北航数值分析历年试题整理
北航数值分析大作业 第一题 幂法与反幂法
数 值 分 析（B ） 大 作 业（一）姓名： 学号： 电话：1、算法设计：①求1λ、501λ和s λ的值：s λ：s λ表示矩阵的按模最小特征值，为求得s λ直接对待求矩阵A 应用反幂法即可。
1λ、501λ：若矩阵A 的特征值满足关系 1n λλ<<且1n λλ≠，要求1λ、及501λ时，可按如下方法求解： a ． 对矩阵A 用幂法，求得按模最大的特征值1m λ。
b ． 按平移量1m λ对矩阵A 进行原点平移得矩阵1m BA I λ=+，对矩阵B 用反幂法求得B 的按模最小特征值2m λ。
c ． 321m m m λλλ=-则：113min(,)m m λλλ=，13max(,)n m m λλλ=即为所求。
②求和A 的与数5011140k k λλμλ-=+最接近的特征值ik λ（k=0，1，…39）：求矩阵A 的特征值中与P 最接近的特征值的大小，采用原点平移的方法：先求矩阵 B=A-PI 对应的按模最小特征值k β，则k β+P 即为矩阵A 与P 最接近的特征值。
在本次计算实习中则是先求平移矩阵k B A I μ=-，对该矩阵应用反幂法求得s λ，则与k μ最接近的A 的特征值为：s P λ+重复以上过程39次即可求得ik λ（k=0，1，…39）的值。
③求A 的（谱范数）条件数2cond()A 和行列式det A ：在（1）中用反幂法求矩阵A 的按模最小特征值时，要用到Doolittle 分解方法，在Doolittle 分解完成后得到的两个矩阵分别为L 和U ，则A 的行列式可由U 阵求出，即：det(A)=det(U)。
求得det(A)不为0，因此A 为非奇异的实对称矩阵，则： max 2()scond A λλ=，max λ和s λ分别为模最大特征值与模最小特征值。
2、程序源代码：#include "Stdio.h"#include "Conio.h"#include "math.h"//****************************************************************************// // 在存储带状矩阵时，下面的几个量在程序中反复用到，为方便编程故把它们定义成宏.// // M ：转换后的矩阵的行数，M=R+S+1。
北航数值分析实习题目第一题
《数值分析B》大作业一ZY1515105 樊雪松一．算法设计方案：1.矩阵A的存储与检索将带状线性矩阵A[501][501]转存为一个矩阵MatrixC[5][501] 。
在数组MatrixC[5][501]中检索A的带内元素a ij的方法是：A的带内元素a ij=C中的元素c i-j+2,j。
2.求解λ1，λ501，λs1、首先分别使用幂法和反幂法迭代求出矩阵按摸最大和最小的特征值λmax和λmin。
λmin即为λs；如果λ max>0,则λ501=λmax；如果λmax<0,则λ1=λmax。
2、使用带原点平移的幂法（mifa（）函数），令平移量p=λmax，求出对应的按摸最大的特征值λ’max，如果λ max>0,则λ1=λ’max+p；如果λmax<0,则λ501=λ’max+p。
3、求解A的与数μk=λ1+k（λ501-λ1）/40 的最接近的特征值λik （k=1,2，…，39）。
使用带原点平移的反幂法，令平移量p=μk，即可求出与μk最接近的特征值λ ik。
4、求解A的（谱范数）条件数cond（A）2和行列式detA。
cond（A）2=|λ1/λn|，其中λ1和λn分别是矩阵A的模最大和最小特征值。
求解矩阵A的行列式，可先对矩阵A进行LU分解后，detA等于U所有对角线上元素的乘积。
二．源程序#include<stdio.h>#include<math.h>#include<conio.h>//定义A中元素double C[5][501];double a[501];double b;double c;//声明所有函数void YaSuoJZ(double C[5][501],double a[501],double b,double c) ;//压缩矩阵函数double mifa(double C[5][501]); //幂法函数void daizhuangLU(double A[5][501]); //带状矩阵的LU分解double fanmifa(double C[5][501]);//反幂法函数//最值函数int max2(int x,int y);int max3(int x,int y,int z);int min(int x,int y);//最值函数int max2(int x,int y) //求2个数的最大值{int z;z=x>y?x:y;return(z);}int max3(int x,int y,int z) //求3个数的最大值{int w;w = z > max2(x,y)? z:max2(x,y);return(w);}int min(int x,int y) //求2个数的最小值{int z;z=x>y?y:x;return(z);}//将矩阵A压缩存储在矩阵C中void YaSuoJZ(double C[5][501],double a[501],double b,double c) {int i;for(i=0;i<=500;i++){if(i>=2) C[0][i]=c;else C[0][i]=0;if(i>=1) C[1][i]=b;else C[1][i]=0;if(i<=499) C[3][i]=b;else C[3][i]=0;if(i<=498) C[4][i]=c;else C[4][i]=0;C[2][i]=a[i];}}//幂法函数：用幂法求矩阵模最大的特征值double mifa(double C[5][501]){double u[501];double y[501]={0},η=0;double β,βk=0;double ε=1;// ε为精度double sumu=0,sumAY=0;int i,j,k=1; //k为循环次数for (i=0;i<=500;i++) //取任一非零向量u0u[i] = 1.0;while(ε>=1e-12){for(i=0;i<=500;i++) //求u(k-1)的2范数ηsumu=sumu+u[i]*u[i];η=sqrt(sumu);sumu=0;for(i=0;i<=500;i++) //求y(k-1)y[i]=u[i]/η;for(i=0;i<=500;i++) //求u(k)的各分量u[i]{for(j=max2(0,i-2);j<=min(i+2,500);j++)sumAY=sumAY+C[i-j+2][j]*y[j];u[i]=sumAY;sumAY=0;}//求幂法中的βkβ=βk; //将β(k-1)放在β中βk=0;for(i=0;i<=500;i++) //求βkβk=βk+y[i]*u[i];if(k>=2)ε=fabs(βk-β)/fabs(βk);k++;}return(βk);}//带状矩阵的LU分解void daizhuangLU(double A[5][501]){int i,j,k,m,t;double sumukj=0,sumlik=0;for(k=0;k<=500;k++){for(j=k;j<=min(k+2,500);j++) //求ukj并存在A[k-j+2][j]中{for(t=max3(0,k-2,j-2);t<=k-1;t++)sumukj=sumukj+A[k-t+2][t]*A[t-j+2][j];A[k-j+2][j]=A[k-j+2][j]-sumukj;sumukj=0;}if(k<500)for(i=k+1;i<=min(k+2,500);i++) //求lik并存在A[i-k+2][k]中{for(m=max3(0,i-2,k-2);m<=k-1;m++)sumlik=sumlik+A[i-m+2][m]*A[m-k+2][k];A[i-k+2][k]=(A[i-k+2][k]-sumlik)/A[2][k];sumlik=0;}}}//反幂法函数：用反幂法求矩阵的模最小的特征值double fanmifa(double M[5][501]){double u[501];double y[501]={0},x[501],η=0;double fβ,fβk=0;double ε=1;double fsumu=0,sumLX=0,sumUu=0;int i,t,m,k=1;for(i=0;i<=500;i++) //任取一非零向量u0u[i]=1;daizhuangLU(M); //对A进行LU分解A=LU，Au(k)=y(k-1)等价于Uu(k)=x和Lx=y(k-1) while(ε>=1e-12){for(i=0;i<=500;i++) //求u(k-1)的2范数ηfsumu=fsumu+u[i]*u[i];η=sqrt(fsumu);fsumu=0;for(i=0;i<=500;i++) //求y(k-1)y[i]=u[i]/η;for(i=0;i<=500;i++) //求中间向量xx[i]=y[i];for(i=1;i<=500;i++){for(t=max2(0,i-2);t<=i-1;t++)sumLX=sumLX+M[i-t+2][t]*x[t];x[i]=x[i]-sumLX;sumLX=0;}u[500]=x[500]/C[2][500]; //求u(k)的各分量u[i]for(i=499;i>=0;i--){for(m=i+1;m<=min(i+2,500);m++)sumUu=sumUu+M[i-m+2][m]*u[m];u[i]=(x[i]-sumUu)/M[2][i];sumUu=0;}//求反幂法中的βkfβ=fβk; //将fβ(k-1)放在fβ中fβk=0;for(i=0;i<=500;i++) //求fβkfβk=fβk+y[i]*u[i];if(k>=2)ε=fabs(1/fβk-1/fβ)/fabs(1/fβk);k++;}return(1/fβk);}//主函数void main(){int i,j,k;double λ1,λ501,λm,λm1,λm2,λs,λ,p;double