固体物理03-倒格子空间
倒格子空间
K h CA，K h CB K h 晶面ABC。
3.倒格矢 K h 和面间距的关系 晶面ABC为晶面族中最靠近原点的晶面。
d h1h2h3 a1 K h h1 K h h1 K h 2 Kh
O
a1 h1 b1 h2 b2 h2 b3
a
期，方向为晶面族法向方向，把P平移，得出一 个新点阵。则这个新的格子称为原来晶格的倒格 子。而把原来的晶格称为正格子。
2.倒格子基矢和正格子基矢之间的关系 正格子基矢：a1、a2、a3； 倒格子基矢：b1、b2、b3 ;
晶面族：a1a2、a2 a3、a3 a1的面间距分别为d 3、d1、d 2 ;
后，能自身重合，则称u为n度(或n次)旋转对称轴。
(2)对称轴表示方式
①熊夫利(Schoenflies notation)符号表示 C1、C2、C3、C4、C6。 ②国际符号(International notation)表示 1、 2 、 3、 4 、 6。
4.对称轴度 数符号表示
度数 n
2
3
4
2 a 2 a3 a1 2 a2 a3 1 a2 b3 ，b2 ，b1 。 (5)倒格子的物理意义 ①倒格子中的一个点代表了晶格中的一族晶面。 ②正格子单位为米，表示位置空间；倒格子单位 为米-1，表示状态空间。
h1、h2、h3 整数。
2.倒格子基矢和正格子基矢的关系 倒格子基矢和正格子基矢具有正交性。即 i j 2 ai b j 2 ij i j 0 2 a3 a1 2 a1 b2 a1 a1 a3 a1 0 2 2 a2 a3 2 a1 b1 a1 a1 a2 a3 2 3.倒格矢和正格矢的关系 K h Rl l1a1 l2 a2 l3 a3 h1b1 h2 b2 h3 b3
固体物理名词解释
一.名词解释倒格子空间：指由倒易点阵基矢所张的空间，又叫倒易空间。
其中每个倒格子基矢与正格子的一个基矢的模成反比且与另外两个正格矢正交。
配位数：直接同中心离子（或原子）配位的异性离子（或原子）的数目。
声子：晶格振动的简正模能量量子。
能带：晶体中由于电子的共有化使本来处于同一能量状态的电子产生微小差异，与此对应的能级扩展为准连续的能级而形成能带。
几何结构因子：原胞内所有原子在某一方向上引起的散射波的总振幅与某一电子在该方向上所引起的散射波的振幅之比。
弗仑克尔缺陷：是指晶体结构中格点粒子离开格点位置，成为间隙粒子，并在原格点处留下空位，这样的空位-间隙对就称为弗仑克尔缺陷。
肖特基缺陷：由于晶体中格点粒子热运动到表面，在原来位置留下空位，所形成的缺陷。
布里渊区：在倒易点阵中，取任意格点为原点，被倒格矢的垂直平分面（布拉格面）包围的、围绕着原点的最小区域称为F.B.Z(第一布里渊区)。
费米能：在绝对零度时，处于基态的单个费米子的最高能量。
费米能级：费米能级是绝对零度下电子占据态的最高能级。
费米面：波矢空间中能量为费米能的点所构成的曲面。
晶格：晶体中原子周期性排列的具体形式。
原胞：指一个晶格最小的周期性单元。
习惯上原胞常取以基矢为棱边的平行六面体。
态密度：单位能量间隔内的电子态数目。
波函数：量子力学中用来描述粒子的德布罗意波的函数。
格波：晶格中的原子振动是以角频率为ω的平面波形式存在的，这种波就叫格波。
二、论述题1、电子能带理论对认识金属、绝缘体和半导体等材料本质的意义。
能带理论是用量子力学的方法研究固体内部电子运动的理论。
是于20世纪初期，在量子力学确立以后发展起来的一种近似理论。
它曾经定性地阐明了晶体中电子运动的普遍特点，并进而说明了导体与绝缘体、半导体的区别所在，解释了晶体中电子的平均自由程问题。
自20世纪六十年代，电子计算机得到广泛应用以后，使用电子计算机依据第一原理做复杂能带结构计算成为可能。
能带理论由定性发展为一门定量的精确科学。
1.3倒格子-固体物理
方法2：利用
b2 2π a 3 a1 Ω
2π
b3 a1 a2 Ω
a2 a2 j
a1 a1 i
a1 a1 i
正格子
a2
a2
j
假定 a3 k ，则 Ω a1 a2 a3 a1a2
2π
2 2
b1 Ω a 2 a 3 a1a2 a2i a1 i
b2 2π Ω
Rn n1a1 n2 a2 n3 a3
倒格子 倒格基矢 b1,b2 ,b3 倒格（点位）矢：
K n h1b1 h2b2 h3b3
每一个布拉菲格子都有一与之相对应的倒格子
一、倒格子定义
倒格子基矢定义为：
b1 2π a2 a3 Ω
b2 2π a3 a1 Ω
b3 2π a1 a2 Ω
同理得：
b2
2π a
ik
b3
2π a
i
j
2π
a3
a2 2
j k 2π a
jk
2
倒格矢：
b1
2π a
jk
b2
2π a
ik
b3
2π a
i
j
FCC基矢：
a
