函数与坐标系

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平面直角坐标系与函数的概念

专题四函数第一节平面直角坐标系与函数的概念一【知识梳理】1.平面直角坐标系如图所示：注意：坐标原点、x 轴、y 轴不属于任何象限。

2.点的坐标的意义:平面中，点的坐标是由一个“有序实数对”组成，如(-2，3)，横坐标是-2，纵坐标是-3，横坐标表示点在平面内的左右位置，纵坐标表示点的上下位置。

3.各个象限内和坐标轴的点的坐标的符号规律①各个象限内的点的符号规律如下表。

说明：由上表可知x 轴的点可记为(x , 0) ,y 轴上的点可记做(0 , y )。

⒋ 对称点的坐标特征:点P （y x ,）①关于x 轴对称的点P 1（y x -,）；②关于y 轴对称的点P 2（y x ,-）；③关于原点对称的点P 3（y x --,）。

5.坐标平面内的点和“有序实数对” (x , y)建立了___________关系。

6.第一、三象限角平分线上的点到_____轴、_____轴的距离相等，可以用直线___________表示；第二、四象限角平线线上的点到_____轴、_____轴的距离也相等，可以用直线___________表示。

7.函数基础知识(1) 函数: 如果在一个变化过程中，有两个变量x 、y ，对于x 的，y 都有与之对应，此时称y是x的，其中x是自变量，y 是．(2)自变量的取值范围：①使函数关系式有意义；②在实际问题的函数式中，要使实际问题有意义。

(3)常量：在某变化过程中的量。

变量：在某变化过程中的量。

(4) 函数的表示方法:①；②；③。

能力培养：从图像中获取信息的能力；用函数来描述实际问题的数学建模能力。

二【巩固练习】1. 点P(3，－4）关于y轴的对称点坐标为_______，它关于x轴的对称点坐标为_______．它关于原点的对称点坐标为_____．2.龟兔赛跑，它们从同一地点同时出发，不久兔子就把乌龟远远地甩在后面，于是兔子便得意洋洋地躺在一棵大树下睡起觉来.乌龟一直在坚持不懈、持之以恒地向终点跑着，兔子一觉醒来，看见乌龟快接近终点了，这才慌忙追赶上去，但最终输给了乌龟.下列图象中能大致反映龟兔行走的路程S随时间t变化情况的是( ).3.如图,所示的象棋盘上，若○帅位于点（1，－2）上，○相位于点（3，－2）上，则○炮位于点（）A.（－1，1）B.（－1，2）C.（－2，1）D.（－2，2）4.如果点M(a+b,ab)在第二象限，那么点N(a，b)在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限5.图中的三角形是有规律地从里到外逐层排列的．设y为第n层(n为正整数)三角形的个数，则下列函数关系式中正确的是（）．A、y＝4n－4B、y＝4nC、y＝4n＋4D、y＝n26.函数13xyx+=-中自变量x的取值范围是（）A．x≥1-B．x≠3 C．x≥1-且x≠3 D．1x<-7.如图，方格纸上一圆经过（2，5），（－2，l），（2，－3），( 6，1）四点，则该圆的圆心的坐标为（）A．（2，－1）B．（2，2）C．（2，1） D．（3，l）8.右图是韩老师早晨出门散步时，离家的距离y与时间x的函数图象．若用黑点表示韩老师家的位置，则韩老师散步行走的路线可能是（）图3相帅炮9.已知M(3a －9，1－a)在第三象限，且它的坐标都是整数，则a 等于（）A ．1B ．2C ．3D ．010.如图， △ABC 绕点C 顺时针旋转90○后得到△A ′B ′C ′，则A 点的对应点A ′点的坐标是（）A ．（－3，－2）；B ．（2，2）；C ．（3，0）；D ．（2，l ）11．在平面直角坐标系中，点(34)P -，到x 轴的距离为（）Ａ．3 Ｂ．3- Ｃ．4 Ｄ．4-12.线段CD 是由线段AB 平移得到的。

