高考数学二轮复习 专题六第二讲概 率(B) 理

第二讲概率(B)

1．(2012·高考福建卷)在等差数列{a n}和等比数列{b n}中，a1＝b1＝1，b4＝8，{a n}的前10项和S10＝55.

(1)求a n和b n；

(2)现分别从{a n}和{b n}的前3项中各随机抽取一项，写出相应的基本事件，并求这两项的值相等的概率．

2．从某学校高三年级共800名男生中随机抽取50名测量身高，测量发现被测学生身高全部介于155 cm和195 cm之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组[155，160)；第二组[160，165)、…、第八组[190，195)，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第一组与第八组人数相同，第六组、第七组、第八组人数依次构成等差数列．

(1)估计这所学校高三年级全体男生身高180 cm以上(含180 cm)的人数；

(2)求第六组、第七组的频率并补充完整频率分布直方图；

(3)若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生，记他们的身高分别为x、y，求满足|x－y|≤5的事件频率．

3．(2013·福建省高中毕业班质检)某工厂生产A ，B 两种元件，其质量按测试指标划分为：大于或等于7.5为正品，小于7.5为次品．现从一批产品中随机抽取这两种元件各5

，B 两种元件的检测数据的平均值相等，方差也相等．

(1)求表格中x 与y 的值；

(2)若从被检测的5件B 种元件中任取2件，求2件都为正品的概率．

4．(2013·江西宜春质检)设f (x )和g (x )都是定义在同一区间上的两个函数，若对任意x ∈[1，2]，都有|f (x )＋g (x )|≤8，则称f (x )和g (x )是“友好函数”，设f (x )＝ax ，g (x )＝b x

.

(1)若a ∈{1，4}，b ∈{－1，1，4}，求f (x )和g (x )是“友好函数”的概率；

(2)若a ∈[1，4]，b ∈[1，4]，求f (x )和g (x )是“友好函数”的概率．

答案：

1．【解】(1)设数列{a n }的公差为d ，数列{b n }的公比为q .依题意得

S 10＝10＋10×92

d ＝55，b 4＝q 3＝8， 解得d ＝1，q ＝2，

所以a n ＝n ，b n ＝2n －1.

(2)分别从{a n }和{b n }的前3项中各随机抽取一项，得到的基本事件有9个：(1，1)，(1，

2)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，4)．

符合题意的基本事件有2个：(1，1)，(2，2)．

故所求的概率P ＝29

. 2．【解】(1)由频率分布直方图知，前五组频率为(0.008＋0.016＋0.04＋0.04＋0.06)×5＝0.82，后三组频率为1－0.82＝0.18，人数为0.18×50＝9人，

这所学校高三男生身高在180 cm 以上(含180 cm)的人数为800×0.18＝144人．

(2)由频率分布直方图得第八组频率为0.008×5＝0.04，人数为0.04×50＝2人， 设第六组人数为m ，则第七组人数为9－2－m ＝7－m ，

又m ＋2＝2(7－m )，所以m ＝4，

即第六组人数为4人，第七组人数为3人，频率分别为0.08，0.06.

频率除以组距分别等于0.016，0.012，如图．

(3)由(2)知身高在[180，185]内的人数为4人，设为a ，b ，c ，d ，身高在[190，195]的人数为2人，设为A ，B .

若x 、y ∈[180，185]时，有ab ，ac ，ad ，bc ，bd ，cd 共六种情况．

若x 、y ∈[190，195]时，有AB 共一种情况．若x 、y 分别在[180，185][190，195]内时，有aA ，bA ，cA ，dA ，aB ，bB ，cB ，dB 共8种情况．

所以基本事件的总数为6＋8＋1＝15种．

事件|x －y |≤5所包含的基本事件个数有6＋1＝7种，故P (|x －y |≤5)＝715

. 3．【解】(1)x A ＝15

(7＋7＋7.5＋9＋9.5)＝8， x B ＝15

(6＋x ＋8.5＋8.5＋y )， 由x A ＝x B ，得x ＋y ＝17.①

s 2

A ＝15

(1＋1＋0.25＋1＋2.25)＝1.1， s 2

B ＝15

[4＋(x －8)2＋0.25＋0.25＋(y －8)2]， 由s 2A ＝s 2B ，得(x －8)2＋(y －8)2＝1.②

由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8y ＝9，或⎩

⎪⎨⎪⎧x ＝9y ＝8.因为x

B 3)，(B 2，B 4)，(B 2，B 5

)，(B 3，B 4)，(B 3，B 5)，(B 4，B 5)．

记“2件都为正品”为事件C ，则事件C 包含以下6个基本事件：(B 2，B 3)，(B 2，B 4)，(B 2，B 5)，(B 3，B 4)，(B 3，B 5)，(B 4，B 5)． 所以P (C )＝6

10＝3

5，即2件都为正品的概率为35.

4．【解】(1)设事件A 表示f (x )和g (x )是“友好函数”， 则|f (x )＋g (x )|(x ∈[1，2])所有的情况有：

x －1x ，x ＋1x ，x ＋4x ，4x －1

x ，4x ＋1

x ，4x ＋4

x ，

共6种且每种情况被取到的可能性相同．

又当a >0，b >0时，ax ＋b x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫

0，b a 上递减，

在⎝ ⎛⎭⎪⎫b

a ，＋∞上递增；

x －1

x 和4x －1

x 在(0，＋∞)上递增，

∴对x ∈[1，2]可使|f (x )＋g (x )|≤8恒成立的有x －1x ，x ＋1x ，x ＋4x ，4x －1

x ，

故事件A 包含的基本事件有4种，

∴P (A )＝46＝23，故所求概率是2

3.

(2)设事件B 表示f (x )和g (x )是“友好函数”，

∵a 是从区间[1，4]中任取的数，b 是从区间[1，4]中任取的数， ∴点(a ，b )所在区域是长为3，宽为3的正方形区域．

要使x ∈[1，2]时，|f (x )＋g (x )|≤8恒成立，

需f (1)＋g (1)＝a ＋b ≤8且f (2)＋g (2)＝2a ＋b

2≤8，

∴事件B 表示的点的区域是如图所示的阴影部分．

∴P (B )＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋11

4×3

3×3＝19

24，

故所求概率是19

24.