a1 i j 2
a 2 a j k 2 a a3 k i
2
体心立方的倒格子是边长为4/a的面心立方 。
Rl l1 a1 l2 a 2 l3 a 3 K h h1 b1 h2 b2 h3 b3
Rl K h (l1 a1 l2 a 2 l3 a 3 ) ( h1b1 h2 b2 h3 b3 )
2π( l1h1 l2h2 l3h3 )
2π ( i j )
2π
a i b j 2π ij
固体物理学-倒格子
§3 倒格子
证明： 证明：
v v a i gb j = 2πδ ij
如果所考虑的体系足够大，忽略表面效应， 如果所考虑的体系足够大，忽略表面效应，布拉 菲格子满足平移对称性要求，对应点的物理化学性质， 菲格子满足平移对称性要求，对应点的物理化学性质， 如质量、密度、电子云密度、原子实产生的势场等， 如质量、密度、电子云密度、原子实产生的势场等， 亦为周期函数，一般地写成： 亦为周期函数，一般地写成：
v u v v Γ r + R n = Γ r L L L L (1)
(
) ()
u v v v v 其中， 其中，R n = n1 a1 + n2 a 2 + n3 a 3
v 将 Γ r 展成傅里叶级数
()
v u iG h gr v uv v Γ r = ∑ A Gh e L L L L L L L ( 2)
g u v v u v v −iG h gr 1 A Gh = ∫ Γ r e L L L L L L ( 3) Ω Ω Ω为原胞体积， ) 式意味着，对所有布拉菲格子的所有格矢，应有 (1 u v v u v v u − iG h gr v 1 A Gh = ∫ Γ r + R n e dr L L L L L L ( 4 ) Ω Ω uv v u v / 引入r = r + R n , ( 4 ) 式化为 u v uv uu/v u u v v u u v v u v u v iG h gRn 1 / − iG h gr / iG h gR n A Gh = ∫ Γ r e dr ge = A Gh e L L L L L ( 5) Ω Ω 即： u u v v u v iG h gR n A G h 1 − e = 0L L L L L L L L ( 6 )
倒格子空间
A1
BA nAB AB ABcos BAcos AB(1 2cos )
cos n 1
2
n是整数。
cos n 1，且1 cos 1， n只能取值：3，2，1，0， 1。
2 n : 3 2 1 0 - 1;
cos : 1 0.5 0 - 0.5 - 1
:0
2
323
2 2 2 2 2 即
a1
a2
可得：1
d3
a1 a2
因b3由 为bb323和daa311 aa222的，可方b得2向： 一2致b3，a3所2d以a31可，以2b写1 a成12矢 量aa22形式a3：。
(5)倒格子的物理意义
①倒格子中的一个点代表了晶格中的一族晶面。
②正格子单位为米，表示位置空间；倒格子单位
为米-1，表示状态空间。
期矢量)。晶体也只能有1，2，3，4，
A2
6度螺旋轴。
如图所示，为4度螺旋轴。晶体 A1
2
绕轴转90°后，再沿该轴平移a/4，能 A
自身重合。
1
2.滑移反映面
M
经过该面的镜象
操作以后,再沿平行于 A2
A2
该面的某个方向平移
T/n的距离(T是该方向 A1
A1
上的周期矢量，n为2
或4)，晶体中的原子 A
1 643 2
2 n 1，2，3，4，6。分别称为1，2，3，4，6次(度)转轴。
n
注意：1200 必满足2400 ； 900必满足2700。
但是， 2400不满足1200 ； 2700不满足900
3.n度旋转对称轴(rotation about an axis) (1)定义——晶体绕某一固定轴u旋转角度2π/n以 后，能自身重合，则称u为n度(或n次)旋转对称轴。 n只能取1，2，3，4，6。
固体物理学：倒格子
正格子体积为 倒格子体积为
a1 • (a2 a3 ) b1 • (b2 b3)
(3) 倒格子矢量与晶面指数的关系---倒格矢的方向
如图所示，晶面系 (hlh2h3)中最靠近 原点的晶面ABC在基 矢a1 , a2 , a3上的截 距分别是a1/hl， a2/h2，a3/h3。
结论： 倒格矢G垂直于密勒指数为（h1h2h3）晶 面系(倒格式的方向)。或倒格矢G为晶面（h1h2h3）
倒格子
设晶格的平移矢量 R n1a1 n2a2 n3a3
( n1n2 n3 ,为整数)
由于晶格的周期性晶格中某一点的物理性质也应该具有周期性。
考 场虑V (晶r)格，中按任周一期点势处要r求的某一物理量，例如晶格中原子所产生的势
V (r ) V (r R)
即原胞内任一点
r
