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奥数周期问题(可编辑修改word版)
六年级数学讲义周期问题一、教学衔接上次作业检查及讲解二、教学内容（一）知识介绍周期问题是指事物在运动变化的发展过程中，某些特征循环往复出现，其连续两次出现所经过的时间叫做周期。
在数学上，不仅有专门研究周期现象的分支，而且平时解题时也常常碰到与周期现象有关的问题。
这些数学问题只要我们发展某种周期现象，并充分加以利用，把要求的问题和某一周期的等式相对应，就能找到解题关键。
（二）例题精讲例题 1：2001 年 10 月 1 日是星期一，问 10 月 25 日是星期几？分析：我们知道，每个星期有 7 天，也就是说以 7 天为一个周期不断地重复。
那么从 10 月1 日到10 月25日经过了 25—1=24（天）。
因此用除法算式解答。
解：（1）、从 10 月1 日到10 月25 日有：25—1=24（天）（2）、24 天里有多少个星期余多少天？24÷7=3（个星期）……3（天）（说明 24 天中包含 3 个星期还多 3 天，最后一天起，再过 3 天就应是星期四）答：10 月25 日是星期四。
巩固练习：1、2001 年5 月3 日是星期四，问 5 月20 日是星期几？2、2008 年8 月1 日是星期三，问 8 月28 日是星期几？例题 2：100 个 3 相乘，积的个位数字是几？分析：我们只需考虑积的个位数的排列规律就可以了。
解：（1）、1×3=3……1个3 相乘积的个位数字是：3（2）、3×3=9……2个3 相乘积的个位数字是：9（3）、3×3×3=27……3个3 相乘积的个位数字是：7（4）、3×3×3×3=81……4个3 相乘积的个位数字是：1（5）、3×3×3×3×3=243……5个3 相乘积的个位数字是：3（已经重复出现）（说明：可以发现积的个位数分别以 3、9、7、1 不断出重复出现的。
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周期问题1、把3化循小数，小数点后第2017 个数字是几？2017 个数字的和是7多少？2、将 85 个球放入一次排列的 29 个盒子中。
如果任意相的 4 个盒子中的小球数 12，且第一个盒子中有 3 个小球，求第 29 个盒子中有多少个小球？3、2017 位同学排成一排，从前往后按下面的律数：如果某名同学的是一位数，那么后面的同学就要出个数与 9 的和；如果某名同学的是两位数，那么后面的同学就要出个数的个位数与 6 的和。
在第一位同学 1，那么最后一名同学的数是几？4、A、B、 C、D 四个盒子中依次放着 10、9、8、7 个球。
第一位小朋友找到放球最少的盒子，从其它盒子中依次取一个球放入个盒子中；第二个小朋友接着找到放球最少的盒子，从其它盒子中依次取一个球放入个盒子中；第三个小朋友接着同做下去⋯⋯当第 64 个小朋友放完球后，： B 盒中放有多少个球？5、7 2017表示 2017 个 7 乘，求个乘的末尾数是多少？6、明： 3 2016 +42017是 5 的倍数？7、如下表所示，上、下两行于同一列中的字作一。
如第一是（数，我），第二是（学，）⋯⋯那么，第2017 是（）数学是思的体操数学是思的体操数学⋯⋯ 我参加希望杯我参加希望杯⋯⋯8、接着数字 1、9、8、9 后面写一串数字，写下的每个数字都是它前面两个数字乘的个位数。
例如： 8× 9=72，在 9 的后面写 2，又接着 9×2=18，在 2 的后面写8⋯⋯得到一列数字： 1，9， 8，9，2，8，6，⋯⋯：串数字从 1 开始往右写，第 2017 个数字是什么？9、在数列1，2，3，⋯⋯2012中，共有多少个最分数？678201710、如所示是一个三角形数，分求出每一行的和可以得到 2017 个数，其中偶数有多少个？112123123412345⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯123⋯⋯20152016123⋯⋯⋯⋯⋯⋯2016201711、有一列数： 2、7、4、8、2、6、⋯⋯从第 3 个数开始，每个数都是它前面两个数乘的个位数，在列数中取的 2017 个数，使得 2017 个数的乘最大。
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周期问题一、知要点周期是指事物在运化的展程中，某些特点循往来出，其两次出所的叫做周期。
在数学上，不有研究周期象的分支，而且平解也常常遇到与周期象有关的。
些数学只要我展某种周期象，并充足加以利用，把要求的和某一周期的等式相，就能找到解关。
二、精精【例 1】流水上生小木球涂色的次序是：先 5 个，再 4 个黄，再 3 个，再 2 个黑，再 1 个白，尔后又依次 5 、 4 黄、 3 、2 黑、 1 白⋯⋯这样涂下去，到 2001 个小球涂什么色？【思路航】依照意可知，小木球涂色的次序是 5 、 4 黄、 3 、 2 黑、 1 白，即5＋4＋3＋2＋1=15 个球一个周期，不断循。
因 2001÷15=133⋯⋯ 6，也就是 133 个周期余 6 个，每个周期中第 6 个是黄的，因此第 2001 个球涂黄色。
1：1. 跑道上的彩旗按“三面、两面、一面黄”的律插下去，第50 面插什么色？2. 有一串珠子，按 4 个的， 3 个白的， 2 个黑的序重复排列，第160 个是什么色？⋯⋯，小数点后边第100 个数字是多少？- 1 -【例 2】有 47 灯，按二灯、四灯、三黄灯的序排列着。
最后一灯是什么色的？三种色的灯各占数的几分之几？【思路航】（ 1）我把二灯、四灯、三黄灯 9 灯看作一， 47÷ 9=5 （）⋯⋯ 2（），余下的两是第 6 的前两灯，是灯，因此最后一灯是灯；（2）由于 47÷ 9=5（）⋯⋯ 2（），因此灯共有 2×5＋2=12（），占数的 12/47 ；灯共有4×5=20（），占数的 20/47 ；黄灯共有 3×5=15（），占数的 15/47 。
2：1.有 68 面彩旗，按二面的、一面的、三面黄的排列着，些彩旗中，旗占黄旗的几分之几？2.黑珠和白珠共 2000 ，按律排列着：○●○○○●○○○●○○⋯⋯，第2000珠子是什么色的？其中，黑珠共有多少？3.在 100 米的跑道两每隔 2 米站着一个同学。
五年级数学奥数题周期问题练习题带答案
1、1÷7=0.142857142857......小数点后面第100位是多少？
答案：100÷6=16（组）......4（个）
答：小数点后面第100位是8。
2、0.53728937289......间，小数点后面第2000位上的数字是多少? 前2000位上的数字之和是多少?
答案：（2000－1）÷5=399（组）......4（个）
3＋7＋2＋8＋9=29
29×399＋3＋7＋2＋8＋5=11596
答：小数点后面第2000位上的数字是8，前2000位上的数字之和是11596。
3、请同学们伸出左手，如下图所示那样，从大拇指开始依次数数字，.. 问数到2014时，你数在哪个手指上?
答案：2014÷8=251（组）......6（个）
答：无名指。
4、如下图所示，每列上、下一个字和一一个字母组成一一组，例如:
第一组是(我、A)，第二组是(们、B)，那么第62组是什么?
我们爱科学我们爱科学...
A B C D E F G A B C ...
如下图所示，每列上、下一个字和一一个字母组成一一组，例如:第一组是(我、A)，第二组是(们、B)，那么第62组是什么?
答案：62÷5=12（组）......2（个）们
62÷7=8（组）......6（个） F
答：第62个数是“们、F”。
5、7×7×7×......×7积的个位数字是几？
202个7
答案：202÷4=50（组）……2（个）
答：积的个位数字是9。
五年级奥数题及答案：周期问题
以下是为⼤家整理的关于五年级奥数题及答案:周期问题的⽂章，希望⼤家能够喜欢！
2009年1⽉1⽇是星期四，那么，2010年1⽉1⽇是星期⼏?
