第5章 公式与函数的使用
第5章 三角函数诱导公式第2课时
的化简、求值和证明．(难点)
第2课时 公式五和公式六
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情境导学·探新知 合作探究·释疑难 当堂达标·夯基础 课后素养落实
NO.1 情境导学·探新知
第2课时 公式五和公式六
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情境导学·探新知 合作探究·释疑难 当堂达标·夯基础 课后素养落实
诱导公式五、六反映的是角π2±α 与 α 的三角函数值之间的关 系．可借用口诀“函数名改变，符号看象限”来记忆．
第2课时 公式五和公式六
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类型 1 利用诱导公式化简求值
②
第2课时 公式五和公式六
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情境导学·探新知 合作探究·释疑难 当堂达标·夯基础 课后素养落实
①＋②得(sin α＋cos α)2＝218699， ②－①得(sin α－cos α)2＝14699.
又∵α∈π4，π2， ∴sin α＞cos α＞0，即 sin α＋cos α＞0，sin α－cos α＞0，
＝－sin(90°－31°)·(－tan 31°) ＝－cos 31°·(－tan 31°)＝sin 31° ＝ 1－cos231°＝ 1－m2.
第2课时 公式五和公式六
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(2)由－180°<α<－90°，得－120°<60°＋α<－30°.又 cos(60°＋α)＝13 >0，所以－90°<60°＋α<－30°，即－150°<α<－90°，
新教材高中数学第5章三角恒等变换第4课时二倍角的正弦余弦正切公式pptx课件新人教A版必修第一册
−
π
4
24
π
－1＝－ ，因为x∈ቀ ，
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2
，因此cos 2x＝－ 1 −
1
2
3
4
7
－
2x＝________．
25
7
2
sin 2＝－ ．]
25
• 回顾本节知识，自主完成以下问题：
• 1．本节学习了哪些二倍角公式？
[提示]
sin 2α＝2sin αcos α；
cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；
1
α＝ sin
2
sin 2
2 tan
2
2
α＝
，cos α－sin α＝cos2α，
＝tan2α．
2 sin
1−tan2
• (3)一般地，sin 2nα＝2·sin 2n-1αcos 2n-1α⇒cos αcos 2αcos 22α…
• cos
sin 2
n-1
2 α＝
．
2 sin
π
4
sin
cos
−
π
+2
2
π
+
4
− ＝cos
π
π
π
∴ ＋x∈ ，
4
4
2
π
4
π
4
的值．
4
＝
2 sin
+
，∴sin
12
24
∴原式＝2× ＝ ．
13
13
5
π
cos 2
＝ ，0<x< ，求
π
13
4
cos
+
高等数学 第5章 第三节 微积分基本公式
设 f ( x) C[a, b], 且 x [a, b], 考察 f ( x) 在区间 [a, x]
上的定积分
x
a f ( x)dx
x
a f (t)dt
确定了一个
[a, b]上的函数 ， 记作 ( x)
x
x
a
f
t dt
a x b.
积分上限函数
2
f ( ).
x
y y f (x) f
8
F'(x)
f ( x) x
x
f (t)dt
x tf (t)dt
0
0
x f (t)dt 2
0
f ( x)
x
xf (t)dt
0
x 0
tf
(
t
)dt
x
f
2
(t)dt
0
x
f ( x)0 ( x t) f (t)dt
x 0
f (t )dt 2
t [0, x], f (t) 0,( x t) f (t) 0，
1x pdx x p1 1 1
0
p1 p1
0
13
例10 对一切实数 t, 函数 f t 是连续的正函数，函数
gx
a
a
x
t
f
t dt,
a x aa 0.
证明 g' x 是单调增加的。
t a, x t x,a
证
gx
a
a
x
t
f
t dt
x x a
tf
t dt
a
x
t
xf
t dt
x
Fb
F a
(4)
第5章 三角函数与解三角形公式
三角函数与解三角形公式总结【预备知识点】一、任意角与弧度制（一）任意角1.任意角的概念：规定一条射线绕其端点任意方向旋转所形成的角。
2.任意角的分类：（1）正角：规定一条射线绕其端点逆时针方向旋转所形成的角。
（2）负角：规定一条射线绕其端点顺时针方向旋转所形成的角。
（3）零角：规定一条射线绕其端点无任意方向旋转所形成的角，始边与终边重合的角。
口诀：正逆负顺零重合3.相等角、相反角与角的运算（1）相等角：旋转方向相同且旋转量相等。
（2）相反角：旋转方向相反且旋转量相等。
（3）角的运算：线性加减运算与数乘运算。
4.常见误区：（1）锐角是第一象限角，但是第一象限角不一定是锐角，因为有周期。
例如420°。
（2）钝角是第二象限角，但是第二象限角不一定是钝角，因为有周期。
例如495°。
（3）直角不是任意象限角，属于y轴的特殊角。
（4）平角、周角属于轴线角，它不属于任何一个象限角。
（二）弧度制1.弧长公式及其意义（1）弧长公式：l=nπr180⟺lr=n∗π180=|α|⟺l=|α|r（2）弧长公式的意义：（i）圆心角α所对的弧长与半径r的比值，只与α大小有关。
（ii）弧长长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用rad表示，读作弧度。
其中rad可省略。
（3）一般地，正角的弧度数是正数，零角的弧度数是0，负角的弧度数是一个负数。
2.角度制与弧度制的互换依据：180°=π rad{1°=π180rad≈0.01745 rad 1 rad=(180π)°≈57.30°=57°18′（三）常见的角度制与弧度制互换表示二、三角函数常用特殊值【大重点，熟练背诵】【必考知识点】一、三角函数概念（1）定义式【熟记理解】（2）同角三角函数的基本关系【大重点题型：化弦为切经常用到，结合诱导公式与恒等变换】（i）平方关系【重点记第一个】sin2x+cos2x=11+cot2x=csc2x1+tan2x=sec2x（ii）商数关系【重点记第一个】tanx=sinx cosxcotx=cosx sinx（iii）倒数关系tanx∗cotx=1sinx∗cscx=1cosx∗secx=1（3）三角函数在各象限的符号【大重点并背诵】二、诱导公式【大重点，以下表格全背】诱导公式的基本思路【以第1组~第4组为例】：（1）首先，任意负角的三角函数转化成任意正角的三角函数【用公式3或1】（2）其次，任意正角的三角函数转化成0∼2π的三角函数【用公式1】（3）最后，0∼2π的三角函数转化成锐角三角函数【用公式2或4】三、三角恒等变换【大重点，所有公式都要背】1.两角和与差的正弦、余弦、正切Cα−β:cos(α−β)=cosα∗cosβ+sinα∗sinβCα+β:cos(α+β)=cosα∗cosβ−sinα∗sinβSα−β:sin(α−β)=sinα∗cosβ−cosα∗sinβSα+β:sin(α+β)=sinα∗cosβ+cosα∗sinβTα−β:tan(α−β)=tanα−tanβ1+tanα∗tanβTα+β:tan(α+β)=tanα+tanβ1−tanα∗tanβ扩展：三角和公式Cα+β+γ:cos(α+β+γ)=cosα∗cosβ∗cosγ−cosα∗sinβ∗sinγ−sinα∗cosβ∗sinγ−sinα∗sinβ∗cosγSα+β+γ:sin(α+β+γ)=sinα∗cosβ∗cosγ+cosα∗sinβ∗cosγ+cosα∗cosβ∗sinγ−sinα∗sinβ∗sinγTα+β+γ:tan(α+β+γ)=tanα+tanβ+tanγ−tanα∗tanβ∗tanγ1−tanα∗tanβ−tanα∗tanγ−tanβ∗tanγ2.