处的物理性质与另一个原胞中相应点的物理性质
就是倒格子点阵的傅里叶逆变换。
理解（2）
晶格点阵（或叫正格子点阵）是真实空间中的点阵， 具有[长度]的量纲；
倒格子点阵（或叫倒易点阵）是在与真实空间相联系 的傅里叶空间中的点阵，具有[长度]-1的量纲。量纲为L-1 的矢量空间为倒格子空间。
每一个布拉伐格子都有一个与之相应的倒格子。
4 倒格子的基本性质
一系列规则排列的点，这些点排列的规律性只决定于函数
F(r)的周期性而与函数的具体形式无关。我们把在傅里叶
空间中规则排列着的点的列阵称为倒格子点阵（或倒易点
阵）。
倒格子点阵是晶体结构周期性在傅里叶空间中的数学
抽象。
如果把晶体点阵本身看作一个周期函数，我们可以说，
倒格子点阵就是晶体点阵的傅里叶变换。反之，晶体点阵
相同。
这种周期函数可以V展(开r)为傅立叶V级 e数iGr G
固体物理03-倒格子空间
4
dr
nj
(r )r 2
sin Gr Gr
实验发现固体中的原子形状因子与自由原子的差别不大
其它实验手段
1. 电子衍射 （动量空间）
与X射线相比，电子波长更短，所以更加精确；更容易被物体吸收适 合于研究微薄膜、小晶体。
2. 中子散射 （动量空间）
可以测量晶体磁结构
3. 扫描隧道显微镜（实空间，表面）
S v1v2v3 f {1 exp i v2 v3 exp i v1 v3 exp i v1 v2 }
S 4 f 所有指数均为奇数，或均为偶数 S 0 其它情况
面心立方 的x-ray 散射图像
原子形状因子 f j dV n j (ρ)eiGρ
对自由原子：
f j 2 dr r 2 d cos n j exp(iGr cos )
j
ρ r rj
定义原子的形状因子 f j dV n j (ρ)eiGρ
结构因子
化简后可以得到晶体的结构因子
SG
f eiGr j j
j
对于第 j 个原子
G rj v1b1 v2b2 v2b2 x ja1 y ja2 z ja3 2 v1x j v2 y j v3z j
散射幅度
SG
dV n(r)eiGr
cell
结构因子
结构因子
假设晶胞中有 s 个原子，可以把原胞中的电荷密度分配到每一 个原子上（分配方法不唯一），即:
s
n(r) n j (r rj )
j 1
SG
cell dV n j (r r j )eiGr
j
eiGrj cell dV n j (ρ)eiGρ
晶体点阵的Fourier变换，晶体点阵则是倒易点阵的Fourier逆 变换。正格子的量纲是长度 L, 称作坐标空间，倒格子的量钢是 长度的倒数 L-1，称作波矢空间（或称动量空间）。
固体物理 倒格子详细介绍
h1 h2 h3 为整数
Vh1 , h2 , h3 = ∫ dξ1 ∫ dξ 2 ∫ dξ 3 e 2πi ( h1ξ1 + h2ξ 2 + h3ξ 3 )V (ξ1 , ξ 2 , ξ 3 )
0 0 0
1
1
1
01_04_倒格子 —— 晶体结构
05 /10
V (ξ1 , ξ 2 , ξ 3 ) =
01_04 倒格子 晶格具有周期性 —— 一些物理量具有周期性
v v v v v 势能函数 VA ( x ) = VA′ ( x + l1a1 + l2 a2 + l3a3 )
v v v 势能函数是以 a1 a2 a3
为周期的三维周期函数
01_04_倒格子 —— 晶体结构
01/10
定义倒格子基矢量
uuu r v Gh1h2h3 CB = 0 可以证明 v uur Gh1h2h3 CA = 0
01_04_倒格子 —— 晶体结构
v v ai族正交
3）倒格子矢量的长度反比于晶面族面间距
v 倒格子矢量 Gh1h2h3 为晶面 ( h1h2 h3 ) 的法线方向 v v v v 晶面方程 ( h1b1 + h2b2 + h3b3 ) x = 2πn
e
2πi ( h1ξ1 + h2ξ 2 + h3ξ 3 )
v v bi x = 2πξi i = 1, 2, 3
v v ai b j = 2πδ ij v v v v x = ξ1a1 + ξ2 a2 + ξ3a3
01_04_倒格子 —— 晶体结构
1 v v ξ1 = 2π b1 x 1 v v b2 x ξ2 = 2π 1 v v ξ3 = 2π b3 x
倒格子讲解
中文名称：倒格子英文名称：Reciprocal lattice术语来源：固体物理学倒格子，亦称倒易格子(点阵)，它在固体物理学中，特别是在晶格动力学理论、晶体电子论以及晶体衍射方面有着较为广泛的应用。