答案与解析：⼀个星期是7天，因此7天为⼀个周期。
1⽉1⽇是星期⼀，是第⼀个周期的第⼀天，再过7天即1⽉8⽇也是星期⼀。
计算天数时为了⽅便，我们采⽤“算尾不算头”的⽅法，例如1⽉8⽇就⽤(8-1)\7=1，没有余数说明8号仍是星期⼀。
题中说从2009年1⽉1⽇到2010年1⽉1⽇，要经过365天，365\7=52(星期)......1(天)，这说明365天中包括52个星期还多1天，所以从1⽉1⽇开始过52个星期，最后⼀天还是星期四，从这最后⼀天起再过1天就应是星期五。
解：从2009年1⽉1⽇到2010年1⽉1⽇，要经过365天
365\7=52(星期)......1(天)
答：2010年1⽉1⽇是星期五。
小学五年级奥数周期问题及答案
小学五年级奥数周期问题及答案例1：有249朵花，按5朵红花，9朵黄花，13朵绿花地顺序轮流排列，最后一朵是什么颜色地花？这249朵花中，红花、黄花、绿花各有多少朵？249÷（5＋9＋13）＝9（组）……6（朵）这六朵花，前5朵是红花，最后1朵应是黄花。
红花：5×9＋5＝50（朵）黄花：9×9＋1＝82（朵）绿花：13×9＝117（朵）答：最后一朵是黄花。
这249朵花中，红花有50朵，黄花有82朵，绿花有117朵。
模拟练习：1、有红、白、黑三种纸牌共158张，按5张红色，3张白色，4张黑色的顺序排列下去，最后一张是什么颜色？第140张是什么颜色？158÷（5+3+4）=13（组）......2（张）140÷（5+3+4）=11（组）......8（张）答：最后一张是红色。
第140张是白色。
2、有47盏彩灯，按二盏红灯、四盏蓝灯、三盏黄灯地顺序排列着。
最后一盏灯是什么颜色？三种颜色地灯各占总数地几分之几？47÷（2+4+3）=5（组）......2（盏）红灯有2×5+2=12（盏）蓝灯有4×5=20（盏）黄灯有3×5=15（盏）答：最后一盏是红灯。
红灯占总数的12/47，蓝灯占总数的20/47；黄灯占总数的15/47。
例2：2002年元旦是星期二，那么，2003年1月1日是星期几？2002年是平年，365+1=366（天）366÷7=52（周）......2（天）答：每个周期的第一天是星期二，所以，2003年1月1日就是星期三。
模拟练习：1、2008年8月8日是星期五，那么，2008年10月8日星期几？24+30+8=62（天）62÷7=8（周）......6（天）答：2008年10月8日星期三。
2、2001年10月1日是星期一，那么，2002年1月1日是星期几？31+30+31+1=93（天）93÷7＝13（周）……2（天）答：2002年1月1日是星期二。
五年级奥数之周期问题
周期问题1，流水线上生产小木球涂色的次序是：先5个红，再4个黄，再3个绿，再2个黑，再1个白，然后又依次5红、4黄、3绿、2黑、1白……如此涂下去，到2001个小球该涂什么颜色？2，跑道上的彩旗按“三面红、两面绿、一面黄”的规律插下去，第50面该插什么颜色？3，有一串珠子，按4个红的，3个白的，2个黑的顺序重复排列，第160个是什么颜色？4，1/7=0.142857142857……，小数点后面第100个数字是多少？5，有47盏灯，按二盏红灯、四盏蓝灯、三盏黄灯的顺序排列着。
最后一盏灯是什么颜色的？三种颜色的灯各占总数的几分之几？6，有68面彩旗，按二面红的、一面绿的、三面黄的排列着，这些彩旗中，红旗占黄旗的几分之几？7，黑珠和白珠共2000颗，按规律排列着：○●○○○●○○○●○○……，第2000颗珠子是什么颜色的？其中，黑珠共有多少颗？8，在100米长的跑道两侧每隔2米站着一个同学。
这些同学以一端开始，按先两个女生，再一个男生的规律站立着。
这些同学中共有多少个女生？9，2001年10月1日是星期一，那么，2002年1月1日是星期几？10，2002年1月1日是星期二，2002年的六月一日是星期几？11，如果今天是星期五，再过80天是星期几？12，以今天为标准，算一算今年自己的生日是星期几？13，将奇数如下图排列，各列分别用A、B、C、D、E为代表，问：2001所在的列以哪个字母为代表？A B C D E135715131191719212331292725……………………14，将偶数2、4、6、8、……按下图依次排列，2014出现在哪一列？A B C D E8642101214162422201826283032……………………15，把自然数按下列规律排列，865排在哪一列？A B C D123654789121110………………16，上表中，将每列上下两个字组成一组，如第一组为（小热），第二组为（学爱）。
五年级奥数题：周期性问题(A)
五年级奥数题：周期性问题(A)1.某年的二月份有五个星期日，这年六月一日是星期几。
2.1989年12月5日是星期二，那么再过十年的12月5日是星期几。
3.按下面摆法摆80个三角形，有多少个白色的。
4.节日的校园内挂起了一盏盏小电灯，小明看出每两个白灯之间有红、黄、绿各一盏彩灯。
也就是说，从第一盏白灯起，每一盏白灯后面都紧接着有3盏彩灯。
小明想知道第73盏灯是什么灯。
5.时针现在表示的时间是14时正，那么分针旋转1991周后，时针表示的时间是几点。
6.把自然数1,2,3,4,5……如表依次排列成5列，那么数“1992”在第几列。
第一列。
第二列。
第三列。
第四列。
第五列。
1.10.…7.把分数2/9，11/18，3/8，12/17，4/7，13/16，5/6，14/15，4/5化成小数后，小数点第110位上的数字是什么。
8.循环小数0.xxxxxxxx7与0.3(1)这两个循环小数在小数点后第几位首次同时出现在该位中的数字都是7.9.一串数：1,9,9,1,4,1,4,1,9,9,1,4,1,4,1,9,9,1,4，共有1991个数。
(1)其中共有多少个1，多少个9，多少个4；(2)这些数字的总和是多少。
11.紧接着1989后面一串数字，写下的每个数字都是它前面两个数字的乘积的个位数。
例如8×9=72，在9后面写2，9×2=18，在2后面写8，……得到一串数字：1 9 8 9 2 8 6……这串数字从1开始往右数，第1989个数字是什么？12.1991个1990相乘所得的积与1990个1991相乘所得的积，再相加的和末两位数是多少？13.设n=2×2×2×……×2，那么n的末两位数字是多少？14.在一根长100厘米的木棍上，自左至右每隔6厘米染一个红点，同时自右至左每隔5厘米也染一个红点，然后沿红点处将木棍逐段锯开，那么长度是1厘米的短木棍有多少根？每一组数表包含一个奇数排和一个偶数排，且每个奇数排都是从小到大排列，每个偶数排都是从大到小排列。
五年级奥数：周期问题
五年级奥数：周期问题专题简析：在日常生活中，有一些现象按照一定的规律不断重复出现，例如，人的生肖、每周的七天等等。
我们把这种特殊的规律性问题称为周期问题。
解答周期问题的关键是找规律，找出周期。
确定周期后，用总量除以周期，如果正好有整数个周期，结果为周期里的最后一个；如果比整数个周期多n个，那么为下个周期里的第n个；如果不是从第一个开始循环，可以从总量里减掉不是特球的个数后，再继续算。
例1：你能找出下面每组图形的排列规律吗？根据发现的规律，算出每组第20个图形分别是什么。
（1）□△□△□△□△……（2）□△△□△△□△△……分析与解答：第（1）题排列规律是“□△”两个图形重复出现，20÷2=10，即“□△”重复出现10次，所以第20个图形是△。
第（2）题的排列规律是“□△△”三个图形重复出现，20÷3=6…2，即“□△△”重复出现6次后又出现了两个图形“□△”，所以第20个图形是△。
例2：有一列数，按5、6、2、4、5、6、2、4…排列。
（1）第129个数是多少？（2）这129个数相加的和是多少？分析与解答：（1）从排列可以看出，这组数是按“5、6、4、2”一个循环依次重复出现进行排列，那么一个循环就是4个数，则129÷4=32…1，可知有32个“5、6、4、2”还剩一个。
所以第129个数是5。
（2）每组四个数之和是5+6+4+2=17，所以，这129个数相加的和是17×32＋5=549。
例3：假设所有的自然数排列起来，如下所示39应该排在哪个字母下面？88应该排在哪个字母下面？A B C D1 2 3 45 6 7 89…分析与解答：从排列情况可以知道，这些自然数是按从小到大4个数一个循环，我们可以根据这些数除以4所得的余数来分析。
39÷4=9…3 88÷4=22所以，39应排在第10个循环的第三个字母C下面，88应排在第22个循环的第四个字母D下面。
【精品】五年级奥数分册第11周 周期问题
第11周周期问题专题简析：周期问题是指事物在运动变化的发展过程中，某些特征循环往复出现，其连续两次出现所经过的时间叫做周期。
在数学上，不仅有专门研究周期现象的分支，而且平时解题时也常常碰到与周期现象有关的问题。
这些数学问题只要我们发展某种周期现象，并充分加以利用，把要求的问题和某一周期的等式相对应，就能找到解题关键。
例题1 流水线上生产小木球涂色的次序是：先5个红，再4个黄，再3个绿，再2个黑，再1个白，然后又依次5红、4黄、3绿、2黑、1白……如此涂下去，到2001个小球该涂什么颜色？分析根据题意可知，小木球涂色的次序是5红、4黄、3绿、2黑、1白，即5＋4＋3＋2＋1=15个球为一个周期，不断循环。
因为2001÷15=133……6，也就是经过133个周期还余6个，每个周期中第6个是黄的，所以第2001个球涂黄色。
练习一1，跑道上的彩旗按“三面红、两面绿、一面黄”的规律插下去，第50面该插什么颜色？2，有一串珠子，按4个红的，3个白的，2个黑的顺序重复排列，第160个是什么颜色？3，1/7=0.142857142857……，小数点后面第100个数字是多少？例题2 有47盏灯，按二盏红灯、四盏蓝灯、三盏黄灯的顺序排列着。
最后一盏灯是什么颜色的？三种颜色的灯各占总数的几分之几？分析（1）我们把二盏红灯、四盏蓝灯、三盏黄灯这9盏灯看作一组，47÷9=5（组）……2（盏），余下的两盏是第6组的前两盏灯，是红灯，所以最后一盏灯是红灯；（2）由于47÷9=5（组）……2（盏），所以红灯共有2×5＋2=12（盏），占总数的1247；蓝灯共有4×5=20（盏），占总数的2047；黄灯共有3×5=15（盏），占总数的1547。
