第11章 塑性极值原理和上限法.
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弹塑性力学10-结构的塑性极限分析与安定性ppt课件
We= P = Pl
Wi = Mp + 2Mp = 3Mp
由We= Wi 得
Pl+ = 3Mp/l 上限解与下限解相同，该
结果即为完全解。
Pl- = Pl+ = Pl = 3Mp/l
➢ 注意——在确定静力容许的内力场时，若 能考虑到形成破坏机构所需的塑性铰数，
则得到的解答可以接近或等于完全解。若
确定的弯矩绝对值等于Mp的截面数小于形 成破坏机构的塑性铰数，此时应检查其余
10－3 梁的极限分析
【例1】如图所示简支梁，梁截 面的塑性极限弯矩为Mp。由 于在静定梁中无多余约束， 其内力由静力平衡条件唯一 确定，即建立起内力（弯矩） 与外载荷的关系式。而且， 在静定梁中仅需要一个截面 达到全塑性状态（即形成一 个塑性铰）该梁就可成为破 坏机构。取弯矩图中仅有的
一个最大值，并令其等于Mp 就可得到极限载荷的完全解。
第10章 结构的塑性极限分析 与安定性
.
第10章 结构的塑性极限分析与安定性
1. 梁的弹塑性弯曲 2. 塑性极限分析的定理与方法 3. 梁的极限分析 4. 刚架的极限分析 5. 轴对称圆板的极限分析 6. 结构的安定性
➢ 弹塑性结构的塑性极限载荷是表征结构承载能力 的最大值。按塑性极限承载能力进行结构设计， 不仅可以充分发挥材料的塑性性能，而且还可以 得到反映结构真实安全裕度的参数。
➢ 刚架极限分析的方法有静力法、机动法以 及机构叠加法。
➢静力法
（1）先求各截面的控制弯矩，即建立弯矩与 外载的关系；
（2）令控制弯矩中有（ n + 1）处达到塑性 极限弯矩，由此建立起静力容许的内力场， 并求其对应的载荷（即下限解）；
（3）如果内力场为静力容许，且形成破坏机 构，则此下限解即为完全解。
Wi = Mp + 2Mp = 3Mp
由We= Wi 得
Pl+ = 3Mp/l 上限解与下限解相同，该
结果即为完全解。
Pl- = Pl+ = Pl = 3Mp/l
➢ 注意——在确定静力容许的内力场时，若 能考虑到形成破坏机构所需的塑性铰数，
则得到的解答可以接近或等于完全解。若
确定的弯矩绝对值等于Mp的截面数小于形 成破坏机构的塑性铰数，此时应检查其余
10－3 梁的极限分析
【例1】如图所示简支梁，梁截 面的塑性极限弯矩为Mp。由 于在静定梁中无多余约束， 其内力由静力平衡条件唯一 确定，即建立起内力（弯矩） 与外载荷的关系式。而且， 在静定梁中仅需要一个截面 达到全塑性状态（即形成一 个塑性铰）该梁就可成为破 坏机构。取弯矩图中仅有的
一个最大值，并令其等于Mp 就可得到极限载荷的完全解。
第10章 结构的塑性极限分析 与安定性
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第10章 结构的塑性极限分析与安定性
1. 梁的弹塑性弯曲 2. 塑性极限分析的定理与方法 3. 梁的极限分析 4. 刚架的极限分析 5. 轴对称圆板的极限分析 6. 结构的安定性
➢ 弹塑性结构的塑性极限载荷是表征结构承载能力 的最大值。按塑性极限承载能力进行结构设计， 不仅可以充分发挥材料的塑性性能，而且还可以 得到反映结构真实安全裕度的参数。
➢ 刚架极限分析的方法有静力法、机动法以 及机构叠加法。
➢静力法
（1）先求各截面的控制弯矩，即建立弯矩与 外载的关系；
（2）令控制弯矩中有（ n + 1）处达到塑性 极限弯矩，由此建立起静力容许的内力场， 并求其对应的载荷（即下限解）；
（3）如果内力场为静力容许，且形成破坏机 构，则此下限解即为完全解。
弹塑性力学-塑性极限分析
[ 静力允许载荷系数是极限载荷系数的下限： s l ]
15
证明： s l
极限状态下： s ij , ij , ui ,l Pi ,l
静力允许的内力场：
s
0
ij
,
s
Pi
,
s
❖ 虚功率原理：
Fiui*dS
s
0
ij
i*j dV
ST
V
l s Piui dS
s ij
s
0
ij
ij dV
ST
V
❖ 由Druker 公设：极限曲面是外凸的。
s ij
s
0
ij
ij
0
q
ij
s ij
s0 ij
s ij
s
0
ij
Piui dS 0
ST
s l
Pi 在真实位移速度上的功率为正
16
三．塑性极限分析定理
2. 上限定理：
➢ 机动允许的位移（速度）场：满足破坏机构条件（几何 方程和位移、速度边界条件），外力做功为正的位移 （速度）场。 [ 放松极限条件，选择破坏机构，并使载荷在其位移场上 做功为正]
1 2
s
ij
ui x j
s
ji
u j x x
体力为零时：
Fiui*dS
s
ij
* ij
dV
ST
V
13
❖ 虚功率原理：在外力作用下处于平衡的变形体，若给物 体一微小的虚变形（位移）。则外力的虚功率必等于应 力的虚功率。
fiui*dV
Fiui*dS
15
证明： s l
极限状态下： s ij , ij , ui ,l Pi ,l
静力允许的内力场：
s
0
ij
,
s
Pi
,
s
❖ 虚功率原理：
Fiui*dS
s
0
ij
i*j dV
ST
V
l s Piui dS
s ij
s
0
ij
ij dV
ST
V
❖ 由Druker 公设：极限曲面是外凸的。
s ij
s
0
ij
ij
0
q
ij
s ij
s0 ij
s ij
s
0
ij
Piui dS 0
ST
s l
Pi 在真实位移速度上的功率为正
16
三．塑性极限分析定理
2. 上限定理：
➢ 机动允许的位移（速度）场：满足破坏机构条件（几何 方程和位移、速度边界条件），外力做功为正的位移 （速度）场。 [ 放松极限条件，选择破坏机构，并使载荷在其位移场上 做功为正]
1 2
s
ij
ui x j
s
ji
u j x x
体力为零时：
Fiui*dS
s
ij
* ij
dV
ST
V
13