1定义假定晶格点阵基矢a1、a2、a3（1、2、3表示 a 的下标，粗体字表示a1 是矢量，以下类同）定义一个空间点阵，我们称之为正点阵或正格子，若定义b1 = 2 π ( a2× a3) /νb2 = 2 π ( a3× a1) /νb3 = 2 π ( a1× a2) /ν其中 v = a1· ( a2× a3 ) 为正点阵原胞的体积，新的点阵的基矢b1、b2、b3是不共面的，因而由b1、b2、b3也可以构成一个新的点阵，我们称之为倒格子，而b1、b2、b3 称为倒格子基矢。
2性质1. 倒格子的一个矢量是和晶格原胞中一组晶面相对应的，它的方向是该晶面的法线方向，而它的大小则为该晶面族面间距倒数的2π倍。
2. 由倒格子的定义，不难得到下面的关系a i ·b j = 2 πδij3. 设倒格子与正点阵（格子）中的位置矢量分别为G = αb1+ βb2 + γb3R = ηa1 + θa2 + λa3 (α,η,β,θ,γ,λ皆为整数)不难证明G·R = 2π ( αη + βθ +γλ ) = 2π n，其中n为整数。
4. 设倒格子原胞体积为ψ，正格子原胞体积为 v ，根据倒格子基矢的定义，并利用矢量乘法运算知识，则可得到ψ v = ( 2 π )^3.5. 正格子晶面族(αβγ)与倒格子矢量G = αb1+ βb2 + γb3 正交（具体的内容及证明过程，请参考文献[1]）3倒格子引入的意义这里简单的说一点，如上面的性质1，倒格子中的一个基矢对应于正格子中的一族晶面，也就是说，晶格中的一族晶面可以转化为倒格子中的一个点，这在处理晶格的问题上有很大的意义。
倒格子
倒格子的定义： 倒格子的定义：
• 在固体物理学中：实际观测无法直接测量 在固体物理学中： 正点阵， 正点阵，倒格子的引入能够更好的描述很 多晶体问题， 多晶体问题，更适于处理声子与电子的晶 格动量。 格动量。 • 在X射线或电子衍射技术中：一种新的点阵， 射线或电子衍射技术中： 射线或电子衍射技术中 一种新的点阵， 该点阵的每一个结点都对应着正点阵中的 一个晶面，不仅反映该晶面的取向， 一个晶面，不仅反映该晶面的取向，还反 映着晶面间距。 映着晶面间距。
b1 =
2
(a ×a ) a ⋅ (a ×a ) 1 (a ×a ) b = a ⋅ (a ×a )
1
2 2 3 1 3 3 1
b3 =
(a ×a ) a ⋅ (a ×a )
1
1 1 2 3 2
2
3
1
确定倒格矢的方法：对于一切整数 h,k,l,作出 作出 ( hb1 + k b 2 + l b3),这些向 这些向 量的终点就是倒格 子的节点。 子的节点。
倒格子（倒易点阵）的基本性质： 倒格子（倒易点阵）的基本性质：
• 正点阵与倒易点阵的同名基矢的点积为 ，不同 正点阵与倒易点阵的同名基矢的点积为1， 名基矢的点积为零； 名基矢的点积为零； • 正点阵晶胞的体积与倒易点阵晶胞的体积成倒数 关系； 关系； • 正点阵的基矢与倒易点阵的基矢互为倒易； 正点阵的基矢与倒易点阵的基矢互为倒易； h • 任意倒易矢量（ b1 + kb2 + lb3 ）垂直于正点阵中的 任意倒易矢量（ （hkl）面； ） • 倒易矢量的模等于正点阵中晶面间距的倒数。 倒易矢量的模等于正点阵中晶面间距的倒数。
• 任何一个晶体结构都有两个格子：一个是 任何一个晶体结构都有两个格子： 正格子空间(位置空间 位置空间)， 正格子空间 位置空间 ，另一个为倒格子空 状态空间)。 间(状态空间 。二者互为倒格子，通过傅里 状态空间 二者互为倒格子， 叶变换。 叶变换。晶格振动及晶体中电子的运动都 是在倒格子空间中的描述。 是在倒格子空间中的描述。
倒格子与布里渊区
布里渊区的形状和大小取决于晶 体的对称性和周期性，它反映了
晶体中电子行为的特征。
布里渊区对于理解固体材料的电 子结构和光学性质具有重要意义， 例如光的吸收、反射和折射等。
倒格子与布里渊区在固体物理中的应用
通过倒格子空间和布里渊区的理论分 析，可以预测和解释固体材料的各种 物理性质，如导电性、光学性质、磁 学性质等。
倒格子与布里渊区的理论分析还为实 验物理学家提供了理解和设计新型固 体材料的有力工具。
这些理论工具在材料科学、电子工程 和光子学等领域有着广泛的应用，对 于新材料的发现和性能优化具有指导 意义。
倒格子与布里渊区的未来发
05
展
倒格子与布里渊区理论的进一步研究
深入研究倒格子与布里渊区的数学模型和物理机制，提高理论预测的精度 和可靠性。
布里渊区是晶体中波矢的定向平移对称性所对应的倒空间中 的区域。
详细描述
布里渊区是晶体中波矢的定向平移对称性所对应的倒空间中 的区域，它反映了晶体中波矢的周期性和对称性。在倒空间 中，布里渊区是一个封闭的区域，其形状和大小取决于晶体 的对称性和周期性。
布里渊区的性质
总结词
布里渊区的性质包括对称性、边界形状和大小、与倒格子的关系等。
倒格子与布里渊区的物理意义
01 倒格子描述了晶体中电子波函数的周期性，而布 里渊区则描述了电子在波矢空间中的行为。