二倍角的正弦、余弦、正切C2α: cos2α=cos2α−sin2α=1−2sin2α=2cos2α−1; cos2α=1+cos2α2,sin2α=1−cos2α2S2α: sin2α=2sinα∗cosαT2α: tan2α=2tanα1−tan2α扩展1：半角公式Cα2: cosα2=±√1+cosα2Sα2: sinα2=±√1−cosα2Tα2: tanα2=sinα1+cosα=1−cosαsinα=±√1−cosα1+cosα注意：正负由α2所在的象限决定！其中Cα: cosα=cos2α2−sin2α2=1−2sin2α2=2cos2α2−1=1−tan2α21+tan2α2Sα: sinα=2sin α2∗cosα2=2∗tanα21+tan2α2Tα:tanα=2∗tanα2 1−tan2α2扩展2：三倍角公式S3α: sin3α=3sinα−4sin3α=4sinα∗sin(π3−α)∗sin(π3+α)C3α: cos3α=4cos3α−3cosα=4cosα∗cos(π3−α)∗cos(π3+α)T3α: tan3α=3tanα−tan3α1−3tan3α=tanα∗tan(π3−α)∗tan(π3+α)扩展3：四倍角公式S4α: sin4α=−4∗[cosα∗sinα∗(2sin2α−1)]C4α: cos4α=1−8∗cos2α∗sin2αT4α: tan4α=4tanα−4tan3α1−6tan2α+tan4α扩展4：五倍角公式S5α: sin5α=16sin5α−20sin3α+5sinαC5α: cos5α=16cos5α−20cos3α+5cosαT5α: tan5α=5−10tan2α+tan4α1−10tan2α+5tan4α3.和差化积公式sin α+sin β=2sin α+β2∗cosα−β2sin α−sin β=2cos α+β2∗sinα−β2cos α+cos β=2cos α+β2∗cosα−β2cos α−cos β=−2sin α+β2∗sinα−β2tan α+tan β=sin(α+β) cosα∗cosβtan α−tan β=sin(α−β) cosα∗cosβcot α+cot β=sin(α+β) sinα∗sinβcot α−cot β=−sin(α−β) sinα∗sinβtan α+cot β=cos(α−β) cosα∗sinβtan α−cot β=−cos(α+β) cosα∗sinβsin2α−sin2β=sin(α+β)∗sin(α−β)cos2α−cos2β=−sin(α+β)∗sin(α−β)sin2α−cos2β=−cos(α+β)∗cos(α−β)cos2α−sin2β=cos(α+β)∗cos(α−β)记忆口诀：同名和差三角积，（sin α±sin β或cos α±cos β：等式左边只有同是正弦或同是余弦才可以相加减。
新教材高中数学第5章诱导公式第2课时公式五和公式六pptx课件新人教A版必修第一册
(α)的值．
• 反思领悟 诱导公式综合应用要“三看”
• 一看角：(1)化大为小；(2)看角与角间的联系，可通过相加、相减分析
两角的关系．
• 二看名：一般是弦切互化．
• 三看形：通过分析式子，选择合适的方法，如分式可对分子分母同乘一
个式子变形．
• [跟进训练]
• 3．在△ABC中，已知sin
[解]
• 2．已知cos
• (1)sin
[解]
π
3
−
2
＝ ，求下列各式的值：
3
+ ；(2)sin −
(1)sin
(2)sin −
＝－sin
π
6
π
2
π
3
2π
3
+
+ ＝sin
＝sin
π
6
π
−
2
2π
3
π
2
−
．
−
π
6
π
6
−
− ＝－cos
π
6
− ＝cos
−
2
＝－ ．
3
π
6
−
2
＝ ．
3
π
π
π
π
π
π
π
： －α与 ＋α； ＋α与 －α； ＋α与 －α等．常见的互补关系有： ＋
3
6
3
6
2π
π
3π
α与 －α； ＋α与 －α等．
3
4
4
4
4
3
• (2)定公式．依据确定的关系，选择要使用的诱导公式．
• (3)得结论．根据选择的诱导公式，得到已知值和所求值之间的关系，
2020高中数学 第5章 三角函数 5. 诱导公式(第1课时)公式二、公式三和公式四讲义 第一册
第1课时公式二、公式三和公式四学习目标核心素养1。
了解公式二、公式三和公式四的推导方法．2．能够准确记忆公式二、公式三和公式四．（重点、易混点）3．掌握公式二、公式三和公式四,并能灵活应用．（难点）1.借助公式进行运算，培养数学运算素养．2．通过公式的变形进行化简和证明，提升逻辑推理素养。
1．公式二(1)角π＋α与角α的终边关于原点对称．如图所示．（2)公式：sin（π＋α）＝－sin_α，cos（π＋α）＝－cos_α，tan(π＋α）＝tan_α.2．公式三（1）角－α与角α的终边关于x轴对称．如图所示．（2)公式:sin(－α)＝－sin_α，cos（－α)＝cos_α，tan(－α）＝－tan_α.3．公式四（1）角π－α与角α的终边关于y轴对称．如图所示．（2)公式:sin（π－α）＝sin_α，cos（π－α）＝－cos_α，tan（π－α）＝－tan_α。
思考：（1）诱导公式中角α只能是锐角吗？（2)诱导公式一～四改变函数的名称吗？提示：(1)诱导公式中角α可以是任意角,要注意正切函数中要求α≠kπ＋π2，k∈Z.(2)诱导公式一～四都不改变函数名称．1．如果α,β满足α＋β＝π，那么下列式子中正确的个数是（)①sin α＝sin β;②sin α＝－sin β；③cos α＝－cos β；④cos α＝cos β;⑤tan α＝－tan β.A．1 B．2 C．3 D．4C[因为α＋β＝π,所以sin α＝sin（π－β)＝sin β,故①正确，②错误；cos α＝cos(π－β)＝－cos β，故③正确，④错误；tan α＝tan（π－β）＝－tan β,⑤正确．故选C。
］2．tan错误!等于（）A．－错误!B。
错误!C．－错误! D.错误!C［tan错误!＝tan错误!＝tan错误!＝tan错误!＝－tan错误!＝－错误!.]3．已知tan α＝3，则tan（π＋α)＝________。
EXCEL教程 第5章 公式与函数
公式 公式中的引用设置 公式中的错误与审核 函数 数组公式
5.1 公式
公式是指使用运算符和函数对工作表中的数值进 行计算的等式。公式必须以等号（=）开始，用于 表明其后的字符为公式，紧随等号之后的是需要 进行计算的元素（操作数），各操作数之间用运 算符分隔。
公式“=PI()*A2^2”
Excel提供了公式审核功能，使用户可以跟踪公式的 引用或从属单元格，也可以检查公式中的错误。
如果一个或多个工作表的不同单元格设置了公式，要想查看其内 容和计算结果，必须在不同单元格或工作表中转换。为此，Excel 2003增加了一个名为监视窗口的工具，它能将另一工作表内与编 辑内容相关联的数据，开启成一个可移动的小窗口，若更改现有 的工作表内容，监视窗口中的关联的内容也会跟着改正。
选择单元格然后单击” 添加监视“按钮
检查公式错误
选中含有错误的单元格， 还会出现按钮，单击该按 钮，会打开一个快捷菜单， 其中提供了解决此错误的 方法
Excel 2003会自动对输入的 公式进行检查，若发生错 误，在单元格的左上角会 出现一个绿色的小三角
此时若要检查公式里的错误， 可单击“公式审核”工具栏 上的“错误检查”按钮
相对引用
在表示单元格的列标或行号前加$符号的单 相对引用 元格引用被称为绝对引用。绝对引用的最 大特点是在操作（例如复制或移动）过程中， 公式中的单元格地址始终保持不变。
混合引用
混合引用具有绝对列和相对行，或是绝对行和相对列。 绝对引用列采用$A1、$B1等形式。如果公式所在单元格 的位置改变，则相对引用改变，而绝对引用不变。 如果多行或多列地复制公式，相对引用自动调整，而绝 对引用不做调整。如果将一个混合引用“=A$1”从A2复 制到B2，它将从“=A$1”调整到“=B$1”。
第5章-5.2.3-诱导公式高中数学必修第一册湘教版
当 = 2 + 1, ∈ 时， = (2 + 1)π − ，则
sin = sin(2π + π − ) = sin π − = sin .
若sin = sin ，则 = 2π + 或 = 2π + π − ， ∈ ,即
= π + −1 ， ∈ ，
2
+ + sin
π
