二次函数第一课时(教师版)
二次函数_课件_第1课时
x1、x2 是抛物线与x轴交点的横坐标
初中数学
例1：将二次函数 y x2 2x 3 的图象向左
向下
3个单位后得到的函数表达式 为
表达式 a
顶点
平移前
平移后
y ( x 1)2 4 y ( x 1)2 1
a=-1
a=-1
（1,4）
（-1,1）
点(-1,y1),(2,y2),试比较y1和y2的大小:y1 > y2.
数形结合
初中数学
课堂小结
1. 梳理一下二次函数图象和性质有哪些？ 2. 体会数形结合思想在解决二次函数问题中的重要性.
初中数学
• 完成课后作业中的题目
作业
初中数学
谢谢
配方 法
b 4ac b2 ( 2a , 4a )
顶点式 y a( x h)2 k
(h, k)
函数最值
初中数学
4.二次函数的增减性 由开口方向和对称轴决定 当a>0时，左减右增 当a<0时，左增右减
初中数学
一般式
顶点式
交点式 （存在的情况下）
y ax2 bx c
y a(x h)2 k
2个单位， .
初中数学
练习：二次函数 y x2 2x 3 关于
y=3
函数表达式为
.
对称前
表达式 y ( x 1)2 4
a 顶点
a=-1 （1,4）
对称后
y = (x-1)2+2
a=1 （1,2）
的
数形结合
初中数学
（1）先将表达式化为顶点式 y a( x h)2 k 2 确定图象变换后的a和顶点坐标（h,k） 3 按顶点式写出变换后的函数表达式
二次函数第一课时教学课件优质课件
教学中多采用实例
通过具体的实例，让学生更好地 理解二次函数的概念和应用。
组织小组讨论
让学生分组讨论二次函数的性质和 特点，培养学生的合作精神和沟通 能力。
教学手段
使用多媒体教学
通过PPT、视频、动画等 多种形式，让学生更加直 观地了解二次函数的相关 知识。
使用黑板讲解
在黑板上详细讲解二次函 数的公式、性质和图形， 让学生更好地理解重点和 难点。
综合练习
结合实际生活问题，比如抛物线形状的桥梁设计 等，让学生进行函数建模和分析。
小结与作业布置
小结回顾
回顾本节课学习的重点内容，比如二次函数的表达式、图像和性质等。
作业布置
布置一些具有代表性的习题，让学生进行自我检测和巩固。
05 教学评价与反思
学生表现评价
课堂参与度
01
学生是否积极参与课堂讨论，对二次函数概念的理解是否深入
教学环节衔接情况
教师对教学环节的衔接是否流畅，课堂节奏是否把握得当。
改进措施与展望
调整教学策略
针对学生掌握程度，调整教学策略，加强 二次函数概念的讲解。
拓展学习资源
提供更多学习资源，如网络课程、习题等 ，让学生有更多练习机会。
增加实例应用
引入更多二次函数在生活中的应用实例， 增强学生对二次函数的理解。
加强师生互动
增加师生互动环节，了解学生学习中的困 惑，及时调整教学策略。
THANKS
感谢观看
使用网络资源
引导学生通过网络查找二 次函数的相关资料，拓展 学生的知识面和视野。
04 教学过程设计
导入新课
复习导入
通过回顾一次函数的性质和概念，引出二次函数的定义。
二次函数课第一课时.1二次函数课件(第一课时)
A、a>0,b=0,c>0,△>0 C、a>0,b=0,c<0,△>0 B、a<0,b>0,c<0,△=0 D、a<0,b=0,c<0,△<0
o y
o
x
y
x
3、抛物线 y=ax2+bx+c 的图象如图，则点 P（a+b，ac）在（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 4、 已知二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如图， 下列结论（1）a+b+c＜0，（2）4a-2b+c＞0， （3）abc＞0，（4）b＝2a.其中正确结论 的个数是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
9、在同一直角坐标系中，一次函数y=ax+c和 二次函数y=ax2+c的图象大致为
y y y y
x O O x O
x
x
O
A
B
C
D
10、函数y=ax+b和y=ax2+bx+c在同一直角 坐标系内的图象大致是( )
11、二次函数y= x2 – x - 2的图象如图所示，则函数值y＜0 时x的取值范围是( (A)x＜-1 ) (B)x＞2
根据下面的函数图象，尽可能多的找出结论.
y
(0,2) (1,0) O (5,0) x
二次函数y=ax2+bx+c的图象过点 （1，0）（0，3），对称轴x=-1． ①求函数解析式； ②若图象与x轴交于A、B（A在B左 侧）两点，与y轴交于C点,顶点为D 点，求三角形ABC和四边形ABCD 的面积。
二次函数的图象与性质(1)教案
《二次函数的图象与性质（第一课时）》教学内容：二次函数的图象与性质（第一课时）授课教师：管城外国语学校孙祺臻一、教材分析本节课内容是在学生已经学习过的一次函数、反比例函数的图象与性质，以及二次函数的有关概念的基础上进行的，它既是前面所学知识的应用、拓展，又是对前面所学一次函数、反比例函数图象与性质的一次升华，还是今后学习的基础，在教材中起着非常重要的作用。
二、教学目标1、能做出二次函数y=ax2的图象，理解抛物线有关的概念；2、使学生经历，探索二次函数图象性质的过程，掌握该函数的性质，并获得利用图象研究函数性质的经验，培养学生的类比学习能力和发展学生的求同求异思维；3、通过观察、实验、猜想、验证、推理、交流等数学活动，进一步发展学生演绎推理能力和发散思维。
三、教学过程环节一、复习回顾今天我们来学习二次函数的图象与性质，首先复习二次函数的概念（1）二次函数的概念：一般地，若两个变量x，y之间的对应关系可以表示成y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的形式，则称y是x 的二次函数。
（2）画函数图象的一般步骤为：列表、描点、连线今天我们就来研究二次函数y=ax2（a≠0）的图象与性质环节二、探究新知--------------二次函数y=x2的图象与性质在二次函数y=x2中，y随x的变化而变化的规律是什么？我们想直观地了解它的性质，那么，首先我们要先尝试画出二次函数y=x2的图象。
请同学们自己独立动手操作，画出图象，研究性质1、二次函数y=x2的图象与性质函数图象的画法：（1）列表（2）描点（3）连线（1）形状（你能描述图象的形状吗？）（开口向上）（2）对称轴（通过图象你能直观地得到函数的哪些性质呢？）（3）增减性（4）顶点坐标（5）函数的最值（板书制作表格，以便学生填空）（独立完成，认真分析，标记好自己的疑难问题，以便讨论探究，5min 时间后小组进行讨论交流，并提问）注意：学生回答不完善时提醒补充2、二次函数y=-x2的图象是什么？在同一直角坐标系中画出它的图象.对比两个函数y=x2与y=-x2的表达式和图象性质，有什么相同和不同？若把函数y=x2与y=-x2的图象画在同一平面直角坐标系中，则两图象既关于x轴对称成轴对称，又关于原点成中心对称.总结：关系式中a的正负号，改变了图象的开口方向，从而导致了增减性和最值的变化即a的正负决定了开口方向。
二次函数教案 (第一课时)
二次函数教案 (第一课时)二次函数的教学设计一、教学内容二次函数（新人教版九年级下册第26.1.1节）二、教学目标1.知识技能通过对多个实际问题的分析，让学生感受二次函数作为刻画现实世界有效模型的意义；通过观察和分析，学生归纳出二次函数的概念并能够根据函数特征识别二次函数。
2.教学思考学生能对具体情境中的数学息做出合理的解释，能用二次函数来描述和刻画现实事物间的函数关系。
3.解决问题体验数学与日常生活密切相关，让学生认识到许多问题可以用数学方法解决，体验实际问题“数学化”的过程。
4.情感态度通过观察、归纳、猜想、验证等教学活动，给学生创造成功机会，使他们爱学、乐学、学会，同时培养学生勇于探索，积极合作精神以及公平竞争的意识。
三、教学重点与难点1.教学重点认识二次函数，经历探索函数关系、归纳二次函数概念的过程。
2.教学困难根据函数解析式的结构特征，归纳出二次函数的概念。
第四，教学过程的安排教学活动流程活动1：温故知新，揭示课题活动内容和目的由回顾所学过的函数入手，引入函数大家庭中还会认识哪函数呢？然后从打篮球的例子引入二次函数。
学生能独立运用函数知识解决变量之间的关系。
2.活动：合作探究，获取新知识，制作探究环节，与学生互动，自主探索新知识，从而通过观察和归纳。
得到二次函数的解析式，获取新知。
本组题目是新知识的直接应用，目的是让学生能够区分。
活动3：小试身手，循序渐进认二次函数，循序渐进这一环节主要帮助学生处理解决问题，加深对二次函数的理解。
总结内容、应用、数学思维方法、获取知识的途径等。
活动四：回顾课堂，总结巩固方面，既总结知识，又提炼方法，让研究研究知识和运用知识都有很大的提升，方法就是学生讲收获。
活动5：课堂检测，测评反馈以测试的形式检测本节课的内容，检查学生的掌握程度，同时加深学生对知识的理解。
第五，教学过程的设计问题与情景【活动１】１.知识回顾：以问答式引起学生对知识的回忆。
２.揭示课题：以篮球为例。
人教版数学九年级上册《二次函数》第一课时教案
例1、下列函数中，哪些是二次函数？若是,分别指出二次项系数,一次项系数,常数项.
