初中数学将军饮马

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初二数学将军饮马相关题目及解答

这是总纲：【序号一】文章引言- 对“初二数学将军饮马相关题目及解答”进行简单介绍和解释。

【序号二】初步理解将军饮马问题- 对问题进行初步描述，解释将军饮马问题的背景和相关概念。

- 分析将军饮马问题中的关键因素和要点，引导读者初步理解问题。

【序号三】盘点各类将军饮马问题- 总结各类将军饮马问题，包括常见的类型、变种及相关的难点。

- 分析各类问题的特点和难点，并介绍解题的一般思路和方法。

【序号四】深度解析具体的将军饮马问题- 选取一到两个典型的将军饮马问题进行详细分析，展示深度解题的过程和技巧。

- 重点突出解题思路和方法，引导读者掌握解决具体问题的技巧和策略。

【序号五】对将军饮马问题的个人理解和观点- 共享个人对将军饮马问题的理解和感悟，探讨解题过程中的心得和体会。

- 提出对将军饮马问题的个人见解和观点，展示对问题的深刻理解和思考。

【序号六】总结和回顾- 对全文进行总结和回顾，强调将军饮马问题的重要性和解题的技巧。

- 突出对变种问题的解题策略和技巧，鼓励读者深入探索相关问题，提升解题能力。

【序号七】结语- 对全文进行简短的结语，表达对将军饮马问题的重视和对读者的鼓励。

假设最终文章大致如下：序号一：文章引言在初二数学学习中，将军饮马问题一直是一个经典而又充满挑战的题目。

它不仅考验着学生的数学思维和逻辑能力，同时也对解题技巧和方法提出了很高的要求。

在接下来的文章中，我们将对将军饮马问题进行全面的探讨和分析，并共享解题的一般思路和方法。

序号二：初步理解将军饮马问题将军饮马问题是一个著名的逻辑问题，通常以丰富的形式出现在中学数学教科书中。

它涉及到将军与士兵、马与草地之间的复杂关系，要求学生通过数学方法解决实际问题，锻炼逻辑推理和数学建模的能力。

让我们来看一下一个常见的例子。

假设有一名将军带着三十个士兵和三十匹马要过草原。

草原上有三十个不同的点，它们是将军要经过的地方。

将军每次只能带十匹马经过，但他有几个条件：1. 每匹马每次必须有骑手骑着； 2. 每个地点只能经过一次； 3. 带着马过草地时必须带上骑手；问题是，如何保证士兵、马、将军都能安全地过草地？透过这个简单的例子，我们初步了解了将军饮马问题的背景和相关概念。

初中数学之将军饮马的6种模型(培优)

初中数学之将军饮马的六种常见模型将军饮马问题——线段和最短一．六大模型1.如图，直线l和l的异侧两点A、B，在直线l上求作一点P，使P A+PB最小。

2.如图，直线l和l的同侧两点A、B，在直线l上求作一点P，使P A+PB最小。

3.如图，点P是∠MON内的一点，分别在OM，ON上作点A，B。

使△P AB的周长最小4.如图，点P，Q为∠MON内的两点，分别在OM，ON上作点A，B。

使四边形P AQB的周长最小。

5.如图，点A是∠MON外的一点，在射线ON上作点P，使P A与点P到射线OM的距离之和最小6. .如图，点A是∠MON内的一点，在射线ON上作点P，使P A与点P到射线OM的距离之和最小二、常见题目类型一、三角形1．如图，在等边△ABC中，AB= 6，AD⊥BC，E是AC上的一点，M是AD上的一点，AE=2，求EM+EC 的最小值解：∵点C关于直线AD的对称点是点B，∴连接BE，交AD于点M，则ME+MD最小，过点B作BH⊥AC于点H，则EH = AH–AE = 3–2 = 1，BH=在直角△BHE中，BE2．如图，在锐角△ABC中，AB =BAC＝45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是____．解：作点B关于AD的对称点B'，过点B'作B'E⊥AB于点E，交AD于点F，则线段B'E长就是BM＋ＭＮ的最小值在等腰Rt△AEB'中，根据勾股定理得到，B'E = 43．如图，△ABC中，AB=2，∠BAC=30°，若在AC、AB上各取一点M、N，使BM+MN的值最小，则这个最小值解：作AB关于AC的对称线段AB'，过点B'作B'N⊥AB，垂足为N，交AC于点M，则B'N= MB'+MN = MB+MN. B'N的长就是MB+MN的最小值，则∠B'AN = 2∠BAC= 60°，AB' = AB = 2，∠ANB'= 90°，∠B' = 30°。

将军饮马五大模型七类题型(解析版)-初中数学

将军饮马五大模型七类题型(模型梳理与题型分类讲解)第一部分【知识点归纳】【理论依据】路径最短、线段和最小、线段差最大、周长最小等一系列最值问题。

【方法原理】1.两点之间，线段最短；2.三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；3.中垂线上的点到线段两端点的距离相等；4.垂线段最短.【基本模型】【模型一：两定交点型】如图1，直线l和l的异侧两点A.B，在直线l上求作一点P，使P A+PB最小；图1【模型二：两定一动型】如图2，直线l和l的同侧两点A.B，在直线l上求作一点P，使P A+PB最小(同侧转化为异侧)；图2【模型三：一定两动型】如图3，点P是∠MON内的一点，分别在OM，ON上作点A，B。

