向量组的秩
向量组的秩
2 2 0 0
1 0 → 0 0
1 2 0 − 10 1 1 2 0 6 0 → 0 0 1 2 0 0 0 0 0 0
0 0 0 − 16 1 2 0 6 0 0 1 2 0 0 0 0
1 −1 0 1 → 0 0 0 0 24 1 0 0 4 0 1 → 0 0 1 − 10 0 0 0 0 0
4 1 −1 2 2 0 3 1 → 0 3 1 14 0 0 −1 0 2 4 1 −1 0 − 4 0 −1 → 0 0 1 2 0 0 0 0
α4=(－1,3,2,1)T, α5=(－2,6,4,1)T
1 −1 0 −1 − 2 6 −1 2 1 3 解：(α1 ,α 2 ,α 3 ,α 4 ,α 5 ) = 0 1 1 2 4 0 −1 −1 1 1 1 −1 0 −1 − 2 1 −1 0 0 1 1 2 4 0 1 1 → → 0 0 0 0 1 1 2 4 0 −1 −1 1 1 0 0 0 −1 − 2 2 4 0 0 3 5
0 − 1 1 − 1 1 2 0 1 → 0 0 0 3 0 0 0 0
0 − 1 1 2 0 1 0 0
1 1 0 0
0 0 1 0
∴ α 3 = α1 + α 2 + 0 ⋅ α 4
例：求下列向量组的一个极大无关组和秩，并用该 极大无关组表示其他向量： α1=(1,－1,0,0)T,α2=(－1,2, 1,－1)T,α3=(0,1,1,－1)T,
28 0 4 1 − 10 0 0 0
向量组 的秩
0 0
1 2 3
21 20 3 0
r3
3 2
r2
r2
(
1 2
)
1 0 0
1 1 0
2 1
10 00
因为 R( A) 2 ,所以向量组1,2 ,3,4的秩为2。A 的一个最
高阶非零子式为
11 D 2 0
20
由此可知, 1,2 是向量组1,2 ,3,4 的一个极大无关组。
设向量组A 满足:
矩阵的秩=矩阵列向量组的秩(称为矩阵的列秩)=矩阵 行向量组的秩(称为矩阵的行秩)
证
设 (1,2 , ,n ), R() r ,并设r 阶子式Dr≠0。由Dr
≠0知Dr所在的r 列线性无关;又由A 中所有r+1阶子式均为零知， A 中任意r+1个列向量都线性相关。因此Dr 所在的r 列是A 列 向量组的一个极大无关组,所以列向量组的秩等于r。
设向量组 0 :1,2 , ,r 是向量组A 的一个部分组,且满足
(1)向量组A0 线性无关; (2)向量组A 的任一向量都能由向量组A0 线性表示, 那么向量组A0便是向量组A 的一个极大无关组。
推论
例4 设齐次线性方程组
x1 2x2 x3 2x4 0 2x1 3x2 x4 0 x1 x2 5x3 7x4 0
等价。
(2)设向量组A 有两个极大无关组,分别为 1,2 , ,s 及 1, 2 , , t 。由(1)知,向量组 1,2 , ,s 与向量组A 等价, 向量组A 也与向量组 1, 2 , , t 等价,由等价的传递性得,向 量组1,2 , ,s 与向量组 1, 2 , , t 等价。
再证明 s=t
1,2 , ,与n
1, 2 , ,有n
向量组的秩的定义
向量组的秩的定义向量组的秩为线性代数的基本概念，它表示的是一个向量组的极大线性无关组所含向量的个数。
由向量组的秩可以引出矩阵的秩的定义。
一个向量组的极大线性无关组所包含的向量的个数，称为向量组的秩；若向量组的向量都是0向量，则规定其秩为0。
定理根据向量组的秩可以推出一些线性代数中比较有用的定理1、向量组α1，α2，···，αs线性毫无关系等价于r{α1，α2，···，αs}=s。
2、若向量组α1，α2，···，αs可被向量组β1，β2，···，βt线性表出，则r{α1，α2，···，αs}小于等于r{β1，β2，···，βt}。
3、等价的向量组具备成正比的秩。
4、若向量组α1，α2，···，αs线性无关，且可被向量组β1，β2，···，βt线性表出，则s小于等于t。
5、向量组α1，α2，···，αs可以被向量组β1，β2，···，βt线性表出来，且s\uet，则α1，α2，···，αs线性相关。
6、任意n+1个n维向量线性相关。
矩阵的秩有向量组的秩的概念可以引出矩阵的秩的概念。
一个m行n列的矩阵可以看做是m个行向量构成的行向量组，也可看做n个列向量构成的列向量组。
行向量组的秩成为行秩，列向量组的秩成为列秩，容易证明行秩等于列秩，所以就可成为矩阵的秩。
矩阵的秩在线性代数中有着很大的应用，可以用于判断逆矩阵和线性方程组解的计算等方面。
4.3向量组的秩
的全体解向量构成的向量组为S，求S的秩.
1 2 1 0 3 4 1 2 r A 2 3 0 1 ~ 0 1 2 3 1 1 5 7 0 0 0 0
x1 3 x3 4 x4 0 x 2 2 x 3 3 x4 0
把上式记作x c11 c2 2
S能由向量组1 , 2线性表示， 1 , 2的四个分量不成比例， 又
因此根据最大无关组的等价定义知 所以1 , 2线性无关． 1 , 2是S的最大线性无关组，从而Rs =2.
例10 设向量组B能由向量组A线性表示，且它们的秩相等， 证明向量组A与向量组B等价.