讲平面直角坐标系与函数

函数的奇偶性
奇偶性是指函数是否具有对称性的性质。如果一个函数满足f(-x)=f(x)，则称该函数为偶函数；如果满足f(-x)=-f(x)，则称该函数为奇函数。
03
一次函数
一次函数的定义
一次函数的定义
一般形式为y=kx+b，其中k、b为常数，k≠0，自变量x的最高次数为1。
解释定义
一次函数描述了一个直线上的点的变化规律，其中x表示横坐标，y表示纵坐标。k为直线的斜率，b为直线与y轴的交点坐标。
值域是函数的重要组成部分，它们反映了函数与实际问题的联系和限制
。
函数的表示方法
函数的符号表示
通常用一个函数符号f(x)表示一个函数，其中x是自变量，f表示因变量。函数f(x)的值随x 的变化而变化。
表格法表示函数
表格法是一种直观地表示函数的方法，通过列出一些自变量x的值和对应的因变量y的值，可以清晰地展示函数的变化情况。
当k<0时，函数在x<0和 x>0时都是单调递增的。
反比例函数的应用
在物理学中，反比例函数被用来描述电磁场、引力场等物理现象。
在生物学中，反比例函数被用来描述细胞分裂、神经传导等生物过程。
反比例函数的应用广泛，如在物理学、工程学、生物学、数学、化学和经济学等领域都有广泛的应用。
在工程学中，反比例函数被用来描述电路阻抗、流体阻力等物理量之间的关系。
在数学中，反比例函数被用来研究函数的奇偶性、单调性和周期性等性质。
05
对数函数
对数函数的定义
自然对数函数：以数学常数e为底数的对数函数，记作f(x) = ln(x)。
对数函数的值域： f(x) ∈ (-∞, +∞)。

第9讲平面直角坐标系与函数

数所涉及变量的变化规律,抓住图象中的关键点(如起点、转折点或交点等),以及各线段的倾斜程
度或函数增减性的变化规律.
[变式5] (2022武汉)匀速地向一个容器内注水,最后把容器注满.在注水过程中,水面高度h随时间t的
变化规律如图所示(图中O-A-B-C为一折线).这个容器的形状可能是(
A
B
C
D
)
A
1
(1)点的对称规律:关于横(或纵)轴对称的点,横(或纵)坐标不变,纵(或横)坐标变号;关于原点对称,
则横、纵坐标都变号.
(2)点的平移规律:左右移,纵不变,横减加;上下移,横不变,纵加减.
(3)有时需要根据点在坐标系中的位置,建立不等式(组)或方程(组),把点的坐标问题转化为不等式
(组)或方程(组)的问题解决.
D.若x-y=0,则点P(x,y)一定在第一、第三象限角平分线上
3.(2022雅安)在平面直角坐标系中,点(a+2,2)关于原点的对称点为(4,-b),则ab的值为(
A.-4
B.4
C.12
D.-12
D)
4.小明从家到学校,先匀速步行到车站,等了几分后坐上了公交车,公交车沿着公路匀速行驶一段时间
后到达学校,小明从家到学校行驶路程s(m)与时间t(min)的大致图象是(
停止.若点 P 的运动速度为 1 cm/s,设点 P 的运动时间为 t(s),AP 的长度为 y(cm),y 与 t 的函数图象
如图②所示.则当 AP 恰好平分∠BAC 时,t 的值为
①
②
2 +2
.
1.(2022常州)在平面直角坐标系xOy中,点A与点A1关于x轴对称,点A与点A2关于y轴对称.已知点
2
A-D-C 向终点 C 运动,设点 Q 的运动时间为 x(s),△APQ 的面积为 y(cm ),若 y 与 x 之间的函数关系的

