山东工商学院第二学期高等数学80学时试卷

。。。。。。。。。。。。装。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。订。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。线。。。。。。。。。。。。。。。。。

第二学期《高等数学》期末考试试卷

一、选择题（每小题3分，共18分）

1.若级数1

n n U ∞

=∑收敛于S,则级数11

()n n n U U ∞

+=+∑ ( )

A. 收敛于2S

B. 收敛于12S U -

C.收敛于12S U +

D.发散

2.设级数21n n a ∞

=∑是收敛的，则级数1n

n a n

∞

=∑

( ) A. 一定条件收敛 B.一定发散

C.一定绝对收敛

D.可能收敛也可能发散 3.(,)lim

→=x y ( )

A.0

B. 1

2

C. ∞

D.极限不存在

4.函数(,)f x y 在点(,)P x y 的某一邻域内连续且偏导数存在，是(,)f x y 在该点可微的( )

A 必要条件但不是充分条件B.充分条件但不是必要条件 C.充分必要条件D.既非充分又非必要条件。 5.下列表示单叶双曲面的曲线方程是( ) A.222

2221x y z a b c

++= B. 222

2221x y z a b c

+-=

C. 222

2221x y z a b c

--= D.2222x y z a b =+

6.二元函数222

,(,)(0,0)(,)0,(,)(0,0)⎧≠⎪=+⎨⎪=⎩

x y

x y f x y x y x y 在点(0,0)处( )

A.连续且偏导数存在

B.连续但偏导数不存在

C.不连续、偏导数存在

D.不连续、偏导数不存在

1.已知三点

(1,2,1)

A ,

(2,1,1)

B -,

(1,1,2)

C --,则向量

AB

与

BC

的夹角

为 。 2.函数

2

1

-x 的幂级数展开式为 。 3.级数2

1sin n n x

n

∞

=∑的收敛域为 。 4. 方程20y y y '''-+=的特征方程是 特征根是 通解是 。

5.z =dz 为 。

三、（本题8分）求方程2dy

x x

y dx

+=满足初始条件1|0x y ==的特解。 四、（本题共15分）判断下列级数的敛散性，若收敛，请指明是条件收敛还是绝对收敛。

1.1

1(1)

n n ∞

+=-∑ 2.11

37(1)51n

n n n n ∞

+=+⎛⎫- ⎪+⎝⎭∑

3.2

1

(1)n n ∞

=-∑

五、（本题4分）已知23

,sin ,x y

z e

x t y t -===，求dz

dt

六、（本题6分）已知(,)w f x xyz =，求w x ∂∂，w y ∂∂，w

z ∂∂

七、（本题6分）已知2221x y z ++=，求,z z x y

∂∂∂∂ 八、（本题7

分）改变二次积分1

0(,)y

I dy f x y dx =⎰的积分次序。

九、（本题8分）求过点M(2,1,3)且与直线L:11321

+-==-x y z

垂直相交的直线方程。

十、（本题8分）计算二重积分⎰⎰σ--D

2

y 2x

d e 其中D ：222a y x ≤+

一、选择题（每小题3分，共18分） 1.A 2.C 3.A 4.A 5.B 6.A

1.3π

2. 0

21∞=-<∑,n n x x 3. (,)-∞+∞ 4. 2122101,,x x r r y c e c xe -+==+

)xdx ydy +

三、（本题8分）解：把方程化为

1

dy y x dx x

-=-……………………………………………2分 它是一阶线性微分方程，其通解为

112()dx dx x x

y e x e

dx c cx x -⎡⎤⎰⎰=-+=-⎢⎥⎣⎦

⎰，…………………4分 将1,0x y ==代入上式，得1c =，故所求之特解为2y x x =-.2分 四、（本题共15分）(1)条件收敛(2)绝对收敛(3)绝对收敛 五、（本题4分）解：222cos 6x y x y dz z dx z dy

e t t e dt x dt y dt

--∂∂=

+=-∂∂ 六、（本题6分）解：令,u x v xyz ==，用12,f f ''分别表示,u v f f ''，则 12w f yzf x ∂''=+∂，2w xzf y ∂'=∂，2w

xyf z

∂'=∂ 七、（本题6分）解：将方程两端对x 求导数，220z x z x ∂+=∂，则z x

x z

∂=-∂， 将方程两端对y 求导数，220z y z

y ∂+=∂，则z y

y z

∂=-∂。 八、（本题7

分）解：画出积分区域，积分区域由,x y x ==所围成，将积分区域看作X-型区域，则21

(,)x

x

I dx f x y dy =⎰⎰

九、（本题8分）解：令

11321

+-===-x y z t ，则可设所求直线与直线L 的交点为(3t-1,2t+1,-t),所求直线的方向向量(33,2,3)=---

MN t t t ，

由于所求直线与直线L 垂直，则有3(33)2230-+⨯++=t t t ，于是3

7

=t ，

则有12624,,777⎛⎫=-- ⎪⎝⎭

MN ，因此，所求直线方程为：213214---==

--x y z 。 十、（本题8分）解：⎰

⎰

⎰⎰π---θ

=σ20

a 0

2

r D

2

y 2x

r

d r

e d d e ……………..4分