❖ 虚功率原理：在外力作用下处于平衡的变形体，若给物 体一微小的虚变形（位移）。则外力的虚功率必等于应 力的虚功率。
fiui*dV
Fiui*dS
塑性加工力学__第10章_上限法
… (1-1)
利用曲面积分与体 积积分的关系
P Q R Pl Qm Rn ds dV x y z s V
du du du l x x xy y xz z
xy x xz Ti dui ds {[ du x du y du z x x x s V (du y ) (du x ) (du z ) x xy xz ] x x x yx y yz [ du x du y du z y y y (du y ) (du x ) (du z ) yx y yz ] y y y
T du ds
i i s
[ x d x y d y z d z 2( xy d xy yz d yz zx d zx )]dV
V
ij d ij dV
V
虚功原理得证 ∵∴
P Q R Pl Qm Rn ds dV x y z s V
∵
(dui ) 1 (dui ) (duj ) d ij x j 2 x x j i ( ij ) 0 x j
∴
T du ds
i i s V
ij d ij dV
… (2)
T du ds d i i ij ij dV
利用求 和约定 证明
Pi Pl dV i i ds xi s V
T du ds
i i s s V
ij j
l dui ds
V
( ij dui ) x j
利用曲面积分与体 积积分的关系
P Q R Pl Qm Rn ds dV x y z s V
du du du l x x xy y xz z
xy x xz Ti dui ds {[ du x du y du z x x x s V (du y ) (du x ) (du z ) x xy xz ] x x x yx y yz [ du x du y du z y y y (du y ) (du x ) (du z ) yx y yz ] y y y
T du ds
i i s
[ x d x y d y z d z 2( xy d xy yz d yz zx d zx )]dV
V
ij d ij dV
V
虚功原理得证 ∵∴
P Q R Pl Qm Rn ds dV x y z s V
∵
(dui ) 1 (dui ) (duj ) d ij x j 2 x x j i ( ij ) 0 x j
∴
T du ds
i i s V
ij d ij dV
… (2)
T du ds d i i ij ij dV
利用求 和约定 证明
Pi Pl dV i i ds xi s V
T du ds
i i s s V
ij j
l dui ds
V
( ij dui ) x j
塑形力学(总)
内力：材料内部所受的力，它的产生来自外界作用和物体内维持自身完整性的力。
主应力：作用面上无切应力时所对应的正应力。
主应力图：表示某点六面体各面上各主应力有无及其方向的图。
变形力学图：变形体内一点的主应力图与主应变图结合构成变形力学图。
全量应变：反映单元体在某一变形过程中终了时的变形大小。
增量应变：变形过程中某一极短阶段的无限小应变。
Bausch-inger效应：正向变形强化导致后继反向变形软化的现象。
简单加载：单元体的应力张量各分量之间的比值保持不变，按同一参量单调增长。
变形抗力：材料在一定温度、速度和变形程度条件下，保持原有状态而抵抗塑性变形的能力。
变形力：为使坯料产生塑性变形，在工具运动方向上所需要施加的力。
滑移线：塑性变形区内，最大切应力等于材料屈服切应力的轨迹线。
滑移线的物理意义：金属塑性变形时，发生晶体滑移的可能地带.功平衡法：利用塑性变形过程中的功平衡原理来计算变形力的一种近似方法，又称变形功法。
均匀应力场：由两组正交的平行直线构成有心扇形场：由一族汇集于一点的辐射线，和与之正交的另一族为同心圆弧所构成的。
无心扇形场：由一族为不汇集于一点的直线和一族为不同心的圆弧线所构成的滑移线场上限定理：是按运动学许可速度场（主要满足速度边界条件和体积不变条件）来确定变形载荷的近似解，这一变形载荷总是大于（理想情况下才等于）真实载荷，即高估的近似值，故称上限解。
下限定理：按静力学许可应力场（主要满足力的边界条件和静力平衡条件）来确定变形载荷的近似解，它总是小于（理想条件下才等于）真实载荷，即低估的近似解，故称下限解。
速端图：是以台标刚性区内一不动点o为所有速度矢量的起始点，所作变形区内各质点速度矢量端点的轨迹图形，它是研究平面应变问题时，确定刚性界面和接触摩擦界面上相对滑动速度的一个重要工具。
塑性加工的外力有哪些类型：表面力：作用在工件表面的力，它有集中载荷和分布载荷之分，一般由加工设备和模具提供；体积力：是作用在工件每一质点上的力，如重力、磁力、惯性力等。
塑性成型原理.ppt
塑性加工力学
1 应力分析
1.1 应力张量
物体所承受的外力可以分成两类： 一类是作用在物体表面上的力，叫做面力或接触力，它可 以是集中力，但更一般的是分布力； 二类是作用在物体每个质点上的力，叫做体力。
内力： 在外力作用下，物体内各质点之间就会产生相互作 用的力。
应力：单位面积上的内力。
现以单向均匀拉伸为例（如图4-1）进行分析。
塑性加工力学
1 应力分析
1.3 主平面、主应力、主方向
主剪应力和最大剪应力
剪应力有极值的切面叫做主剪应力平面，面上作用的剪应力叫做主剪 应力。 取应力主轴为坐标轴，则任意斜切面上的剪应力可求得：
S1 1l S2 2m S3 3n
2 S2 2
12l 2
2 2
m
2
2 3
n
2
(1l 2 2m2 3n2 )2
塑性加工力学
1.1 应力张量——单向拉伸
S F0
P
cos
P F0
cos
0
cos
S cos 0 cos2
S sin
1 2
0
sin
2
当 45时，取 max 0.5 0
1 应力分析
塑性加工力学
1.1 应力张量
1 应力分析
xx yx zx 在x方向 xy y zy 在y方向 xz yz z 在z方向