02 倒格子和布里渊区在物理中具有重要意义，它们 是理解晶体中电子行为的关键。
02 倒格子和布里渊区的物理意义在于它们提供了描 述晶体中电子行为的几何框架。
倒格子与布里渊区在物理中的应用
正格子与倒格子的关系
正格子与倒格子之间存在特定的关系，即正格子的波矢 k和倒格子的波矢K之间满足K=2π/a−k，其中a是正格 子的晶格常数。
倒格子空间
h
( ) å ( ) Γ
rv +
v R
=
Γ
v Gh
ur r
e ( iGh? r
Rur )
h
Gh R 2π
Gh 一定是倒格矢。
晶列及晶面
1.晶列及晶列指数 通过晶格中任意两个格点连一条直线称为晶列，晶列的取 向称为晶向，描写晶向的一组数称为晶向指数(或晶列指数)。
l1l2l3 若遇负数，则在该数上方加一横线 l1l2l3 。
b2 2π j a
a
G h h1 b1 h2 b2
2π 倒格是边长为 a 的正方形格子。
例2：证明体心立方的倒格是面心立方。
解： 体心立方的原胞基矢：
a
a1 i j k 2
2π b1 a2 a3
Ω
a 2 a i j k 2
a 3 a i j k 2
二维格子
b2 0 b1
定义：倒易空间中的WS原胞称为第一布里渊区。 ▼在倒格子空间中,做某一倒格点到它最近邻和次近邻倒格点
连线的垂直平分面，由这些垂直平分面所围成的多面体的体积 等于倒格子原胞的体积。
●该多面体所围成的区域称为第一布里渊区，第一布里渊区
a1,a2 ,a3 b1,b2 ,b3
2π ( i j )
ai b j 2π ij
0 i j
G h h1 b1 h2 b2 h3 b3
例1：下图是一个二维晶体结构图，试画出其倒格点的排列。
aa
a1 ai a2 a j
a2 a j
aa
a1 ai
1、倒矢量 b1，b2，b3
倒格基矢定义为：
ssp-03－倒格子-2014
a1
2
i j 2
简单六角的正格子空间的基矢为：
a2
3a i a j 22
它的倒格子空间的基矢为：
a3 ck
b1
2 i 2
3a a
j
b2
2 i 2
3a a
j
2
b3 c k
这仍然是简单六角 的基矢，因此简单 六角晶格的倒格子 为简单六角格子。
第三讲_倒格子 —— 晶体结构
第三讲_倒格子 —— 晶体结构
这恰好是体心立方 的基矢，因此面心 立方晶格的倒格子 为体心立方格子。 倒格子的晶格常数 为4/a
面心立方晶格的第一布里渊区是一个截角八面体
思考题：金属Ag的的晶格常数为a，问第三布里渊区的体积
第三讲_倒格子 —— 晶体结构
例题3.5 简单六角结构的第一布里渊区
3a a
第三讲_倒格子 —— 晶体结构
典型晶格的倒格子、布里渊区和高对称点
例题3.2 简单立方的第一布里渊区
a1 ai 简单立方正格子空间的基矢为： a2 aj
a3 ak
它的倒格子空间的基矢为：
第三讲_倒格子 —— 晶体结构
b1
2
a
i
b2
2
a
j
2
b3 a k
简单立方的倒格子还是简单立方，倒格子的格常数是2/ a，它的
第三讲_倒格子 —— 晶体结构
例题3.3 体心立方的第一布里渊区
体心立方正格子空间的基矢为：
a1
a (i 2
j
k)
a2
a (i 2
j
k)
a3
a 2
(i
j
k)
它的倒格子空间的基矢为：b1
1.3倒格子,固体物理
2π ( i j )
0 (i j )
a 2 b1 0 a1 b1 2
a 2 a2 j
a 1 a1 i
b2
2π a2
2π b1 i a1
a1 b 2 0 a 2 b 2 2π
2π b2 j a2
正格子
b1 2π
a1
倒格子
K h h1 b1 h2 b 2 3b1 2b 2 2π 2 π 倒格子是边长分别为 , 的长方形格子。 a1 a2
倒格矢：
2π b1 jk a 2π b2 ik a
FCC基矢：
a a1 i j 2 a a2 jk 2 a a3 ki 2
2π b2 ik a b3
2π i j a
2π b3 i j a
倒格子基矢定义为：
2π b1 a2 a3 Ω 2π b2 a 3 a1 Ω 2π b3 a1 a 2 Ω
其中 a 1 , a 2 , a 3 是正格子基矢，
Ω a1 a 2 a 3
是正格子原胞的体积
与 K n h b1 h b 2 h b 3 ( h1 所联系的各点 , h , h 为整数 ) 2 3 1 2 3 的列阵即为倒格子。
第三节 倒格子
本节主要内容: 一、倒格子定义
二、倒格子与正格子的关系
三、倒格子与傅里叶变换
前面讨论原子(基元)在坐标(实,位置)空间中的排列-----正格子,正空间 从坐标的倒易空间，即波矢K空间看晶体结构-----倒空间
固体物理之之倒格子
倒格子题目：试论倒格子、倒格子空间的基本概念、与正格子的关系以及在固体物理研究中的意义和作用。
