三角形重心三角形重心定理
证明三角形重心判定性质整理
证明三角形重心判定性质整理重心是三角形三边中线的交点。
重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1，重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等，重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。
下面我给大家带来证明三角形重心判定性质，盼望能关心到大家!证明三角形重心判定定理例：已知：△ABC，E、F是AB，AC的中点。
EC、FB交于G。
求证：EG=1/2CG证明：过E作EH△BF交AC于H。
△AE=BE，EH//BF△AH=HF=1/2AF(平行线分线段成比例定理)又△ AF=CF△HF=1/2CF△HF:CF=1/2△EH△BF△EG:CG=HF:CF=1/2△EG=1/2CG（方法）二连接EF利用三角形相像求证：EG=1/2CG 即证明EF=1/2BC利用中位线可证明EF=1/2BC利用中位线可证明EF=1/2BC证明三角形重心判定性质证明方法：在△ABC内，三边为a，b，c，点O是该三角形的重心，AOA、BOB、COC分别为a、b、c边上的中线。
依据重心性质知：OA=1/3AAOB=1/3BBOC=1/3CC过O，A分别作a边上高OH，AH可知OH=1/3AH则，S△BOC=1/2×OHa=1/2×1/3AHa=1/3S△ABC同理可证S△AOC=1/3S△ABCS△AOB=1/3S△ABC所以，S△BOC=S△AOC=S△AOB在三角形ABC中，向量BO与向量BF共线，故可设BO=xBF 依据三角形加法法则：向量AO=AB+BO=a+ xBF=a+ x(AF-AB)= a+ x(b/2-a)=(1-x)a+(x/2)b向量CO与向量CD共线，故可设CO=yCD,依据三角形加法法则：向量AO=AC+CO=b+ yCD=b+y(AD-AC)= b+y(a/2-b)=(y/2)a+(1-y)b.所以向量AO=(1-x)a+(x/2)b=(y/2)a+(1-y)b则1-x= y/2，x/2=1-y，解得x=2/3,y=2/3.向量BO=2/3BF，向量CO=2/3CD即BO：OF=CO：OD=2。
三角形的重心定理及其证明
三角形的重心定理及其证明积石中学王有华同学们在学习几何时，常常用到三角形的重心定理.但很多同学不会证明这个定理？下面给出三种证明方法，你阅读后想一想，哪一种证明方法最好.已知：（如图）设ABC 中，L 、M 、N 分别是BC 、CA 、AB 的中点.求证：AL 、BM 、CN 相交于一点G ，且AG ﹕GL= BG ﹕GM= CG ﹕GN=2﹕1. 证明1（平面几何法）：（如图1）假设中线AL 与BM 交于G ，而且假设C 与G 的连线与AB 边交于N ，首先来证明N 是AB 的中点.现在，延长GL ，并在延长线上取点D ，使GL=LD 。
因为四边形BDCG 的对角线互相平分，所以BDCG 是平行四边形.从而，B G ∥DC ，即GM ∥DC.但M 是AC 的中点，因此，G 是AD 的中点.另一方面，GC ∥BD ，即NG ∥BD.但G 是AD 的中点，因此N 是AB 的中点.另外，G 是AD 的中点，因此AG ﹕GL=2﹕1.同理可证： BG ﹕GM=2﹕1， CG ﹕GN=2﹕1.这个点G 被叫做ABC 的重心.证明2（向量法）：（如图2）在ABC 中，设AB 边上的中B C线为CN ，AC 边上的中线为BM ，其交点为G ，边BC 的中点为L ，连接AG 和GL ，因为B 、G 、M 三点共线，且M 是AC 的中点，所以向量BG ∥BM ，所以，存在实数1λ ，使得 1BG BM λ=，即 1()AG AB AM AB λ-=-所以，11(1)AG AM AB λλ=+-=111(1)2AC AB λλ+- 同理，因为C 、G 、N 三点共线，且N 是AB 的中点. 所以存在实数2λ，使得 22(1)AG AN AC λλ=+-= 221(1)2AB AC λλ+- 所以 111(1)2AC AB λλ+- = 221(1)2AB AC λλ+- 又因为 AB 、 AC 不共线，所以1221112112λλλλ=-=-⎧⎨⎩ 所以 1223λλ== ，所以 1133AG AB AC =+ . 因为L 是BC 的中点，所以GL GA AC CL =++ =111()332AB AC AC CB -+++ =121()332AB AC AB AC -++- =1166AB AC +，即2AG GL =，所以A 、G 、L 三点共线.故AL 、BM 、CN 相交于一点G ，且AG ﹕GL= BG ﹕GM= CG ﹕GN=2﹕1C证明3（向量法）（如图3）在ABC 中，BC 的中点L 对应于1()2OL OB OC =+， 中线AL 上的任意一点G ，有(1)OG OA OL λλ=+- 1122OA OB OC λλλ--=++.同理，AB 的中线CN 上的任意点G ′，1122OG OC OA OB μμμ--'=++，求中线AL 和CN 的交点，就是要找一个λ和一个μ，使OG OG '=.因此，我们令12μλ-=，1122λμ--=，12λμ-=.解之得13λμ==.所以111333OG OG OA OB OC '==++.由对称性可知，第三条中线也经过点G . 故AL 、CN 、BM 相交于一点G ，且易证AG ﹕GL= BG ﹕GM= CG ﹕GN=2﹕1.。