使△P AB 的周长最小。

图3【模型四：两定两动型】如图4，点P，Q为∠MON内的两点，分别在OM，ON上作点A，B。

使四边形P AQB的周长最小。

图4【模型五：一定两动(垂线段最短)型】如图5，点A是∠MON外的一点，在射线ON上作点P，使P A 与点P到射线OM的距离之和最小。

图5【模型六：一定两动，找(作)对称点转化型】如图6，点A是∠MON内的一点，在射线ON上作点P，使P A与点P到射线OM的距离之和最小。

图6【题型目录】【题型1】两定一动型.......................................................3;【题型2】一定两动(两点之间线段最短)型...................................6;【题型3】一定两动(垂线段最短)型.........................................9；【题型4】两定两动型.......................................................12;【题型5】一定两动(等线段)转化型.........................................14;【题型6】直通中考.........................................................18;【题型7】拓展延伸.........................................................21;第二部分【题型展示与方法点拨】【题型1】两定一动型；1.(23-24八年级上·河北廊坊·期中)如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=12，AC=16，BC=20，将△ABC沿射线BM折叠，使点A与BC边上的点D重合．(1)线段CD的长是；(2)若点E是射线BM上一动点，则△CDE周长的最小值是．【答案】824【分析】本题主要考查了的折叠的性质、两点之间线段最短，熟练掌握折叠的性质是解此题的关键．(1)由折叠的性质可得BD=AB=12，再由CD=BC-BD进行计算即可得到答案；(2)设BM与AC的交点为点F，连接AE，由折叠的性质可得：DF=AF，DE=AE，∠BDF=∠BAF，再根据两点之间线段最短可得当点E与点F重合时，AE+CE取最小值，最小值为AC，由此即可得到答案．解：(1)由折叠的性质可得：BD=AB=12，∴CD=BC-BD=20-12=8，故答案为：8；(2)如图，设BM与AC的交点为点F，连接AE，由折叠的性质可得：DF=AF，DE=AE，∠BDF=∠BAF，由(1)得：CD=8，∴△CDE的周长=CD+DE+CE=8+AE+CE，要是△CDE的周长最小，只需AE+CE最小，由两点之间线段最短可知，当点E与点F重合时，AE+CE取最小值，最小值为AC，∴△CDE的周长=8+AC=8+16=24，故答案为：24．2.(22-23八年级上·广西南宁·期末)如图，点E在等边△ABC的边BC上，BE=4，射线CD⊥BC，垂足为点C，点P是射线CD上一动点，点F是线段AB上一动点，当EP+FP的值最小时，BF=5，则AB 的长为．【答案】7【分析】本题考查最短路径问题、等边三角形的性质、含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握利用轴对称性质求最短距离的方法是解答的关键．作点E 关于射线CD 的对称点E ，过E 作E F ⊥AB 于F ，交射线CD 于P ，连接PE ，此时EP +FP 的值最小，利用等边三角形的性质和三角形的内角和定理求得∠E =90°-∠B =30°，然后利用含30度角的直角三角形的性质求得BE =2BF =10，进而求得CE =3即可求解．解：作点E 关于射线CD 的对称点E ，过E 作E F ⊥AB 于F ，交射线CD 于P ，连接PE ，如图，则E P =EP ，∴EP +FP =E P +FP =E F ，此时EP +FP 的值最小，则BF =5，∵△ABC 是等边三角形，∴∠B =60°，AB =BC ，在Rt △BFE 中，∠E =90°-∠B =30°，∴BE =2BF =10，∵BE =4，CE =CE ，∴2CE +4=10，∴CE =3，∴AB =BC =3+4=7，故答案为：7．3.(23-24八年级下·河南郑州·阶段练习)如图，在△ABC 中，AB =AC ．在AB 、AC 上分别截取AP 、AQ ，使AP =AQ ．再分别以点P ，Q 为圆心，以大于12PQ 的长为半径作弧，两弧在∠BAC 内交于点R ，作射线AR ，交BC 于点D ．已知BC =5，AD =6．若点M 、N 分别是线段AD 和线段AB 上的动点，则BM +MN 的最小值为．【答案】6013【分析】本题考查作图-复杂作图，角平分线的定义，等腰三角形的性质等知识，解题关键是读懂图形信息，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．过点B 作BH ⊥AC 于点H ，交AD 于点M ，根据等腰三角形的性质和勾股定理求出AC ，然后根据S ΔABC =12⋅BC ⋅AD =12⋅AC ⋅BH ，可得BH =6013．作点H 关于解：如图，过点B 作BH ⊥AC 于点H ，交AD 于点M ，由作图可知，AD 平分∠BAC ，∵AB =AC ，∴AD ⊥BC ，∴BD =CD =12BC =52，∵AD =6．∴AC =AD 2+DC 2=62+52 2=132，∵S ΔABC =12⋅BC ⋅AD =12⋅AC ⋅BH ，∴5×6=132BH ，∴BH =6013．∵AB =AC ，AD ⊥BC ，作点H 关于AD 的对称点交AB 于点N ，连接M N ，当M 与M 重合时，此时BM +MN 最小，∴M H =M N ，∴BH =BM +M H =BM +M N ，则BM +MN 的最小值为6013．故答案为：6013【题型2】一定两动(两点之间线段最短)型；4.(23-24七年级下·陕西西安·期末)如图，在锐角△ABC 中，∠ABC =30°，AC =4，△ABC 的面积为5，P 为△ABC 内部一点，分别作点P 关于AB ，BC ，AC 的对称点P 1，P 2，P 3，连接P 1P 2，PP 3，则2P 1P 2+PP 3的最小值为．【答案】5【分析】首先由△ABC 的面积为5，12AC ⋅BM =5，求出BM =52，然后由∠ABC =30°和对称构造正三角形，将P 1P 2转化成BP ，将2P 1P 2+PP 3提取系数2，最终转化成垂线段最短．解：设PP3与AC 交于点Q ，则PQ =12PP 3，连接BP 、BQ 、BP 1、BP 2，作BM ⊥AC ，垂足为M ，AC =4，△ABC 的面积为5，∴12AC ⋅BM =5，即12×4BM =5∴BM =5，根据对称性得BP=BP1=BP2，∠ABP=∠ABP1，∠CBP=∠CBP2，∴∠P1BP2=2∠ABC=60°，∴△P1BP2是正三角形，∴P1P2=BP1=BP，∴2P1P2+PP3=2P1P2+12PP3=2(BP+PQ)≥2BQ≥2BM=5，故答案为：5．【点拨】本题考查了轴对称、正三角形、三角形面积、垂线段最短等知识，解题的关键是将P1P2转化成BP，将2P1P2+PP3提取系数2，最终转化成垂线段最短．形式上易与胡不归混淆．5.(23-24八年级上·北京海淀·期中)如图，已知∠MON=30°，在∠MON的内部有一点P，A为OM上一动点，B为ON上一动点，OP=a，当△P AB的周长最小时，∠APB=度，△P AB的周长的最小值是．【答案】120a【分析】分别作出点P关于OM，ON两条射线的对称点，连接两个对称点的线段与OM，ON的交点即为所确定的点；连接OP，OP ，OP ，由轴对称的性质得：OP=OP =OP =a，∠P OA=∠POA，∠P OB=∠POB，证得△P OP 是等边三角形，即可得到结论．解：①分别作点P关于OM，ON的对称点P ，P ；连接P ，P ，分别交OM，ON于点A、点B，则此时△P AB的周长最小．连接OP，OP ，OP ，由轴对称的性质得：OP=OP =OP =a，∠P OA=∠POA，∠P OB=∠POB，∵∠MON=30°，∴∠P OP =2∠MON=60°，∴△P OP 是等边三角形，∴P P =OP=a，∠AP O=∠APO，∠BP O=∠BPO，∴∠APB=∠AP O+∠BP O=120°，∴△P AB的周长=P P =a，故答案为：120，a．【点拨】此题主要考查了轴对称-最短路径问题，解决本题的关键是理解要求周长最小问题可归结为求线段最短问题，通常是作已知点关于所求点所在直线的对称点．6.(22-23八年级上·新疆乌鲁木齐·期末)如图，已知∠AOB的大小为α，P是∠AOB内部的一个定点，且OP=5，点E、F分别是OA、OB上的动点，若△PEF周长的最小值等于5，则α=()A.30°B.45°C.60°D.90°【答案】A【分析】设点P关于OA的对称点为C，关于OB的对称点为D，当点E、F在CD上时，△PEF的周长为PE+ EF+FP=CD，此时周长最小，根据CD=5可求出α的度数．解：如图，作点P关于OA的对称点C，关于OB的对称点D，连接CD，交OA于E，OB于F．此时，△PEF 的周长最小．连接OC，OD，PE，PF．∵点P与点C关于OA对称，∴OA垂直平分PC，∴∠COA=∠AOP，PE=CE，OC=OP，同理，可得∠DOB=∠BOP，PF=DF，OD=OP．∴∠COA+∠DOB=∠AOP+∠BOP=∠AOB=α，OC=OD=OP=5，∴∠COD=2α．又∵△PEF的周长为：PE+EF+FP=CE+EF+FD=CD=5，∴OC=OD=CD=5，∴△COD是等边三角形，∴2α=60°，∴α=30°．故选：A．【点拨】此题主要考查了最短路径问题，本题找到点E和F的位置是解题的关键．要使△PEF的周长最小，通常是把三边的和转化为一条线段，运用三角形三边关系解决．【题型3】一定两动型(垂线段最短)；7.(2024八年级上·全国·专题练习)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，AD是∠BAC的平分线，若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是()A.2.4B.3C.4D.5【答案】A【分析】本题考查了轴对称最短路径问题，角平分线定义，勾股定理，作点Q关于AD的对称点Q ，连接PQ ，股定理求出AB 的长，再利用三角形面积求出CH 的长即可得到结果．解：如图，作点Q 关于AD 的对称点Q ，连接PQ ，CQ ，过点C 作CH ⊥AB 于点H ，∵AD 是△ABC 的角平分线，Q 与Q 关于AD 对称，∴点Q 在AB 上，PC +PQ =PC +PQ ≥CH ，∵AC =3，BC =4，∴AB =AC 2+BC 2=5，12⋅AC ⋅BC =12⋅AB ⋅CH 即12×3×4=12×5×CH ，∴CH =2.4，∴CP +PQ ≥2.4，∴PC +PQ 的最小值为2.4，故选：A ．8.(23-24七年级下·广东深圳·期末)如图，在等腰三角形ABC 中，AB =AC ，AD ⊥BC ，点D 为垂足，E 、F 分别是AD 、AB 上的动点．若AB =6，△ABC 的面积为12，则BE +EF 的最小值是()A.2B.4C.6D.8【答案】B 【分析】本题考查等腰三角形的性质，轴对称-最短路线问题，垂线段最短．解此题的关键是正确作出辅助线．作点F 关于AD 的对称点M ，连接BM 、EM ，过点B 作BN ⊥AC 于点N ，从而可确定BE +EF ≥BM ，即BM 最小时，BE +EF 最小．再根据垂线段最短可知BN 的长即为BM 最小时，最后根据三角形面积公式求出BN 的长即可．解：如图，作点F 关于AD 的对称点M ，连接BM 、EM ，过点B 作BN ⊥AC 于点N ，∴EF =EM ，∴BE +EF =BE +EM ≥BM ，∴BM 最小时，BE +EF 最小．当BM ⊥AC 时BM 最小，即为BN 的长，∵S △ABC =12AC ⋅BN =12，AB =AC =6，∴BN =2×12÷6=4，∴BE +EF 的最小值是4．故选B ．9.(23-24八年级·江苏·假期作业)如图，在△ABC 中，AB =AC =10,BC =12,AD =8，AD 是∠BAC 的平分线．若P ，Q 分别是AD 和AC 上的动点，则PC +PQ 的最小值是．【答案】9.6【分析】本题考查了轴对称--最短路线问题、等腰三角形的性质以及三角形的面积，线段垂直平分线的性质．连接PB ，PQ ，根据线段垂直平分线的性质可得BP =CP ，从而得到当点B ，P ，Q 三点共线时，PC +PQ 取得最小值，最小值为BQ 的长，且当BQ ⊥AC 时，BQ 最小，再由S △ABC =12BC ⋅AD =12AC ⋅BQ ，求出BQ 的长，即可．解：如图，连接PB ，PQ ，∵AB =AC ，AD 是∠BAC 的平分线，∴AD 垂直平分BC ，∴BP =CP ，∴PC +PQ =PB +PQ ≥PQ ，∴当点B ，P ，Q 三点共线时，PC +PQ 取得最小值，最小值为BQ 的长，且当BQ ⊥AC 时，BQ 最小，∵S △ABC =12BC ⋅AD =12AC ⋅BQ ，∴12×12×8=12×10BQ ，∴BQ =9.6．故答案为：9.6【题型4】两定两动型；10.(22-23八年级上·湖北武汉·期末)如图，∠AOB =20°，M ，N 分别是边OA ，OB 上的定点，P ，Q 分别是边OB ，OA 上的动点，记∠OPM =α，∠OQN =β，当MP +PQ +QN 最小时，则关于α，β的数量关系正确的是()A.β-α=30°B.β+α=210°C.β-2α=30°D.β+α=200°【答案】D 【分析】如图，作M 关于OB 的对称点M ，N 关于OA 的对称点N ，连接M N 交OA 于Q ，交OB 于P ，则MP +PQ +QN 最小，易知∠OPM =∠OPM ′=∠NPQ ，∠OQP =∠AQN ′=∠AQN ，∠OQN =180°-20°-∠ONQ ，∠OPM =∠NPQ =20°+∠OQP ，∠OQP =∠AQN =20°+∠ONQ ，由此即可解决问题．PQ +QN 最小，解:由轴对称的性质得∠OPM =∠OPM ′=∠NPQ ，∠OQP =∠AQN ′=∠AQN ，∠OQN =180°-20°-∠ONQ ，∠OPM =∠NPQ =20°+∠OQP ，∠OQP =∠AQN =20°+∠ONQ ，∴α+β=180°-20°-∠ONQ +20°+20°+∠ONQ =200°．故选：D ．【点拨】本题考查轴对称-最短问题、三角形的内角和定理．三角形的外角的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．【变式】(20-21八年级上·天津·期末)如图，∠AOB =25°，点M ，N 分别是边OA ，OB 上的定点，点P ，Q 分别是边OB ，OA 上的动点，记∠MPQ =α，∠PQN =β，当MP +PQ +QN 的值最小时，β-α的大小=_______(度)．【答案】50【分析】本题主要考查最短路径问题、轴对称的性质，三角形外角的性质，作M 关于OB 的对称点M ，N 关于OA 的对称点N ，连接M N ，交OB 于点P ，交OA 于点Q ，连接MP ，QN ，可知此时MP +PQ +QN 最小，此时∠OPM =∠OPM =QPN ，∠OQP =∠AQN =∠AQN ，再根据三角形外角的性质和平角的定义即可得出结论．解：作M 关于OB 的对称点M ，N 关于OA 的对称点N ，连接M N ，交OB 于点P ，交OA 于点Q ，连接MP ，QN ，如图所示．根据两点之间，线段最短，可知此时MP +PQ +QN 最小，即MP +PQ +QN =M N ，∴∠OPM =∠OPM =QPN ，∠OQP =∠AQN =∠AQN ，∵∠MPQ =α，∠PQN =β，∴∠QPN =12180°-α ，∠OQP =12180°-β ，∵∠QPN =∠AOB +∠OQP ，∠AOB =25°,∴12180°-α =25°+12180°-β ，∴β-α=50°，故答案为：50．【题型5】一定两动(等线段)转化型；11.(23-24九年级下·广西南宁·开学考试)如图，△ABC 是等边三角形，AB =4．过点A 作AD ⊥BC 于点D ，点P 是直线AD 上一点，以CP 为边，在CP 的下方作等边△CPQ ，连接DQ ，则DQ 的最小值为．【答案】1【分析】连接BQ ，先证△ACP ≌△BCQ (SAS )，则可得∠CBQ =∠CAP =30°，由此可知Q 点在过B 点且与BC 成30°角的直线上运动．根据垂线段最短可知，当DQ ⊥BQ 时，DQ 最小，求出DQ 的值即可．本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，以及垂线段最短．熟练掌握以上知识，找出Q 点的运动轨迹是解题的关键．解：连接BQ ，∵△ABC 和△CPQ 都是等边三角形，∴AC =BC ，PC =QC ，∠ACB =∠PCQ =60°，∴∠ACB -∠PCB =∠PCQ -∠PCB ，即∠ACP =∠BCQ ，∴△ACP ≌△BCQ (SAS )，∴∠CBQ =∠CAP ，∵△ABC 是等边三角形，AB =4，∴BC =AB =4，∠BAC =60°，∵AD ⊥BC ，∴BD =DC =12BC =2，∠CAP =12∠BAC =30°，∴∠CBQ =30°，∴Q 点在过B 点且与BC 成30°角的直线上运动．当DQ ⊥BQ 时，DQ 最小，此时DQ =12BD =1，∴DQ 的最小值为1．故答案为：1．12.(23-24八年级下·湖北武汉·阶段练习)如图，在Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AC =6，BC =10，D 、E 分别是AB 、BC 上的动点，且CE =BD ，连接AE 、CD ，则AE +CD 的最小值为．【答案】234【分析】本题主要考查了全等三角形的判定及性质，勾股定理，两点之间，线段最短，过点C 作CN ∥AB 且使CN =BC ，连接EN ，AN ，证明△CEN ≌△BDC SAS ，得EN =DC 进而可得AE +CD =AE +EN ，再由两点之间线段最短可得：AE +EN ≥AN ，所以当点E 在AN 上时，AE +EN 有最小值,即AE +CD 有最小值为AN ，利用勾股定理计算即可，熟练掌握相关知识点是解题的关键．解：过点C 作CN ∥AB 且使CN =BC ，连接EN ，AN ，∵CN ∥AB ，∴∠ECN =∠ABC ，∠ACN =180°-∠BAC =90°，在△CEN 和△BDC 中，EC =BD∠ECN =∠DBC CN =BC，∴△CEN ≌△BDC SAS ，∴EN =DC ，∴AE +CD =AE +EN ，由两点之间线段最短可得：AE +EN ≥AN ，所以当点E 在AN 上时，AE +EN 有最小值,即AE +CD 有最小值为AN ，∵AC =6，BC =CN =10，∴Rt △ACN 中，AN =AC 2+CN 2=62+102=234，∴AE +CD 最小值为：234，故答案为：234．13.(2024·安徽合肥·二模)如图，△ABC 和△ADE 都是等腰三角形，且∠BAC =∠DAE =120°，AB =8，O 是AC 的中点，若点D 在直线BC 上运动，连接OE ，则在点D 运动过程中，OE 的最小值为()A.42B.433C.32D.2【答案】D 【分析】设AB 的中点为Q ，连接DQ ，过点Q 作QH ⊥BC 于H ，证△AQD 和△AOE 全等得QD =OE ，因此当QD 为最小时，OE 为最小，根据“垂线段最短”得QD ≥QH ，故点D 与点H 重合时，QD 为最小，最小值为QH 的长，然后在Rt △BQH 中求出QH 的长即可．解：设AB 的中点为Q ，连接DQ ，过点Q 作QH⊥BC 于H ，如下图所示：∵△ABC 和△ADE 都是等腰三角形，且∠BAC =∠DAE =120°，∴AB =AC ，AD =AE ，∠QAD +∠DAC =∠DAC +∠OAE =120°，∴∠QAD =∠OAE ，∵点Q 是AB 的中点，点O 是AC 的中点，AB =AC ，∴AQ =AO ，在△AQD 和△AOE 中，AQ =AO∠QAD =∠OAE AD =AE，∴△AQD ≌△AOE (SAS )，∴QD =OE ，∴当QD 为最小时，OE 为最小，∵点Q 为AB 的中点，AB =8，点D 在直线BC 上运动，∴根据“垂线段最短”得：QD ≥QH ，∴当点D 与点H 重合时，QD 为最小，最小值为QH 的长，在△ABC 中，AB =AC =8，∠BAC =120°，∴∠B =∠C =12(180°-∠BAC )=30°，在Rt △BQH 中，∠B =30°，BQ =12AB =4，∴QH =12BQ =2，∴QD 的最小值为2，即OE 的最小值为2.故选：D ．【点拨】此题主要考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，垂线段的性质，熟练掌握等腰三角形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，理解垂线段最短是解决问题的关键，难点是正确地作出辅助线构造全等三角形和直角三角形．第三部分【中考链接与拓展延伸】【题型6】直通中考14.(2023·辽宁锦州·中考真题)如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠ABC =30°，AC =4，按下列步骤作图：①在AC 和AB 上分别截取AD 、AE ，使AD =AE ．②分别以点D 和点E 为圆心，以大于12DE 的长为半径作弧，两弧在∠BAC 内交于点M ．③作射线AM 交BC 于点F ．若点P 是线段AF 上的一个动点，连接CP ，则CP +12AP 的最小值是．【答案】23【分析】过点P 作PQ ⊥AB 于点Q ，过点C 作CH ⊥AB 于点H ，先利用角平分线和三角形的内角和定理求出∠BAF =30°，然后利用含30°的直角三角的性质得出PQ =12AP ，则CP +12AP =CP +PQ ≥CH ，当C 、P 、Q 三点共线，且与AB 垂直时，CP +12AP 最小，CP +12AP 最小值为CH ，利用含30°的直角三角的性质和勾股定理求出AB ，BC ，最后利用等面积法求解即可．解：过点P 作PQ ⊥AB 于点Q ，过点C 作CH ⊥AB 于点H ，由题意知：AF 平分∠BAC ，∵∠ACB =90°，∠ABC =30°，∴∠BAC =60°，∴∠BAF =12∠BAC =30°，∴PQ =12AP ，∴CP +12AP =CP +PQ ≥CH ，∴当C 、P 、Q 三点共线，且与AB 垂直时，CP +12AP 最小，CP +12AP 最小值为CH ，∵∠ACB =90°，∠ABC =30°，AC =4，∴AB =2AC =8，∴BC =AB 2-AC 2=43，∵S △ABC =12AC ⋅BC =12AB ⋅CH ，∴CH =AC ⋅BC AB =4×438=23，1故答案为：23．【点拨】本题考查了尺规作图-作角平分线，含30°的直角三角形的性质，勾股定理等知识，注意掌握利用等积法求三角形的高或点的线的距离的方法．15.(2020·新疆·中考真题)如图，在△ABC 中，∠A =90°,∠B =60°,AB =4，若D 是BC 边上的动点，则2AD+DC 的最小值为．【答案】12【分析】过点C 作射线CE ，使∠BCE =30°，再过动点D 作DF ⊥CE ，垂足为点F ，连接AD ，在Rt △DFC 中，∠DCF =30°，DF =12DC ，2AD +DC =2AD +12DC =2(AD +DF )当A ，D ，F 在同一直线上，即AF ⊥CE 时，AD +DF 的值最小，最小值等于垂线段AF 的长．解：过点C 作射线CE ，使∠BCE =30°，再过动点D 作DF ⊥CE ，垂足为点F ，连接AD ，如图所示：在Rt △DFC 中，∠DCF =30°，∴DF =12DC ，∵2AD +DC =2AD +12DC =2(AD +DF )，∴当A ，D ，F 在同一直线上，即AF ⊥CE 时，AD +DF 的值最小，最小值等于垂线段AF 的长，此时，∠B =∠ADB =60°，∴△ABD 是等边三角形，∴AD =BD =AB =4，在Rt △ABC 中，∠A =90°，∠B =60°，AB =4，∴BC =8，∴DC =4，∴DF =12DC =2，∴AF =AD +DF =4+2=6，∴2(AD +DF )=2AF =12，∴2AD +DC 的最小值为12，故答案为：12．【点拨】本题考查垂线段最短、等边三角形的判定和性质，含30度的直角三角形等知识，解题的关键是学会添加辅助线，构造数学模型，学会用转化的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题．【题型7】拓展延伸16.(2024·辽宁葫芦岛·二模)在△ABC 中，∠ABC =60°，BC =4，AC =5，点D ，E 在AB ，AC 边上，且AD=CE ，则CD +BE 的最小值是．【答案】61【分析】本题考查两点之间线段最短、勾股定理，全等三角形的性质和判定等知识，学会构造全等三角形解决问题是解题的关键．如图作CK∥AB，使得CK=CA．作BG⊥KC交KC的延长线于G．首先证明EK=CD，可得CD+BE =EK+EB≥BK，推出CD+BE的最小值为BK的长．解：如图作CK∥AB，使得CK=CA．作BG⊥KC交KC的延长线于G．∵CK∥AB，∴∠KCE=∠A，∵CK=CA，CE=AD，∴△CKE≌△CAD SAS，∴CD=KE，∵CD+BE=EK+EB≥BK，∴CD+BE的最小值为BK的长，∵KG∥AB，∴∠GCB=∠ABC=60°，∴∠CBG=90°-∠GCB=30°，在Rt△BCG中，∵∠G=90°，BC=4，∴CG=12BC=2，BG=BC2-CG2=23，∴GK=KC+CG=AC+CG=5+2=7，在Rt△KBG中，BK=GK2+BG2=72+(23)2=61．故答案为：61．17.(23-24八年级上·湖北武汉·阶段练习)如图，等腰△ABC中，∠BAC=100°，BD平分∠ABC，点N为BD上一点，点M为BC上一点，且BN=MC，若当AM+AN的最小值为4时，AB的长度是．【答案】4【分析】由等腰△ABC中，∠BAC=100°，可得∠ABC=∠ACB=180°-∠BAC2=40°，由BD平分∠ABC，可得∠ABD=12∠ABC=20°，如图，作∠BCE=∠ABD=20°，使CE=AB，连接EM，则∠ACE=∠ACB+E三点共线时，AM+AN最小，即AE=4，证明△ACE是等边三角形，则AC=AE=4，进而可求AB．解：∵等腰△ABC中，∠BAC=100°，=40°，∴∠ABC=∠ACB=180°-∠BAC2∵BD平分∠ABC，∠ABC=20°，∴∠ABD=12如图，作∠BCE=∠ABD=20°，使CE=AB，连接EM，∴∠ACE=∠ACB+∠BCE=60°，∵CE=AB，∠BCE=∠ABD，MC=BN，∴△CEM≌△BAN SAS，∴ME=AN，CE=AB，∴AM+AN=AM+ME，∴当A、M、E三点共线时，AM+AN最小，即AE=4，∵CE=AC，∠ACE=60°，∴△ACE是等边三角形，∴AC=AE=4，∴AB=4，故答案为：4．【点拨】本题考查了等腰三角形的性质，角平分线，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质等知识．熟练掌握等腰三角形的性质，角平分线，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质是解题的关键．。