1.倒格子的基本概念：假定晶格点阵基矢1a 、2a 、3a（1、2、3表示 a 的下标）定义一个空间点阵，我们称之为正点阵或正格子，若定义： v a a b )(2321 ⨯=π v a a b )(2232 ⨯=π v a a b )(2213 ⨯=π其中)(321a a a v ⨯⋅= 为正点阵原胞的体积，新的点阵的基矢1b 、2b 、3b 是不共面的，因而由 1b 、2b 、3b 也可以构成一个新的点阵，我们称之为倒格子 ，而1b 、2b 、3b 称为倒格子基矢。
2.倒格子与正格子之间的关系：①基矢间关系：3,2,1,)(0)(2=⎩⎨⎧≠==*j i j i j i b a j i π ②位矢之间关系：正格子位矢：332211a l a l a l R l ++=倒格子位矢：332211b n b n b n G n ++=二者关系：m R G l n π2=⋅ （m 为整数）表明：若两矢量点积为π2的整数倍，则其中一个矢量为正格子位矢， 另一个必为倒格子位矢。
③原胞体积的关系：倒格子原胞的体积v *与正格子原胞体积v 的关系 为:)()2()2()(32133321*a a a vb b b v ⨯⋅==⨯⋅=ππ ④倒格矢332211b h b h b h G ++=与正格子中密勒指数为)(321h h h 的晶面族正交。
即332211b h b h b h G ++=沿晶面族)(321h h h 的法线方向。
3.固体物理研究中的意义和作用：①：倒格子中的一个基矢对应于正格子中的一族晶面，也就是说，晶格中的一族晶面可以转化为倒格子中的一个点，这在处理晶格的问题上有很大的意义。
例如，晶体的衍射是由于某种波和晶格互相作用，与一族晶面发生干涉的结果，并在照片上得出一点，所以，利用倒格子来描述晶格衍射的问题是极为直观和简便的。
固体物理学-倒空间
倒格与正格基矢的关系
՜ ՜
ℎ ⋅ = 2π
ℎ‘ =ℎ1 1 + ℎ2 2 + ℎ3 3
(1 റ1 + 2 റ 2 + 3 റ 3 ) ⋅ (ℎ1 ′1 + ℎ2 ′2 + ℎ3 ′3 ) = 2
两种点阵的基矢之间的关系：
Solid State Physics
2
Solid State Physics
倒格矢与傅里叶变换
在任意两个原胞的相对应点上，晶体的物理性质相同。
՜
՜
՜
Γ + = Γ
上式两边分别按傅里叶级数展开：
՜ ՜
ℎ ⋅ = 2π
倒格矢是傅里叶空间的矢量，它取决于正格子点阵的周期性
倒格空间=傅里叶空间
Solid State Physics
衍射加强条件的另外一种形式：
相位差
∆∅ =
λ
2 =
2
波矢 0 = 0
λ
∙− ∙0
λ
2= 2
2
=
റ
λ
՜ ՜
՜
⋅ − 0 = 2πμ
量纲互逆
∙ ℎ’ = 2
՜ ՜
՜
− 0 = ℎ′
倒格矢
ℎ ℎ
倒格空间=波矢k空间（动量 = = ）
՜
՜
՜
则， 1 ， 2 ， 3 分别与(100), (010), (001)晶面族正交
(1) 倒易点阵的一个基矢是与正点阵的一组晶面相对应的；
(2) 倒易点阵基矢的方向是该晶面的法线方向；
՜
՜
՜
՜
ℎ = ℎ1 1 + ℎ2 2 + ℎ3 3 的长度为
固体物理倒格子的原理
倒格子摘要：倒格子是现在固体物理，半导体物理，器件物理的前沿，用量子场论的非相对论形式描述多体，各种散射过程的精确描述都少不了它。
为此为了研究的方便，结晶学家喜欢用正格子，而物理学家喜欢用倒格子，因为它在数学处理上具有优越性。
和正格子相比，它在固体物理学中，特别是在晶格动力学理论、晶体电子论以及晶体衍射方面有着较为广泛的应用。
因此倒格子具有很重要的物理意义，及其所组成的倒易点阵，更是研究晶格性质的重要手段。
关键词：倒格子正格子点阵布里渊区一、倒格子的定义及其相关概念：（1）倒格子：亦称倒易格子(点阵)，倒格子就是和布拉发矢量（晶格矢量）共轭的另一组矢量基，俗称动量空间，适合于用来描述声子、电子的晶格动量。
它在固体物理学中，特别是在晶格动力学理论、晶体电子论以及晶体衍射方面有着较为广泛的应用。
是现在固体物理，半导体物理，器件物理的前沿，用量子场论的非相对论形式描述多体，各种散射过程的精确描述都少不了它。
晶格振动及晶体中电子的运动都是在倒格子空间中的描述。
（2）倒格子的定义：已知有正格子基矢，定义倒格矢基矢为：；说明b1垂直于a2和a3所确定的面。
；说明b2垂直于a3和a1所确定的面。
；说明b3垂直于a1和a2所确定的面。
正格子体积：（3）相关概念：①倒格点：平移操作所产生的格点叫。
②倒格矢：为。
③倒格子：倒格点的总体叫。
④倒格基矢：一组。