一次函数与坐标系

一次函数与坐标系一次函数，也称为线性函数，是数学中的基本函数之一。

它的定义域是实数集，其函数表达式可以写成 y = kx + b 的形式，其中 k 和 b 是实数常数，k 称为斜率，b 称为截距。

一次函数在坐标系中的图像为一条直线，通过研究一次函数与坐标系的关系，我们可以深入理解直线与坐标系的相互作用，进而应用于实际的问题中。

一次函数与坐标系有着密切的联系。

在一个二维直角坐标系中，x轴和 y 轴上的数值表示数轴上的点的位置。

x 轴上的数值称为横坐标，y 轴上的数值称为纵坐标。

一次函数的图像是一条直线，其斜率 k 决定了直线的倾斜程度，正值表示向右上倾斜，负值表示向左下倾斜；截距 b 决定了直线与 y 轴相交的位置，当 b 为正值时与 y 轴正向相交，当 b 为负值时与 y 轴负向相交。

在研究一次函数与坐标系的关系时，我们可以通过绘制函数图像来直观地理解其特点。

首先，我们需要确定直线的斜率和截距。

斜率 k的值越大，直线越陡峭，斜率 k 的值越小，直线越平缓。

而截距 b 的值则决定了直线与 y 轴的相对位置。

在绘制图像时，我们选取适当的坐标轴范围，根据一次函数的定义域和值域来确定横纵坐标轴的刻度，以便更清晰地展示直线的特征。

对于一次函数的图像，我们还可以通过斜率和截距来判断其方程和性质。

斜率 k 的正负值决定了直线的走向，当 k 为正值时，直线是向右上倾斜的，当 k 为负值时，直线是向左下倾斜的。

同时，斜率的绝对值大小表示直线的陡峭程度，绝对值越大，直线越陡峭。

截距 b 的正负值决定了直线与 y 轴的相对位置，当 b 为正值时，直线与 y 轴正向相交，当 b 为负值时，直线与 y 轴负向相交。

一次函数与坐标系的研究不仅可以帮助我们理解直线的特性，还可以应用于实际问题中。

例如，在物理学中，速度和时间之间的关系可以用一次函数来描述；在经济学中，成本和产量之间的关系也可以用一次函数来表示。

通过建立数学模型，我们可以利用一次函数的特性，预测未知变量的值，辅助决策和解决问题。

初三数学总复习-坐标系与函数

之间是一次函数关系．现有一支水银体温计，其部分刻度线不清晰（如图），表中记录的是该体温计部分清晰刻度线及其对应水银柱的长度．
水银柱的长度 x（cm） 4.2 体温计的读数 y（℃） 35.0
… …
8.2 40.0
9.8 42.0

（1）求 y 关于 x 的函数关系式（不需要写出函数的定义域）；（2）用该体温计测体温时，水银柱的长度为 6.2cm，求此时体温计的读数．
描点法概念图象数形结合性质
应用
二、高中对于函数内容的有关解释和要求
• 用运动变化的观点研究、描述客观世界中相互关联的量之间的依存关系。 • 中学数学，函数思想在解题中的应用主要体现在两个方面：借助有关初等函数的性质，解有关求值、解（证）不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题；在问题的研究中，通过建立函数的关系式或构造中间函数，把所研究的问题转化为讨论函数的有关性质，达到化难为易，化繁为简的目的
专题二——函数与几何变换
• 翻折 • 认清翻“谁”，翻的“方向”，别徒劳 • 《西总》P158 7 （2013.5海淀）轴在动，作图要求高
• 2015.1海淀23
y
5 4 3 2 1 -5 -4 -3 -2 -1
-1 -2 -3 -4 -5
O
1
2
3
4
5
x
专题三——函数的应用
4.（2014•上海，第 21 题 10 分）已知水银体温计的读数 y（℃）与水银柱的长度 x（cm）
三、《中考说明》中对函数内容要求的变化
• 降 • P61 C降B 能结合图象对简单实际问题中的函数关系进行分析 • P62 B降A会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解 • P62 B降A通过图象了解二次函数的性质

