课件直线的方向向量与平面的法向量
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直线的方向向量与平面的法向量
1
前面,我们把
平面向量
推广到
空间向量
向量 渐渐成为重要工具
立体几何问题
(研究的基本对象是点、直线、平面 以及由它们组成的空间图形)
从今天开始,我们将进一步来体会向量这一工 具在立体几何中的应用.
2
为了用向量的方法研究空间的线面位置关系，我
们首先要知道如何用向量来刻画直线和平面的
r 完全确定的.
n
几点注意：
1.法向量一定是非零向量;
A
2.一个平面的所有法向量都
互相平r行;
3.向ur量n 是平面的法向量，向
量m 是与平r面ur平行或在ຫໍສະໝຸດ Baidu面
内，则有 n m 0
4
例直1线在l 的空方间向直向角量坐为标系e 内(A，, B设,C直),线(Al经B 过C 点 0P) (
x0 , y0 ,
uAuDuur1
(1, uuur
0,
1)
uuuur uuur
DB1
AC uuuur
0，所以 uuuur
DB1
AC
,
同理 DB1 uAuuDur1
又因为 AD1 I
AC A uuuur
所 以 DB1 平 面 ACD , 从 而 DB1
是平面 ACD1 的一个法向量.
6
例 3 已知不共线的三点坐标,如何求经过这三点的平
“方向”呢？
1、直线的方向向量
l
r
a
e
直线 l上的非零向量 e 以及与 e共线的非零向量叫做直
线 l的方向向量
3
r 2平面的法向量：如果表示向量 n的有向线段所在
直线垂直于r平面 ，则称r这个向量垂直于平r
面 ,记作 n⊥ ，如果 n⊥ ，那 么 向 量n
叫做平面 的法向量.
r
l
给定一点Ar 和一个向量 n,那么 过点A,以向量 n 为法向量的平面是
，M (x,
z0
y,
)，
z)是
直线l 上任意一点，求x, y, z 满足的关系式。
练习
设a,
b
分别是l1
,
l2
的方向向量，判断
l1, l2
的位置关系
(1) a (2,3,1),b (6,9,3)
(2) a (5,0,2),b (0,4,0)
(3) a (2,1,4),b (6,3,3)
5
面的一个法向量?
比如 ，在 空间 直角坐 标系 中, 已知
A(3, 0, 0), B(0, 4, 0) , C(0, 0, 2) ,试求平面rABC 的一个法
向量.
r n (4, 3, 6)
解:设平面 r uuur r
ABuCuur的一个uuu法r 向量为
n
(uxuu,ry,
z
)
则 n AB ，n AC .∵ AB (3, 4, 0) , AC (3, 0, 2)
例2
在正方体
uuuur
ABCD
A1 B1C1 D1
中，求证：
DB1 是平面 ACD1 的一个法向量.
证：设正方体棱长为 1， uuur uuur uuuur
以 DA, DC, DD1 为单位正交基底，
建立如图所示空间坐标系 D xyz
uuuur
uuur
uDuBuur1 (1,1,1) ， AC (1,1, 0) ，
∴
( (
x, x,
y, y,
z) z)
(3, (3,
4, 0,
0) 2)
0 0
即
3 x 3 x
4y 2z
0 0
r
取 x 4,则 n (4, 3, 6)
∴
y z
3 4 3 2
x x
r ∴ n (4, 3, 6) 是平面 ABC 的一个法向量.
待定系数法求平面的法向量
7
问题:如何求平面的法向量? r
⑴设平面的法向量为 n ( x, y, z)
⑵找出(求出)平面内的两个不共线的向量的
r
r
坐标 a (a1,b1,c1),b (a2,b2,c2 )
⑶根据法向量的定义建立关于 x, y, z 的方程
rr
组
n r
a r
0
n b 0
⑷解方程组,取其中的一个解,即得法向量.