+
2
2
为偶函数，则 =___.
【解析】方法1 （定义法） 因为 为偶函数，所以 − = ，即
− − 1
2
− + sin −
π
+
2
2
= ( − 1) +
方法2 （特值法） 因为 为偶函数，所以
π
−
2
−1
2
π
−
2
=
π
2
−1
2
+
1
9
所以sin = − 1 − = −
故cos
π
+
2
= −sin =
2
2
3
2
.
2
3
.
1
，
3
2
2
3
)
D.
2
2
3
例3 (2024·山东省德州市期末)设，，是△ 的三个内角，则下列关系式恒成
立的是( B
)
A.cos + = cos
B.sin + = sin
，∴
3
3
− ，∴
5
= sin[π −
sin
2π
Office 2016 办公软件应用 第5章 Excel 数据的处理与计算
平均值函数的语法结 构为： AVERAGE(number 1,[number2],...)， 其参数 number1,number2 ,…为1到255个 需要计算平均值的数 值参数。
最大 / 小值函数的 语法结构为：MAX/ MIN(number1,[nu mber2],...)，其参数 number1,number 2,…为 1 到 255 个 需要计算最大值 / 最小值的数值参数。
单列数据排序指在工作表中以一列单元格中的数据为依据，对所有数据进行排列。
5.3.2 多列数据排序
15
使用多列数据排序时，要以某个数据为依据进行排列，该数据称为关键字。以关键字进 行排序，对应其他列中的单元格数据将随之发生改变。
5.3.3 自定义排序
16
使用自定义排序可以通过设置多个关键字对数据进行排序，并能以其他关键字对相同 排序的数据进行排序。
2．编辑公式
编辑公式与编辑数据的方法相同。首先，选择含有公式的单元格，将插入点定位在单元格 或编辑栏中需要修改的位置，按【Backspace】键删除多余或错误的内容，再输入正确的内容。
3．复制公式
5.2.4 使用函数计算数据
11
如果确认文档的内容及格式正确无误，便可对文档进行预览并打印。
插入函数
计算结果
运算符 函数
常量数值
使用不同的运算符可进行不同的运算，如运用 +（加）、=（等号）、 &（文本连接符）和 ,（逗号）等时，会显示不同的结果。
函数是指 Excel 2016 中内置的函数，是通过使用一些称为参数的特定数 值来按特定的顺序或结构执行计算的公式。
常量数值包括数字或文本等各类数据。
5.2.1 认识公式与函数
计算机文化基础 第5章Excel 2007 电子表格 第六节使用公式和函数
Excel函数是指预先定义执行计算、分析等处理数据任务的特殊公式(如 Sum( )就是一个求和函数)。Excel有内置函数300多个，在公式中灵活使用这 些函数，可以极大地提高公式解决问题的能力，轻松胜任各种复杂的数据处 理任务。
1. 了解函数 函数由函数名和参数两部分构成。每个函数的参数必须写在括号内，如图 5-43所示，其中：
5.6.1 使用公式
文本运算符：& 将两个文本值连接或串起来产生一个连续的文本值。 例如：公式“=“micro”&“soft””，表示将两个文本串连接成一个文 本串，结果为“microsoft”。 引用运算符：包括冒号(：)、逗号(，)和空格三种，其作用是对工作表 中的一个或一组单元格进行标识。 例如：公式=“A2:B5”，标识A2单元格到B5单元格所组成的矩形区域。 公式=“A2,B5”，标识A2、B5两个单元格。 公式=“A1:B3 B2:C4”，标识两个区域中共有的单元格，即B2和B3。
图
5 37
相 对 引 用
-
5.6.1 使用公式
•绝对引用：公式中单元格引用在公式被沿着列或行复制时不发生变 化。绝对引用时单元格名称中出现“$”符号。如图5-38所示，将D2 单元格中的公式“=C2*$C$6”复制到D3单元格后，在D3单元格的公 式会自动变为“=C3*$C$6”。由于C6单元格添加了绝对引用标志 “$”，在公式从一个单元格复制到另一个单元格时其引用不会发生 变化。
2. 在公式中的运算符
算术运算符：加(+)、减(-)、乘(*)、除(/)、指数(^)和百分数(%)等。
例如：公式“=A2+B2”，表示将A2单元格的数据与B2单元格的数据进行加 运算。
关系运算符：等于(=)、小于(<) 、大于(>) 、大于等于(>=) 、小于等于 (<=)、不等于(<>)。
2019_2020学年新教材高中数学第5章三角函数-两角和与差的正弦、余弦公式讲义新人教A版必修第一册
第2课时 两角和与差的正弦、余弦公式学 习 目标核 心 素 养1.掌握两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式及两角和与差的正弦公式． 2．会用两角和与差的正弦、余弦公式进行简单的三角函数的求值、化简、计算等． 3．熟悉两角和与差的正弦、余弦公式的灵活运用，了解公式的正用、逆用以及角的变换的常用方法.1.借助公式的推导过程，培养数学运算素养．2. 通过公式的灵活运用，提升逻辑推理素养.1．两角和与差的余弦公式 名称 简记符号 公式使用条件两角差的余弦公式 C (α－β)cos(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_βα，β∈R两角和的余弦公式C (α＋β) cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_βα，β∈R名称 简记符号 公式使用条件两角和的正弦S (α＋β)sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_βα，β∈R两角差的正弦 S (α－β) sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_βα，β∈Ry ＝a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋θ)(a ，b 不同时为0)，其中cos θ＝a a 2＋b 2，sinθ＝b a 2＋b 2.1．cos 57°cos 3°－sin 57°sin 3°的值为( ) A ．0 B.12 C.32D ．cos 54°B [原式＝cos(57°＋3°)＝cos 60°＝12.]2．sin 245°sin 125°＋sin 155°sin 35°的值是( ) A ．－32B ．－12C.12D.32B [∵sin 245°＝sin(155°＋90°)＝cos 155°， sin 125°＝sin(90°＋35°)＝cos 35°，∴原式＝cos 155°cos 35°＋sin 155°sin 35°＝cos(155°－35°)＝cos 120°＝－12.] 3．若cos α＝－35，α是第三象限的角，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝______. －210 [∵cos α＝－35，α是第三象限的角， ∴sin α＝－1－cos 2α＝－45，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝22sin α－22cos α＝22×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45－22×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝－210.],给角求值问题【例1】 (1)cos70°sin 50°－cos 200°sin 40°的值为( )A ．－32 B ．－12 C.12 D.32(2)若θ是第二象限角且sin θ＝513，则cos(θ＋60°)＝________.(3)求值：(tan 10°－3)cos 10°sin 50°.(1)D (2)－12＋5326 [(1)∵cos 200°＝cos(180°＋20°)＝－cos 20°＝－sin70°，sin 40°＝cos 50°，∴原式＝cos 70°sin 50°－(－sin 70°)cos 50° ＝sin(50°＋70°)＝sin 120°＝32.