例2、函数
（1）当m为何值时，y是x的二次函数？
（2）当m为何值时，y是x的一次函数？
【反思节点2】怎么判定一个函数是否为二次函数？
五、整合提高建构体系内化反思
【生活问题数学化】：一农民用40m长的篱笆围成一个一边靠墙的长方形菜园，和墙垂直的一边长为 ，菜园的面积为 ，
二、学案引导自主学习目标反思
问题2n个球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛．比赛的场次数m与球队数n有什么关系？
问题3某种产品现在的年产量是20 t，计划今后两年增加产量．如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的产量y将随计划所定的x的值而确定，y与x之间的关系应怎样表示？
3.等式的右边最高次数为__________，可以没有一次项和常数项，但不能没有二次项.
4.没有特殊要求的话，x的取值范围是________.
二次函数的特殊形式：
当b＝0时，y＝_________
当c＝0时，y＝_________
当b＝0，c＝0时，y＝__________
【反思节点1】二次函数必须满足的条件是什么？
（1）求y与x之间的函数关系式，并说出自变量的取值范围。
（2）当x=12m时，计算菜园的面积。
（3）当菜园的面积是 时，求x。
【反思节点3】如何求函数值及自变量的值？
【小结】知识网络
六、达标检测反馈矫正总结反思
1.下列函数中是二次函数的是（）
A. B. C. D.
2.若函数 是关于x的二次函数，则（）
思考：函数有什么共同特点？板书二次函数
一般地，形如
二次函数(第一课时)概念
7
是二次函数，求 m 的值。
2.试在平面直角坐标系画出二次函数 y=x2 和 y=-x2 图象 【设计意图】作业中分为必做题与选做题，实施分层教学，体现新课标 人人学有价值的数学，不同的人得到不同的发展。另外补充第 4 题，旨 在激发学生继续学习二次函数图象的兴趣。
22. 二次函数
1、 二次函数的定义： 形如 y=ax2+bx+c (a≠0，a, b, c 为常数) 的函数叫做二次函数。
-5-
（2014-2015 学年度第一学期）
备课教师 李扬茂 年级 九年级 班级 905
科目 数学 教材版本：人教版
教学 反思
-6-
（2014-2015 学年度第一学期）
教 学
对二次函数的好奇和兴趣。 看下面三个例子中两个变量之间存在怎样的关系。 （电脑演示） 例 1、 (1)圆的半径是 r(cm)时， 面积 s (cm²)与半径之间的关系是什么?
过 程
解：s=π r² （r>0） 例 2、 用周长为 20m 的篱笆围成矩形场地， 场地面积 y(m² )与矩形一 边长 x(m)之间的关系是什么？ 解： y=x(20/2-x)=x(10-x)=-x²+10x (0<x<10)
判断： 下列函数中哪些是二次函数？哪些不是二次函数？若是二次函数， 指出 a、 b、 c．
(1)y=3(x-1)² +1 (3)s=3-2t² (5) s=10π r²
(2)
y x2
1 x
(4)y=(x+3)² - x² (6) y=2² +2x (8)y=x4＋2x2＋1（可指出 y 是关于 x2 的二
对二次函数概念的理解。 由实际问题确定函数解析式和确定自变量的取值范围。 讲授法、讨论法。 主要教学过程 个人修改
二次函数-第一讲
第一讲 1.二次函数所描述的关系（教师版）授课时间：授课教师：卢老师教学重点：二次函数的有关概念，表示简单变量之间的二次函数关系；掌握的图像和性质及描点作图法；掌握的图像和性质。
中考提示：利用二次函数解决实际问题教学过程：知识点1；二次函数的概念一般的，形如的函数叫做的二次函数。
【知识拓展】（1）二次函数的形式是关于自变量的二次整式，其中二次项系数不能为0，如果二次项系数为0，那么二次函数就变成一次函数或常函数了。
（2）确定一个函数是不是二次函数，应注意自变量的最高次数是否为二次，再看它是否是一个二次的整式，最后再分析二次项系数是否为0，只有认真判断这三个方面后才能得出正确结论。
【例1】下列函数是二次函数的是( )A: B: C: D:知识点2：二次函数的一般形式任意一个二次函数的解析式都可以化成形式，因此，把叫做二次函数的一般形式，其中，，,分别是二次项、一次项、和常数项，而和分别是二次项系数和一次项系数。
【知识拓展】（1）在一般式中，只有当时，才是二次函数；当时，，若，则它是一次函数；若，则是一个常函数。
（2） 在中，的取值范围是全体实数，且按的降幂排列。
（3） 二次函数与一元二次方程有着密切的联系，如果将变量y换成一个常数，那么这个二次函数就变成一个一元二次方程了。
【例2】如果函数是二次函数，试确定m的值。
【易错点】易忽略二次函数定义中的二次项系数这一隐含条件【例3】已知函数是关于的二次函数，你能确定的值？2. 结识抛物线知识点3：二次函数的图像和性质（1） 二次函数的图像是一条抛物线，它关于轴对称，它的顶点坐标是（0，0）。
（2） 当时，抛物线开口向上；当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大，顶点是抛物线上位置最低的点。
（3） 当时，抛物线开口向下；当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小，顶点是抛物线上位置最高的点。
【知识拓展】a：的符号决定抛物线的开口方向b：的绝对值决定抛物线的开口大小；越大，开口越小，图像上升（或下降）的速度越快；c：如果两条抛物线和中，，那么这两条抛物线的形状相同。
第1讲.二次函数图象及基本性质.尖子班.教师版
15初三暑期·第1讲·尖子班·教师版股票图==血压图？漫画释义满分晋级1函数11级 两大函数 与几何综合函数12级 二次函数图象 及基本性质 函数13级 二次函数的基本解 析式与图象变换春季班 第三讲暑期班 第一讲暑期班第二讲二次函数图象及基本性质中考内容中考要求A B C二次函数了解二次函数的意义；会用描点法画出二次函数的图象能通过分析实际问题的情境确定二次函数的解析式；能从图象上认识二次函数的性质；会根据二次函数的解析式求其图象与坐标轴的交点坐标，会确定图象的顶点、开口方向和对称轴；会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解能用二次函数解决简单的实际问题；能解决二次函数与其他知识综合的有关问题二次函数在北京中考中属于必考考点，并且都以压轴题形式出现，是中考的难点，也是同学们失分最高的一部分。
这部分内容要求学生们⑴能用数形结合、归纳等数学思想，根据二次函数的表达式确定二次函数的开口方向、对称轴和顶点坐标；⑵综合运用方程、几何、函数等知识解决实际问题。
