向量组的秩

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第四节向量组的秩

定义1:设有两个向量组(A):s ααα,,,21 和(B):t βββ,,,21 ,如果向量组(A)中每一个向量都可由向量组(B)线性表示,则称向量组(A)可由向量组(B)线性表示。

定义2:设有两个向量组(A):s ααα,,,21 和(B):t βββ,,,21 ,如果向量组(A)可由向量组(B)线性表示,而且向量组(B)也可由向量组(A)线性表示,则称向量组(A)和向量组(B)等价。

等价向量组的性质:

(1) 反身性:任一向量组和它自身等价。

(2) 对称性:如果向量组(A)与向量组(B)等价,则向量组(B)也与向量组(A)等价。 (3) 传递性:如果向量组(A)与向量组(B)等价,而向量组(B)与向量组(C)等价,则向量组(A)也与向量组(C)等价。

定理1:设有两个向量组(A):s ααα,,,21 和(B):t βββ,,,21 ,如果向量组(B)可由向量组(A)线性表示,且s

证明:由已知可得:s sj j j j a a a αααβ+++= 2211 ),,2,1(t j = (1) 若存在一组数t K K K ,,,21 ,使得02211=+++t t K K K βββ (2) 下面只要证t K K K ,,,21 可以不全为零。把(1)式代入(2)式得:

)()()(22112222112212211111=++++++++++++s st t t t s s s s a a a K a a a K a a a K ααααααααα (3)

整理后得

)()()(22112222212111212111=++++++++++++s t st s s t t t t K a K a K a K a K a K a K a K a K a ααα (4)

因为s

⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++0

00

221122221211212111t st s s t

t t t x a x a x a x a x a x a x a x a x a (5)

有非零解。所以取t K K K ,,,21 为方程组(5)的一个非零解。这个非零解可使(4)

成立,也可使(3)成立,最后使(2)成立。从而向量组(B)线性相关。

推论1:如果向量组(B):t βββ,,,21 可由向量组(A):s ααα,,,21 线性表示,且向量组(B)线性无关,则t s ≤。 (用反证法)

推论2:向量组(A):s ααα,,,21 与向量组(B):t βββ,,,21 等价,且向量组(A )和(B )都线性无关,则s=t 。

证:因为向量组(A)线性无关且可由向量组(B)线性表示,所以t s ≤。

又因为向量组(B)线性无关且可由向量组(A)线性表示,所以s t ≤;因此s=t 。 对于一个非零向量组,则至少有一个向量不为零向量,所以它至少有一个向量的部分组线性无关;现要研究其线性无关部分组最多可以含多少个向量。 定义3:如果一个向量组的一个部分组r ααα,,,21 满足下述条件: (1)r ααα,,,21 线性无关;

(2)向量组中的任意一个向量都可以由r ααα,,,21 线性表示;

则称部分组r ααα,,,21 为这个向量组的一个极大(最大)线性无关组,简称极大(最大)无关组。 定义3也可写成:

定义4:如果一个向量组的一个部分组r ααα,,,21 满足下述条件: (1)r ααα,,,21 线性无关;

(2)任取此向量组中的一个向量,添加到部分组r ααα,,,21 中,所得到的新的部分组都线性相关。

则称部分组r ααα,,,21 为这个向量组的一个极大线性无关组。

例:考虑向量组)0,1,1(),0,1,0(),0,0,1(321===ααα,显然部分组21,αα是线性无关的,而321,,ααα中的任意向量都可以由21,αα线性表示: 2110ααα⋅+=,1220ααα⋅+=,213ααα+=

所以21,αα是向量组321,,ααα的极大无关组。同样可以证明31,αα及23,αα也是向量组321,,ααα的极大无关组,这说明一个向量组的极大无关组可能不唯一。

从上述例子及极大无关组定义可以得到: 定理2:任一向量组和它的极大无关组等价。 推论1:向量组中任意两个极大无关组等价。

推论2:向量组中任意两个极大无关组所含向量的个数相同。

定义5:向量组s ααα,,,21 的极大无关组中所含向量的个数称为向量组的秩,记作),,,(21s r ααα 。

定理3:如果二个向量组s ααα,,,21 和t βββ,,,21 等价,则它们的秩相等。 证明:设向量s ααα,,,21 与向量组t βββ,,,21 的秩分别为p r ,;极大无关组分别为r i i i ααα,,,21 和p j j j βββ,,,21 ;则向量组s ααα,,,21 与向量组

r

i i i ααα,,,2

1

等价;向量组t βββ,,,21 与向量组p j j j βββ,,,21 等价;所以向量

组r i i i ααα,,,21 和向量组p j j j βββ,,,21 等价;又因为向量组r i i i ααα,,,21 和

p

j j j βββ,,,2

1

均线性无关,因此有p r =。

定义6:矩阵n m ij a A ⨯=)(的行向量组的秩称为矩阵A 的行秩;其列向量组的秩称为矩阵A 的列秩。

定理4:设A 为n m ⨯矩阵,r A r =)(的充分必要条件是A 的列(行)秩为r 。

定理5:矩阵的初等行(列)变换不改变其列(行)向量间的线性关系。 下面用例子说明求向量组的秩和极大无关组的方法。

例1:已知),0,1,2,1,1(1-=α),0,2,4,2,2(2--=α),1,1,6,0,3(3-=α)01,0,3,0(4=α,试求这向量组的秩及它的一个极大无关组,并把其余向量用所求极大无关组线性表示。

解:044332211=+++ααααx x x x

⎪⎪⎪

⎪⎪⎪

⎝⎛→⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫

⎝⎛--→⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫

⎝⎛----=00000000

110001100321

110004

400000330003

211100012106

4230

210321

A

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