初中数学将军饮马问题的六种常见题型汇总

初中数学将军饮马问题的六种常见模型将军饮马问题——线段和最短一．六大模型1.如图，直线l和l的异侧两点A、B，在直线l上求作一点P，使P A+PB最小。

2.如图，直线l和l的同侧两点A、B，在直线l上求作一点P，使P A+PB最小。

3.如图，点P是∠MON内的一点，分别在OM，ON上作点A，B。

使△P AB的周长最小4.如图，点P，Q为∠MON内的两点，分别在OM，ON上作点A，B。

使四边形P AQB的周长最小。

5.如图，点A是∠MON外的一点，在射线ON上作点P，使P A与点P到射线OM的距离之和最小第 1 页共10 页第 2 页共 10 页 6. .如图，点A 是∠MON 内的一点，在射线ON 上作点P ，使P A 与点P 到射线OM 的距离之和最小二、常见题目【1】、三角形1．如图，在等边△ABC 中，AB = 6，AD ⊥BC ，E 是AC 上的一点，M 是AD 上的一点，AE =2，求EM +EC 的最小值解： ∵点C 关于直线AD 的对称点是点B ，∴连接BE ，交AD 于点M ，则ME +MD 最小，过点B 作BH ⊥AC 于点H ，则EH = AH – AE = 3 – 2 = 1，BH =22BC CH -=2263-=33在直角△BHE 中，BE =22BH EH - =22(33)1+=272．如图，在锐角△ABC 中，AB =42，∠BAC ＝45°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，M 、N 分别是AD 和AB 上的动点，则BM +MN 的最小值是____．解：作点B 关于AD 的对称点B '，过点B '作B 'E ⊥AB 于点E ，交AD 于点F ，则线段B 'E 长就是BM ＋ＭＮ的最小值在等腰Rt △AEB '中，根据勾股定理得到，B 'E = 43．如图，△ABC中，AB=2，∠BAC=30°，若在AC、AB上各取一点M、N，使BM+MN的值最小，则这个最小值解：作AB关于AC的对称线段AB'，过点B'作B'N⊥AB，垂足为N，交AC于点M，则B'N = MB'+MN = MB+MN. B'N的长就是MB+MN的最小值，则∠B'AN = 2∠BAC= 60°，AB' = AB = 2，∠ANB'= 90°，∠B' = 30°。

初中数学58种模型之12、“将军饮马”三种模型详解

当两淀点A 、R 在克罐/何侧时，在亞线』上携一点几便|阳一户创最大°将军饮马”三种模型"将军饮马"问题主要利用构造对称图形解决求两条线段和差、三角形周长、四边形周长等一类最值问题，会与直线、角、三角形、四边形、圆、抛物线等图形结合，在近年的中考和竞赛中经常出现，而且大多以压轴题的形式出现。

晋两定点A.U 在点线F 异創时-在肖践f 上找一点Pt 使PA+PB 锻小*述接也交h 纱/于点P.点卩閒为所求作的点.肖两远点上B 在直雜I 同测时,在直刻上拥一点P,使PA+PB 最小'作庖U 芸于宜线F 的对称点V ■连楼AB'交直线于点P.点P 即为用求作的点"―二I \PA-P^\荊卩址大值洵丽。

连接班并延长交直戦』十点几点卩即为所求作的点。

当两定点仏k 在直找门司侧时，在直线』上找一点人使PA-PB\^扎作点B 关于直统』的对称点B'h 谨接恋’井延快交宜鏡于点巴点F 即为所求作的点。

皓论PAPI1的颯小°PA-PB 的盘小值为AB'□冋-卿的最大值为上的动点，则户创的圮大值是多少？A ■B ■\A\PA-PB\的 1当两定点限廿在宜线/同删时，在直线丿上找--点片使f4-砂|最小“ 叫连接馭作■-朋的垂直平分钱交直线f 于点P ，点卩即沟所求作的点-最小值为叽模型实例例1一如图"止厅形的面积是1氛是等边三博形，点E 在止方刑ABCI ）内“在对角纯蚯上有一点卩*则PD+FE 的艮小值为°^12.如圜已S11AABC 为辱展宜角匸角形…怔-氏=4”ZBCD 15".P 拘匚D热搜掃练I.如虱^AABC 中「ZACB-fJO 3，乃是就边的中点，II 是屈边b -动直+则LCIED 的最小悄是°])2・如图.点C的坐标为（3,y）,当△ABC的周长最短时，求丿的值。

3.如图.正方形ABCD中,AB-7,M是DCI：的一点，且DM-3,N是AC上的一动点.求|DN-MN|的嚴小值与战大值.△PCD 周氏最小为点P 在ZAOB 的内部，在0B 上找点D,在0A 上找点C,使得△PCD 周长最小。

初中数学常见模型之将军饮马

详细描述
假设有一个图形，我们需要将其放置在直线 l上，使得其面积最大。这个问题的解决方
法是利用将军饮马模型，通过轴对称找到对称点，然后利用相似三角形的性质求出最大
面积。
练习题三：求最小成本
总结词
这道题目要求我们利用将军饮马模型求出某工程的最小成本。
详细描述
假设有一个工程需要在直线l上完成，我们需要选择合适的点作为工程地点，使得成本最小。这个问题的解决方法是利用将军饮马模型，通过轴对称找到对称点，然后利用最小成本原理求出最小成本。
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解决实际问题
将军饮马模型也可以用于解决一些实际问题，如求物体的重心、平衡点等。
模型的重要性
培养数学思维
通过学习将军饮马模型，学生可以培养数学思维，提高解决数学问题的能力。
拓展数学知识
将军饮马模型是初中数学中的重要内容，对于拓展学生的数学知识具有重要意义。
提高解题效率
掌握将军饮马模型可以帮助学生更快地解决数学问题，提高解题效率。
04 将军饮马模型的常见题型
最短路径问题
总结词
在几何图形中，求两点之间的最短距离是常见的问题。
详细描述
将军饮马模型常用于解决这类问题，通过构建对称点，将两点之间的距离转化为两点与对称点之间的距离和的最小值。
最大面积问题
总结词
在给定条件下，求几何图形的最大面积也是常见的将军饮马模型应用。
三角形不等式
三角形不等式是指在任何三角形中，任意一边的长度都小于另外两边之和。这个原理在解决最优化问题时非常有用，例如在寻找两个点之间的最短路径时。
在将军饮马模型中，三角形不等式常常被用来确定最短路径的长度。例如，当一个将军要从一个地方走到另一个地方时，他可以选择走直线，也可以选择绕弯。利用三角形不等式，我们可以确定哪种路径更短。