微分面上的应力就是质点在任意切面上的应力，它可通过四面体QABC的静 力平衡求得。
l cos(N, x), m cos(N, y), n cos(N, z) l2 m2 n2 1
dF ABC dFx QBC ldF dFy QAC mdF dFz QAB ndF
PS x SdF cos(S, x) SxdF
弹塑性力学第11章—变分原理及其应用
b
类似可得各阶泛函的变分为
δ J = ∫ δ k Fdx
k a
b
11.1 基本概念
（4）变分法
0 的自变函数 y ( x )，定义
在满足约束条件的容许函数中，求使泛函 J ( y ( x ) ) 取极值
ΔJ = J ( y ( x ) ) − J ( y 0 ( x ) )
J ( y 0 ( x ) ) 为极小值
δE k + δU = δW
11.1 基本概念 对于静力平衡问题，则有
δU = δW
因此，在静力变形计算时，弹性体应变能等于外力做功储存 在变形体中的能量。 弹性体内应变能的计算公式如下
U = ∫ U 0 dV
V
其中U 0是应变能密度
U 0 = ∫ σ ij dε ij
0
ε ij
在一维应力状态下，应变能密度等 于应力－应变关系曲线下方的阴影部分 面积。对线弹性材料，则有 1 U 0 = σ ijε ij 2
1 上式简写为 δε ij = (δ ui , j + δ u j ,i ) 2
虚位移还要满足位移边界条件
δu = 0 δv = 0 δ w = 0
（在Su上）
简写为 δ ui = 0
11.1 基本概念 由静力可能状态出发，我们可以得到虚应力的概念。所谓 虚应力，是指某一静力可能的应力状态变化到无限临近的另一 静力可能的应力状态，期间发生的微小应力变化，记作
1 ′ = σ ij ε ij U0 2
∂U 0 = σ ij ∂ε ij
′ U0
O
dεx
′ εx
εx
应变能密度和余能密度的一阶导数分别为
′ ∂U 0 = ε ij ∂σ ij
类似可得各阶泛函的变分为
δ J = ∫ δ k Fdx
k a
b
11.1 基本概念
（4）变分法
0 的自变函数 y ( x )，定义
在满足约束条件的容许函数中，求使泛函 J ( y ( x ) ) 取极值
ΔJ = J ( y ( x ) ) − J ( y 0 ( x ) )
J ( y 0 ( x ) ) 为极小值
δE k + δU = δW
11.1 基本概念 对于静力平衡问题，则有
δU = δW
因此，在静力变形计算时，弹性体应变能等于外力做功储存 在变形体中的能量。 弹性体内应变能的计算公式如下
U = ∫ U 0 dV
V
其中U 0是应变能密度
U 0 = ∫ σ ij dε ij
0
ε ij
在一维应力状态下，应变能密度等 于应力－应变关系曲线下方的阴影部分 面积。对线弹性材料，则有 1 U 0 = σ ijε ij 2
1 上式简写为 δε ij = (δ ui , j + δ u j ,i ) 2
虚位移还要满足位移边界条件
δu = 0 δv = 0 δ w = 0
（在Su上）
简写为 δ ui = 0
11.1 基本概念 由静力可能状态出发，我们可以得到虚应力的概念。所谓 虚应力，是指某一静力可能的应力状态变化到无限临近的另一 静力可能的应力状态，期间发生的微小应力变化，记作
1 ′ = σ ij ε ij U0 2
∂U 0 = σ ij ∂ε ij
′ U0
O
dεx
′ εx
εx
应变能密度和余能密度的一阶导数分别为
′ ∂U 0 = ε ij ∂σ ij
塑性极限分析
S
按几何方程求得运动场的应变率 ij ， 然后根据屈服条件和流动
法则，求出应力，这个应力称之为运动可能场的应力。
上限定理
• 对于任意运动可能场
~ ~ m Fi vi d Ti vi dS d s vt d ij ij S ~ ~ m Fi vi d Ti vi dS ij d vt d ij S
Q
0 ij dQ Ti vi dS Fi vi dQ 0 vt d ij S Q
S+ Q+ n 速度间断面
t
QS-
上、下限定理
作如下假定： （1）所有外荷载按某个单一参数m>0成比例地单调增大
~ Fi mFi
~ Ti mTi
• 不可压缩条件要求
r z
v(r ) A r
dv v 0 dr r
外力功率=
S
Ti vi ds 2tapv r a 2tp A
max
A r2
Q
dQ ij ij
/ 4 b / cos dr s A s max dQ t 2 rdrd 8t s A d Q 0 0 r r
l A
p
B
II I
D
C
分成两个几何全等的均匀应力区，中间由一应力间断线AC隔开， 区域I: AD是自由边界，对应K点
AC面的法线方向是从AD面的法线方向顺时针旋转450+，
对应M点的坐标 区域II: AB面上的应力对应于Mohr圆II的N点 = (1+sin2)
按几何方程求得运动场的应变率 ij ， 然后根据屈服条件和流动
法则，求出应力，这个应力称之为运动可能场的应力。
上限定理
• 对于任意运动可能场
~ ~ m Fi vi d Ti vi dS d s vt d ij ij S ~ ~ m Fi vi d Ti vi dS ij d vt d ij S
Q
0 ij dQ Ti vi dS Fi vi dQ 0 vt d ij S Q
S+ Q+ n 速度间断面
t
QS-
上、下限定理
作如下假定： （1）所有外荷载按某个单一参数m>0成比例地单调增大
~ Fi mFi
~ Ti mTi
• 不可压缩条件要求
r z
v(r ) A r
dv v 0 dr r
外力功率=
S
Ti vi ds 2tapv r a 2tp A
max
A r2
Q
dQ ij ij
/ 4 b / cos dr s A s max dQ t 2 rdrd 8t s A d Q 0 0 r r
l A
p
B
II I
D
C
分成两个几何全等的均匀应力区，中间由一应力间断线AC隔开， 区域I: AD是自由边界，对应K点
