《离散数学》 第11章 格与布尔代数

11.1 格的定义和性质
11.1.3 格的性质
定义11.1.3 设（S，∨，∧）是一个代数系统，其中∨和 ∧是S上的二元运算，若∨和∧运算满足交换律、结合律、 幂等律和吸收律，则称（S，∨，∧）是一个格。 定理11.1.5 设S是格，对于任意a，b，c，d∈S，有 （1）若a≤b，则a∨c≤b∨c，a∧c≤b∧c； （2）若a≤b，c≤d，则a∨c≤b∨d，a∧c≤b∧d。
定理11.1.3 （S，≤）是一个格，由格（S，≤）所诱导的代 数系统为（S，∨，∧），则对任意的a，b，c∈S，下列性 质成立： （1）交换律 a∨b= b∨a，a∧b=b∧a； （2）结合律 （a∨b）∨c= a∨（b∨c），（a∧b）∧c= a∧（b∧c）； （3）幂等律 a∨a=a，a∧a=a； （4）吸收律 （a∨b）∧a=a，（a∧b）∨a=a。
11.1 格的定义和性质
11.1 格的定义
例于 正11.整1.数1 集正合整上数的集任合意上两整个除元关素系a ，就b是，一一个定偏有上序关确系界和，下对
确界。事实上，
a∨b=[a，b]，a∧ b=（a，b），
其中，[a，b]、（a，b）分别为a与b的最小公倍数和最大公 因数。这样正整数集和关于整除关系构成格。
11.1 格的定义和性质
11.1.2 格的对偶原理
定换，义∨11与.1∧.2互换设得（到S，关≤系）式是P*，格其，中将≥关定系义式为P中b≥的a≤当与且≥仅互当
a≤b，称P*为P的对偶式，简称对偶。
例如P是a≤a∨b，那么P的对偶式是a≥a∧b。
11.1 格的定义和性质
11.1.2 格的对偶原理
中都成立，所以P*在（S，≤）中也成立。
11.1 格的定义和性质
11.1.3 格的性质
定理11.1.2 设（S，≤）是格，对于任意a，b，c∈S有 （1）a≤a∨b，b≤a∨b； （2）a∧b≤a，a∧b≤b； （3）若b≤a，c≤a，则b∨c≤a； （4）若a≤b，a≤c，则a≤b∧c 。
11.1 格的定义和性质
11.1 格的定义和性质
11.1.3 格的性质
定理11.1.4 设（S，∨，∧）是具有两个二元运算的代数 系统，并且∨，∧满足交换律、结合律、幂等律和吸收律， 如果规定对于任意a，b∈S，
a≤b，当且仅当a∨b=b（或a∧b=a）， 那么（S，≤）构成一个格，并且sup{a，b}=a∨b，inf{a， b}=a∧b。
11.1 格的定义和性质
11.1.3 格的性质
证明 根据格的对偶原理只须证明每条性质的前半部分。 3）显然a≤a∨a，又由a≤a，a是{a，a}的上界，所以a∨a≤a。 根据≤的反对称性，有a∨a=a。 （4）因为a≤a∨b，a≤a， 根据定理11.1.2有 a≤（a∨b）∧a。 显然（a∨b）∧a≤a。 故根据≤的反对称性，有（a∨b）∧a =a。
11.1 格的定义和性质
11.1 格的定义
例以1无1.限1.。3 令设LV（是V域）F是上V的的一所个有向子量空空间间组，成维的数集可合以，有则限L也（可V）
关 于 集 合 的 包 含 关 系 构 成 一 个 格 。 对 于 任 意 的 A ， B∈L （V）， 子空间A∩B是A与B的下确界A∧B，由子集A∪B 生成的子空间（包含A∪B的所有子空间的交）是A与B的上 确界A∨B。
11.1 格的定义和性质
11.1 格的定义
定义11.1.1 设（S，≤）是一个偏序集，如果S中任意两个
元素都有上确界（最小上界）和下确界（最大下界），则 称（S，≤）为格。
把S中元素a和b得上确界和下确界，分别记为：a∨b和a∧b， 即
a∨b=sup{a，b}，a∧b=inf{a，b}。 a∨b读作a并b，a∧b读作a交b。
定理11.1.1（格的对偶原理）在任何格（S，≤）上成立的 关系式P，其对偶式P*也成立。
证明 设（S，≤）为任意的格，只须证明P*对（S，≤） 成立即可。
如下定义S上的二元关系 ：任意a，b∈S，有 a b a b。
易证 也 是S上的偏序。
11.1 格的定义和性质
11.1.2 格的对偶原理
11.1 格的定义和性质
11.1 格的定义
例由1S1的.1所.2有设子S集是组一成个的集集合合，，P（则SP）（是S）S的关幂于集集，合即的P包（含S关）是系
构成一个格，称为S的幂集格。对于任意的A，B∈P（S），
A∨B=A∪B，A∧B=A∩B，
其中∪和∩分别为集合的并与交。 当S是无限集时，令Pf（S）是由S的所有有限子集组成的集 合，则Pf（S）关于集合的包含关系仍构成一个格。
定理11.1.1（格的对偶原理）在任何格（S，≤）上成立的 关系式P，其对偶式P*也成立。

设任意a，b∈S，集合{a，b}的上确界和下确界存在， 分别记作a b和a b，并且
a b =a b，a b =a b。
所以（S， ）也是格，且P*在（S，≤）中成立，当 且仅当P在（S，）中成立。由于P在任何格（S，≤）
11.1.3 格的性质
设 （ S ， ≤ ） 是 格 。 对 于 任 意 的 a ， b∈S ， 都 有 a∨b ， a∧b∈S，即∨与∧是S的两个代数运算。这样（S，∨，∧） 就构成了代数系统，称为由格S诱导出的代数系统。下面讨 论这个代数系统的性质。
11.1 格的定义和性质
11.1.3 格的性质
第11章 格与布尔代数
本章学习目标
通过本章的学习，读者应掌握如下内容： （1）掌握格的定义和性质 （2）掌握模格、分配格与有补格的概念和性质 （3） 掌握布尔代数的概念和性质
（4）掌握布尔表达式的概念和性质，并掌握同构的概念 及其判定
第11章 格与布尔代数
11.1 11.2 1wenku.baidu.com.3
格的定义和性质 分配格和有补格 布尔代数
11.1 格的定义和性质
11.1.3 格的性质
证明 根据格的对偶原理只须证明每条性质的前半部分。 （1）a∨b是{a，b}的上确界，b∨a是{b，a}的上确界，由 集合定义的无序性有{a，b}={b，a}，可得a∨b=b∨a。 （2）因为a≤a∨b≤（a∨b）∨c，b≤a∨b≤（a∨b）∨c，c≤ （a∨b）∨c， 于是有b∨c≤（a∨b）∨c，a∨（b∨c）≤（a∨b）∨c。 同理可证（a∨b）∨c≤a∨（b∨c）。 根据≤的反对称性可知，（a∨b）∨c=a∨（b∨c）。