练习二1，有68面彩旗，按二面红的、一面绿的、三面黄的排列着，这些彩旗中，红旗占黄旗的几分之几？2，黑珠和白珠共2000颗，按规律排列着：○●○○○●○○○●○○……，第2000颗珠子是什么颜色的？其中，黑珠共有多少颗？3，在100米长的跑道两侧每隔2米站着一个同学。
(完整版)小学五年级奥数周期问题
第三讲 周期问题知识要点：周期问题是指事物在运动变化的发展过程中，某些特征循环往复地出现，其连续两次出现所经过的时间叫做周期。
例1、有249朵花，按5朵红花，9朵黄花，13朵绿化的顺序轮流排列，最后一朵是什么颜色的花？这249朵花中，红花、黄花、绿花各有多少朵？分析：这些花按5红、9黄、13绿的顺序轮流排列，即5＋9＋13=27（朵）花为一周期，不断循环。
练习、71＝0.142857142857…小数点后面第100个数字是多少？例2、下面是一个11位数，每3个相邻数字之和都是17，你知道“？”表示的数字是几吗？分析：因为每相邻的3个数字之和为17，从左数起第一位数字与第二、三位数字之和为17，第二、三位数字与第四位数字之和也是17，所以第四位数字是8。
这样，就找到一条规律：从左向右每3位一循环，每隔两位必出现一个相同的数字。
练习、下面是一个8位数，每3个相邻数字之和都是14，你知道问号表示的数例3、2012年6月1日是星期五，问9月1日是星期几？分析：一个星期有7天，因此7天为一个周期。
2013年1月1日是星期二，2013年的6月1日是星期几？例4、将奇数如下图所示排列，各列分别用A、B、C、D、E作为代表，问2001所在的列以哪个字母作为代表？A B C D E1 3 5 715 13 11 917 19 21 2331 29 27 25……………………分析：这些数按每8个数一组有规律地排列着（两行一组）。
2001是这些数中的第1001个数。
练习、将偶数2,4,6,8,…按下图依次排列，2014出现在哪一列？A B C D E8 6 4 210 12 14 1624 22 20 1826 28 30 32……………………例5、888…8÷7，当商是整数时，余数是几？100个8练习、444…4÷3，当商是整数时，余数是几？100个41、有47盏彩灯，按2盏红灯、4盏蓝灯、3盏黄灯的顺序排列着。
小学五年级数学 奥数 第11讲 周期问题
小学五年级数学奥数第11讲周期问题一、知识要点周期问题是指事物在运动变化的发展过程中，某些特征循环往复出现，其连续两次出现所经过的时间叫做周期。
在数学上，不仅有专门研究周期现象的分支，而且平时解题时也常常碰到与周期现象有关的问题。
这些数学问题只要我们发展某种周期现象，并充分加以利用，把要求的问题和某一周期的等式相对应，就能找到解题关键。
二、精讲精练【例题1】流水线上生产小木球涂色的次序是：先5个红，再4个黄，再3个绿，再2个黑，再1个白，然后又依次5红、4黄、3绿、2黑、1白……如此涂下去，到2001个小球该涂什么颜色？练习1：1.跑道上的彩旗按“三面红、两面绿、一面黄”的规律插下去，第50面该插什么颜色？2.有一串珠子，按4个红的，3个白的，2个黑的顺序重复排列，第160个是什么颜色？3.1/7=0.142857142857……，小数点后面第100个数字是多少？【例题2】有47盏灯，按二盏红灯、四盏蓝灯、三盏黄灯的顺序排列着。
最后一盏灯是什么颜色的？三种颜色的灯各占总数的几分之几？练习2：1.有68面彩旗，按二面红的、一面绿的、三面黄的排列着，这些彩旗中，红旗占黄旗的几分之几？2.黑珠和白珠共2000颗，按规律排列着：○●○○○●○○○●○○……，第2000颗珠子是什么颜色的？其中，黑珠共有多少颗？3.在100米长的跑道两侧每隔2米站着一个同学。
这些同学以一端开始，按先两个女生，再一个男生的规律站立着。
这些同学中共有多少个女生？【例题3】 2001年10月1日是星期一，那么，2002年1月1日是星期几？练习3：1.2002年1月1日是星期二，2002年的六月一日是星期几？2.如果今天是星期五，再过80天是星期几？3.以今天为标准，算一算今年自己的生日是星期几？【例题4】将奇数如下图排列，各列分别用A、B、C、D、E为代表，问：2001所在的列以哪个字母为代表？A B C D E1 3 5 715 13 11 917 19 21 2331 29 27 25……………………练习4：1.将偶数2、4、6、8、……按下图依次排列，2014出现在哪一列？2.把自然数按下列规律排列，865排在哪一列？3.上表中，将每列上下两个字组成一组，如第一组为（小热），第二组为（学爱）。
五年级奥数专题 简单的周期问题(学生版)
简单的周期问题学生姓名授课日期教师姓名授课时长知识定位在日常生活中,有一些按照一定的规律不断重复出现的现象。
如：人调查十二生肖、一年有春夏秋冬四个季节、一个星期有七天等。
像这样日常生活中常碰到的有一定周期的问题,我们称为简单周期问题。
这类问题一般要利用余数的知识来解决。
在研究这些简单周期问题时,我们首先要仔细审题,判断其不断重复出现的规律,也就是找出循环的固定数,然后利用除法算式求出余数,最后根据余数得出正确的结果。
重点难点：理解带余数的除法的意义考点：1．简单的周期问题2．钟面上的周期问题3．找规律的周期问题4．双重周期问题知识梳理基础知识：带余数的除法复习：㈠除法含义20÷51．把20平均分成5份,每份是多少？2．20里面有几个5？㈡带余数的除法计算会除法竖式！例题精讲【试题来源】【题目】有一列数：312312312…,问第20个数是多少？这20个数的和是多少？【试题来源】【题目】如图,有一个11位数,它的每3个相邻数字之和都是20。
问标有*的那个数位上的数字应是几？【试题来源】【题目】请在下图中每个方格中填一个数,使横行任意三个相邻方格内的数字之和都是15,竖列任意三个相邻方格内的数字之和都是18。
【试题来源】【题目】下面的表格中,每一列的两个数组成一组,如第一组是由“甲A”组成,第二组是由“乙B”组成……问：第十七组是由哪两个字组成？【试题来源】【题目】在下面一串数中,从第五个起,每个数都是它前面四个数之和的个位数字.那么这串数中,能否出现相邻的四个数依次是2,0,0,0,1,9,9,9,8,5,1,3,7,6,7,3,3,9,2,7,1,9,9,6.……【试题来源】【题目】我和摩比、教授、大宽三人玩扑克牌,轮流每人摸一张牌,我把“大王”插在54张扑克牌中间,从上面数下去是第37张牌,教授想了想,就很有把握地第一个抓起扑克牌来,最后终于抓到了“大王”,你知道教授是怎么算出来的吗？【试题来源】【题目】钟面上共有1到12这12个数,金儿从其中一个数开始数,按顺时针方向数数,数到50下,停下,正好停在6的位置,那么他是从哪一个数开始数的？习题演练【试题来源】【题目】请问小朋友们,第20个,第33个应该是哪种小动物?【试题来源】【题目】为了庆祝儿童节,学校在操场边摆上鲜花,这些花是按3盆大红、2盆金黄、2盆粉红的顺序摆放的,请问第26盆、35盆、45盆分别是什么颜色的？【试题来源】【题目】露露排列图形符号,按1个◆、两个★、两个▲的顺序排列,一共排了47个符号,问★一共有多少个？【试题来源】【题目】园林工人在公园的小路边种树,他们按2棵榕树、3棵椰树、1棵松树的顺序来种,一共种了有50棵树,那么榕树、椰树、松树各种了几棵？【试题来源】【题目】2,3,1,2,3,1,2,3,1…问题：28个数的和是多少？【试题来源】【题目】2012年6月1日儿童节是星期五。
(完整word版)用等效法研究单摆的周期问题
用等效法研究单摆的周期问题单摆的周期公式为学生所熟知，若将单摆置于不同的环境中再来研究其周期问题，往往令学生感到茫然，若用等效方法研究单摆，可使学生对其认识深刻，化难为易。
一、求等效摆长所谓摆长意味着悬点到球心间的距离，同学们对下图中各摆等效摆长一看便知，迅速可得周期公式，分别为（注：摆球可看作质点）：，若等效摆长不易一眼看出，则应从数学角度计算。
图1 图2 图3例1. 由长度依次为L和2L的AC和BC两根细绳悬挂小球C，如图4所示，每根细绳跟竖直方向的夹角均为30°，当该小球向纸内外做微小摆动时，其摆动周期为___________。
图4简析：本题是一个双线摆问题，解决其周期，首先得确定其等效摆长，连接AB，然后过摆球C作竖直线交直线AB于O点，则OC为该摆的等效摆长，如图5所示，L”，故周期：图5二、求等效重力加速度原始的单摆模型在振动过程中回复力来源于重力的分量，要研究升降机中单摆的周期问题，必须从研究回复力着手，求出其等效重力，再求等效重力加速度g”，则。
例2. 在升降机中挂着一单摆，摆长为L，当升降机以加速度a匀加速上升的过程中，求单摆的振动周期T。
简析：单摆在摆动过程中，受重力和绳的张力F的作用，当升降机匀加速上升时，单摆一方面绕悬点振动，另一方面沿竖直方向作匀加速直线运动。
根据力的作用效果，将F分为三个力，如图6所示，在竖直方向上，F3与G的合力产生向上的加速度a，切线方向的F1使单摆返回“平衡”位置，产生切向加速度，F2沿摆线方向产生做圆周运动所需的向心加速度。
图6因为。
又因为F⊥F1，所以：当很小时，。
故单摆在加速上升的升降机中所受回复力与位移成正比，且方向相反，得。
单摆在升降机中摆动周期为：显然，我们称之为等效重力加速度，同理，若升降机以加速度a 匀加速下降，则：。
可见在升降机中加速上升（或加速下降），可以等效为重力加速度发生变化，只要求出等效重力加速度，则单摆的周期问题迎刃而解，现列举另外几种常见情形：（1）在水平加速运动的车厢内如图7所示，若将单摆悬挂于水平加速向左运动的车厢内，其平衡位置由O 变到了O”，等效重力加速度为，则振动周期为。
五年级奥数找规律、周期性问题.docx