重心定理
③×④×⑤得BD/DC*CE/EA*AF/FB=1
利用塞瓦定理证明三角形三条高线必交于一点:
设三边AB、BC、AC的垂足分别为D、E、F，
根据塞瓦定理逆定理，因为(AD:DB)*(BE:EC)*(CF:FA)=[(CD*ctgA）
另外,有很多人会觉得书写这个公式十分烦琐,不看书根本记不住,下面从别人转来一些方法帮助书写
为了说明问题，并给大家一个深刻印象，我们假定图中的A、B、C、D、E、F是六个旅游景点，各景点之间有公路相连。我们乘直升机飞到这些景点的上空，然后选择其中的任意一个景点降落。我们换乘汽车沿公路去每一个景点游玩，最后回到出发点，直升机就停在那里等待我们回去。
证明：
过点A作AG‖BC交DF的延长线于G,
则AF/FB=AG/BD , BD/DC=BD/DC , CE/EA=DC/AG。
三式相乘得：AF/FB×BD/DC×CE/EA=AG/BD×BD/DC×DC/AG=1
它的逆定理也成立：若有三点F、D、E分别在的边AB、BC、CA或其延长线上，且满足(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1，则F、D、E三点共线。利用这个逆定理，可以判断三点共线。
方案①——从A经过B（不停留）到F（停留），再返回B（停留），再到D（停留），之后经过B（不停留）到C（停留），再到E（停留），最后从E经过C（不停留）回到出发点A。
按照这个方案，可以写出关系式：
（AF：FB）*（BD：DC）*（CE：EA）=1。
现在，您知道应该怎样写“梅涅劳斯定理”的公式了吧。
从A点出发的旅游方案还有：
（AE：EC）*（CD：DB）*（BF：FA）=1。
三角形重心性质定理.
三角形重心性质定理1、配方法：所谓配方，就是把一个解析式利用恒等变形的方法，把其中的某些项配成一个或几个多项式正整数次幂的和形式。
通过配方解决数学问题的方法叫配方法。
其中，用的最多的是配成完全平方式。
配方法是数学中一种重要的恒等变形的方法，它的应用非常广泛，在因式分解、化简根式、解方程、证明等式和不等式、求函数的极值和解析式等方面都经常用到它。
2、因式分解法：因式分解，就是把一个多项式化成几个整式乘积的形式。
因式分解是恒等变形的基础，它作为数学的一个有力工具、一种数学方法在代数、几何、三角函数等的解题中起着重要的作用。
因式分解的方法有许多，除中学课本上介绍的提取公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法等外，还有如利用拆项添项、求根分解、换元、待定系数等等。
3、换元法：换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法。
我们通常把未知数或变数称为元，所谓换元法，就是在一个比较复杂的数学式子中，用新的变元去代替原式的一个部分或改造原来的式子，使它简化，使问题易于解决。
4、判别式法与韦达定理：一元二次方程ax2+bx+c=0(a、b、c∈R，a≠0)根的判别式△=b2-4ac，不仅用来判定根的性质，而且作为一种解题方法，在代数式变形，解方程(组)，解不等式，研究函数乃至解析几何、三角函数运算中都有非常广泛的应用。
韦达定理除了已知一元二次方程的一个根，求另一根；已知两个数的和与积，求这两个数等简单应用外，还可以求根的对称函数，计论二次方程根的符号，解对称方程组，以及解一些有关二次曲线的问题等，都有非常广泛的应用。
5、待定系数法：在解数学问题时，若先判断所求的结果具有某种确定的形式，其中含有某些待定的系数，而后根据题设条件列出关于待定系数的等式，最后解出这些待定系数的值或找到这些待定系数间的某种关系，从而解答数学问题，这种解题方法称为待定系数法。
它是中学数学中常用的重要方法之一。
6、构造法：在解题时，我们常常会采用这样的方法，通过对条件和结论的分析，构造辅助元素，它可以是一个图形、一个方程(组)、一个等式、一个函数、一个等价命题等，架起一座连接条件和结论的桥梁，从而使问题得以解决，这种解题的数学方法，我们称为构造法。
三角形重心性质的有关推论及应用
三角形重心性质的有关推论及应用
三角形重心性质的推论以及应用如下：三角形的三条边的中线交于一点。
这个点叫做三角形的重心。
三中线交于一点可用燕尾定理证明，十分简单。
性质一、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。
性质二、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数。
性质三、在△ABC中，若MA向量+MB向量+MC向量=0（向量），则M 点为△ABC的重心，反之也成立。
性质四、设△ABC重心为G点，所在平面有一点O，则向量OG=1/3（向量OA+向量OB+向量OC）。
按角分
1、锐角三角形：三角形的三个内角都小于90度。
2、直角三角形：三角形的三个内角中一个角等于90度，可记作Rt△。
3、钝角三角形：三角形的三个内角中有一个角大于90度。
三角形的重心、外心、垂心、内心和旁心(五心定理).doc