二、倒格子的性质：（1） 正点阵晶胞的体积与倒易点阵晶胞的体积成倒数关系：倒格子体积： ，（2） 正格子与倒格子间的关系：倒格矢与任一个正格矢的乘积必等于, 即 = 。
（3） 正格子中一族晶面（321h h h ）和倒格子基失矢正交，即晶面的弥勒指数是垂直于该晶面的最短倒格矢坐标。
（4） 倒格子的一个基矢是和晶格原胞中一组晶面相对应的，它的方向是该晶面的法线方向；倒格矢的大小正比于晶面族（h1h2h3）的面间距的倒数：dG π2//=三、倒格子原胞和布里渊区：倒格子原胞，作由原点出发的诸倒格矢的垂直平分面，这些平面完全封闭形成的最小的多面体（体积最小）------第一布里渊区。
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实空间点阵
简立方
a1 a i, a2 a j, a3 a k
倒空间点阵
简立方
2
2
2
b1 a i, b2 a j, b3 a k
2 a 2
a
2 a
四方晶格
简单点阵的倒易点阵也是简单点阵。 正格子的基矢越长，倒格子的基矢越短，反之亦然。
六角点阵
正格子空间六方结构，在倒格子空间亦为六方结构。 不过其基矢尺寸关系发生变化，基矢方向也转了30度。
k 2 2k G G 2 k 2
2k G G 2 (G 和 –G 都是倒格矢)
G
衍射方程(也是布里渊区的边界方程)
k
k ·(G/2)=(G/2)2
Ewald 图解法
1. 选择原点以入射 k 矢长度 为半径作圆，保证另一端 点在倒格矢上。
2. 连接从原点到与圆相交的 所有倒格矢的波矢k’都能 发生衍射。
4
dr
nj
(r )r 2
sin Gr Gr
实验发现固体中的原子形状因子与自由原子的差别不大
其它实验手段
1. 电子衍射 （动量空间）
与X射线相比，电子波长更短，所以更加精确；更容易被物体吸收适 合于研究微薄膜、小晶体。
2. 中子散射 （动量空间）
可以测量晶体磁结构
3. 扫描隧道显微镜（实空间，表面）
4. 原子力显微镜（实空间，表面）
中国散裂中子源
扫描隧道显微镜（STM）
Si (100) 表面
原子力显微镜（AFM）
Si (111) 表面
作业 2
1. 证明正格子与倒格子互易 2. 证明面心立方格子的倒格子是体心立方，体心立方的倒格子是
面心立方！
3. 证明只有 k G' 时，衍射幅度F才不为0。
散射幅度
SG
dV n(r)eiGr
cell
结构因子
结构因子
假设晶胞中有 s 个原子，可以把原胞中的电荷密度分配到每一 个原子上（分配方法不唯一），即:
s
n(r) n j (r rj )
j 1
SG
cell dV n j (r r j )eiGr
j
eiGrj cell dV n j (ρ)eiGρ
S v1v2v3 f 1 exp i v1 v2 v3
S 0, v1 v2 v3 为奇数 S 2 f , v1 v2 v3 为偶数
面心立方的结构因子
对于面心立方结构，我们有4个等价原子分别在 （0,0,0） (0,1/2,1/2)，(1/2,0,1/2) (1/2,1/2,0) 。面心立方的结构因子 为：
j
ρ r rj
定义原子的形状因子 f j dV n j (ρ)eiGρ
结构因子
化简后可以得到晶体的结构因子
SG
f eiGr j j
j
对于第 j 个原子
G rj v1b1 v2b2 v2b2 x ja1 y ja2 z ja3 2 v1x j v2 y j v3z j
2. 晶体衍射的几何理论：
1. Bragg方程
Bragg 把晶体对X光的衍射当作 由原子平面的反射，在反射方 向上，一个平面内所有原子的 散射波位相相同、相互叠加， 当不同原子平面间的辐射波符 合Bragg关系时，散射波在反射 方向得到加强
2d sin n
要求 2d
Bragg定律的解释：
G
体系电荷密度是晶 格的周期性函数
1
nG V
dV n(r)eiGr
cell
F
dV
n ei(G k )r G
G
作业：
F VnG
证明只有k G' 时，衍射幅度F才不为0。 即：k 'k G' （晶格中的准动量守恒）
对于弹性散射（能量守恒）：k 2 k '2（入射与出射波光子能量不变）
即： | k G |2 k 2
晶体衍射理论
X射线衍射条件：倒格矢 G 决定了可 能发生的X射线衍射。
e 出射波间的相位差 i(k k')r
衍射幅度(amplitude)：
F dV n(r)ei(kk')r
dV n(r)eikr
k'k k
散射波矢
衍射强度(intensity)： I | F |2
n(r) nG eiGr
S v1v2v3 f {1 exp i v2 v3 exp i v1 v3 exp i v1 v2 }
S 4 f 所有指数均为奇数，或均为偶数 S 0 其它情况
面心立方 的x-ray 散射图像