找规律、周期性问题一、填空题1.某年的二月份有五个星期日， 年六月一日是星期 _____.2. 1989 年 12 月 5 日是星期二 , 那么再 十年的 12 月 5 日是星期 _____.3. 按下面 法 80 个三角形 , 有_____个白色的 .⋯⋯4． 日的校园内挂起了一 小 灯， 小明看出每两个白灯之 有 、 黄、 各一 彩灯 . 也就是 , 从第一 白灯起 , 每一 白灯后面都 接着有 3 彩灯 , 小明想第 73 灯是 _____灯.5. 在表示的 是 14 正 , 那么分 旋 1991 周后 , 表示的 是 _____.6. 把自然数 1,2,3,4,5 ⋯⋯如表依次排列成 5 列，那么数“ 1992”在 ___列.第一列第二列第三列第四列第五列12 3 4 59 8 7 6 1011 12 13 1418 17 16 15 ⋯⋯⋯ ⋯ ⋯⋯⋯⋯⋯7. 把分数 4化成小数后，小数点第 110 位上的数字是 _____.78. 循 小数 0.1992517 与 0.34567 . 两个循 小数在小数点后第 _____位,首次同 出 在 位中的数字都是 7.9. 一串数 : 1,9,9,1,4,1, 4,1,9,9,1,4,1,4,1,9,9,1,4,⋯⋯共有 1991 个 数 .(1) 其中共有 _____个 1,_____ 个 9_____个 4；(2) 些数字的 和是 _____.10. 7 7 7 ⋯⋯ 7 所得 末位数是 _____.50 个二、解答题11. 接着 1989 后面一串数字， 写下的每个数字都是它前面两个数字的乘 的个位数 . 例如 8 9=72, 在 9 后面写 2,9 2=18, 在 2 后面写 8, ⋯⋯得到一串数字 :1 9 8 9 2 8 6⋯⋯ 串数字从 1 开始往右数，第 1989个数字是什么？12. 1991 个 1990 相乘所得的 与 1990 个 1991 相乘所得的 ，再相加的和末两位数是多少？13. n=2 2 2 ⋯⋯ 2，那么 n 的末两位数字是多少？1991 个14．在一根 100 厘米的木棍上，自左至右每隔 6 厘米染一个 点，同 自右至左每隔 5 厘米也染一个 点， 然后沿 点 将木棍逐段 开， 那么 度是1 厘米的短木棍有多少根？———————————————答案——————————————————————1.二因 7 4=28，由某年二月份有五个星期日，所以年二月份是29天，且 2 月 1 日与 2月 29 日均星期日， 3 月 1 日是星期一，所以从年 3 月1 日起到年 6 月 1日共了31+30+31+1=93(天).因 93 7=13⋯2，所以年 6 月 1 日是星期二 .2．日依意知，十年中1992 年、 1996 年都是年，因此，十年之中共有365 10+2=3652（天）因（ 3652+1）7=521⋯6，所以再十年的12 月 5 日是星期日 .[ 注 ] 上述两题 ( 题 1—题 2) 都是推断若干天、若干月或若干年后某一天为星期几，解答这类问题主要依据每周为七天循环的规律，运用周期性解答. 在计算天数时一闰，整百不闰，四百年才又一闰”的规定，即公历年份不是整百数时，只要是是闰年，公历年数为整百数时，必须是400 的倍数才是闰年., 要根据“四年4 的倍数就3. 39从中可以看出 , 三角形按“二黑二白一黑一白”的律重复排列，也就是一排列的周期 6，并且每一周期有 3 个白色三角形 .因 80 6=13⋯ 2，而第十四期中前两个三角形都是黑色的，所以共有白色三角形13 3=39（个） .4.白依意知 , 灯的安装排列如下 :白, , 黄 , , 白 , , 黄, , 白, ⋯⋯一排列是按“白，，黄，”交替循出的，也就是一排列的周期 4.由 73 4=18⋯1, 可知第 73 灯是白灯 .5. 13.分旋一周 1 小 , 旋 1991 周 1991 小 . 一天 24 小,1991 24=82⋯ 23，1991 小共 82 天又 23 小 . 在是 14 正 , 82 天仍然是 14 正 , 再 23 小 , 正好是 13 .[ 注 ] 在圆面上 , 沿着圆周把 1 到 12 的整数等距排成一个圈, 再加上一根长针和一根短针,就组成了我们天天见到的钟面 . 钟面虽然是那么的简单平常 , 但在钟面上却包含着十分有趣的数学问题 , 周期现象就是其中的一个重要方面 .6.3仔察中数表 .1 2 3 45(奇数排 )第一98 76(偶数排 )10 11 12 13 14(奇数排 )第二18 1716 15 (偶数排 )19 20 21 22 23(奇数排 )第三27 2625 24 (偶数排 )可律如下 :(1)自然数按每 9 个数 , 且奇数排自左往右五个数 , 偶数排自右往左四个数的律循排列；(2)察第二 , 第三 , 奇数排的数如果用 9 除有如下律 : 第 1 列用 9 除余数 1,第 2 列用 9 除余数 2, ⋯，第 5 列用 9 除余数 5.(3)10 9=1⋯ 1， 10 在 1+1 ，第 1 列199=2⋯ 1， 19 在 2+1 ，第 1 列因 1992 9=221⋯3，所以 1992 排列在（ 221+1）=222 中奇数排第 3 列数的位置上 .7. 74=0. ⋯⋯7它的循周期是 6，具体地六个数依次是5，7，1，4，2， 8110 6=18⋯2因余 2，第 110 个数字是上面列出的六个数中的第 2 个，就是 7.8.35 ....因的循周期是 7, 的循周期 5, 又 5 和 7 的最小公倍数是 35, 所以两个循小数在小数点后第 35 位, 首次同出在位上的数字都是 7.9.853,570,568,8255.不看出 , 串数每 7 个数即 1,9,9,1,4,1,4一个循 , 即周期 7, 且每个周期中有 3 个 1,2 个 9,2 个 4. 因1991 7=284⋯3，所以串数中有284 个周期，加上第 285 个周期中的前三个数1，9，9. 其中 1 的个数是 :3284+1=853(个),9 的个数是 2284+2=570(个),4 的个数是2284=568(个). 些数字的和 1853+9 570+4 568=8255.10. 9先找出的末位数的化律:123454+17 末位数 7,7 末位数 9,7 末位数 3, 7末位数1；7 =7末位数由此可，的末位依次 7，9，3，1，7， 9， 3， 1⋯⋯，以 4 周期循出 .因 50 4=12⋯2，即 750=74 12 2，所以 750与 72末位数相同，也就是的末位数是 9.11.依照述多写几个数字 :884⋯⋯可 1989 后面的数是不断循重复出286884，每 6 个一，即循周期6. 因 (1989-4)6=330⋯5，所以所求数字是 8.12. 1991个 1990相乘所得的末两位是 0, 我只需考察 1990 个 1991 相乘的末两位数即可 .1个 1991 末两位数是 91,2 个 1991 相乘的末两位数是81,3 个 1991 相乘的末两位数是 71,4 个至 10 个 1991 相乘的的末两位数分是61,51,41,31,21,11,01,11 个 1991 相乘的末两位数字是 91，⋯⋯，由此可，每 10 个 1991相乘的末两位数字重复出，即周期 10. 因 1990 10=199, 所以1990 个 1991 相乘的末两位数是 01, 即所求果是 01.13.n 是 1991 个 2 的乘 , 可 n=21991, 首先从 2 的低次入手找律 , 列表如下 :n n 的十n 的个nn 的十n 的个位数字位数字位数字位数字212120296220421392230821484241621568253221636266421772272821844285621988291222076210242215221148222042察上表 , 容易自 2 开始每隔 20 个 2 的乘 , 末两位数字就重复出 , 周期 20. 因 1990 20=99⋯ 10，所以 21991与 211的末两位数字相同，由上表知211的十位数字是 4，个位数字是 8. 所以 , n 的末两位数字是48.14. 因 100 能被 5 整除 , 所以自右至左染色也就是自左至右染色 . 于是我可以看作是从同一端点染色 .6 与 5 的最小公倍数是 30, 即在 30 厘米的地方 , 同染上色 , 染色就会出循 , 每一周的度是 30 厘米 , 如下所示 .612.182430.96100.....5101520259095由示可知 1 厘米的短木棍 , 每一周期中有两段 , 如第 1 周期中 ,6-5=1,5 5-64=1. 剩余 10 厘米中有一段 . 所以开后 1 厘米的短木棍共有7 段 . 合算式 :2[(100-10)30]+1=23+1=7( 段)[ 注 ] 解决这一问题的关键是根据整除性把自右向左每隔 5 厘米的染色 , 转化为自左向右的染色 , 便于利用最小公倍数发现周期现象, 化难为易 .。
小学五年级奥数举一反三第11周周期问题
【例题4】将奇数如下图排列，各列分别用A 、B、C、D、E为代表，问：2001所在的列 以哪个字A母为代B 表？C D E
1357 15 13 11 9
17 19 21 23 31 29 27 25
………… …………
【思路导航】这列数按每8个数一组有规律4出现在哪一列？
ABCDE
8
6
4
2
10 12 14 16
24 22 20 18
26 28 30 32
…………
…………
2、把自然数按下列规律排列，865排在哪一
列？
ABCD
1
2
3
6
5
4
789
12 11 10
………
………
3、下小表中学 ，生将每小 列学上下生 两小个字学 组生成…一…组，如 第一组热 为爱“小劳 热动”，热 第爱二组劳 为动“学热 爱……”。求
五年级奥数 举一反 三
第十一讲 周期问 题
一、知识要点
周期问题是指事物在运动变化的发展过 程中，某些特征循环往复出现，其连续两次 出现所经过的时间叫做周期。在数学上，不 仅有专门研究周期现象的分支，而且平时解 题时也常常碰到与周期现象有关的问题。这 些数学问题只要我们发展某种周期现象，并 充分加以利用，把要求的问题和某一周期的
二、精讲精练
【例题1】有249朵花，按5朵红花，9朵黄 花，13朵绿花的顺序轮流排列，最后一朵 是什么颜色的花？这249朵中，红花、黄花 、绿花各有多少朵？ 【思路导航】根据题意可知，这些花按5红 ，9黄，13绿的顺序轮流排列，即5+9+13＝ 27（朵）花为一个周期，不断循环。因为 249÷27＝9……6，也就是经过9个周期还余
五年级奥数周期问题