年份2010年2011年2012年题号24 7，8，23 8，23分值8分11分11分考点确定抛物线的解析式，二次函数与等腰直角三角形综合抛物线顶点坐标；函数图象；二次函数和一次函数解析式（函数图象与坐标轴交点、函数图象交点坐标），二次函数与一元二次方程（判别式、求根）函数图象；二次函数的对称性；二次函数和一次函数解析式（函数图象与坐标轴交点、函数图象交点坐标）；二次函数图象平移，利用函数图象求取值范围中考考点分析中考内容与要求知识互联网14 初三暑期·第1讲·尖子班·教师版15初三暑期·第1讲·尖子班·教师版定 义示例剖析二次函数的定义：一般地，形如 2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数．其中x 是自变量，a ，b ，c 分别是函数表达式的二次项系数、一次项系数和常数项．例如223y x x =-+是二次函数，其中二次项系数为1，一次项系数为2-，常数项为3．【例1】 ⑴ 银行的储蓄利率是随时间的变化而变化的．也就是说，利率是一个变量．在我国利率的调整是由中国人民银行根据国民经济发展的情况而决定的．设人民币一年定期储蓄的年利率是x ，如果存款额是100元，一年到期后，本息和y = 元；若一年到期后，银行将本金和利息自动按一年定期储蓄转存，则两年后的本息和y =元（不考虑利息税）．⑵ 下列函数中哪些是二次函数，哪些不是，如果是二次函数，指出二次项系数、一次项系数、常数项．①213y x =-，②()5y x x =-，③213y x=，④()()312y x x =-+，⑤4221y x x =++，⑥()221y x x =--，⑦2y ax bx c =++．（北京市十一学校练习）2y ax = 2y ax c =+()2y a x h =-()2y a x h k =-+ 2y ax bx c =++模块一 二次函数的解析式知识导航夯实基础14初三暑期·第1讲·尖子班·教师版⑶ ①如果函数22(1)1k k y k xkx -+=-+-是关于x 的二次函数，则k = ．（八中期中）②2(2)mmy m x -=-是关于x 的二次函数，则m = ．（海淀期末复习题）③若函数2221(1)m m y m x --=-为二次函数，则m 的值为 ．（铁二期中）④已知222mm y mx -+=是关于x 的二次函数，则m 的值为 ．（西外期中）【解析】 ⑴ ()1001x +（或100100x +），()21001x +（或2100200100x x ++）．⑵ ①②④是二次函数，其余的都不是．①的一般式为231y x =-+，二次项系数为3-，一次项系数为0，常数项为1． ②的一般式为25y x x =-，二次项系数为1，一次项系数为5-，常数项为0． ④的一般式为2336y x x =+-，二次项系数为3，一次项系数为3，常数项为6-． ⑶ ① 0；②1-；③ 3；④ 2．【点评】⑴主要作用是通过一次函数类比提出二次函数的定义；⑵熟练掌握二次函数的有关概念． ⑶主要考查二次项系数不为0这一易错点.二次函数的图象：一般地，二次函数2y ax bx c =++的图象叫做抛物线2y ax bx c =++．每条抛物线都有对称轴，抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的顶点．顶点是抛物线的最低点或最高点．二次函数2y ax bx c =++的图象是对称轴平行于y 轴的一条抛物线．a 的符号 开口方向顶点坐标 对称轴性质①二次函数2y ax =()0a ≠的性质0a > 向上()00， y 轴当0x >时，y 随x 的增大而增大；0x <时，y 随x 的增大而减小； 0x =时，y 有最小值0．0a < 向下()00，y 轴当0x >时，y 随x 的增大而减小；0x <时，y 随x 的增大而增大； 0x =时，y 有最大值0．②二次函数2y ax c =+()0a ≠的性质0a >向上()0c ， y 轴当0x >时，y 随x 的增大而增大；0x <时，y 随x 的增大而减小； 0x =时，y 有最小值c ．0a < 向下()0c ，y 轴当0x >时，y 随x 的增大而减小；0x <时，y 随x 的增大而增大； 0x =时，y 有最大值c ．③二次函数()2y a x h =-()0a ≠的性质0a >向上()0h ，x h =当x h >时，y 随x 的增大而增大；模块二 二次函数的图象与性质15初三暑期·第1讲·尖子班·教师版二次函数图象与系数的关系⑴a 决定抛物线的开口方向 当0a >时，抛物线开口向上；当0a <时，抛物线开口向下．a 决定抛物线的开口大小：a 越大，抛物线开口越小；a 越小，抛物线开口越大． 温馨提示：几条抛物线的解析式中，若a 相等，则其开口大小相同，即若a 相等，则开口方向及大小相同，若a 互为相反数，则开口大小相同、开口方向相反．⑵b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置（抛物线的对称轴：2bx a=-）当0b =时，抛物线的对称轴为y 轴； 当a 、b 同号时，对称轴在y 轴的左侧；当a 、b 异号时，对称轴在y 轴的右侧．简称“左同右异”.⑶c 的大小决定抛物线与y 轴交点的位置（抛物线与y 轴的交点坐标为()0c ，） 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为原点；当0c >时，交点在y 轴的正半轴；当0c <时，交点在y 轴的负半轴．14初三暑期·第1讲·尖子班·教师版y=2x 2y=12x 2y=-x 2y=-2x 2O -1-212yx【例2】 在同一平面直角坐标系中，用描点法画出二次函数①22y x =、②212y x =、③2y x =-和 ④22y x =-的图象，指出各个二次函数的开口方向、对称轴和顶点坐标，并根据二次函数图象判断 的图象开口最大．【解析】 ⑴对二次函数22y x =进行列表、描点、用光滑的曲线连起来如图所示．⑵对二次函数212y x =进行列表、描点、用光滑的曲线连起来如图所示．⑶对二次函数2y x =-进行列表，描点，用光滑的曲线连起来如图所示．⑷对二次函数22y x =-进行列表，描点，用光滑的曲线连起来如图所示．根据图象可知①②开口向上，③④开口向下，四个函数的对称轴都是y 轴，四个函数的顶点都是原点()00，，212y x =的图象开口最大． 【点评】 提示：课本上至少选取7个点．通过此例题让学生掌握二次函数图象的画法，并借助图象介绍抛物线的开口方向、对称轴和顶点，对称轴两边的图象的走势．并进一步引导学生思考a 与图象的关系．老师可继续利用图象讲清()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的图象性质.x 2- 1- 0.5- 0 0.5 1 2 y 8 2 0.5 0 0.5 2 8 x 3- 2- 1- 0 1 2 3y 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 x 3- 2- 1- 0 1 2 3y 9- 4- 1- 0 1- 4- 9- x 2- 1- 0.5- 0 0.5 1 2y 8- 2- 0.5- 0 0.5- 2- 8- 夯实基础15初三暑期·第1讲·尖子班·教师版①②③④x yO【例3】 ⑴ 若二次函数222-++=a bx ax y （a ，b 为常数）的图象如图，则a 的值为 ． (2012四川广元)⑵ 已知二次函数213y x =-、2213y x =-、2332y x =，它们的图象开口由小到大的顺序是（ ）A ．123y y y ，，B ．321y y y ，，C ．132y y y ，，D ．231y y y ，，⑶ 如图，抛物线①②③④对应的解析式为21y a x =，22y a x =，23y a x =， 24y a x =，将1a 、2a 、3a 、4a 从小到大排列为 ．【解析】 ⑴2-；⑵ C ；⑶ 4321a a a a <<<．