求矩阵 A 的列向量组的一个最大无关组，并把不属于最大无
关组的列向量用最大无关组线性表示．
解：第一步先用初等行变换把矩阵化成行阶梯形矩阵．
1 2 1 1 1 2 1 1 A 4 6 2 2 6 9 7 3 2 1 4 r 0 ~ 4 0 9 0 4 1 1 1 0 0 0 1 3 0 0 0 0 1 2 1
因此Dr 所在的r列是A的列向量的一个最大无关组, 所以列向量组的秩等于r .
类似可证A的行向量组的秩也等于R( A).
向量组a1 , a2 , , am的秩也记作R(a1 , a2 , , am )
从上面证明中可看出：若Dr 是矩阵A的一个最高阶非零子式,则
Dr 所在的r列即是列向量组的一个最大无关组，
行阶梯形矩阵有3个非零行，R( A) 3，故列向量的最 大无关组含3个向量. 而三个非零行的非零首元在1,2,4列，
1 1 2 1 1 1 1 r 0 (a1 , a2 , a4 ) ~ 4 6 2 0 3 6 7 0 1 1 1 1 0 1 0 0
向量组的秩
把向量组中所有向量考察一遍，即可得到 该向量组的一个极大线性无关组.这个方 法称为逐个“扩充法”。
例3.3.3 设向量组α1=(0,0,-1,1), α2= (1,1,-1,0), α3=(2,2,-1,-1)α4=(-1,-1,0, 0),求它 的一个极大线性无关组及该向量组的秩。
解 由于α1≠0，保留α1;又α2≠kα1,即α1 与α2线性无关，保留α2；因α3=2α2-α1,所以 α1,α2, α3线性相关，
解 由于α1,α2线性无关，α3= 2α1-α2, 所以α1,α2是该向量组的的一个极大线性无 关组。显然α1,α3与α2,α3也是这个向量组的 极大线性无关组。
从这个例子可以看出，一个线性相关 的非零向量组，一定存在极大线性无关组， 并且它的极大线性无关组不是唯一的。那 么，同一个向量组的不同的极大线性无关 组所含向量的个数是否相同? 下面将回答 这一问题。
即C的列向量组可由A的列向量组线性表 出，由定理3.3.3及3.3.4知,
R(C) R(A)
又
R(C) R(AB) R(( AB)T ) R(BT AT ) R(BT ) R(B)
故
R(AB) min R(A), R(B)
定理 3.3.1 如果向量组α1,α2, …,αm中的每一个向量均可由向量组 β1, β2, …, βr线性表出，并且m>r，那么向量组线 性相关。
证设
i (ai1, ai2 ,, ain ) (i 1,2,, m),
j (b j1, b j2 ,, b jn ) ( j 1,2,, r)
例3.3.2 设向量组α1,α2, …,αm的秩为 r，试证α1,α2, …,αm中任意r个线性无关的 向量均为该向量组的一个极大线性无关组。
向量组的秩
个向量线性相关， → r + 1个向量线性相关，
又因（ ）线性无关， 又因（II）线性无关， （II）是极大无关组。 ）是极大无关组。
由定义 →
显然：向量组（ ）与极大无关组（ ）等价。 显然：向量组（I）与极大无关组（II）等价。
3
（二）向量组的秩 定义3.9 定义 极大无关组（ ） 极大无关组（II）中向量个数 r ， 称为向量组 （I）的秩，记为 ： ）
⋯ α1，α 2， ，α s ( A), 极大无关组 α1，α 2， ，α r ( A′) ⋯ 1 ⋯ β 1，β 2， ，β t ( B ), 极大无关组 β 1，β 2， ，β r2 ( B′ ) ⋯
定理3.12 (P.139) 定理 若（A）与（B）等价 ） ）
证 可由(B)表示及例 由(A)可由 表示及例 知 r1 ≤ r2 ， 可由 表示及例2知 又由(B)可由 表示及例 又由 可由(A)表示及例 知 r1 ≥ r2 , 可由 表示及例2知
求极大无关组、秩及用极大无关组表示其余向量的方法 极大无关组、 用极大无关组表示其余向量的方法
α1，α 2， ，α s ⋯
A = (α 1，α 2， ，α s ) ⋯
列向量行变换！ 列向量行变换！ 行变换
列向量
初等行 初等行变换 ( β 1，β 2， ，β s ) ⋯
=B
可证： 可证：P.137 (1) r( α1，α 2， ，α s ) = r ( B ) （已证） ⋯ 已证）
r ( AB ) ≤ r ( A ), r ( AB ) ≤ r ( B ) 即证： 即证： 证 设 A = (α 1 α 2 ⋯α n ), B = (bij ), AB = C = (γ 1 γ 2 ⋯γ s ) b1 j b1 s b11 b2 j b2 s AB = C = (γ 1 γ 2 ⋯γ s ) = (α1 α 2 ⋯α n ) b21 ⋮ ⋯ ⋮ ⋯ ⋮ b bnj bns n1
向量组的秩
−1
从而A组能由 B组线性表示 .
证二
设向量组 A和B的秩都为 r . 因B组能由 A组线性表示 , 故A组和B组合并而 成的向量组 ( A, B )能由A组线性表示 . 而A组是( A, B )组的部分组 , 故A组总能由
( A, B )组线性表示 . 所以( A, B )组与A组等价 ,因此
( A, B )组的秩也为 r . 又因B组的秩为 r , 故B组的最大无关组 B0 含r 个向量 , 因此B0 组也是( A, B )组的最大无关组 , 从
而( A, B )组与B0 组等价 .
由A组与( A, B )组等价，A, B )与B0等价, 推知A组 组等价， ( 与B组等价 .
注意
本例把证明两向量组 A与B等价, 转换为证明它
是线性无关的， 是线性无关的，又根据 4.2定理 3的结论 ( 3) 知R n
个向量都线性相关， 中的任意 n + 1个向量都线性相关， 因此向量组 E 的一个最大无关组， 是R n的一个最大无关组，且 R n的秩等于 n.