函数概念与平面直角坐标系

第三章函数第1讲函数概念与平面直角坐标系考纲要求2017年命题趋势1．会画平面直角坐标系，并能根据点的坐标描出点的位置，由点的位置写出点的坐标．2．掌握坐标平面内点的坐标特征．3．了解函数的有关概念和函数的表示方法，并能结合图象对实际问题中的函数关系进行分析．4．能确定函数自变量的取值范围，并会求函数值.根据往年命题情况，选择题多为压轴题，复习时重点关注函数自变量的取值范围和实际背景下的函数图像的判断.课前回顾（要点基础知识梳理）一、平面直角坐标系与点的坐标特征1．平面直角坐标系如图，在平面内，两条互相的数轴的交点O称为，水平的数轴叫，竖直的数轴叫，整个坐标平面被x轴、y轴分割成四个象限．2．各象限内点的坐标的符号特征（如上图）3．坐标轴上的点的坐标特征点P(x，y)在x轴上⇔y＝；点P(x，y)在y轴上⇔x＝；点P(x，y)在坐标原点⇔x＝，y＝ .（+ ，+）（，）（，）（，）二、特殊点的坐标特征1.和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征：①平行于x 轴相同；②平行于y 轴相同． 2．点P(a ，b)对称点的坐标其关于x 轴的对称点P 1的坐标为( ， )；其关于y 轴的对称点P 2的坐标为（，）；其关于原点的对称点P 3的坐标为( ， )．3．点的平移将点P(x ，y)向右(或向左)平移a 个单位，可以得到对应点( ， )[或( ， )]；将点P(x ，y)向上(或向下)平移b 个单位，可以得到对应点( ， )[或( ， )]．三、点与点、点与线之间的距离．1.点M （a ，b )到x 轴的距离为．2.点M （a ，b ）到y 轴的距离为．3.点M 1（x 1，0）M 2（x 2，0）之间的距离为．点M 1(x 1，y )，M 2(x 2，y )之间的距离为4.点 M 1（0，y 1），M 2 （0，y 2）之间的距离为．点M 1(x ，y 1)，M 2(x ，y 2)之间的距离为 .四．函数．（1）概念：在一个变化过程中，有两个变量x 和y ，对于x 的每一个值，y 都有的值与其对应，那么就称x 是自变量，y 是x 的函数．（2）确定函数自变量的取值范围：① 使函数关系式的自变量的取值的全体； ②一般原则为：整式为全体实数；分式的分母不为零；零次幂底数不为零；开偶次方的被开方数为非负数；使实际问题有意义．（3）函数的表示法：、、．⇔⇔考点1：平面直角坐标系中点的坐标特征1.(2016 年广东)在平面直角坐标系中，点 P (－2，－3)所在的象限是 ( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2.(2016 年湖北武汉)已知点 A (a,1)与点 A ′(5，b )关于坐标原点对称，则实数 a ，b 的值是( )A.a ＝5，b ＝1B.a ＝－5，b ＝1C.a ＝5，b ＝－1D.a ＝－5，b ＝－13.(2016 年山东菏泽)如图，A ，B 的坐标为(2,0)，(0,1)，若将线段 AB 平移至 A 1B 1，则 a ＋b 的值为( )考点2：确定函数自变量的取值范围5.如图，数轴上表示的是某个函数自变量的取值范围则这个函数解析式为( )考点3：函数与图像的关系6．（2013·佛山）某人匀速跑步到公园，在公园里某处停留了一段时间，再沿原路匀速步行回家，此人离家的距离y 与时间x 的关系的大致图象是（） A B C D4．函数y ＝x x －3－(x －2)0中，自变量x 的取值范围是 A.y ＝x ＋2 B.y ＝x 2＋2 C.y ＝x ＋2 D.y ＝1x ＋2巩固提升1.(2016 年湖北荆门)在平面直角坐标系中，若点 A (a ，－b )在第一象限内，则点 B (a ，b )所在的象限是（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限当x=3时，函数值为3.(2016 年广东)如图，在正方形 ABCD 中，点 P 从点A 出发，沿着正方形的边顺时针方向运动一周，则△APC 的面积 y 与点 P 运动的路程 x 之间形成的函数关系的图象大致是（）A B C D 归纳总结：本节课你收获了什么？思考如图，弹性小球从点 P (0,3)出发，沿所示方向运动，每当小球碰到矩形 OABC 的边时反弹，反弹时反射角等于入射角.当小球第 1次碰到矩形的边时的点为 P 1，第 2 次碰到矩形的边时的点为P 2，…，第n 次碰到矩形的边时的点为P n .则点P 3的坐标是__________，点 P 2014 的坐标是________.2.在函数y ＝x ＋1x 中，自变量x的取值范围是___________.。