(2)∵θ是第二象限角且sin θ＝513，∴cos θ＝－1－sin 2θ＝－1213，∴cos(θ＋60°)＝12cos θ－32sin θ＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1213－32×513＝－12＋5326.] (3)[解] 原式＝(tan 10°－tan 60°)cos 10°sin 50°＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 10°cos 10°－sin 60°cos 60°cos 10°sin 50°＝sin (－50°)cos 10°cos 60°·cos 10°sin 50°＝－2.]解决给角求值问题的策略(1)对于非特殊角的三角函数式求值问题，一定要本着先整体后局部的基本原则，如果整体符合三角公式的形式，则整体变形，否则进行各局部的变形．(2)一般途径有将非特殊角化为特殊角的和或差的形式，化为正负相消的项并消项求值，化分子、分母形式进行约分，解题时要逆用或变用公式．提醒：在逆用两角的和与差的正弦和余弦公式时，首先要注意结构是否符合公式特点，其次注意角是否满足要求．1．化简求值：(1)sin 50°－sin 20°cos 30°cos 20°；(2)sin(θ＋75°)＋cos(θ＋45°)－3cos(θ＋15°)． [解] (1)原式＝sin (20°＋30°)－sin 20°cos 30°cos 20°＝sin 20°cos 30°＋cos 20°sin 30°－sin 20°cos 30°cos 20°＝cos 20°sin 30°cos 20°＝sin 30°＝12.(2)设α＝θ＋15°，则原式＝sin(α＋60°)＋cos(α＋30°)－3cos α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin α＋32cos α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos α－12sin α－3cos α＝0.给值求值、求角问题【例2】 (1)已知P ，Q 是圆心在坐标原点O 的单位圆上的两点，且分别位于第一象限和第四象限，点P 的横坐标为45，点Q 的横坐标为513，则cos∠POQ ＝________.(2)已知cos α＝55，sin(α－β)＝1010，且α，β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2.求：①cos(2α－β)的值；②β的值．[思路点拨] (1)先由任意角三角函数的定义求∠xOP 和∠xOQ 的正弦、余弦值，再依据∠POQ ＝∠xOP ＋∠xOQ 及两角和的余弦公式求值．(2)先求sin α，cos(α－β)，依据2α－β＝α＋(α－β)求cos(2α－β)．依据β＝α－(α－β)求cos β再求β.(1)5665 [由题意可得，cos∠xOP ＝45， 所以sin∠xOP ＝35.再根据cos∠xOQ ＝513，可得sin∠xOQ ＝－1213，所以cos∠POQ ＝cos(∠xOP ＋∠xOQ )＝cos∠xOP ·cos∠xOQ －sin∠xOP ·sin∠xOQ ＝45×513－35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1213＝5665.] (2)[解] ①因为α，β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以α－β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，又sin(α－β)＝1010＞0，所以0＜α－β＜π2，所以sin α＝1－cos 2α＝255，cos(α－β)＝1－sin 2(α－β)＝31010，cos(2α－β)＝cos[α＋(α－β)]＝cos αcos(α－β)－sin αsin(α－β) ＝55×31010－255×1010＝210. ②cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝55×31010＋255×1010＝22， 又因为β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以β＝π4.给值求值问题的解题策略在解决此类题目时，一定要注意已知角与所求角之间的关系，恰当地运用拆角、拼角技巧，同时分析角之间的关系，利用角的代换化异角为同角，具体做法是：(1)当条件中有两角时，一般把“所求角”表示为已知两角的和或差. (2)当已知角有一个时，可利用诱导公式把所求角转化为已知角.2．已知锐角α，β满足cos α＝255，sin(α－β)＝－35，求sin β的值．[解] 因为α，β是锐角，即0＜α＜π2，0＜β＜π2，所以－π2＜α－β＜π2，因为sin(α－β)＝－35＜0，所以cos(α－β)＝45，因为cos α＝255，所以sin α＝55，所以sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)＝55×45＋255×35＝255. 辅助角公式的应用[探究问题]1．能否将函数y ＝sin x ＋cos x (x ∈R )化为y ＝A sin(x ＋φ)的形式⎝ ⎛⎭⎪⎫|φ|∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2？提示：能．y ＝sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4.2．如何推导a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫tan φ＝b a 公式． 提示：a sin x ＋b cos x＝a 2＋b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫a a 2＋b 2sin x ＋b a 2＋b 2cos x ，令cos φ＝a a 2＋b2，sin φ＝b a 2＋b 2，则a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2(sin x cos φ＋cos x sin φ)＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)(其中φ角所在象限由a ，b 的符号确定，φ角的值由tan φ＝ba确定，或由sin φ＝ba 2＋b2和cos φ＝a a 2＋b 2共同确定)．【例3】 (1)sin π12－3cos π12＝________.(2)已知f (x )＝3sin x －cos x ，求函数f (x )的周期，值域，单调递增区间．[思路点拨] 解答此类问题的关键是巧妙构建公式C (α－β)、C (α＋β)、S (α－β)、S (α＋β)的右侧，逆用公式化成一个角的一种三角函数值．(1)－2 [原式＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin π12－32cos π12.法一：(化正弦)原式＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π3sin π12－sin π3cos π12＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π12cos π3－cos π12sin π3＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫π12－π3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝－ 2. 法二：(化余弦)原式＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π6sin π12－cos π6cos π12＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π6cos π12－sin π6sin π12＝－2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋π12＝－2cos π4＝－ 2.](2)[解] f (x )＝3sin x －cos x＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x ·32－cos x ·12 ＝2⎝⎛⎭⎪⎫sin x cos π6－cos x sin π6 ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6， ∴T ＝2πω＝2π，值域[－2,2]．