cond,detA=1;for(i=1;i<=501;i++)a[i-1]=(1.64-0.024*i)*sin(0.2*i)-0.64*exp(0.1/i);b=0.16;c=-0.064;YaSuoJZ(C,a,b, c); //将矩阵A中元素压缩存储在C中λm1=mifa(C); //对A用幂法求出模最大的特征值λm1λs=fanmifa(C); //对A用反幂法求出模最小的特征值λsYaSuoJZ(C,a,b, c); //还原矩阵A中元素并压缩存储在C中for(j=0;j<=500;j++) //对A进行平移，平移量为λm1，平移后矩阵元素压缩存储在C中C[2][j]=C[2][j]-λ?m1;λm=mifa(C);λm2=λm1+λm; //λm1与λm2是矩阵的最大最小特征值if(λm1>λm2) //判断A最大最小特征值{λ501=λm1;λ1=λm2;}else{λ501=λm2;λ1=λm1;}printf("数值分析计算实习第一题\n\n ZY1515105 樊雪松\n\n （1）A的最大最小以及模最小的特征值\n");printf("A的最小特征值λ1=%.13e\n",λ1);printf("A的最大特征值λ501=%.13e\n",λ501);printf("A的模最小特征值λs=%.13e\n",λs);printf("\n（2）与数μk最接近的特征值\n");printf("\t要求接近的值\t\t\t实际求得的特征值\n");YaSuoJZ(C,a,b, c); //还原矩阵A中元素并压缩存储在C中for(k=1;k<=39;k++){p=λ1+k*(λ501-λ1)/40;for(j=0;j<=501;j++)C[2][j]=C[2][j]-p;λ=fanmifa(C)+p;printf("μ%d=%.13e λ%d=%.13e\n",k,p,k,λ);YaSuoJZ(C,a,b, c); //还原矩阵A中元素并压缩存储在C中}printf("\n（3）计算A的条件数cond(A)和行列式detA\n");cond=λm1/λs;daizhuangLU(C);for(j=0;j<=500;j++)detA=detA*C[2][j];printf("A的条件数cond(A)=%.13e\n",cond);printf("A的行列式detA=%.13e\n",detA);getch();}三、运行结果数值分析计算实习第一题ZY1515105 樊雪松（1）A的最大最小以及模最小的特征值A的最小特征值λ1=-1.0700113615018e+001A的最大特征值λ501=9.7246340987773e+000A的模最小特征值λs=-5.5579107942295e-003（2）与数μk最接近的特征值要求接近的值实际求得的特征值μ1=-1.0189494922173e+001 λ1=-1.0182934033146e+001 μ2=-9.6788762293280e+000 λ2=-9.5857074250676e+000 μ3=-9.1682575364831e+000 λ3=-9.1726724239280e+000 μ4=-8.6576388436383e+000 λ4=-8.6522840078976e+000 μ5=-8.1470201507934e+000 λ5=-8.0934838086753e+000 μ6=-7.6364014579485e+000 λ6=-7.6594054076924e+000 μ7=-7.1257827651036e+000 λ7=-7.1196846486912e+000 μ8=-6.6151640722588e+000 λ8=-6.6117643393973e+000 μ9=-6.1045453794139e+000 λ9=-6.0661032265951e+000 μ10=-5.5939266865690e+000 λ10=-5.5851010526284e+000 μ11=-5.0833079937241e+000 λ11=-5.1140835298122e+000 μ12=-4.5726893008792e+000 λ12=-4.5788721768651e+000 μ13=-4.0620706080344e+000 λ13=-4.0964709262599e+000 μ14=-3.5514519151895e+000 λ14=-3.5542112157508e+000 μ15=-3.0408332223446e+000 λ15=-3.0410900181333e+000 μ16=-2.5302145294997e+000 λ16=-2.5339703111304e+000 μ17=-2.0195958366549e+000 λ17=-2.0032307695635e+000μ18=-1.5089771438100e+000 λ18=-1.5035576112274e+000μ19=-9.9835845096511e-001 λ19=-9.9355860600754e-001μ20=-4.8773975812023e-001 λ20=-4.8704267388496e-001μ21=2.2878934724645e-002 λ21=2.2317362495748e -002μ22=5.3349762756952e-001 λ22=5.3241747420686e -001μ23=1.0441163204144e+000 λ23=1.0528989626935e+000μ24=1.5547350132593e+000 λ24=1.5894458818809e+000μ25=2.0653537061042e+000 λ25=2.0603304602743e+000μ26=2.5759723989490e+000 λ26=2.5580755970728e+000μ27=3.0865910917939e+000 λ27=3.0802405093071e+000μ28=3.5972097846388e+000 λ28=3.6136208676923e+000μ29=4.1078284774837e+000 λ29=4.0913785104506e+000μ30=4.6184471703285e+000 λ30=4.6030353782791e+000μ31=5.1290658631734e+000 λ31=5.1329242838984e+000μ32=5.6396845560183e+000 λ32=5.5949063480833e+000μ33=6.1503032488632e+000 λ33=6.0809338570269e+000μ34=6.6609219417080e+000 λ34=6.6803540921116e+000μ35=7.1715406345529e+000 λ35=7.2938774481266e+000μ36=7.6821593273978e+000 λ36=7.7171117142356e+000μ37=8.1927780202427e+000 λ37=8.2252200140502e+000μ38=8.7033967130876e+000 λ38=8.6486660651935e+000μ39=9.2140154059324e+000 λ39=9.2542003445750e+000（3）计算A 的条件数cond(A)和行列式detAA 的条件数cond(A)=1.9252042739022e+003A 的行列式detA=2.7727861417521e+118四、结果分析设A 的n 个线性无关的特征向量为1x ，2x ,…,n x ，其相对应的特征值满足的关系为n λλλλ≥≥≥> 321。
1月北京航空航天大学数学分析期末试题答案
北京航空航天大学2005-2006学年第一学期考试统一用答题册考试课程数学分析B班级成绩姓名学号20XX年1月数学分析(上)期终考试试题班级 学号 姓名 日期：2006.1.20一、填空题（每小题4分，共20分）1． sin 0tan 00limx →+⎰⎰= 12． 不定积分dx x ⎰sec = ln sec tan x x C ++3． 设()f x 有一阶连续导数，则'()d f x x ⎰=()f x C +，10'(2)d f x x ⎰=[]1(2)(0)2f f -。
4． 设函数()2xf x xe -=，则()f x 在0=x 处的5阶带Peano 余项的泰勒公式为()3551()2f x x x x o x =-++ 5． 111lim ......12n n n n n →∞⎛⎫+++⎪+++⎝⎭= ln 2 二、单项选择（每小题4分，共20分）1. 设()f x 连续, 220()()d x F x f t t =⎰, 则 '()F x 等于 【 C 】A. 4()f xB. 24()x f xC. 42()xf xD. 22()xf x2．下列命题中正确的是 【 B 】.A 若级数1n nn u v∞=∑收敛，则2211,nnn n uv∞∞==∑∑一定都收敛。
B ．若级数2211,nnn n uv∞∞==∑∑收敛，则1n nn u v∞=∑ 一定收敛 。
.C 若正项级数1n n u ∞=∑发散，则必有 1,1,2,3n u n n>= 。
.D 若1nn u∞=∑收敛，且,1,2,3,.....n n u v n ≥=，则1nn v∞=∑也收敛。
3． 设正项数列{}n a 单调递减 ，()11nn n a ∞=-∑发散，则级数111nn n a ∞=⎛⎫⎪+⎝⎭∑ 【 C 】A. 和等于1 B . 发散C . 收敛 D. 收敛性不能确定4. 设 1220011()d d 11xxF x t t t t =+++⎰⎰，则 【 B 】 A ．()0F x ≡ B.()2F x π≡C. ()arctan F x x =D.()2arctan F x x =5. 设⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,00 ,1sin )(x x x x x f , 则⎰=x dt t f x F 0)()(在x = 0处 【 D 】Ａ．不连续 Ｂ. 连续但不可导Ｃ．连续且可导 D . 导函数连续三、计算题（每小题6分，共24分）1.x x d arctan⎰1arctan 11arctan (1)x x dx x dx x xx C x C=-=+++=+=+⎰⎰ 2. 221d (1)(2)x x x x +++⎰ 2245112(1)24ln 15ln 21dx x x x x C x⎛⎫=-+ ⎪+++⎝⎭=--+++++⎰3.x x xd ln 12⎰∞+221111211ln -1ln 1d ln d d x 11d 1x x x x x x x x x x x +∞+∞+∞+∞+∞+∞⎛⎫==-+ ⎪⎝⎭==-=⎰⎰⎰⎰4. 设D 是由曲线 1sin +=x y 与三条直线 0,,0===y x x π 所围成的曲边梯形，求D 绕x 轴旋转一周所生成的旋转体的体积。