AC面的法线方向是从AD面的法线方向顺时针旋转450+，
对应M点的坐标 区域II: AB面上的应力对应于Mohr圆II的N点 = (1+sin2)
87第11章3 金属塑性变形的物理基础超塑性PPT课件
11
超塑性变形时的组织变化
（1）晶粒度的变化 试验研究结果表明，
超塑性变形时晶粒的 等轴性保持不变，并 在变形后通常可以看 到晶粒有些长大。在 正常微细晶粒超塑性 显 微 组 织 中 在 500 ％ 的应变下晶粒尺寸可 能增加50％或100％。
12
超塑性变形时的组织变化
（2）空洞的形成 对某些材料，如a／b黄铜、Al黄铜，Al-Zn-Mg-Cr合金
2
超塑性的概念
可以理解为金属和合金具有超常的均匀变 形的能力。
但从物理本质上确切的定义，至今没有。 故对超塑性的定义有很多种： （1）延伸率定义 （2）应变速率敏感性指数m>0.3 （3）抵抗颈缩的能力。
3
超塑性的特点
与一般情形相比，超塑性效应有以下的特点： （1）大延伸率 （2）无颈缩 （3）低流动应力 （4）易成形 正是由于以上特点，且变形中无加工硬化现象，
13
超塑性变形时的组织变化
（3）显微组织的变化 材料发生超塑性变形以后， 发生显著的晶界
滑移、移动及晶粒回转，几乎观察不到位错 组织；结晶学的织构不发达，若原始为取向 无序的组织结构，超塑性变形后仍为无序状 态；若原始组织具有变形织构，经过超塑性 变形后，将使织构受到破坏，基本上变为无 序化。
超塑性的概念 超塑性的力学特征 超塑性的组织特征 超塑性的机理 超塑性的应用
1
超塑性的概念
超塑性是指材料在一定的内部（化学成分、组织） 条件（如晶粒形状及尺寸、相变等）和外部（环 境）条件下（如温度、应变速率等），呈现出异 常低的流变抗力、异常高的流变性能（例如大的 延伸率）的现象。
一般说来，如果材料的延伸率超过100％，就可 称为超塑性。凡具有能超过100％延伸率的材料， 则称之为超塑性材料。现代已知的超塑性材料之 延 伸 率 最 大 可 超 过 1000 ％ ， 有 的 甚 至 可 达 2000％
超塑性变形时的组织变化
（1）晶粒度的变化 试验研究结果表明，
超塑性变形时晶粒的 等轴性保持不变，并 在变形后通常可以看 到晶粒有些长大。在 正常微细晶粒超塑性 显 微 组 织 中 在 500 ％ 的应变下晶粒尺寸可 能增加50％或100％。
12
超塑性变形时的组织变化
（2）空洞的形成 对某些材料，如a／b黄铜、Al黄铜，Al-Zn-Mg-Cr合金
2
超塑性的概念
可以理解为金属和合金具有超常的均匀变 形的能力。
但从物理本质上确切的定义，至今没有。 故对超塑性的定义有很多种： （1）延伸率定义 （2）应变速率敏感性指数m>0.3 （3）抵抗颈缩的能力。
3
超塑性的特点
与一般情形相比，超塑性效应有以下的特点： （1）大延伸率 （2）无颈缩 （3）低流动应力 （4）易成形 正是由于以上特点，且变形中无加工硬化现象，
13
超塑性变形时的组织变化
（3）显微组织的变化 材料发生超塑性变形以后， 发生显著的晶界
滑移、移动及晶粒回转，几乎观察不到位错 组织；结晶学的织构不发达，若原始为取向 无序的组织结构，超塑性变形后仍为无序状 态；若原始组织具有变形织构，经过超塑性 变形后，将使织构受到破坏，基本上变为无 序化。
超塑性的概念 超塑性的力学特征 超塑性的组织特征 超塑性的机理 超塑性的应用
1
超塑性的概念
超塑性是指材料在一定的内部（化学成分、组织） 条件（如晶粒形状及尺寸、相变等）和外部（环 境）条件下（如温度、应变速率等），呈现出异 常低的流变抗力、异常高的流变性能（例如大的 延伸率）的现象。
一般说来，如果材料的延伸率超过100％，就可 称为超塑性。凡具有能超过100％延伸率的材料， 则称之为超塑性材料。现代已知的超塑性材料之 延 伸 率 最 大 可 超 过 1000 ％ ， 有 的 甚 至 可 达 2000％
塑性分析之结构极限分析原理与方法
——对于一给定的结构与荷载系，基于 假定的弯矩数值≤塑性弯矩、且满足平衡条 件的弯矩状态所求得的荷载值，≤真正的极 限荷载。
四、极限分析方法
（一）静力法
步骤： 1.选择多余力，以静定结构为基本结构； 2.求基本结构在荷载、多余力共同作用下的 弯矩； 3.令足够多的截面弯矩=塑性弯矩，使结构形 成破坏机构； 4.由平衡方程求极限荷载； 5.复核M≤Mu
• 结构要同时满足平衡条件、几何条件、 物理方程、边界条件，对于复杂问题， 由于数学上的困难，很难得到完全解。
三、塑性分析
• 假设材料为刚塑性，按塑性变形规律研究结构 达到塑性极限状态时的行为。
• 基于塑性分析的设计，只要控制工作荷载与极 限荷载的比例，即可保证结构、构件安全可靠 使用，所确定安全系数较弹性设计更能反映结 构的实际安全程度，也更能充分利用材料的塑 性性能。
一、四角点承板 二、线承矩形板 三、点线支承板
3.3 其它形状板的塑性分析
一、三角形板 二、等边多边形板 三、圆平板
3.4 对相关问题的讨论
一、角部效应 二、集中荷载作用 三、组合荷载作用 四、平衡法
第四章
钢筋混凝土壳塑性极限分析
2.机构法
步骤： 1.确定塑性铰位置，使结构成为机动体系； 2.运用虚功原理，计算结构极限荷载； 3.所有可能的破坏机构中，极限荷载最小者 为所求； 4.复核M≤Mu
思考题：
1.塑性分析较弹性分析、弹塑性分析有何优点 及不足之处？ 2.什么是结构的内力重分布？为什么只有超静 定结构会产生内力重分布现象？ 3.举例说明在塑性极限分析与设计中保证塑性 铰转动能力的必要性。 4.确定结构塑性极限荷载需要满足哪些条件？ 5.结构极限分析的上、下限定理及其应用（机 构法和静力法）。
四、极限分析方法
（一）静力法
步骤： 1.选择多余力，以静定结构为基本结构； 2.求基本结构在荷载、多余力共同作用下的 弯矩； 3.令足够多的截面弯矩=塑性弯矩，使结构形 成破坏机构； 4.由平衡方程求极限荷载； 5.复核M≤Mu
• 结构要同时满足平衡条件、几何条件、 物理方程、边界条件，对于复杂问题， 由于数学上的困难，很难得到完全解。