三角形五心定理(三角形的重心，外心，垂心，内心和旁心称Z为三角形的五心)三角形五心定理是指三角形重心定理，外心定理，垂心定理，内心定理, 旁心定理的总称。
、三角形重心定理三角形的三条边的中线交于一点。
该点叫做三角形的重心。
三中线交于一点可用燕尾定理证明，十分简单。
(重心原是一个物理概念，对于等厚度的质量均匀的三角形薄片，其重心恰为此三角形三条中线的交点, 重心因而得名)重心的性质：1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离Z比为2 ： 1o2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。
即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。
3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。
4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其重心坐标为((X1 +X2+X3)/3, (Y1 +Y2+Y3)/3o二、三角形外心定理三角形外接圆的圆心，叫做三角形的外心。
外心的性质：仁三角形的三条边的垂直平分线交于一点，该点即为该三角形外心。
2、若0是ZXABC的外心，则ZB0C=2ZA ( ZA为锐角或宜角)或Z BOC=360°-2ZA (ZA 为钝角)。
3、当三角形为锐角三角形时，外心在三角形内部；当三角形为钝角三角形时, 外心在三角形外部；当三角形为直角三角形时，外心在斜边上，与斜边的中点重合。
4、计算外心的坐标应先计算下列临时变量：d1, d2, d3分别是三角形三个顶点连向另外两个顶点向量的点乘od=d2d3, c2=d1d3, c3=d1d2； c=c1+c2+c3o 重心坐标:((c2+c3)/2c, (c1+c3)/2c, (c1+c2)/2c )o5、外心到三顶点的距离相等三、三角形垂心定理三角形的三条高(所在直线)交于一点，该点叫做三角形的垂心。
垂心的性质：1＞三角形三个顶点，三个垂足，垂心这7个点可以得到6个四点圆。
2、三角形外心O、重心G和垂心H三点共线，且0G : GH=1 : 2。
三角形中的重心与外心定理
三角形中的重心与外心定理三角形是几何学中最基本的形状之一，研究三角形的性质和特点对于深入了解几何学具有重要意义。
在三角形中，重心和外心是两个重要的概念，通过重心与外心定理，我们可以揭示它们的关系和性质。
重心是指三角形三条中线的交点，记作G。
在一个三角形ABC中，连接顶点A与边BC的中点M，连接顶点B与边AC的中点N，连接顶点C与边AB的中点P，这三条线段分别称为三角形ABC的中线。
重心G是中线的交点，即G=MN∩NP∩PM。
外心是指三角形外接圆的圆心，记作O。
在一个三角形ABC中，若存在一个圆可以同时与三条边AB、BC、CA相切，称这个圆为三角形ABC的外接圆。
外心O则为外接圆的圆心。
重心与外心定理是指，三角形的重心、外心和三边中点构成一个等腰三角形。
换句话说，连接重心和外心的线段与连接三边中点的线段长度相等，且它们之间的夹角等于π/2。
证明这个定理的方法有很多，这里我们可以采用向量的方法。
考虑一个三角形ABC，其三个顶点的向量表示分别为a、b、c。
重心G可以表示为G=(a+b+c)/3，外心O可以表示为O=(a|b|c)/(|a|+|b|+|c|)，其中|a|表示向量a的模。
首先，我们来证明 |G-M|=|O-G|。
注意到中点M的向量表示为M=(b+c)/2，连接线段GM的向量表示为G-M=(a+b+c)/3-(b+c)/2=(a-b/2-c/2)/3。
同理，O-G=(a|b|c)/(|a|+|b|+|c|)-(a+b+c)/3=(a|b|c-|a|(b+c)-|b|(a+c)-|c|(a+b))/(3∗(|a|+|b|+|c|))。
我们将等式两边进行化简，得到：6(G-M)=2(a-b/2-c/2)=(2a-b-c)=3(a-b/2-c/2)=|a|∗(a|b|c-|a|(b+c)-|b|(a+c)-|c|(a+b))/(3∗(|a|+|b|+|c|))=|O-G|说明 |G-M|=|O-G| 成立。
三角形重心的定理
三角形重心的定理1. 哎呀，说起三角形的重心，那可真是个有趣的话题！就像每个人都有自己的平衡点一样，三角形也有它自己的"中心"，这个点可神奇啦！2. 你想啊，三角形的重心就像是三个小朋友在跷跷板上找平衡点。
这个点的位置可有意思了，它就在三角形三条中线的交点上。
中线是啥？就是从顶点到对边中点的那条线啦！3. 说到这个重心的特点，那可真是绝了！它把每条中线都分成特定的比例，就像是个小裁缝一样，永远都是按照二比一来分割。
从顶点算起，重心把中线分成三分之二和三分之一，这比例稳定得就跟我妈包的饺子一样准！4. 你们猜怎么着？这个重心还有个超级厉害的外号，叫"三角形的平衡点"！要是把一个三角形用硬纸板剪出来，用铅笔尖顶在重心位置，它就能完美平衡，就像杂技演员顶着高高的竿子一样稳！5. 更神奇的是，不管你这个三角形是胖是瘦，是等边还是不等边，这个重心的性质都不会变。
就像是不管你穿什么衣服，你还是你一样！6. 要找重心也特别简单，画两条中线就够啦！它们的交点就是重心。