北航数值分析大作业三
一、题目：关于x, y, t, u, v, w 的下列方程组0.5cos 2.670.5sin 1.070.5cos 3.740.5sin 0.79t u v w x t u v w y t u v w x t u v w y +++-=⎧⎪+++-=⎪⎨+++-=⎪⎪+++-=⎩1、试用数值方法求出f(x, y)在区域 {(,)|00.8,0.5 1.5}D x y x y =≤≤≤≤上的一个近似表达式,0(,)kr s rsr s p x y cx y ==∑要求(,)p x y 一最小的k 值达到以下的精度10202700((,)(,))10i j i j i j f x y p x y σ-===-≤∑∑其中，0.08,0.50.05i j x i y j ==+。
2、计算****(,),(,)i j i j f x y p x y （i = 1, 2, …，8；j = 1, 2,…，5）的值，以观察(,)p x y 逼近(,)f x y 的效果，其中，*i x =0.1i , *j y =0.5+0.2j 。
说明：1、用迭代方法求解非线性方程组时，要求近似解向量()k x 满足()(1)()12||||/||||10k k k x x x --∞∞-≤2、作二元插值时，要使用分片二次代数插值。
3、要由程序自动确定最小的k 值。
4、打印以下内容：●算法的设计方案。
●全部源程序（要求注明主程序和每个子程序的功能）。
●数表：,,i j x y (,)i j f x y （i = 0,1,2,…,10；j = 0,1,2,…,20）。
●选择过程的,k σ值。
●达到精度要求时的,k σ值以及(,)p x y 中的系数rs c （r = 0,1,…,k;s = 0,1,…,k ）。
●数表：**,,i j x y ****(,),(,)i j i j f x y p x y （i = 1, 2, ...,8；j = 1, 2, (5)。
北航研究生数值分析试题
∗⎞ ⎟的 A1 ⎠
矩阵。
三、（12 分）试用高斯列主元素法求解线性方程组
⎡ 1 3 −2 −4 ⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎡3 ⎤ ⎢ 2 6 −7 −10 ⎥ ⎢ x ⎥ ⎢ −2 ⎥ ⎢ ⎥⎢ 2⎥ = ⎢ ⎥ ⎢ −1 −1 5 9 ⎥ ⎢ x3 ⎥ ⎢14 ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ x4 ⎦ ⎥ ⎣ −6 ⎦ ⎣ −3 −5 0 15 ⎦ ⎣ 四、（12 分）利用矩阵 A 的三角分解 A = LU 求解下列方程组 ⎛ 1 2 1 ⎞ ⎛ x1 ⎞ ⎛ 0 ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 2 2 3 ⎟ ⎜ x2 ⎟ = ⎜ 3 ⎟ ⎜ −1 −3 0 ⎟ ⎜ x ⎟ ⎜ 2 ⎟ ⎝ ⎠⎝ 3 ⎠ ⎝ ⎠
第一章
1、近似数 x = 0.231 关于真值 x = 0.229 有（ （1）1；（2）2；（3）3；（4）4。
∗
绪论
一、选择题（四个选项中仅有一项符合题目要求，每小题 3 分，共计 15 分) ）位有效数字。
2、取 3 ≈ 1.732 计算 x = ( 3 − 1) ，下列方法中哪种最好？（
4
）
Ax
∞和
A ∞ 的值分别为（
）
3
(1) 8 , 8 ；
(2) 8 , 7 ；
(3) 8 , 6 ；
(4) 7 , 7 。
5 、若解线性代数方程组的 Gauss 部分选主元方法第二步得到的系数矩阵的第三列向量为
(2
6 3 2 −5 4 2 ) ，则第三步主行是（
T
） (4) 第 6 行。
(1) 第 2 行；
1 − cos x , sin x
x ≠ 0且 x << 1 ；
（2）
1 1− x , − 1+ 2x 1+ x
北航数值分析大作业第一题幂法与反幂法
《数值分析》计算实习题目第一题：1. 算法设计方案（1）1λ，501λ和s λ的值。
1)首先通过幂法求出按模最大的特征值λt1，然后根据λt1进行原点平移求出另一特征值λt2，比较两值大小，数值小的为所求最小特征值λ1，数值大的为是所求最大特征值λ501。
2)使用反幂法求λs ，其中需要解线性方程组。
因为A 为带状线性方程组，此处采用LU 分解法解带状方程组。
（2）与140k λλμλ-5011=+k 最接近的特征值λik 。
通过带有原点平移的反幂法求出与数k μ最接近的特征值 λik 。
（3）2cond(A)和det A 。
1）1=nλλ2cond(A)，其中1λ和n λ分别是按模最大和最小特征值。
2）利用步骤（1）中分解矩阵A 得出的LU 矩阵，L 为单位下三角阵,U 为上三角阵，其中U 矩阵的主对角线元素之积即为det A 。
由于A 的元素零元素较多，为节省储存量，将A 的元素存为6×501的数组中，程序中采用get_an_element()函数来从小数组中取出A 中的元素。
2.全部源程序#include <stdio.h>#include <math.h>void init_a();//初始化Adouble get_an_element(int,int);//取A 中的元素函数double powermethod(double);//原点平移的幂法double inversepowermethod(double);//原点平移的反幂法int presolve(double);//三角LU 分解int solve(double [],double []);//解方程组int max(int,int);int min(int,int);double (*u)[502]=new double[502][502];//上三角U 数组double (*l)[502]=new double[502][502];//单位下三角L 数组double a[6][502];//矩阵Aint main(){int i,k;double lambdat1,lambdat2,lambda1,lambda501,lambdas,mu[40],det;init_a();//初始化Alambdat1=powermethod(0);lambdat2=powermethod(lambdat1);lambda1=lambdat1<lambdat2?lambdat1:lambdat2;lambda501=lambdat1>lambdat2?lambdat1:lambdat2;presolve(0);lambdas=inversepowermethod(0);det=1;for(i=1;i<=501;i++)det=det*u[i][i];for (k=1;k<=39;k++){mu[k]=lambda1+k*(lambda501-lambda1)/40;presolve(mu[k]);lambda[k]=inversepowermethod(mu[k]);}printf("------------所有特征值如下------------\n");printf("λ=%1.11e λ=%1.11e\n",lambda1,lambda501);printf("λs=%1.11e\n",lambdas);printf("cond(A)=%1.11e\n",fabs(lambdat1/lambdas));printf("detA=%1.11e \n",det);for (k=1;k<=39;k++){printf("λi%d=%1.11e ",k,lambda[k]);if(k % 3==0) printf("\n");} delete []u;delete []l;//释放堆内存return 0;}void init_a()//初始化A{int i;for (i=3;i<=501;i++) a[1][i]=a[5][502-i]=-0.064;for (i=2;i<=501;i++) a[2][i]=a[4][502-i]=0.16;for (i=1;i<=501;i++) a[3][i]=(1.64-0.024*i)*sin(0.2*i)-0.64*exp(0.1/i); }double get_an_element(int i,int j)//从A中节省存储量的提取元素方法{if (fabs(i-j)<=2) return a[i-j+3][j];else return 0;}double powermethod(double offset)//幂法{int i,x1;double beta=0,prebeta=-1000,yita=0;for (i=1;i<=501;i++)u[i]=1,y[i]=0;//设置初始向量u[]for (int k=1;k<=10000;k++){yita=0;for (i=1;i<=501;i++) yita=sqrt(yita*yita+u[i]*u[i]);for (i=1;i<=501;i++) y[i]=u[i]/yita;for (x1=1;x1<=501;x1++){u[x1]=0;for (int x2=1;x2<=501;x2++)u[x1]=u[x1]+((x1==x2)?