平面直角坐标系与函数的概念

考点聚焦
考点三函数的有关概念及图象
2. 函数的三种表示法 (1)解析法：两个变量间的函数关系，有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示，这种表示法叫做解析法. (2)列表法：把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成一个表来表示函数关系，这种表示法叫做列表法. (3)图象法：用图象表示函数关系的方法叫做图象法.
相反数.
③特殊位置点的特点：P（a ，b）若在一、三象限角的平分线上，
则 a=b ，若在二、四象限角的平分线上，则 a=-b.
考点聚焦
考点一平面直角坐标系的有关概念
④对坐标轴的距离：P（a ,b）到x轴的距离 |b| ，到y轴的距离 |a| ，到原
点的距离
.
⑤坐标平面内点的平移：将点P（a ,b）向左右平移h个单位，对应点坐标为 (a-h,b) 或 (a+h,b).向上（下）平移k个点位，对应点坐标为
强化训练
考点一：平面直角坐标系中点的特征
例1 （ •东营）在平面直角坐标系中，若点P（m﹣2，m+1）在
第二象限，则m的取值范围是（
A．m＜﹣1
B．m＞2
C） C．﹣1＜m＜2 D．m
＞﹣1
强化训练 (1)当函数表达式是整式时，自变量可取；
关于y轴对称，纵坐标不变，横坐标互为相反数；把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成一个表来表示函数关系，这种表示法叫做列表法.
考点一：平面直角坐标系中点的特征
关于原点对称，横纵坐标都互为相反数.
使函数的自变量的取值的全体，叫做自变量的 .
考使点函二数：平面的考直自角点变坐量二标的系：取与值平其的知面全识体直，角叫做坐自标变量系的与其. 知识
关于y轴对称，纵坐标不变，横坐标互为相反数；