三、塑性分析
• 假设材料为刚塑性，按塑性变形规律研究结构 达到塑性极限状态时的行为。
• 基于塑性分析的设计，只要控制工作荷载与极 限荷载的比例，即可保证结构、构件安全可靠 使用，所确定安全系数较弹性设计更能反映结 构的实际安全程度，也更能充分利用材料的塑 性性能。
一、四角点承板 二、线承矩形板 三、点线支承板
3.3 其它形状板的塑性分析
一、三角形板 二、等边多边形板 三、圆平板
3.4 对相关问题的讨论
一、角部效应 二、集中荷载作用 三、组合荷载作用 四、平衡法
第四章
钢筋混凝土壳塑性极限分析
2.机构法
步骤： 1.确定塑性铰位置，使结构成为机动体系； 2.运用虚功原理，计算结构极限荷载； 3.所有可能的破坏机构中，极限荷载最小者 为所求； 4.复核M≤Mu
思考题：
1.塑性分析较弹性分析、弹塑性分析有何优点 及不足之处？ 2.什么是结构的内力重分布？为什么只有超静 定结构会产生内力重分布现象？ 3.举例说明在塑性极限分析与设计中保证塑性 铰转动能力的必要性。 4.确定结构塑性极限荷载需要满足哪些条件？ 5.结构极限分析的上、下限定理及其应用（机 构法和静力法）。
结构的塑性分析和极限荷课件
1
M(1) FpM1(1)
7 69.61 0.4542 153.3 69.61 7
8 69.61 0.3287 211.8 50.38
结构的塑性分析和极限荷课件
过其极限值。
MuMMu
3、单向机构条件 当荷载达到极限值时，结构上必须有足够多的塑性 铰，而使结构变成机构。
三、三个定义
1、可破坏荷载 ( F
p
): 满足机构条件和平衡条件的荷载。
2、可接受荷载 ( F
p
): 满足内力局限条件和平衡条件的荷载。
3是、可极破限坏荷荷载载(，F u又)是: 同可时接满受足荷机载构。条件、平衡条件和屈服条件的荷载。它既
矩形 圆
工字型
1.5 16/3p=1.7 1.10～1.17
塑性铰与普通铰的不同之处：
圆环 1.27～1.40
(1) 普通铰不能承受弯矩作用，而塑性铰两侧必有大小等于极限弯矩Mu的弯矩 作用。
(2) 普通铰是双向铰，可以绕着铰的两个方向自由转动，而塑性铰是单向铰， 只能沿着弯矩增大的方向自由转动，若方向转动则恢复刚性链接的特性。
结构的塑性分析和极限荷课件
卸载性质
b
s
h
拉
压M
2 h
y0 y0
2
压
拉
M
s
卸载
结构的塑性分析和极限荷课件
§12-3 梁的极限荷
载
§12-3-1 静定梁的极限荷载 (ultimate load)
Fp
l 2
M
s
1 4
F ps l
1 6
bh 2 s
Mu
1 4
F pu l
1 4
b
h
2
M(1) FpM1(1)
7 69.61 0.4542 153.3 69.61 7
8 69.61 0.3287 211.8 50.38
结构的塑性分析和极限荷课件
过其极限值。
MuMMu
3、单向机构条件 当荷载达到极限值时，结构上必须有足够多的塑性 铰，而使结构变成机构。
三、三个定义
1、可破坏荷载 ( F
p
): 满足机构条件和平衡条件的荷载。
2、可接受荷载 ( F
p
): 满足内力局限条件和平衡条件的荷载。
3是、可极破限坏荷荷载载(，F u又)是: 同可时接满受足荷机载构。条件、平衡条件和屈服条件的荷载。它既
矩形 圆
工字型
1.5 16/3p=1.7 1.10～1.17
塑性铰与普通铰的不同之处：
圆环 1.27～1.40
(1) 普通铰不能承受弯矩作用，而塑性铰两侧必有大小等于极限弯矩Mu的弯矩 作用。
(2) 普通铰是双向铰，可以绕着铰的两个方向自由转动，而塑性铰是单向铰， 只能沿着弯矩增大的方向自由转动，若方向转动则恢复刚性链接的特性。
结构的塑性分析和极限荷课件
卸载性质
b
s
h
拉
压M
2 h
y0 y0
2
压
拉
M
s
卸载
结构的塑性分析和极限荷课件
§12-3 梁的极限荷
载
§12-3-1 静定梁的极限荷载 (ultimate load)
Fp
l 2
M
s
1 4
F ps l
1 6
bh 2 s
Mu
1 4
F pu l
1 4
b
h
2
金属塑性成形的变形功法和上限法
14
§5.1 塑性成形的变形功法
三、 例题
09:56:27
例一： 刚塑性圆柱体变形瞬间高为 H ，半径为 R ，接触面摩
σ 擦力为 f , 屈服强度为 s
解： 设在载荷作用下产生 微小压下量dH，则：
。求变形力。
P 2R z
f
dH dε H = H
H
r o
15
§5.1 塑性成形的变形功法
由变形过程中体积不变条件：
09:56:27
π r H = cont .
2
P 2R z
f
当高度变化dH时，r 处位移为du , 则：
d ( r 2 H ) = 2rH dr + r 2 dH = 0
1 dH dr = − r 2 H
1 dH dε r = − 2 H
H
r o
dH dε H = H
1 dH dεθ = − 2 H
+ SL
SL
+ τn
στ+
σ
+ n
即应力间断线上的虚功率都相互抵销，说 明应力间断不影响虚功率方程。
τ
+ n
− σn
− τn
+ σn
31
§5.2 上限法
2) 速度间断
所谓速度间断，实际上是速度在 一薄层区上速度急剧而连续变化，既 变形物体的速度(位移)场中相邻点的 速度(位移)出现突变。
复杂状态下刚塑性体单位体积的塑性应变能为：
dwσ = σxdεx + σ ydε y + σz dεz + 2(τ xydεij + τ yz dεyz + τ zxdεzx ) dwσ = σij ⋅ dεij
§5.1 塑性成形的变形功法
三、 例题
09:56:27
例一： 刚塑性圆柱体变形瞬间高为 H ，半径为 R ，接触面摩
σ 擦力为 f , 屈服强度为 s
解： 设在载荷作用下产生 微小压下量dH，则：
。求变形力。
P 2R z
f
dH dε H = H
H
r o
15
§5.1 塑性成形的变形功法
由变形过程中体积不变条件：
09:56:27
π r H = cont .