【例4】 ⑴关于x 的二次函数()()m x x y -+=1，其图象的对称轴在y 轴的右侧，则实数m 的取值范围是 ．（2012江苏镇江）⑵抛物线2y ax bx c =++经过点()27A -，，()67B ，，()38C -，，则该抛物线上纵坐标为8-的另一个点D 的坐标是 ． （山东中考）⑶已知点()15A x ，，()25B x ，是函数223y x x =-+上两点，则当12x x x =+时，函数值 y =___________．【解析】 ⑴1＞m ；⑵ ()1,8-；⑶3.法一：由题意可知：A ，B 关于抛物线的对称轴对称，故12222bx x x a-=+=⋅=， ∴当2x =时，4433y =-+=法二：因为当x 取不同的值1x ，2x 时函数值相等，所以1x 与2x 关于对称轴对称，所以对称轴可以表示为：122x xx +=．题目等价于求横坐标为12x x x =+的点关于对称轴122x xx +=对称的点，即0x =对应的纵坐标为3.【例5】 ⑴判断下列哪一组的a 、b 、c ，可使二次函数73522+--++=x x c bx ax y 在坐标平面上的图形有最低点？ （ ） (2012台湾) A ．0=a ，4=b ，8=c B ．2=a ，4=b ，8-=c C ．4=a ，4-=b ，8=c D ．6=a ，4-=b ，8-=c能力提升xyOxyO14初三暑期·第1讲·尖子班·教师版⑵二次函数()n m x a y ++=2的图象如图，一次函数n mx y +=的图象经过（ ） （2012泰安）A ．第一、二、三象限B ．第一、二、四象限C ．第二、三、四象限D ．第一、三、四象限⑶顶点为(50)-，，开口方向、大小与函数231x y -=的图象相同的抛物线是( )A ．2)5(31-=x yB ．5312--=x yC ．2)5(31+-=x yD ．2)5(31+=x y⑷ 二次函数()()2---=m x m x y 的最小值为 ． (2012人大附统练)⑸ 二次函数()2214y x k x =-++的顶点在y 轴上，则k = ，若顶点在x 轴上，则k = ．（清华附中统练）【解析】 ⑴ D ；⑵ C ；⑶ C ；⑷1-；⑸ 1-，1或3-．【例6】 ⑴二次函数()()022＞a c x a y +-=，当自变量x 2，3，0时，对应的值分别为1y 、2y 、3y ，则1y 、2y 、3y 的大小关系为 ． (2012江苏常州)⑵二次函数()02＜a c bx ax y ++=的图象经过点A (2-，0)、O (0，0)、B (3-，y 1)、 C (3，y 2)四点，则y 1与y 2的大小关系是 ．(2012崇左)【解析】⑴1y ＜2y ＜3y ．⑵21y y ＞.【例7】 已知二次函数6422-+=x x y ．⑴ 将其化成()2y a x h k =-+的形式；⑵ 写出开口方向，对称轴，顶点坐标； ⑶ 求图象与两坐标轴的交点坐标； ⑷ 画出函数图象；⑸ 说明其图象与抛物线22y x =的关系； ⑹ 当x 取何值时，y 随x 增大而减小； ⑺ 当x 取何值时，0y >，0y =，0y <； ⑻ 当x 取何值时，函数y ⑼ 积．【解析】 ⑴ ()2218y x =+-；15初三暑期·第1讲·尖子班·教师版⑵ 开口向上，对称轴为直线1x =-，顶点坐标为()18--，；⑶ 图象与y 轴的交点为()06-，，与x 轴的交点为 ()30-，和()10，；⑷ 对二次函数2246y x x =+-进行列表，描点，用光滑x 4- 3- 2- 1- 0 1 2 y 10 0 6- 8- 6- 0 10⑸ 22y x =的图象向左平移1个单位，再向下平移8个单位可得到2246y x x =+-的图象； ⑹ 当1x <-时，y 随x 增大而减小；⑺ 当31x -<<时，0y <；当3x =-或1x =，0y =；当3x <-或1x >时，0y >．⑻ 当1x =-时，函数y 有最小值，其最小值为8-； ⑼ 函数图象与两坐标轴交点所确定的三角形面积为12．【例8】 若点P ),(11y x 与Q ),(21y n x +在抛物线243y x x =++上(点P 、Q 不重合)，且y 1=y 2，求代数式81651242121++++n n n x x 的值. （2012海淀一模）【解析】 法一：∵点P ),(11y x 与Q ),(21y n x +在抛物线上, ∴2211121143,()4()3y x x y x n x n =++=++++.∵,21y y =∴22111143()4()3x x x n x n ++=++++.可得 04221=++n n n x . 即 0)42(1=++n x n . ∵ 点P , Q 不重合, ∴ n ≠0.∴ 124x n =--.∴ 222211114125168(2)265168x x n n n x x n n n ++++=+⋅+++ 22(4)6(4)516824.n n n n n =++--+++=法二：∵ 243y x x =++=(x +2)2-1， ∴ 抛物线的对称轴为直线 x =-2.∵ 点P ),(11y x 与Q ),(21y n x +在抛物线上, 点P , Q 不重合, 且,21y y =探索创新∴点P, Q关于直线x=-2对称.∴11 2.2x x n++=-∴124x n=--.下同法一.若函数()2221m my m m x--=+为二次函数，则m的值是．（海淀教研练习）【解析】2212m m--=，解得13m=，21m=-，又∵20m m+≠，∴3m=．20m m+≠抛物线2(2)3y x=-++的顶点坐标是（）（平谷期末）A．()23，B．()23，-C．()23，-D．()23，--【解析】B．抛物线()()22y a x h k a x h k=++=--+⎡⎤⎣⎦，故顶点为()h k-，．建议：易错点内容只是给出范例，对于不同学生易错点不同，教师可根据班级错误情况自行总结．14 初三暑期·第1讲·尖子班·教师版第01讲精讲：二次函数之轴对称的应用 抛物线y ＝2ax bx c ++是以直线x ＝－2ba为对称轴的轴对称图形，不难得到如下性质： （1）抛物线上对称两点的纵坐标相等；抛物线上纵坐标相同的两点是对称点． （2）如果抛物线交x 轴于两点，那么这两点是对称点．（3）若设抛物线上对称两点的横坐标分别为x 1、x 2，则抛物线的对称轴为122x x x +=． （4）若已知抛物线与x 轴相交的其中一个交点是()01,x A ，且其对称轴是m x =，则另一个交点B 的坐标可以用1x ，m 表示出来．灵活应用上述性质，可使很多有关抛物线的问题获得速解． 1、根据对称点求对称轴【变式1】(2012年北京)已知二次函数23(1)2(2)2y t x t x =++++在0x =和2x =时的函数值相等，求二次函数的解析式.【解析】由题意可知依二次函数图象的对称轴为1x =，则()()22121t t +-=+。
二次函数第一课时教案
二次函数第一课时教案教案标题: 二次函数第一课时教案教学目标:1. 理解二次函数的定义及其一般形式；2. 能够识别二次函数的图像特征，包括顶点、开口方向和对称轴；3. 能够通过顶点坐标和开口方向确定二次函数的图像；4. 能够根据给定的二次函数方程，求解其顶点、开口方向和对称轴。
教学重点:1. 二次函数的定义及其一般形式；2. 二次函数图像的特征和确定方法。
教学准备:1. 教师准备：教学投影仪、黑板、白板笔；2. 学生准备：课本、作业本、笔。