八周期性问题(A)年级班姓名得分一、填空题1. 某年的二月份有五个星期日，这年六月一日是星期.2. 1989年12月5日是星期二,那么再过十年的12月5日是星期.3. 按下面摆法摆80个三角形,有个白色的.……4．节日的校园内挂起了一盏盏小电灯，小明看出每两个白灯之间有红、黄、绿各一盏彩灯.也就是说,从第一盏白灯起,每一盏白灯后面都紧接着有3盏彩灯,小明想第73盏灯是灯.5. 时针现在表示的时间是14时正,那么分针旋转1991周后,时针表示的时间是.6. 把自然数1,2,3,4,5……如表依次排列成5列，那么数“1992〞在列.7. 把分数7化成小数后，小数点第110位上的数字是. 8. 循环小数7992511.0 与74563.0 .这两个循环小数在小数点后第位,首次同时出现在该位中的数字都是7.9. 一串数: 1,9,9,1,4,1, 4,1,9,9,1,4,1,4,1,9,9,1,4,……共有1991个数.(1)其中共有个1个9个4；(2)这些数字的总和是.10. 50777...7⨯⨯⨯⨯个所得积末位数是.二、解答题⨯9=72,在9后面写2,9⨯2=18,在2后面写8,……得到一串数字:1 9 8 92 8 6……这串数字从1开场往右数，第1989个数字是什么？12. 1991个1990相乘所得的积与1990个1991相乘所得的积，再相加的和末两位数是多少？13. 设222 (2)，那么n的末两位数字是多少？n=⨯⨯⨯⨯1991个14．在一根长100厘米的木棍上，自左至右每隔6厘米染一个红点，同时自右至左每隔5厘米也染一个红点，然后沿红点处将木棍逐段锯开，那么长度是1厘米的短木棍有多少根？八 周期性问题(B) 年级 班 姓名 得分 一、填空题1. 1992年1月18日是星期六，再过十年的1月18日是星期.2. 黑珠、白珠共102颗，穿成一串，排列如下列图： ……这串珠子中，最后一颗珠子应该是色的,这种颜色的珠子在这串中共有颗.3. 流水线上生产小木珠涂色的次序是:先5个红,再4个黄,再3个绿,再2个黑,再1个白,然后再依次是5红,4黄,3绿,2黑,1白,……继续下去第1993个小珠的颜色是色.4. 把珠子一个一个地如下列图按顺序往返不断投入A 、B 、C 、D 、E 、F 袋中.12 3 4 5 6 7 8 9 111111111…5. 将数列1,4,7,10,13…依次如图排列成6行,如果把最左边的一列叫做第一列,从左到右依次编号,那么数列中的数349应排在第行第列.1 4 7 10 1328 25 22 19 1631 34 37 40 4358 55 52 49 46………………………………………………………………9化成小数后，小数点后面第1993位上的数字是.6．分数133化成小数后,小数点后面1993位上的数字是.7.148. 在一个循环小数0.1234567中,如果要使这个循环小数第100位的数字是5,那么表示循环节的两个小圆点,应分别在和这两个数字上.9. 1991个9与1990个8与1989个7的连乘积的个位数是.10. 算式(367367+762762) 123123的得数的尾数是.二、解答题11. 乘积1⨯2⨯3⨯4⨯……⨯1990⨯1991是一个多位数，而且末尾有许多零，从右到左第一个不等于零的数是多少？12．有串自然数，第一个数与第二个数互质，而且第一个数的65恰好是第二个数的41，从第三个数开场，每个数字正好是前两个数的和，问这串数的第1991个数被3除所得的余数是几？上表中，将每列上下两个字组成一组，例如第一组为〔共社〕，第二组为〔产会〕，那么第340组是.14. 甲、乙二人对一根3米长的木棍涂色.首先,甲从木棍端点开场涂黑5厘米,间隔5厘米不涂色,接着再涂黑5厘米,这样交替做到底.然后,乙从木棍同一端点开场留出6厘米不涂色,接着涂黑6厘米,再间隔6厘米不涂色,交替做到底.最后,木棍上没有被涂黑局部的长度总和为厘米.———————————————答案——————————————————————1. 二因为7⨯4=28，由某年二月份有五个星期日，所以这年二月份应是29天，且2月1日与2月29日均为星期日，3月1日是星期一，所以从这年3月1日起到这年6月1日共经过了31+30+31+1=93(天).因为937=13…2，所以这年6月1日是星期二.2．日依题意知，这十年中1992年、1996年都是闰年，因此，这十年之中共有365⨯10+2=3652〔天〕因为〔3652+1〕÷7=521…6，所以再过十年的12月5日是星期日.[注]上述两题(题1—题2)都是推断假设干天、假设干月或假设干年后某一天为星期几，解答这类问题主要依据每周为七天循环的规律，运用周期性解答.在计算天数时,要根据“四年一闰，整百不闰，四百年才又一闰〞的规定，即公历年份不是整百数时，只要是4的倍数就是闰年，公历年数为整百数时，必须是400的倍数才是闰年.3. 39从图中可以看出,三角形按“二黑二白一黑一白〞的规律重复排列，也就是这一排列的周期为6，并且每一周期有3个白色三角形.因为80÷6=13…2，而第十四期中前两个三角形都是黑色的，所以共有白色三角形13⨯3=39〔个〕.4. 白依题意知,电灯的安装排列如下:白,红,黄,绿,白,红,黄,绿,白,……这一排列是按“白，红，黄，绿〞交替循环出现的，也就是这一排列的周期为4.由73÷4=18…1,可知第73盏灯是白灯.5. 13时.分针旋转一周为1小时,旋转1991周为1991小时.一天24小时,1991÷24=82…23，1991小时共82天又23小时.现在是14时正,经过82天仍然是14时正,再过23小时,正好是13时.[注]在圆面上,沿着圆周把1到12的整数等距排成一个圈,再加上一根长针和一根短针,就组成了我们天天见到的钟面.钟面虽然是那么的简单平常,但在钟面上却包含着十分有趣的数学问题,周期现象就是其中的一个重要方面.6. 3仔细观察题中数表.1 2 3 4 5 (奇数排)第一组98 7 6 (偶数排)10 11 12 13 14 (奇数排)第二组18 17 16 15 (偶数排)19 20 21 22 23 (奇数排)第三组27 26 25 24 (偶数排)可发现规律如下:(1)连续自然数按每组9个数,且奇数排自左往右五个数,偶数排自右往左四个数的规律循环排列；(2)观察第二组,第三组,发现奇数排的数如果用9除有如下规律:第1列用9除余数为1,第2列用9除余数为2,…，第5列用9除余数为5.(3)10÷9=1…1，10在1+1组，第1列19÷9=2…1，19在2+1组，第1列因为1992÷9=221…3，所以1992应排列在〔221+1〕=222组中奇数排第3列数的位置上.7. 74=0.57142857……7它的循环周期是6，具体地六个数依次是5，7，1，4，2，8110÷6=18 (2)因为余2，第110个数字是上面列出的六个数中的第2个，就是7.8. 35. . . .因为0.1992517的循环周期是7,0.34567的循环周期为5,又5和7的最小公倍数是35,所以两个循环小数在小数点后第35位,首次同时出现在该位上的数字都是7.9. 853,570,568,8255.7=284…3，所以这串数中有284个周期，加上第285个周期中的前三个数1，9，9.其中1的个数是:3284+1=853(个),9的个数是2284+2=570(个),4的个数是2284=568(个).这些数字的总和为1853+9570+4568=8255.10. 9先找出积的末位数的变化规律:71末位数为7,72末位数为9,73末位数为3, 74末位数1；75=74+1末位数为7,76=74+2末位数为9，77=74+3末位数为3，78=247⨯末位数为1……由此可见，积的末位依次为7，9，3，1，7，9，3，1……，以4为周期循环出现.因为50÷4=12…2，即750=2⨯，所以750与72末位数一样，也就是积的1247+末位数是9.11. 依照题述规那么多写几个数字:可见1989后面的数总是不断循环重复出现286884，每6个一组，即循环周期为6.因为(1989-4)÷6=330…5，所以所求数字是8.÷10=199,所以1990个1991相乘积的末两位数是01,即所求结果是01.13. n是1991个2的连乘积,可记为21991,首先从2的较低次幂入手寻找规律,列表如下:211 4 8 222 0 4观察上表,容易发现自22÷20=99…10，所以21991与211的末两位数字一样，由上表知211的末两位数字是48.14. 因为100能被5整除,所以自右至左染色也就是自左至右染色.于是我们可以看作是从同一端点染色.6与5的最小公倍数是30,即在30厘米的地方,同时染上红色,这样染色就会出现循环,每一周的长度是30厘米,如下列图所示.由图示可知长1厘米的短木棍,每一周期中有两段,如第1周期中,6-5=1,5⨯5-6⨯4=1.剩余10厘米中有一段.所以锯开后长1厘米的短木棍共有7段.综合算式为:2⨯[(100-10)÷30]+1 =2⨯3+1 =7(段)[注]解决这一问题的关键是根据整除性把自右向左每隔5厘米的染色,转化为自左向右的染色,便于利用最小公倍数发现周期现象,化难为易.. . . . . . 6 11235 11229910. 9———————————————答案——————————————————————1. 五在这十年中有3个闰年,所以这10年的总天数是365⨯10+3,365被7除余1,所以总天数被7除的余数是(13-7=)6,因此10年后的1月18日是星期五.2. 黑,26根据图示可知,假设去掉第一颗白珠后它们的排列是按“一黑三色〞交替循环出现的，也就是这一排列的周期为4.由(102-1)÷1⨯25+1=26(颗).3. 黑小木球是依次按5红,4黄,3绿,2黑和1白的规律涂色的,把它看成周期性问题,每个周期为15.由1993÷15=132…13知，第1993个小球是第133周期中的第13个，按规律涂色应该是黑色，所以第1993个小球的颜色是黑色.4. B通过观察可以发现,第11次到第20次投进的袋子依次与第1次到第10次投进的袋子一样,即当投的次数被10除余1,2,3,…，8，9，0，分别投进A ，B ，C ，……D ，C ，B 袋中，1992被10除余2，所以第1992粒珠子投在B 袋中. 5. 24,2这个数列从第2项起,每一项都比前一项多3,(349-1)÷3+1=117,所以349是这列数中的第117个数.从排列可以看出,每两排为一个周期,每一周期有10个数.因为117÷10=11…7，所以数“349〞是第11个周期的第7个数，也就是在第24行第2列.6. 6139=792306.0 它的循环周期是6,因为1993=6⨯332+1,所以化成小数后,其小数点后面第1993位上的数字是6.7. 7143=7428512.0 它的循环周期是6,因为(1993-1)÷6=332,那么循环节“142857〞恰好重复出现332次.