由－π2＋2k π≤x －π6≤π2＋2k π，得递增区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3＋2k π，2π3＋2k π，k ∈Z .1．若将例3(2)中函数改为f (x )＝－sin x ＋3cos x ，其他条件不变如何解答？ [解] f (x )＝－sin x ＋3cos x ＝232cos x －12sin x ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6，∴T ＝2π，值域为[－2,2]，由－π＋2k π≤x ＋π6≤2k π，得递增区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－7π6＋2k π，－π6＋2k π，k ∈Z .2．若将例3(2)中函数改为f (x )＝m sin x ＋m cos x ，其中m ＞0，其他条件不变，应如何解答？[解] f (x )＝m sin x ＋m cos x ＝2m sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4，∴T ＝2π，值域为[－2m ，2m ]，由－π2＋2k π≤x ＋π4≤π2＋2k π，得递增区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π4＋2k π，π4＋2k π，k ∈Z .辅助角公式及其运用(1)公式形式：公式a sin α＋b cos α＝a 2＋b 2sin (α＋φ)(或a sin α＋b cos α＝a 2＋b2cos (α－φ))将形如a sin α＋b cos α(a ，b 不同时为零)的三角函数式收缩为同一个角的一种三角函数式.(2)形式选择：化为正弦还是余弦，要看具体条件而定，一般要求变形后角α的系数为正，这样更有利于研究函数的性质.提醒：在使用辅助角公式时常因把辅助角求错而致误.1．两角和与差公式可以看成是诱导公式的推广，诱导公式可以看成两角和差公式的特例，例如：sin ⎝⎛⎭⎪⎫3π2－α＝sin 3π2·cos α－cos 3π2sin α＝－cos α.2．使用和差公式时不仅要会正用，还要能够逆用公式，如化简sin βcos(α＋β)－cosβsin(α＋β)时，不要将cos(α＋β)和sin(α＋β)展开，而应采用整体思想，作如下变形：sin βcos(α＋β)－cos βsin(α＋β)＝sin[β－(α＋β)]＝sin(－α)＝－sin α. 3．运用和差公式求值、化简、证明时要注意灵活进行三角变换，有效地沟通条件中的角与问题结论中的角之间的联系，选用恰当的公式快捷求解．1．思考辨析(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的．( ) (2)存在α，β∈R ，使得sin(α－β)＝sin α－sin β成立．( ) (3)对于任意α，β∈R ，sin(α＋β)＝sin α＋sin β都不成立．( ) (4)sin 54°cos 24°－sin 36°sin 24°＝sin 30°.( ) [提示] (1)正确．根据公式的推导过程可得．(2)正确．当α＝45°，β＝0°时，sin(α－β)＝sin α－sin β.(3)错误．当α＝30°，β＝－30°时，sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立． (4)正确．因为sin 54°cos 24°－sin 36°sin 24° ＝sin 54°cos 24°－cos 54°sin 24°＝sin(54°－24°) ＝sin 30°，故原式正确．[答案] (1)√ (2)√ (3)× (4)√ 2．化简2cos x －6sin x 等于( )A ．22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋xB ．22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－xC ．22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x D ．22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋x D [2cos x －6sin x ＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos x －32sin x＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π3cos x －sin π3sin x＝22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋x .] 3．cos βcos(α－β)－sin βsin(α－β)＝________.cos α [cos βcos(α－β)－sin βsin(α－β)＝cos[β＋(α－β)]＝cos α.] 4．已知α，β均为锐角，sin α＝55，cos β＝1010，求α－β. [解] ∵α，β均为锐角，sin α＝55，cos β＝1010， ∴sin β＝31010，cos α＝255.∵sin α<sin β，∴α<β，∴－π2<α－β<0，∴sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β ＝55×1010－255×31010＝－22， ∴α－β＝－π4.。
高中数学第5章三角函数5.5.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式(第1课时)两角差的余弦公式a
连接符号相反
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B [∵sin 14°＝cos 76°，cos 74°
1．sin 14°cos 16°＋sin 76°cos 74°＝sin 16°，
＝( )
∴原式＝cos 76°cos 16°＋sin
→
求cos β＝ cos[α－α－β]
→
求β
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[解] 因为sin(π－α)＝473， 所以sin α＝473.因为0＜α＜π2， 所以cos α＝ 1－sin2α＝17. 因为cos(α－β)＝1134， 且0＜β＜α＜π2，所以0＜α－β＜π2，
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合作探究 提素养
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给角求值问题
【例1】 (1)cos1132π的值为( )
A.
6＋ 4
2
B.
6－ 4
2
C.
2－ 4
6
D．－
6＋ 4
Байду номын сангаас
2 ]
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(2)求下列各式的值： ①cos 75°cos 15°－sin 75°sin 195°； ②sin 46°cos 14°＋sin 44°cos 76°； ③12cos 15°＋ 23sin 15°.
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2．已知α，β均为锐角，且cos α＝255，cos β＝ 1100，求α－β的值． [解] ∵α，β均为锐角， ∴sin α＝ 55，sin β＝31010， ∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β ＝255× 1100＋ 55×31010＝ 22.