(get_an_element(x1,x2)-offset):get_an_element(x1,x2))*y[x2];} prebeta=beta;beta=0;for (i=1;i<=501;i++) beta=beta+ y[i]*u[i];if (fabs((prebeta-beta)/beta)<=1e-12) {printf("offset=%f lambda=%f err=%e k=%d\n",offset,(beta+offset),fabs((prebeta-beta)/beta),k);break;};//输出中间过程,包括偏移量,误差,迭代次数}return (beta+offset);}double inversepowermethod(double offset)//反幂法{int i;double u[502],y[502];double beta=0,prebeta=0,yita=0;for (i=1;i<=501;i++)u[i]=1,y[i]=0; //设置初始向量u[]for (int k=1;k<=10000;k++){yita=0;for (i=1;i<=501;i++) yita=sqrt(yita*yita+u[i]*u[i]);for (i=1;i<=501;i++) y[i]=u[i]/yita;solve(u,y);prebeta=beta;beta=0;for (i=1;i<=501;i++) beta=beta+ y[i]*u[i];beta=1/beta;if (fabs((prebeta-beta)/beta)<=1e-12) {printf("offset=%f lambda=%f err=%e k=%d\n",offset,(beta+offset),fabs((prebeta-beta)/beta),k);break;};//输出中间过程,包括偏移量,误差,迭代次数}return (beta+offset);}int presolve(double offset)//三角LU分解{int i,k,j,t;double sum;for (k=1;k<=501;k++)for (j=1;j<=501;j++){u[k][j]=l[k][j]=0;if (k==j) l[k][j]=1;} //初始化LU矩阵for (k=1;k<=501;k++){for (j=k;j<=min(k+2,501);j++){sum=0;for (t=max(1,max(k-2,j-2)) ; t<=(k-1) ; t++)sum=sum+l[k][t]*u[t][j];u[k][j]=((k==j)?(get_an_element(k,j)-offset):get_an_element(k,j))-sum;}if (k==501) continue;for (i=k+1;i<=min(k+2,501);i++){sum=0;for (t=max(1,max(i-2,k-2));t<=(k-1);t++)sum=sum+l[i][t]*u[t][k];l[i][k]=(((i==k)?(get_an_element(i,k)-offset):get_an_element(i,k))-sum)/u[k][k];}}return 0;}int solve(double x[],double b[])//解方程组{int i,t;double y[502];double sum;y[1]=b[1];for (i=2;i<=501;i++){sum=0;for (t=max(1,i-2);t<=i-1;t++)sum=sum+l[i][t]*y[t];y[i]=b[i]-sum;}x[501]=y[501]/u[501][501];for (i=500;i>=1;i--){sum=0;for (t=i+1;t<=min(i+2,501);t++)sum=sum+u[i][t]*x[t];x[i]=(y[i]-sum)/u[i][i];}return 0;}int max(int x,int y){return (x>y?x:y);}int min(int x,int y){return (x<y?x:y);}3.计算结果结果如下图所示:部分中间结果：给出了偏移量(offset)，误差(err)，迭代次数(k)4.讨论迭代初始向量的选取对计算结果的影响,并说明原因使用u[i]=1（i=1,2,...,501）作为初始向量进行迭代，可得出以上结果。
北航数值分析大作业3(学硕)
《数值分析》作业三院系：机械学院学号：SY1307145姓名：龙安林2013年11 月24 日1. 算法设计1) 开始；2) 计算数组[][]0.08,0.050.5,0,1,2,,10;0,1,2,,20x i i y j j i j ==+=⋯=⋯（）； 3) 将点[][],0,1,2,,10;0,1,2,,20x i y j i j =⋯=⋯（）,（）带入非线性方程组： 0.5cos 2.670.5sin 1.070.5cos 3.740.5sin 0.79t u v w x t u v w y t u v w x t u v w y +++-=⎧⎪+++-=⎪⎨+++-=⎪⎪+++-=⎩ 得出相应的点,t u （）； 4) 选择拉格朗日插值法，将,t u （）作为中间变量，在题目所给出的二维数表中进行二次代数插值，得到[][],)(z f x i y j =；5) 输出数表：[][][][]()()0,1,2,,10;0,1,2,,20,,,x i y j f x i y j i j =⋯=⋯； 6) 令k=0；7) 以()()(),,,0,1,r r r s x x y y r s ϕψ===…,k 为拟合基函数，将上述数表作为拟合条件，对于给定的k 值，得到矩阵B 、G 、U ；8) 令-1-1(),()T T T A B B B U C AG G G ==，用选主元的LU 分解法分别计算矩阵A 和C 的各列，最后得到系数矩阵C ；9) 以公式：()()()00,k ki j rs r i s j s r p x y C x y ϕψ===∑∑计算每个点的拟合值；10) 利用公式：()()()2102000,,i j i j i j f x y p x y σ===-∑∑计算拟合误差，当σ≤10-7时，循环结束，否则k=k+1，转（6）；11) 令[][]()**0.10.50.2 1,2,81,2,5x i i y j j i j ==+=⋯=⋯；，；，；12) 计算()()()******,,,,,i j i j i jf x y p x y delta x y ，输出数表，观察逼近效果； 13) 结束。
数值分析(秘籍考试必过个人整理)
例1：构造求解下列方程组收敛的Gauss-Seidel 迭代格式（不计算），并说明收敛的理由。
⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----456401-1-51-1-1-6645116401151321321x x x x x x 同解变换为GS 迭代格式为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+=++=++=+++++141151511616111133********k k kk k kk k x x x x x x x x ，k=0，1，2，…其中)0(3)0(2)0(1,,x x x 为初值。
因为变换后的系数矩阵为严格对角占优阵，所以GS 迭代格式收敛。
公式：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+--=∑∑-≠=+=++111111i i j j ni j i k j ij k j ij ii k i b x a x a a x 收敛性：1.若A 主对角元占优，则收敛。
2.若A 对称正定，则收敛。
3.若1〈G ，则收敛 4.收敛1)(<⇔G ρ例2：用Doolittle （LU ）分解法求解如下线性方程组：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---203214511121321x x x 解：设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=203,214511121b A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡==332322131211323121111u u u u u u l l l LU A 公式n k i u u l a l n k k j u l a u kk sk k s is ik ik sj k s ks kj kj ,...,1,/)(,,...,1,,1111+=-=+=-=∑∑-=-= 由矩阵相等得:⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=1263121,1374111U L由Ly=b ，解得：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡333321y y y ，由Ux=y, 解得：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡4/12/34/1321x x x注：Crout 分解：A=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=111231312333231222111u u u l l l l l l LU ),...,1,(11n k k i u l a l tk k t it ik ik +=-=∑-=，),,...,2,1(,/)(11n k n k k j l u l a u kk k t tj kt kj kj <++=-=∑-=例3：用Euler 法求初值问题：⎩⎨⎧==≤≤-=1.0,0)0(5.00,,h y x y x y 解：1)Euler 公式：⎩⎨⎧=-=+=+001)(1,...,1,0),,(y x y n i y x hf y y i i i i公式：))(,()(,i i i x y x f x y =，对于[]))(,()(,,,x y x f x y b a x =∈∀ 这里ih x y x y x f h b a y n i =-======,),(,1.0,5.0,0,0,50 注：因为x 最大能取到0.5，步长h=0.1，所以n=5i y y i y y i i i i 01.09.0)1.0(1.01+=-+=+2)算得：=====54321,,,,y y y y y例4：(Householder)设Ta )4,3,1,0,7(-=求H 使5,)0,,1,0,7(±=-=σσTHa解：设T b )0,,1,0,7(σ-=（取σ=5，（σ符号的选取应使2b a -的值尽可能大，σ与1+m a 同号））T b a )4,8,0,0,0(-=-∴, 54)4(8222=-+=-baT b a b a V )1,2,0,0,0(512-=--=, ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=-=5/35/45/45/3235I VV I H T公式：设Ha=b ，计算T VV I H b a ba Vb a b a 2,,,22-=--=--（ , ||m a x ||||111∑=≤≤=ni ij nj a A （列范数） 的最大特征值矩阵A A A T =2||||）例5：利用householder 把下列矩阵化为拟上三角矩阵。