三、向量组的秩与矩阵的秩的 关系
a11 a12 a 21 a 22 定义 9 矩阵 A = L L a m 1 am 1 量组成的向量组的秩， 量组成的向量组的秩， 称为矩阵 的列秩， 的列秩，记为 c ( A ). a1 n L a2n 的行向 L L L a mn A 的行秩，记为 的行秩， L
组等价知， 证 由A组与B组等价知， A组可由 B组线性表 示，利用定理 2可知r ≤ s;同理可得 r ≥ s .从而r = s .
推论1 两个线性无关的等价向 量组必含有 推论1 相同个数的向量。 相同个数的向量。 大线性无关组， 推论 2 一个向量组若有两个极 大线性无关组， 相等。 则它们所含向量的个数 相等。
第三节 向量组的秩
返回Байду номын сангаас
k1a 11 k 2 a21 kr ar 1 0, k1a12 k 2a22 kr ar 2 0, k1a1 s k 2 a2 s kr ars 0.
以上述 r 个数 k1 ,k2 , ,kr 作线性组合
又 Ar 线性无关, 由定理五知 r s.
同理可得 s r.
故
r s.
17
证毕.
返回
注意: 秩相等的向量组未必等价.
例如: A : 1 (1,0,0), 2 (0,1,0).
A的秩=2. B : 1 (0,1,0), 2 (0,0,1). B的秩=2.
1可由1 , 2线性表示,
则称A为T 的一个最大无关组. 例1. 向量组 T : 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 试求T 的一个最大无关组, 其中
1 (1,1,1), 2 (0,2,4), 3 (1,1,5), 4 ( 2,0,6), 5 ( 3,1,7).
4
返回
证明: 反证法. 若 r > s . A可由B线性表示, 即 1 a11 1 a12 2 a1 s s , 2 a21 1 a22 2 a2 s s , r ar 1 1 ar 2 2 ars s . (1)式的系数构成 r 个 s 维向量
但 2不能由1 , 2线性表示.
A与B不等价.
18
返回
思考题 1.已知两向量组
s1 : 1 , 2 m ; s2 : 1 , 2 t
有相同的秩,且 s1能被s2表示 证明：两向量组等价 ２．已知某向量组的秩为r,证明任意r个线性无关的部份向量组都为 该向量组的一个最大线性无关组．
向量组的秩
3
6 9
7
9
0
0
00
0
可以看出：
b3 = − b1 − b2 b5 = 4b1 + 3b2 − 3b4
所以
a3 = − a1 − a2 a5 = 4a1 + 3a2 − 3a4
例 求向量组A的秩及一个极大无关组，并用该极大无关组表示 余下的向量。
1 1,1, 2,3,2 1, 1,1,1,3 1,3,3,5,
二、矩阵的秩与向量组的秩的关系
定义：矩阵 A 的行向量组的秩称为矩阵A的行秩． 矩阵 A 的列向量组的秩称为矩阵A的列秩．
定理：矩阵行秩等于矩阵的列秩，都等于矩阵的秩．
定理：矩阵的初等行（列）变换不会改变列（行）向量间的 线性关系。
例 求矩阵向量组a1 , a2 , a3 , a4 , a5的一个极大无关组， 并用该极大无关组表示余下的向量.
1 2，1，4,3T ,2 -1，1，- 6，6T , 3 （-1，- 2，2，- 9）T ,4 1，1，- 2，7T , 5 2，4，4，9T .
解：把矩阵 A (a1, a2 , a3 , a4 , a5 ) 初等行变换变成行最 简形矩阵
2 1 1 1 2 1 0 1 0 4
A
1
1 2
1
4
r
~
0
1
1
0
3
B
4 6 2 2 4 0 0 0 1 3
3
6 9
7 9 0 0
00
0
于是 矩阵 A 的列向量组与矩阵 B 的列向量组有相同 的线性关系.
2 1 1 1 2 1 0 1 0 4
A
1
1 2
1
4
r
高等代数第二节 向量组的秩
根据最大线性无关组的定义来证，它往往还 与向量组的秩相联系．
证明 不失一般性,设 i1 , i2 ,, ir 是 1 , 2 ,, s中的任意r个线性无关的向量,于是对于任意 的 k (k 1,2,, s),向量组 i1 , i2 ,, ir , k 线性
解法二 对行向量组，可以先都转置为列向量，
排成矩阵后，用行变换化为行最简型
设
T :
2
0
2
1
α1T
2 4
,
α2T
2 1
,
α3T
0 3
,
α4T
1
0
4
5
1
4
显然 T 秩＝T 秩，且极大无关组互为转置向量
2 0 2 1
A α1T
α2T
α3T
α4T
2
4
2 1
0 3
因B组能由A组线性表示,故A组和B组合并而
成的向量组( A, B)能由A组线性表示. 而A组是( A, B)组的部分组,故A组总能由
( A, B)组线性表示. 所以( A, B)组与A组等价,因此
( A, B)组的秩也为r.
又因B组的秩为r , 故B组的最大无关组B0含r 个向量,因此B0组也是( A, B)组的最大无关组, 从 而( A, B)组与B0组等价.
rankT s
又 1线性无关，1秩＝r, 但1秩 秩，r s.