要是你特别较真，非要画三条中线，也没问题，反正它们肯定在同一个点相交，就像三个好朋友约好在同一个地方见面一样准时！7. 这个重心还有个特别有意思的性质，它到三角形三个顶点的距离的平方和，是最小的。
这就像是找聚会地点，选在重心的位置，大家走的路加起来最短！8. 要是把三角形看成一个薄片，重心就是它的平衡点。
你可以想象，要是用一根针顶着重心，这个三角形就能水平放着不掉下来，简直就像变魔术一样神奇！9. 在物理上，重心还有个超酷的性质：三角形绕着任何一条通过重心的轴旋转时，转动惯量都是最小的。
这就像是花样滑冰选手，把手臂收紧时转得最快一样！10. 有趣的是，三角形的重心还把三角形的面积分成六个相等的小三角形。
这就像是把一个大蛋糕精确地切成六份一样，每一份都一模一样大！11. 在工程设计中，重心的概念可重要啦！比如设计三角形的支架或者建筑构件时，都得考虑重心的位置。
在复平面上简短地证明三角形重心定理
在复平面上简短地证明三角形重心定理三角形的重心定理：任何三角形的三条中线交于一点（重心）。
证明：对任意三角形，令复平面的点0和点1对应其2个顶点，点z 对应另一个顶点。
设1到z/2的中线与0到(z+1)/2的中线交于点ɑ，只需要证明复数21ɑ--z z 的虚部为0，即两个向量的幅角相同,命题即证明完毕。
由于0,ɑ,21+z 三个点一线，所以0ɑ21Im =⎪⎭⎫ ⎝⎛+z ()2ɑ2ɑ1ɑ21+=+z z 的虚部为0，则()ɑ-ɑz -ɑɑ0ɑɑIm +==+z z (1)由于1,ɑ,2z 三个点一线，所以01-ɑ1-2Im =⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛z ()()21-ɑ21ɑ22-ɑ22-z 1-ɑ1-2--==z z ，这个数的虚部为0，则()()0)ɑ2ɑ()2ɑ2ɑ(]1ɑ2[=--=+--=--z z IM z z IM z IM ,则：()ɑ2ɑ-ɑ2ɑ=----z z z z 0ɑ2ɑ2ɑ-ɑ=+-+-z z z z (2)联立(1)式(2)式，可以解出：ɑ-ɑɑz -ɑ=z (3)而且z z -=-ɑ3ɑ3(4)现在求21ɑ--z z 的虚部()()2212ɑɑ22211212ɑ2112ɑ2121ɑ-+--=---=--=--z z z z z z z z z z z z 由于只想判定这个复数的虚部是不是为0，因此只需要计算()ɑɑ2+--z z IM 是否为0。
()z z z z z z z z z z IM -++-=+--+--=+--ɑ-ɑɑ2ɑ2ɑɑ2(-ɑɑ2ɑɑ22=上式代入(3)，则等于()()z zz zz z -=-++=-++-z -ɑ3-ɑ3ɑ-ɑɑ-ɑ2ɑ-ɑɑ2ɑ2再代入(4)式，则求出其等于0因此021ɑ=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--z z IM ，说明复向量z-ɑ，与z-21是幅角相同的向量，也就是z,ɑ,21在同一直线之上，证毕。
相似三角形的重心定理与三角形重心
相似三角形的重心定理与三角形重心相似三角形是数学中一个重要的概念，它们具有相同的形状但可能不同的大小。
研究相似三角形的性质可以帮助我们更好地理解三角形的几何特征。
在相似三角形中，重心定理是一项重要的定理，它与三角形的重心之间有密切关系。
本文将介绍相似三角形的重心定理以及与三角形重心的相关内容。
一、相似三角形的重心定理相似三角形的重心定理是指：在两个相似三角形中，它们的重心之间的连线与两个三角形的对应边平行且等于对应边的比值。
具体来说，在两个相似三角形ABC和A'B'C'中，它们的顶点分别为A、B、C和A'、B'、C'，且相似比为k，则连接相似三角形的重心G和G'的连线GG'与对应边BC和B'C'平行且等于对应边的比值k。
根据相似三角形的性质，我们可以得出以下结论：1. GG'与BC和B'C'平行。
这是因为由于三角形ABC和A'B'C'的相似性，它们的形状相同，所以连线GG'与基底边BC和B'C'平行。
2. GG'与BC和B'C'的长度之比等于k。
由于相似三角形的对应边成比例，所以GG'与BC和B'C'的长度之比等于k。
通过这个定理，我们可以获得有关相似三角形中的重心和对应边之间的关系。
利用这个定理，我们可以更好地理解相似三角形的性质和特点。
二、三角形重心三角形的重心是指三角形三个顶点的垂直平分线的交点，通常用符号G表示。
重心是一个三角形的重要几何点之一，有许多有趣的性质和应用。
在一个三角形ABC中，重心G的坐标可以通过三个顶点的坐标来确定。
设三个顶点的坐标分别为A(x1, y1)、B(x2, y2)和C(x3, y3)，则重心G的坐标为：G([(x1+x2+x3)/3], [(y1+y2+y3)/3])。
三角形相似性质重心(1)解析
G是ABC的重心;
A
求：1.点G到直角顶点C的距离GC；
解：RtACB,ACB 90o
G
D E
F
AC 4,BC 3
G是ABC的重心
AB
5
CCGD是 中32 C线D
CD
5 2
C
B CG 5
3
2.点G到斜边AB的距离
已知：ABC中AB AC, AD BC, AD与 中线BE相交于点G; AD 18cm,GE 5cm, 求：BC的长。
A
B
B
C
B
A
D G
DA C
G’
G
D
C
判断题
1、等边三角形三条高的交点就 是它的重心.