函数,平面直角坐标系

函数，平面直角坐标系函数是一个数学概念，是一个映射关系，指实数集合内的任一元素都有且仅有一个相关联的另一元素。

在平面直角坐标系中，我们可以以函数图像的方式表示函数的性质，包括其定义域、值域、单调性、对称性、奇偶性等。

本文将对函数在平面直角坐标系中的表示及其相关性质进行介绍。

一、坐标系及函数的定义平面直角坐标系是一个由横纵坐标轴和它们的正负半轴组成的二维平面，通常用X轴和Y轴表示。

在这个坐标系中，点的位置是由它在X轴与Y轴上的坐标决定的。

函数是一个映射，它是一个从一个集合到另一个集合的规则。

在数学中，函数通常被表示为一系列的输入与输出变量，即f(x) = y，其中f是函数符号、x是输入变量，y是输出变量。

函数可以用一张图像来表示。

二、函数的基本性质函数的图像可以表示出函数的一些基本性质，如函数的定义域、值域、单调性、对称性、奇偶性等。

定义域：定义域指函数有效的输入值范围，通常用集合的形式表示。

如果定义域中的某一个值会导致函数无意义或报错，那么该值就不在定义域内。

值域：值域指函数可输出的实际值的范围。

值域由图像框定，根据函数的单调性和对称性，可以很容易确定其值域。

单调性：单调性是指在函数定义域内函数值的增减关系。

如果函数在定义域内单调递增，那么它的图像就是从左到右逐渐升高的。

如果函数在定义域内单调递减，那么它的图像就是从左到右逐渐降低的。

对称性：对称性是指函数图像关于某条线或某点的对称性。

当函数关于X轴或Y轴对称时，称函数图象关于X轴或Y轴对称。

当函数关于原点对称时，称函数图象关于原点轴对称。

奇偶性：奇偶性是指函数的性质：当任意一个输入变量的相反数被输入到函数中时，函数的输出值是否保持不变。

如果函数在其定义域内关于原点对称，则称之为奇函数。

如果函数恒等于它的相反数，即f(-x) = -f(x)，则称之为偶函数。

三、常见函数的图像在平面直角坐标系中，有许多常见的函数，它们的图像则有着相应的特点。

直线函数：直线函数的图像是一条直线，其一般式为y = kx + b，其中k为斜率，b 为截距。

第11讲平面直角坐标系与函数课件

3．对称点的坐标
已知点 P(a，b)， (1)其关于 x 轴对称的点 P1 的坐标为__(_a_，__－__b_)_． (2)其关于 y 轴对称的点 P2 的坐标为__(_－__a_，__b_)_． (3)其关于原点对称的点 P3 的坐标为__(－__a_，__－__b_)_． 4．点与点、点与线之间的距离
5．常量、变量在一个变化过程中，始终保持不变的量叫做__常__量__，可以取不同数值的量叫做__变__量__． 6．函数 (1)概念：在一个变化过程中，有两个变量 x 和 y，对于 x 的每一个值， y 都有__唯__一__确__定__的值与其对应，那么就称 x 是自变量，y 是 x 的函数．
(1)点 M(a，b)到 x 轴的距离为___|b_|_. (2)点 M(a，b)到 y 轴的距离为___|a_|_. (3)点 M1(x1,0)，M2(x2,0)之间的距离为__|_x_1－__x_2_| _. (4)点 M1(0，y1)，M2(0，y2)之间的距离为___|y_1_－__y_2|_.
⑥结合对函数关系的分析,能又对变量的变化情况进行初步讨论,了解分段函数的意义
1.通过知识梳理，了解常量、变量的意义，函数的概念和三种表示方法, 能举出函数的实例 2.通过知识点例题训练，能确定简单实际问题中函数的自变量取值范围, 并会求出函数值，并能结合图象对简单实际问题中的函数关系进行分析 3.通过能力提升，熟练解决有关取值范围与函数图像的问题。 4.通过聚焦中考，感受中考，体验中考，提高学生分析问题解决问题的能力。
小结与反思：求自变量的取值范围时要全面考虑式子有意义的条件，特别是根号在分母中时，要考虑分母不为零的情况.
方法指点：确定自变量的取值范围
【点评】代数式有意义的条件问题: (1)若解析式是整式,则自变量取全体实数; (2)若解析式是分式,则自变量取使分母不为0的全体实数; (3)若解析式是偶次根式,则自变量只取使被开方数为非负数的全体实数: (4)若解析式含有零指数或负整数指数幂,则自变量应是使底数不等于0的全体实数; (5)若解析式是由多个条件限制,必须第一求出式子中各部分自变量的取值范围,然后再取其公共部分,此类问题要特别注意, 只能就已知的解析式进行求解,而不能进行化简变形,特别是不能轻易地乘或除以含自变量的因式.

函数与坐标系

函数与坐标系第⼗五讲函数与坐标系【学习⽬标】1、复习平⾯直⾓坐标系的有关概念，明确点的位置与点的坐标之间的关系2、复习函数的⼀般概念，以及⽤解析法表⽰简单的函数，会画函数的图像3、进⼀步培养函数的思想以及数形结合的思想【知识要点】1、平⾯直⾓坐标系的基本知识：①直⾓坐标系的画法；②坐标系内各象限的编号顺序及各象限内点的坐标的符号2、函数的定义，以及⽤解析法表⽰函数时要注意考虑⾃变量的取值必须使解析式有意义3、函数的图象：（1）函数图象上的点的坐标都满⾜函数解析式，以满⾜函数解析式的⾃变量值和与它对应的函数值为坐标的点都在函数图象上．（2）知道函数的解析式，⼀般⽤描点法按下列步骤画出函数的图象：列表．在⾃变量的取值范围内取⼀些值，算出对应的函数值，列成表．描点．把⾃变量的值和与它相应的函数值分别作为横坐标与纵坐标，在坐标平⾯内描出相应的点．连线．按照⾃变量由⼩到⼤的顺序、⽤平滑的曲线把所描各点连结起来．【典型例题】例1、点P （－1，－3）关于y 轴对称的点的坐标是_____________;关于x 轴的对称的点的坐标是 ____________；关于原点对称的点的坐标是____________。

