有关定义域和值域的逆向问题(精)
高中数学“函数定义域问题”的求解一般方法与技巧
高中数学“函数定义域问题”的求解一般方法与技巧1. 基本问题说明“求函数定义域”是最广泛使用的基础应用（没有之一，每次考试都必定会涉及），因为一般每个函数都要先明确的定义域。
但是在大考中，该基础应用一般不会显式、独立地出题（即一般不会出只求定义域的题），往往会在题目中作为限制条件、考查细节（特别是常见的易错点）。
因此，求解问题前，能否正确地明确或求出定义域是正确解题的必要条件。
2. 解决问题的一般方法1) 原则：只要遇到函数，就先确定其定义域的状况。
2) 易错点：有关定义域（特别是隐式）的限制或细节（边界）往往是易错点。
务必养成细心和确认定义域的意识和习惯，否则一不小心就掉“坑”里了。
3) 一般方法：a) 求常见函数定义域时应考虑的问题（高中阶段）打开百度App，看更多图片b) 求复合函数定义域时应考虑的问题①已知f(x)的定义域，求解f(φ(x))的定义域f(x)的定义域是D，f(φ(x))的定义域就是使得φ(x)∈D的所有x的集合②已知f(φ(x))的定义域，求解f(x)的定义域f(φ(x))的定义域是D，f(x)的定义域就是在D上的值域③已知f[g(x)]定义域为C,求f[h(x)]的定义域实质是已知x的范围为C,以此先求出g(x)的范围（即f(x)的定义域）；然后将其作为h(x)的范围,以此再求出x的范围.c) 求解一般方法：根据上述约束和/或限制，可列出不等式组，然后再求解。
3. 典型示例例1、求下列函数的定义域(1) y=√(2x-x^2 )(2) y=1/√(|x|-x)(3) y=1/√(1-x)+(x+1) ^0解：（1）依题意可得：2x-x2≥0，解得：0≤x≤2，所以函数的定义域为{x|0≤x≤2}。
（2）依题意可得：|x|-x>0，解得：x<0，所以函数的定义域为{x|x<0}。
（3）依题意可得：1-x>0 且x+1≠0，解得：x<1且x≠-1，所以函数的定义域为{x|x<1且x≠-1}。
函数定义域值域求法(全十一种)
文档大全
实用标准
因为CD=AB=2x，所以CDx，所以
2
L2xxx
y2x
故
22
LABCDL2xx
AD，
22
(2
)
2
2
x
Lx
根据实际问题的意义知
2x
L
0
2x
2
x
0
0x
L
2
2
故函数的解析式为y(2)xLx
2
五、参数型
，定义域（0，
即为所求的定义域。
2
例3已知f(x)的定义域为［－2，2］，求f(x1)
的定义域。
2
解：令2x12
2
，得1x3
2
，即0x3
，因此0|x|3，从而
3x3，故函数的定义域是{x|3x3}。
（2）已知f[g(x)]的定义域，求f(x)的定义域。
其解法是：已知f[g(x)]的定义域是［a，b］，求f(x)定义域的方法是：由axb，求
恒成立，解得
3
0k；
4
②当k=0时，方程左边=3≠0恒成立。
综上k的取值范围是
四、实际问题型
3
0k。
4
这里函数的定义域除满足解析式外，还要注意问题的实际意义对自变量的限制，这点要
加倍注意，并形成意识。
例7将长为a的铁丝折成矩形，求矩形面积y关于一边长x的函数的解析式，并求函
数的定义域。
1
解：设矩形一边为x，则另一边长为(a2x)
含有根式或三角函数公式模型，换元法是数学方法中几种最主要方法之
一，在求函数的值域中同样发挥作用。
逆向型函数题的十种类型
逆向型函数题的十种类型由于逆向型问题能很好考查学生的思维能力，已成为近年高考的热点题型．本文仅谈函数中的逆向型问题，它主要是以已知函数的性质求参数的取值范围形式出现，下面对此类问题加以归纳总结，供参考．一 已知函数定义域型例1 若函数y ＝lg(242x x a -+-)的定义域为R ，求a 的取值范围． 解：由原函数的定义域为全体实数，故不等式242x x a -+-＞0对一切实数恒成立．即a ＜2x ＋4·2－x恒成立．则a 应小于2x ＋4·2－x 的最小值，而2x ＋4·2－x ≥4，最小值是4，故a ＜4．点评：此类问题常可转化为不等式恒成立问题来解决.二 已知函数值(或值域)型例2 若函数y ＝lg(2x ＋4·2－x －a )的值域为R ，求a 的取值范围． 解：要使函数的值域为R ，等价于2x ＋4·2－x －a 应能够取到所有的正实数，即2x ＋4·2－x －a 的最小值为零或负数(最大值不存在)，而由基本不等式得2x ＋4·2－x －a ≥4－a ，令4－a ≤0，有a ≥4．故a 的取值范围为[)4,+∞．点评：此类问题常用等价转化思想来解决，同时应把握内层函数的变化规律.三、已知函数图象型常规题已知函数的解析式，画出函数的图象；而逆向题是已知函数的图象，求函数的解析式或参数的值．例3 设函数y f x =()是最小正周期为2的偶函数，它在区间[0，1]上的图像为如图1所示的线段AB ，则在区间[1，2]上，f x ()=___________．解：根据奇偶性与周期性画图象，知在区 间[1，2]上是斜率为1，过点B （1，1）的线段. 故f (x )＝x .点评：此类题要充分利用函数的图象的特殊点、特殊线等性质．四、已知函数奇偶性型主要是已知函数奇偶性，求解析式中待定系数或求函数值．例4 已知函数1().21x f x a =-+若()f x 为奇函数，则______.a = 解法1：由于在R 上的奇函数过原点，即f (0)＝0，则有0＝a －12，解得a ＝12． 解法2：由f (x )为奇函数，则121x a --+＝121x a -++，即2a ＝121x +＋121x -+＝121x +＋221x x +＝1，解得a ＝12． 点评：解法1是利用在R 上的奇函数过原点，而解法2是运用奇函数的定义来解决．五、已知函数对称性型例5⑴函数()y f x =的图像与函数2()l o g (0)g x x x =>的图像关于原点对称，则()f x 的表达式为（A ）21()(0)log f x x x => （B ）21()(0)log ()f x x x =<- （C ）2()log (0)f x x x =-> （D ）2()log ()(0)f x x x =--<⑵已知函数y ＝x e 的图像与函数y ＝f (x )的图象关于直线y ＝x 对称，则( )(A) f (2x )＝2x e (x ∈R ) (B) f (2x )＝ln2•ln x (x ＞0)(C) f (2x )＝2x e (x ∈R ) (D) f (2x )＝ln x ＋ln2 (x ＞0)解：⑴由于关于原点对称，将点(－x ，－y )代换原来的(x ，y )，则－y ＝2log ()x -，则y ＝－2log ()x -，即2()l o g ()(0)f x x x =--<，而选(D)．⑵由于关于直线y ＝x 对称，等价转化为求y ＝x e 的反函数，即反函数为f (x )＝ln x ，故有f (2x )＝ln2x ＝ln x ＋ln2 (x ＞0)，而选(D)．点评：对于五类常见的对称结论，即关于x 轴、y 轴、原点、y ＝±x 应熟记．六、 已知函数单调性型例6已知(3)4,1()log ,1aa x a x f x x x --⎧=⎨≥⎩＜，是（－∞，+∞）上的增函数，那么a 的取值范围是（ ）（A ）(1，+∞) （B ）(－∞,3) (C)⎪⎭⎫⎢⎣⎡3,53 (D)(1,3)解：当x ＜1时，f 1(x )＝(3a －1)x ＋4a 为增函数，则需3－a ＞0，得a ＜3；当x ≥1时，f 2(x )＝log a x 为增函数，则需a ＞1．综上知1＜a ＜3，故选(D)．点评：要熟练掌握基本初等函数的单调性，并能运用导数解决单调性问题．七、已知反函数的值例7 已知函数()43x f x a a =-+的反函数的图象经过点（－1，2），那么a 的值等于_________．解：由题意，知1f -(－1)＝2，则f (2)＝－1，即a 2－4a ＋3＝－1，解得a ＝2．点评：原函数过点(a ，b )，则其反函数过(b ，a )，即有f (a )＝b ⇔f －1(b )＝a . 利用方程的思想就可求出参数．八、 已知函数最值型例8 函数y ＝x a 在[0，1]上的最大值与最小值的和为3，则a ＝___. 解： 由题意知，a ＞0，且a ≠1．显然此函数是单调函数，将原题的文字语言转化为符号语言，得10a a + ＝3，即a ＝2．点评：求函数最值方法很多，本题是运用单调性得出最值．九、 已知函数恒成立型例9已知函数f (x )＝22x x a x++，x ∈[)1,+∞．若对任意x ∈[)1,+∞，f (x )＞0恒成立，试求实数a 的取值范围．解：在区间[)1,+∞上，f (x )＝22x x a x++＞0恒成立⇔x 2＋2x ＋a ＞0恒成立，分离参数a ，得－a＞x2－2x＝－(x＋1)2＋1恒成立．又在[)1,+∞上，由函数的单调性得－(x＋1)2＋1≤－3．所以只有a＞－3，就有f(x)＞0．故a的取值范围是[)3,-+∞．点评：此类问题解法是把参数分离出来，即可转化为用“大于时在大于值域上限，小于时小于值域下限”，从而得到参数的范围.十、已知多种性质型是指已知函数的多种性质如周期性、奇偶性及单调性等，进行考查函数的解析式、参数的取值范围等问题.例10下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是( )A.3,y x x R=-∈ B. sin,y x x R=∈ C. ,y x x R=∈ D.1(),2xy x R =∈解：y＝－x3既奇又减；而y＝sin x是奇但不具有单调性；y＝x既奇又增；1()2xy=是减函数但不具有奇偶性，而选(A)．点评：多性质的函数选择题，是高考的一个重点，往往只能逐一判断．。
函数的定义域与值域求法典型例题(解析版)
专题13：函数的定义域与值域求法典型例题（解析版）函数定义域的常见其一、已知函数解析式型即给出函数的解析式的定义域求法，其解法是由解析式有意义列出关于自变量的不等式或不等式组，解此不等式（或组）即得原函数的定义域。
例1、求函数yx 2 2x 15的定义域。
x 3 82 x 5或x3 x 2x 15 0解：要使函数有意义，则必须满足即 x 5且x 11 x 3 8 0解得x 5或x 3且x 11即函数的定义域为x x 5或x 3且x 11 。
二、抽象函数型抽象函数是指没有给出解析式的函数，不能用常规方法求解，一般表示为已知一个抽象函数的定义域求另一个抽象函数的定义域，一般有两种情况。
（一）已知f (x )的定义域，求f g (x ) 的定义域。
其解法是：已知f (x )的定义域是[a ,b ]求f g (x ) 的定义域是解a g (x ) b ，即为所求的定义域。