北航《数值分析》习题
北航《数值分析》习题习题一1. 下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，试指出它们有几位有效数字以及它们的绝对误差限、相对误差限。
（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；1. （1）5，，；（2）2，，；（3）4，，；（4）5，，；（5）1，，；（6）2，，；（7）6，，2. 为使下列各数的近似值的相对误差限不超过，问各近似值分别应取几位有效数字？2. ；；3. 设均为第1题所给数据，估计下列各近似数的误差限。
（1）；（2）；（3）3. （1）；（2）；（3）4. 计算，取，利用下列等价表达式计算，哪一个的结果最好？为什么？（1）；（2）；（3）（4）4. 第（3）个结果最好。
5. 序列满足递推关系式若（三位有效数字），计算时误差有多大？这个计算过程稳定吗？5. 不稳定。
从计算到时，误差约为6. 求方程的两个根，使其至少具有四位有效数字（要求利用。
6. ，7. 某生产部门生产的一件产品需用七个零件，而这七个零件的质量取决于零件参数的标定值，它们的参数允许有一定的误差：若每一零件的标定值取做区间中点，在生产过程中每一零件的参数都有可能产生误差。
由此将零件分成不同的等级：A，B，C三等，等级由标定值的相对误差限表示，A等为1%，B等为5%，C等为10%。
试确定三个等级的零件分别满足的区间。
8. 将一个八位二进制数(10111101)2转换成十进制数时，可以用公式：（1）用多项式求值的秦九韶方法求C的值；（2）写出将任意一个八位二进制数(b1b2b3b4b5b6b7b8)2转化为十进制数的算法。
9. 利用等式变换使下列表达式的计算结果比较精确。
（1）；（2）（3）；（4）9. （1）；（2）；（3）；（4）10. 设，求证：（1）（2）利用（1）中的公式正向递推计算时误差增大；反向递推时误差函数减小。
习题二1. 判断下列方程有几个实根，并求出其隔根区间。
（1）；（2）（3）；（4）1. （1），，；（2）；（3），，；（4）为根。
北航数值分析大作业第一题
1 算法方案 1.1 λ1，λ501，λs 的计算
(1) (2) (3) (4) (5) 将矩阵 A[501][501]以压缩存储后的形式 C[5][501]输入 使用一次幂法得到按模最大的特征值 矩阵向左平移 λm 距离（A-λmI） ，再使用一次幂法得到按模最大的特征值 s，则 λm1=s-λm1 比较 λm1 和 λm2 的大小与正负，得到 λ 和 λ501 对 A 使用一次反幂法得到按模最小的特征值 λs
while (e>=pow(10,-12)); return 1/be;//返回 1/be2 作为矩阵 m[5][501]的按模最小向量 } //333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333 33333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333 double det(double c[1+r+s][q]) { int max3(int a,int b,int c); int fmax2(int a,int b); int fmin2(int a,int b); int i,j,k,t; double sum,det=1; for(k=1;k<=q;k++) { for(j=k;j<=fmin2(k+s,q);j++)//求 ukj { sum=0; for(t=max3(1,k-r,j-s);t<=k-1;t++) { sum=sum+c[k-t+s][t-1]*c[t-j+s][j-1]; } c[k-j+s][j-1]=c[k-j+s][j-1]-sum; }
北航数值分析B自测题1-3章
D.2
10.若f (x)在区间[a, b]内单调有限，二分k 次后区间记为[ak , bk ],且每次 取xk+1 = ak 近似代替精确解x∗ ,则最小的绝对误差限为（ ） A.|xk+1 − x∗ | ≤ C.|xk+1 − x∗ | ≤ 二、 填空题 1.设π 的近似数π ∗ 有4位有效数字，则其相对误差限为 √ 2. x∗ 的相对误差约是x∗ 的相对误差的 倍。
(2)a=6,b=2; (3)a=2,b=3; (4)a=-1,b=2.
3.设矩阵A ∈ Rn∗n , Q ∈ Rn∗n ,且QT Q=E，则下列关系式不成立的是（ ） (1) A
2
= AQ ; (2) QA
2 F
= A
F
; (3) Qx
2
= x , 其中x ∈ Rn ;
2
(4)cond∞ ( ) = cond∞ ( Q).
8
3 −1 4 1 4.设矩阵A=−1 2 −2 ，x=−1 ，则 Ax 2 −3 −2 1 （ ） (1)8,8; (2)8,7; (3)8,6; (4)7,7.
A. 7 3
B.− 7 3
7 C. 6
D.− 7 6
8.追赶法适用于求解（ ）线性方程组. A.上三角 B.下三角 C.对角 D.三对角 二.填空 题：
2 1 0 1.设A=1 2 a，为使A 可分解为A=LLT ，其中L是 对角元素为正的下 0 a 2 三角矩阵 范围是 ，则a的取值 .
1 (s∗ ) s∗
≈
27 110×80
= 0.31% = max 1 ≤ j ≤ n{1, 2, 4} = 4;
北航数值分析作业第一题
数值分析作业第一题一、 算法设计方案利用带状Dollittle 分解，将A[501][501]转存到数组C[5][501]，以节省存储空间1、计算λ1和λ501首先使用幂法求出矩阵的按模最大的特征值λ0：如果λ0>0，则其必为按模最大值，因此λ501=λ0，然后采用原点平移法，平移量为λ501，使用幂法迭代求出矩阵A -λ501I 的按模最大的特征值，其特征值按从小到大排列应为λ1-λ501、λ2-λ501、……、0。
因此A-λ501I 的按模最大的特征值应为λ1-λ501。
又因为λ501的值已求得，由此可直接求出λ1。
2、计算λSλS 为矩阵A 按模最小的特征值，可以通过反幂法直接求出。
3、计算λikλik 是对矩阵A 进行λik 平移后，再用反幂法求出按模最小的特征值λmin ，λik =λik +λmin 。
4、计算矩阵A 的条件数计算cond （A ）2和行列式det(A)矩阵A 的条件数为n12cond λλ）（ A ，其中λ1和λn 分别是矩阵A 的模最大和最小特征值，直接利用上面求得的结果直接计算。
矩阵A 的行列式可先对矩阵A 进行LU 分解后，det(A)等于U 所有对角线上元素的乘积。
二、源程序：#include<math.h>#include<stdio.h>#include<stdlib.h>#include<iostream.h>#define s 2#define r 2int Max(int v1,int v2);int Min(int v1,int v2);int maxt(int v1,int v2,int v3);void storage(double C[5][501],double b,double c);double mifa(double C[5][501]);void LU(double C[5][501]);double fmifa(double C[5][501]);int Max(int v1,int v2) //求两个数的最大值{ return((v1>v2)?v1:v2);}int Min(int v1,int v2) //求两个数最小值{ return ((v1<v2)?v1:v2);}int maxt(int v1,int v2,int v3) //求三个数最大值{ int t;if(v1>v2) t=v1;else t=v2;if(t<v3) t=v3;return(t);}/***将矩阵值转存在一个数组里，以节省存储空间***/void storage(double C[5][501],double b,double c){ int i=0,j=0;C[i][j]=0,C[i][j+1]=0;for(j=2;j<=500;j++)C[i][j]=c;i++;j=0;C[i][j]=0;for(j=1;j<=500;j++)C[i][j]=b;i++;for(j=0;j<=500;j++)C[i][j]=(1.64-0.024*(j+1))*sin(0.2*(j+1))-0.64*exp(0.1/(j+1));i++;for(j=0;j<=499;j++)C[i][j]=b;C[i][j]=0;i++;for(j=0;j<=498;j++)C[i][j]=c;C[i][j]=0,C[i][j+1]=0;}//用于求解最大的特征值，幂法double mifa(double C[5][501]){ int m=0,i,j;double b2,b1=0,sum;double u[501],y[501];for (i=0;i<501;i++){ u[i] = 1.0;}do{ sum=0;if(m!