2
P 2R z
f
当高度变化dH时，r 处位移为du , 则：
d ( r 2 H ) = 2rH dr + r 2 dH = 0
1 dH dr = − r 2 H
1 dH dε r = − 2 H
H
r o
dH dε H = H
1 dH dεθ = − 2 H
+ SL
SL
+ τn
στ+
σ
+ n
即应力间断线上的虚功率都相互抵销，说 明应力间断不影响虚功率方程。
τ
+ n
− σn
− τn
+ σn
31
§5.2 上限法
2) 速度间断
所谓速度间断，实际上是速度在 一薄层区上速度急剧而连续变化，既 变形物体的速度(位移)场中相邻点的 速度(位移)出现突变。
复杂状态下刚塑性体单位体积的塑性应变能为：
dwσ = σxdεx + σ ydε y + σz dεz + 2(τ xydεij + τ yz dεyz + τ zxdεzx ) dwσ = σij ⋅ dεij
塑性加工理论上限法
R o
r
因此，可得速度场
图 8-40 平行平板间圆柱体镦粗问题
u r
u0 2h0
r,
u 0 ,
u z
u0 h0
z
（a）塑性变形功率 Wd 等效应力、等效应变速率为
s 2
3
r
2
z 2
z
r 2
u0
h0
塑性变形功：
Wd
dV
V
R2 su0
（b）变形体与工具间的摩擦功率 W f
设定一个 运动许可 的速度场
几何 方程
应变速率场 等效应变速率
确定各 上限功率
求总功率 的极小值
但是，应该注意到，由此所得到的最 小上限解并不是精确解，因为所设定 的运动许可速度场往往不能包含真实 的速度场。
8.6.4 上限法的应用 上限法的关键在于速度场的设计，为了 设计出尽可能接近于真实情况的运动许 可的速度场，使所得到的上限解逼近于 真实解，需要根据相关的基础理论，结 合实际经验对材料流动规律进行直观的 分析和逻辑判断。
塑性加工理论 上限法
8.6 上限法
（1）主应力法 可求解均匀变形时的工作载荷或压力
分布、确定可能的最大变形量、最小可轧 板厚、中性面位置等。 限制条件： ◆均匀变形 ◆不能得到变形体内部的应力分布 ◆不考虑多余变形的影响
均匀变形
多余变形
剪切滑移
（2）滑移线法
可用于不均匀变形过程、考虑了多余变
形的影响、可用于求解变形时的工作载荷 或压力分布、而且还能得到变形体内部的 应力分布。
限制条件：只能处理平面应变问题和轴
对称问题，严格地讲，只能解决平面应变 问题。
y
u 0
A Pb O B G
课件—塑性加工原理塑性与变形总 155页PPT文档
金属塑性加工中，研究变形物体内变形分 布（即金属流动）的方法很多。 常用的方法 有：网格法；硬度法 ；比较晶粒法。
图3-19 各种不同变形程度下镦粗圆柱 体的不均匀变形
图3-20 冷镦粗铝合金后垂直断面 上洛氏硬度变化
3. 3. 3 基本应力与附加应力
金属变形时体内变形分布不均匀，不但 使物体外形歪扭和内部组织不均匀，而且 还使变形体内应力分布不均匀。此时，除 基本应力外还产生附加应力。
图3-13 型钻中拔长 a) 圆型砧 b) V型砧 c) 凸型砧
图3-14 沿孔型宽度上延伸分布图
3. 2. 4 外端的影响
外端（未变形的金属）对变形 区金属的影响主要是阻碍变形区 金属流动，进而产生或加剧附加 的应力和应变。
（a）
图3-15 拔长时外端的影响
（b）
图3-16 开式冲孔时的“拉缩”Βιβλιοθήκη 5. 1. 1 塑性的基本概念
什么是塑性？ 塑性是金属在外力作用下产生永久变形 而不破坏其完整性的能力。
塑性与柔软性的区别是什么？ 塑性反映材料产生永久变形的能力。 柔软性反映材料抵抗变形的能力。
塑性与柔软性的对立统一
铅---------------塑性好，变形抗力小
不锈钢--------塑性好，但变形抗力高 白口铸铁----塑性差，变形抗力高
第4章 金属塑性加工的摩擦与润滑
§4. 1 概述 §4. 2 金属塑性加工时摩擦的特点及作用 §4. 3 塑性加工中摩擦的分类及机理 §4. 4 摩擦系数及其影响因素 §4. 5 测定摩擦系数的方法 §4. 6 塑性加工的工艺润滑
§4.1 概述
金属塑性加工中是在工具与工件相接触的条件 下进行的，这时必然产生阻止金属流动的摩擦 力。这种发生在工件和工具接触面间，阻碍金 属流动的摩擦，称外摩擦。由于摩擦的作用， 工具产生磨损，工件被擦伤；金属变形力、能 增加造成金属变形不均；严重时使工件出现裂 纹，还要定期更换工具。因此，塑性加工中， 须加以润滑。
图3-19 各种不同变形程度下镦粗圆柱 体的不均匀变形
图3-20 冷镦粗铝合金后垂直断面 上洛氏硬度变化
3. 3. 3 基本应力与附加应力
金属变形时体内变形分布不均匀，不但 使物体外形歪扭和内部组织不均匀，而且 还使变形体内应力分布不均匀。此时，除 基本应力外还产生附加应力。
图3-13 型钻中拔长 a) 圆型砧 b) V型砧 c) 凸型砧
图3-14 沿孔型宽度上延伸分布图
3. 2. 4 外端的影响
外端（未变形的金属）对变形 区金属的影响主要是阻碍变形区 金属流动，进而产生或加剧附加 的应力和应变。
（a）
图3-15 拔长时外端的影响
（b）
图3-16 开式冲孔时的“拉缩”Βιβλιοθήκη 5. 1. 1 塑性的基本概念
什么是塑性？ 塑性是金属在外力作用下产生永久变形 而不破坏其完整性的能力。
塑性与柔软性的区别是什么？ 塑性反映材料产生永久变形的能力。 柔软性反映材料抵抗变形的能力。
塑性与柔软性的对立统一
铅---------------塑性好，变形抗力小
不锈钢--------塑性好，但变形抗力高 白口铸铁----塑性差，变形抗力高
第4章 金属塑性加工的摩擦与润滑
§4. 1 概述 §4. 2 金属塑性加工时摩擦的特点及作用 §4. 3 塑性加工中摩擦的分类及机理 §4. 4 摩擦系数及其影响因素 §4. 5 测定摩擦系数的方法 §4. 6 塑性加工的工艺润滑
§4.1 概述
金属塑性加工中是在工具与工件相接触的条件 下进行的，这时必然产生阻止金属流动的摩擦 力。这种发生在工件和工具接触面间，阻碍金 属流动的摩擦，称外摩擦。由于摩擦的作用， 工具产生磨损，工件被擦伤；金属变形力、能 增加造成金属变形不均；严重时使工件出现裂 纹，还要定期更换工具。因此，塑性加工中， 须加以润滑。
材料力学考虑材料塑性的极限分析