第五章 一元函数的导数及其应用(公式、定理、结论图表)--2023年高考数学必背知识手册(新教材)
第五章一元函数的导数及其应用（公式、定理、结论图表）一.导数定义：()f x 在点0x 处的导数记作xx f x x f x f x x y x ∆-∆+='=='→∆)()(lim)(|00000二.导数的几何意义函数()f x 在0x 处导数的几何意义，曲线()y f x =在点()()00,P x f x 处切线的斜率是()0k f x '=。
于是相应的切线方程是：()()000y y f x x x '-=-。
注意两种情况：1.曲线()y f x =在点()()00,P x f x 处切线：性质：()0k f x '=切线。
相应的切线方程是：()()000y y f x x x '-=-2.曲线()y f x =过点()00,P x y 处切线：先设切点，切点为(,)Q a b ,则斜率k='()f a ，切点(,)Q a b 在曲线()y f x =上，切点(,)Q a b 在切线()()00y y f a x x '-=-上，切点(,)Q a b 坐标代入方程得关于a,b 的方程组，解方程组来确定切点，最后求斜率k='()f a ，确定切线方程。
三.常见函数的导数公式:①'0C =；②'1()n n x nx -=；③'(sin )cos x x =；④'(cos )sin x x =-；⑤'()ln x x a a a =；⑥x x e e =')(；⑦'1(log )ln a x x a =；⑧xx 1)(ln '=。
四.导数的四则运算和复合函数的求导法则：（1）[()()]()()f x g x f x g x '''±=±(2))()()()(])()(['+'='x g x f x g x f x g x f （3）2)()()()()()()(x g x g x f x g x f x g x f '-'='⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛（4）'⋅'='x u u f x u f ))((五.导数的应用：1.利用导数判断函数单调性：设函数()y f x =在某个区间内可导，①'()0f x >⇒()f x 该区间内为增函数；②'()0f x <⇒()f x 该区间内为减函数；注意：当'()f x 在某个区间内个别点处为零，在其余点处为正（或负）时，()f x 在这个区间上仍是递增（或递减）的。
Office 2016 办公软件高级应用第5章 Excel 公式和函数的应用
判断是否有一个条件满足
5.2.7 逻辑和文本函数
34
4．使用 LEFT 函数从文本左侧开始截取字符
LEFT 函数用于从一个文本字 符串的第一个字符开始截取指定 个数的字符，其语法结构为 LEFT(text,[num_chars])。其中， text 为必需参数，表示字符串； [num_chars] 为可选参数，表示 要截取的字符个数。
SUBSTITUTE 函数用于对指定的字符串进行替换，如果字符串中有多个相同的字符时， 则可以指定替换第几次出现的字符，类似 Excel 中的查找和替换功能，其语法结构为： SUBSTITUTE(text,old_text,new_text,[instance_nu])。
替 换 字 符
5.2.8 财务函数
2．追踪单元格的引用情况 追踪引用单元格
9
追踪从属单元格
5.1.4 审核公式
10
3．公式错误检查
操作方法：选中返回错误值的单元格，单击【公式】/【公式审核】组中的“错误检查”按钮 ， 打开“错误检查”对话框，在其中将显示出错的单元格以及出错的原因。
5.1.4 审核公式
11
4．查看公式求值过程
在检查公式时，如果公式较复杂，计算步骤较多，可通过 Excel?2016 提供的“公式求值”功 能，按公式的计算顺序逐步查看公式的计算过程，以便快速查看出到底是公式的哪步计算出错。
28
2．使用 HLOOKUP 函数在数组或区域中按列查找数据
HLOOKUP 函数用于在表格或数组的首行查找指定的数值，并返回表格或数组中指定行的同一列的 数值，其语法结构为 HLOOKUP(lookup_value,table_array,row_index_num,[range_lookup])。
新教材高中数学第5章诱导公式第1课时公式二公式三和公式四pptx课件新人教A版必修第一册
− tan sin − cos −
cos π− sin π−
sin 4×360°+ ·cos 3×360°−
(2)原式＝
cos 180°+ · − sin 180°+
．
tan ·sin ·cos
＝
＝－tan
− cos ·sin
α．
sin ·cos −
cos
＝
•
(3)在(2)中，点P，P1的坐标有什么关系？由此你能得到它们的正弦
、余弦、正切之间的关系吗？
• 知识点 公式二～四
名称
终边关系
图示
公式
公
角π＋α与角α
sin (π＋α)＝_______，
－sin α
式
的终边关于
cos (π＋α)＝________，
－cos α
二
____对称
原点
tan (π＋α)＝______
3．tan
sin −3π +cos π−
(5π＋α)＝m，则
sin − −cos π+
+1
A．
−1
√
A
−1
B．
+1
C．－1
的值为(
)
D．1
[∵tan (5π＋α)＝tan α＝m，
sin −3π +cos π−
∴
sin − −cos π+
故选A．]
− sin −cos sin +cos ຫໍສະໝຸດ 1 22 2−
＝－ ，
3
3
2 2
．
3
• ∴sin (105°＋α)＝sin [180°＋(α－75°)]＝－sin (α－75°)＝
高中数学 第5章 三角函数 5.3 诱导公式(第2课时)公式五和公式六课件 a高一第一册数学课件
sin 59°(－tan 31°)
＝－sin(90°－31°)·(－tan 31°)
＝－cos 31°·(－tan 31°)＝sin 31°
＝ 1－cos231°＝ 1－m2.
(2)cosπ6＋α＝cosπ2－π3－α
＝sinπ3－α＝12.]
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1．将例1(2)的条件中的“π3－α”改为“π3＋α”，求cos56π＋α的值． [解] cos56π＋α＝cosπ2＋π3＋α ＝－sinπ3＋α＝－12.
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)
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[思路点拨]
(1)
239°＝180°＋59° 149°＝180°－31°→ 59°＋31°＝90°
选择公式 化简求值
(2) π3－α＋π6＋α＝2π → 选择公式化简求值
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(1)B
1 (2)2
[(1)sin 239°tan 149°＝sin(180°＋59°)·tan(180°－31°)＝－
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2．已知sin 19°55′＝m，则 cos(－70°5′)＝________.
m [cos(－70°5′)＝cos 70°5′ ＝cos(90°－19°55′)
＝sin 19°55′＝m.]
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3．计算：sin211°＋sin279°＝ ________.
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[证明] (1)右边＝－2sin32π1－－θ2s·in－2θsin θ－1 ＝2sinπ＋1－π2－2sθin2sθin θ－1 ＝－2sin1－π2－2sθins2iθn θ－1 ＝co－s2θ2＋cossinθ2sθin－θ2－sin12θ＝ssiinn2θθ＋－ccooss2θθ2
人教版新教材高中数学选择性必修二 第5章 基本初等函数的导数 导数的四则运算法则优质课件
[解] (1)y′＝(x4－3x2－5x＋6)′＝(x4)′－(3x2)′－(5x)′＋6′＝4x3－6x
－5．
(2)法一：y′＝[(x＋1)(x＋2)(x＋3)]′ ＝[(x＋1)(x＋2)]′(x＋3)＋(x＋1)(x＋2)(x＋3)′ ＝[(x＋1)′(x＋2)＋(x＋1)(x＋2)′](x＋3)＋(x＋1)(x＋2) ＝(x＋2＋x＋1)(x＋3)＋(x＋1)(x＋2) ＝(2x＋3)(x＋3)＋x2＋3x＋2 ＝3x2＋12x＋11．
5.2.1 基本初等函数的导数
1
2
3
4
5
5.2.2 导数的四则运算法则 情境导学·探新知 合作探究·释疑难 当堂达标·夯基础 数学阅读·拓视野 课后素养落实
(3)y′＝xx－ ＋11′ ＝x－1′x＋1x＋－1x2－1x＋1′ ＝x＋1x＋－1x2－1＝x＋212．
5.2.1 基本初等函数的导数
5.2.1 基本初等函数的导数
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5.2.2 导数的四则运算法则 情境导学·探新知 合作探究·释疑难 当堂达标·夯基础 数学阅读·拓视野 课后素养落实
1．(1)已知 f (x)＝π33，则 f ′(x)＝________；
(2)已知 f (x)＝ x，则 f [f ′(4)]＝________．
f ′(x)＝1x
5.2.1 基本初等函数的导数
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2
3
4
5
5.2.2 导数的四则运算法则 情境导学·探新知 合作探究·释疑难 当堂达标·夯基础 数学阅读·拓视野 课后素养落实
函数 f (x)＝ln x 与 f (x)＝logax 的求导有什么内在联系？ [提示] f (x)＝ln x 时 f ′(x)＝1x， 而 f (x)＝logax＝llnn ax， ∴f ′(x)＝ln1aln x′＝ln1a×(ln x)′＝xln1 a．
高中数学(人教版)第5章导数和微积分求导法则课件
导数的四则运算
同理可得
1 2 ( cot x ) csc x. 2 sin x
1 cos x sin x (iii) (sec x ) 2 2 cos x cos x cos x
f ( x0 ) 1 . ( y0 ) (6)
证 设 Δx x x0 , Δy y y0 , 则 Δx ( y0＋ Δy ) ( y0 ), Δy f ( x0Δx ) f ( x0 ) .