初中数学几何《将军饮马》模型题汇编含答案解析

微专题将军饮马模型通关专练一、单选题1(2023·福建厦门·校考二模)如图，正方形ABCD的边长为4，点E、F分别为BC、CD的中点，点P是对角线BD上的动点，则四边形PECF周长的最小值为()A.4B.4+22C.8D.4+42【答案】C【分析】作E关于BD的对称点E ，连接E F交BD于点O，根据轴对称性质及两点之间，线段最短，得到四边形PECF的周长最小，即OE+OF最小，再利用三角形三边关系解题即可．【详解】解：如图，作E关于BD的对称点E ，连接E F交BD于点O，故点P与点O重合时，四边形PECF的周长最小，即OE+OF最小，∵E和E 关于BD对称，则OE=OE ,EO+OF=E O+OF=4连接E P，同样E P=PE，EP+PF=E P+PF>E F而E F=E O+OF=4，即EP+PF>E F所以当P与O重合时，四边形PECF周长最小，即为4+2+2=8，故选：C．【点睛】本题考查正方形的性质、轴对称与最值问题等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．2(2023秋·八年级课时练习)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BE平分∠ABC，ED⊥AB与点D，∠A=30°，AE=6cm，那么CE等于()A.4cmB.2cmC.3cmD.1cm【答案】C【详解】∵ED⊥AB，∠A=30°，∴AE=2ED，∵AE=6cm，∴ED=3cm.∵∠ACB=90°，BE平分∠ABC，∴ED=CE，∴CE=3cm.故选C.3(2023·福建福州·八年级福州日升中学校考期中)如图，在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，EF 垂直平分BC，点P为直线EF上的任一点，则AP+BP的最小值是()A.7B.6C.5D.4【答案】D【分析】根据题意知点B关于直线EF的对称点为点C，故当点P与点D重合时，AP+BP的最小值，求出AC长度即可．【详解】解：∵EF垂直平分BC，∴B、C关于EF对称，设AC交EF于D，∴当P和D重合时，AP+BP的值最小，最小值等于AC的长，AP+BP的最小值是4.故选：D．【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，轴对称-最短路线问题的应用，解此题的关键是找出P的位置．4(2023秋·福建福州·八年级校考阶段练习)如图，等边△ABC中，BD⊥AC于D，QD=15，点P、Q 分别为AB、AD上的两个定点且BP=AQ=20，在BD上有一动点E使PE+QE最短，则PE+QE的最小值为()A.35B.40C.50D.60【答案】C【分析】作点Q关于BD的对称点Q′，连接PQ′交BD于E，连接QE，此时PE+EQ的值最小．最小值PE+PQ=PE+EQ′=PQ′．【详解】解：如上图，∵△ABC是等边三角形，∴BA=BC，∵BD⊥AC，∴AD=DC=AQ+QD=20+15=35cm，∴AB=AC=2AD=70，作点Q关于BD的对称点Q′，连接PQ′交BD于E，连接QE，此时PE+EQ的值最小．最小值为PE+ PQ=PE+EQ′=PQ′，∴QD=DQ′=15(cm)，∴AQ′=AD+DQ′=35+15=50(cm)∵BP=20(cm)，∴AP=AB-BP=70-20=50(cm)∴AP=AQ′=50(cm)，∵∠A=60°，∴△APQ′是等边三角形，∴PQ′=PA=50(cm)，∴PE+QE的最小值为50cm．故选：C．【点睛】本题考查了等边三角形的性质和判定，轴对称最短问题等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题．5(2023春·福建龙岩·七年级龙岩初级中学校考阶段练习)如图，点P是直线l外一点，A，B，C，D都在直线上，下列线段最短的是()A.PAB.PCC.PBD.PD【答案】C【分析】根据点到直线的距离可直接进行排除选项．【详解】解：∵点P是直线l外一点，A，B，C，D都在直线上，∴PB<PC<PA<PD，∴线段最短的是PB；故选C．【点睛】本题主要考查点到直线的距离，熟练掌握点到直线的距离是解题的关键．6(2023秋·福建宁德·八年级统考期末)如图，在平面直角坐标系中，点A(-2，4)，B(4，2)，在x轴上取一点P，使点P到点A和点B的距离之和最小，则点P的坐标是()A.(-2，0)B.(0，0)C.(2，0)D.(4，0)【答案】C 【分析】作A 关于x 轴的对称点C ，连接AC 交x 轴于D ，连接BC 交交x 轴于P ，连接AP ，此时点P 到点A 和点B 的距离之和最小，求出C (的坐标，设直线CB 的解析式是y =kx +b ，把C 、B 的坐标代入求出解析式是y =x -2，把y =0代入求出x 即可．【详解】如图：作A 关于x 轴的对称点C ，连接AC 交x 轴于D ，连接BC 交交x 轴于P ，连接AP ，则此时AP +PB 最小，即此时点P 到点A 和点B 的距离之和最小，∵A (-2，4)，∴C (-2，-4)，设直线CB 的解析式是y =kx +b ，把C 、B 的坐标代入得：{2=4k +b -4=-2k +b，解得：k =1，b =-2，∴y =x -2，把y =0代入得：0=x -2，x =2，即P 的坐标是(2，0)，故选C ．【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，一次函数的解析式，坐标与图形性质等知识点，关键是能画出P 的位置，题目比较典型，是一道比较好的题目．7(2023·福建·校联考零模)如图，等腰Rt △ABC 中，AB ⊥AC 于A ，AB =CA =DC =2，M 为△ABC 内一点，当MA +MB +MC 最短时，在直线BM 上有一点E ，连接CE ．12BE +CE 的最小值为()A.πB.263C.63D.6【答案】D 【分析】由M 为△ABC 内一点，当MA +MB +MC 最短时，得M 为△ABC 的费马点，以AC 为边向外作正三角形ACF ，据费马点的特征，直线BM 和直线BF 为同一条直线，由题意容易求得∠MBC =30°，以BF为边，B 为顶点向∠MBC 的外侧作∠FBG ，使∠FBG =30°，过E 作BG 的垂线，垂足为H ，显然12BE +CE =CE +EH ；再过点C 作BG 的垂线，垂足为H ，由垂线段最短，知12BE +CE =CE +EH ≥CH ；因为易得BC =22，又∠GBC =60°就容易求得CH 就是12BE +CE 的最小值．【详解】解：如下图以AC 为边向外作正三角形ACF ，以BF 为边，B 为顶点向∠MBC 的外侧作∠FBG ，使∠FBG =30°，过E 作BG 的垂线，垂足为H ，过点C 作BG 的垂线，垂足为H由∠FBG =30°，HE ⊥BG 知HE =12BE ∴12BE +CE =CE +EH ≥CH 下面计算CH∵AB =AC =2且AB ⊥AC∴BC =22；∵M 为△ABC 内一点，当MA +MB +MC 最短时∴M 为△ABC 的费马点由费马点的特点知BM 与BF 为同一条直线∵正三角形ACF∴∠CAF =60°又AB ⊥AC∴∠BAF =150°又AB =AC =AF∴∠ABF =15°又∠ABC =45°∴∠FBC =30°∴∠GBC =60°在RT △BCH 中CH =BC sin ∠GBC =BC sin60°=22⋅32=6∴12BE +CE 的最小值为6．故选：D ．【点睛】此题是几何最值问题--费马点和胡不归的综合．确定最短长度时，要据30°角所对直角边是斜边的一半把问题转化为“垂线段最短”来解决；计算最短值时要熟悉费马点的性质．8(2023秋·福建厦门·八年级统考期末)如图，在四边形ABCD 中，∠C =α°，∠B =∠D =90°，E ，F 分别是BC ，DC 上的点，当△AEF 的周长最小时，∠EAF 的度数为()A.αB.2αC.180-αD.180-2α【答案】D【分析】要使△AEF的周长最小，即利用点的对称，使三角形的三边在同一直线上，作出A关于BC和CD 的对称点A ，A″，即可得出∠AA E+∠A″=α，即可得出答案．【详解】解：作A关于BC和CD的对称点A ，A″，连接A A″，交BC于E，交CD于F，∴AF=A″F，AE=A E，∴∠EA A=∠EAA ，∠FAD=∠A″，则A A″即为△AEF的周长最小值，∵∠C=α，∠ABC=∠ADC=90°∴∠DAB=180°-α，∴∠AA E+∠A″=180°-180°-α=α，∵∠EA A=∠EAA ，∠FAD=∠A″，∴∠EAA +∠A″AF=α，∴∠EAF=180°-α-α=180°-2α，故选：D．【点睛】本题考查的是轴对称-最短路线问题，涉及到平面内最短路线问题求法以及三角形的外角的性质和垂直平分线的性质等知识，根据已知得出E，F的位置是解题关键．9(2023秋·八年级单元测试)如图，点A，B在直线l的同侧，若要用尺规在直线l上确定一点P，使得AP+BP最短，则下列作图正确的是()A. B.C. D.【答案】C【详解】解：要得到满足题意的点，首先要作A点(或B点)关于直线l的对称点，然后将此对称点与B(A)点连接，所得连线与直线l的交点即为所求点，观察选项，只有C符合.故选：C．10(2023·福建·九年级专题练习)如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，BC=4，tan∠ABC=4，AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点．若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为()A.6B.8C.10D.12【答案】C 【分析】连接AD ，根据等腰三角形三线合一的性质，得到AD ⊥BC ，利用正切的定义解得AD BD=4，再由垂直平分线的性质得到点C 关于直线EF 的对称点为点A ，根据轴对称-最短路线解题即可．【详解】解：连接AD ，∵△ABC 是等腰三角形，点D 是BC 边的中点，∴AD ⊥BC ，∵BC =4，∴BD =2，∴tan ∠ABC =AD BD =4，解得AD =8，∵EF 是线段AC 的垂直平分线，∴点C 关于直线EF 的对称点为点A ，∴AD 的长为CM +MD 的最小值，∴△CDM 的周长最短=(CM +MD )+CD =AD +12BC =8+12×4=10．故选：C ．【点睛】本题考查轴对称-最短路线问题、等腰三角形三线合一的性质、正切等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．二、填空题11(2023春·福建福州·九年级统考期中)在平面直角坐标系xOy 中，点B ，P ，Q 的坐标分别为5,0 ，a ,2 ，a +2,2 ，则△BPQ 周长的最小值为．【答案】25+2【分析】由题意，PB =(a -5)2+22，PQ =2，BQ =(a -3)2+22，推出当PB +BQ =(a -5)2+22+(a -3)2+22最小时，△BPQ 的周长最小，欲求PB +BQ 的最小值，相当于在x 轴上找一点E a ,0 ，使得点E 到F 5,2 ，G 3,2 的距离和最小．【详解】解：∵B 5,0 ，P a ,2 ，Q a +2,2 ，∴PB =(a -5)2+22，PQ =2，BQ =(a -3)2+22，∴当PB +BQ =(a -5)2+22+(a -3)2+22最小时，△BPQ 的周长最小，欲求PB +BQ 的最小值，相当于在x 轴上找一点E a ,0 ，使得点E 到F 5,2 ，G 3,2 的距离和最小，如图，作点G 关于x 轴的对称点L ，连接FL 交x 轴于点E ，此时EG +FE 的值最小，∵L 3,-2 ，EG +EF 的最小值=FL =22+42=25，∴△BPQ 的周长的最小值为25+2．故答案为：25+2．【点睛】本题考查轴对称最短问题，勾股定理，坐标与图形的性质等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．12(2023秋·福建南平·八年级统考期末)如图，∠AOB =22°，点M ，N 分别是边OA ，OB 上的定点，点P ，Q 分别是边OA ，OB 上的动点，记∠MQP =α，∠OPN =β，当MQ +QP +PN 最小时，则α与β的数量关系为．【答案】β-α=44°【分析】作M 关于OB 的对称点M ，N 关于OA 的对称点N ，连接M N 交OA 于P ，交OB 于Q ，则MQ +QP +PN 最小，易知∠OQM =∠OQM =∠NQP ，∠OPQ =∠APN =∠APN ，根据三角形的外角的性质和平角的定义即可得到结论．【详解】解：如图，作M 关于OB 的对称点M ，N 关于OA 的对称点N ，连接M N 交OA 于P ，交OB 于Q ，则MQ +QP +PN 最小，∴∠OQM =∠OQM =∠NQP ，∠OPQ =∠APN =∠APN ，∴∠PQN =12180°-α =∠AOB +∠MPQ =22°+12180°-β ，∴β-α=44°，故答案为：β-α=44°．【点睛】本题考查轴对称-最短问题、三角形的内角和定理．三角形的外角的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．13(2023秋·福建莆田·八年级统考期中)如图，在锐角△ABC 中，∠ACB =50°，边AB 上有一定点P ,M ,N 分别是AC 和BC 边上的动点，当△PMN 的周长最小时，∠MPN 的度数是．【答案】80°【分析】根据对称的性质，易求得∠C +∠EPF =180°，由∠ACB =50°，易求得∠D +∠G =50°，继而求得答案；【详解】∵PD ⊥AC ，PG ⊥BC ，∴∠PEC =∠PFC =90°，∴∠C +∠EPF =180°，∵∠C =50°，∵∠D +∠G +∠EPF =180°，∴∠D +∠G =50°，由对称可知：∠G =∠GPN ，∠D =∠DPM ，L∴∠GPN +∠DPM =50°，∴∠MPN =130°-50°=80°，故答案为：80°．【点睛】此题考查了最短路径问题以及线段垂直平分线的性质，关键是注意掌握数形结合思想的应用．14(2023秋·福建厦门·八年级统考期末)如图，在△ABC 中，AB =BC ，AC =2cm ，S △ABC =3cm 2，边BC 的垂直平分线为l ，点D 是边AC 的中点，点P 是l 上的动点，则△PCD 的周长的最小值是．【答案】4【分析】连接BD ，由于AB =BC ，点D 是AC 边的中点，故BD ⊥AC ，再根据三角形的面积公式求出BD 的长，再根据直线l 是线段BC 的垂直平分线可知，点C 关于直线l 的对称点为点B ，故BD 的长为CP +PD 的最小值，由此即可得出结论．【详解】解：连接BD ，∵AB =BC ，点D 是BC 边的中点，∴BD ⊥AC ，∴S △ABC =12AC •BD =12×2×BD =3，解得BD =3，∵直线l 是线段BC 的垂直平分线，∴点C 关于直线l 的对称点为点B ，∴AB的长为CP+PD的最小值，AC=3+1=4．∴△CDP的周长最短=(CP+PD)+CD=BD+12故答案为：4．【点睛】本题考查的是轴对称-最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．15(2023秋·八年级课时练习)如图，在ΔABC中，AB=AC，点D，E都在边BC上，∠BAD=∠CAE，若BD=9，则CE的长为.【答案】9.【分析】根据等腰三角形的性质及全等三角形的判定与性质即可求解.【详解】因为△ABC是等腰三角形，所以有AB=AC,∠BAD=∠CAE,∠ABD=∠ACE,所以△ABD≅△ACE(ASA),所以BD=EC，EC=9.【点睛】此题主要考查等腰三角形的性质，解题的关键是熟知全等三角形的判定与性质.16(2023秋·福建三明·八年级统考期末)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点C在直线MN上，∠BCN=30°，点P为MN上一动点，连接AP，BP．当AP+BP的值最小时，∠CBP的度数为度．【答案】15【分析】如图，作B关于MN的对称点D，连接AD,BD,CD，AP+BP的值最小，则MN交AD于P，由轴对称易证∠CBP=∠CDP，结合∠BCN=30°证得△BCD是等边三角形，可得AC=CD，结合已知根据等腰三角形性质可求出∠CDP，即可解决问题．【详解】如图，作B关于MN的对称点D，连接AD,BD,CD，∵AP+BP的值最小，则MN交AD于P，由轴对称可知：CB=CD，PB=PD，∴∠CBD=∠CDB,∠PBD=∠PDB,∴∠CBP=∠CDP，∵∠BCN=30°，∴∠BCD=2∠BCN=60°，∴△BCD是等边三角形，∵AC=BC，∴AC=CD，∴∠CAD=∠CDA，∵∠ACB=90°，∠BCD=60°，∴∠CAD=∠CDA=12180°-∠ACB-∠BCD=15°，∴∠CBP=∠CDP=15°，故答案为：15．【点睛】本题考查等边三角形判定和性质、轴对称的性质、最短路径问题、等腰三角形的性质；熟练掌握相关性质的联系与运用，会利用最短路径解决最值问题是解答的关键．三、解答题17(2023秋·福建南平·八年级福建省南平第一中学校考期中)△ABC在平面直角坐标系中的位置如下图所示，点A(1,1)，点B(4,2)，点C(3,4)．(1)画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出点A1,B1,C1的坐标．(2)y轴上是否存在一点P，使得PA+PB的和最小．若存在，请你找出点P的位置．(保留作图痕迹)(3)求出△A1B1C1的面积．【答案】(1)画图见解析，A1-1,1，B1-4,2，C1-3,4(2)见解析(3)72【分析】(1)根据轴对称的性质即可在图中画出△ABC关于x轴的对称图形△A1B1C1，进而得点A1、B1、C1的坐标；(2)连接AB1或A1B，与y轴交点即为点P；(3)根据网格利用割补法计算即可．【详解】(1)解：如图，△A1B1C1即为所求；A1-1,1，B1-4,2，C1-3,4；(2)如图，点P 即为所求；(3)S △A 1B 1C 1=3×3-12×1×3-12×1×2-12×2×3=72．【点睛】本题考查了作图-轴对称变换，轴对称-最短路线问题，解决本题的关键是掌握轴对称的性质．18(2023春·福建泉州·七年级福建省泉州第一中学校考期末)如图，在正方形网格上有一个△ABC (三个顶点均在格点上)．(1)作△ABC 关于直线HG 的轴对称图形△A 1B 1C 1(不写作法)；(2)画出△ABC 中BC 边上的高AD ；(3)在HG 上画出点P ，使PB +PC 最小．【答案】(1)作图见解析；(2)作图见解析；(3)作图见解析．【分析】(1)根据轴对称的性质作图即可；(2)根据三角形的高的概念过点A 作AD 垂直于线段CB 的延长线，垂足为D 即可；(3)连接CB 1，交HG 于点P ，点P 即为所求．【详解】(1)解：如图1，△A 1B 1C 1为所求作的三角形；(2)解：如图2，过点A作AD垂直于线段CB的延长线，垂足为D，则线段AD就是△ABC中BC边上的高；(3)解：如图3，根据两点之间，线段最短，连接CB1，交HG于点P，点P即为所求．【点睛】本题考查作轴对称图形，作高、以及最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键．19(2023春·福建泉州·七年级福建省永春第一中学校考期末)(1)如图1，在△ABC中∠A=60º，BD、CE均为△ABC的角平分线且相交于点O.①填空：∠BOC=度；②求证：BC=BE+CD．(写出求证过程)(2)如图2，在△ABC中，AB=AC=m，BC=n，CE平分∠ACB．①若△ABC的面积为S，在线段CE上找一点M，在线段AC上找一点N，使得AM+MN的值最小，则AM+MN的最小值是．(直接写出答案)；　②若∠A=20°，则△BCE的周长等于．(直接写出答案)．【答案】(1)①120；②证明见解析；(2)①2sn(或m2-n24)；②m【详解】试题分析：(1)①根据三角形内角和定理得到∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB，则2∠BOC=360°-2∠OBC-2∠OCB，再根据角平分线的定义得∠ABC=2∠OBC，∠ACB=2∠OCB，则2∠BOC=360°-∠ABC-∠ACB，易得∠BOC=90°+12∠A，由∠A=60º即可得∠BOC的值；②采用截长法在BC上截取BF=BE，连接OF，由边角边证得△EBO≌△FBO，再由角边角证得△DCO ≌△FCO，即可得证；(2)①当AM⊥BC时，AM+MN的值最小；②在CA上截取CD=CB,以E为圆心EC为半径画弧，与AC交于点F，通过构造全等三角形，利用等腰三角形的判定和性质即可求解.试题解析：(1)①在△OBC中，∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB，∴2∠BOC=360°-2∠OBC-2∠OCB，∵BD、CE均为△ABC的角平分线，∴∠ABC=2∠OBC，∠ACB=2∠OCB，∴2∠BOC=360°-∠ABC-∠ACB，∴∠BOC=90°+12∠A，∵∠A=60º，∴∠BOC=90°+12×60º=120°；故答案为120°；②证明：由(1)①∠BOC=120°，∴∠BOE=∠COD=180°-120°=60°，在BC上截取BF=BE，连接OF，∵BD平分∠ABC，∴∠EBO=∠FBO，又∵BO=BO(公共边相等)∴△EBO≌△FBO(SAS)∴∠BOF=∠BOE=60°，∴∠COF=∠BOC-∠BOF=120°-60°=60°=∠COD，∵CE平分∠ACB，∴∠DCO=∠FCO，又∵CO=CO(公共边相等)∴△DCO ≌△FCO (ASA )∴CD =CF ，∴BC =BF +CF =BE +CD ；(2)①如图：当AM ⊥BC 时，与BC 交于点D ，过M 作MN ⊥AC 交AC 与点D ，∵CE 平分∠ACB ，∴DM =DN ，∴AD =AM +MD =AM +MN ,此时，AM +MN 的值最小，由S △ABC =12BC ·AD ，BC =n ，△ABC 的面积为S ，得AD =2s n，或∵AB =AC , AD ⊥BC , AB =AC =m ，BC =n ，∴BD =CD =n 2,在Rt △ACD 中，由勾股定理得AD =m 2-n 24；故答案为2s n(或m 2-n 24)；②如图：在CA 上截取CD =CB ,以E 为圆心EC 为半径画弧，与AC 交于点F ，∵AB =AC =m ，∠A =20°，∴∠B =∠C =80°,∵CE 平分∠ACB ,∴∠BCE =∠DCE =40°,∵CE =CE ,∴△BCE ≌△DCE ,∴∠CDE =∠B =80°,∠DEC =∠BEC =60°,BE =DE ,∴∠CDE =40°,∵EC =EF ,∴∠EFC =∠ECF =40°,∴∠DEF =∠CDE -∠DFE =40°,∴DE =DF ,∠AEF =∠DFE -∠A =40°-20°=20°,∴EF =AF ,∴BE =DF ,CE =AF ,∴△BCE 的周长=BC +CE +BE =CD +AF +DF =AC =m .点睛：此题考查了角平分线的定义和性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，最短路径问题等知识.解题的关键是添加正确的辅助线构造出全等三角形，对线段进行转化.20(2023秋·福建福州·八年级福建省福州第一中学校考期中)如图，△ABC 三个顶点的坐标分别为A 1,1 ，B 4,2 ，C 3,4 .(1)请画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；(2)在x轴上求作一点P，使△PAB的周长最小，请画出△PAB，并简要说明理由.【答案】(1)图见解析(2)图见解析【分析】(1)先根据轴对称性质找到A、B、C的对应点A1、B1、C1，再顺次连接即可画出图形；(2)作点B关于x轴对称的点B ，连接AB 交x轴于点P，连接AP，BP，即可得到结论；【详解】(1)解：如图，△A1B1C1即为所求；(2)解：作点B关于x轴对称的点B ，连接AB 交x轴于点P，连接AP，BP，则AP+BP=AP+B P=AB ，根据两点之间，线段最短，此时△PAB的周长最小，△PAB如图所示．【点睛】本题考查坐标与图形变换-轴对称、最短路径问题，能根据对称性质正确作出对称图形是解答的关键．21(2023春·福建三明·七年级统考期末)如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点△ABC(即三角形的顶点都在格点上)(1)在图中画出△ABC关于直线l对称的△A1B1C1；(2)在直线l上找出点P，使得△PBC周长最小，在图中标出点P的位置；(3)已知点D在格点上，且△BCD和△BCA全等，请画出所有满足条件的△BCD(点D与点A不重合)．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)见解析【分析】(1)找到△ABC关于直线l对称的点，再依次连接即可；(2)连接B1C，与直线l交于点P即可；(3)根据全等三角形的判定画图即可．【详解】(1)解：如图，△A1B1C1即为所求；(2)如图，点P即为所求；(3)如图，△BCD即为所求，共有3个．【点睛】此题主要考查了作图-轴对称变换，全等三角形的判定，最短路径，解题的关键是掌握相应的画图方法．22(2023秋·福建福州·八年级统考期中)如图，在平面直角坐标系中有一个△ABC．(1)写出△ABC各顶点的坐标；(2)画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；(3)在y轴上作出点P，使得AP+BP的值最小．【答案】(1)A(-4，5)，B(-3，1)，C(-1，3)(2)见解析(3)见解析【分析】(1)按要求写出横纵坐标即可；(2)关于y轴对称的时候，x值变成相反数，其余不变；(3)连接B和A的对称点A1，该直线与y轴的交点就是AP+BP值的最小【详解】(1)A(-4，5)，B(-3，1)，C(-1，3)；(2)如图△A1B1C1就是所求的图形；(3)如图所作的点P即为所求．【点睛】本题考查图形的对称，平面直角坐标系，熟练掌握轴对称求最短距离的方法是解题的关键．23(2023春·福建泉州·七年级统考期末)如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位，△ABC的三个顶点都在格点上．(1)在网格中画出△ABC向下平移4个单位得到的△A1B1C1；(2)在网格中画出△ABC关于直线m对称的△A2B2C2；(3)在直线m上画一点P，使得△ACP的周长最小．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)见解析【分析】(1)根据平移的性质分别作出点A、B、C平移后的对应点A1、B1、C1，再顺次连接即可得△A1B1C1；(2)根据轴对称的性质分别作出点A、B、C关于直线m的对称点A2、B2、C2，再顺次连接即可得△A2B2C2；(3)连接A2C交直线m于点P即可．(1)解：如图，△A1B1C1即为所求.(2)解：如图，△A2B2C2即为所求.(3)解：如图，点P即为所求.由(2)作图可知，点A与点A2是关于直线m的对称点，∴PA=PA2，∴PC+PA=PC+PA2=A2C，∴PC+PA最小，∵△ACP的周长=AC+PC+PA，∴△ACP的周长最小．【点睛】本题考查平移作图，作轴对称图形，利用轴对称求最小值，熟练掌握平移性质、轴对称的性质是解题的关键．24(2023秋·福建福州·七年级福建省福州第十九中学校考期末)如图，已知点A，B，C，D是不在同一直线上的四个点，请按要求画出图形．(1)画直线AB和射线CB；(2)连接AC，过点C画直线AB的垂线，垂足为E；(3)在直线AB上找一点P，连接PC、PD，使PC+PD的和最短．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)见解析【分析】(1)根据直线和射线的定义，即可求解；(2)根据垂线的定义，即可求解；(3)根据题意可得：PC+PD≥CD，从而得到当P、C、D三点共线时，PC+PD的和最短，即可求解．(1)解：直线AB和射线CB即为所求，如图所示；(2)如图，直线CE即为所求；(3)连接CD交AB于点P，如图所示，点P即为所求根据题意得：PC+PD≥CD，∴当P、C、D三点共线时，PC+PD的和最短．【点睛】本题主要考查了直线、射线、线段、垂线的定义，熟练掌握直线是两端都没有端点、可以向两端无限延伸、不可测量长度的线；射线是只有一个端点，它从一个端点向另一边无限延长不可测量长度的线；直线上两个点和它们之间的部分叫做线段；当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，即两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一直线的垂线，交点叫垂足是解题的关键．25(2023秋·福建南平·八年级统考期中)如图，在平面直角坐标中，△ABC各顶点都在小方格的顶点上．(1)画出△ABC关于x轴对称的图形△A1B1C1；写出△A1B1C1各顶点坐标A1；B1；C1(2)在y轴上找一点P，使PA+PB1最短，画出P点，并写出P点的坐标．(3)若网格中的最小正方形边长为1，则△A1B1C1的面积等于 .【答案】(1)见详解，A1(-2，-3)；B1(-3，-2)；C1(-1，-1)；(2)见详解，P(0，1)；(3)1.5．【分析】(1)直接利用轴对称图形的性质得出对应点位置进而得出答案；(2)直接利用对称点求最短路线的性质得出答案;(3)根据格点求出三角形的面积.【详解】解：(1)如图所示：△A1B1C1为所求作的三角形；(2)如图，点P的坐标为：(0，1)．(3)S△ABC=2×2-12×1×2-12×1×2-12×1×1=1.5【点睛】【点睛】此题主要考查了轴对称变换，正确得出对应点位置是解题关键．。