=0)b1=b2;m++;for(i=0;i<=500;i++)sum+=u[i]*u[i];for(i=0;i<=500;i++)y[i]=u[i]/sqrt(sum);for(i=0;i<=500;i++){ u[i]=0;for(j=Max(i-r,0);j<=Min(i+s,500);j++)u[i]=u[i]+C[i-j+s][j]*y[j];}b2=0;for(i=0;i<=500;i++)b2=b2+y[i]*u[i];}while(fabs(b2-b1)/fabs(b2)>=1.0e-12);return b2;}/*****行列式LU分解*****/void LU(double C[5][501]){ double sum;int k,i,j;for(k=1;k<=501;k++){ for(j=k;j<=Min(k+s,501);j++){ sum=0;for(i=maxt(1,k-r,j-s);i<=k-1;i++)sum+=C[k-i+s][i-1]*C[i-j+s][j-1];C[k-j+s][j-1]-=sum;}for(j=k+1;j<=Min(k+r,501);j++){ sum=0;for(i=maxt(1,j-r,k-s);i<=k-1;i++)sum+=C[j-i+s][i-1]*C[i-k+s][k-1];C[j-k+s][k-1]=(C[j-k+s][k-1]-sum)/C[s][k-1];}}}/***带状DOOLITE分解，并且求解出方程组的解***/void solve(double C[5][501],double x[501],double b[501]){ int i,j,k,t;double B[5][501],c[501];for(i=0;i<=4;i++){ for(j=0;j<=500;j++)B[i][j]=C[i][j];}for(i=0;i<=500;i++)c[i]=b[i];for(k=0;k<=500;k++){ for(j=k;j<=Min(k+s,500);j++){ for(t=Max(0,Max(k-r,j-s));t<=k-1;t++)B[k-j+s][j]=B[k-j+s][j]-B[k-t+s][t]*B[t-j+s][j];}for(i=k+1;i<=Min(k+r,500);i++){ for(t=Max(0,Max(i-r,k-s));t<=k-1;t++)B[i-k+s][k]=B[i-k+s][k]-B[i-t+s][t]*B[t-k+s][k];B[i-k+s][k]=B[i-k+s][k]/B[s][k];}}for(i=1;i<=500;i++)for(t=Max(0,i-r);t<=i-1;t++)c[i]=c[i]-B[i-t+s][t]*c[t];x[500]=c[500]/B[s][500];for(i=499;i>=0;i--){ x[i]=c[i];for(t=i+1;t<=Min(i+s,500);t++)x[i]=x[i]-B[i-t+s][t]*x[t];x[i]=x[i]/B[s][i];}}//用于求解模最大的特征值，反幂法double fmifa(double C[5][501]){ int m=0,i;double b2,b1=0,sum=0,u[501],y[501];for (i=0;i<=500;i++){ [i] = 1.0;}do{ if(m!=0)b1=b2;m++;sum=0;for(i=0;i<=500;i++)sum+=u[i]*u[i];for(i=0;i<=500;i++)y[i]=u[i]/sqrt(sum);solve(C,u,y);b2=0;for(i=0;i<=500;i++)b2+=y[i]*u[i];}while(fabs(b2-b1)/fabs(b2)>=1.0e-12);return 1/b2;}/***主程序***/void main(){ double b=0.16,c=-0.064,det=1.0;int i;double C[5][501],cond;storage(C,b,c); //进行C的赋值cout.precision(12); //定义输出精度double k1=mifa(C); //利用幂法计算矩阵的最大特征值和最小特征值if(k1<0)printf("λ1=%.12e\n",k1);else if(k1>=0)printf("λ501=%.12e\n",k1);for(i=0;i<501;i++)C[2][i]=C[2][i]-k1;double k2=mifa(C)+k1;if(k2<0)printf("λ1=%.12e\n",k2);else if(k2>=0)printf("λ501=%.12e\n",k2);storage(C,b,c);double k3=fmifa(C); //利用反幂法计算矩阵A的按模最小特征值printf("λs=%.12e\n",k3);storage(C,b,c); //计算最接近特征值double u[39]={0};for(i=0;i<39;i++){ u[i]=k1+(i+1)*(k2-k1)/40;C[2][i]=C[2][i]-u[i];u[i]=fmifa(C)+u[i];printf("与数u%d 最接近的特征值λ%d: %.12e\n",i+1,i+1,u[i]);}if(k1>0) //计算矩阵A的条件数，取2范数cond=fabs(k1/k3);else if(k1<0)cond=fabs(k2/k3);storage(C,b,c);LU(C); //利用LU分解计算矩阵A的行列式for(i=0;i<501;i++)det*=C[2][i];printf("\ncond(A)=%.12e\n",cond);printf("\ndet(A)=%.12e\n",det);}三、计算结果：四、结果分析迭代初始向量的选择对果有一定的影响，选择不同的初始向量可能会得到不同阶的特征值。
北航研究生数值分析作业第二题
北航研究生数值分析作业第二题北航研究生数值分析作业第二题：一、算法设计方案1.按照题目给出的矩阵定义对矩阵A赋初值：对应的函数为a_init()；2.对矩阵A进行householder变换，使其拟上三角化：对应的函数为householder()；3.输出拟上三角化后的A：对应的函数为aout(int)；4.对拟上三角化后的矩阵A使用带双步位移的QR分解法逐次迭代（最大迭代次数L=500），逐个求出其特征值，对应的函数为eigen_a()；中间包含两个子程序：calc_mk()和qr_analyze()，分别用来计算矩阵M k和对M k进行QR 分解并得到A k+1;5.输出QR分解过程完毕后的A及求得的特征向量：对应的函数为aout()和eigenvalout()；6.对于在第三步中求得的每个实特征值，使用带原点平移的反幂法求出其对应的特征向量，对应的函数为eigenvec()；其中包含一个解方程(A-μI)=y k-1的程序段。
这部分也用迭代完成，仍然将最大迭代次数L设置为500；7.输出矩阵A的特征向量，结束计算：对应的函数为eigenvecout()。
算法编译环境：vlsual c++6.0二、源程序如下：#include#include#define N 10 //矩阵阶数；#define EPSL 1.0e-12 //迭代的精度水平；#define L 500 //迭代最大次数；#define OUTPUTMODE 1 //输出格式：0--输出至屏幕，1--输出至文件double a[N][N], a2[N][N], eigen[N][N]; //声明矩阵A；double sa_re[N] = {0}, sa_im[N] = {0}; //声明矩阵的特征值数组；double u_init[N] = {2,1,2,1,2,1,2,1,2,1}; //定义反幂法中使用的初始向量u；//主程序开始；int main(){FILE *p;void a_init();void householder();void equal_zero(double matrix[N][N], int);void eigenvec();int eigen_a();void aout(int);void eigenvalout(int);void eigenvecout(int);if(OUTPUTMODE){p = fopen("Result.txt", "w+");fprintf(p, "计算结果：\n");fclose(p);}a_init(); //对矩阵A进行初始化；householder(); //对矩阵A进行拟上三角化；equal_zero(a, N); //对矩阵A的元素进行归零处理，消除误差；aout(OUTPUTMODE); //输出A；if(eigen_a()) printf("迭代超过最大次数，特征值求解结果可能不正确。
北航数值分析第三次大作业
} fx=temp;
temp=0; for(l=0;l<=3;l++)
{ if(temp<fabs(X[l])) temp=fabs(X[l]);
} fX=temp;
if(fabs(fx/fX)<Epsilon1)
{ t[i][j]=X[0]; u[i][j]=X[1];
A = (BT B)−1 BTU ， DT = G(GTG)−1
对上面两式进行变形，得到如下两个线性方程组：
(BT B)A = BTU ， (GTG)D = GT
通过解上述两个线性方程组，则有： C = ADT
kk
3）对于每一个 (xi , y j ) ， p*(xi , y j ) =
Crs (xi )r ( y j )s 。
xi yj
−h 2
− 2
x xi y y
+ h, 2
j
+
2
2i ,2
j
n
−2 m−
2
则选择 (xk , yr )(k = i −1,i,i +1;r = j −1, j, j +1) 为插值节点。 2）计算
lk
(x)
=
i +1 t =i−1
x − xt xk − xt
/*高斯选主元消去法求解Δx*/ for(k=0;k<3;k++)
{ ik=k; for(l=k;l<=3;l++) {if(dF[ik][k]<dF[l][k]) ik=l; } /*选主元*/
北航数值分析复习试题
数值分析一、单项选择题（共20分,每小题2分）1-110=11=12=，则Lagranage 二次插值多项式为（ ） A.2(121)(144)(100)(144)(100)(121)()101112(100121)(100144)(121100)(121144)(144121)(144100)x x x x x x L x ------=++------ B ．2(121)(144)(100)(144)(100)(121)()111012(100121)(100144)(121100)(121144)(144121)(144100)x x x x x x L x ------=++------ C ．2(121)(144)(100)(144)(100)(121)()121110(100121)(100144)(121100)(121144)(144121)(144100)x x x x x x L x ------=++------ D ．2(121)(144)(100)(144)(100)(121)()101211(100121)(100144)(121100)(121144)(144121)(144100)x x x x x x L x ------=++------ 1-210=11=12=，用Lagranage为（ ）精确到小数点后4位。