教学过程:步骤一: 导入新知识1. 教师通过引入实际问题（例如：抛物线的形状、跳水运动员的轨迹等），激发学生对二次函数的兴趣。
2. 教师提问学生，让学生思考并回答：你们对二次函数有什么了解？步骤二: 介绍二次函数的定义及一般形式1. 教师给出二次函数的定义：二次函数是指具有形如 f(x) = ax^2 + bx + c 的函数，其中 a、b、c 是常数且a ≠ 0。
2. 教师解释二次函数的一般形式，指出 a、b、c 的含义。
步骤三: 讨论二次函数图像的特征1. 教师引导学生观察并讨论二次函数图像的特征，包括顶点、开口方向和对称轴。
2. 教师解释顶点的概念，并指出顶点的坐标对应二次函数的最值。
3. 教师解释开口方向的概念，并指出 a 的正负决定了二次函数的开口方向。
4. 教师解释对称轴的概念，并指出对称轴与顶点的横坐标相等。
步骤四: 确定二次函数图像的方法1. 教师通过示例演示如何通过顶点坐标和开口方向确定二次函数的图像。
2. 教师提供练习题，让学生自行确定二次函数的图像。
步骤五: 求解二次函数的顶点、开口方向和对称轴1. 教师介绍如何根据给定的二次函数方程，求解其顶点、开口方向和对称轴。
2. 教师通过示例演示求解过程，并解释关键步骤。
3. 教师提供练习题，让学生独立求解二次函数的顶点、开口方向和对称轴。
步骤六: 总结与拓展1. 教师与学生一起总结本节课所学内容，并强调重点。
2024年人教版九年级数学上册教案及教学反思全册第22章 二次函数的图象和性质第1课时教案
22.1二次函数的图象和性质22.1.3二次函数y=a（x-h）²+k的图象和性质（第1课时）一、教学目标【知识与技能】1.能画出二次函数y=ax2+k的图象；2.掌握二次函数y=ax2与y=ax2+k图象之间的联系；3.掌握二次函数y=ax2+k的图象及其性质.【过程与方法】通过画二次函数y=2x2+1与y=2x2-1的图象，感受它们与y=2x2的联系，并由此得到y=ax2与y=ax2+k的图象及性质的联系和区别.【情感态度与价值观】在通过类比的方法获取二次函数y=ax2+k的图象及其性质过程中，进一步增强学生的数形结合意识，体会通过探究获得知识的乐趣.二、课型新授课三、课时第1课时，共3课时。
四、教学重难点【教学重点】1.二次函数y=ax2与y=ax2+k的图象之间的联系；2.二次函数y=ax2+k的图象及其性质.【教学难点】二次函数y=ax2+k的性质的基本应用.五、课前准备课件、三角尺、铅笔等六、教学过程（一）导入新课这个函数的图象是如何画出来呢？（出示课件2）（二）探索新知探究一二次函数y=ax2+k图象的画法在同一直角坐标系中，画出二次函数y=x2,y=x2+1,y=x2-1的图象.（出示课件4）学生自主操作，画图，教师加以巡视，纠正画图过程中可能出现的失误，并引导他们进行分析，发现规律，获得感性认识.1.列表：x…-3-2-10123…y=x2…9410149…y=x2+1…105212510…y=x2-1…830-1038…2.描点，连线：（出示课件5）教师问：抛物线y=x2、y=x2+1、y=x2-1的开口方向、对称轴、顶点各是什么？（出示课件6）学生独立思考并整理.抛物线开口方向对称轴顶点坐标y=x2向上x=0（0,0）y=x2+1向上x=0(0，1)y=x2-1向上x=0(0，-1)出示课件7：例在同一直角坐标系中，画出二次函数y=2x2+1，y=2x2-1的图象.学生自主操作，画图，教师加以巡视.解：先列表：x…-2-1.5-1-0.500.51 1.52…y=2x2+1…9 5.53 1.51 1.53 5.59…y=2x2-1…7 3.51-0.5-1-0.51 3.57…然后描点画图：（出示课件8）教师问：抛物线y=2x2+1,y=2x2-1的开口方向、对称轴和顶点各是什么？（出示课件9）学生独立思考并整理.抛物线开口方向对称轴顶点坐标y=2x2+1向上x=0（0,1）y=2x2-1向上x=0（0，-1）探究二二次函数y=ax2+k的性质教师归纳：（出示课件10）二次函数y=ax2+k(a＞0)的性质：开口方向：向上.对称轴：x=0.顶点坐标：（0，k）.最值：当x=0时，有最小值，y=k.增减性：当x＜0时，y 随x 的增大而减小；当x＞0时，y 随x 的增大而增大.出示课件11：在同一坐标系中，画出二次函数212y x =-，2122y x =-+，2122y x =--的图像，并分别指出它们的开口方向，对称轴和顶点坐标.学生自主操作，画图，并整理.解：如图所示.抛物线开口方向对称轴顶点坐标y =12-x 2向下x =0（0,0）y =12-x 2+2向下x =0（0,2）y =12-x 2-2向下x =0（0，-2）出示课件12：在同一坐标系内画出下列二次函数的图象：231x y -=；23121--=x y ；23122+-=x y .学生自主操作，画图，教师巡视加以指导.出示课件13，14：根据图象回答下列问题:(1)图象的形状都是;(2)三条抛物线的开口方向_______;(3)对称轴都是__________;(4)从上而下顶点坐标分别是_____________________;(5)顶点都是最____点，函数都有最____值，从上而下最大值分别为_______、_______﹑________;(6)函数的增减性都相同：____________________________.学生独立思考并口答.⑴抛物线；⑵向下；⑶直线x=0；⑷(0，2)，(0，0)，(0，-2)；⑸高；大；y=2，y=0，y=-2；⑹对称轴左侧y随x增大而增大,对称轴右侧y随x增大而减小师生共同归纳：二次函数y=ax2+k（a≠0）的性质（出示课件15）y=ax2+k a＞0a＜0开口方向向上向下对称轴y轴（x=0）y轴（x=0）顶点坐标（0,k）（0,k）出示课件16：已知二次函数y＝ax2+c,当x取x1，x2（x1≠x2）时，函数值相等，则当x＝x1+x2时，其函数值为________.学生独立思考后，师生共同解答.解：由二次函数y＝ax2+c图象的性质可知，x1，x2关于y轴对称，即x1+x2＝0.把x＝0代入二次函数表达式求出纵坐标为c.教师归纳：方法总结：二次函数y＝ax2+c的图象关于y轴对称，因此左右两部分折叠可以重合，函数值相等的两点的对应横坐标互为相反数．出示课件17：抛物线y=−2x2+3的顶点坐标是________,对称轴是________，在________侧，y随着x的增大而增大；在________侧，y随着x的增大而减小.学生口答：（0,3）；y轴；对称轴左；对称轴右探究三二次函数y=ax2+k的图象及平移出示课件18：从数的角度探究：出示课件19：从形的角度探究：观察图象可以发现，把抛物线y=2x2向_____平移1个单位长度，就得到抛物线_____；把抛物线y=2x2向_____平移1个单位长度，就得到抛物线y=2x2-1.学生观察图象并解答：上；y=2x2+1；下师生共同归纳：二次函数y=ax2与y=ax2+k（a≠0）的图象的关系（出示课件20）二次函数y=ax2+k的图象可以由y=ax2的图象平移得到：当k>0时,向上平移k个单位长度得到.当k<0时,向下平移k个单位长度得到.教师强调：上下平移规律：平方项不变，常数项上加下减.出示课件21：二次函数y＝－3x2＋1的图象是将()A．抛物线y＝－3x2向左平移3个单位得到B．抛物线y＝－3x2向左平移1个单位得到C．