三角形重心三角形重心定理

三角形重心-三角形重心定理

三角形中的几个重要定理

三角形中的几个重要定理

1．梅涅劳斯定理

一直线与ΔABC的三边AB、BC、CA或它们的延长线分别相交于X，Y，Z，AXBYCZ则

梅涅劳斯定理的逆定理也成立

在ΔABC的边AB、BC、CA分别取X，Y，Z.

AXBYCZ

如果1，那么X，Y，Z三点共线。

XBYCZA

梅氏定理的逆定理常用来证明三点共线。

2. 塞瓦定理常可分为边元塞瓦定理和角元塞瓦定理。边元塞瓦定理：ΔABC内任取一点P，直线AP，BP，CP分别与边BC，CA，AB相交于点D，BDCEAF

E，F，则 1.

DCEAFB

边元塞瓦定理逆定理也成立：

在ΔABC的边BC，CA，AB上分别取点D，E，F，如果那么直线AD，BE，CF三线相交于同一点.

塞瓦定理的逆定理常用来证明三线共点。角元塞瓦定理

BDCEAF

1.

DCEAFB

A

F

M

E

B

D

C

如图，设D、E、F 分别是△ABC 的三边BC、CA、AB 上的点，三条线段AD、BE、CF 交于一点M．则

对ΔABC与点M，有

sin BAMsin ACMsin CBM

1

sin MACsin MCBsin MBAsin BM Dsin MCAsin CBA

1

sin DMCsin ACBsin AMBsin CM Esin MABsin ACB

1

sin EMAsin BACsin BCM

对ΔMBC与点A，有

对ΔMCA与点B，有

对ΔMAB与点C，有

角元塞瓦定理的逆定理也成立。

sin AMFsin MBCsin BAC

1

sin FMBsin CBAsin CAM

A

D

DE

B

F

C

B

C

E

A

F

B

E

DA

CF

如图，过△ ABC的三个顶点各引一条异于三角形三边的直线AD、BE、CF．若

sin BADsin ACFsin CBE

1，则AD、BE、CF三线共点或互相平行。

sin DACsin FCBsin EBA

3. 斯台沃特定理

ΔABC的边BC上任取一点D，若BD u，CD v，AD t，则b2u c2vt uv.

a

2

特别地，当AD是ΔABC的中线时，u v

ma

1

a，令AD ma，则2

1

2b22c2a2，此即中线长公式；当AD是ΔABC的内角平分线时，2 acab

由内角平分线性质：u，v，

b cb c2a b c

设AD ta，可得ta bc p(p a)，这里p.此即角平分线公式。

b c2

如图，ΔABC中，D为线段BC上一

点，满足AD BC，取边AB上点E，边AC上点F，连DE、DF，满足EDA FDA，求证:AD、BF、CE三线共点。

G

A

H

E

F

B

D

C

如图，A1、B1、C1分别是ΔABC 的边BC、CA、AB内任意一点，Ga，Gb

，Gc分别为ΔAB1C1，ΔBC1A1，ΔCA1B1的重心。求证：AGa，BGb，CGc三线共点的充要条件是AA1，BB1，CC1三线共点。

如图，P为ΔABC内一点，使得PAB100，PBA200，PCA300,PAC40.求证：ΔABC是

等腰三角形.

A

M、N、P分别是ΔABC的三边BC、CA、AB的中点，M1、N1、P1在ΔABC 的边上，且满足MM1、NN1、PP1分别平分ΔABC的周长.证明：MM1、NN1、PP1交于同一点K.

已知直线上的三个定点依次为A、B、C，Γ为过A、C且圆心不在AC上的圆。分别过A、C两点且与圆Γ相切的直线交于点P，PB与圆Γ交于点Q.证明：AQC的平分线与AC的交点不依赖于圆Γ的选取。

已知非等边ΔABC，A、B、C的平分线分别交对边于点A、B、的中垂线与BC交于点A，BB的中垂线与AC交于点B，CC的中垂线交于点C.证明：A、B、C三点共线.

已知ΔABC的三边BC、CA、AB 上各有一点D、E、F，且满足AD、BE、CF交于一点G.若ΔAGE、ΔCGE、ΔBGF 的面积相等.证明：G是ΔABC的重心.

设ΔABC的边AB的中点为N，A B，D是射线AC上一点，满足CD BC，P是射线DN上一点，且与点A在边BC的同侧，满足PBC A，PC与AB交于点E，BC与DP交于点T.求表达式

BCEA

的值.TCEB

已知点B、C分别在由点A引出的两条射线上，且AB AC为一定值.求证：ΔABC的外接圆恒过不依赖于点B、C 的点D(D A).

在ΔABC内部给定三点D、E、F，使得BAE CAF，ABD CBF.求证：AD、BE、CF三线共点的充分必要条件是ACD BCE.在四边形ABCD中，对角线AC平分BAD.在CD 上取一点E，BE与AC相交于F，延长DF交BC于G。求证：GAC EAC.

证明pascal

定理

圆内接四边形ABCDEF三组对边

AB和DE，CD和FA，

EF和BC的交点L，M，N共线.

在三角形ABC的边上向外作正方形，A1，B1，C1是正方形的边BC，CA，AB的对边的中点，证明：直线AA1，BB1，CC1相交于一点.

P167三角形几个心的定理

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一、三角形重心定理

二、三角形外心定理

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三角形五心定理

三角形的重心，外心，垂心，内心和旁心称之为三角形的五心。三角形五心定理是指三角形重心定理，外心定理，垂心定理，内心定理，旁心定理的总称。

一、三角形重心定理