初中数学-将军饮马问题-公开课课件课件全文

抽象：如图，在直线MN上找一点P, 使得PA+PB最小？
A
M
B
P
N
思考:在前面研究几何问题的过程中，你是否遇到过与此相类似求线段的距离最短或者线段和最小的问题？请举例说明.
垂线段最短 m
思考:在前面研究几何问题的过程中，你是否遇到过与此相类似求线段的距离最短或者线段和最小的问题的问题？请举例说明.
使AC+CD+BD+AB最短。
问题特征：两线两定两动
解决方法：依据两点之间，线段最短,通过两次轴对称, 将三条折线段化为一条直线段.
8/25/ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ024
联系中考
(2019中考) 如图，∠AOB=30°,角内有一点P，PO=10cm，两边上各有一点Q、R（均不同于点O），则 △PQR的周长的最小值是＿＿
Q A
P
O
B
R
如图所示，直线MN表示一条铁路，铁路两旁各有一点A和B，表示两个工厂．要在铁路上建一货站，使
´
它到两厂距离之和最短，这个货站应建在何处？
P´ P
方法:在解决选择位置、求最短距离等问题时，通常转化为“两点之间线段最短”
问题:如图,另一位将军也骑马从城堡A到城堡B，途中马也要到小溪边饮水一次.问这位将军怎样走路程最短？
M
P
连接AP, 则PA´=PA，
A´
则PA+ PB= PA ´+ PB= A´B
在直线MN上任意取一点P´ 连接AP´,BP´,A´P´,
则AP´=A´P´，则AP´+BP´= A´P´+ BP´
△BA´P´中，A ´B < BP´+A´P´，

初中数学最值系列之将军饮马

最值系列之——将军饮马一、什么是将军饮马？【问题引入】“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李颀《古从军行》里的一句诗。

而由此却引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”。

【问题描述】如图，将军在图中点A处，现在他要带马去河边喝水，之后返回军营，问：将军怎么走能使得路程最短？A B将军军营河【问题简化】如图，在直线上找一点P使得P A+PB最小？【问题分析】这个问题的难点在于PA+PB是一段折线段，通过观察图形很难得出结果，关于最小值，我们知道“两点之间，线段最短”、“点到直线的连线中，垂线段最短”等，所以此处，需转化问题，将折线段变为直线段．【问题解决】作点A关于直线的对称点A’，连接P A’，则P A’=P A，所以P A+PB=P A’+PB当A’、P、B三点共线的时候，P A’+PB=A’B，此时为最小值（两点之间线段最短）【思路概述】作端点（点A或点B）关于折点（上图P点）所在直线的对称，化折线段为直线段．二、将军饮马模型系列【一定两动之点点】在OA、OB上分别取点M、N，使得△PMN周长最小．B B此处M、N均为折点，分别作点P关于OA（折点M所在直线）、OB（折点N所在直线）的对称点，化折线段PM+MN+NP为P’M+MN+NP’’，当P’、M、N、P’’共线时，△PMN周长最小．【例题】如图，点P是∠AOB内任意一点，∠AOB=30°，OP=8，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，则△PMN周长的最小值为___________．P O B AMN【分析】△PMN周长即PM+PN+MN的最小值，此处M、N均为折点，分别作点P关于OB、OA对称点P’、P’’，化PM+PN+MN为P’N+MN+P’’M．P''A当P’、N、M、P’’共线时，得△PMN周长的最小值，即线段P’P’’长，连接OP’、OP’’，可得△OP’P’’为等边三角形，所以P’P’’=OP’=OP=8．A【两定两动之点点】在OA、OB上分别取点M、N使得四边形PMNQ的周长最小。