证毕
定理3 说明
(1) r个线性无关向量,若可用另一组向量线性表示， 则后一组向量的个数不少于r ;
(2) 一组线性无关的向量,不可能用另一组个数 更少的向量线性表示。 特别在三维向量空间中: (1)两个线性无关的向量，不能用同一个向量线性表 示； (2)三个线性无关的向量，不能用两个或一个向量 线性表示。 推论1 设向量组1秩为r,向量组2秩为s.若1可由2
4.3向量组的秩
向量组的秩向量组秩的定义向量组秩的求法及相关结论向量组秩的定义满足12,,,αααr 定义：设有向量组，A 记作.A R =r 在中选取个向量A r (1) 向量组无关;012:,,,αααr A (2) 向量组中任意个向量(若存在)都线性相关，A 1r +则称向量组是向量组的一个最大线性无关向量0A A 组，简称最大无关组.最大无关组所含向量个数称r 为向量组的秩，A1230ααα，+-=例：向量组123123:303112,,ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，A 注：全部由零向量组成的向量组没有最大无关组，规定这样的向量组的秩为零.2A R =该向量组的秩为.为最大无关组，12,αα13,αα，23,αα注：1. 一个向量组的最大无关组是向量组中所含向量个数最多的线性无关的子组之一.2.一个向量组的最大无关组不一定是惟一的．3.一个向量组与它的最大无关组是等价的．证：线性相关，12,,,,r αααα向量组是向量组的部分组，0A A 故组可由0A 组线性表示.A 对中任一向量，αA 从而组可由组线性表示.0A A 从而可由线性表示，α12,,,r ααα部分组，且满足推论：（最大无关组的等价定义）线性表示，设向量组是向量组的一个012:,,,r A αααA (1) 向量组线性无关；012:,,,r A ααα(2) 向量组的任一向量都能由向量组A 0A 则向量组是向量组的一个最大无关组.A 0A证：于是有设是中任意个向量，121,,,,r r ββββ+1r +A 它们都能由组线性表示，0A ()()12112,,,,,,,,r r r R R r ββββααα+≤=所以中任意个向量线性相关.A 1r +的一个最大无关组及秩. 例：求维向量的全体构成的向量组n 1212,,,n n n a a a a a a ⎧⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪==∈⎨⎬ ⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎩⎭α解121000100,0,,0001n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭e e e 线性无关，.n R n =维单位坐标向量n 12n a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭αn ∀∈，α1122,n n a a a =+++e e e1234124123422023 0570x x x x x x x x x x x ++-=⎧⎪+-=⎨⎪--+=⎩例：设齐次线性方程组12123434231001x x c c x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的通解是，试求全体解向量构成的向量组的秩．S解2R .S =1122c c ξξx =+{}112212c c c c ξξ,S x ==+∈，线性无关,12ξξ,12123434231001x x c c x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭通解是向量组秩的求法及相关结论11121314342122232431323334a a a a a a a a a a a a ⨯⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ()1234,,,αααα=T1T 2T 3βββ⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭回顾，的列向量组，A 1234,,,αααα的行向量组.T T T 123,,βββA定理矩阵的秩等于它的列向量组的秩，也等于证它的行向量组的秩.设，，()R r A =12(,,)m ααα=A 阶子式.r 0r D ≠所在的列构成的矩阵的秩为,r D r r n r ⨯r 此列线性无关；又因为中所有阶子式均为零，A +1r A 所以中先证明：矩阵的秩等于它的列向量组的秩.任意个列向量构成的矩阵的秩小于，+1r (1)n r ⨯+r+1r 故此列线性相关.所在的列构成的列向r D r A 量组的一个最大无关组，所以列向量组的秩为.r 也等于它的行向量组的秩.的秩等于的列向量组的秩，TA TA 的列向量组就是的行向量组，TA A 而，()()TR R =AA 所以矩阵的秩例：求向量组的一个最大无关组, 并用最大123451241611314,,,,0002210203ααααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪===== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭解无关组表示其它向量.设，12345(,,,,)ααααα=A 并将矩阵化为行最简形.A1020301102~000110000r ⎛⎫⎪ ⎪⎪-⎪⎝⎭12416113140002210203⎛⎫ ⎪⎪= ⎪- ⎪⎝⎭A ()12345βββββ,,,,,B =()3R .A ==B故由所以线性无关，124,,ααα()()124124,,,,rαααβββ可知，()124,,3R ααα=从而是列向量组的一个最大无关组.也就是方程0Ax =因为与同解，0Bx =1122334455x x x x x ααααα++++=01122334455x x x x x βββββ++++=0与同解，因此向量之间的线性关系12345,,,,ααααα与向量之间的线性关系是相同的.12345βββββ,,,,由于，,512432ββββ=+-3122βββ=+因此，.3122ααα=+512432αααα=+-关于向量组秩的结论，可以推广到所含向量个数无限的向量组.线性表示的充分必要条件是定理向量组能由向量组12,,mααα12,,l βββ()()121212,,,,,,,.m m l R R ααααααβββ=向量组的秩矩阵的秩例若向量组可由向量组线性表示，则.B A R R ≤B A 其中等号成立当且仅当向量组与向量组等价.A B 设，,A B R s R t ==证明并设向量组和的最大A B 无关组分别为和.012:,,,αααs A 012:,,,βββt B 由于向量组能由向量组线性表示，0B B 能由向量组线性表示，A B 向量组0A 向量组能由向量组AB A R R ≤.A B R R ≤并且向量组与向量组等价B A 向量组可由向量组线性表示.BA .A B R R=向量组可由向量组线性表示，并且B A 0A 因此向量组能由向量组线性表示.0B 线性表示，即.t s ≤于是，()()1212,,,,,,βββααα≤t s R R证明从而这两个向量组等价.的秩相等，证明：向量组与向量组等价.B A 例向量组可由向量组线性表示，且它们B AC 设向量组是由向量组与合并而成的，AB .AC R R =由向量组可由向量组线性表示知B A 又已知，A B R R =所以有，A B C R R R ==。
5.2向量组的秩
应注意 此定理的逆命题一般不正确 即秩相等的两个向 量组未必等价
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例3 设Amn及Bns为两个矩阵 证明 A与B乘积的秩不大 于A的秩和B的秩 即r(AB)min(r(A) r(B)) 证 设A(aij)mn(1 2 n) B(bij)ns ABC(cij)ms(1 2 s)
(1)如果 A 的列向量组 1 2 n 中 部分组 j1 j2 js 是线性 无关 则 A 的 列向 量组 12 n 中 对应的 j1j2 js 也线性无关 反之亦然
(2)如果 A 的列向量组 1 2 n 中 某个向量 j 可由其 中的 j1 j2 js 线性表示
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(二)向量组的秩
定义39(向量组的秩) 向量组1 2 s的极大无关组所含向量的个数 称为 向量组的秩 记为r(1 2 s) 规定 全由零向量组成的向量组的秩为零
举例 在二维向量组1(0, 1) 2(1, 0) 3(1, 1) 4(0, 2)中 1 2是1 2 3 4的一个极大无关组 所以 r(1 2 3 4)2
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b1 j b1s b11 b21 b2 j b2s 即 (1 2 s)(1 2 n) bnj bns bn1 因此有 jb1j1b2j2 bnjn ( j1 2 s) 即AB的列向量组1 2 s可由A的列向量组1 2 n线 性表示 由定理311及例2有 r(AB)r(A) 类似方法 可以证明r(AB)r(B) 因此 r(AB)min(r(A) r(B))
§5.2 向量组的秩
(一)向量组的极大无关组
(二)向量组的秩
如果向量1 2 s不全为零向量 则它至少有一 个向量的部分组线性无关 再考察两个向量的部分组 如 果有两个向量的部分组线性无关 则往下考察三个向量 的部分组 依此类推 最后总能达到向量组中有r(s)个向 量的部分组线性无关 而没有多于 r(s) 个向量的部分组 线性无关 则含有r个向量的线性无关的部分组是最大的 线性无关的部分组
向量组的秩
[思路] 证两向量组等价,则秩相等.