2、三角形的重心到一边的距离 等于这边上中线长的三分之一.
三角形的重心到一边
A
中点的距离等于这边上中
线长的三分之一.
G
B
C DEF
三角形的重心到一边
的距离等于这边上高的三 分之一.
已知：RtACB, ACB 90o , AC 4, BC 3,
A
E G
B
?D
C
已知ABC的中线CD、BE相交于点G;
A
求：341526... S ::SS SS ::SS DDDDGGGGEBEEE DEBADAEGGGDBCCCCBC;;;;;
D
E
GG
B
C
归纳有关三角形面积解题方法：
A
1.相似三角形面积之比 等于相似比的平方；
E G
2.等底或同底的两个三 F 角形面积之比等于高之
C BD CD
三角形的三条中线交于一点 三角形的三条中线的交点叫做三角形的重心.
与三角形外心、内心、重心相关的关系和定理
三角形外心、心里、重心有关的关系和定理。
外心即外接圆的圆心，此时三角形三个极点在圆上，圆心到三个极点的距离相等，即外心到三角形三个极点距离相等，因别的心是三角形三条边的中垂线的交点。
心里即内切圆的圆心，此时三角形三条边都与圆相切，圆心到三条边的距离相等，即心里到三角形三个极点距离相等，所以心里是三角形三个角的角均分线交点。
重心即三条中线的交点，分别经过三个极点与对边中点相连，中线的交点即是重心，重心把三条中线分红1:2，即重心与中点的距离与重心与极点的距离比为 1:2。
垂心即三条高的交点，分别经过三个极点作对边作垂线，垂线的交点即是垂心。
重心的性质：1、重心到极点的距离与重心到对边中点的距离之比为2︰1。
2、重心和三角形随意两个极点构成的三个三角形面积相等。
即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。
3、重心到三角形三个极点距离的平方和最小。
外心的性质：1、三角形的三条边的垂直均分线交于一点，该点即为该三角形外心。
2、若 O 是△ABC的外心，则∠BOC=2∠A（∠ A 为锐角或直角）或∠B OC=360-2°∠A（∠A 为钝角） .3、当三角形为锐角三角形时，外心在三角形内部；当三角形为钝角三角形时，外心在三角形外面；当三角形为直角三角形时，外心在斜边上，与斜边的中点重合。
4、外心到三极点的距离相等心里的性质：1、三角形的三条内角均分线交于一点。
该点即为三角形的心里。
2直角三角形的心里到边的距离等于两直角边的和、减去斜边的差的二分之一。
3、O 为三角形的心里， A、B、C分别为三角形的三个极点，延伸 AO 交 BC 边于 N，则有 AO:ON=AB:BN=AC:CN=(AB+AC):BC4（内角均分线分三边长度关系）△ABC中， 0 为心里，∠A、∠B、∠C的内角均分线分别交 BC、AC、AB 于 Q、P、R，则 BQ/QC=c/b, CP/PA=a/c,BR/RA=a/b.5、心里到三角形三边距离相等。
证明三角形重心判定性质
证明三角形重心判定性质三角形重心是三角形内部所有中线的交点，是三角形的一个重要点。
在三角形的研究中，三角形重心有着重要的作用，包括判定三角形的形状、判断三角形的大小和计算三角形的面积等。
在本文中，我们将探讨证明三角形重心判定性质的方法。
三角形重心判定定理是三角形研究中一条非常重要的定理，也是几何学中的一道经典问题。
这个定理可以用来判断三角形的性质，以及计算三角形的重心坐标。
三角形重心的坐标可以用以下公式计算：$G = (\frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}, \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3})$其中，$G$表示三角形重心的坐标，$x_1$、$x_2$、$x_3$、$y_1$、$y_2$和$y_3$分别表示三角形三个顶点的坐标。
证明三角形重心判定定理需要以下两个步骤：第一步，证明三角形重心是三条中线的交点。
首先，我们需要知道中线是什么。
中线是连结三角形两个顶点及其对边中点的线段。
因此，三角形有三条中线。
中线可以通过以下公式计算出来：$AB: \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}$$BC: \frac{x_2 + x_3}{2}, \frac{y_2 + y_3}{2}$$AC: \frac{x_1 + x_3}{2}, \frac{y_1 + y_3}{2}$其中，$AB$、$BC$、$AC$表示三角形的三条边，$x_1$、$x_2$、$x_3$、$y_1$、$y_2$和$y_3$分别表示三角形三个顶点的坐标。
我们需要证明三条中线的交点是三角形的重心。
假设$G$为三角形的重心，且$G$在$AB$和$BC$上，那么$G$必定在$AC$上。
这是因为$AC$是由两点$(x_1, y_1)$和$(x_3, y_3)$组成，而重心$G$又满足以下条件：$\frac{AG}{AB} = \frac{BG}{BC} = \frac{CG}{AC}$由此可得：$\frac{AG}{AB} = \frac{2}{3}$$\frac{BG}{BC} = \frac{2}{3}$$\frac{CG}{AC} = \frac{2}{3}$因为$AG$和$BG$都是中线，所以它们分别等于$AB$和$BC$的一半。