初中数学将军饮马问题

初中数学将军饮马问题
问题描述如下：有一只水桶，里面装满了水，水桶体积为12升。

现在将军骑着他的马来到水源旁，他想要让他的马喝到恰好8升水。

将军身上没有其他的容器或器具，只有一个可以装水的空桶。

那么，将军应该如何利用这两个桶来让马喝到恰好8升水呢？
经过一番思考，我们得出了如下解法：首先将8升水倒入空桶中，然后往水桶中加满水，再将水桶中的水倒入空桶中，此时空桶中水的容量为4升。

再将空桶中的水倒掉，将水桶中的水倒入空桶中，此时空桶中水的容量为8升，恰好可以让马喝到所需的水量。

这个问题看似简单，实际上需要我们灵活运用数学知识和思维，才能得出正确的解法。

初中数学中的类似问题还有很多，我们需要认真思考，不断锻炼自己的数学思维能力。

- 1 -。

“将军饮马”模型在初中数学中的迁移运用

２０２３年９月下半月㊀学习指导㊀㊀㊀㊀将军饮马模型在初中数学中的迁移运用◉贵州省毕节市威宁县哈喇河中学㊀杨徐梦㊀㊀«义务教育数学课程标准(２０２２年版)»指出:学生经历数学观察㊁数学思考㊁数学表达㊁概括归纳㊁迁移应用等学习过程,发展数学核心素养．数学的学习除了基本概念㊁原理㊁法则㊁性质等内容的掌握,更要会用所学知识解决数学问题．这就要培养学生的知识迁移应用能力．将军饮马模型在数学中的应用,就是利用两点之间,线段最短这一简单的原理解决生活和学习中的许多数学问题．模型的迁移应用可以把复杂的问题简单化,抽象的问题具体化．通过建立联系,形成规律,从而准确地解决数学问题．１将军饮马情境再现图１唐朝诗人李颀的诗«古从军行»开头两句说: 白日登山望烽火,黄昏饮马傍交河．诗中隐含着一个非常有趣的数学问题．这首诗中将军骑马观望烽火之后从山脚下的A 点(如图１)出发,骑马到河边饮马后再到B 点宿营,要怎样走才能使所走的总路程最短．２将军饮马模型图２如图２,把宿营地和山脚出发点看作两个点A ,B ,把河流看作直线a ,即在直线a 同侧有两个定点A ,B ,在直线a 上找一点C ,使A C ＋B C 的值最小．如果点A ,B 在直线a 的异侧,利用公理两点之间线段最短就可以解决．下面利用两个模型进行探究学习．模型一: 异侧两定一动模型．已知:定点A ,B 在定直线l 的两侧．要求:在直线l 上找一点P ,使P A ＋P B 的值最小．分析:连接A B ,交直线l 于点P ,点P 即为所求点．线段A B 的长度即为P A ＋P B 的最小值．理由: 两点之间线段最短 ,可以利用三角形两边之和大于第三边来证明．如图３,在直线l 上任取一点P ᶄ(点P ᶄ与点P 不重合),连接A P ᶄ,B P ᶄ．图３因为在әA B P ᶄ中,A P ᶄ＋B P ᶄ＞A B ,即A P ᶄ＋B P ᶄ＞A P ＋B P ,所以当P 为直线A B 与直线l 的交点时,P A ＋P B 的值最小．模型二: 同侧两定一动模型．已知:定点A 和定点B 在定直线a 的同侧．要求:在直线a 上找一点P ,使P A ＋P B 的值最小(或әA B P 的周长最小)．图４分析:此问题的关键是要把同侧两定转化成异侧两定 ,这样就可以利用模型一来解决．而要实现等距离迁移,就不难想到利用对称来解决．所以可以作点B 关于直线a 的对称点B ᶄ,如图４,连接A B ᶄ,交直线a 于点P ,则点P 就是所要找的点．理由:因为P B ᶄ＝P B ,所以可得P A ＋P B ＝P A ＋P B ᶄ＝A B ᶄ．３将军饮马模型的迁移应用３．１在方案设计题中的迁移应用例１㊀在河流C D 的同侧有两个村庄A ,B ,A 村庄到河流的距离A C ＝１０k m ,B 村庄到河流的距离B D ＝３０k m ,且CD ＝３０k m ．现在打算在河边建一个自来水厂,向A 和B 两个村庄供水,铺设水管的费用为３万元/k m ,要使铺设水管的费用最省,请你在河流C D 上选择水厂的位置M ,并求出铺设水管的总费用?分析:A ,B 两定点在直线C D 的同侧,M 是一个动点,所以此题属于同侧两定一动模型．图５解:如图５所示,作点B 关于直线C D 的对称点B ᶄ,连接A B ᶄ,交C D 于点M ,则AM ＋B M ＝AM ＋B ᶄM ＝A B ᶄ,此时水厂建在点M 时,费用最小．如图５,在R t әA B ᶄE 中,A E ＝A C ＋C E ＝１０＋３０＝４０,EB ᶄ＝３０．由勾股定理,得A B ᶄ＝３０２＋４０２＝５０．所以总费用为５０ˑ３＝１５０(万元)．９５Copyright ©博看网. All Rights Reserved.学习指导２０２３年９月下半月㊀㊀㊀３．２在代数类题中的迁移应用图６例２㊀如图６,P 为线段A B 上一动点,分别过点A ,B作A C ʅA B ,E B ʅA B ,连接P C ,P E ,已知A C ＝４,B E ＝２,A B ＝８,设B P ＝x ．(１)用含x 的代数式表示P C ＋P E 的长;(２)点P 满足什么条件时,P C ＋P E 的值最小?(３)根据(２)中的规律和结论,请构图求出代数式x ２＋１＋(４－x )２＋４的最小值．分析:(１)由B P ＝x ,知A P ＝８－x ,则可由勾股定理分别求得P C 与P E 的长度,进而表示出P C ＋P E 的长．(２)属于同侧两定一动模型,通过作对称,利用两点之间线段最短的原理就可以解决．作点E 关于A B 的对称点E ᶄ,连接C E ᶄ,交A B 于点P ,此时C ,P ,E 三点共线,P C ＋P E 的值最小．(３)根据(２)中的规律可知,首先画一条线B D ＝４,分别过B ,D 作B D 的垂线,使得A B ＝２,D E ＝１,连接A E ,交B D 于点C ,此时A ,C ,E 三点共线,A C ＋C E ＝A E 的值最小．解:(１)由B P ＝x ,得A P ＝８－x ．所以由勾股定理,可得P C ＝(８－x )２＋１６,P E ＝x ２＋４．故P C ＋P E ＝(８－x )２＋１６＋x ２＋４．(２)如图７,作E 关于A B 的对称点E ᶄ,连接C E ᶄ,交A B 于点P ,此时C ,P ,E 三点共线,P C ＋P E 的值最小．由对称可知P E ᶄ＝P E ,则P C ＋P E ＝P C ＋P E ᶄ＝C E ᶄ．在R tәC D E ᶄ中,C E ᶄ＝６２＋８２＝１０．所以P C ＋P E 的最小值是１０．图７㊀㊀图８(３)构造图８,设C D ＝x ,则C E ＝x ２＋１,A C ＝(４－x )２＋４,所以x ２＋１＋(４－x )２＋４的最小值即A C ＋C E 的最小值,也就是线段A E 的长度．在R t әA E F 中,由勾股定理,得A E ＝３２＋４２＝５．故代数式x ２＋１＋(４－x )２＋４的最小值是５．３．３在图形类题中的迁移应用例３㊀在әA B C 中,A C ＝B C ＝６,øA C B ＝９０ʎ,F 是B C 边的中点,D 是A B 边上一动点,求C D ＋D F的最小值．分析:两个定点C 和F 在线段A B 的同侧,动点是D ,符合同侧两定一动模型．通过作一个定点的对称点,转化成异侧两定一动模型．图９解:如图９,作点C 关于直线A B 的对称点C ᶄ,连接F C ᶄ,交A B于点D ,则线段F C ᶄ的长度就是C D ＋D F 的最小值．在R t әB F C ᶄ中,B F ＝３,B C ＝B C ᶄ＝６,根据勾股定理,可得F C ᶄ＝３２＋６２＝３５．所以C D ＋D F 的最小值为３５．３．４在函数类题中的迁移应用图１０例４㊀如图１０,抛物线y ＝１２x ２＋b x －２与x 轴交于M ,N 两点,与y 轴交于点A ,且M (－１,０)．(１)求抛物线的解析式及顶点B 的坐标;(２)判断әAMN 的形状,并证明你的结论;(３)P (m ,０)是x 轴上的一个动点,当P A ＋P B的值最小时,求m 的值．分析:(１)(２)略．(３)从图中可以看出两个定点A 和B 在x 轴的同侧,动点P 在x 轴上,属于同侧两定一动模型．解:(１)顶点B 的坐标为(３２,－２５８)．(过程略)(２)әAMN 是直角三角形．(过程略)(３)作点A 关于x 轴的对称点A ᶄ,连接A ᶄB ,与x 轴交于点P ,此时P A ＋P B 最小,最小值就是A ᶄB 的长度．设直线A ᶄB 的解析式为y ＝k x ＋b ,将A ᶄ(０,２),B(３２,－２５８)代入,可得b ＝２,k ＝－４１１２．将点P (m ,０)代入y ＝４１１２x ＋２,得m ＝２４４１．对于将军饮马模型类问题,利用轴对称变换,通过化曲为直,把折线路径转化为两点间距离,根据两点之间,线段最短求出线段之和或三角形周长最小值,可利用两边之和大于第三边作简单证明．此类问题的解题步骤为:(１)选择模型;(２)作对称;(３)定交点;(４)连路径．Z０６Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。

初中数学,“将军饮马”的七大模型.doc

初中数学，“将军饮马”的七大模型让我们先来了解“将军饮马”这个故事。

古希腊亚里山大里亚城有一位久负盛名的学者，名叫海伦。

有一天，有位将军不远千里专程前来向海伦求教一个百思不得其解的问题：如图，将军A从出发到河边饮马，然后再到B地军营视察，显然有许多走法．问怎样走路线最短呢？精通数理的海伦稍加思索，便作了完善的回答．这个问题后来被人们称作“将军饮马”问题．下面我们来看看数学家是怎样解决的．海伦发现这是一个求折线和最短的数学问题．根据公理：连接两点的所有线中，线段最短．若A、B在河流的异侧，直接连接AB，AB与l的交点即为所求．若A、B在河流的同侧，根据两点间线段最短，那么显然要把折线变成直线再解．将军饮海伦解决本问题时，是利用作对称点把折线问题转化成直线现在人们把凡是用对称点来实现解题的思想方法叫对称原理，即轴对称思想轴对称的两个图形有如下性质：①关于某条直线对称的两个图形是全等形；②对称轴是任何一对对应点所连线的垂直平分线；③两个图形关于某条直线对称，如果他们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上．将军饮马的数学问题，考察的知识点：“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“点关于线对称”，“线段的平移”。

解题总思路：找点关于线的对称点实现“折”转“直”，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查。

共有七大模型：模型1，PA+PB最小模型2，PA-PB最小模型3，PA-PB最大【变形】异侧时，也可以问：在直线l上是否存在一点P 使得直线l为∠APB的角平分线模型4，周长最短模型5，“过河”最短距离模型6，线段和最小模型7，在直角坐标系的运用题目巩固1.如图，直线l 和l 的异侧两点A、B，在直线l 上求作一点P，使PA+PB 最小。

2.如图，直线l 和l 的同侧两点A、B，在直线l 上求作一点P，使PA+PB 最小。

3.如图，点P 是∠MON 内的一点，分别在OM，ON 上作点A，B。

使△PAB 的周长最小4.如图，点P，Q 为∠MON 内的两点，分别在OM，ON 上作点A，B。

初二数学最短路径问题,“将军饮马”四种题型详解,折变直是关键

初二数学最短路径问题，“将军饮马”四种题型详解，折变直是关键初二数学最短路径问题，“将军饮马”四种题型详解，折变直是关键 -初二数学轴对称这一章节中，课题研究中的最短路径问题，是中考的热门考点，在初二的考试中也是经常会出现。

最短路径问题中，初中阶段主要涉及三方面的内容，“将军饮马”、“造桥选址”和“费马点”，涉及到的知识点主要有“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“三角形三边关系”，“轴对称”，“平移”等，需要同学们根据题目给定的条件，做出最短路径问题，而这类题目的解题思路就是找对称点实现“折”转“直”，这是最为关键的，从而找到最短路径的点，解决出最短路径的问题，我们先来学习一个比较简单的“将军饮马”类型，最短路径的求解，通过四种题型，详解解释作图方法。

希望同学们能够认真总结，将这类题目掌握。

以“将军饮马”为原型常见的四种类型的题目分别是：（1）、A,B两点位于L的同侧，求出直线上一点P，使得PA+PB最小；（2）、A,B两点位于L的两侧，求出直线上一点P，使得PA+PB最小；（3）、在两条相交直线L1,L2内一点P，在两条直线上分别求出M,N,使△PMN的周长最小；（4）、在直线L1、L2上分别求点M、N，使四边形PQMN的周长最小。

例1：作图题.如图，小河边有两个村庄A、B，要在河边建一自来水厂P，向A村B村供水．（1）若要使厂部到A、B两村的距离相等，则厂部P应选在哪里？在图①中画出；（2）若要使厂部到A、B两村的输水管长度之和最小，则厂部P应选在什么地方？在图②中画出．（保留作图痕迹，不写作法，但要写结论）本题关键是掌握在直线L上的同侧有两个点A、B，在直线L 上有到A、B的距离之和最短的点存在，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线L的对称点，对称点与另一点的连线与直线L的交点就是所要找的点．例2：尺规作图：（不要求写作法，只保留作图痕迹）如图，工厂A和工厂B，位于两条公路OC、OD之间的地带，现要建一座货物中转站P．若要求中转站P到两条公路OC、OD的距离相等，且到工厂A和工厂B的距离之和最短，请用尺规作出P的位置．本题不仅考察了最短路径的作图方法，还要求根据题意明确点P还在角COD的角平分线上。