例2 下列两向量组是否等价？
1
1
0
0
1
1
1
2
,
3
2
0
,
1
3
2
0
与
1
1
,
1
2
0
,
1
3
1
0
[思路] 由两向量组都线性无关且都为3维向量组,则 这两个向量组都为三维向量空间的极大无关组,则这 两个向量组等价.
例如
1
0
,
0
1
,
2
0
,
3
2
与
1
0
,
0
1
是否等价？
【结论】（1）向量组与它的极大无关组等价.
（2）向量组的任意两个极大无关组等价.
【问题】当一个大向量组可由一个小向量组线性表示 , s 可以由 1, 2 , , t 线性表示， 则 s t 1,2 , ,s 线性相关.
推论1 1 ,2 , , s 线性无关，并可由 1, 2 ,L , t
线性表示 s t
推论2 两个等价的线性无关向量组所含向量个数相同.
推论3 向量组的任意两个极大无关组所含向量个数相同.
极大无关组所含向量个数由向量组决定,与极大无 关组的选取无关,这是向量组自身具有的重要特征.
定义3 向量组的极大无关组中所含向量的个数，
如果向量组(1)、(2)可以互相线性表示，则称向量组 (1)与向量组(2)等价.
记作 (1) (2) 或记作 {1,2 ,L ,s } {1, 2 ,L , t }
同维向量组，但向量个数不一定相同
求向量组的秩的三种方法
求向量组的秩的三种方法1. 向量秩的定义向量组的秩是指向量组中线性无关的向量的个数，用r(V)表示。
向量秩可以理解为向量组的维数，是一个表示向量组重要性和有效性的指标。
2. 第一种方法：高斯消元法高斯消元法是一种通过初等变换求解线性方程组的方法，也可以用来计算向量组的秩。
具体步骤如下：步骤1：将向量组表示成矩阵形式将向量组V表示成一个矩阵A，其中每个向量是矩阵的一列。
假设向量组V有m个向量，每个向量有n个分量，则矩阵A的大小为n×m。
步骤2：进行初等行变换利用高斯消元法的思想，对矩阵A进行一系列初等行变换，使得矩阵A化为行阶梯形。
步骤3：计算行阶梯形矩阵的秩行阶梯形矩阵的秩等于非零行的个数。
统计非零行的个数，即可得到向量组V的秩r(V)。
3. 第二种方法：矩阵的秩与行列式的关系矩阵的秩与矩阵的行列式之间存在一定的关系。
根据这个关系，我们可以通过计算矩阵的行列式来求解向量组的秩。
具体步骤如下：步骤1：将向量组表示成矩阵形式和上述方法一样，将向量组V表示成一个矩阵A，其中每个向量是矩阵的一列。
步骤2：计算矩阵的行列式计算矩阵A的行列式|A|。
步骤3：求解向量组的秩向量组的秩r(V)等于矩阵的秩r(A)等于矩阵的行列式|A|不等于零的最大阶数。
4. 第三种方法：向量组的线性相关性向量组的线性相关性也可以用来求解向量组的秩，即判断向量组中是否存在线性相关的向量。
具体步骤如下：步骤1：将向量组表示成矩阵形式同样地，将向量组V表示成一个矩阵A，其中每个向量是矩阵的一列。
步骤2：计算矩阵的秩计算矩阵A的秩r(A)。
步骤3：判断向量组的线性相关性如果矩阵A的秩r(A)等于向量组的维数，则向量组中的向量线性无关，秩r(V)等于向量组的维数。
否则，向量组中的向量线性相关，秩r(V)等于矩阵的秩r(A)。
5. 总结通过以上三种方法，我们可以求解向量组的秩。
高斯消元法通过初等变换得到行阶梯形矩阵，通过统计非零行的个数得到向量组的秩；矩阵的秩与行列式的关系可以通过计算矩阵的行列式来求解向量组的秩；向量组的线性相关性可以通过判断矩阵的秩和向量组的维数之间的关系来求解向量组的秩。
求向量组的秩的三种方法
求向量组的秩的三种方法一、概述向量组的秩，即向量组中线性无关向量的个数。
秩是线性代数中非常重要的概念，涉及到向量组的基、解空间及解的唯一性等概念。
本文将详细介绍求向量组秩的三种方法：高斯消元、矩阵的秩和行列式的秩，同时附上实例说明。
二、高斯消元法高斯消元法是解决线性方程组的一种基本方法，用于消元、求解下三角矩阵和上三角矩阵。
在求向量组秩时，可以将向量组构成增广矩阵，通过高斯消元将其变为简化阶梯形矩阵，然后根据主元的数量，即非零行数，即可得到向量组的秩。