例2、已知f (x )的定义域为[ 2,2]，求f (x 1)的定义域。
2解： 2 x 2， 2 x 1 2，解得 3 x 23即函数f (x 1)的定义域为x 3 x 3（二）已知fg (x ) 的定义域，求f (x )的定义域。
2其解法是：已知f g (x ) 的定义域是[a ,b ]求f (x )的定义域的方法是：a x b ，求g (x )的值域，即所求f (x )的定义域。
例3、已知f (2x 1)的定义域为[1,2]，求f (x )的定义域。
解： 1 x 2， 2 2x 4， 3 2x 1 5。
即函数f (x )的定义域是x |3 x 5 。
三、逆向思维型即已知所给函数的定义域求解析式中参数的取值范围。
特别是对于已知定义域为R ,求参数的范围问题通常是转化为恒成立问题来解决。
例4、已知函数ymx 2 6mx m 8的定义域为R 求实数m 的取值范围。
22分析：函数的定义域为R ，表明mx 6mx m 8 0，使一切x R 都成立，由x 项的系数是m ，所以应分m 0或m 0进行讨论。
专题06 函数的定义域、值域--《2023年高考数学命题热点聚焦与扩展》【解析版】
【热点聚焦】函数的定义域作为函数的要素之一，是研究函数的基础，函数的定义域问题也是高考的热点.函数的值域（最值）也是高考中的一个重要考点，并且值域（最值）问题通常会渗透在各类题目之中，成为解题过程的一部分.【重点知识回眸】1.函数的有关概念(1)函数的定义域、值域：在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．显然，值域是集合B的子集．(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．(3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．(4)函数的表示法表示函数的常用方法有：解析法、图象法、列表法．提醒：两个函数的值域和对应关系相同，但两个函数不一定相同，例如，函数f(x)＝|x|，x ∈[0,2]与函数f(x)＝|x|，x∈[－2,0]．2．分段函数若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．分段函数虽然由几部分组成，但它表示的是一个函数．提醒：分段函数是一个函数，而不是几个函数，分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．3.常见函数定义域的求法类型x满足的条件n f x(n∈N*)f(x)≥02()(n∈N*)f(x)有意义21()n f x1与[f(x)]0f(x)≠0f x()log a f(x)(a＞0且a≠1)f(x)＞0a f(x)(a＞0且a≠1)f(x)有意义tan[f (x )]f (x )≠π2＋k π，k ∈Z四则运算组成的函数 各个函数定义域的交集实际问题使实际问题有意义4.①若()y f x =的定义域为(),a b ，则不等式()a g x b <<的解集即为函数()()y f g x =的定义域；②若()()y f g x =的定义域为(),a b ，则函数()g x 在(),a b 上的的值域即为函数()y f x =的定义域．5.常见函数的值域：在处理常见函数的值域时，通常可以通过数形结合，利用函数图像将值域解出，熟练处理常见函数的值域也便于将复杂的解析式通过变形与换元向常见函数进行化归.（1）一次函数（y kx b =+）：一次函数为单调函数，图像为一条直线，所以可利用边界点来确定值域.（2）二次函数（2y ax bx c =++），给定区间.二次函数的图像为抛物线，通常可进行配方确定函数的对称轴，然后利用图像进行求解.（关键点：①抛物线开口方向，②顶点是否在区间内）.（3）反比例函数：1y x=（1）图像关于原点中心对称（2）当,0x y →+∞→ ，当,0x y →-∞→. （4）对勾函数：()0ay x a x=+> ① 解析式特点：x 的系数为1；0a >注：因为此类函数的值域与a 相关，求a 的值时要先保证x 的系数为1，再去确定a 的值 例：42y x x =+，并不能直接确定4a =，而是先要变形为22y x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再求得2a =② 极值点：,x a x a ==③ 极值点坐标：(,2,,2a a a a --④ 定义域：()(),00,-∞+∞⑤ 自然定义域下的值域：(),22,a a ⎡-∞-+∞⎣（5）函数：()0ay x a x=-> 注意与对勾函数进行对比① 解析式特点：x 的系数为1；0a > ② 函数的零点：x a =③ 值域：R（5）指数函数（xy a =）：其函数图像分为1a >与01a <<两种情况，可根据图像求得值域，在自然定义域下的值域为()0,+∞（6）对数函数（log a y x =）其函数图像分为1a >与01a <<两种情况，可根据图像求得值域，在自然定义域下的值域为()0,+∞（7）三角函数的有界性,如sin [1,1],x ∈-cos [1,1]x ∈-. 6.函数值域问题处理策略 （1）换元法：① ()()(),log ,sin f x a y ay f x y f x ===⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦：此类问题在求值域时可先确定()f x 的范围，再求出函数的范围.② ()()(),log ,sin x a y f a y f x y f x ===：此类函数可利用换元将解析式转为()y f t =的形式，然后求值域即可.③形如y ax b cx d =++（2）均值不等式法：特别注意“一正、二定、三相等”.（3）判别式法：若原函数的定义域不是实数集时，应结合函数的定义域，将扩大的部分剔除.（4）分离常数法:一般地， ① ax by cx d+=+：换元→分离常数→反比例函数模型② 2ax bx c y dx e ++=+：换元→分离常数→ay x x=±模型③ 2dx ey ax bx c+=++：同时除以分子：21y ax bx c dx e=+++→②的模型 ④ 22ax bx cy dx ex f++=++：分离常数→③的模型（5）单调性性质法：利用函数的单调性（6）导数法：利用导数与函数的连续性求图复杂函数的极值和最值, 然后求出值域 （7）数形结合法【典型考题解析】热点一已知函数解析式求定义域【典例1】（广东·高考真题（文））函数f (x )＝11x-＋lg(1＋x )的定义域是（ ） A ．(－∞，－1) B ．(1，＋∞)C ．(－1，1)∪(1，＋∞)D ．(－∞，＋∞)【答案】C 【解析】根据函数解析式建立不等关系即可求出函数定义域. 【详解】 因为f (x )＝11x-＋lg(1＋x )， 所以需满足1010x x -≠⎧⎨+>⎩，解得1x >-且1x ≠，所以函数的定义域为(－1，1)∪(1，＋∞)， 故选：C【典例2】（山东·高考真题（文））函数21()4ln(1)f x x x =-+( )A ．[－2，0)∪(0，2]B ．(－1，0)∪(0，2]C ．[－2，2]D ．(－1，2]【答案】B 【解析】 【详解】x 满足2101140x x x +>⎧⎪+≠⎨⎪-≥⎩，即1022x x x >-⎧⎪≠⎨⎪-≤≤⎩. 解得－1<x <0或0<x ≤，选B.【典例3】（2019·江苏·高考真题）函数276y x x =+-_____. 【答案】[1,7]-. 【解析】 【分析】由题意得到关于x 的不等式，解不等式可得函数的定义域. 【详解】由已知得2760x x +-≥, 即2670x x --≤ 解得17x -≤≤， 故函数的定义域为[1,7]-.【典例4】（2022·北京·高考真题）函数1()1f x x x=-_________． 【答案】()(],00,1-∞⋃ 【解析】 【分析】根据偶次方根的被开方数非负、分母不为零得到方程组，解得即可； 【详解】 解：因为()11f x x x =-100x x -≥⎧⎨≠⎩，解得1x ≤且0x ≠， 故函数的定义域为()(],00,1-∞⋃； 故答案为：()(],00,1-∞⋃ 【总结提升】已知函数的具体解析式求定义域的方法(1)简单函数的定义域：若f(x)是由一些基本初等函数通过四则运算构成的，则它的定义域为各基本初等函数的定义域的交集．(2)复合函数的定义域：先由外层函数的定义域确定内层函数的值域，从而确定对应的内层函数自变量的取值范围，还需要确定内层函数的定义域，两者取交集即可． 热点二 求抽象函数的定义域【典例5】（全国·高考真题（理））已知()f x 的定义域为(1,0)-，则函数(21)f x +的定义域为 （ ） A ．(1,1)- B ．1(1,)2--C ．(1,0)-D ．1(,1)2【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：因为函数()f x 的定义域为(1,0)-，故函数(21)f x +有意义只需-1210x <+<即可，解得1-1-2x <<，选B ．【典例6】（2023·全国·高三专题练习）已知函数()31f x +的定义域为[]1,7，求函数()f x 的定义域． 【答案】[]4,22 【解析】 【分析】根据复合函数定义域的性质进行求解即可.因为()31f x +的定义域为[]1,7，所以17x ≤≤，所以43122x ≤+≤．令31x t +=，则422t ≤≤． 即()f t 中，[]4,22t ∈． 故()f x 的定义域为[]4,22．【典例7】（2022·全国·高三专题练习）已知函数(1)y f x +＝的定义域为112⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，，则函数2(log )y f x ＝的定义域为（ ）A ．(0,)+∞B ．(0,1)C ．222⎤⎢⎥⎣⎦D ．2⎡⎤⎣⎦，【答案】D 【解析】 【分析】根据(1)y f x +＝的定义域可知1122x ≤+≤，故21log 22x ≤≤，即可求出答案. 【详解】解：∵函数(1)y f x +＝的定义域为112⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， ∴112x -≤≤，1122x ≤+≤∴函数2(log )y f x ＝中，21log 22x ≤≤ 24x ≤≤所以函数2(log )y f x ＝的定义域为2，]． 