抛物线y＝3x2向上平移1个单位得到D．抛物线y＝－3x2向上平移1个单位得到学生独立思考并口答：D出示课件22：想一想：教师问1.二次函数y=ax2+k图象的画法分几步？学生答：第一种方法：平移法，分两步，即第一步画y=ax2的图象；第二步把y=ax2的图象向上（或向下）平移︱k︱单位.第二种方法：描点法，分三步即列表、描点和连线.教师问2.抛物线y=ax2+k中的a决定什么？怎样决定的？k决定什么？它的对称轴是什么？顶点坐标怎样表示？学生答：a决定开口方向和大小；k决定顶点的纵坐标.（三）课堂练习（出示课件23-27）1.将二次函数y=x2﹣1的图象向上平移3个单位长度，得到的图象所对应的函数表达式是．2.抛物线y=2x2向下平移4个单位，就得到抛物线．3.填表：函数开口方向顶点对称轴有最高（低）点y=3x2y=3x2＋1y=-4x2－54.已知点（m,n)在y=ax2+a（a不为0）的图象上，点(-m,n)___（填“在”或“不在”）y=ax2+a（a不为0）的图象上.5.若y=x2+（k-2）的顶点是原点，则k____；若顶点位于x轴上方，则k____；若顶点位于x轴下方，则k____.6.不画函数y=-x2和y=-x2+1的图象回答下面的问题：⑴抛物线y=-x2+1经过怎样的平移才能得到抛物线y=-x2.（2）函数y=-x2+1，当x_____时，y随x的增大而减小；当x_____时，函数y有最大值，最大值y是_____，其图象与y轴的交点坐标是_____，与x轴的交点坐标是_____.（3）试说出抛物线y=x2-3的开口方向、对称轴和顶点坐标.7.对于二次函数y=(m+1)x m2-m+3,当x>0时y随x的增大而增大，则m=____.8.已知二次函数y=(a-2)x2+a2-2的最高点为（0，2），则a=____.9.抛物线y=ax2+c与x轴交于A（-2,0）﹑B两点，与y轴交于点C(0，-4),则三角形ABC的面积是_______.参考答案：1.y=x2+22.y=2x2－43.函数开口方向顶点对称轴有最高（低）点y=3x2向上（0,0）y轴有最低点y=3x2＋1向上（0,1）y轴有最低点y=-4x2－5向下（0,-5）y轴有最高点4.在5.=2；＞2；＜26.⑴向下平移1个单位.⑵>0；=0；1；(0,1)；(-1,0),(1,0)⑶开口方向向上，对称轴是y轴，顶点坐标（0，-3）.7.28.-29.8（四）课堂小结通过这节课的学习，你有哪些收获和体会?说说看.（五）课前预习预习下节课（22.1.3第2课时）的相关内容.七、课后作业配套练习册内容八、板书设计：九、教学反思：本课时教学重点在于培养学生的比较能力，旨在希望学生通过对比发现函数图象的性质，从而进一步增强学生的数形结合意识，体会通过探究获得知识的乐趣.。
九年级数学下册 26.1 二次函数(第一课时)教案 新人教版
26.1 二次函数（第一课时）教案第1课时教学目标1．知识与技能能够表示简单变量间的二次函数关系．理解二次函数的意义与特征，提高学生的分析，概括的能力.2．过程与方法逐个探求不同实例中两个变量之间的关系，后总结、概括，得出二次函数的定义，获得用二次函数来表示变量之间关系的体验.3．情感、态度与价值观进一步增强用数学方法解决实际问题的能力，体会二次函数在广泛应用中的作用．教学重点难点1．教学重点二次函数实例分析、二次函数定义的理解2．教学难点从实例中抽象出二次函数的定义，会分析实例中的二次函数关系．课型与课时新课第一节课教学手段教案，尺子，粉笔教学方法提问法，练习法，总结法教学过程（一）创设情境导入新课导语一回忆一次函数和反比例函数的定义，图象特征，它们为解决实际问题起了很大的作用，从而导人新课导语二观察海湾战争期间，导弹拦截的瞬间图片（或在黑板画出示意图）．思考：为何导弹长了眼睛，它的运动路线有何规律呢？这些需要我们对函数作进一步了解，从而导人新课．导语三观察喷泉水的流动弧线，篮球运动的路线… … 探究这些优美的弧线与什么函数有关呢？（二）合作交流解读探究1．用自变量的二次式表示函数关系2．二次函数的定义观察比较以下关系式①y=bx2；②d=n·（n-3）即；③y=20(1+x)2即y=20x2+40x+20函数①②③有什么共同点与不同点．共同点：A. 等式的左边为函数，等式的右边为自变量的二次式B．等式的右边可统一为“ax2+bx+c”的形式．二次函数：一般地，形如y=ax2+bx+c （a, b，c是常数，a≠0）的函数，叫二次函数．【注意】①函数y=ax2+bx+c中，a≠0是必要条件，切不可忽视．而b，c的值可以为任何实数．②定义是关于x的二次整式（切不可把“y=x2++3，也当成二次函数)（三）应用迁移巩固提高类型之一二次函数定义的判定及其应用例1下列函数是二次函数的有A.y=8x2+1B.y=2x-3C.y=3x2+D.y=【解析】A 符合二次函数定义，故它是二次函数． B.是一次函数．C,D都出现分式，故C,D都不是二次函数.【答案】A【点评】紧扣定义中的两个特征：①a≠0；②ax2+bx+c是整式（二次三项式）.变式题若y=(b-1)x2+3是二次函数，则b≠1.类型之一实际问题中的二次函数例2 一个正方形的边长是12cm.若从中挖去一个长为2xcm，宽为(x+1)cm的小长方形.剩余的部分的面积为ycm2.（1）写出y与x之间的函数关系式，并指出y是x的什么函数.（2）当小长方形的长中x的值为2，4时，相应的剩余部分面积是多少？【分析】可画出示意图，剩余面积=正方形面积-小长方形面积.解：（1）y=122-2x(x+1),即y=-2x2-2x+144∴y是x的二次函数.（2）当x=2，4时，相应的y的值分别为132cm2，104cm2.【点评】几何图形的面积一般需要画图分析，相关线段必须先用x的代数式表示出来.变式题一个圆柱的高等于底面半径，写出它的表面积S与半径r之间的关系式.【分析】S表=S侧+2S底解：S侧=2лr·r=2лr2，S底=лr2，∴S表=2 S底+ S侧=2лr2+2лr2=4лr2.【点评】S侧=Ch=2лr·h.此公式易记错，需借助侧面展开图加强理解.例2 n支球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛.写出比赛的场次数m与球队数n之间的关系式.【分析】将n支球队看作是平面内的n各点（任意三点不在同一直线），再将任意两点作为线段的端点连接起来，找出共有多少条线段即可.解：m=n·（n-1），即m=n2-n.【点评】这类问题可用数形结合的方法来研究，很直观。
22.3 实际问题与二次函数(第一课时)(教学设计)九年级数学上册同步备课系列(人教版)