A.9.7227 B ．11.7227 C ．10.7227 D ．13.72271-3、已知(1 2 3 4)TX =，则向量X 的21, , Xx x ∞的值分别是：（ ）B. -9，212,7C. 4,5,6D. 9,4,71-4、设 2121A --⎛⎫= ⎪⎝⎭，则21,, , F A A A x ∞的值分别为（ ）A. 4B. -9，C.4,5,6D. 9,4,71-5、设节点00 (=0,1,2,...,n), (0),k x x kh k x x th t =+=+>则Newton 向前插值公式为（ ）A. 100010()()!k k nn k j f N x th f t j k -==∆+=+-∑∏ B. 110()()!k k nn n n n k j f N x th f t j k -==∆+=+-∑∏ C. 100010()()!k k nn k j f N x th f t j k -==∇+=+-∑∏ D. 110()()!k k nn n n n k j f N x th f t j k -==∇+=+-∑∏1-6、方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++=+++47401815622189622315694962424321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x 进行直接三角分解法得到的L 矩阵为（ ）A. 1211213321B.1613216241C.16332202102 D.12147165511-7、对方程组的系数矩阵123412312341346262414535x x x x x x x x x x x x x x ++-=⎧⎪++=-⎨++-=⎪--+=-⎩进行Crout 分解法得到的U 矩阵为（ ）A.1111363111261131-- B. 1111363111569171--C.111136611151091371-- D. 111166311223611121--1-8、1、已知642()1f x x x x =+-+，2, 2 (0,1,2,...)k x kh h k =+==，则[2,6,10,14,18,22,26,30]f =（ ）A ．5！B ．4！C ．0D ．11-9、1、已知64()f x x x =+，2, 2 (0,1,2,...)k x kh h k =+==，则[2,4,6,8,10,12,14]f =（ ）A ．5！B ．4！C ．0D ．11-10、复合Cotes 求积公式, 复合梯形求积公式和复合Simpson 求积公式的收敛阶分别为（ ） A ．5，1，3 B ．4，2 ，6 C ．6，2，4 D ．以上都不对1-11、对线性方程组1231231232211221x x x x x x x x x +-=⎧⎪++=⎨++=⎪⎩，若用Jocabi 迭代法和G-S 迭代法求解，则（ ）A.Jocabi 迭代法收敛和G-S 迭代法发散B. Jocabi 迭代法和G-S 迭代法均发散C. Jocabi 迭代法和G-S 迭代法均收敛D. Jocabi 迭代法发散和G-S 迭代法收敛1-12、对线性方程组1231213918 293x x x x x x x --=⎧⎪-+=⎨-+=⎪⎩，若用Jocabi 迭代法和G-S 迭代法求解（ ），则 B.Jocabi 迭代法收敛和G-S 迭代法发散 A. Jocabi 迭代法和G-S 迭代法均发散C. Jocabi 迭代法和G-S 迭代法均收敛D. Jocabi 迭代法发散和G-S 迭代法收敛1-13、设线性方程组为1231213918 293x x x x x x x --=⎧⎪-+=⎨-+=⎪⎩，则Jocabi 迭代格式和G-S 迭代格式分别为（ ），则(Ⅰ) 2311(1)()()1(1)()2(1)()311799917881899k k k k k k k x x x x x x x +++⎧=++⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪=+⎪⎩(Ⅱ) 2311(1)()()1(1)(1)2(1)(1)311799917881899k k k k k k k x x x x x x x +++++⎧=++⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪=+⎪⎩A.(Ⅰ)和(Ⅱ)B. (Ⅱ)和(Ⅰ)C.(Ⅰ)和(Ⅰ)D. (Ⅱ)和(Ⅱ)1-14、已知*x 是()f x 的 (2)m m ≥重根，则求重根的修正Newton 公式为（ ）1(). ()k k k k f x A x x mf x +=-' 10(). ()k k k f x B x x mf x +=-'111(). ()()()k k k k k k k f x C x x x x f x f x +--=--- 111()(). ()()k k k k k k k f x f x D x x f x x x -+--=--1-15、若记(),()k k k k y f x z f y ==，则对迭代格式1()k k x f x -=使用Aitken 加速后得到的新迭代迭代格式为（ ）21(()). (())2()k k k k k k k f x x A x x f f x f x x +-=--+21(()). ()(())2()k k k k k k k f x x B x f x f f x f x x +-=--+21(). 2k k k k k k k z y C x z z y x +-=--+ 21((())()). (())(())2()k k k k k k k f f x f x D x f f x f f x f x x +-=--+1-16、将积分区间[a,b]n 等分，分点为kh a x k +=，k=0,1,2,3,4....n,其中nab h -=，则复合梯形公式为( )A. ])()(4)([211∑-=++n k k b f x f a f hB.])()(2)([211∑-=++n k k b f x f a f hC.)]()(4)(2)([6102111b f x f x f a f hn k k n k k +++∑∑-=+-=D.)]()(4)(2)([6112110b f x f x f a f hn k k n k k +++∑∑-=+-=二、填空题（共20分,每空2分）2-1、根据数值方法的稳定性与算法设计原则在连加运算中要防止 ，在减法运算中要避免 ，在除法运算中要避免，在乘法运算中要避免 。
北航研究生数值分析期末模拟历年考试
北航研究⽣数值分析期末模拟历年考试数值分析模拟试卷1⼀、填空（共30分，每空3分） 1 设-=1511A ，则A 地谱半径=)(a ρ______，A 地条件数)(1A cond =________. 2设,2,1,0,,53)(2==+=k kh x x x f k ，则],,[21++n n n x x x f ＝________,],,[321+++n n n n x x x x f ，＝________.3 设≤≤-++≤≤+=21,1210,)(2323x cx bx x x x x x S ，是以0，1，2为节点地三次样条函数，则b=________,c=________.4设∞=0)]([k k x q 是区间［0，1］上权函数为x x =)(ρ地最⾼项系数为1地正交多项式族，其中1)(0=x q ，则=1)(dx x xq k________，=)(2x q ________.5设=11001a a a a A ，当∈a ________时，必有分解式，其中L 为下三⾓阵，当其对⾓线元素)3,2,1(=i L ii 满⾜条件________时，这种分解是唯⼀地.⼆、（14分）设49,1,41,)(21023====x x x x x f , （1）试求)(x f 在]49,41[上地三次Hermite 插值多项式)(x H 使满⾜2,1,0),()(==i x f x H i i ，)()(11x f x H '='.（2）写出余项)()()(x H x f x R -=地表达式.三、（14分）设有解⽅程0cos 2312=+-x x 地迭代公式为n n x x cos 3241+=+，（1）证明R x ∈?0均有?∞→=x x n x lim （?x 为⽅程地根）；（2）取40=x ，⽤此迭代法求⽅程根地近似值，误差不超过，列出各次迭代值；（3）此迭代地收敛阶是多少？证明你地结论.四、(16分) 试确定常数A ，B ，C 和，使得数值积分公式有尽可能⾼地代数精度. 试问所得地数值积分公式代数精度是多少？它是否为Gauss 型地？五、（15分）设有常微分⽅程地初值问题??=='00)(),(y x y y x f y ，试⽤Taylor 展开原理构造形如)()(11011--++++=n n n n n f f h y y y ββα地⽅法，使其具有⼆阶精度，并推导其局部截断误差主项.六、（15分）已知⽅程组b Ax ＝，其中==21,13.021b A ，（1）试讨论⽤Jacobi 迭代法和Gauss-Seidel 迭代法求解此⽅程组地收敛性.（2）若有迭代公式)()()()1(b Ax a x x k k k ++=+，试确定⼀个地取值范围，在这个范围内任取⼀个值均能使该迭代公式收敛.七、（8分）⽅程组，其中，A 是对称地且⾮奇异.设A 有误差，则原⽅程组变化为，其中为解地误差向量，试证明.其中1λ和2λ分别为A 地按模最⼤和最⼩地特征值.数值分析模拟试卷2填空题（每空2分，共30分）1. 近似数231.0=*x 关于真值229.0=x 有____________位有效数字；设)(x f 可微，求⽅程)(x f x =根地⽜顿迭代格式是_______________________________________________；3. 