二次函数第一课时(教师版)
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例1、判断:以下函数中哪些是二次函数?哪些不是二次函数?假设是二次函数,指出,,a b c
〔1〕34y x = 〔2〕20.51y x =-+ 〔3〕21y x x
=
+ 〔4〕()22
3y x x =+- 〔5〕232s t =- 〔6〕232y x =-
〔7〕y = 〔8〕210s r π= 解:〔2〕,-0.5、0、1; 〔5〕,-2、0、3; 〔8〕10π、0、0.
例2、函数72
)3(--=m x m y 是二次函数,求m 的值. 解:m=-3
3、〔1〕当m 满足什么条件时,函数)1()(22+++-=m mx x m m y 是以x 为自变量的二次函数?
解:m ≠0且m ≠1
〔2〕当m 满足什么条件时,函数)1()(22+++-=m mx x m m y 是以x 为自变量的一次函数?
解:M=1
【二】函数解析式
例1、用20米的篱笆,一面靠墙〔墙的长足够长〕,围成一个矩形花圃,如图,在BC 边上留一个2米的门,设AB 边的长为x 米,花圃的面积为y 平方米,求y 关于x 的函数解析式及函数的定义域。
解:2
222(010)y x x x =-+<<
2、用20米的篱笆,两面靠墙〔墙的长足够长〕,围成一个直角梯形花圃,如图,AD ∥BC,AB ⊥BC,其中AD CD 、是已有的墙,0135ADC ∠=,设AB 边的长为x 米,花圃的面积为y 平方米,求y 关于x 的函数解析式及函数的定义域。
答案:23
20(010)2
y x x x =-+<<
3、二次函数y=4x2+5x +1,求当y=0时的x 的值.
二次函数y=x2-kx-15,当x=5时,y=0,求k . K=2
【三】二次函数2y ax =
的图像 ①函数2y ax =图像⎧⎪
⎨⎪⎩开口方向:
对称轴:顶点坐标:
②增减性: ③最值:
例1、先分别说出以下函数图像的开口方向、对称轴、顶点坐标,然后再画出大致的图像。
〔1〕y=-3x2, 〔2〕 y=23
1x , 〔3〕y=5x2, 〔4〕 y=24
3x -.
2、函数()()2110y k x k =++≠的图像的顶点坐标是 〔0,0〕 ,对称轴是 x=0 。
当k >-1 时,图像的开口向上,这是函数有最 小 值; 当k <-1 时,图像的开口向下,这是函数有最 大 值. 例2、函数的增减性
〔1〕当0x >时,函数27y x =-的值随着自变量x 的增大而 减小 ;当x =0 时,函数值最 大 ,最 大 值是 0 。
〔2〕当0x <时,函数223
y x =的值随着自变量x 的减小而 增大 ;当x =0 时,函数值最 小 ,最 小 值是 0 。
〔3〕A 〔1,y1〕、B 〔-2,y2〕、C 〔-2,y3〕在函数y=24
1
x 的图像上,那么y1、y2、y3的大小关系是 y1 例3、函数2y ax =的解析式 二次函数2y ax =的图像经过点P(2,-6),你能确定它的开口方向吗?你能确定a 的值吗? A B C D 解:能;开口向下;能确定a 的值,23- =a 〔2〕4 2 )2(-++=k k x k y 是二次函数,且当0>x 时,y 随x 的减小而减小. 〔1〕求k 的值;〔2〕求顶点坐标和对称轴. 解:〔1〕k=-3,k=2(2)当k=-3时,顶点坐标是〔0,0〕,对称轴是x=0 巩固练习 1、二次函数定义: 〔1〕43)1(12 -+-=+x x m y m 是二次函数,那么m=___-1______. 〔2〕以下是二次函数的是__③___④______________________〔填序号〕 2、将二次函数4)3(22+-=x y 化成一般式____221222y x x =-+_______. 3、抛物线()21y m x =-,且直线m x y -+=33经过【一】【二】三象限,那么m 的范围是_m<3且m ≠1 ; 4、假设函数232(1)(1)y m x m x =-++的图象是抛物线,那么__1____m =; 5、点A(2-,a )是抛物线2y x =上一点,那么a =__4__,A 点关于原点的对称点B 是_(2,-4), A 点关于y 轴的对称点C 是_(2, 4) _,其中点 B 、点 C 在抛物线2 y x =上的是_关于x 轴对称_; 6、以下各式中,y 是x 的二次函数的是 ( B ) A 、 21xy x += B 、 220x y +-= C 、 22y ax -=- D 、 2210x y -+= 7、在同一坐标系中,作22y x =、22y x =-、21 2 y x =的图象,它们共同特点是 ( D ) A 、都是关于x 轴对称,抛物线开口向上 B 、都是关于y 轴对称,抛物线开口向下 C 、都是关于原点对称,抛物线的顶点都是原点 D 、都是关于y 轴对称,抛物线的顶点都是原点 8、假设二次函数22(1)23y m x m m =++--的图象经过原点,那么m 的值必为 ( C ) H P G F E D C B A A 、 -1或3 B 、 一1 C 、 3 D 、 无法确定 9、原点是抛物线2(1)y m x =+的最高点,那么m 的范围是 ( A ) A 、 1- B 、 1 C 、 1->m D 、 2->m 10、△ABC 是一块锐角三角形余料,边BC=60厘米,高AH=40厘米,要把它加工成矩形零件,使矩形的一边在BC 上,其余两个顶点分别在AB 、 AC 上,设DE=x 厘米,矩形的面积为y 平方厘米,请求出y 关于x 的函数解析式及函数定义域。 答案:23 60(040)2 y x x x =-+<< 11、二次函数2y ax bx c =++中,02x y ==当时,;11x y ==当时,;24x y ==-当时,; 试求二次函数的解析式 答案:222y x x =-++ 12、根据图〔1〕、〔2〕的函数图像填空: 〔1〕二次函数y=-7x2的图像可能是 (1) , 二次函数y=2 3 2x 的图像可能是 (2) ; 〔2〕有最大值的函数图像是 (1) , 它的最大值是 0 ; 〔3〕如果二次函数y=(m-1)x2的图像是图〔1〕, 那么m 的取值范围是 m<1 . 13、根据函数关系式y=24 3x -填空: 〔1〕图像开口向 下 , 顶点坐标 (0,0) ,对称轴 y 轴 ; 〔2〕当x ≥0时,y 随x 的增大而 减小 ;当x= 0 时,y 的最 大 值是 0 . 14、二次函数y=ax2的图像经过点A 〔)8 1,2 1 -、B 〔3,m 〕. o (2) y x