故选：D 【总结提升】(1)若已知函数f (x )的定义域为[a ，b ]，则复合函数f (g (x ))的定义域由a ≤g (x )≤b 求出． (2)若已知函数f (g (x ))的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域为g (x )在x ∈[a ，b ]时的值域． 热点三 求函数的值域（最值）【典例8】（江西·高考真题（理））若函数()y f x =的值域是1[,3]2，则函数1()()()F x f x f x =+的值域是（ ） A ．1[,3]2B ．10[2,]3 C ．510[,]23D ．10[3,]3【答案】B【详解】试题分析：设()f x =t,则1,32t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,从而()F x 的值域就是函数11,,32y t t t ⎡⎤=+∈⎢⎥⎣⎦的值域，由“勾函数”的图象可知，102()3F x ≤≤，故选B ．【典例9】（2023·全国·高三专题练习）已知函数()y f x =的定义域是R ，值域为[]1,2，则下列四个函数①()21y f x =-；①()21y f x =-；①()12f x y -=；①()2log 11y f x =++，其中值域也为[]1,2的函数个数是（ ） A ．4 B ．3 C ．2 D ．1【答案】B 【解析】 【分析】求出①②③④中各函数的值域，即可得出合适的选项. 【详解】对于①，因为()12f x ≤≤，则()[]211,3y f x =-∈，①不满足条件；对于②，对于函数()21y f x =-，21x -∈R ，则函数()21y f x =-的值域为[]1,2，②满足条件；对于③，因为()12f x ≤≤，则()[]1,221f x y -∈=，③满足条件； 对于④，因为()12f x ≤≤，()[]11,2f x +∈，则()[]2log 111,2y f x =++∈，④满足条件. 故选：B.【典例10】（2023·全国·高三专题练习）已知函数2()(2)sin(1)1xf x x x x x =--+-在[1,1)-(1,3]⋃上的最大值为M ，最小值为N ，则M N +=（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B 【解析】 【分析】令1x t -=，()f x 转化为()21sin sin 1g t t t t t =+-+，令()21sin sin h t t t t t=+-，根据奇偶性的定义，可判断()h t 的奇偶性，根据奇偶性，可得()h t 在(][2,0)0,2-⋃最大值与最小值之和为0，分析即可得答案. 【详解】由21()[(1)1]sin(1)11f x x x x =---++- 令1x t -=，因为[1,1)(1,3]x ∈-⋃，所以(][2,0)0,2t ∈-⋃；那么()f x 转化为()21sin sin 1g t t t t t =+-+，(][2,0)0,2t ∈-⋃，令()21sin sin h t t t t t=+-，(][2,0)0,2t ∈-⋃，则()()()()()()2211sin sin sin sin h t t t t t t t h t t t ⎛⎫-=--+--=-+-=- ⎪-⎝⎭，所以()h t 是奇函数可得()h t 的最大值与最小值之和为0， 那么()g t 的最大值与最小值之和为2． 故选：B ．【典例11】（2022·河南·郑州四中高三阶段练习（文））高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，用其名字命名的“高斯函数”：设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数，也称取整函数，例如：[]1.32-=-，[]3.43=，已知()11313x f x =-+，则函数()y f x ⎡⎤=⎣⎦的值域为______． 【答案】{}1,0- 【解析】 【分析】根据指数函数的性质分析()f x 的值域，进而得到()y f x ⎡⎤=⎣⎦的值域即可 【详解】 ∵()11313xf x =-+，()30,x ∈+∞， ∴令30x t =>，则()()1112,1333f x g t t ⎛⎫==-∈- ⎪+⎝⎭故函数()()y f x g t ==⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦的值域为{}1,0-， 故答案为：{}1,0-【典例12】（2023·全国·高三专题练习）函数()21f x x x =+-________；函数24y x x =-________．【答案】 2 22,2⎡⎤-⎣⎦【解析】 【分析】()f x 1x t -换元后化为二次函数可得最大值，函数24y x x =-2cos ([0,])x θθπ=∈，然后利用两角和的余弦公式化函数为一个角的一个三角函数形式，再由余弦函数的性质得取值范围． 【详解】(1)1x -t (t ≥0)，所以x =1－t 2.所以y =f (x )=x 1x -－t 2+2t =－t 2+2t +1=－(t －1)2+2.所以当t =1即x =0时，y max =f (x )max =2. (2)由4－x 2≥0，得－2≤x ≤2， 所以设x =2cos θ(θ∈[0，π])，则y =2cos θ244cos θ-θ－2sin θ2()4πθ+，因为5[,]444πππθ+∈， 所以cos ()4πθ+∈22⎡-⎢⎣⎦，所以y ∈[－22]．故答案为：2；[2,2]-．【典例13】（2023·河南·洛宁县第一高级中学一模（文））已知函数()211122f x x x =++． (1)求()f x 的图像在点()()22f ,处的切线方程； (2)求()f x 在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域．【答案】(1) 7420x y --=； (2)[]2,3． 【解析】 【分析】对于第一小问，把点()()22f ,代入函数解析式，得切点坐标，通过函数求导，得到过切点的切线的斜率，根据直线的点斜式方程，求切线方程．对于第二小问，解不等式()0f x '>，得函数增区间，解不等式()0f x '<，得函数减区间，结合1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦，确定函数单调性，求得最值，进而得值域．(1) 因为()211122f x x x =++，所以()21f x x x '=-，所以()23f =，()724f '=， 故所求切线方程为()7324y x -=-，即7420x y --=． (2)由（1）知()()()2322111x x x x f x x x -++-'==，1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦． 令()0f x '>，得12x <≤；令()0f x '<，得112x ≤<．所以()f x 在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在[]1,2上单调递增，所以()()min 12f x f ==． 又12128f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()23f =，所以()23f x ≤≤，即()f x 在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为[]2,3．热点四 求参数的值或取值范围【典例14】（2023·全国·高三专题练习）设a R ∈，函数()2229,1163,1x ax x f x x a x x ⎧-+≤⎪=⎨+->⎪⎩，若()f x 的最小值为()1f ，则实数a 的取值范围为（ ） A ．[]1,2 B ．[]1,3 C ．[]0,2 D ．[]2,3【答案】A 【解析】 【分析】当1x >时，结合不等式求得其最小值为123a -，当1x ≤时，()()229f x x a a =-+-，根据函数()f x 的最小值为()1f ，列出不等式组，即可求解. 【详解】 当1x >时，22231688883333123x a x a x a a x x x x x+-=++-≥⨯⨯=-， 当且仅当28x x=时，等号成立； 即当1x >时，函数()f x 的最小值为123a -，当1x ≤时，()()222299f x x ax x a a =-+=-+-，要使得函数()f x 的最小值为()1f ，则满足()11102123a f a a ≥⎧⎨=-≤-⎩，解得12a ≤≤，即实数a 的取值范围是[]1,2. 故选：A.【典例15】（2022·全国·高三专题练习）已知函数()221f x ax x =++R ，则实数a 的取值范围是__． 【答案】[1，+∞） 【解析】 【分析】等价于ax 2+2x +1≥0恒成立，再对a 分类讨论得解. 【详解】解：函数()221f x ax x ++R ， 即为ax 2+2x +1≥0恒成立， 若a ＝0，则2x +1≥0不恒成立； 当a ＞0，∆＝4﹣4a ≤0， 解得a ≥1；当a ＜0，ax 2+2x +1≥0不恒成立． 综上可得，a 的取值范围是[1，+∞）． 故答案为：[1，+∞）．【典例16】（2016·北京·高考真题（理））设函数33,(){2,x x x af x x x a -≤=->. ①若0a =，则()f x 的最大值为____________________； ②若()f x 无最大值，则实数a 的取值范围是_________________. 【答案】2 (,1)-∞- 【解析】 【分析】试题分析：如图，作出函数3()3g x x x =-与直线 2y x =-的图象，它们的交点是(1,2),(0,0),(1,2)A O B --，由 2'()33g x x =-，知1x =是函数 ()g x 的极小值点，①当0a =时， 33,0(){2,0x x x f x x x -≤=->，由图象可知()f x 的最大值是 (1)2f -=；②由图象知当1a ≥-时， ()f x 有最大值(1)2f -=；只有当 1a <-时，332a a a -<-，()f x 无最大值，所以所求 a 的取值范围是(,1)-∞-．【精选精练】1．（2023·全国·高三专题练习）若集合-1|2M x y x ==⎧⎨⎩，{}2|N y y x -==，则（ ）A ．