第11章 超静定题解
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第11章 习题解答
11-1 抗弯刚度为EI 的梁如图所示，试求梁的支反力并画出弯矩图。
（
a ）
解：一次超静定梁。解除B 支座约束，代以多余未知
力F X 1
，相当系统如图。变形协调条件为B 点的铅垂
位移为零，正则方程为 01111=∆+δF X F
用莫尔积分求δ11 和Δ1F 。在静定基施加载荷和与F X 1 相应的单位力，载荷和单位力的弯矩方程为
CB 段 （0≤x 1≤a ） 11Fx x M =）
（ ， 010
=）（x M BA 段 （0≤x 2≤l ） 22Fx Fa x M +=）（ ， 220
x x M -=）（ 积分求得
EI l dx x x EI
l
313
12211
=-⋅-=δ⎰
）（）（
()⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+-
=-⋅+=∆⎰
321
1
320
2221Fl Fal EI dx x Fx Fa EI
l
F ）（ 代入正则方程得
032133213=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+-Fl Fal EI F EI l X 解得 l
l a F F X 2231）
（+=
（↑） 由此解得支反力： l Fa F AV 23=
（↓） ， 2
Fa
M A =（ ） 梁的弯矩图如图，最大弯矩为 Fa M =max
（b ）
解：一次超静定梁。解除C 支座约束，代以多余未知力F X 1 ，相当系统如图。变形协调条件为C 点的铅垂位移为零，正则方程为
01111=∆+δF X F
Fa /2
梁的弯矩图
Fa
用图乘法求δ11 和Δ1F 。在静定基施加载荷和于F X1相
应的单位力，分别画出载荷和单位力的弯矩图，由弯矩
图互乘得
EI
a
a
a
a
EI3
2
3
2
2
1
23
11
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⨯
⨯⎪
⎭
⎫
⎝
⎛
⨯
⨯
=
δ
EI
qa
a
qa
a
a
qa
a
EI
F24
7
4
3
2
3
1
3
2
2
2
1
14
2
2
1
-
=
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⨯
⨯⎪⎪
⎭
⎫
⎝
⎛
⨯
⨯
+
⨯
⨯⎪⎪
⎭
⎫
⎝
⎛
⨯
⨯
-
=
∆
代入正则方程得0
24
7
3
24
1
3
=
-
EI
qa
F
EI
a
X
解得
16
7
1
qa
F X=（↑）
由此解得支反力
16
q a
F AV=（↓），
8
5qa
F BV=（↑）
刚架的弯矩图如图所示，最大弯矩
16
2
max
qa
M=。
11-2图示梁的右端为弹性约束，弹簧刚度为k 。AB为刚性杆，长度为a ，和梁在B 点刚性连接。梁的抗弯刚度EI已知，试求B截面上的弯矩。
（b）
相当系统
q
载荷弯矩图
qa2/2
单位力弯矩图
a
载荷弯矩图
qa2/16
相当系统单位力内力图
a
载荷弯矩图
Fl/41
90
91
解：一次超静定梁。解除D 支座约束，代以多余未知力F X 1 ，相当系统如图。变形协调条件为D 点的水平位移为零，正则方程为
01111=∆+δF X F
用图乘法求δ11 和Δ1F 。在静定基施加载荷和于F X 1相应的单位力，分别画出载荷引起梁的弯矩图和单位力引起梁的弯矩图和弹簧的轴力图，由图乘得 k EI l a k a l a EI 131322112
11
+=+⎥⎦
⎤⎢⎣⎡⨯⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯=δ EI Fal a Fl l EI
F
162142112
1-
=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡⨯⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯-
=∆ 代入正则方程得 01613212=-⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+EI Fal F k EI l a X 解得 lk
a EI k Fal F X 2
2116483+=
（→） 由此解得B 截面弯矩 lk
a EI k
l Fa a F M X B 2
22116483+=⋅=
）
11-3 图示悬臂梁右端为弹性支承，梁的抗弯刚度EI 和弹簧刚度k 已知，试求梁上B 点
的挠度。
解：一次超静定梁。解除B 支座约束，代以多余未知力F X 1 ，相当系统如图。变形协调条件为B 点的铅垂位移为零，正则方程为
01111=∆+
δF X F
用图乘法求δ11 和Δ1F 。在静定基施加载荷和与F X 1相应的单位力，分别画出载荷引起梁的弯矩图和单位力引起梁的弯矩图和弹簧的轴力图，由图乘得 k
EI l k l l l EI 131********
+=+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯=δ
A
A B A Fl /2 载荷弯矩图 l B A 1 单位力内力图 1