几类变系数线性常微分方程的求解

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几类变系数线性常微分方程的求解
章联生&
（& 摘 北京石油化工学院数理部， 北京 &"!B&%；! 要
王勤龙!
中南大学数学科学与计算技术学院， 长沙 ’&""C#）
在科学研究、 工程技术中， 人们常会遇到二阶或高阶变系数线性微分方程， 一般形式的这
类方程， 无法用初等积分法求解， 也没有通用的一般性方法。但这类方程中的一些特殊类型仍可求解。为了 满足理论研究和工程实践的需要， 一直以来， 人们用不同的方法在不断的探讨这一问题， 极大地扩展了变系数 将几类变系数线性微分方程 线性微分方程的可积类型。借助双变换 D 未知函数的线性变换和自变量的变换， 化为常系数的线性微分方程， 从而求得它们的通解， 所得结论推广了著名的 E*.1+ 方程及前人的一些的工作。 关 键 词 变系数线性微分方程；双变换；常系数线性微分方程；通解 F&%GH& 中图法分类号
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线性常微分方程在科学研究、 工程技术中 有着广泛的应用。常系数的线性微分方程的求 解问题早已解决， 但在激励振动、 波导传输理论 以及其它领域的许多系统中， 人们常会遇到二 阶或高阶变系数线性微分方程， 因此， 探讨它们 的解法具有重要理论和应用价值。这类方程一 般情况下， 无法用初等积分法来求解， 即不可 积。然而， 一些特殊形式的变系数线性方程还 是可以求解的， 比如著名的 E*.1+ 方程。为了满 足理论研究和工程实践的需要， 人们用不同的 方法在不断扩大变系数线性微分方程的可积类
几类新的可积类型。 变系数线性微分方程有齐次、 非齐次之分， 根据线性微分方程解的结构定理， 非齐次线性 方程的通解等于对应的齐次方程的通解与它本 身的一个特解之和， 而非齐次方程的特解可以 根据自由项的不同采用待定系数法或常数变易 法求得。基于这种思想， 下面只讨论变系数齐 次线性方程的求解。
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采用与证明定理 # 相同的方法， 最后方程 （"%） 可化为三阶常系数的线性微分方程 !- " !# " !" ’ 2# ’ 2- " ( $ - ’ 2" !# !# ! ## 因此， 方程 （"%） 可积。 参考文献
［ 3］ " 李鸿祥 2 关于几类高阶变系数线性方程的求解 2 应用数学学报， （"） ： "14#1 5 -［ 3］ # 李鸿祥 2 常微分方程的一些新的可积类型 2 数学 的实践与认识， （"） ： "14$ %/ 5 0"
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