M N ⋂=∅B ．M N ⊆C ．N M ⊆D ．M ＝N【答案】B 【解析】 【分析】利用集合间的基本关系来进行运算即可. 【详解】集合M 表示函数21y x =-2x －1>0，解得12x >.集合N 表示函数2y x 的值域，值域为()0,∞+，故选：B.2．（2022·全国·高三专题练习）下列函数中，其定义域和值域分别与函数lg 10x y =的定义域和值域相同的是（ ） A ．y ＝x B ．y ＝lg xC ．y ＝2xD ．y x【答案】D 【解析】 【分析】求出函数lg 10x y =的定义域和值域，对选项逐一判断即可. 【详解】因函数lg 10x y =的定义域和值域均为()0,∞+， 对于A ，y x =的定义域和值域均为R ，故A 错误；对于B ，lg y x =的定义域和值域分别为()0,,R +∞，故B 错误； 对于C ，2y x =的定义域和值域均为R ，故C 错误；对于D ，y x=定义域和值域均为()0,∞+，故D 正确； 故选：D ．3．（2022·全国·高三专题练习）若函数()21f x ax ax =-+R ，则a 的范围是（ ） A ．()0,4 B ．[)0,4 C ．(]0,4 D ．[]0,4【答案】D 【解析】 【分析】分0a =、0a >、0a <讨论即可求解. 【详解】若()f x 的定义域为R ，则当0a =时，()1f x =满足题意；当0a ≠时，20Δ40a a a >⎧⎨=-≤⎩，解得：04a <≤； 当0a <时，无法满足定义域为R ． 综上所述：04a ≤≤，D 正确． 故选：D4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()f x 的定义域为[]0,1，值域为[]1,2，那么函数()2f x +的定义域和值域分别是（ ）A ．[]0,1，[]1,2B ．[]2,3，[]3,4C ．[]2,1--，[]1,2D ．[]1,2-，[]3,4【答案】C 【解析】 【分析】由[]20,1x +∈可求出函数的定义域，由于()2y f x =+的图象是由()y f x =的图象向左平移2个单位得到，所以其值域不变，从而可得答案 【详解】令[]20,1x +∈得[]2,1x ∈--，即为函数()2y f x =+的定义域， 而将函数()y f x =的图象向左平移2个单位即得()2y f x =+的图象， 故其值域不变． 故选：C ．5．（2022·江西·高三阶段练习（文））函数()s 2π2inxf x x =+在[0,1]上的值域为（ ） A ．[1,2] B ．[1,3] C ．[2,3] D ．[2,4]【答案】B 【解析】 【分析】根据指数函数与正弦函数的单调性可得函数()f x 在上单调递增，从而可求()f x 的值域. 【详解】解：易知函数()s 2π2inxf x x =+在[0,1]上单调递增，且(0)1f =，(1)3f =， 所以()f x 在[0,1]上的值域为[1,3]． 故选:B ．6．（2022·全国·高三专题练习）已知(12)3,1()ln ,1a x a x f x x x -+<⎧=⎨≥⎩的值域为R ，那么a 的取值范围是( ) A ．(﹣∞，﹣1] B ．(﹣1，12)C ．[﹣1，12)D ．(0，1)【答案】C 【解析】 【分析】先求出ln ,1y x x =≥的值域，然后确定(12)3,1y a x a x =-+<的值域所包含的集合，利用一次函数性质可得． 【详解】当x ≥1时，f (x )=ln x ，其值域为[0，+∞)，那么当x <1时，f (x )=(1﹣2a )x +3a 的值域包括(﹣∞，0)， ∴1﹣2a >0，且f (1)=(1﹣2a )+3a ≥0， 解得：12a <，且a ≥﹣1. 故选：C.7．（2023·全国·高三专题练习）函数f （x 2sin 12x π- ）A ．54,433k k πππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦ (k ∈Z ) B ．154,433k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦ (k ∈Z )C ．54,466k k πππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦(k ∈Z ) D ．154,466k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦(k ∈Z )【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得2sin 102x π-≥，然后利用正弦函数的性质求解即可【详解】 由题意，得2sin 102x π-≥，1sin22x π≥， 所以522,Z 626k x k k πππππ≤+≤≤+∈， 解得1544,Z 33k x k k +≤≤+∈，所以函数的定义域为()154,4Z 33k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦，故选：B8．（2023·山西大同·高三阶段练习）函数6()e 1||1x mxf x x =+++的最大值为M ，最小值为N ，则M N +=（ ） A ．3 B ．4C ．6D ．与m 值有关【答案】C 【解析】 【分析】利用分离常数法对函数的式子变形，结合函数奇函数的定义及奇函数最值的性质即可求解. 【详解】由题意可知，()3e 16()3e 1||1e 1||1x x x mx mxf x x x =+=--+++++， 设()()3e 1e 1||1x x mxg x x =--+++，则()g x 的定义域为(),-∞+∞， 所以()()()()()3e 13e 1e 1||1e 1||1x x xx m x mx g x g x x x --⎡⎤-⎢⎥-=-+=--+=-+-+++⎢⎥⎣⎦--， 所以()g x 为奇函数， 所以()()max min 0g x g x +=，所以()()()()max min max min 336f x f x M N g x g x +=+=+++=, 故选：C.9．（2022·江苏南京·高三开学考试）已知函数()()()()5sin sin ,99f x x x g x f f x ππ⎛⎫⎛⎫=++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()g x 的最大值为（ ）A 2B 3C ．32D ．2【答案】B 【解析】 【分析】 记9t x π=+，()()33sin 2f x h t t t ==+，由三角函数的性质即可求出()g x 的最大值. 【详解】 记9t x π=+，则()()33sin sin sin 32f x h t t t t t π⎛⎫==++= ⎪⎝⎭， 所以()3sin 3,36h t t π⎛⎫⎡=+∈- ⎪⎣⎝⎭， 33π>，所以()()f f x 3故选：B.10．（2022·广东·石门高级中学高二阶段练习）函数()12cos f x x x x =+-的最小值为（ ） A ．1ππ B ．22ππC ．-1D ．0【答案】C 【解析】 【分析】根据题意得到()f x 为偶函数，由0x ≥时，()12cos f x x x x =+-，利用导数求得函数的的单调区间，进而求得函数的最小值. 【详解】由题意，函数()12cos f x x x x =+-的定义域为R ，关于原点对称，且满足()()()1122cos cos f x x x x x x x f x -=-+---=+-=，所以()f x 为偶函数，当0x ≥时，()12cos f x x x x =+-， 可得()1sin 11022f x x xx=≥'+>，()f x 在单调递增，又由()f x 为偶函数，所以()f x 在(),0∞-单调递减，[)0,∞+单调递增， 所以()()min 01f x f ==-. 故选：C. 二、多选题11．（2023·全国·高三专题练习）已知函数122()log (2)log (4)f x x x =--+，则下列结论中正确的是（ ）A ．函数()f x 的定义域是[4,2]-B ．函数(1)=-y f x 是偶函数C ．函数()f x 在区间[1,2)-上是减函数D ．函数()f x 的图象关于直线1x =-对称 【答案】BD 【解析】 【分析】求出函数定义域为(4,2)-，A 选项错误；利用定义证明函数(1)=-y f x 是偶函数，B 选项正确；函数()f x 在区间[)1,2-上是增函数，故C 选项错误；可以证明f (x )的图象关于直线1x =-对称，故D 选项正确. 【详解】解：函数()()()()()1222log 2log 4log 24f x x x x x ⎡⎤=--+=--+⎣⎦， 由20,40x x ->+>可得42x -<<，故函数定义域为(4,2)-，A 选项错误；()()()21log 33y f x x x ⎡⎤=-=--+⎣⎦的定义域为()3,3-，设()()()2log 33,g x x x ⎡⎤=--+⎣⎦所以()()()()2log 33,g x x x g x ⎡⎤-=-+-+=⎣⎦即()1y f x =-是偶函数，B 选项正确；()()()()222log 24log 28f x x x x x ⎡⎤=--+=---+⎣⎦()22log 19x ⎡⎤=--++⎣⎦()212log 19x ⎡⎤=-++⎣⎦，当[)1,2x ∈-时，()219t x =-++是减函数，外层12log y t =也是减函数，所以函数()f x 在区间[)1,2-上是增函数，故C 选项错误；由()()()()22log 42=f x x x f x ⎡⎤--=-+-⎣⎦，可得f (x )的图象关于直线1x =-对称，故D 选项正确. 故选：BD 三、双空题12．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()ln ,1e 2,1xx b x f x x +>⎧=⎨-≤⎩,若(e)3(0)f f =-，则b =_____，函数()f x 的值域为____． 【答案】 2 (][)2,e 22,--+∞【解析】【分析】根据(e)3(0)f f =-可解得b 的值，代入分段函数，结合对数函数及指数函数的值域求解分段函数的值域即可. 【详解】由(e)3(0)f f =-得13(1)b +=-⨯-，即2b =，即函数()ln 2,1e 2,1xx x f x x +>⎧=⎨-≤⎩, 当1x >时，ln 22y x =+>；当1x ≤时，(]e 22,e 2xy =-∈--．