对于向量组：\begin{bmatrix}1\\2\\3\end{bmatrix}，\begin{bmatrix}2\\4\\6\end{bmatrix}，\begin{bmatrix}1\\3\\5\end{bmatrix}构成增广矩阵：\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3\\ 2 & 4 & 6\\ 1 & 3 & 5 \end{bmatrix}通过高斯消元可得简化阶梯形矩阵：\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}可知主元是1，非零行数是1，因此向量组的秩是1。
三、矩阵的秩矩阵的秩是线性代数中非常基础的概念之一，也是求向量组秩的一种方法。
矩阵的秩是指在矩阵的行（或列）空间中，线性无关的向量的个数。
对于一个m\times n矩阵A，如果它的秩为r，则有以下三条性质：1. 行秩：A的行空间的秩为r；2. 列秩：A的列空间的秩为r；3. 行列式：A的任意r\times r子式的行列式不为0，而r+1阶子式的行列式为0。
由此可知，对于一个向量组，可以将其构成矩阵，然后求出矩阵的秩来得到向量组的秩。
对于向量组：\begin{bmatrix}1\\2\\3\end{bmatrix}，\begin{bmatrix}2\\4\\6\end{bmatrix}，\begin{bmatrix}1\\3\\5\end{bmatrix}构成矩阵：A=\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3\\ 2 & 4 & 6\\ 1 & 3 & 5 \end{bmatrix}通过对A做初等行变换，得到简化阶梯形矩阵：R=\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}可知A的秩为1，因此向量组的秩也为1。
第三节 向量组的秩
例 3 设矩阵
A
2 1 4
1 1 6
1 2 2
1 1 2
42 4
3 6 9 7 9
求 矩 阵A的 列 向 量 组 的 一 个 最 大无 关 组 ， 并 把 不 属 最 大 无 关 组 的 列 向 量用 最 大 无 关 组 线 性 表 示.
记 A (a1,a2 ,a3 ,a4 ,a5 )
1 0
,
a2
3 5
,
a3
0 1
,
a4
0 0
,
a5
2 1
,
a6
12 71
1
4
1
1
2
29
证 明 ：a1 , a3 , a4是 向 量 组A的 一 个 最 大 无 关 组.
证明
�1 0 0�
Q A (a1,a3,a4) ����10
1 1
0 1
����ﾣ
1 0
0 1
0 0
2. 矩阵的秩与向量组的秩的关系： 矩阵的秩＝矩阵列向量组的秩
＝矩阵行向量组的秩
3. 关于向量组秩的一些结论： 定理 8 、推论 3 、推论 4 ．
4. 求向量组的秩以及最大无关组的方法： 将向量组中的向量作为列向量构成一个矩 阵，然后进行初等行变换．
第三节 向量组的秩
一、向量组的等价
设有两个向量组A :1,2 ,,m;B : b1,b2 ,,bs .
B能由A线性表示，即对每个向量bj ( j 1,2,, s)存
在数k1 j , k2 j ,kmj ,使
b1 b2 bs
k111 k121
k1s1
(b1 ,
k212 k222 k2s2
b2,,bs )
第三节 向量组的秩
A的秩=2 B的秩=2
1可由1,2线性表示 但2不能由1,2线性表示
A与B不等价
∵A与B等价, 且都线性无关 A与B所含向量个数相同
可见,一个向量组的最大无关组虽然不 是唯一的,但最大无关组所含的向量的个数 总是确定的.
二、向量组的秩
定义10 向量组的最大无关组所含向量的 个数称为该向量组的秩. 注: (1)n维向量组Rn的秩是n.
(2)设向量组A: 1,2,,m
A线性无关A的最大无关组是A本身
3 : 1 1 5
1,2,3线性相关 3可由1,2线性表示
1 : 1 1 1
2 : 0 2 4 =0
4 : 2 0 6
1,2,4线性相关 4可由1,2线性表示 同理,5可由1,2线性表示 1,2是T的一个最大无关组
同法: 2,3也是T的一个最大无关组
注: (1)一般来说,一个向量组的最大无关组不是 唯一的. (2)一个向量组与它的最大无关组等价.
A中的向量线性表示,则称B可由A线性表示. 若A与B可互相线性表示,则称A与B等价.
等价性质: (1)反身性: A与A等价. (2)对称性: 若A与B等价,则B与A等价. (3)传递性: 若A与B等价,B与C等价,则A与C 等价.