则极限弯矩为
由
bh2 Mu s s 4
bh2 ss Mu 42 1.5 M s bh ss 6
可见，考虑了材料塑性，
矩形截面梁对应的弯矩极限值可以增大 50％。
几种常用截面的 Mu/Ms 比值见下表。
表 1 几种常用截面的 Mu/Ms 比值
截面形状
M u / Ms
1.15-1.17
1.27
πd 3 Ts Wp s s 16
s
(a)
若继续增大扭矩，则随着切应变增大，此直径上 各点处的切应力将从周围向中心逐渐增大到 s 。
s
(b)
当截面上各点处的切应力均达到 s , 整个截面进 入完全塑性状态。这时不需要再增大外力偶矩，圆杆 将继续扭转变形，即扭杆达到极限状态。对应的极限 扭矩为：
q (a) A
l
解：先按弹性分
B
4l 9
8 ql 2 81
l 3
C b (b) ql 2 18
h
析的方法作出梁
的弯矩图 （图c） 得出最大弯矩为
8ql2 M max 81
(c)
当梁达到极限状态时，其最大弯矩等于极限弯矩， 梁上的荷载达到极限值。 即
8qu l 2 bh2 Mu s sWs s s 81 4
塑性变形的特征:
(1)变形的不可恢复性是塑性的基本特征。
(2)应力超过弹性范围后,应力应变呈非线性关系, 叠加原理
s
s1
不再适用。
(3)塑性变形与加载历程有关,应 力与应变之间不再是单值关系。 (4)通常所指的塑性变形,忽 略了时间因素的影响(常温、 低应变率）。
ss
O
e p ee
e
s 's
孙训方《材料力学》(第6版)笔记和课后习题(含考研真题)详解-考虑材料塑性的极限分析(圣才出品)
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图 11-2-5
列写平衡方程
Fy = 0, Fx = 0,
Hale Waihona Puke FN1 + − FN3
FN2 + FN3 cos + FN4 sin + FN4 sin = 0
cos
−
F
=
0
MB = 0,
−
FN1
2a
−
图 11-2-1（a）
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图 11-2-1（b） 解：（1）求组合筒的屈服载荷 由图 11-2-1（b）可知 εs1＜εs2，两筒的变形量相同，随着载荷 F 的增加，内筒首先 达到屈服状态，而铝合金仍处于线弹性状态，此时二者承受的载荷分别为 F1＝A1σs1，F2＝ E2A2εs2。 又此时，内筒和外筒的变形量相同，即有：εs1＝εs2＝σs1/E1。因此，外筒承受的载 荷：F2＝σs1E2A2/E1。 综上可得，组合筒的屈服载荷：Fs＝F1＋F2＝A1σs1＋E2A2εs1。 （2）求组合筒的极限载荷 内筒达到屈服极限时，随着载荷 F 的继续增加，Fs＜F＜Fu，内筒的应力保持为 σs1 不 变，外筒铝合金部分的应力继续增大，此时组合筒处于弹塑性状态。当外筒的应力也达到 屈服极限 σs2 时，该组合筒进入完全塑性状态，即为极限状态。 故组合筒的极限载荷：Fu＝σs1A1＋σs2A2。
一、塑性变形及塑性极限分析的假设（见表 11-1-1） 表 11-1-1 塑性变形及塑性极限分析的假设
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二、拉、压杆系的极限荷载（见表 11-1-2）
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图 11-2-5
列写平衡方程
Fy = 0, Fx = 0,
Hale Waihona Puke FN1 + − FN3
FN2 + FN3 cos + FN4 sin + FN4 sin = 0
cos
−
F
=
0
MB = 0,
−
FN1
2a
−
图 11-2-1（a）
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图 11-2-1（b） 解：（1）求组合筒的屈服载荷 由图 11-2-1（b）可知 εs1＜εs2，两筒的变形量相同，随着载荷 F 的增加，内筒首先 达到屈服状态，而铝合金仍处于线弹性状态，此时二者承受的载荷分别为 F1＝A1σs1，F2＝ E2A2εs2。 又此时，内筒和外筒的变形量相同，即有：εs1＝εs2＝σs1/E1。因此，外筒承受的载 荷：F2＝σs1E2A2/E1。 综上可得，组合筒的屈服载荷：Fs＝F1＋F2＝A1σs1＋E2A2εs1。 （2）求组合筒的极限载荷 内筒达到屈服极限时，随着载荷 F 的继续增加，Fs＜F＜Fu，内筒的应力保持为 σs1 不 变，外筒铝合金部分的应力继续增大，此时组合筒处于弹塑性状态。当外筒的应力也达到 屈服极限 σs2 时，该组合筒进入完全塑性状态，即为极限状态。 故组合筒的极限载荷：Fu＝σs1A1＋σs2A2。
一、塑性变形及塑性极限分析的假设（见表 11-1-1） 表 11-1-1 塑性变形及塑性极限分析的假设
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二、拉、压杆系的极限荷载（见表 11-1-2）
弹塑性力学讲义第十一章塑性力学基础知识（精品PDF）
截面形状
1.5
1.7
1.15-1.17
（2）梁弹塑性弯曲时的变形
在线弹性阶段，梁弯矩和曲率的关系为线性关系
M=EI
( M Me ), 或
M EI
,
将应力与弯矩关系式 My 代入上式，可得 I
Ey
。
在弹塑性阶段，由于梁弯曲时截面仍然保持平面，可得
s Ey0
，
或
y0
s E
代入梁弹塑性弯曲时 M 的表达式
将发生塑性变形。确定材料发生塑性变形的条件为
f () = - s = 0 初始屈服条件（函数） 当软钢应力达到 A 点后，软钢有明显屈服（塑性流动）阶段。
经过屈服阶段后，荷载可再次增加（称为强化阶段，BC 段），但
强化阶段 增幅较少。对于此种材料（有明显屈服流动，强化阶段
应力较少）屈服条件是不变的。当应力满足屈服条件时，卸载将有
2 3
J
* 2
类似于e 的定义，在三维应力状态定义等效应变e：
1
e
2 3
J
* 2
2 3
1 2
eij
eij
2
2 3
eij
eij
2 3
1 2 2 2
3 2 3 1 2