三角形重心的概念
三角形重心的概念
三角形重心的定义是三角形三条中线的交点。
数学上的重心是指三角形的三条中线的交点，其证明定理有燕尾定理或塞瓦定理，应用定理有梅涅劳斯定理、塞瓦定理。
当几何体为匀质物体时，重心与形心重合。
锐角三角形以等边三角形为例，等边三角形的重心亦为垂心，即三角形三条高连线的交点。
只有等边三角形的重心与垂心重合，其他三角形无此类情况。
三角形重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。
重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。
三角形重心的性质
在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其坐标为
((X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3)；空间直角坐标系——横坐标：(X1+X2+X3)/3 纵坐标：(Y1+Y2+Y3)/3 竖坐标：（Z1+Z2+Z3）/3。
重心和三角形3个顶点的连线的任意一条连线将三角形面积平分。
重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。
重心是三角形内到三边距离之积最大的点。
三角形的重心定理及其证明
三角形的重心定理及其证明积石中学王有华同学们在学习几何时，常常用到三角形的重心定理.但很多同学不会证明这个定理？下面给出三种证明方法，你阅读后想一想，哪一种证明方法最好.已知：（如图）设ABC 中，L 、M 、N 分别是BC 、CA 、AB 的中点.求证：AL 、BM 、CN 相交于一点G ，且AG ﹕GL= BG ﹕GM= CG ﹕GN=2﹕1. 证明1（平面几何法）：（如图1）假设中线AL 与BM 交于G ，而且假设C 与G 的连线与AB 边交于N ，首先来证明N 是AB 的中点.现在，延长GL ，并在延长线上取点D ，使GL=LD 。
因为四边形BDCG 的对角线互相平分，所以BDCG 是平行四边形.从而，B G ∥DC ，即GM ∥DC.但M 是AC 的中点，因此，G 是AD 的中点.另一方面，GC ∥BD ，即NG ∥BD.但G 是AD 的中点，因此N 是AB 的中点.另外，G 是AD 的中点，因此AG ﹕GL=2﹕1.同理可证： BG ﹕GM=2﹕1， CG ﹕GN=2﹕1.这个点G 被叫做ABC 的重心.证明2（向量法）：（如图2）在ABC 中，设AB 边上的中B C线为CN ，AC 边上的中线为BM ，其交点为G ，边BC 的中点为L ，连接AG 和GL ，因为B 、G 、M 三点共线，且M 是AC 的中点，所以向量BG ∥BM ，所以，存在实数1λ ，使得 1BG BM λ=，即 1()AG AB AM AB λ-=-所以，11(1)AG AM AB λλ=+-=111(1)2AC AB λλ+- 同理，因为C 、G 、N 三点共线，且N 是AB 的中点. 所以存在实数2λ，使得 22(1)AG AN AC λλ=+-= 221(1)2AB AC λλ+- 所以 111(1)2AC AB λλ+- = 221(1)2AB AC λλ+- 又因为 AB 、 AC 不共线，所以1221112112λλλλ=-=-⎧⎨⎩ 所以 1223λλ== ，所以 1133AG AB AC =+ . 因为L 是BC 的中点，所以GL GA AC CL =++ =111()332AB AC AC CB -+++ =121()332AB AC AB AC -++- =1166AB AC +，即2AG GL =，所以A 、G 、L 三点共线.故AL 、BM 、CN 相交于一点G ，且AG ﹕GL= BG ﹕GM= CG ﹕GN=2﹕1C证明3（向量法）（如图3）在ABC 中，BC 的中点L 对应于1()2OL OB OC =+， 中线AL 上的任意一点G ，有(1)OG OA OL λλ=+- 1122OA OB OC λλλ--=++.同理，AB 的中线CN 上的任意点G ′，1122OG OC OA OB μμμ--'=++，求中线AL 和CN 的交点，就是要找一个λ和一个μ，使OG OG '=.因此，我们令12μλ-=，1122λμ--=，12λμ-=.解之得13λμ==.所以111333OG OG OA OB OC '==++.由对称性可知，第三条中线也经过点G . 故AL 、CN 、BM 相交于一点G ，且易证AG ﹕GL= BG ﹕GM= CG ﹕GN=2﹕1.。
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三角形重心-三角形重心定理三角形中的几个重要定理三角形中的几个重要定理1．梅涅劳斯定理一直线与ΔABC的三边AB、BC、CA或它们的延长线分别相交于X，Y，Z，AXBYCZ则梅涅劳斯定理的逆定理也成立在ΔABC的边AB、BC、CA分别取X，Y，Z.AXBYCZ如果1，那么X，Y，Z三点共线。
XBYCZA梅氏定理的逆定理常用来证明三点共线。
2. 塞瓦定理常可分为边元塞瓦定理和角元塞瓦定理。