定义9 一个向量组T中的部分向量1,2,, m若具有性质: (1)1,2,,m线性无关; (2)向量组T中任一向量都可由1,2,,m线
k11+k22++krr
(4) (5)
把(1)式代入(5)式,整理得:
k11+k22++krr
=k1(a111+a122++a1ss) +k2(a211+a222++a2ss) ++ kr(ar11+ar22++arss)
第2节 向量组的秩-精品文档
。 ts
, ◆ 若向量组 r，则 1, 2, 的秩为 s
性相关的。
◆ 设向量组
, p，向量组 1, 2, 的秩为 s
组
r p。
可由向量组 , 1, 2, t
, ,r 的秩为 ，如果向量 1 2, t
, 线性表示，则 1, 2, s
定理4.2.2 设向量组 B 能由向量组 : , , , 1 2 t
§2 向量组的秩
, 定义4.2.1 设向量组A中的一个部分组 ，满足 1, 2, r
, ⑴ 1, 2,线性无关； r
⑵ 向量组A中任意r+1个向量（如果有）都线性相 关. 则称 是向量组 A的一个最大线性无关向量组 , 1, 2, r
（简称最大无关组）；最大无关组所含向量个数r称
3 2 1 3 2 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0
可见 R () A 2 , R (, A B ) 2
容易看出矩阵B中有不等于0的2阶子式，故
R(B) 2
于是知 R(B) 2 因此
R () AR () BR (, A B )
定理4.2.3 矩阵的秩等于它的列向量组的秩，也等于它的行 向量组的秩。
R () AR () BR (, A B )
例1 设
1 1 1 1 1 2 1 0 ,2 , ,b ， 1 3 2 1 4 3 2 3 0 1
( , ) , B ( , , ) 证 记A 。根据推论4.2.4，只要证 1 2 1 2 3
R () AR () BR (, A B ) 为此把(A,B)化成行阶梯形：
3.4向量组的秩
2、结论：（P104） 若对矩阵A仅施以初等行变换得矩阵B，则B的列向量组 与A的列向量组有相同的线性关系，即行的初等变换保 A~ B 持了列向量间的线性无关性和线性相关性。 r A r B 即得出求极大无关组的方法：
以向量组中各向量为列向量组成矩阵后，只作初等行变 换将该矩阵化为行阶梯形矩阵，则可直接写出所求向量 组的极大无关组。 自学例1、例4 例2：设矩阵
单位坐标向量
α1 α 2 ,
α 5 4 α 1 3α 2 3α 4
3.4
例3：求向量组 α 1 1, 2 , 1,1 , α 2 2 , 0 , t , 0 ,
T T
α 3 0 , 4 , 5 , 2 , α 4 3 , 2 , t 4 , 1
注：向量组的极大无关组可能不止一个，向量的个数是否相同的？
例：二维向量组 α 1
0 ,1 , α 2 1, 0 , α 3 1,1 , α 4 0 , 2
T T T
T
(1)任何三个二维向量的向量组必定线性相关； 即 (2) 线性α 1 , α 2 无关， α 1 , α 2 是该向量组的一个极大线性无关组；
3.4 向量组的秩
一、极大线性无关向量组
1、定义：设向量组 A : α 1 , α 2 , , α s ，若在向量组A中能选 出r个向量 α j 1 , α j 2 , , α jr ，满足： (1)向量组 A0 : α j 1 , α j 2 , , α jr 线性无关； (2)向量组A中任意r+1个向量(若有的话)都线性相关。 则称向量组A0是向量组A的一个极大线性无关向量组 (简称为极大无关组)
2 1 1 1 1 1 2 1 A 4 6 2 2 3 6 9 7 2 4 4 9
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第四节向量组的秩定义1：设有两个向量组(A)：s ααα,,,21 和(B)：t βββ,,,21 ，如果向量组(A)中每一个向量都可由向量组(B)线性表示，则称向量组(A)可由向量组(B)线性表示。
定义2：设有两个向量组(A)：s ααα,,,21 和(B)：t βββ,,,21 ，如果向量组(A)可由向量组(B)线性表示，而且向量组(B)也可由向量组(A)线性表示，则称向量组(A)和向量组(B)等价。
等价向量组的性质：(1) 反身性：任一向量组和它自身等价。
(2) 对称性：如果向量组(A)与向量组(B)等价，则向量组(B)也与向量组(A)等价。
(3) 传递性：如果向量组(A)与向量组(B)等价，而向量组(B)与向量组(C)等价，则向量组(A)也与向量组(C)等价。
定理1：设有两个向量组(A)：s ααα,,,21 和(B)：t βββ,,,21 ，如果向量组(B)可由向量组(A)线性表示，且s<t ，则向量组(B)线性相关。
证明：由已知可得：s sj j j j a a a αααβ+++= 2211 ),,2,1(t j = （1） 若存在一组数t K K K ,,,21 ，使得02211=+++t t K K K βββ （2） 下面只要证t K K K ,,,21 可以不全为零。
把(1)式代入(2)式得：)()()(22112222112212211111=++++++++++++s st t t t s s s s a a a K a a a K a a a K ααααααααα （3）整理后得)()()(22112222212111212111=++++++++++++s t st s s t t t t K a K a K a K a K a K a K a K a K a ααα （4）因为s<t ，故齐次线性方程组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++000221122221211212111t st s s tt t t x a x a x a x a x a x a x a x a x a （5）有非零解。
所以取t K K K ,,,21 为方程组(5)的一个非零解。
这个非零解可使(4)成立，也可使(3)成立，最后使(2)成立。
从而向量组(B)线性相关。
推论1：如果向量组(B)：t βββ,,,21 可由向量组(A)：s ααα,,,21 线性表示，且向量组(B)线性无关，则t s ≤。
(用反证法)推论2：向量组(A)：s ααα,,,21 与向量组(B)：t βββ,,,21 等价，且向量组（A ）和（B ）都线性无关，则s=t 。
证：因为向量组(A)线性无关且可由向量组(B)线性表示，所以t s ≤。
又因为向量组(B)线性无关且可由向量组(A)线性表示，所以s t ≤；因此s=t 。
对于一个非零向量组，则至少有一个向量不为零向量，所以它至少有一个向量的部分组线性无关；现要研究其线性无关部分组最多可以含多少个向量。
定义3：如果一个向量组的一个部分组r ααα,,,21 满足下述条件： (1)r ααα,,,21 线性无关；(2)向量组中的任意一个向量都可以由r ααα,,,21 线性表示；则称部分组r ααα,,,21 为这个向量组的一个极大（最大）线性无关组，简称极大（最大）无关组。
定义3也可写成：定义4：如果一个向量组的一个部分组r ααα,,,21 满足下述条件： (1)r ααα,,,21 线性无关；(2)任取此向量组中的一个向量，添加到部分组r ααα,,,21 中，所得到的新的部分组都线性相关。
则称部分组r ααα,,,21 为这个向量组的一个极大线性无关组。
例：考虑向量组)0,1,1(),0,1,0(),0,0,1(321===ααα，显然部分组21,αα是线性无关的，而321,,ααα中的任意向量都可以由21,αα线性表示： 2110ααα⋅+=，1220ααα⋅+=，213ααα+=所以21,αα是向量组321,,ααα的极大无关组。
同样可以证明31,αα及23,αα也是向量组321,,ααα的极大无关组，这说明一个向量组的极大无关组可能不唯一。