故函数()f x 的值域为(][)2,e 22,--+∞．故答案为：2；(][)2,e 22,--+∞.13．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()121x f x a =+-为奇函数，则实数a ＝__，函数f （x ）在[1，3]上的值域为__． 【答案】 1293,142⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】 【分析】由()f x 是定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数可得f （﹣x ）＝﹣f （x ），代入可求出实数a ；再判断数f （x ）在[1，3]上单调性，即可求出答案. 【详解】解：∵f （x ）是（﹣∞，0）∪（0，+∞）上是奇函数， ∴f （﹣x ）＝﹣f （x ）， 即121x -+-a121x =---a ， 即212xx+-a 121x=---a ， 则2a 121221121212x x xx x x=--=-=----1， 则a 12=， 则f （x ）11212x =+-在[1，3]为减函数， 则f （3）≤f （x ）≤f （1）， 即914≤f （x ）32≤， 即函数的值域为[914，32]，故答案为：12；[914，32] 四、填空题14．（2022·全国·高三专题练习）函数()02lg 2112x y x x x -=++-的定义域是________．【答案】(3,1)(1,2)--⋃- 【解析】 【分析】要使该函数表达式有意义，只需20x ->，2120x x +->，10x +≠同时成立，解不等式即可求出结果． 【详解】 函数()02lg 2112x y x x x -=++-的解析式有意义，由22012010x x x x ->⎧⎪+->⎨⎪+≠⎩，即2341x x x <⎧⎪-<<⎨⎪≠-⎩，所以31x -<<-或12x -<<， 故该函数的定义域为(3,1)(1,2)--⋃-． 故答案为：(3,1)(1,2)--⋃-15．（2022·上海闵行·二模）已知函数()()41log 42x f x m x =+-的定义域为R ，且对任意实数a ，都满足()()f a f a ≥-，则实数m =___________；【答案】1 【解析】 【分析】根据条件得到()()f a f a =-，即()()41log 42xf x m x =+-为偶函数，根据()()f x f x -=列出方程，求出实数m 的值. 【详解】因为()()41log 42xf x m x =+-的定义域为R ，所以40x m +>恒成立， 故0m ≥，又因为对任意实数a ，都满足()()f a f a ≥-， 则对于实数a -，都满足()()f a f a -≥， 所以()()f a f a =-，所以()()41log 42x f x m x =+-为偶函数， 从而()()4411log 4log 422x x m x m x -++=+-， 化简得：()()4110x m --=，要想对任意x ，上式均成立，则10m -=，解得：1m =故答案为：116.（2022·上海市嘉定区第二中学模拟预测）已知函数()y f x =是定义域为R 的奇函数，且当0x <时，()1a f x x x=++．若函数()y f x =在[)3,+∞上的最小值为3，则实数a 的值为________．【答案】3【解析】【分析】根据已知条件及奇函数的定义求出当0x <时函数的解析式，再利用函数的单调性对a 进行分类讨论，确定单调性即可求解.【详解】由题意可知，因为0x >，所以0x -<，所以()1a f x x x -=--+， 因为函数()f x 是定义域为R 的奇函数，所以()()1a f x f x x x=--=+-. 因为函数()y f x =在[)3,+∞上的最小值为3当0a ≤时，由函数的性质知，函数()f x 在[)3,+∞上单调递增；当3x =时，()f x 取得最小值为(3)23a f =+， 因为函数()y f x =在[)3,+∞上的最小值为3，所以233a +=，解得3a =（舍）， 当09a <≤时，由函数的性质知，函数()f x 在[)3,+∞上单调递增；当3x =时，()f x 取得最小值为(3)23a f =+， 因为函数()y f x =在[)3,+∞上的最小值为3，所以233a +=，解得3a =， 当9a >时，由对勾函数的性质知，函数()f x 在),a ⎡+∞⎣上单调递增；在(a 上单调递减； 当x a =()f x 取得最小值为(11f a a a a ==，因为函数()y f x =在[)3,+∞上的最小值为3，所以213a =，解得1a =（舍）， 综上，实数a 的值为3.故答案为：3.17．（2022·北京·清华附中模拟预测）已知函数()()2ln ,1,1x a x f x x a x +≥⎧⎪=⎨+<⎪⎩，下列说法正确的是___________.①当0a ≥时，()f x 的值域为[0,)+∞；②a ∀∈R ，()f x 有最小值；③R a ∃∈，()f x 在(0,)+∞上单调递增：④若方程1f x有唯一解，则a 的取值范围是(,2)-∞-.【答案】①②【解析】【分析】由分段函数解析式，讨论参数a ，结合二次函数、对数函数的性质研究()f x 的单调性、最值及对应值域，利用函数()f x 与1y =的交点情况判断参数范围.【详解】由2()y x a =+的对称轴x a =-，当1a >-时，则1x a =-<，且(,)a -∞-上递减，(,1)a -上递增，值域为[0,)+∞， 当1a =-时，则(,1)-∞上递减，值域为[0,)+∞，当1a <-时，则1x a =->，(,1)-∞上递减，值域为2((1),)a ++∞，对于ln y x a =+在[1,)+∞上递增，且值域为[,)a +∞，综上，0a ≥时()f x 的值域为[0,)+∞，①正确；当0a ≥时()f x 最小值为0，当0a <时()f x 最小值为a ，②正确；由211|(1)|ln1x x y a y a a ===+>=+=恒成立，故在(0,)+∞上不可能递增，③错误； 要使1f x 有唯一解，当1a <-时，在[1,)+∞上必有一个解，此时只需2(1)1a +≥，即2a ≤-；当1a =-时，在R 上有两个解，不合题设；当1a >-时，在(,)a -∞-上必有一个解，此时()211{1a a +≤>，无解.所以④错误.故答案为：①② 18．（2022·全国·高三专题练习）已知函数f （x ）()221mx m x m =--+-的值域是[0，+∞），则实数m 的取值范围是__． 【答案】230⎡⎢⎣⎦， 【解析】【分析】将m 分为000m m m =><，， 三种情况讨论：当0m =时，()210f x x - 满足条件；当0m <时，由二次函数知开口向下，不满足条件；当0m >时，只需二次函数的0∆≥即可，解出m 的取值范围，综上得m 的取值范围.【详解】解：当0m =时，()()22121f x mx m x m x =--+--[0，+∞），满足条件；令()()221g x mx m x m =--+- ，()()0g x ≥当m ＜0时，()g x 的图象开口向下，故f （x ）的值域不会是[0，+∞），不满足条件；当m ＞0时，()g x 的图象开口向上，只需()2210mx m x m --+-=的0∆≥，即（m ﹣2）2﹣4m （m ﹣1）≥0， ∴2323m ≤≤，又0m > ，所以230m <≤ 综上，230m ≤≤∴实数m 的取值范围是：230⎡⎢⎣⎦，， 故答案为：230⎡⎢⎣⎦，.。
值域和定义域的例题讲解
高中函数值域和定义域的大小,是高中数学常考的一个知识点,本文介绍了函数求值域最常用的九种方法和例题讲解.一．观察法通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域。
例1求函数y=3+√(2－3x)的值域。
点拨：根据算术平方根的性质，先求出√(2－3x)的值域。
解：由算术平方根的性质，知√(2－3x)≥0，故3+√(2－3x)≥3。
∴函数的知域为.点评：算术平方根具有双重非负性，即：（1）被开方数的非负性，（2）值的非负性。
本题通过直接观察算术平方根的性质而获解，这种方法对于一类函数的值域的求法，简捷明了，不失为一种巧法。
练习：求函数y=[x](0≤x≤5)的值域。
（答案：值域为：｛0，1，2，3，4，5｝）二．反函数法当函数的反函数存在时，则其反函数的定义域就是原函数的值域。
例2求函数y=(x+1)/(x+2)的值域。
点拨：先求出原函数的反函数，再求出其定义域。
解：显然函数y=(x+1)/(x+2)的反函数为:x=(1－2y)/（y－1）,其定义域为y≠1的实数,故函数y的值域为｛y∣y≠1,y∈R｝。
点评：利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数。
这种方法体现逆向思维的思想，是数学解题的重要方法之一。
练习：求函数y=(10x+10-x)/(10x－10-x)的值域。
（答案：函数的值域为｛y∣y<－1或y>1｝）三．配方法当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可以利用配方法求函数值域例3：求函数y=√(－x2+x+2)的值域。
点拨：将被开方数配方成完全平方数，利用二次函数的最值求。
解：由－x2+x+2≥0,可知函数的定义域为x∈[－1，2]。
此时－x2+x+2=－（x－1/2）2＋9/4∈[0，9/4] ∴0≤√－x2+x+2≤3/2,函数的值域是[0,3/2]点评：求函数的值域不但要重视对应关系的应用,而且要特别注意定义域对值域的制约作用。
定义域和值域的逆向问题
1. 函数与映射的异同点是什么？答：函数和映射都是建立在两个非空集合A,B 之间的一种特殊的对应，对应法则f 使得集合A 中的任一元素在B 中都有唯一的元素相对应。
二者的区别是：函数强调A 和B 是非空的数集而已。
2．给定两个非空集合A 和B ，从A 到B 可以建立多少个不同的映射？ 例如：A={1,23},B={6,7}从A 到B 建立映射就是确定一个对应法则f 把A 中每一个元素在B 中得到唯一对应的元素。
这样的对应法则有几个，就是映射有几个。
完成这一事情分三步：第一步给A 中元素1找对象，有两种选择，同理第二步给2找对象有两种选择，第三步给3找对象也有两种选择，故不同的对应法则有2*2*2=8个。