由假设, f 1 在点 x0 的某邻域内连续,
0
(4)
导数的四则运算
1 证 设 g( x ) ，则 f ( x ) u( x )g( x ). 对 g( x ), 有 v( x ) 1 1 v ( x0 Δ x ) v ( x0 ) g ( x0 Δ x ) g ( x 0 ) Δx Δx v ( x0 Δ x ) v ( x 0 ) 1 . Δx v ( x0 Δ x ) v ( x 0 ) 由于 v ( x ) 在点 x0 可导, v( x0 ) 0, 因此
1
反函数 的导数
π2) 上 (ii) y arctan x 是 x tan y 在 ( π 2，
的反函数，故
1 1 1 (arctan x ) 2 2 sec x 1 tan y (tan y )
1 2, 1 x x ( ,).
同理有
1 (arccot x ) , x ( , ). 2 1 x
sec x tan x.
同理可得
(csc x ) csc x cot x .
第5章定积分第2节牛莱公式
x
1
0
arctan1
4
13
230页8.(1) 用定积分的定义计算极限
lim
n
(
n
1 1 n1 n n2
1 ) n nn
lnim[
1 1
1
n
1 1 2
n
1 ] 1 1 n n n
1
1
1
d x 2 1 x 2 2 2
0 1 x
0
x n 1
)
f ( n )] 1 nn
1 f (x)d x
0
lim
n
(n2
n
12
n2
n
22
n) n2 n2
lnim[ 1
1 (
1
)2
1
1 (
2
)2
1
1 (
n
)2
]
1 n
n
n
n
x
1
xnn0n11
n
11xx2dxn1x1a0rct0an
y y f (x)
b
b
a f (x)d x a f (t)dt
( x)
oa x
是一个常数, 与积分变量的记号无关
x
x
b x是上(x)限 xa的f函( x数)d,与x积a分f变(t)量d t的记号无关
0 T1
t
T2 t
2
二、积分上限的函数及其导数
定理1.若 f ( x) 在[a,b] 上连续, 则变上限函数
x
cos x
[cos
0
cos0] 2
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Excel强大的计算功能主要依 赖于公式和函数，利用公式和函数可 以对表格中的数据进行各种计算和处 理操作，从而提高我们在制作复杂表 格时的工作效率及计算准确率。
本章内容提要
使用公式 公式中的应用设置 公式中的错误和审核 使用函数 数组公式及其应用
5.1 使用公式
公式是工作表中用于对单元格数据进行各 种运算的等式，它必须以等号“=”开头。一个完 整的公式，通常由运算符和操作数组成。运算 符可以是算术运算符、比较运算符、文本运算 符和引用运算符；操作数可以是常量、单元格 地址和函数等。
从编辑栏中可看出： 引用的单元格区域 发生改变
引用单元格区域时，应先输入单元格区域起 始位置的单元格地址，然后输入引用运算符，再 输入单元格区域结束位置的单元格地址。
2．绝对引用
绝对引用指引用单元格的精确地址，与包含公 式的单元格位置无关，其引用形式为在列标和行号 的前面都加上“$”号。则不管将公式复制或移动到 什么位置，引用的单元格地址的行和列都不会改变。
1．移动公式
要移动公式，最简单的方法就是：选中包含 公式的单元格，将鼠标指针移到单元格的边框线 上，当鼠标指针变成十字箭头 形状时，按住 鼠标左键不放，将其拖到目标单元格后释放鼠标 即可。
2．复制公式
在Excel中，复制公式可以使用填充柄，也可 以使用复制、粘贴命令。在复制公式的过程中，一 般情况下，系统会自动地改变公式中引用的单元格 地址。
4．引用运算符
引用运算符可以将单元格区域进行合并计算。
5.1.2 运算符的优先级
若要更改求值 的顺序，可以 将公式中要先 计算的部分用 括号括起来
5.1.3 创建和编辑公式
1．创建公式
对于简单的公式，我们可以直接在单元格中 输入：首先单击需输入公式的单元格，接着输入 =（等号），然后输入公式内容，最后单击编辑 栏上的“输入”按钮 或按【Enter】键结束。
5.3.2 公式审核
1．追踪单元格
追踪引用单元格 Excel可以追踪公式中引用的单元格（即指 明所选单元格中的数据是由哪几个单元格中的数 据通过公式计算得出的），并以箭头的形式标识 引用的单元格。
追踪从属单元格 从属单元格是指使用所选单元格值的单元格， 从属单元格通常包含公式或常数。
2．取消追踪
5.4.1 函数的分类
常用的函数 类型和使用 范例
5.4.2 函数的使用方法
使用函数时，应首先确认已在单元格中输入了 “=”号，即已进入公式编辑状态。接下来可输入 函数名称，再紧跟着一对括号，括号内为一个或多 个参数，参数之间要用逗号来分隔。
1．手工输入函数
单击要输入函数的单元格，然后依次输入等 号、函数名、左括号、具体参数和右括号，最后 单击编辑栏中的“输入”按钮或按【Enter】键， 此时在输入函数的单元格中将显示运算结果。
3．混合引用
引用中既包含绝对引用又包含相对引用的称为 混合引用，如A$1或$A1等，用于表示列变行不变 或列不变行变的引用。 如果公式所在单元格的位置改变，则相对引用 改变，而绝对引用不变。
5.2.2 引用不同工作表间的单元格
在同一工作簿中，不同工作表中的单元格可以 相互引用，它的表示方法为：“工作表名称!单元 格或单元格区域地址”。
2．函数向导输入函数
如果不能确定函数的拼写或参数，可以使用 函数向导输入函数。
5.5 数组公式及其应用
数组公式可以对两组或两组以上的数据（两个或 两个以上的单元格区域）同时进行计算。在数组公式 中使用的数据称为数组参数，数组参数可以是一个区 域数组，也可以是常量数组。
5.5.1 数组公式的建立方法