对1)(3++=x x x f ，差商=]3,2,1,0[f _________________；=]4,3,2,1,0[f ________；4. 已知-='-=1223,)3,2(A x ，则=∞||||Ax ________________，=)(1A Cond ______________________ ；⽤⼆分法求⽅程01)(3=-+=x x x f 在区间[0,1]内地根，进⾏⼀步后根所在区间为_________，进⾏⼆步后根所在区间为_________________；求解线性⽅程组=+=+04511532121x x x x 地⾼斯—赛德尔迭代格式为_______________________________________；该迭代格式迭代矩阵地谱半径=)(G ρ_______________；为使两点数值求积公式：-+≈111100)()()(x f x f dx x f ωω具有最⾼地代数精确度，其求积节点应为=0x _____ ,=1x _____,==10ωω__________.8. 求积公式)]2()1([23)(3f f dx x f +≈?是否是插值型地__________，其代数精度为___________.⼆、（12分）(1)设LU A =，其中L 为下三⾓阵，U 为单位上三⾓阵.已知------=2100121001210012A ，求L，U . (2)设A 为66?矩阵，将A 进⾏三⾓分解：LU A =，L 为单位下三⾓阵，U 为上三⾓阵，试写出L 中地元素65l 和U 中地元素56u 地计算公式.三、（12分）设函数)(x f 在区间[0,3]上具有四阶连续导数,试确定⼀个次数不超过3地多项式)(x H ，满⾜3)1()1(,1)2()2(,1)1()1(,0)0()0(='='======f H f H f H f H ，并写出插值余项. （12分）线性⽅程组=+=-22112122b x x b x x ρρ（1）请写出解此⽅程组地赛德尔迭代法地迭代格式，并讨论收敛性. （2）设2=ρ，给定松弛因⼦21=ω，请写出解此⽅程组地SOR ⽅法地迭代格式，并讨论收敛性.五、（7分）改写⽅程042=-+x x为2ln /)4ln(x x -=地形式，问能否⽤迭代法求所给⽅程在[1,2]内地实根？六、（7分）证明解⽅程0)(23=-a x 求3a 地⽜顿迭代法仅为线性收敛. 七、（12分）已知.43,21,41210===x x x （1）推导以这3个点作为求积节点在[0,1]上地插值型求积公式；（2）指明求积公式具有地代数精度；（3）⽤所求公式计算12dx x.⼋、（8分）若i n x x x x x x x x f ),())(()(10---= 互异，求],,,[10p x x x f 地值，这⾥.1+≤n p数值分析模拟试卷3⼀、填空题（每空3分，共30分）1．设1234)(248+++=x x x x f ，则差商=]2,,2,2[810 f ； 2．在⽤松弛法(SOR)解线性⽅程组b Ax =时，若松弛因⼦ω满⾜1|1|≥-ω，则迭代法；3．设,0)(,0)(**≠'=x f x f 要使求*x 地Newton 迭代法⾄少三阶收敛，)(x f 需要满⾜；4. 设)133)(2()(23-+-+=x x x x x f ,⽤Newton 迭代法求21-=x 具有⼆阶收敛地迭代格式为________________ ；求12=x 具有⼆阶收敛地迭代格式为___________________；5．已知?--=1327A ，则=)(A ρ__________,=∞)(A Cond ______ 6. 若1>>x ，改变计算式1lg lg 2--x x =___________________，使计算结果更为精确； 7．过节点())3,2,1,0(,3=i x x i i 地插值多项式为_____________ ； 8. 利⽤抛物(Simpson)公式求212dx x =.⼆、（14分）已知⽅阵=123111122A ，(1) 证明： A 不能被分解成⼀个单位下三⾓阵L 和⼀个上三⾓阵U 地乘积；(2) 给出A 地选主元地Doolittle 分解，并求出排列阵；(3) ⽤上述分解求解⽅程组b Ax =，其中Tb )4,2,5.3(=.三、（12分）设函数)(x f 在区间[0,3]上具有四阶连续导数,试确定⼀个次数不超过3地多项式)(x H ，满⾜40)1()1(,10)1()1(,1)1()1(,0)0()0(=''=''='='-====f H f H f H f H ，并写出插值余项.四、（10分）证明对任意地初值0x ，迭代格式n n x x cos 1=+均收敛于⽅程x x cos =地根，且具有线性收敛速度.五、（12分）在区间[-1,1]上给定函数14)(3+=x x f ，求其在},,1{2x x Span =φ中关于权函数1)(=x ρ地最佳平⽅逼近多项式.（可⽤数据：2123)(,)(,1)(2210-===x x p x x p x p ）六、(12分)(1)试导出切⽐雪夫(Chebyshev)正交多项式])1,1[,,2,1,0)(arccos cos()(-∈==x n x n x T n 地三项递推关系式：=-===-+),2,1()()(2)(,)(,1)(1110 n x T x xT x T x x T x T n n n （2）⽤⾼斯—切⽐雪夫求积公式计算积分dx x x x I ? --=22)2(1，问当节点数n 取何值时，能得到积分地精确值？并计算它.七、（10分）验证对?-+-+=++==++=?+))1(,)1((),(),()(2,13121311hK t y h t x f K thK y th x f K y x f K K K h y y t n n n n n n n n 为2阶格式.参考答案1 ⼀、1．6)(=a ρ，)(1A cond =6.2．],,[21++n n n x x x f =3，],,[321+++n n n n x x x x f ，=0. 3．b =－2，c=3.4．??≠=0,00,21k k ；10356)(22+-=x x x q .5．)3,2,1(0);21,21(=>-∈i l a ii⼆、(1) 25145023345026322514)(23-++-=x x x x H (2) ).49,41(),49()1)(41(169!41)(225∈---=-ξξx x x x R三、（1）32=L ;（2）347.3≈?x ;（3）线性收敛. 四、512,916,910-====αB C A ;求积公式具有5次代数精度，是Gauss 型地. 五、41472110＝－，＝，＝ββα；截断误差主项为)(833n x y h '''. 六、（1）,16.0)(,6.0)(<==G S J B B ρρ因此两种迭代法均收敛.（2）当06.011>>+a 时，该迭代公式收敛.参考答案2 ⼀、1．22．),1,0()()(1 ='-=+n x f x f x x n n n n3．1, 0 4．7,725 5．)43,21(),1,21( 6. 121,2013531)1(1)1(2)(2)1(1??-=-=+++k k k k x x x x 7. 32,3210=-=x x ; 18. 是, 1⼆、(1)---=---=100431000321000211,4510003410002310002U L (2))(;)(4654356532652165155565545643563256215616565u l u l u l u l a u u u l u l u l u l a l +++-=+++-=三、)2()1(!4)()(),2)(1(2)(2)4(--=---=x x x f x R x x x x x H ξ四、(1) ??-=+=+++)1(12)1(2)(21)1(12k k k k x b x x b x ρρ, 1<ρ时收敛(2) ??-+=++=+++)1(1)(22)1(2)(2)(11)1(1214212k k k k k k x x b x x x b x , 收敛五、收敛七、（1）)43(32)21(31)41(32f f f +- （2）2 (3)31 ⼋、110时为时为+=≤n ，p n p参考答案3 ⼀、1．42．发散3．0)(*=''x f4．),1,0()()(1 ='-=+n x f x f x x n n n n ,),1,0()()(31 ='-=+n x f x f x x n n n n5．2608+, 49 6.1lg2-x x7. 3x 8.37 ⼆、(2) 先交换2、3两⾏，交换1、2两⾏，===010001100,5.0003333.06667.00123,15.03333.0016667.0001P U L(3) )5.4,1,5.1('-三、3)4(2)1(!4)()(,)1(9)1(11)(-=-+-+-=x x f x R x x x x x x H ξ五、10512p p +六、1=n ，2π版权申明本⽂部分内容，包括⽂字、图⽚、以及设计等在⽹上搜集整理.版权为个⼈所有This article includes some parts, including text, pictures, and design. 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北京航空航天大学数值分析历年部分试题整理
(2001
2002
2003
2006
2008
2009)
2010年3月16日
北航数值分析2001年试题
北航数值分析2002年试题
北航数值分析2003年试题
北航数值分析2006年试题
北航数值分析2008年试题（版本一）
北航数值分析2008年试题（版本二）
北航数值分析2008年试题答案
一.选择题
1.C
2.A
3.D
4.D
5.A
6.D
二.填空题
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5.0
6.0
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北航数值分析2009年试题
感谢手工抄写试卷的zhp、jhw、zby同学，以上试卷答案为本人和同学讨论所得，不保证正确性，请同学们参考使用，祝大家取得好成绩(^_^)
2010年3月16日。