重点例习题整理：1.已知集合{}2540A x x x =-+|≤，集合{}2|220B x x ax a =-++≤（1）若B A ⊆，求实数a 的取值范围；（2）若B A ⊆，求实数a 的取值范围；2.已知函数)(x f 的定义域为[)b a ,，值域为[]d c ,，则)12(+-x f 的定义域为________； 值域为__________3.已知函数⎪⎩⎪⎨⎧<-≥+=0,20,2)(22x x x x x x x f ，若)()2(2a f a f >-，则实数a 的取值范围是______ 4.函数f(x)=⎩⎨⎧x 2+1，x ≥01 ，x<0,则满足不等式f(1－x 2)>f(2x)的x 的范围是______5. 若函数)(x f 的定义域是[]1,1-，则函数的定义域是xx f )12(-__________ 变式1：若函数2(2)f x -的定义域是[1-，1]，则函数(32)f x +的定义域为____________ 变式2：若函数()y f x =的定义域是[-2,4]，则函数()()()g x f x f x =+-的定义域_______ 6. 已知一个函数的解析式为y=x 2,它的值域为[1,4],这样的函数的个数为 变式：函数f ：{1，2}→{1，2}满足f [f (x )]>1的这样的函数个数有________个 7. 函数12++=x x y 的值域为 ；函数216x y -=值域为 ；递减区间为函数251xy x =+的值域为 ；单调区间为8.直接写出函数=y xx3121+-的值域为____________，曲线的对称中心为________；若添加条件[]1,0∈x ，则值域为________；9. 已知两个函数()f x 和()g x 的定义域和值域都是集合{1,2,3}，其定义如下表：的解为10. 设函数()0)f x a =<的定义域为D ，若所有点(,())(,)s f t s t D ∈构成一个正方形区域，则a 的值为8. 函数()[[]]f x x x =，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如[ 2.1]3,-=-[2]2,-=-[2.2]2=,如果[2,0]x ∈-，那么()y f x =的值域为 ____11. 函数2()2()g x x x R =-∈，()4,12()(),12g x x x x f x g x x x ++<->⎧=⎨--≤≤⎩或,()f x 的值域是 ___12. 函数6)1(3)1()(22+-+-=x a x a x f（1）若)(x f 的定义域为[－2，1]，求实数a 的值. （2）若)(x f 的定义域为R ，求实数a 的取值范围. （3）若)(x f 的值域为),0[+∞，求实数a 的取值范围. 13.已知函数13+-=x ax y 在区间()1,-∞-上是增函数，则实数a 的取值范围是_________ 14.函数⎪⎩⎪⎨⎧<-+-+≥-+=0,)3()4(0),1()(22222x a x a a x x a k x k x f ,其中R a ∈. 若对任意的非零实数1x ,存在唯一的非零实数)(212x x x ≠,使得)()(21x f x f =成立,则k 的取值范围为_____函数模型四：可化为二次函数的绝对值型复合函数 引例1：已知R a ∈，函数a x x x f -=)(（1）判断函数)(x f 的奇偶性，请说明理由；（2）求函数)(x f 在区间[]2,1上的最小值； （3）设0≠a ，函数)(x f 在区间),(n m 上既有最大值又有最小值，请分别求出n m ,的取值范围．（只要写出结果，不需要写出解题过程）思考：已知a R ∈，函数2()f x x x a =-.求函数()y f x =在区间[1,2]上的最小值. 练习：1. 已知函数ax x x f +-=22)(R)(∈x 有最小值，则实常数a 的取值范围是 变式：函数1)(-+=x a x x f 在()+∞,0上有最大值，则实数a 的取值范围是___2. 已知函数3)(2-=x x x f ，[]m x ,0∈，其中R m ∈，且0>m .（1）如果函数)(x f 的值域是[]2,0，则实数m 的取值范围为___________； （2）如果函数)(x f 的值域是[]2,0m λ，实数λ的最小值为_________一、求表达式： 1.换元法：即用中间变量表示原自变量x 的代数式，从而求出()f x ，这也是证某些公式或等式常用的方法，此法解培养学生的灵活性及变形能力。
高中数学求解函数的定义域和值域的基本方法(附例题)
求解函数定义域和值域的基本方法（附例题）一、求解函数的定义域函数定义域，即函数自变量的取值范围。
在具体题目中，有求解具体函数和抽象函数的定义域两类。
针对不同类型的题目，解题方法也不相同。
1、求解具体函数的定义域在给定函数的定义域求解过程中，要善于挖掘题目中的隐含条件，并以此求解得出正确答案。
一般隐含条件有以下几点： （1）整式函数的定义域为:R （全体实数） （2）分式函数中，分母不等于0（3）含偶次根式的函数中，被开方数大于或等于零 （4）指数函数的定义域：R（5）对数函数的定义域：（0，+∞）（6）幂函数中，当指数为-1、0时，底数不得为零[)∞+≥≥≥--=，的定义域为综上所述，解得：有意义，要使解：的定义域函数求示例一：2)(2,1log 01log )(1log )(222x f x x x x f x x f解题步骤：①列出使函数有意义的不等式（组） ②解不等式（组）③若为不等式组，在取交集时借助数轴，表明是否取端点值④汇总，写成集合形式（注意区间的开闭） 练习一：的定义域求函数321)2(log 1)(21-+-=x x x f2、抽象函数的定义域一直以来 ，抽象函数是高考热点。
抽象函数中，内层函数的值域是外层函数的定义域，在计算抽象函数的定义域时，一定要多留意。
[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡-≤≤-≤+≤+3,21)(3219322)32(,9,2)(的定义域为综上所述，解得：由题意可知：解：的定义域求的定义域为若函数示例二：x f x x x f x f解题步骤：1、若已知y= f(x) 的定义域 [a,b] , 则复合函数 y=f[g(x)] 的定义域由 a ≤g(x)≤b 解得2、若已知复合函数 y=f[g(x)] 的定义域为 [a,b] ，则y= f(x) 的定义域为函数g(x)在 [a,b]上的值域 练习二：[]的定义域，求的定义域为已知函数1)2()(g 2,0)(2-=x x f x x f3、求自变量取值范围在一定条件下，求自变量取值范围，是基于定义域上的一类考题。
函数定义域值域求法(全十一种)
实用标准高中函数定义域和值域的求法总结一、常规型即给出函数的解析式的定义域求法，其解法是由解析式有意义列出关于自变量的不等式 或不等式组，解此不等式（或组）即得原函数的定义域。
2x2x 15例 1 求函数 y的定义域。
| x 3| 8解：要使函数有意义，则必须满足2x 2x 15 0① | x 3 | 8 0②由①解得 x 3或 x 5。
③由②解得x5或 x 11 ④ ③和④求交集得 x 3且 x 11或 x>5。
故所求函数的定义域为 {x | x 3且x 11} {x | x 5} 。
例 2 求函数1ysin x的定义域。
216 x解：要使函数有意义，则必须满足sin x0 ① 216 x② 由①解得 2kx2k ，kZ③ 由②解得 4 x 4 ④由③和④求公共部分，得4 x 或0 x 故函数的定义域为 ( 4， ] (0， ]评注：③和④怎样求公共部分？你会吗？ 二、抽象函数型抽象函数是指没有给出解析式的函数，不能常规方法求解，一般表示为已知一个抽象函 数的定义域求另一个抽象函数的解析式，一般有两种情况。
（1）已知 f (x) 的定义域，求 f[g(x )] 的定义域。
（2）其解法是：已知 f (x) 的定义域是［a ，b ］求 f [g(x)] 的定义域是解 a g(x) b ，即为所求的定义域。
2 例3 已知 f (x) 的定义域为［－2，2］，求 f ( x 1)的定义域。
2 解：令 2 x 1 2 2 ，得 1 x 32，即 0x3，因此 0 | x |3 ，从而3 x 3 ，故函数的定义域是 { x | 3 x 3} 。
（2）已知 f [g( x)] 的定义域，求 f(x) 的定义域。
其解法是：已知 f [g(x )] 的定义域是［a ， b ］，求 f(x) 定义域的方法是：由 a x b ，求g(x)的值域，即所求 f(x) 的定义域。
例 4 已知 f (2x 1) 的定义域为［1，2］，求 f(x) 的定义域。
定义域,值域专题
函数的定义域，值域及最值1. 已知函数解析式，求定义域：（1）分式（2）偶次根式（3）对数式（4）指数式（5）正切（6）零次幂的底数 （7）当()x f 的解析式含有几个式子时，要求使每一个式子都有意义的x 集合的交集。
2.复合函数的定义域的求法:(1)已知()x f 的定义域是A . 求()()x g f y =的定义域的方法是使()A x g ∈，求x 的范围 （2）已知()()x g f y =的定义域是.A 求()x f y =的定义域的方法是：首先是要理解()()x g f y =的定义域A 指的是.A x ∈而并非是(),A x g ∈于是只需求出A x ∈时，()x g 的值域即是()x f 的定义域。
例；（1）已知()x f 的定义域为[]2,0，则()12-x f 的定义域为（2）已知()12-x f 的定义域为[]2,0，则()x f 的定义域为 （3）已知函数()1+x f 的定义域是[]1,1-，则函数()x f 2的定义域为 （4）已知函数()x f 的定义域是[]2,2-，求()()()x f x f x T 22+=的定义域3.求函数的值域。
（通常离不开函数的单调性）4.函数的最值；设函数()x f y =的定义域为I,如果存在实数M 满足；（1）对于任意的Ix ∈都有()()()M x f M x f ≥≤。