22.3 实际问题与二次函数（第一课时） 教学设计一、内容和内容解析1.内容本节课是人教版《义务教育教科书•数学》九年级上册（以下统称“教材”）第二十二章“二次函数”22.3 实际问题与二次函数（第一课时），内容包括：利用二次函数解决抛掷问题与几何图形最值．2.内容解析二次函数是描述现实世界变量之间关系的重要数学模型，将实际问题中的变量关系转化为二次函数后，就可以利用二次函数的图象和性质加以解决，其关键是从实际问题中抽象出数学模型．本节课是在学生学习二次函数的图象和性质的基础上，借助于二次函数的图象研究二次函数的最小(大)值，并运用这个结论解决相关的实际问题．以现实生活为背景，通过对投掷、跳水、跳远、拱桥、隧道等抛物线的探究，建立合理的平面直角坐标系，利用待定系数法确定二次函数的表达式是解决此类问题的关键．通过探究矩形面积与矩形一边长两个变量之间的关系，让学生体会运用函数观点解决实际问题的作用，初步体验建立函数模型的过程和方法．基于以上分析，确定本节课的教学重点是：从实际问题中抽象出二次函数关系并运用二次函数的最小(大)值解决实际问题．二、目标和目标解析1.目标1)会求二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的最小(大)值．2)能够从实际问题中抽象出二次函数关系，并运用二次函数及性质解决最小(大)值等实际问题． 2.目标解析达成目标1）的标志是：学生会借助于二次函数的图象得到在二次函数顶点处取得最小(大)值的结论，理解当x ＝－2ba时，函数有最小(大)值244ac b a －．达成目标2）的标志是：学生通过经历探索具体问题中数量关系和变化规律的过程，进一步体验如何从实际问题中抽象出二次函数模型，结合实际问题研究二次函数，将二次函数的最小(大)值的结论和已有知识综合运用来解决实际问题．三、教学问题诊断分析学生已经学习了二次函数的定义、图象和性质，学习了列方程、不等式和函数解决实际问题，这为本节课的学习奠定了基础．但运用二次函数的知识解决实际问题要求学生能选取适当的用来描述变量之间关系的函数分析问题和解决问题，对学生来说，要完成这一过程难度较大．基于以上分析，本节课的教学难点是：将实际问题抽象出数学模型，并利用二次函数解决实际问题．四、教学过程设计（一）复习巩固[问题]通过配方，写出下列抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、说出两个函数的最大值、最小值分别是多少？1）y=6x2+12x 2）y=－4x2+8x－10师生活动：教师提出问题，学生回答．【设计意图】复习回顾二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象特征和性质，为本节课学习利用二次函数解决抛掷问题与几何图形最值进行铺垫．（二）探究新知【问题】从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球的运动时间t（单位：s）之间的关系式是h=30t－5t2（0≤t≤6）．小球的运动时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？师：这个问题研究的是哪两个变量之间的关系？生：小球运动的高度h和小球运动的时间t两个变量之间的关系．师：结合题目内容，你觉得小球的运动时间与小球的高度有什么样的关系？生：小球运动的高度随小球的运动时间的变化而变化．师：小球的运动时间是多少时，小球最高呢？生：结合已学二次函数知识回答问题.师生活动：教师引导学生，得出如下结论：画出函数的图像h=30t－5t2（0≤t≤6），可以看出这个函数图象是一条抛物线的一部分。
二次函数(第一课时 优质课评选教案
课题二次函数（第一课时）授课教师胡霞娥教材新人教版一、教学目标知识目标：1、分析确定二次函数关系式2、确定二次函数关系式中各项的系数能力目标：1、通过讲练结合，培养学生解决实际问题的能力。
2、通过设置问题情境，提高学生分析和解决问题的能力。
情感目标：分组学习方式，培养学生与他人沟通交流、团结合作的能力。
二、教学重点、难点：重点：1、分析确定二次函数关系式2、确定二次函数关系式中各项的系数难点：通过实例分析、确定二次函数关系的表达式三、教学方法与手段：以引导探究、实际训练为主，以讲授为辅，采用多媒体教学平台，向学生传授新知。
四、教学过程：复习：一次函数、正比例函数、反比例函数的一般形式是什么？合作学习，探索新知:例1、请用适当的函数解析式表示下列问题情境中的两个变量y 与x 之间的关系：(1)圆的面积y ( cm2)与圆的半径x ( cm )(2)正方形边长为x（cm），另外一个长方形的面积比它大5（cm2），长方形的面积y（cm2）是多少？(3)矩形的长是xcm，宽是（x+3）cm，面积为ycm2，试写出y与x的关系式．(4)某商店1月份的利润是2万元，2、3月份利润逐月增长，这两个月利润的月平均增长率为x ，3月份的利润为y(1) ____________________ (2)____________________(3)____________________ (4)____________________小组内合作学习：请找出上述函数解析式和所学过的函数形式有什么不同？（请写下来）归纳总结经化简后都具有y=ax ²+bx+c 的形式.(a,b,c 是常数, a ≠0 )(1)等式的右边是一个关于自变量的代数式，而且一定是二次整式,其中a,b,c 为常数,且a ≠0.(2)等式右边的整式最高次数为2,可以没有一次项和常数项,但不能没有二次项.二次函数定义：我们把形如y=ax ²+bx+c(其中a,b,c 是常数，a ≠0)的函数叫做二次函数注意：其中x 是自变量，y 是 x 的函数。
二次函数第一课时(教师版)
一、二次函数的定义:__ 形如2(0y ax bx c a a b c =++≠，、、为常数）__例1、判断：下列函数中哪些是二次函数？哪些不是二次函数？若是二次函数，指出,,a b c （1）34y x =（2）20.51y x =-+ （3）21y x x=+ （4）()223y x x =+- （5）232s t =- （6）232y x =- （7）y = （8）210s r π= 解：（2），-0.5、0、1； （5），-2、0、3； （8）10π、0、0. 例2、已知函数72)3(--=m x m y 是二次函数，求m 的值．解：m=-33、（1）当m 满足什么条件时，函数)1()(22+++-=m mx x m m y 是以x 为自变量的二次函数？ 解：m≠0且m≠1（2）当m 满足什么条件时，函数)1()(22+++-=m mx x m m y 是以x 为自变量的一次函数？ 解：M=1 二、函数解析式例1、用20米的篱笆，一面靠墙（墙的长足够长），围成一个矩形花圃，如图，在BC 边上留一个2米的门，设AB 边的长为x 米，花圃的面积为y 平方米，求y 关于x 的函数解析式及函数的定义域。
解：2222(010)y x x x =-+<<2、用20米的篱笆，两面靠墙（墙的长足够长），其中AD CD 、是已有的墙，0135ADC ∠=，设AB 边的长为y 关于x 的函数解析式及函数的定义域。
答案：2320(010)2y x x x =-+<<3、已知二次函数y=4x 2＋5x ＋1，求当y=0时的x 的值．4、已知二次函数y=x 2-kx-15，当x=5时，y=0，求k ．K=2三、二次函数2y ax =的图像①函数2y ax =图像⎧⎪⎨⎪⎩开口方向：对称轴：顶点坐标： ②增减性： ③最值：例1、先分别说出下列函数图像的开口方向、对称轴、顶点坐标，然后再画出大致的图像。
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例1、判断：以下函数中哪些是二次函数？哪些不是二次函数？假设是二次函数，指出,,a b c
〔1〕34y x = 〔2〕20.51y x =-+ 〔3〕21y x x
=
+ 〔4〕()22
3y x x =+- 〔5〕232s t =- 〔6〕232y x =-
〔7〕y = 〔8〕210s r π= 解：〔2〕，-0.5、0、1； 〔5〕，-2、0、3； 〔8〕10π、0、0.