初中数学几何模型(十)将军饮马模型

初中数学几何模型（十）将军饮马模型1、两定一动：在直线l上作一点P，使AP+BP最短。

如图：作法：作点A关于直线l的对称点A1，连接A1B，与l的交点就是所求作的P点。

即：AP+BP=A1B（两点之间，线段最短。

）2、一定两动：在∠AOB的两边上分别求点M、N，使△PMN周长最小。

作法：分别作点P关于OA、OB的对称点P1、P2，连接P1P2，与OA交于点M，与OB交于点N，点M、N为所求作的点。

即：PM+MN+PN=P1P2（两点之间，线段最短。

），此时，△PMN周长最小。

3、两定两动：（1）如图，点P、Q使是∠AOB内的两个定点，在∠AOB的两边上分别求作点M、N，使四边形PMNQ周长最小。

作法：作点P关于OA的对称点P1，作点Q关于OB的对称点Q1；连接P1Q1，与OA交于点M，与OB交于点N，点M、N即为所求作的点。

即：PM+MN+NQ=P1Q1，（两点之间，线段最短。

）此时，四边形PMNQ周长最小。

（2）如图，点A、B在直线l外，在直线l上求两点M、N（M在左），使得MN=a，并使AM+MN+NB最短。

作法：如图，将点A向右平移a个单位到A1，作点A1关于直线l 的对称点A2，连接A2B，与直线l交于点N，将点N向左平移a个单位即为点M。

即：AM+MN+NB=a+A2B（两点之间，线段最短。

），此时，AM+MN+NB最短。

4、点-线：点与直线的连线中，垂线段最短。

如图，点P在∠AOB内，在OA、OB上分别取M、N，使得PM+PN 最小。

作法：过点P作关于OA的对称点P1，过点P1作OB的垂线，交OA于点M，交OB于点N。

点M、N即为所求作的点。

即：PM+MN=P1M+MN=P1N（点直线的距离垂线段最短），此时，PM+PN最小。

5、PA—PB型：三角形两边之差小于第三边。

如图，点A、B在直线l两侧，在直线l上取点P，使得|PA-PB|最大。

作法：过点B作关于直线l的对称点B1，连接A B1并延长交直线l于一点，即为所求的点P。

轴对称中的最值模型问题(将军饮马)重难点题型专训(学生版)-初中数学

轴对称中的最值模型问题(将军饮马等)重难点题型专训题型一将军饮马之线段和最值题型二将军饮马之线段差最值题型三将军饮马之两定一动最值题型四三点共线最大值题型五双对称关系求周长最小值题型六两定两动型最值题型七两动一定最值题型八费马点最值问题将军饮马中最短路径问题四大模型一两定点在直线的异侧问题1作法图形原理在直线l 上找一点P ,使得P A+PB 的和最小。

连接AB ，与直线l 的交点P 即为所求。

两点之间，线段最短，此时P A +PB 的和最小。

二两定点在直线的同侧问题2：将军饮马作法图形原理在直线l 上找一点P ,使得P A +PB 的和最小。

作B 关于直线l 的对称点C ，连AC ，与直线l 的交点P 即为所求。

化折为直；两点之间，线段最短，此时P A +PB 的和AC 最小。

三两动点一定点问题问题3：两个动点作法图形原理作P 关于OA 的对称点P 1，作P 关于OB 的对称两点之间，线段最短，此时PC +PD +CD点P 在锐角∠AOB 的内部，在OA 边上找一点C ,在OB 边上找一点D ,,使得PC +PD +CD 的和最小。

