第四章复习及习题课

例7.画出下列方程所表示的图形： x y2 z2 , x2 y 2 1 . z 1; 2 . 4 9 z 2.
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y
m
例8.画出下列曲面所围成的立体的图形： y 0, z 0,3x y 6,3x 2 y 12, x y z 6.
A z 2 a 2 a 0 ;
2
2
2
( B) x 2 y 2 z 2 1; x2 y 2 z 2 ( D) 1. 9 16 9
B a2 x2 0 a 0 ;
(2).下列曲面中，不是锥面的为（ A ）．
C 2x
2
y 3 yz 0;
例9.求与下列三条直线 x=1, x 1, x-2 y 1 z 2 与 4 5 y=z; y z; -3 都共面的直线所构成的曲面。 x2 y 2 例10.试证明双曲抛物面 2 2 2 z a b 上的两直母线 a b 直交时，其交点必在一双曲线上。
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动,且∠ACB=900,试证直线AB的轨迹是一个单叶双曲面． z 解:设两异面直线之 间的夹角为2α，距离为2c, l 选取坐标系如右图， 则直线 x o l 和m的方程分别为
x t1 cos x t2 cos y t1 sin 和 y t2 sin z c z c
(A)单叶双曲面； (B)圆锥面；
(C)圆柱面；
2 2
(D)平面．
2
x y h 1 (5)椭圆族 4 9 16 (h为参数）产生（ C ）． z h
(A)椭球面； (C)单叶双曲面；
2 2
(B)椭圆柱面； (D)双叶双曲面．
2
x z y 2 2 1 2 (6)曲线方程 a c b 表示一实轴平行于z y h 08:41:22
y .
2
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x2 y2 2 2 z 的u族直母线 (8)双曲抛物面 2 a b y x a b 2u 一定平行于平面（ A ）． x y u z a b
(A) bx+ay=0; (B)ax-by=0; (C) ax+by=0; (D)bx-ay=0. 例4.求过三条直线x=y=z,x+1=y=z-1,x-1=y+1=z-2 的圆柱面的方程． 例5.求以三坐标轴为母线的圆锥面的方程． 例6.设直线 l m 和 为互不垂直的两条异面直线，C是 l 08:41:22 与 m的公垂线的中点，A,B两点分别在直线 l , m 上滑
x y 2 1 上（√ ）． 2 a b
(8).经过双曲抛物面的一条直母线的每个平面一定经 过属于另一族直母线的一条直母线（ ）．
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例3.单项选择填空题பைடு நூலகம்
(1).下列曲面中，不是旋转曲面的为（ D ）．
x y z ( A) 1; 4 9 9 (C ) x 2 y 2 z 2 1;
08:41:22 (4).单叶双曲面同族的任二直母线必（ 异面 ）．
(5)双曲抛物面上（异族）的任二直母线必相交，（ 同族 ）的全体直母线平行于同一个平面． (6).旋转曲面可看成由一族（ 圆 ）生成的，这些 （ 圆 ）的中心在（ 一条直线上 ）． (7).直线y-z=0,x=0绕y轴和z轴旋转产生的旋转曲面的 方程分别为（ X2-y2+z2=0 ）与（ X2+y2-z2=0 ）， 它们都是（ 以坐标原点为顶点的锥面 ）． (8).方程y2+z2=sin2x是以（ x ）为旋转轴，（ z sin x y sin x ）为母线产生的旋转曲面方程． 或
z 0
y 0 (9)方程 x 2 z 2 2 y 表示的曲面叫做（
（双曲抛物面
）。
例2.判断题 (1).任何一个与柱面母线不平行的平面与柱面的交线 08:41:22 都可视为柱面的准线（ √ ）．
(2).圆柱面的准线一定是圆（ ×）． (3).因为一个平面是特殊的柱面，所以它的准线只能 是直线（ × ）． (4).x2+(y-1)2-(z+2)2=0表示顶点在(0,-1,2)的锥面（ ） × (5).椭圆抛物面有一个对称中心，就是其顶点（× ）． (6).双曲抛物面上任一点处有两条直母线（√ ）． x2 y 2 z 2 (7).单叶双曲面 2 2 2 1腰椭圆上的点在柱面 a b c 2 2
轴的双曲线，则有( D ). (A) h ＜b; (C) h＞-b; (B) -b＜h＜b; (D) h ＜-b或h＞b.
(7)下列曲面不是直纹曲面的为（ D）．
x2 y 2 A z; 16 4 C z xy;
B yz x 2 0;
D z x
2
第四章复习及习题课 一. 根据曲面的几何特征建立曲面的方程 二.从标准方程出发讨论曲面的性质并画出曲面的图形 三.直纹曲面及其直母线 四.例题 例1.填空题
x2 y 2 z 2 (1)在空间，方程 2 2 2 0 表示一个（ 锥面 ）． a b c (2).方程x2+y2-k2z2=0(k≠0)表示一个（ 锥面 ），其顶点 在 （原点 ） ， 对称轴为（Z轴 ）. (3).方程x2-2y2+3z2+6=0和x2+2y2+3z2-6=0表示的曲 面分别是（ 双叶双曲面和椭球面 ）．
2
D x z y z x y y z z x .
3 3
(3).方程xy+yz-zx=0表示（C ）． (A) 双曲柱面； (C )锥面；
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(B) 抛物柱面； (D)原点．
x 1 y 1 z 1 (4)直线 绕z轴旋转产生（ B ）． 1 1 1