原子形状因子 f j dV n j (ρ)eiGρ
对自由原子：
f j 2 dr r 2 d cos n j exp(iGr cos )
4. 写出金刚石结构的结构因子。
晶体点阵的Fourier变换，晶体点阵则是倒易点阵的Fourier逆 变换。正格子的量纲是长度 L, 称作坐标空间，倒格子的量钢是 长度的倒数 L-1，称作波矢空间（或称动量空间）。
倒易点阵是在晶体点阵（布拉菲格子）的基础上定义的，所以 每一种晶体结构，都有2个点阵与其相联系，一个是晶体点阵， 反映了构成原子在三维空间做周期排列的图像；另一个是倒易 点阵，反映了周期结构物理性质的基本特征。
第一布里渊区
第一布里渊区 (Wigner–Seitz 原胞)
高阶布里渊区
布里渊区中的对 称线与对称点
简立方晶格的第一布里渊区
体心立方晶格的第一布里渊区 （正菱形12面体）
面心立方晶格的第一布里渊区
1.7 晶体结构的实验研究
1. 晶体 X 射线衍射历史
1895 年伦琴发现 X 射线 （1901年 Nobel 奖） 1912 年劳厄(Laue) 发现X 射线晶体衍射（1914年 Nobel 奖） 1913 年 布拉格（Bragg）父子测定晶体结构（1915年 Nobel 奖）
V eiGh x h1 ,h2 ,h3
h1 ,h2 ,h3
G h h1b1 h2b 2 h3b3
其中：
1 V h1 ,h2 ,h3
dx V (x)eiGh x
易证 V (x) V (x Rn )
因为 Gh (x Rn ) G h x 2m
总结:晶体结构是一个具有晶格周期性的物理量，倒易点阵是
Bragg 假定每个晶面都像镀了一层薄银的镜子一样，只对入 射波反射很小的一部分。只有在某些θ值，来自所有平行晶 面的反射才会同相位地增加，产生一个强的反射束。实际上， 每个晶面只能反射入射辐射的10-3－10-5部分，因而对于一个 理想晶体，会有来自103－105个晶面的原子对形成Bragg反射 束有贡献。（对X 射线而言）发生衍射的Bragg 条件清楚地 反映了衍射方向与晶体结构之间的关系。但衍射的实质是晶 体中各原子散射波之间相互干涉的结果，只是由于衍射线的 方向恰好相当于原子面对入射波的反射，才得以使用Bragg条 件，不能因此混淆平面反射和晶体衍射之间的本质区别。
实空间（正空间）
动量空间（倒空间）
波函数
~ ei(krt )
实空间（正空间）
r
时间
t
动量空间（倒空间）
k
能量
倒格子基矢
b1
2
a1
a2 a3
a2 a3
b2
2
a1
a3 a1
a2 a3
b3
2
a1
a1 a2
a2 a3
以b1, b2, b3 为基矢构成一个倒格子，到格子中每个格点的位置为
1.6 倒格子空间
• 由于晶格的周期性，晶格中的任意一点x 与点x+l1a1+l2a2+l3a3 （即晶格 作周期平移后）等价
• 晶格中的物理量也具有周期性：大大简化了研究晶体性质的困难
如晶体中的静电势是晶格矢的周期函数
V (x) V (x l1a1 l2a2 l3a3 )
可以把物理量（如静电势等）在动量空间作傅里叶级数展开
Why？ 同时满足准动量守恒
和能量守恒两个条件！
θ 是布拉格入射角 k 与 k’ 间的夹角是2θ
结构因子
对于简单晶格,上述方法已经能够确定晶体结构。但对复式晶 格，晶胞胞内原子间的相对位置并不能确定。 引入晶体的结构因子（Structure factor）
FG
N
dV
cell
n(r)eiGr
NSG
4.
G 倒格矢 h1 ,h2 ,h3
垂直于密勒指数为(h1,h2,h3)
的晶面
5. 正格子与倒格子互易
a1
2
b2 b3
b1 b2 b3
作业：证明左式
利用公式 A (B C) BA C CA B
实空间的物理量V (x) 具有周期性 V (x) V (x Rn )
作傅里叶变换
V (x)
体心立方点阵的倒格子为面心立方点阵
面心立方点阵的倒格子为体心立方点阵
作业：证明上述两个结论！
布里渊区
布里渊区定义：在倒易点阵中，以某一格点为坐标原 点，做所有倒格矢的垂直平分面，倒易空间被这些平 面分成许多包围原点的多面体区域，这些区域称作布 里渊区。最靠近原点的平面所围成的区域称作第一布 里渊区，第一布里渊区界面与次远垂直平分面所围成 的区域称作第二布里渊区，依次类推。
SG v1v2v3 f j exp i2 v1x j v2 y j v3z j
j
体心立方的结构因子
SG v1v2v3 f j exp i2 v1x j v2 y j v3z j
j
对于体心立方结构，我们有两个等价原子分别在 （0,0,0） 和 (1/2,1/2,1/2)。
倒格基矢的量纲是 [长度]-1，与波数有相同的量纲。
2. 两个点阵的格矢之积是2π的整数倍