边元塞瓦定理：ΔABC内任取一点P，直线AP，BP，CP分别与边BC，CA，AB相交于点D，BDCEAFE，F，则 1.DCEAFB边元塞瓦定理逆定理也成立：在ΔABC的边BC，CA，AB上分别取点D，E，F，如果那么直线AD，BE，CF三线相交于同一点.塞瓦定理的逆定理常用来证明三线共点。
角元塞瓦定理BDCEAF1.DCEAFBAFMEBDC如图，设D、E、F 分别是△ABC 的三边BC、CA、AB 上的点，三条线段AD、BE、CF 交于一点M．则对ΔABC与点M，有sin BAMsin ACMsin CBM1sin MACsin MCBsin MBAsin BM Dsin MCAsin CBA1sin DMCsin ACBsin AMBsin CM Esin MABsin ACB1sin EMAsin BACsin BCM对ΔMBC与点A，有对ΔMCA与点B，有对ΔMAB与点C，有角元塞瓦定理的逆定理也成立。
sin AMFsin MBCsin BAC1sin FMBsin CBAsin CAMADDEBFCBCEAFBEDACF如图，过△ ABC的三个顶点各引一条异于三角形三边的直线AD、BE、CF．若sin BADsin ACFsin CBE1，则AD、BE、CF三线共点或互相平行。
sin DACsin FCBsin EBA3. 斯台沃特定理ΔABC的边BC上任取一点D，若BD u，CD v，AD t，则b2u c2vt uv.a2特别地，当AD是ΔABC的中线时，u vma1a，令AD ma，则212b22c2a2，此即中线长公式；当AD是ΔABC的内角平分线时，2 acab由内角平分线性质：u，v，b cb c2a b c设AD ta，可得ta bc p(p a)，这里p.此即角平分线公式。
b c2如图，ΔABC中，D为线段BC上一点，满足AD BC，取边AB上点E，边AC上点F，连DE、DF，满足EDA FDA，求证:AD、BF、CE三线共点。
GAHEFBDC如图，A1、B1、C1分别是ΔABC 的边BC、CA、AB内任意一点，Ga，Gb，Gc分别为ΔAB1C1，ΔBC1A1，ΔCA1B1的重心。
求证：AGa，BGb，CGc三线共点的充要条件是AA1，BB1，CC1三线共点。
如图，P为ΔABC内一点，使得PAB100，PBA200，PCA300,PAC40.求证：ΔABC是等腰三角形.AM、N、P分别是ΔABC的三边BC、CA、AB的中点，M1、N1、P1在ΔABC 的边上，且满足MM1、NN1、PP1分别平分ΔABC的周长.证明：MM1、NN1、PP1交于同一点K.已知直线上的三个定点依次为A、B、C，Γ为过A、C且圆心不在AC上的圆。
分别过A、C两点且与圆Γ相切的直线交于点P，PB与圆Γ交于点Q.证明：AQC的平分线与AC的交点不依赖于圆Γ的选取。
已知非等边ΔABC，A、B、C的平分线分别交对边于点A、B、的中垂线与BC交于点A，BB的中垂线与AC交于点B，CC的中垂线交于点C.证明：A、B、C三点共线.已知ΔABC的三边BC、CA、AB 上各有一点D、E、F，且满足AD、BE、CF交于一点G.若ΔAGE、ΔCGE、ΔBGF 的面积相等.证明：G是ΔABC的重心.设ΔABC的边AB的中点为N，A B，D是射线AC上一点，满足CD BC，P是射线DN上一点，且与点A在边BC的同侧，满足PBC A，PC与AB交于点E，BC与DP交于点T.求表达式BCEA的值.TCEB已知点B、C分别在由点A引出的两条射线上，且AB AC为一定值.求证：ΔABC的外接圆恒过不依赖于点B、C 的点D(D A).在ΔABC内部给定三点D、E、F，使得BAE CAF，ABD CBF.求证：AD、BE、CF三线共点的充分必要条件是ACD BCE.在四边形ABCD中，对角线AC平分BAD.在CD 上取一点E，BE与AC相交于F，延长DF交BC于G。
求证：GAC EAC.证明pascal定理圆内接四边形ABCDEF三组对边AB和DE，CD和FA，EF和BC的交点L，M，N共线.在三角形ABC的边上向外作正方形，A1，B1，C1是正方形的边BC，CA，AB的对边的中点，证明：直线AA1，BB1，CC1相交于一点.P167三角形几个心的定理最佳答案百度百科三角形五心定律http:///view/一、三角形重心定理二、三角形外心定理三、三角形垂心定理四、三角形内心定理五、三角形旁心定理有关三角形五心的诗歌三角形五心定理三角形的重心，外心，垂心，内心和旁心称之为三角形的五心。
三角形五心定理是指三角形重心定理，外心定理，垂心定理，内心定理，旁心定理的总称。
一、三角形重心定理三角形的三条边的中线交于一点。
该点叫做三角形的重心。
三中线交于一点可用燕尾定理证明，十分简单。
重心的性质：1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2︰1。
2、重心和三角形任意两个顶点组成的3个三角形面积相等。
即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。
3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。