点P 2，连接P 1P 2。

的和最小。

四造桥选址问题问题4：造桥选址作法图形原理直线m ∥n ，在m ，n 上分别求点M 、N ，使MN ⊥m ，MN ⊥n ，且AM +MN +BN 的和最小。

将点A 乡向下平移MN 的长度得A 1，连A 1B ，交n 于点N ，过N作NM ⊥m 于M 。

两点之间，线段最短，此时AM +MN +BN 的最小值为A 1B +MN 。

注意：本专题部分题目涉及勾股定理，各位同学可以学习完第3章后再完成该专题训练．勾股定理公式：a 2+b 2=c 2【经典例题一将军饮马之线段和最值】1.如图，在△ABC 中，AB =AC ，分别以点A 、B 为圆心，以适当长为半径画弧，两弧分别交于E 、F ，画直线EF ，D 为BC 的中点，M 为直线EF 上任意一点，若BC =5，△ABC 的面积为15，则BM +MD 的最小长度为()A.5B.6C.7D.82.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，AB=10，AD平分∠BAC，若P、Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是()A.1.2B.2.4C.4.8D.9.63.如图，在△ABC中，AB=AC=10，BC=12，AD=8，AD是∠BAC的角平分线，若E，F分别是AD和AC上的动点，则EC+EF的最小值是．4.唐朝著名诗人李颀的代表作品《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，其中隐含着一个有趣的数学问题．如图1，诗中将士在观望烽火之后从山脚下的A点出发，走到河边饮马后再到B点宿营．请问在何处饮马才能使总路程最短？我们可以用轴对称的方法解决这个问题．(1)如图2，作点B关于直线l的对称点B ，连接AB 与直线l交于点C，点C就是所求的位置．理由：如图3，在直线l上另取不同于点C的任一点C ，连接AC ，BC ，B C ，因为点B、B 关于直线l对称，点C、C 在直线l上，所以CB=，C B=，所以AC+CB=AC+CB =，在△AC B 中，依据，可得AB <AC +C B ，所以AC+CB<AC +C B ，即AC+CB最小．(2)迁移应用：如图4，△ABC是等边三角形，N是AB的中点，AD是BC边上的中线，AD=6，M是AD上的一个动点，连接BM、MN，则BM+MN的最小值是．【经典例题二将军饮马之线段差最值】5.如图，在△ABC中，AB=CB，∠B=100°．延长线段BC至点D，使CD=BC，过点D作射线DP∥AB，点E为射线DP上的动点，分别过点A，D作直线EC的垂线AM，DN．当AM-DN的值最大时，∠ACE的度数为．6.如图，AB⎳DP，E为DP上一动点，AB=CB=CD，过A作AN⊥EC交直线EC于N，过D作DM ⊥EC交直线EC于点M，若∠B=114°，当AN-DM的值最大时，则∠ACE=．7.如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，每个小正方形的顶点叫格点．已知△ABC的顶点均在格点上．(1)画出格点三角形ABC关于直线DE对称的△A B C ；(2)△A B C 的面积是(3)在直线DE上找出点P，使P A-PC最大，并求出最大值为．(保留作图痕迹)8.如图，已知△ABC的三个顶点在格点上．(1)画出△A1B1C1，使它与△ABC关于直线MN对称；(2)在直线MN上画出点D，使∠BDM=∠CDN．(3)在直线MN上画出点P，使P A-PC最大．【经典例题三将军饮马之两定一动最值】9.小王准备在红旗街道旁建一个送奶站，向居民区A，B提供牛奶，要使A，B两小区到送奶站的距离之和最小，则送奶站C的位置应该在( )．A. B.C. D.10.(2023春·黑龙江齐齐哈尔·八年级校考阶段练习)如图，一个牧童在小河的南4km的A处牧马，而他正位于他的小屋B的西8km北7km处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家．他要完成这件事情所走的最短路程是多少？11.(2023春·全国·八年级专题练习)如图，正△ABC的边长为2，过点B的直线l⊥AB，且△ABC与△A′BC′关于直线l对称，D为线段BC′上一动点，则AD+CD的最小值是．12.(2023·江苏·八年级假期作业)如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=120°,AB边的垂直平分线DE交AB于点D，若AE=3，(1)求BC的长；(2)若点P是直线DE上的动点，直接写出P A+PC的最小值为．【经典例题四三点共线最大值】13.如图，在△ABC中，AB=AC，AC的垂直平分线交AC于点N，交AB于点M，AB=12cm，△BMC的周长是20cm，若点P在直线MN上，则P A-PB的最大值为.14.如图，AC，BD在AB的同侧，AC=2，BD=8，AB=10，M为AB的中点，若∠CMD=120°，则CD的最大值为()A.12B.15C.18D.2015.如图，△ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90°,M在△ABC的内部，∠ACM=4∠BCM，P为射线CM上一点，当|P A-PB|最大时，∠CBP的度数是．16.如图，方格图中每个小正方形的边长为1，点A、B、C、M、N都在格点上．(1)画出△ABC关于直线MN对称的△A1B1C1．(2)若以N点为原点建立平面直角坐标系，点B的坐标为0，5，则△ABC关于x轴对称△A2B2C2，写出点A2,C2的坐标．(3)在直线MN上找点P使PB-P A的最大值．最大，在图形上画出点P的位置，并直接写出PB-P A【经典例题五双对称关系求周长最小值】17.如图，在五边形ABCDE中，∠BAE=120°，∠B=∠E=90°，AB=BC，AE=DE，在BC、DE上分别找到一点M、N，使得△AMN的周长最小，则∠AMN+∠ANM的度数为()A.100°B.110°C.120°D.130°18.如图，在四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，∠B=32°，在边AB，BC上分别找一点E，F使△DEF的周长最小，此时∠EDF=()A.110°B.112°C.114°D.116°19.如图，在△ABC中，AB=AC=10cm，BC=9cm，AB的垂直平分线交AB于点M，交AC于点N，在直线MN上存在一点P，使P、B、C三点构成的△PBC的周长最小，则△PBC的周长最小值为．20.在草原上有两条交叉且笔直的公路OA、OB，在两条公路之间的点P处有一个草场，如图，∠AOB=30°，OP=6.5．现在在两条公路上各有一户牧民在移动放牧，分别记为M、N，若存在M、N使得△PMN的周长最小，则△PMN周长的最小值是．21.几何模型：条件：如图1，A、B是直线l同旁的两个定点．问题：在直线l上确定一点P，使P A+PB的值最小．解法：作点A关于直线l的对称点A ，连接A B，则A B与直线l的交点即为P，且P A+PB的最小值为线段A B的长．(1)根据上面的描述，在备用图中画出解决问题的图形；(2)应用：①如图2，已知∠AOB=30°，其内部有一点P，OP=12，在∠AOB的两边分别有C、D两点(不同于点O)，使△PCD的周长最小，请画出草图，并求出△PCD周长的最小值；②如图3，∠AOB=20°，点M、N分别在边OA、OB上，且OM=ON=2，点P，Q分别在OB、OA上，则MP+PQ+QN的最小值是．22.如图，在四边形ABCD中，∠BAD=∠B=∠D=90°，AD=AB=4，E是AD中点，M是边BC上的一个动点，N是边CD上的一个动点，则AM+MN+EN的最小值是．23.如图，在等边△ABC中，AC=12，AD是BC边上的中线，点P是AD上一点，且AP=5．如果点M、N分别是AB和AD上的动点，那么PM+MN+NB的最小值为．【经典例题七两动一定最值】24.如图，在锐角三角形ABC中，AB=6，△ABC的面积为18，BD平分∠ABC，若E、F分别是BD、BC上的动点，则CE+EF的最小值为．25.如图所示，在等边△ABC中，点D、E、F分别在边BC、AB，AC上，则线段DE+DF的最小值是()A.BC边上高的长B.线段EF的长度C.BC边的长度D.以上都不对26.如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BC=8，AC=10，点P、Q分别是边BC、AC上的动点，则AP+PQ的最小值等于()A.4B.245C.5 D.48527.如图，在等腰△ABC中，AB=AC=8，∠ACB=75°，AD⊥BC于D，点M、N分别是线段AB、AD上的动点，则MN+BN的最小值是．【经典例题八费马点最值问题】28.【问题提出】(1)如图1，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD(不含B点)上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM，CM．若连接MN，则△BMN的形状是．(2)如图2，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB+AC=10，求BC的最小值．【问题解决】(3)如图3，某高新技术开发区有一个平行四边形的公园ABCD，AB+BC=6千米，∠ABC=60°，公园内有一个儿童游乐场E，分别从A、B、C向游乐场E修三条AE,BE,CE，求三条路的长度和(即AE+ BE+CE)最小时，平行四边形公园ABCD的面积．29.已知点P是△ABC内一点，且它到三角形的三个顶点距离之和最小，则P点叫△ABC的费马点(Fermat po int)．已经证明：在三个内角均小于120°的△ABC中，当∠APB=∠APC=∠BPC=120°时，P就是△ABC的费马点．若点P是腰长为6的等腰直角三角形DEF的费马点，则PD+PE+PF=()A.6B.32+6C.63D.930.定义：若P为△ABC内一点，且满足∠APB=∠BPC=∠CP A=120°，则点P叫做△ABC的费马点．(1)如图1，若点O是等边△ABC的费马点，且OA+OB+OC=18，则这个等边三角形的高的长度为；(2)如图2，已知△ABC，分别以AB、AC为边向外作等边△ABD与等边△ACE，线段CD、BE交于点P，连接AP，求证：点P是△ABC的费马点；(3)应用探究：已知有A、B、C三个村庄的位置如图3所示，能否在合适的位置建一个污水处理站Q，使得该处理站分别连接这三个村庄的水管长度之和最小？如果能，请你说明该如何确定污水处理站Q的位置，并证明该位置满足设计要求．31.定义：若P为△ABC内一点，且满足∠APB=∠BPC=∠CP A=120°，则点P叫做△ABC的费马点．(1)如图1，若点O是高为3的等边△ABC的费马点，则OA+OB+OC=；(2)如图2，已知P是等边△ABD外一点，且∠APB=120°，请探究线段P A，PB，PD之间的数量关系，并加以证明；(3)如图3，已知△ABC，分别以AB、AC为边向外作等边△ABD与等边△ACE，线段CD、BE交于点P，连接AP，求证：①点P是△ABC的费马点；②P A+PB+PC=CD．32.若一个三角形的最大内角小于120°，则在其内部有一点所对三角形三边的张角均为120°，此时该点叫做这个三角形的费马点．如图1，当△ABC三个内角均小于120°时，费马点P在△ABC内部，此时∠APB=∠BPC=∠CP A=120°，P A+PB+PC的值最小．(1)如图2，等边三角形ABC内有一点P，若点P到顶点A，B，C的距离分别为3，4，5，求∠APB的度数．为了解决本题，小林利用“转化”思想，将△ABP绕顶点A旋转到△ACP 处，连接PP ，此时△ACP ≌△ABP，这样就可以通过旋转变换，将三条线段P A，PB，PC转化到一个三角形中，从而求出∠APB=．(2)如图3，在图1的基础上延长BP，在射线BP上取点D，E，连接AE，AD．使AD=AP，∠DAE=∠P AC，求证：BE=P A+PB+PC．(3)如图4，在直角三角形ABC中，∠ABC=90°，∠ACB=30°，AB=1，点P为直角三角形ABC的费马点，连接AP，BP，CP，请直接写出P A+PB+PC的值．33.(2024八年级上·浙江·专题练习)如图，△ABC中，点D在BC边上，过D作DE⊥BC交AB于点E，P为DC上的一个动点，连接P A、PE，若P A+PE最小，则点P应该满足()A.P A=PCB.P A=PEC.∠APE=90°D.∠APC=∠DPE34.(24-25八年级上·全国·课后作业)如图，在四边形ABCD中，BC∥AD,CD⊥AD，P是CD边上的一动点，要使P A+PB的值最小，则点P应满足的条件是()A.P A=PBB.PC=PDC.∠APB=90°D.∠BPC=∠APD35.(23-24八年级下·四川巴中·期末)如图，在△ABC中，AB=AC，分别以点A、B为圆心，以适当长为半径画弧，两弧分别交于E、F，画直线EF，D为BC的中点，M为直线EF上任意一点，若BC=5，△ABC 的面积为15，则BM+MD的最小长度为()A.5B.6C.7D.836.(23-24八年级下·河南郑州·阶段练习)如图，四边形ABCD中，∠BAD=120°，∠B=∠D=90°，在BC，CD上分别找一点M，N，使△AMN周长最小，则∠AMN+∠ANM的度数为()A.60°B.120°C.90°D.45°37.(23-24八年级上·湖南湘西·期末)在某草原上，有两条交叉且笔直的公路OA、OB，如图，∠AOB=30°，在两条公路之间的点P处有一个草场，OP=4．现在在两条公路上各有一户牧民在移动放牧，分别记为M、N，存在M、N使得△PMN的周长最小．则△PMN周长的最小值是( )．A.4B.6C.8D.1238.(22-23八年级下·福建漳州·期中)如图，在△ABC中，AB=AC，BC=6，S△ABC=18，D是BC中点，EF垂直平分AB，交AB于点E，交AC于点F，在EF上确定一点P，使PB+PD最小，则这个最小值为()A.3B.6C.9D.1239.(23-24八年级上·福建福州·期中)在平面直角坐标系xOy中，A0,4，动点B在x轴上，连接AB，将线段AB绕点A逆时针旋转60°至AC，连接OC，则线段OC长度最小为()A.0B.1C.2D.340.(22-23七年级下·山东济南·阶段练习)如图，在五边形ABCDE中，∠BAE=120°，∠B=∠E=90°，AB=BC，AE=DE，在BC、DE上分别找到一点M、N，使得△AMN的周长最小，则∠AMN+∠ANM的度数为()A.100°B.110°C.120°D.130°41.(21-22八年级上·四川广元·期末)如图所示，在四边形ABCD中，AD=2，∠A=∠D=90°，∠B=60°，BC=2CD，在AD上找一点P，使PC+PB的值最小；则PC+PB的最小值为()A.4B.3C.5D.642.(21-22八年级上·广东广州·期中)在Rt △ABC 中，∠C =90°，∠A =30°，点P 是边AC 上一定点，此时分别在边AB ，BC 上存在点M ，N 使得△PMN 周长最小且为等腰三角形，则此时AP PC 的值为()A.12B.1C.32D.243.(2024七年级下·全国·专题练习)如图，△ABC 中，AB =AC ，BC =5，S △ABC =15，AD ⊥BC 于点D ，EF 垂直平分AB ，交AC 于点F ，在EF 上确定一点P ，使PB +PD 最小，则这个最小值为．44.(23-24七年级下·陕西西安·阶段练习)如图，在四边形ABCD 中，∠B =∠D =90°，在BC ，CD 上分别找一点M ，N ，使△AMN 周长最小，此时∠MAN =80°，则∠BAD 的度数为．45.(23-24七年级下·山东济南·期末)在草原上有两条交叉且笔直的公路OA 、OB ，在两条公路之间的点P 处有一个草场，如图，∠AOB =30°，OP =6.5．现在在两条公路上各有一户牧民在移动放牧，分别记为M、N，若存在M、N使得△PMN的周长最小，则△PMN周长的最小值是．46.(22-23七年级下·广东河源·期末)如图，在四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，∠B=36°，在边AB、BC上分别找一点E、F，使△DEF周长最小，此时∠EDF=．47.(22-23八年级上·广东东莞·期中)如图，点A-2，1，点P是在x轴上，且使P A+PB最小，写，B2，3出点P的坐标．48.(22-23八年级上·湖南岳阳·期中)如图，直线l垂直平分△ABC的AB边，在直线l上任取一动点O，连结OA、OB、OC．若OA=5，则OB=．若AC=9，BC=6，则△BOC的最小周长是．49.(22-23八年级上·四川绵阳·期中)在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标是0,2，点B在x轴的负半轴上且∠ABO=30°，点P与点O关于直线AB对称，在y轴上找到一点M，使PM+BM的值最小，则这个最小值为．50.(22-23八年级上·海南海口·期中)如图，在四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，∠B=36°，在边AB，BC上分别找一点E，F使△DEF的周长最小．此时∠EDF的大小是．51.(22-23八年级上·湖北黄石·期末)如图，已知∠AOB=30°，OC平分∠AOB，在OA上有一点M，OM=103cm，现要在OC,OA上分别找点Q，N，使QM+QN最小，则其最小值为cm．52.(21-22八年级上·福建厦门·期末)小河的两条河岸线a∥b，在河岸线a的同侧有A、B两个村庄，考虑到施工安全，供水部门计划在岸线b上寻找一处点Q建设一座水泵站，并铺设水管PQ，并经由P A、PB 跨河向两村供水，其中QP⊥a于点P.为了节约经费，聪明的建设者们已将水泵站Q点定好了如图位置(仅为示意图)，能使三条水管长PQ+P A+PB的和最小.已知P A=1.6km，PB=3.2km，PQ=0.1km，在A村看点P位置是南偏西30°，那么在A村看B村的位置是．53.(22-23八年级上·云南昆明·期末)如图，△ABC的三个顶点坐标分别为A2,3．，B1,1，C5,3(1)作出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1．(2)求△A1B1C1的面积；(3)在x轴上找一点P，使得PC+PB最小，请直接写出点P的坐标．54.(24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习)如图，在平面直角坐标系中，已知A-3,4，B-1,2，C1,3．(1)在平面直角坐标系中画出△ABC，将△ABC平移得到△A B C ，已知A 1,-1，则C 坐标是．(2)求出△ABC的面积；(3)在x轴上有一点P，使得P A+PB的值最小，保留作图痕迹．55.(23-24八年级下·广东深圳·期末)【综合实践活动】【问题背景】如图1，A，B表示两个村庄，要在A，B一侧的河岸边建造一个抽水站P，使得它到两个村庄的距离和最短，抽水站P应该修建在什么位置？【数学建模】小坤发现这个问题可以用轴对称知识解决，他先将实际问题抽象成如下数学问题：如图2，A，B是直线l同侧的两个点，点P在直线l上．P在何处时，P A+PB的值最小．画图：如图3，作B关于直线l的对称点B ，连结AB 与直线l交于点P，点P的位置即为所求．证明：∵B和B 关于直线l对称∴直线l垂直平分BB∴PB=，∴P A+PB=P A+PB根据“”(填写序号：①两点之间，线段最短；②垂线段最短；③两点确定一列条直线．)可得P A+ PB 最小值为(填线段名称)，此时P点是线段AB 和直线l的交点．【问题拓展】如图4，村庄B的某物流公司在河的对岸有一个仓库C(河流两侧河岸平行，即GD∥EF)，为了方便渡河，需要在河上修建一座桥MN(桥的长度固定不变，等于河流的宽度且与河岸方向垂直)，请问桥MN修建在何处才能使得B到C的路线最短？请你画出此时桥MN的位置(保留画图痕迹，否则不给分)．【迁移应用】光明区某湿地公园如图5所示，四边形AEDC为花海景区，∠CDE=∠E=90°，AE=80米，DE=50米，长方形CFGH为人工湖景区，为了方便市民观景，公园决定修建一条步行观光路线(折线AM-MN-BN)，A为起点，终点B在ED上，BD=30米，MN为湖边观景台，长度固定不变(MN =40米)，且需要修建在湖边所在直线CF上，步行观光路线的长度会随着观景台位置的变化而变化，请直接写出步行观光路线的最短长度．2156.(2023九年级·四川成都·专题练习)在△ABC 中，AC =BC ，点E 在是AB 边上一动点(不与A 、B 重合)，连接CE ，点P 是直线CE上一个动点．(1)如图1，∠ACB =120°，AB =16，E 是AB 中点，EM =2，N 是射线CB 上一个动点，若使得NP +MP 的值最小，应如何确定M 点和点N 的位置？请你在图2中画出点M 和点N 的位置，并简述画法；直接写出NP +MP 的最小值；(2)如图3，∠ACB =90°，连接BP ，∠BPC =75°且BC =BP ．求证：PC =P A ．57.(23-24七年级下·广东深圳·期末)【背景材料】对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，常被用于建筑、器物、绘画、标识等作品的设计上，比如图1．同时，对称在解决生活中的实际问题时，也往往有很大的作用．【问题提出】某小区要在街道旁修建一个奶站，向居民区A ，B 提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使A ，B 到它的距离之和最短？该问题给牛奶公司造成了困扰，现向居民们征求意见．【问题解决】小明同学将小区和街道抽象出的平面图形，并用轴对称的方法巧妙地解决了这个问题．如图2，作A 关于直线m 的对称点A ，连接A B 与直线m 交于点C ，点C 就是所求的位置．(1)请你在下列阅读、应用的过程中，完成解答并填空：证明：如图3，在直线m 上另取任一点D ，连结AD ，A D ，BD ，∵直线m 是点A ，A 的对称轴，点C ，D 在m 上，22∴CA =，DA =，∴AC +CB =A C +CB =．在△A DB 中，∵A B <A D +DB ，∴A C +CB <A D +DB ．∴AC +CB <AD +DB ，即AC +CB 最小．(2)如图4，在等边△ABC 中，E 是AB 上的点，AD 是∠BAC 的平分线，P 是AD 上的点，若AD =5，则PE +PB 的最小值为．【拓展应用】(3)“龙舟水”来势汹汹，深圳“雨雨雨”模式开启，深圳某学校的志愿者们在查阅地图后，画出了平面示意图5．其中，点A 表示龙潭公园，点B 表示宝能广场，点C 表示万科里，点D 表示万科广场，点E 表示龙城广场地铁站．如图6，志愿者计划在B 宝能广场和D 万科广场之间摆放一批共享雨伞，使得共享雨伞的位置到B宝能广场、C 万科里、D 万科广场和E 龙城广场地铁站的距离的和最小．若点A 与点C 关于BD 对称，请你用尺子在BD 上画出“共享雨伞”的具体摆放位置(用点G 表示)．58.(24-25八年级上·全国·假期作业)如图，B、C 两点关于y 轴对称，点A 的坐标是0,b ，点C 坐标为-a ,-a -b ．(1)直接写出点B 的坐标为；(2)用尺规作图，在x 轴上作出点P ，使得AP +PB 的值最小；(3)∠OAP =度．59.(21-22七年级上·陕西商洛·期末)点C 为∠AOB 内一点．23(1)在OA上求作点D,OB上求作点E，使△CDE的周长最小，请画出图形；(2)在(1)的条件下，若∠AOB=30°，OC=10，求△CDE周长的最小值．60.(23-24八年级上·湖南长沙·期末)在四边形ABCD中，∠BAD=BCD=90°，∠ABC=135°，AB=32，BC=1，在AD、CD上分别找一点E、F，使得△BEF的周长最小，求△BEF周长的最小值．61.(2023八年级上·全国·专题练习)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=6，CD平分∠ACB交斜边AB于点D，动点P从点C出发，沿折线CA-AD向终点D运动．(1)点P在CA上运动的过程中，当CP时，△CPD与△CBD的面积相等；(直接写出答案)(2)点P在折线CA-AD上运动的过程中，若△CPD是等腰三角形，求∠CPD度数；(3)若点E是斜边AB的中点，当动点P在CA上运动时，线段CD所在直线上存在另一动点M，使两线段MP、ME的长度之和，即MP+ME的值最小，则此时CP的长度(直接写出答案)．。

将军饮马问题初中例题

将军饮马问题初中例题
将军饮马问题是一道有趣的数学例题，它表述为：将军有100头马，
要求在不改变马数量的前提下，把每头马喝一桶水，然后将马分成两组，使得两组马数量之比为2:3，问将军应该如何喝水？
这个问题可以用简单的方法来解决。

首先，我们可以将100头马分成5组，每组20头。

这样一来，每组马的数量之比就变成了1：2：3：4：5。

接下来，我们从每组中挑选3头马，剩下的2头马归到另一组中，
这样就得到了2组马，每组都有60头，两组的马数量之比正好是2:3。

有了上面的步骤，将军就可以给将100头马分成2组，每组60头，比
例为2:3。

此时，每组都有60头马，将军只需要给每组马喝3桶水，
把所有的马都喝完即可。

总之，将军饮马问题非常有趣，它让我们思考如何在不改变马数量的
前提下，把马分成两组，使得两组马数量之比为2:3。

通过上述的步骤，就可以很容易地把将军饮马问题解决了。