所以小数点后面第1993位上的数字是7.8. 3,7表示循环小数的两个小圆点中,后一个小圆点显然应加在7的上面,且数字“5〞肯定包含在循环节中，设前一个小圆点加在“5〞的上面，这时循环周期是3，〔100-4〕÷3=32，第100位数字是7.设前一个小圆点加在“4〞的上面，这时循环周期是4，〔100-3〕÷4=24…1，第100位数字是4.设前一个小圆点加在“3〞的上面，这时的循环周期是5，〔100-2〕÷5=19…3，第100位数字正好是5.[注]拿到此题后容易看出后一个小圆点应加在7的上面,但前一个圆点应加在哪个数字上,一下子难以确定,怎么办?唯一的方法就是“试〞.因为循环节肯定要包含5,就从数字5开场试.逐步向前移动,直到成功为止.这就像我们在迷宫中行走,不知道该走哪条道才能走出迷宫,唯一的方法就是探索:先试一试这条,再试一试那条.9. 2由特例不难归纳出:(1)9的连乘积的个位数字按9,1循环出现,周期为2；(2)8的连乘积的个位数字按8,4,2,6循环出现,周期为4；(3)7的连乘积的个位数字按7,9,3,1循环出现,周期为4.因为1991=995⨯2+1,所以1991个9的连乘积的个位数字是9；因为1990=497⨯4+2，所以1990个8的连乘积的个位数字是4；因为1989=497⨯⨯4⨯7的个位数字是2,即1991个9与1990个8与1989年7的连乘积的个位数字是2.10. 94=91…3，所以，367367的尾数为3. 4=190…2，所以，762762的尾数为4. 4=30…3，所以，123123的尾数为7.所以,(367367+762762)123123的尾数为(3+4)7=49的尾数,所求答案为9.12. 因为第一个数⨯65=第二个数⨯41,所以第一个数：第二个数=41：65=3：10.又两数互质,所以第一个数为3,第二个数为10,从而这串数为：3,10,13,23,36,59,95,154,249,403,652,1055…… 被3除所得的余数为：0，1，1，2，0，2，2，1，0，1，1，2，……按“0，1，1，2，0，2，2，1〞循环，周期为8.因为1991÷8=248…7，所以第1991个数被3除所得余数应是第249周期中的第7个数，即2.[注]解答此题应注意以下两个问题:(1)由于两个数互质,所以这两个数只能是最简整数比的两个数； (2)求出这串数被3除所得的余数后,找出余数变化的周期,但这并不是这串数的周期.一般来说,一些有规律的数串,被某一个整数逐个去除,所得的余数也具有周期性.13. 因为“共产党好〞四个字，“社会主义好〞五个字，4与5的最小公倍数是20，所以在连续写完5个“共产党好〞与4个“社会主义好〞之后，将重复从头写起，出现周期现象，而且每个周期是20组数.因为340 20=17,所以第340组正好写完第17个周期,第340组是(好,好).[注]此题从题面上看是一个文字游戏,其实质是一个周期的问题: 四个四个地数0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10五个五个地数14. 根据题意甲、乙从同一端点开场涂色，甲按黑、白，黑、白……交替进展；乙按白、黑，白、黑……交替进展，如下列图所示.60甲乙1 3 5 4 2由上图可知,甲黑、乙白从同一端点起，到再一次甲黑、乙白同时出现，应是5与6的最小公倍数的2倍，即5⨯6⨯1+3+5+4+2=15(厘米)所以,在3米的木棍上没有涂黑色的局部长度总和是15(30060)=75(厘米)[注]请注意这里的周期是5与6最小公倍数的2倍,而不是5与6的最小公倍数.这是同学们容易犯的错误.。
五年级奥数周期问题
八周期性问题(A)____ 年级______ 班姓名___________ 得分______一、填空题1. 某年的二月份有五个星期日，这年六月一日是星期________ .2. 1989年12月5日是星期二,那么再过十年的12月5日是星期________ .3. 按下面摆法摆80个三角形,有 ______ 个白色的•4•节日的校园内挂起了一盏盏小电灯，小明看出每两个白灯之间有红、黄、绿各一盏彩灯.也就是说,从第一盏白灯起，每一盏白灯后面都紧接着有3盏彩灯，小明想第73盏灯是_________ 灯.5. 时针现在表示的时间是14时正，那么分针旋转1991周后，时针表示的时间是6. _____________________________________________________________ 把自然数1,2,3,4,5……如表依次排列成5列，那么数“ 1992”在 ______________________ 列.7. 把分数4化成小数后，小数点第110位上的数字是________ .78.循环小数0.1992517与0.34567 .这两个循环小数在小数点后第_______ 位,首次同时出现在该位中的数字都是7.9.一串数:1,9,9,1,4,1,4,1,9,9,1,4,1,4,1,9,9,1,4, ……共有1991 个数.(1) 其中共有____ 个1, ____ 个9 ____ 个4;(2)这些数字的总和是 ____ .10.71 474 27 4 (437)所得积末位数是 _________.50个二、解答题11.紧接着 1989 后面一串数字，写下的每个数字都是它前面两个数字的乘积的个位数•例如8 9=72,在9后面写2,9 2=18,在2后面写8,……得到一串数字：1 9 8 92 8 6……这串数字从 1 开始往右数，第 1989 个数字是什么？12.1991 个 1990相乘所得的积与 1990个 1991 相乘所得的积，再相加的和末两位 数是多少？13.设n 21 424 22 4 (432)，那么 n的末两位数字是多少？1991 个14．在一根长 1 00厘米的木棍上，自左至右每隔 6 厘米染一个红点，同时自右至左 每隔 5 厘米也染一个红点，然后沿红点处将木棍逐段锯开，那么长度是 1 厘米的短木棍 有多少根？八周期性问题(B)_____ 年级 ______ 班 姓名 ___________ 得分 _______ 一、填空题1. 1992 年1月18日是星期六，再过十年的1月18日是星期___________ .2. 黑珠、白珠共102颗，穿成一串，排列如下图： ..• ... • - ________________ ……这串珠子中，最后一颗珠子应该是 _____ 的,这种颜色的珠子在这串中共有 ________ 颗•3. 流水线上生产小木珠涂色的次序是：先5个红，再4个黄，再3个绿,再2个黑，再1 个白,然后再依次是5红,4黄,3绿,2黑,1白,……继续下去第1993个小珠的颜色是 __________ 色.4. 把珠子一个一个地如下图按顺序往返不断投入 A 、B 、C 、D E 、F 袋中.第1992粒珠子投在 _____ 袋中•么数列中的数349应排在第.行第 ______ 列.1 46 7 1_Q 1 53 14 13 11 12 Y78910114 @7 /4043/A 21/11 乘积1 2 3 4…… 是一个多位数，而且末尾有许多零，从右到左第一个不等于零的数是多少？12 有串自然数，已知第一个数与第二个数互质，而且第一个数的 5恰好是第二个613- 社会主义好社会主义好社会主义好……上表中，将每列上下两个字组成一组，例如第一组为（共社），第二组为（产会）， 那么第340组是 __________ .14.甲、乙二人对一根3米长的木棍涂色.首先,甲从木棍端点开始涂黑5厘米，间隔 5厘米不涂色，接着再涂黑5厘米,这样交替做到底.然后,乙从木棍同一端点开始留出6 厘米不涂色，接着涂黑6厘米,再间隔6厘米不涂色，交替做到底•最后,木棍上没有被涂黑 部分的长度总和为 ______________________ 米•5•将数列1,4710,13…依次如图排列成6行,如果把最左边的一列叫做第一列 左到右依次编号 解答题6 •分数化成小数后，小数点后面第1993位上的数字是137. —化成小数后，小数点后面1993位上的数字是148. 在一个循环小数中，如果要使这个循环小数第100位的数字是5,那么表示循环节的两个小圆点，应分别在 ____ 和_____ 这两个数字上.9. 1991个9与1990个8与1989个7的连乘积的个位数是 _____ .10. 算式(367367+762762) 123123的得数的尾数是 ____ .数的1，从第三个数开始，每个数字正好是前两个数的和，问这串数的第1991个数被3 4除所得的余数是几？共产党好共产党好共产党好……答案1. 二因为7 4=28，由某年二月份有五个星期日，所以这年二月份应是29天，且2月1 日与2月29日均为星期日，3月1日是星期一，所以从这年3月1日起到这年6月1日共经过了31+30+31+1=93（天）.因为93 7=13…2,所以这年6月1日是星期二.2．日依题意知,这十年中1992年、1996年都是闰年,因此,这十年之中共有365 10+2=3652（天）因为（3652+1）7=521…6,所以再过十年的12月5日是星期日.［注］上述两题（题1—题2）都是推断若干天、若干月或若干年后某一天为星期几,解答这类问题主要依据每周为七天循环的规律,运用周期性解答. 在计算天数时,要根据“四年一闰,整百不闰,四百年才又一闰”的规定,即公历年份不是整百数时,只要是4 的倍数就是闰年,公历年数为整百数时,必须是400的倍数才是闰年.3. 39从图中可以看出, 三角形按“二黑二白一黑一白”的规律重复排列,也就是这一排列的周期为6,并且每一周期有3个白色三角形.因为80 6=13…2,而第十四期中前两个三角形都是黑色的，所以共有白色三角形13 3=39（个）.4. 白依题意知, 电灯的安装排列如下:白,红,黄,绿,白,红,黄,绿,白,……这一排列是按“白，红，黄，绿”交替循环出现的,也就是这一排列的周期为4.由73 4=18…1,可知第73盏灯是白灯.5. 13 时.分针旋转一周为1小时，旋转1991周为1991小时.一天24小时,1991 24=82…23, 1991小时共82天又23小时.现在是14时正,经过82天仍然是14时正,再过23小时,正好是13 时.［注］在圆面上,沿着圆周把1到12的整数等距排成一个圈,再加上一根长针和一根短针,就组成了我们天天见到的钟面.