例2、函数72
)3(--=m x m y 是二次函数，求m 的值． 解：m=-3
3、〔1〕当m 满足什么条件时，函数)1()(22+++-=m mx x m m y 是以x 为自变量的二次函数？
解：m ≠0且m ≠1
〔2〕当m 满足什么条件时，函数)1()(22+++-=m mx x m m y 是以x 为自变量的一次函数？
解：M=1
【二】函数解析式
例1、用20米的篱笆，一面靠墙〔墙的长足够长〕，围成一个矩形花圃，如图，在BC 边上留一个2米的门，设AB 边的长为x 米，花圃的面积为y 平方米，求y 关于x 的函数解析式及函数的定义域。
解：2
222(010)y x x x =-+<<
2、用20米的篱笆，两面靠墙〔墙的长足够长〕，围成一个直角梯形花圃，如图，AD ∥BC,AB ⊥BC,其中AD CD 、是已有的墙，0135ADC ∠=，设AB 边的长为x 米，花圃的面积为y 平方米，求y 关于x 的函数解析式及函数的定义域。
答案：23
20(010)2
y x x x =-+<<
3、二次函数y=4x2＋5x ＋1，求当y=0时的x 的值．
二次函数y=x2-kx-15，当x=5时，y=0，求k ． K=2
【三】二次函数2y ax =
的图像 ①函数2y ax =图像⎧⎪
⎨⎪⎩开口方向：
对称轴：顶点坐标：
②增减性： ③最值：
例1、先分别说出以下函数图像的开口方向、对称轴、顶点坐标，然后再画出大致的图像。
〔1〕y=－3x2, 〔2〕 y=23
1x , 〔3〕y=5x2, 〔4〕 y=24
3x -.
2、函数()()2110y k x k =++≠的图像的顶点坐标是 〔0,0〕 ，对称轴是 x=0 。
当k >-1 时，图像的开口向上，这是函数有最 小 值； 当k <-1 时，图像的开口向下，这是函数有最 大 值. 例2、函数的增减性
〔1〕当0x >时，函数27y x =-的值随着自变量x 的增大而 减小 ；当x =0 时，函数值最 大 ，最 大 值是 0 。
〔2〕当0x <时，函数223
y x =的值随着自变量x 的减小而 增大 ；当x =0 时，函数值最 小 ，最 小 值是 0 。
〔3〕A 〔1，y1〕、B 〔-2，y2〕、C 〔-2，y3〕在函数y=24
1
x 的图像上，那么y1、y2、y3的大小关系是 y1 <y3 < y2 .
例3、函数2y ax =的解析式
二次函数2y ax =的图像经过点P(2，-6)，你能确定它的开口方向吗？你能确定a 的值吗？
A
B C
D
解：能；开口向下；能确定a 的值，23-
=a
〔2〕4
2
)2(-++=k k
x k y 是二次函数，且当0>x 时，y 随x 的减小而减小．
〔1〕求k 的值；〔2〕求顶点坐标和对称轴．
解：〔1〕k=-3,k=2(2)当k=-3时，顶点坐标是〔0，0〕，对称轴是x=0 巩固练习
1、二次函数定义：
〔1〕43)1(12
-+-=+x x m y m 是二次函数，那么m=___-1______.
〔2〕以下是二次函数的是__③___④______________________〔填序号〕
2、将二次函数4)3(22+-=x y 化成一般式____221222y x x =-+_______.
3、抛物线()21y m x =-，且直线m x y -+=33经过【一】【二】三象限，那么m 的范围是_m<3且m ≠1 ；
4、假设函数232(1)(1)y m x m x =-++的图象是抛物线，那么__1____m =；
5、点A(2-，a )是抛物线2y x =上一点，那么a =__4__，A 点关于原点的对称点B 是_(2，-4)，
A 点关于y 轴的对称点C 是_(2， 4) _，其中点
B 、点
C 在抛物线2
y x =上的是_关于x 轴对称_；
6、以下各式中，y 是x 的二次函数的是 ( B )
A 、 21xy x +=
B 、 220x y +-=
C 、 22y ax -=-
D 、
2210x y -+=
7、在同一坐标系中，作22y x =、22y x =-、21
2
y x =的图象，它们共同特点是 ( D )
A 、都是关于x 轴对称，抛物线开口向上
B 、都是关于y 轴对称，抛物线开口向下
C 、都是关于原点对称，抛物线的顶点都是原点
D 、都是关于y 轴对称，抛物线的顶点都是原点
8、假设二次函数22(1)23y m x m m =++--的图象经过原点，那么m 的值必为 ( C )
H
P
G
F E D
C
B
A A 、 -1或3
B 、 一1
C 、 3
D 、 无法确定
9、原点是抛物线2(1)y m x =+的最高点，那么m 的范围是 ( A )
A 、 1-<m
B 、 1<m
C 、 1->m
D 、 2->m 10、△ABC 是一块锐角三角形余料，边BC=60厘米，高AH=40厘米，要把它加工成矩形零件，使矩形的一边在BC 上，其余两个顶点分别在AB 、
AC 上，设DE=x 厘米，矩形的面积为y 平方厘米，请求出y 关于x 的函数解析式及函数定义域。
答案：23
60(040)2
y x x x =-+<<
11、二次函数2y ax bx c =++中，02x y ==当时，；11x y ==当时，；24x y ==-当时，；
试求二次函数的解析式 答案：222y x x =-++
12、根据图〔1〕、〔2〕的函数图像填空： 〔1〕二次函数y=－7x2的图像可能是 (1) ，
二次函数y=2
3
2x 的图像可能是 (2) ；
〔2〕有最大值的函数图像是 (1) ，
它的最大值是 0 ；
〔3〕如果二次函数y=(m-1)x2的图像是图〔1〕， 那么m 的取值范围是 m<1 . 13、根据函数关系式y=24
3x -填空：
〔1〕图像开口向 下 ， 顶点坐标 (0,0) ，对称轴 y 轴 ； 〔2〕当x ≥0时，y 随x 的增大而 减小 ；当x= 0 时，y 的最 大 值是 0 .
14、二次函数y=ax2的图像经过点A 〔)8
1,2
1
-、B 〔3,m 〕.
o (2)
y
x
(1)求a 与m 的值；
答案：21
2y x =-. 1922
a m =-=-，
〔2〕写出该图像上点B 的对称点的坐标； 〔3〕当x 取何值时，y 随x 的增大而减小？ x>0
〔4〕当x 取何值时，y 有最大值〔或最小值〕？ x=0 ,y 有最大值
16、抛物线2ax y =与直线x y -=交于〔1，m 〕，求a 的值 a=-1
17、2
2212()(3)m m y m m x m x m --=-+-+；
求：〔1〕当m 为何值时，它是二次函数？〔2〕当m 为何值时，它是一次函数？
答：(1) m=3，m=-1； (2) 1°
1m = 2°m=0，m=1.
18、点M(k ，2)在抛物线y=x2上， (1)求k 的值
(2)点N(k ，4)在抛物线y=x2上吗？不在 (3)点H(-k ，2)在抛物线y=x2上吗？不在。