4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数，即其重心坐标为或∠BOC=360°-2∠A。
3、当三角形为锐角三角形时，外心在三角形内部；当三角形为钝角三角形时，外心在三角形外部；当三角形为直角三角形时，外心在斜边上，与斜边的中点重合。
4、计算外心的坐标应先计算下列临时变量：d1，d2，d3分别是三角形三个顶点连向另外两个顶点向量的点乘。
c1=d2d3，c2=d1d3，c3=d1d2；c=c1+c2+c3。
外心坐标：( (c2+c3)/2c，(c1+c3)/2c，(c1+c2)/2c )。
5、外心到三顶点的距离相等三、三角形垂心定理三角形的三条高交于一点，该点叫做三角形的垂心。
垂心的性质：1、三角形三个顶点，三个垂足，垂心这7个点可以得到6个四点圆。
2、三角形外心O、重心G和垂心H三点共线，且OG︰GH=1︰2。
）3、垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离的2倍。
4、垂心分每条高线的两部分乘积相等。
定理证明已知：ΔABC中，AD、BE 是两条高，AD、BE交于点O，连接CO 并延长交AB于点F ，求证：CF⊥AB 证明：连接DE ∵∠ADB=∠AEB=90度∴A、B、D、E四点共圆∴∠ADE=∠ABE ∵∠EAO=∠DAC ∠AEO=∠ADC ∴ΔAEO∽ΔADC ∴AE/AO=AD/AC ∴ΔEAD∽ΔOAC ∴∠ACF=∠ADE=∠ABE 又∵∠ABE+∠BAC=90度∴∠ACF+∠BAC=90度∴CF⊥AB 因此，垂心定理成立！四、三角形内心定理三角形内切圆的圆心，叫做三角形的内心。
内心的性质：1、三角形的三条内角平分线交于一点。
该点即为三角形的内心。
2、直角三角形的内心到边的距离等于两直角边的和减去斜边的差的二分之一。
3、P为ΔABC 所在平面上任意一点，点0是ΔABC内心的充要条件是：向量P0=(a×向量PA+b×向量PB+c×向量PC)/(a+b+c).4、O为三角形的内心，A、B、C分别为三角形的三个顶点，延长AO交BC边于N，则有AO:ON=AB:BN=AC:CN=(AB+AC):BC5、点O是平面ABC上任意一点，点I 是△ABC内心的充要条件是：a(向量OA)+b(向量OB)+c(向量OC)=向量0．6、、(欧拉定理)⊿ABC中，R和r 分别为外接圆为和内切圆的半径，O和I 分别为其外心和内心，则OI =R -2Rr．7、△ABC中，0为内心，∠A 、∠B、∠C的内角平分线分别交BC、AC、AB于Q、P、R，则BQ/QC=c/b, CP/PA=a/c, BR/RA=a/b.五、三角形旁心定理三角形的旁切圆的圆心，叫做三角形的旁心。
旁心的性质：1、三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点，该点即为三角形的旁心。
2、每个三角形都有三个旁心。
3、旁心到三边的距离相等。
如图，点M就是△ABC的一个旁心。
三角形任意两角的外角平分线和第三个角的内角平分线的交点。
一个三角形有三个旁心，而且一定在三角形外。
附：三角形的中心：只有正三角形才有中心，这时重心，内心，外心，垂心，四心合一。
有关三角形五心的诗歌三角形五心歌三角形有五颗心，重外垂内和旁心，五心性质很重要，认真掌握莫记混．重心三条中线定相交，交点位置真奇巧，交点命名为“重心”，重心性质要明了，重心分割中线段，数段之比听分晓；长短之比二比一，灵活运用掌握好．外心三角形有六元素，三个内角有三边．作三边的中垂线，三线相交共一点．此点定义为外心，用它可作外接圆．内心外心莫记混，内切外接是关键．垂心三角形上作三高，三高必于垂心交．高线分割三角形，出现直角三对整，直角三角形有十二，构成六对相似形，四点共圆图中有，细心分析可找清. 内心三角对应三顶点，角角都有平分线，三线相交定共点，叫做“内心”有根源；点至三边均等距，可作三角形内切圆，此圆圆心称“内心”，如此定义理当然．五心性质别记混，做起题来真是好三角型重心定理1)重心分中线成两段,它们的长度比为2:1.2)三条中线将三角形分成六个小块,六个小块面积相等,也就是说重心和三顶点的连线,将三角形的面积三等分.2)材质均匀的三角形物体,他的重心就在几何重心上.也就是说,你可以从重心穿过一条线,手提这条线,而三角形物体保持水平.三角形的五心一定理重心定理：三角形的三条中线交于一点，这点到顶点的离是它到对边中点距离的2倍。
该点叫做三角形的重心。
外心定理：三角形的三边的垂直平分线交于一点。
该点叫做三角形的外心。
垂心定理：三角形的三条高交于一点。
该点叫做三角形的垂心。
内心定理：三角形的三内角平分线交于一点。
该点叫做三角形的内心。
旁心定理：三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点。
该点叫做三角形的旁心。
三角形有三个旁心。
三角形的重心、外心、垂心、内心、旁心称为三角形的五心。
它们都是三角形的重要相关点。
上述的几个结论早在欧几里得时代均已被人发现，欧几里得除垂心定理外，均把它们作为重要定理收集在自己的《几何原本》里，但后来关于三角形这些特殊相关点的诸多研究及由此得出的许多著名结论表明，遗漏垂心定理不能不算是《几何原本》作者的一个疏忽。