例2、（1）若点P （a ，b ）在第四象限，则点M （b －a ，a －b ）在（）A 、第⼀象限B 、第⼆象限C 、第三象限D 、第四象限（2）已知点P (a ,b )，a ·b >0，a ＋b <0，则点P 在（）A 、第⼀象限B 、第⼆象限C 、第三象限D 、第四象限（3）已知点P (x ,y )的坐标满⾜⽅程|x ＋1|＋y －2 =0,则点P 在（）A 、第⼀象限B 、第⼆象限C 、第三象限D 、第四象限（4）已知点A 233x x --，在第⼆象限，化简491232x x x +---=________例3、函数⾃变量的取值范围：(1)函数y ＝1x －1中⾃变量x 的取值范围是(2)函数y ＝x ＋2＋5－x 中⾃变量x 的取值范围是 (3)函数y ＝x －2(2－x)2－1中⾃变量x 的取值范围是例4、（1）当x =－ 2 时，函数y =2x--1x+1 的值是；（2）函数y =x 2+3x +4的值为2，则⾃变量x =例5、某⾳乐厅有20排座位，第⼀排有18个座位，后⾯每排⽐前⼀排多⼀个座位，每排座位数m 与这排的排数n 的函数关系是，⾃变量n 的取值范围是例6、⽗亲节，学校“⽂苑”专栏登出了某同学回忆⽗亲的⼩诗：“同辞家门赴车站，别时叮咛语千万，学⼦满载信⼼去，⽼⽗怀抱希望还。

平面直角坐标系与函数

定义
用表格来表示函数关系的方法叫做列表法用图象来表示函数关系的方法叫做图象法
关系式法
用关系式来表示函数关系的方法叫做关系式法
知识点
4 函数自变量和函数值
1、函数自变量取值范围：
①函数解析式有意义 ②有实际意义 2、函数值：相应的自变量x取某一值时，相应的y的取值就是函数值
焦点5，，6
达州中考5
m=4,n≠-3 （9,4-m）， 3、点M(1，4－m)关于过点(5，0)且垂直于x轴的直线对称的点的坐标是____________ 若M关于过点(0，－3)且平行于x轴的直线对称的点的坐标为(1，7)，则m＝________ ． 17
4、有关坐标的规律探究焦点3自己看，课堂小练10
知识点
3 函数及相关概念
知识点
2 平面直角坐标系内点
y P1(x1,y1) Q(x2,y1)
o 横坐标差的绝对值
x
1)
x1 x2 y1 y2 C 2 , 2
o x B(x2,y2)
达州中考2 课堂小练1,2,3
1.若点M(x，y)满足(x＋y)2＝x2＋y2－2，则点M所在的象限是( A．第一象限或第三象限 B．第二象限或第四象限 C．第一象限或第二象限 D．无法确定 2、已知A(－3，m)，B(n，4)，若AB∥x轴，求m的值，并确定n的取值范围． B )
课堂小练7
知识点
5 函数图像
1、画函数图像的步骤
焦点7，焦点8，课堂小练5,6,达州中考6
y Q(x2,y1) 纵坐标差的绝对值
o
x
P2(x2,y2)
知识点
2 平面直角坐标系内点
y P2(x2,y2)
o p1(x1,y1)