钟面虽然是那么的简单平常, 但在钟面上却包含着十分有趣的数学问题, 周期现象就是其中的一个重要方面.6. 3第一组9 8 7 610 11 12 13 14 ( 第二组彳 18 |17 16 15 (19 20- 21 22 23 ( 第三组J 27 1.26 25 24 (可发现规律如下： （1）连续自然数按每组9个数,且奇数排自左往右五个数，偶数排自右往左四个数的规 律循环排列；⑵观察第二组，第三组，发现奇数排的数如果用9除有如下规律：第1列用9除余数 为1,第2列用9除余数为2,…，第5列用9除余数为5.（3）10 9=1 …1, 10 在 1+1 组，第 1 列 19 9=2…1, 19在2+1组，第1列因为1992 9=221…3,所以1992应排列在（221+1） =222组中奇数排第3列数的位 置上.7. 7它的循环周期是6,具体地六个数依次是 5, 7, 1, 4, 2, 8 110 6=18 (2)因为余2,第110个数字是上面列出的六个数中的第 2个，就是7. 8. 35因为的循环周期是7,的循环周期为.5,又5和7的最小公倍数是35,所以两个循环小 数在小数点后第35位,首次同时出现在该位上的数字都是 7.9. 853,570,568,8255. 不难看出，这串数每7个数即1,9,9,1,4,1,4 为一个循环，即周期为7,且每个周期中 有3个1,2个9,2个4.因为1991 7=284…3,所以这串数中有284个周期，加上第285 个周期中的前三个数1, 9, 9.其中1的个数是:3 284+1=853（个）,9的个数是 2 284+2=570（个）,4的个数是2 284=568（个）.这些数字的总和为1 853+9 570+4 568=8255. 10. 9先找出积的末位数的变化规律：71末位数为7,72末位数为9,73末位数为3, 7 4末位数1; 75=74+1末位数为7,76=74+2末 位数为9 , 77= 74+3末位数为3, 78=74 2末位数为1由此可见，积的末位依次为7, 9, 3, 1, 7, 9, 3, 1……，以4为周期循环出现. 因为50 4=12…2,即750=74 12 2，所以750与72末位数相同，也就是积的末位数是 9.11. 依照题述规则多写几个数字：可见1989后面的数总是不断循环重复出现 286884,每6个一组，即循环周期为6.因为仔细观察题中数表. 1 2 3「4 5（奇数排）偶数排） 奇数排） 偶数排） 奇数排）偶数排）（1989-4）6=330…5,所以所求数字是8.12. 1991个1990相乘所得的积末两位是0,我们只需考察1990个1991相乘的积末两位数即可.1个1991末两位数是91,2个1991相乘的积末两位数是81,3个1991相乘的积末两位数是71,4个至10个1991相乘的积的末两位数分别是61,51,41,31,21,11,01,11 个1991相乘积的末两位数字是91，……，由此可见，每10个1991相乘的末两位数字重复出现，即周期为10.因为1990 10=199,所以1990个1991 相乘积的末两位数是01,即所求结果是01.13. n是1991个2的连乘积，可记为n=21991,首先从2的较低次幕入手寻找规律，列表如下：观察上表,容易发现自22开始每隔20个2的连乘积，末两位数字就重复出现，周期为20.因为1990 20=99…10,所以21991与211的末两位数字相同，由上表知211的十位数字是4，个位数字是8.所以,n的末两位数字是48.14.因为100能被5整除,所以自右至左染色也就是自左至右染色.于是我们可以看作是从同一端点染色.6与5的最小公倍数是30,即在30厘米的地方，同时染上红色，这样染色就会出现循环,每一周的长度是30厘米,如下图所示.I由图示可知长11厘米的短木棍，每一周期中有两段100第1周期中,6-5=1,5 5-6 4=1. 剩余5厘米中有一段2 .所以锯开后长1厘米的短木棍共有7段.综合算式为：2 [(100-10) 30]+1=2 3+1=7(段)[注]解决这一问题的关键是根据整除性把自右向左每隔5厘米的染色，转化为自左向右的染色，便于利用最小公倍数发现周期现象，化难为易.天数被7除的余数是(13-7=)6,因此10年后的1月18日是星期五.2. 黑,26根据图示可知，若去掉第一颗白珠后它们的排列是按“一黑三色”交替循环出现的，也就3 五在这十年中有3个闰年，所以这10年的总天数是365 10+3,365被7除余1,所以总是这一排列的周期为4.由(102-1) 4=25…1，可知循环25个周期，最后一颗珠子是黑色的.黑色珠子共有1 25+仁26(颗).3. 黑小木球是依次按5红,4黄,3绿,2黑和1白的规律涂色的，把它看成周期性问题，每个周期为15.由1993 15=132-13知，第1993个小球是第133周期中的第13个，按规律涂色应该是黑色，所以第1993个小球的颜色是黑色.4. B通过观察可以发现，第11次到第20次投进的袋子依次与第1次到第10次投进的袋子相同,即当投的次数被10除余1,2,3,…，8, 9, 0,分别投进A，B，C,……D, C, B 袋中，1992被10除余2,所以第1992粒珠子投在B袋中.5. 24,2这个数列从第2项起，每一项都比前一项多3,(349-1) 3+仁117,所以349是这列数中的第117个数.从排列可以看出，每两排为一个周期，每一周期有10个数.因为117 10=11…7,所以数“ 349”是第11个周期的第7个数，也就是在第24行第2列.6. 699 =0.69230713它的循环周期是6,因为1993=6 332+1,所以化成小数后，其小数点后面第1993位上的数字是6.7. 73=0.214285714它的循环周期是6,因为(1993-1) 6=332,则循环节“ 142857”恰好重复出现332次. 所以小数点后面第1993位上的数字是7.8. 3,7表示循环小数的两个小圆点中，后一个小圆点显然应加在7的上面,且数字“5”肯定包含在循环节中，设前一个小圆点加在“ 5”的上面，这时循环周期是3,( 100-4) 3=32, 第100位数字是7.设前一个小圆点加在“ 4”的上面，这时循环周期是4, (100-3) 4=24…1,第100位数字是4.设前一个小圆点加在“ 3”的上面，这时的循环周期是5,(100-2) 5=19…3,第100位数字正好是5.［注］拿到此题后容易看出后一个小圆点应加在7的上面,但前一个圆点应加在哪个数字上，一下子难以确定，怎么办？唯一的办法就是“试”.因为循环节肯定要包含5,就从数字5幵始试.逐步向前移动，直到成功为止.这就像我们在迷宫中行走,不知道该走哪条道才能走出迷宫，唯一的办法就是探索:先试一试这条，再试一试那条.9. 2由特例不难归纳出：(1) 9的连乘积的个位数字按9,1循环出现,周期为2;(2) 8的连乘积的个位数字按8,4,2,6循环出现,周期为4；(3) 7的连乘积的个位数字按7,9,3,1循环出现,周期为4.因为1991=995 2+1,所以1991个9的连乘积的个位数字是9;因为1990=497 4+2, 所以1990个8的连乘积的个位数字是4;因为1989=497 4+1，所以1989个7的连乘积的个位数字是的个位数字是2,即1991个9与1990个8与1989年7的连乘积的个位数字是2.10. 97的连乘积，尾数(个位数字)以7,9,3,1循环出现，周期为4.因为367 4=91…3,所以，367367的尾数为3.2的连乘积，尾数以2,4,8,6循环出现，周期为4.因为762 4=190…2,所以，762762 的尾数为4.3的连乘积,尾数以3,9,7,1循环出现,周期为4 =30…3,所以,123123的尾数为7.所以,(367 367+762762) 123123的尾数为(3+4) 7=49的尾数,所求答案为9.11. 从1开始，将每10个数分为一组，每一组10个数从右到左第一个不等于零的数字是乘积=3628800从右到左第一个不等于零的数字是8,1~1991可分为1~10, 11~20, 21~30,…，1981~1990, 1991; 8 的连乘积末位数字8、4, 2, 6 重复出现，199 4=49…3,所以199个8相乘的末位数字是2, 1991个位数字是1,所以，乘积1 23…从右到左第一个不等于零的数字是2.12. 因为第一个数5=第二个数1,所以第一个数：第二个数=丄：5 =3: 10.又6 4 4 6两数互质,所以第一个数为3,第二个数为10,从而这串数为：3,10,13,23,36,59,95,154,249,403,652,1055 ……被3除所得的余数为：0, 1, 1, 2, 0, 2, 2, 1, 0, 1, 1, 2,……按“ 0, 1, 1, 2, 0, 2, 2, 1” 循环，周期为8.因为1991 8=248…7,所以第1991个数被3除所得余数应是第249周期中的第7个数，即2.［注］解答此题应注意以下两个问题(1)由于两个数互质，所以这两个数只能是最简整数比的两个数;(2)求出这串数被3除所得的余数后，找出余数变化的周期，但这并不是这串数的周期.一般来说，一些有规律的数串，被某一个整数逐个去除，所得的余数也具有周期性.13. 因为“共产党好”四个字，“社会主义好”五个字，4与5的最小公倍数是20,所以在连续写完5个“共产党好”与4个“社会主义好”之后，将重复从头写起，出现周期现象，而且每个周期是 20组数.因为340 20=17,所以第340组正好写完第17个周期,第340组是（好,好）.［注］此题从题面上看是一个文字游戏，其实质是一个周期的问题:四个四个地数0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10五个五个地数14. 根据题意甲、乙从同一端点开始涂色，甲按黑、白，黑、白……交替进行；乙 按白、黑，白、黑……交替进行，如下图所示•［注］请注意这里的周期是5与6最小公倍数的2倍,而不是5与6的最小公倍 数.这是同学们容易犯的错误 由上图可知，甲黑、乙白从同一端点起，到再一次甲黑、乙白同时出现，应是 米为周期循环出现 5与6 .并且 倍,的最小公倍数 乙所以：在3米的木棍上没有涂黑色的部分长度总和是151（3m b 60）=7m 厘米）5cm 4cm 2cm。