从上述例子及极大无关组定义可以得到： 定理2：任一向量组和它的极大无关组等价。
推论1：向量组中任意两个极大无关组等价。
推论2：向量组中任意两个极大无关组所含向量的个数相同。
定义5：向量组s ααα,,,21 的极大无关组中所含向量的个数称为向量组的秩，记作),,,(21s r ααα 。
定理3：如果二个向量组s ααα,,,21 和t βββ,,,21 等价，则它们的秩相等。
证明：设向量s ααα,,,21 与向量组t βββ,,,21 的秩分别为p r ,；极大无关组分别为r i i i ααα,,,21 和p j j j βββ,,,21 ；则向量组s ααα,,,21 与向量组ri i i ααα,,,21等价；向量组t βββ,,,21 与向量组p j j j βββ,,,21 等价；所以向量组r i i i ααα,,,21 和向量组p j j j βββ,,,21 等价；又因为向量组r i i i ααα,,,21 和pj j j βββ,,,21均线性无关，因此有p r =。
定义6：矩阵n m ij a A ⨯=)(的行向量组的秩称为矩阵A 的行秩；其列向量组的秩称为矩阵A 的列秩。
定理4：设A 为n m ⨯矩阵，r A r =)(的充分必要条件是A 的列（行）秩为r 。
定理5：矩阵的初等行（列）变换不改变其列（行）向量间的线性关系。
下面用例子说明求向量组的秩和极大无关组的方法。
例1：已知),0,1,2,1,1(1-=α),0,2,4,2,2(2--=α),1,1,6,0,3(3-=α)01,0,3,0(4=α，试求这向量组的秩及它的一个极大无关组，并把其余向量用所求极大无关组线性表示。
解：044332211=+++ααααx x x x⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛→⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--→⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=000000001100011003211100044000003300032111000121064230210321A则(r 4321,,,αααα)＝3，且321,,ααα是向量组4321,,,αααα一个极大无关组。
下面求向量4α用极大无关组321,,ααα线性表示。
从最后一个矩阵可得：⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=++000324332321x x x x x x x令14=x ，解得1,1,1321-===x x x所以 04321=+-+αααα，即3214αααα+--=例2：已知向量组,)1,2,3,1(),1,1,1,0(),1,1,2,1(),0,0,1,1(4321-=-=--=-=αααα)1,4,6,2(5-=α，求这向量组的秩及它的一个极大线性无关组,并把其余向量用此极大无关组线性表示。
解： 0554*******=++++αααααx x x x x⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------=1111042110421102101111110421106312121011A ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---→53000000004211021011⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---→00000530004211021011可得3)(=A r ，则r(54321,,,,ααααα)＝3，并且421,,ααα是一极大线性无关组。
下面求53,αα用极大无关组421,,ααα线性表示。
⎪⎩⎪⎨⎧=+=+++=---053042025454325421x x x x x x x x x x令0,153==x x ，得04=x ，12-=x ，11-=x令1,053==x x ，得354-=x ，322-=x ，311-=x所以0321=+--ααα，03532315421=+---αααα即213ααα+=，4215353231αααα++=例3：已知向量组,)0,2,1,1(),2,1,3,0(),14,7,0,3(),4,2,1,1(4321-===-=αααα)6,5,1,2(5=α，求这向量组的秩及它的一个极大线性无关组,并把其余向量用此极大无关组线性表示。
解： 0554*******=++++αααααx x x x x⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=60214452172113012131A ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--→2422010110303302131⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--→00000121101011021031⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--→00000120001011021031可得3)(=A r ，则r(54321,,,,ααααα)＝3，并且421,,ααα是一极大线性无关组。
下面求53,αα用极大无关组421,,ααα线性表示。
⎪⎩⎪⎨⎧=+=++=+++020023545325421x x x x x x x x x令0,153==x x ，得04=x ，12-=x ，31=x令1,053==x x ，得214-=x ，12-=x ，231=x所以03321=+-ααα，021235421=+--αααα即2133ααα+-=，42152123αααα++-=例4：已知向量组)2,1,1,4,6(1-=α，)4,3,2,0,1(2-=α，)22,16,9,4,1(3--=α，)3,1,0,1,7(4-=α，求这向量组的秩及它的一个极大线性无关组,并把其余向量用此极大无关组线性表示。
解： 044332211=+++ααααx x x x⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=3224211631092114047116A ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----→3224211631711614040921⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------→3408012550755110140800921⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---------→8351051510117510815100921⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--→0000000010008151041101 可得3)(=A r ，则r(4321,,,αααα)＝3，并且421,,ααα是一极大线性无关组。
下面求3α用极大无关组421,,ααα线性表示。
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==--=++008150414432431x x x x x x x令13=x ，得,04=x ,52=x 11-=x ,代入得：05321=++-ααα 即2135ααα-=例5：设n ααα,,,21 是一组n 维向量，已知单位向量n εεε,,,21 可以被它线性表示，试证明n ααα,,,21 线性无关。