8
例4 在空间直角坐标系内，设平面
平面
的法向量为
e
(
A,
B,
C
),
，M
经过点P(x0 , y0
(x, y, z)是平面
, z0 )，
内任
意一点，求x, y, z满足的关系式。
9
P90 练习1，2
10
1
前面,我们把
平面向量
推广到
空间向量
向量 渐渐成为重要工具
立体几何问题
(研究的基本对象是点、直线、平面 以及由它们组成的空间图形)
从今天开始,我们将进一步来体会向量这一工 具在立体几何中的应用.
2
为了用向量的方法研究空间的线面位置关系，我
们首先要知道如何用向量来刻画直线和平面的
r 完全确定的.
n
几点注意：
1.法向量一定是非零向量;
A
2.一个平面的所有法向量都
互相平r行;
3.向ur量n 是平面的法向量，向
量m 是与平r面ur平行或在ຫໍສະໝຸດ Baidu面
内，则有 n m 0
4
例直1线在l 的空方间向直向角量坐为标系e 内(A，, B设,C直),线(Al经B 过C 点 0P) (
x0 , y0 ,
uAuDuur1
(1, uuur
0,
1)
uuuur uuur
DB1
AC uuuur
0，所以 uuuur
DB1
AC
,
同理 DB1 uAuuDur1
又因为 AD1 I
AC A uuuur
所 以 DB1 平 面 ACD , 从 而 DB1
是平面 ACD1 的一个法向量.
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例 3 已知不共线的三点坐标,如何求经过这三点的平
“方向”呢？
1、直线的方向向量
l
r
a
e
直线 l上的非零向量 e 以及与 e共线的非零向量叫做直
线 l的方向向量
3
r 2平面的法向量：如果表示向量 n的有向线段所在
直线垂直于r平面 ，则称r这个向量垂直于平r
面 ,记作 n⊥ ，如果 n⊥ ，那 么 向 量n
叫做平面 的法向量.
r
l
给定一点Ar 和一个向量 n,那么 过点A,以向量 n 为法向量的平面是
，M (x,
z0
y,
)，
z)是
直线l 上任意一点，求x, y, z 满足的关系式。
练习
设a,
b
分别是l1
,
l2
的方向向量，判断
l1, l2
的位置关系
(1) a (2,3,1),b (6,9,3)
(2) a (5,0,2),b (0,4,0)
(3) a (2,1,4),b (6,3,3)
5
面的一个法向量?
比如 ，在 空间 直角坐 标系 中, 已知
A(3, 0, 0), B(0, 4, 0) , C(0, 0, 2) ,试求平面rABC 的一个法
向量.
r n (4, 3, 6)
解:设平面 r uuur r
ABuCuur的一个uuu法r 向量为
n
(uxuu,ry,
z
)
则 n AB ，n AC .∵ AB (3, 4, 0) , AC (3, 0, 2)
例2
在正方体
uuuur
ABCD
A1 B1C1 D1
中，求证：
DB1 是平面 ACD1 的一个法向量.
证：设正方体棱长为 1， uuur uuur uuuur
以 DA, DC, DD1 为单位正交基底，
建立如图所示空间坐标系 D xyz
uuuur
uuur
uDuBuur1 (1,1,1) ， AC (1,1, 0) ，
∴
( (
x, x,
y, y,
z) z)
(3, (3,
4, 0,
0) 2)
0 0
即
3 x 3 x
4y 2z
0 0
r
取 x 4,则 n (4, 3, 6)
∴
y z
3 4 3 2
x x
r ∴ n (4, 3, 6) 是平面 ABC 的一个法向量.
待定系数法求平面的法向量
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问题:如何求平面的法向量? r
⑴设平面的法向量为 n ( x, y, z)
⑵找出(求出)平面内的两个不共线的向量的
r
r
坐标 a (a1,b1,c1),b (a2,b2,c2 )
⑶根据法向量的定义建立关于 x, y, z 的方程
rr
组
n r
a r
0
n b 0
⑷解方程组,取其中的一个解,即得法向量.
8
例4 在空间直角坐标系内，设平面
平面
的法向量为
e
(
A,
B,
C
),
，M
经过点P(x0 , y0
(x, y, z)是平面
, z0 )，
内任
意一点，求x, y, z满足的关系式。
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P90 练习1，2
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