（2）存在I x ∈0使得()M x f =0，我们称M 是函数()x f y =的最大值（最小值） 5.基本初等函数的值域；()()()()()()()()xa x y a a a y k xk y a c bx ax y b kx y log 5,1.04,03,02,12=≠=≠=≠++=+= ()()()()()b x a x y xa x y x y x y x y x y -±-=+=====10,9,8,cos ,sin 7,tan ,6α题型一，已知函数的解析式求定义域 （1）函数()x x x f +-=1的定义域（2）函数()()3422log 1-+-=x x x f 的定义域（3）函数()1212log -=x y 的定义域题型二，函数定义域的逆向问题；（1） 已知函数()34lg 2++-=m mx mx y 的定义域是R ，求实数m 的取值范围；（2） 已知函数()1122++++=kx kx x x x f 的定义域是R ，则实数k 的取值范围；（3） 已知函数()34lg 2++-=m mx mx y 的值域是R ，求实数m 的取值范围；(4)设函数()()1ln 2++=ax x x f 的定义域为A.且,3,1A A ∉-∈求a 的范围；求值域与最值的常见方法； （1） 观察法，函数()121+=x x f 的值域 （2） 图像法；利用函数的图像得出值域，主要是用于基本的初等函数。
函数定义域值域求法(全十一种)
实用标准高中函数定义域和值域的求法总结一、常规型即给出函数的解析式的定义域求法，其解法是由解析式有意义列出关于自变量的不等式或不等式组，解此不等式（或组）即得原函数的定义域。
例 1求函数 y x 22x15| x 3 |8的定义域。
解：要使函数有意义，则必须满足x 22x150①| x 3 |8 0②由①解得x3或 x 5 。
③由②解得x5或 x11④③和④求交集得x3且 x11或x>5。
故所求函数的定义域为{ x | x 3且x11}{ x | x5} 。
例 2求函数 y sin x1的定义域。
16x 2解：要使函数有意义，则必须满足sin x0①16x 20②由①解得2k x2k，k Z③由②解得 4 x4④由③和④求公共部分，得4x或 0x故函数的定义域为(4， ](0， ]评注：③和④怎样求公共部分？你会吗？二、抽象函数型抽象函数是指没有给出解析式的函数，不能常规方法求解，一般表示为已知一个抽象函数的定义域求另一个抽象函数的解析式，一般有两种情况。
（ 1）已知f (x )的定义域，求f [ g(x )]的定义域。
（ 2）其解法是：已知 f (x) 的定义域是［a，b］求 f [g(x)] 的定义域是解a g(x) b ，即为所求的定义域。
例 3已知 f (x) 的定义域为［－2， 2］，求f ( x 21) 的定义域。
解：令 2 x21 2 ，得 1 x2 3 ，即0 x 23，因此0| x | 3 ，从而3 x 3 ，故函数的定义域是{ x | 3 x3} 。
（ 2）已知f [g( x)]的定义域，求f(x) 的定义域。
其解法是：已知 f [g(x )] 的定义域是［a，b］，求f(x)定义域的方法是：由a x b，求g(x) 的值域，即所求f(x) 的定义域。
例 4已知 f (2x1) 的定义域为［1，2］，求f(x)的定义域。
解：因为 1 x2，22x4，32x 1 5 。
即函数 f(x) 的定义域是{ x | 3x5} 。
函数及其表示
函数及其表示基础知识1、函数与映射的概念可以不是数集，而函数中的两个集合必须是非空数集。
2.函数的定义域与值域在函数A x x f y ∈=),(中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做)(x f y =的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{}A x x f ∈)(称为函数)(x f y =的值域.显然，值域是集合B 的子集。
温馨提示：(1)A 、B 都是非空数集，因此定义域(或值域)为空集的函数不存在． (2)函数关系的判断要注意“每一个”、“都有”、“唯一”等关键词． (3)注意f (x )与f (a )的区别，f (a )表示当x ＝a 时的函数值，是一个常量；而f (x )是关于x 的函数，一般情况下是一个变量，f (a )是f (x )的一个特殊值． （4）y=f (x)仅仅是函数符号。
3、函数的构成要素：定义域、对应关系和值域4、区间的概念及表示法 设,a b 是两个实数，且a b <，满足a x b ≤≤的实数x 的集合叫做闭区间，记做[,]a b ； 满足a x b <<的实数x 的集合叫做开区间，记做(,)a b ；满足a x b ≤<，或a x b <≤的实数x 的集合叫做半开半闭区间，分别记做[,)a b ，(,]a b ； 满足,,,x a x a x b x b ≥>≤<的实数x 的集合分别记做[,),(,),(,],(,)a a b b +∞+∞-∞-∞。
注意：对于集合{|}x a x b <<与区间(,)a b ，前者a 可以大于或等于b ，而后者必须a b <。
5、相等函数：由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，我们就称这两个函数相等．注：若两个函数的定义域与值域相同，是否为相等函数？（不一定。
如果函数y=x 和y=x+1,其定义域与值域完全相同，但不是相等函数；再如y=sinx 与y=cosx ，其定义域为R ，值域都为[-1，1]，显然不是相等函数。
函数定义域值域求法(全十一种)
函数定义域值域求法(全十一种)高中函数定义域和值域的求法总结一、常规型常规型是指已知函数的解析式，求函数的定义域和值域。
解法是由解析式有意义列出关于自变量的不等式或不等式组，解此不等式（或组）即得原函数的定义域。
例如，对于函数 $y=\frac{x^2-2x-15}{|x+3|-8}$，要使函数有意义，则必须满足 $x^2-2x-15\geq 0$ 且 $|x+3|\neq 8$。
解得$x\leq -3$ 或 $x\geq 5$，且 $x\neq -11$ 或 $x\neq 5$。
将两个条件求交集得 $x\leq -3$ 且 $x\neq -11$ 或 $x>5$，即函数的定义域为 $\{x|x\leq -3\text{ 且 }x\neq -11\}\cup\{x|x>5\}$。
二、抽象函数型抽象函数型是指没有给出解析式的函数，需要根据已知条件求解。
一般有两种情况：1）已知 $f(x)$ 的定义域，求 $f[g(x)]$ 的定义域。
解法是：已知 $f(x)$ 的定义域为 $[a,b]$，则 $f[g(x)]$ 的定义域为解$a\leq g(x)\leq b$。
例如，已知 $f(x)$ 的定义域为 $[-2,2]$，求 $f(x^2-1)$ 的定义域。
令 $-2\leq x^2-1\leq 2$，得 $-1\leq x^2\leq 3$，即 $-|x|\leq x\leq |x|$。
因此，$-3\leq x\leq 3$，即函数的定义域为$\{x|-3\leq x\leq 3\}$。
2）已知 $f[g(x)]$ 的定义域，求 $f(x)$ 的定义域。
解法是：已知 $f[g(x)]$ 的定义域为 $[a,b]$，则 $f(x)$ 的定义域为$g(x)$ 的值域。
例如，已知 $f(2x+1)$ 的定义域为 $[1,2]$，求 $f(x)$ 的定义域。
因为 $1\leq x\leq 2$，所以 $2\leq 2x\leq 4$，$3\leq2x+1\leq 5$。
反三角函数定义域与值域
反三角函数定义域与值域反三角函数，听起来有点复杂，其实就是那些帮助我们“反向”找角度的函数。
我们常用的三角函数，比如正弦、余弦、正切等，都是用来找边长的。
而反三角函数呢，正好相反，它们是用来找角度的。
想想看，反三角函数就像一位老练的侦探，总能把隐藏在边长后面的秘密角度找出来。
这让我们在解决各种几何问题时，倍感轻松。
1. 定义域的探讨1.1 什么是定义域？定义域，听起来很严肃，其实就是“这个函数能接收什么样的输入”。
对于反三角函数来说，输入的值通常是对应的三角函数值。
比如，正弦函数的值可以在1到1之间，所以反正弦函数的定义域就是1, 1。
就像你进门的时候，门口写着“欢迎”，但有些人却是“门外汉”，不能随便进来。
这就是定义域的作用，限制了函数能接收的输入。
1.2 各个反三角函数的定义域说到反三角函数，我们有反正弦（arcsin）、反余弦（arccos）和反正切（arctan）。
它们的定义域各有不同，反正弦的定义域是1, 1，而反余弦的定义域也是1, 1，反正切则是全实数，听起来是不是有点儿不一样？这就像是每个函数都有自己的脾气，反正弦和反余弦比较挑剔，只有在特定的范围内才能表现得淋漓尽致，而反正切则比较随性，想去哪儿就去哪儿，简直是个自由自在的家伙。
2. 值域的深入分析2.1 什么是值域？再聊聊值域，值域就是函数输出的可能结果。
换句话说，就是“你能拿到什么样的结果”。
对于反三角函数来说，反正弦的值域是π/2, π/2，反余弦的值域是0, π，而反正切的值域则是(π/2, π/2)。
值域的设定，像是一扇窗户，让我们知道在这个范围内我们可以看到什么景象。
2.2 各个反三角函数的值域反正弦的值域从π/2到π/2，想象一下，这就是一个上下颠倒的“U”形区域。
而反余弦的值域则像是一条横着的“线”，从0到π，几乎覆盖了一半的圆。
而反正切的值域则更有趣，它的范围是不包括π/2和π/2的，像是一个开口的“弧”。
每个函数都有自己的风格，不同的定义域和值域就像是他们各自的个性，无法复制又别具一格。
(完整版)函数定义域的求法整理(整理详细版)
函数定义域的求法整理一、常规型即给出函数的解析式的定义域求法，其解法是由解析式有意义列出关于自变量的不等式或不等式组，解此不等式（或组）即得原函数的定义域。
例1 求函数8|3x |15x 2x y 2-+--=的定义域。
解：要使函数有意义，则必须满足⎩⎨⎧≠-+≥--②①08|3x |015x 2x 2由①解得 3x -≤或5x ≥。
③由②解得 5x ≠或11x -≠ ④③和④求交集得3x -≤且11x -≠或x>5。
故所求函数的定义域为}5x |x {}11x 3x |x {>-≠-≤ 且。
例2 求函数2x 161x sin y -+=的定义域。
解：要使函数有意义，则必须满足⎩⎨⎧>-≥②①0x 160x sin 2由①解得Z k k 2x k 2∈π+π≤≤π， ③由②解得4x 4<<-④ 由③和④求公共部分，得π≤<π-≤<-x 0x 4或故函数的定义域为]0(]4(ππ--，，二、抽象函数型抽象函数是指没有给出解析式的函数，不能常规方法求解，一般表示为已知一个抽象函数的定义域求另一个抽象函数的解析式，一般有两种情况。
（1）已知)x (f 的定义域，求)]x (g [f 的定义域。