（4）错误值：＃REF! 含义：删除了被公式引用的单元格范围。 解决办法：恢复被引用的单元格范围，或是重新设定 引用范围。 （5）错误值：＃N/A 含义：无信息可用于所要执行的计算。在建立模型时， 用户可以在单元格中输入#N/A，以表明正在等待数据。 任何引用含有#N/A值的单元格都将返回#N/A。 解决办法：在等待数据的单元格内填上数据。 （6）错误值：＃NUM! 含义：提供了无效的参数给工作表函数，或是公式的 结果太大或太小而无法在工作表中表示。 解决办法：确认函数中使用的参数类型正确。如果是 公式结果太大或太小，就要修改公式。
当我们想将某个单元格中的公式复制到同列 （行）中相邻的单元格时，可以通过拖动“填充柄” 来快速完成。方法是：按住鼠标左键向下（也可以 是上、左或右，据实际情况而定）拖动要复制公式 的单元格右下角的填充柄，到目标位置后释放鼠标 即可。
利用填充柄 复制公式
5.1.5 自动求和功能
当对一行或一列数据进行求和时，首先要在该 行的右侧或该列的下方选定一个空白单元格，然后 单击“常用”工具栏中的自动求和按钮 ，最后按 一下回车键，结果就会出现在所选定的单元格中。
要把数组公式移到另一个位置，需要先选中整 个数组公式所在的区域，然后把整个区域拖放到 目标位置，也可通过“编辑”>“剪切”和“粘贴” 菜单进行。
综合实例——制作工资表
本实例主要练习一下公 式和函数的使用方法。 首先利用数组公计算 “应发工资”和“保险 扣款”（也可利用公式 算）列数据，最后利用 IF函数计算“所得税”。
若要在编辑栏中输入公式，可单击要输入公式的 单元格，然后单击编辑栏，依次在编辑栏中输入等号 “=”，操作数和运算符，输入完毕，按下【Enter】 键或单击编辑栏上的“输入”按钮 。
2．编辑公式
要修改公式，可单击含有公式的单元格，然 后在编辑栏中进行修改，修改完毕按【Enter】 键即可。
5.1.4 移动和复制公式
5.2.3 引用不同工作簿间的单元格
在当前工作表中引用不同工作簿中的单元格的 表示方法为：
5.3 公式中的错误和审核
5.3.1 公式中返回的错误代码含义
（1）错误值：＃＃＃＃ 含义：输入到单元格中的数据太长或单元格公 式所产生的结果太大，使结果在单元格中显示不下， 或是对日期和时间格式的单元格做减法，出现了负 值。 解决办法：增加列的宽度，使结果能够完全显 示。如果是由日期或时间相减产生了负值引起的， 可以改变单元格的格式，比如改为文本格式。
5.5.2 使用数组公式的规则
输入数组公式时，首先选择用来保存计算结果 的单元格区域，如果将产生多个计算结果，必须 选择一个与计算结果所需大小和形状都相同的单 元格区域。
数组公式输入完成后，按下 【Ctrl+Shift+Enter】组合键，这时在编辑栏 中可以看见公式的两边自动加上了花括号，表示 该公式是一个数组公式。 不要自己键入花括号，否则，Excel认为 输入的是一个正文标签。
5．逐步求值
在Excel中，可以使用“公式求值”对话框验 证所选单元格中公式的运算过程，从而找出发生错 误的原因。
单击“求值”按钮，在“求值”编辑框中即可显示带下划线 的表达式结果，并且结果也用下划线显示。多次单击“求值” 按钮，“求值”编辑框中将逐步显示计算结果
6．监视公式
使用Excel 2003的“监视窗口” 工具能 将另一工作表内与编辑内容相关联的数据，开启 成一个可移动的小窗口，若更改现有的工作表内 容，监视窗口中关联的内容也会跟着改正。
具体操作步 骤见视频5-1
打开监视窗口
添加第一个监视点
添加第二个监视点
修改数值后的监视窗口
删除监视点
5.4 使用函数
函数是预先定义好的表达式，它必须包含在 公式中。每个函数都由函数名和参数组成，其中 函数名表示将执行的操作，参数表示函数将作用 的值的单元格地址，通常是一个单元格区域，也 可以是更为复杂的内容。在公式中合理地使用函 数，可以完成如求和、逻辑判断、财务分析等众 多数据处理功能。
4．追踪错误
Excel 2003会自动对输入的公式进行检查， 若发生错误，在单元格的左上角会出现一个绿色 的小三角。此时选中含有错误值的单元格，然后 选择“工具”>“公式审核”>“追踪错误”菜单， 即可标识出产生错误的单元格
若单击含有错误的单元格，会在该单元格左 侧出现 按钮。单击 按钮，会弹出快捷菜单， 提供解决此错误的途径。
5.2 公式中的引用设置
引用的作用是通过标识工作表中的单元格或单 元格区域，来指明公式中所使用的数据的位置。
5.2.1 相对引用、绝对引用和混合引用
1．相对引用
相对引用指的是单元格的相对地址，其引用 形式为直接用列标和行号表示单元格，例如B5， 或用引用运算符表示单元格区域，如B5：D15。 如果公式所在单元格的位置改变，引用也随之改 变。默认情况下，公式使用相对引用。
（2）错误值：＃DIV/0! 含义：试图除以0。这个错误的产生通常有下面几种情 况：除数为0、在公式中除数使用了空单元格或是包含零值 单元格的单元格引用。 解决办法：修改单元格引用，或者在用作除数的单元 格中输入不为零的值。 （3）错误值：＃VALUE! 含义：输入引用文本项的数学公式。如果使用了不正 确的参数或运算符，或者当执行自动更正公式功能时不能 更正公式，都将产生错误信息＃VALUE!。 解决办法：应确认公式或函数所需的运算符或参数正 确，并且公式引用的单元格中包含有效的数值。例如，单 元格C4中有一个数字或逻辑值，而单元格D4包含文本，则 在计算公式=C4＋D4时，系统不能将文本转换为正确的数 据类型，因而返回错误值＃VALUE!。
要取消所有追踪箭头，可选择“工具”>“公式 审核”>“取消所有追踪箭头”菜单或单击“公式审 核”工具栏中的“取消所有追踪箭头”按钮 。
3．显示公式
要显示单元格中的公式，可单击工作表中的 任意单元格，然后选择“工具”>“公式审 核”>“公式审核模式”菜单，单元格中显示计算 的公式。
再次选择该菜单， 可在单元格中显 示计算结果
首先选定用来存放结果的单元格或单元格区域 （如果数组公式将返回一个结果，单击需要输入数组 公式的单元格；如果数组公式将返回多个结果，则要 选定需输入数组公式的单元格区域），然后输入公式， 最后按【Ctrl+Shift+Enter】组合键生成数组公式。