出节点C(s)之间只有一条前向通路。
n=1，通路增益为： P1=G1G2G3G4 三个回路： L1 =—G2G3G6
Gs 1
Pk k
1 G1G2H1
G1G2G3 G1G4 G2G3H2 G1G2G3
G1G4
G4H2
② E(s)/R(s) E(s)
1
R(s)
1 1 G1
-H1
④⑤
G4
G2
G3
① -H2 ②
前向通道： P1 1
-1 ③
L1 G1G2H1 L2 G2G3 H2
R(s)+ E(s)+
+ G1
H1
G4
G2
G3 + + C(s)
H2
1 G1G2H1 G2G3H2 G1G2G3 G1G4 G4H2
①C(s)/R(s)
④⑤
R(s) 1
1
G1
G4
G2
G3
1 C(s)
-H1
① -H2 ②
-1 ③
前向通道：
P1 G1G2G3 P2 G1G4
反馈回路： L3 G1G2G3
1 1 G1G2H1 G2G3H2 G4H2
L4 G1G4 L5 G4H2
1 G1G2H1 G2G3H2 G1G2G3 G1G4 G4H2
前向通道： P1 1
1 1 G1G2H1 G2G3H2 G4H2 1 G1G2H1 G2G3H2 G1G2G3 G1G4 G4H2
反馈回路：
L1 G1G2H1 L2 G2G3 H2 L3 G1G2G3
1 2 1
L4 G1G4 L5 G4H2
1 G1G2H1 G2G3H2 G1G2G3 G1G4 G4H2
P1 G1G2G3 P2 G1G4
1 2 1 1 G1G2H1 G2G3H2 G1G2G3 G1G4 G4H2