（2）其解法是：已知)x (f 的定义域是［a ，b ］求)]x (g [f 的定义域是解b )x (g a ≤≤，即为所求的定义域。
例3 已知)x (f 的定义域为［－2，2］，求)1x (f 2-的定义域。
解：令21x 22≤-≤-，得3x 12≤≤-，即3x 02≤≤，因此3|x |0≤≤，从而3x 3≤≤-，故函数的定义域是}3x 3|x {≤≤-。
（2）已知)]x (g [f 的定义域，求f(x)的定义域。
其解法是：已知)]x (g [f 的定义域是［a ，b ］，求f(x)定义域的方法是：由b x a ≤≤，求g(x)的值域，即所求f(x)的定义域。
例4 已知)1x 2(f +的定义域为［1，2］，求f(x)的定义域。
高中数学函数性质与反函数解题技巧
高中数学函数性质与反函数解题技巧函数是高中数学中一个重要的概念，它在解决实际问题中起到了至关重要的作用。
本文将重点讨论函数的性质以及如何运用反函数解题的技巧。
一、函数的性质1. 定义域和值域：在解题过程中，我们常常需要确定函数的定义域和值域。
例如，考虑函数$f(x)=\sqrt{x-2}$，我们需要确定$x$的取值范围，使得$x-2$非负，即$x\geq 2$。
这样，我们就确定了函数的定义域为$[2,+\infty)$。
同时，我们还需要确定函数的值域，即函数的输出范围。
对于这个函数，我们可以发现，当$x\geq2$时，$f(x)$大于等于0。
因此，函数的值域为$[0,+\infty)$。
2. 奇偶性：奇偶性是函数的一个重要性质，它可以帮助我们简化计算过程。
对于一个函数$f(x)$，如果对于任意的$x$，有$f(-x)=f(x)$，则称该函数为偶函数；如果对于任意的$x$，有$f(-x)=-f(x)$，则称该函数为奇函数。
例如，考虑函数$f(x)=x^2$，我们可以发现，对于任意的$x$，有$f(-x)=(-x)^2=x^2=f(x)$，因此，该函数是一个偶函数。
3. 单调性：单调性是函数的另一个重要性质，它可以帮助我们确定函数的增减区间。
对于一个函数$f(x)$，如果对于任意的$x_1$和$x_2$，当$x_1<x_2$时，有$f(x_1)<f(x_2)$，则称该函数为增函数；如果对于任意的$x_1$和$x_2$，当$x_1<x_2$时，有$f(x_1)>f(x_2)$，则称该函数为减函数。
例如，考虑函数$f(x)=x^2$，我们可以发现，当$x_1<x_2$时，$f(x_1)=x_1^2<x_2^2=f(x_2)$，因此，该函数是一个增函数。
二、反函数解题技巧反函数是函数的一种特殊形式，它与原函数之间存在一种互逆的关系。
在解题过程中，我们常常需要利用反函数来简化计算。
定义域和值域的逆向问题
定义域和值域的逆向问题定义域和值域的逆向问题，是数学中的常见问题，解决好此类问题，可以锻炼同学们的逆向思维能力，因此要重视此类问题的解决。
一、已知定义域求值域例1 求定义域在［-1，1］上的函数)0(>>-+=b a bxa bx a y 的值域。
解：函数式变形为bx a ay -+-=21，显然y ≠-1由原函数表达式可得)1()1(+-=y b y a x 。
又11≤≤-x ，得)1()1(1+-≤-y b y a 1≤，解得ba b a y ba b a -+≤≤+-，即此函数的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++-b a b a b a b a ，。
注：此法是把函数式视为关于x 的方程，解出x ，再运用已知的定义域，解关于y 的不等式求得值域。
二、已知值域求定义域 例2 已知函数112--=x x y 的值域是}30|{≥≤y y y 或，求此函数的定义域。
解：由0112≤--x x ，解得121<≤x 。
由3112≥--x x ，解得21≤<x 。
∴此函数的定义域为⎭⎬⎫⎩⎨⎧≠≤≤1221|x x x 且。
注：此题直接由函数值域得出表达式的不等式，进而求得定义域，同时还可以利用反比例函数图象直观地得出结论，同学们不妨试一试。
三、已知定义域求解参数问题 例3 已知函数12)1()1()(22++-+-=a x a x a x f 的定义域为R ，求实数a 的取值范围。
解：由题意知R x ∈时，012)1()1(22≥++-+-a x a x a 恒成立。
（1）当012=-a 且01≠+a 时，有a=1，此时f(x)=1，显然对R x ∈时，012)1()1(22≥++-+-a x a x a 恒成立。
（2）当012≠-a 时，有⎪⎩⎪⎨⎧≤+⋅---=∆>-012)1(4)1(01222a a a a 解不等式组得91≤<a 。
综上知，当R x ∈时，使得)(x f 有意义的a 的取值范围是［1，9］。
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定义域和值域的逆向问题
定义域和值域的逆向问题，是数学中的常见问题，解决好此类问题，可以锻炼同学们的逆向思维能力，因此要重视此类问题的解决。
一、已知定义域求值域
例1 求定义域在［-1，1］上的函数)0(>>-+=
b a bx a bx a y 的值域。
解：函数式变形为bx a a y -+
-=21，显然y ≠-1 由原函数表达式可得)1()1(+-=
y b y a x 。
又11≤≤-x ，得)
1()1(1+-≤-y b y a 1≤， 解得b
a b a y b a b a -+≤≤+-， 即此函数的值域为⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-++-b a b a b a b a ，。
注：此法是把函数式视为关于x 的方程，解出x ，再运用已知的定义域，解关于y 的不等式求得值域。
二、已知值域求定义域
例2 已知函数112--=
x x y 的值域是}30|{≥≤y y y 或，求此函数的定义域。
解：由0112≤--x x ，解得12
1<≤x 。
由31
12≥--x x ，解得21≤<x 。
∴此函数的定义域为⎭
⎬⎫⎩⎨⎧
≠≤≤1221|x x x 且。
注：此题直接由函数值域得出表达式的不等式，进而求得定义域，同时还可以利用反比例函数图象直观地得出结论，同学们不妨试一试。
三、已知定义域求解参数问题
例3 已知函数12)1()1()(22++-+-=
a x a x a x f 的定义域为R ，求实数a 的取值范围。
解：由题意知R x ∈时，01
2)1()1(22≥++-+-a x a x a 恒成立。
（1）当012=-a 且01≠+a 时，有a=1，此时f(x)=1，显然对R x ∈时，
01
2)1()1(22≥++-+-a x a x a 恒成立。
（2）当012≠-a 时，有⎪⎩
⎪⎨⎧≤+⋅---=∆>-012)1(4)1(01222a a a a 解不等式组得91≤<a 。
综上知，当R x ∈时，使得)(x f 有意义的a 的取值范围是［1，9］。
注：此问题转化为不等式恒成立问题，但要注意二次函数的二次项系数为字母时的分类讨论。
四、已知值域求解参数问题
例4 已知函数1
222+++=x b ax x y 的值域为［1，3］，求a 、b 的值。
解：由题意知R x ∈，把原函数变形为0)2(2=-+--b y ax x y
当02=-y 时，满足题意
当02≠-y 时，因R x ∈，所以0))(2(42≥---=∆b y y a ，即08)2(4422≤-++-a b y b y 。
因31≤≤y ，所以1和3是方程08)2(4422=-++-a b y b y 的两个实根，由韦达定理解得22=±=b a ，。
注：解决此问题的关键在于把求值域的问题和解一元二次不等式的问题联系起来，最后通过比较同解不等式的系数，列方程求出参数的值。
五、已知定义域和值域求解参数问题
例5 已知二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 满足条件)3()5(-=+-x f x f ，
0)2(=f ，且方程x x f =)(有两个相等实根。
问是否存在实数)(n m n m <、，使得)(x f 的定义域为［m ，n ］时，值域为［3m ，3n ］。
如果存在，求出m 、n 的值；如果不存在，请说明理由。
解：因)3()5(-=+-x f x f ，所以函数)(x f 的图象的对称轴为直线
235-=x =1，可得12=-a b ①
由0)2(=f ，得024=++c b a
② 因方程x x f =)(有两个相等实根，即0)1(2=+-+c x b ax 有相等实根，所以04)1(2=--=∆ac b ③
将①代入②，得0=c 。
由③知，b=1，所以21-
=a 。
则2121)1(2121)(22≤+--=+-
=x x x x f ， 所以213≤n ，即6
1≤n 。
)(x f 在［m ，n ］上单调递增，假设存在满足条件的m 、n ，则
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧=+-==+-=n n n n f m m m m f 321)(321)(22 解得⎩
⎨⎧-=-=4040或或n m 又61≤
<n m ，则m=-4，n=0，即存在m=-4，n=0满足条件。
注：解决定义域和值域共存问题时，不要盲目进行分类讨论，而应从条件出发，分析和探讨出解决问题的途径，确定函数的单调性，从而使问题得以解决。
练一练：
1. 求下列函数的值域： ①3
4252+-=x x y ；②2312-+=x x y ；③212+-+=x x y 。
2. 求函数)0(≥-=
x x x y 的最大值。
答案： 1. ①]50(，
∈y （提示：1
)1(252+-=x y ，而11)1(22≥+-x ，
所以11)1(2102≤+-<x ，可得51
)1(2502≤+-<x 。
另外，原函数变形为053422=-+-y yx yx ，因R x ∈，
所以0)53(24)4(2≥-⨯--=∆y y y ，
即50052≤≤≤-y y y ，且0≠y ） ②⎭⎬⎫⎩⎨⎧≠
∈32|y R y y 且 （提示：)23(3732-+=x y ，而0)
23(37≠-x ，所以32≠y ） ③]4(，
-∞∈y （提示：因4)11(2+---=x y ，所以]4(，
-∞∈y 。
另外，令)0(1≥-=t x t ，则2
1t x -=， 所以)0(4)1(3222≥+--=++-=t t t t y ，也可能]4(，
-∞∈y ） 2. 4
1 （提示：4
1)21(2+
--=x y ，所以，当21=x ，即41=x 时，y 取最大值）。