1 2
1
2 3
x
y
2
y
z
2
z
x
23 2
2 xy
2 yz
2 zx
2
e 以发生塑性变形定义的量（由 1、2、3 定义）,在变形 过程中的每一瞬时，发生应变增量（d1、d2、d3），则可定义瞬
对于三维应力状态，定义每一点应力状态都存在力学效应相同
的等效应力e
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§9.1
功平衡法
功平衡法是利用塑性变形过程中的功平衡原理来计算变形 力的一种近似方法，又称变形功法。 功平衡原理是指：塑性变形过程外力沿其位移方向上所作 的外部功（WP）等于物体塑性变形所消耗的应变功（Wd）和接 触摩擦功（Wf）之和，即： WP = Wd + Wf 对于变形过程的某一瞬时，上式可写成功增量形式： dWP = dWd + dWf
dWf
F
τ f du f dS
于是由功平衡方程，得到了总的变形力P为
P [ T V d e dV f du f dF] / duP
F
由于塑性变形总是不均匀的，计算 d是比较困难的， ij 通常可按均匀变形假设确定，故变形功法又称为均匀变 形功法。
§9.2 极值原理及上限法
上限法中虚拟的运动学许可速度场模式有三种： （1）Johnson模式，通常称为简化滑移线场的刚性三角形上限 模式，主要适用于平面应变问题。 （2）Avitzur模式，通常称为连续速度场的上限模式，它既可 适用平面应变问题、轴对称问题，也可用于某些三维问题，用 途比较广泛。 （3）上限单元技术（UBET）,目前比较实用的是圆柱坐标系的 圆环单元技术。它可用于解轴对称问题，以及某些非对称轴的 三维问题。
§9.4 Johnson上限模式及应用
基本思路：塑性变形区由若干个刚性三角形构成，塑性变 形时完全依靠三角形场间的相对滑动产生，变形过程中每一个 刚性块是一个均匀速度场，块内不发生塑性变形，于是块内的 ij 0 应变速度 上限功率表达式
sp
pi v 'i ds
sv t v 'i
sp
p i v' i ds
v
ij dv sv t v' i ds N k ij
式中，
pi
为真实载荷。
用上限法计算塑性加工过程的极限载荷的关键在于拟设 塑性变形区内的虚拟运动学许可速度场，这种速度场应满足 以下三个条件： （1）速度边界条件； （2）体积不变条件； (3) 保持变形区内物质的连续性。 而与此速度场对应的应力场则不一定要求满足力平衡条件 和力的边界条件。
dWP为外力所作功的增量 外力P沿其作用方向产生的位移增量为duP，则
dWp P du p
dWd为塑性变形功增量 单元体积的塑性变形功增量为
dWd σijdεijdV (σ1dε1 σ2dε 2 σ3dε3 )dV
dWf为接触摩擦所消耗功的增量 若接触面S上摩擦切应力及其方向的位移增量为duf，则
第10章 塑性极值原理和上限法
第9章
功平衡法和上限法及其应用
§9.1 §9.2 §9.3 §9.4 §9.5 功平衡法 极值原理及上限法 速度间断面及其速度特性 Johnson上限模式及应用 Aviztur上限模式及应用
采用近似解法求解金属塑性加工变形力学问题，据原理有 两类：一类是根据力平衡条件求近似解，如工程法；另一类是 根据能量原理求近似解，如功平衡法和上限法等。 功平衡法是利用塑性变形过程的功平衡原理来求解变形力 的近似解；极值原理是根据虚功原理和最大塑性功耗原理，确 定物体总位能接近于最低状态下，即物体处于稳定平衡状态下 变形力的近似解。
最大塑性功消耗原理：在一切许可的塑性应变增量（应 变速度）或许可的应力状态中，以符合增量理论关系的应力 状态或塑性应变增量（应变速度）所耗塑性应变功耗（或功 率消耗）最大。
上限定理是根据运动学许可速度场来分析变形载荷的， ' 设所拟运动学许可速度场为 v i ，由几何关系确定的应变速度 场 ij ，再由该应变速度场按几何方程与增量理论确定的应 * 力场为 ij 。而变形体中实际的应力场为 ij，于是根据虚 功原理和塑性功耗原理可以导出在一般情况下塑性加工中常 用的上限定理的功率表达形式为：
例一：平冲头压入半无限体
各块间的剪切功率 p•(W/2)·vo = k(OB·Δ vOB+ AB·Δ vAB+ BC·Δ vBC+ AC·Δ vAC+ CD·Δ vCD)
例二 板条平面应变挤压
§9.5 Aviztur上限模式及应用
基本思路： 用一个连续速度场vi = fi(x, y, z)来描述整 个变形区内金属质点的流动 考虑塑性区与刚性区界面上速度的间断性及摩 擦功率的影响
极值原理包括上限定理和下限定理，都是根据虚功原理 和最大塑性功耗原理得出的，但各自分析问题的出发点不同。 上限定理是按运动学许可速度场（主要满足速度边界条 件和体积不变条件）来确定变形载荷的近似解，这一变形载 荷它总是大于（理想情况下才等于）真实载荷，即高估的近 似值，故称上限解； 下限定理仅按静力学许可应力场（主要满足力的边界条 件和静力平衡条件）来确定变形载荷的近似解，它总是小于 （理想情况下才等于）真实载荷，即低估的近似解，故称下 限解。
§9.3 速度间断面及其速度特性
速度间断面
速端图及速度间断量的计算
速端图是以代表刚性区内一不动点O为所有速度矢量的 起始点（也称为基点或极点），所作变形区内各质点速度矢 量端点的轨迹图形，它是研究平面应变问题时，确定刚性界 面和接触摩擦界面上相对滑动速度（即速度间断量）的一个 重要工具。
矩形断面板条平面应变压缩问题
ds
求解的基本步骤
根据变形的具体情况，或参照该问题的滑移线场，确定变 形区的几何位置与形状，再根据金属流动的大体趋势，将 变形区划分为若干个刚性三角形块； 根据变形区划分刚性三角形块情况，以及速度边界条件， 绘制速端图； 根据所作几何图形，计算各刚性三角形边长及速端图计算 各刚性块之间的速度间断量，然后计算其剪切功率消耗； 求问题的最佳上限解，一般划分的刚性三角形块时，几何 形状上包含若干个待定几何参数，所以须对待定参数求其 极值，确定待定参数的具体数值以及最佳的上限解。
基本能量方程
ห้องสมุดไป่ตู้
N = Nd + Nt + Nf + Nq
Nd
v
ij dv ij
塑性变形功率消耗 速度间断面上剪切功率消耗 接触面上摩擦功率消耗 附加外力消耗的（取“+”号）或 向系统输入的附加功率（取“-”号）