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周期问题一、知要点周期是指事物在运化的展程中，某些特征循往复出，其两次出所的叫做周期。
在数学上，不有研究周期象的分支，而且平解也常常碰到与周期象有关的。
些数学只要我展某种周期象，并充分加以利用，把要求的和某一周期的等式相，就能找到解关。
二、精精【例 1】流水上生小木球涂色的次序是：先 5 个，再 4 个黄，再 3 个，再 2 个黑，再 1 个白，然后又依次 5 、 4 黄、 3 、2 黑、 1 白⋯⋯如此涂下去，到 2001 个小球涂什么色？【思路航】根据意可知，小木球涂色的次序是 5 、 4 黄、 3 、 2 黑、 1 白，即5＋4＋3＋2＋1=15 个球一个周期，不断循。
因 2001÷15=133⋯⋯ 6，也就是 133 个周期余 6 个，每个周期中第 6 个是黄的，所以第 2001 个球涂黄色。
1：1. 跑道上的彩旗按“三面、两面、一面黄”的律插下去，第50 面插什么色？2. 有一串珠子，按 4 个的， 3 个白的， 2 个黑的序重复排列，第160 个是什么色？3.1/7=0.142857142857 ⋯⋯，小数点后面第100 个数字是多少？- 1 -【例 2】有 47 灯，按二灯、四灯、三黄灯的序排列着。
最后一灯是什么色的？三种色的灯各占数的几分之几？【思路航】（ 1）我把二灯、四灯、三黄灯 9 灯看作一， 47÷ 9=5 （）⋯⋯ 2（），余下的两是第 6 的前两灯，是灯，所以最后一灯是灯；（2）由于 47÷ 9=5（）⋯⋯ 2（），所以灯共有 2×5＋2=12（），占数的 12/47 ；灯共有4×5=20（），占数的 20/47 ；黄灯共有 3×5=15（），占数的 15/47 。
2：1.有 68 面彩旗，按二面的、一面的、三面黄的排列着，些彩旗中，旗占黄旗的几分之几？2.黑珠和白珠共 2000 ，按律排列着：○●○○○●○○○●○○⋯⋯，第2000珠子是什么色的？其中，黑珠共有多少？3.在 100 米的跑道两每隔 2 米站着一个同学。
些同学以一端开始，按先两个女生，再一个男生的律站立着。
些同学中共有多少个女生？【例 3】 2001 年 10 月 1 日是星期一，那么， 2002 年 1 月 1 日是星期几？【思路航】一个星期是 7 天，因此 7 天一个周期。
10 月 1 日是星期一，是第一个周期的第一天，再 7 天即 10 月 8 日也是星期一。
算天数了方便，我采用“算尾不算”的方法，例如 10 月 8 日就用（ 8－1）÷ 7=1. 没有余数明 8 号仍是星期一。
中从 2001 年 10 月 1 日到 2002 年1 月 1 日，要 92 天， 92÷7=13⋯⋯ 1. 余 1 天就是从星期一往后数一天，即星期二。
- 2 -3：1.2002 年 1 月 1 日是星期二， 2002 年的六月一日是星期几？2.如果今天是星期五，再 80 天是星期几？3.以今天准，算一算今年自己的生日是星期几？【例 4】将奇数如下排列，各列分用 A、B、C、D、E 代表，： 2001 所在的列以哪个字母 A B C D E代表？ 1 3 5 715 13 11 917 19 21 2331 29 27 25⋯⋯⋯⋯【思路航】列数按每 8 个数一有律排列⋯⋯⋯⋯着。
2001 是一列数中的第 1001 个数， 1001÷8=125⋯⋯ 1. 即 2001 是列数中第 126 的第一个数，所以它所在的那一列是以字母 B 代表的。
4：1.将偶数 2、4、6、8、⋯⋯按下依次排列， 2014 出在哪一列？2.把自然数按下列律排列， 865 排在哪一列？A B C D E A B C D8 6 4 2 1 2 310 12 14 16 6 5 424 22 20 18 7 8 926 28 30 32 12 11 10- 3 -⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯【例 5】 888 ⋯⋯ 8[100 个 8] ÷ 7，当商是整数，余数是几？【思路航】从式中可以看出，被除数除以7，每次除得的余数以1、4、6、5、2、0 不断重复出。
我可以用100 除以 6，察余数就知道所求了。
100÷ 6=16⋯⋯ 4 余数是 4 明当商是整数，余数是1、 4、6、5、2、0 中的第 4 个数，即 5。
5：1.444 ⋯⋯ 4[100 个 4] ÷3 当商是整数，余数是几？2.444 ⋯⋯ 4[100 个 4] ÷6 当商是整数，余数是几？- 4 -课后作业思考题- 5 -第 12 讲盈亏问题一、知识要点盈亏问题又叫盈不足问题，是指把一定数量的物品平均分给固定的对象，如果按某种标准分，则分配后会有剩余（盈）；按另一种标准分，分配后又会有不足（亏），求物品的数量和分配对象的数量。
例如：把一代饼干分给小班的小朋友，每人分 3 块，多 12 块；如果每人分 4 块，少 8 块。
小朋友有多少人？饼干有多少块？这种一盈一亏的情况，就是我们通常说的标准的盈亏问题。
盈亏问题的基本数量关系是：（盈＋亏）÷两次所分之差=人数；还有一些非标准的盈亏问题，它们被分为四类： 1. 两盈：两次分配都有多余； 2. 两不足：两次分配都不够； 3. 盈适足：一次分配有余，一次分配够分；4，不足适足：一次分配不够，一次分配正好。
一些非标准的盈亏问题都是由标准的盈亏问题演变过来的。
解题时我们可以记住：1. “两亏”问题的数量关系是：两次亏数的差÷两次分得的差=参与分配对象总数；2. “两盈”问题的数量关系是：两次盈数的差÷两次分得的差=参与分配对象总数；3. “一盈一亏”问题的数量关系是：盈与亏的和÷两次分得的差=参与分配对象总数。
二、精讲精练【例题 1】某校乒乓球队有若干名学生，如果少一名女生，增加一名男生，则男生为总数的一半；如果少一名男生，增加一名女生，则男生为女生人数的一半。
乒乓球队共有多少名学生？【思路导航】（1）由“少一个女生，增加一个男生，则男生为总人数的一半”可知：女生比男生多 2 人；（2）“少一个男生，增加一个女生”后，女生就比男生多 2＋2=4 人，这时男生为女生人数的一半，即现在女生有 4×2=8 人。
原来女生有 8－ 1=7 人，男生有 7 －2=5人，共有 7＋ 5=12 人。
练习 1：1. 学校买来了白粉笔和彩色粉笔若干盒，如果白粉笔减少10 盒，彩色粉笔增加8 盒，两种粉笔就同样多；如果再买 10 盒白粉笔，白粉笔的盒数就是彩色粉笔的 5 倍。
学校买来两种粉笔各多少盒？2.操场上有两堆货物，如果甲堆增加 80 吨，乙堆增加 25 吨，则两堆货物一样重；苦甲、乙两堆各运走 5 吨，剩下的乙堆正好是甲堆的 3 倍。
两堆货物一共有多少吨？【例题 2】幼儿园老师拿出苹果发给小朋友。
如果平均分给小朋友，则少 4 个；如果每个小朋友只发给 4 个，则老师自己也能留下 4 个。
有多少个小朋友？共有多少个苹果？- 6 -【思路导航】如果平均分给小朋友，则少 4 个，说明小朋友人数大于 4；如果每个小朋友只发给 4 个，则教师也能留下 4 个，说明每人少拿若干个，就少拿 4＋4=8 个苹果。
因为小朋友人数大于 4，所以，一定是每人少拿 1 个，有 8÷1=8 个小朋友，有 8× 4＋ 4=36 个苹果。
练习 2：1. 给小朋友分梨，如果每人分 4 个，则多 9 个；如果每人分 5 个，则少 6 个。
有多少个小朋友？有多少个梨？2.老把一些铅笔奖给三好学生。
每人 5 支则多 4 支，每人 7 支则少 4 支。
老师有多少支铅笔？奖给多少个三好学生？【例题 3】幼儿园老师将一筐苹果分给小朋友。
如果分给大班的学生每人 5 个余 10 个；如果分给小班的学生每人8 个缺 2 个。
已知大班比小班多 3 人，这筐苹果有多少个？【思路导航】如果大班减少 3 人，则大班和小班的人数同样多。
这样，大班每人 5 个就多余 3×5＋10=25 个。
由于两班人数相等，小班每人多分 3 个就要多分（ 25＋2）个苹果，用（ 25＋2）÷（ 8－ 5）就能得到小班同学的人数是9 人，再用 9× 8－2 就求出了这筐苹果有多少个。
练习 3：1.一些学生搬一批砖，每人搬 4 块，其中 5 人要搬两次；如果每人搬 5 块，就有两人没有砖可搬。
这些学生有多少人？这批砖有多少块？2.老师给幼儿园小朋友分糖，每人 3 块还多 10 块；如果减少 2 个小朋友再分，每人 4 块还多 7 块。
原来有多少个小朋友？有多少块糖？【例题 4】幼儿园教师把一箱饼干分给小班和中班的小朋友，平均每人分得 6 块；如果只分给中班的小朋友，平均每人可以多分得 4 块。
如果只分给小班的小朋友，平均每人分得多少块？【思路导航】这箱饼干分给小班和中班的小朋友，平均每人分得 6 块，如果只分给中班的小朋友，平均每人可多分 4 块。
说明中班的人数是小班人数的6÷4=1.5 倍。
因此，这箱饼干分给小班的小朋友，每位小朋友可多分到6×1.5=9 块，一共可分到6＋9=15 块饼干。
练习 4：1. 老师把一批书借给甲组同学，平均每人借 4 本。
如果只借给甲组的女同学，每人可借 6 本。
如果只借给甲组的男生，平均每人借到几本？- 7 -2.甲、乙两组同学做红花，每人做8 朵，正好送给五年级每个同学一朵。
如果把这些红花让甲组同学单独做，每人要多做 4 朵。
如果把这些红花让乙组同学单独做，每人要做几朵？【例题 5】全班同学去划船，如果减少一条船，每条船正好坐 9 个同学；如果增加一条船，每条船正好坐 6 个同学。
这个班有多少个同学？【思路导航】根据题意可知：每船坐 9 人，就能减少一条船，也就是少 9 个同学；每船坐 6 人，就要增加一条船，也就是多出 6 个同学。
因此，每船坐9 人比每船坐 6 人可多坐9＋6=15 人， 15 里面包含 5 个（ 9－ 6），说明有 5 条船。
知道了有 5 条船，就可以求全班人数： 9×（ 5－1）=36 人。
练习 5：1. 老师把一篮苹果分给小班的同学，如果减少一个同学，每个同学正好分得5 个；如果增加一个同学，正好每人分得 4 个。
这篮苹果一共有多少个？2.五年级同学去划船，如果增加一只船，正好每只船上坐 7 人；如果减少一只船，正好每只船上价 8 人。
五年级共有多少人？课后作业- 8 -思考题- 9 -第 13 讲长方体和正方体（一）一、知识要点在数学竞赛中，有许多有关长方体、正方体的问题。