第13课坐标系与函数

第13课坐标系与函数
坐标系是数学中用来表示点的位置的一种工具。

它由两条互相垂直的
线组成，分别称为x轴和y轴。

每个点都可以用一对数字(x,y)来表示，
其中x表示点在x轴上的位置，y表示点在y轴上的位置。

在坐标系中，原点是两条轴的交点，坐标轴上的单位长度称为单位长度。

坐标系可以用来表示平面上的几何图形、函数关系等。

函数是一种特殊的关系，它把一个集合的元素映射到另一个集合的元素。

在数学中，通常把函数表示为y=f(x)，其中x是自变量，y是因变量，f表示函数关系。

函数可以通过一个算式、图表或者一组数据来表示。

在坐标系中，函数可以用曲线来表示。

曲线上的每个点的坐标都满足
y=f(x)的关系。

通过观察曲线的形状和特点，我们可以了解函数的性质和
行为。

函数可以有各种形式，常见的函数类型包括线性函数、二次函数、指
数函数、对数函数等。

线性函数的图像是一条直线，二次函数的图像是一
个抛物线，指数函数和对数函数的图像则具有特殊的形状。

函数还有一些特点和性质，包括定义域、值域、奇偶性、单调性、极
值等。

函数的定义域是自变量的取值范围，值域是因变量的取值范围。

函
数的奇偶性表示函数关系在对称轴上是否具有对称性，单调性表示函数在
整个定义域上的变化趋势，极值表示函数在一些点上的最大值或最小值。

平面直角坐标系与函数方程的关系

平面直角坐标系与函数方程的关系在数学中，平面直角坐标系是一种常用的工具，用于描述平面上的点的位置。

而函数方程则是用来描述数学关系的方程。

本文将探讨平面直角坐标系与函数方程之间的关系，以及如何利用函数方程在平面直角坐标系中进行图像的表示与分析。

一、平面直角坐标系与坐标表示平面直角坐标系由两条互相垂直的坐标轴组成，通常称为x轴和y 轴。

这两条坐标轴的交点被称为原点，用O表示。

x轴和y轴将平面分成四个象限，依次为第一象限、第二象限、第三象限和第四象限。

在平面直角坐标系中，每个点的位置可以通过两个坐标值来表示，分别是水平方向的x坐标和垂直方向的y坐标。

对于任意一个点P(x, y)，x表示该点到y轴的水平距离，正值表示在y轴右侧，负值表示在y轴左侧；y表示该点到x轴的垂直距离，正值表示在x轴上方，负值表示在x轴下方。

二、函数方程的概念与表示函数方程是用来描述自变量和因变量之间关系的方程。

在平面直角坐标系中，函数方程一般表示为y = f(x)，其中y表示因变量，x表示自变量。

函数方程可以通过不同的数学表达式来表示，如线性函数、二次函数、指数函数等。

对于线性函数y = kx + b，k表示斜率，决定了函数图像的倾斜程度；b表示截距，决定了函数图像与y轴的交点位置。

对于二次函数y = ax^2 + bx + c，a、b和c分别表示二次项、一次项和常数项的系数，决定了函数图像的开口方向、顶点位置以及与x轴的交点位置。

对于指数函数y = a^x，a表示底数，决定了函数图像的增长速度和开口方向。

三、函数方程与平面直角坐标系的关系在平面直角坐标系中，函数方程的图像可以直观地表示出来，有助于我们对函数关系进行分析和理解。

通过对函数方程中的自变量赋予不同的取值，可以得到对应的因变量值。

将这些点在平面直角坐标系中绘制出来，就可以得到函数的图像。

例如，对于线性函数y = 2x + 1，在平面直角坐标系中选择几个x值（如-2、0和2），代入函数方程求得对应的y值，然后将这些点连接起来，就得到了一条直线。

三角函数与坐标系的关系

三角函数与坐标系的关系三角函数是数学中的重要概念，它们与坐标系之间存在着密切的关系。

在本文中，我们将探讨三角函数与坐标系之间的关系，包括在直角坐标系和极坐标系中的表示方法，以及三角函数图像在坐标系中的特点。

一、直角坐标系中的三角函数表示在直角坐标系中，我们可以用坐标轴上的点来表示三角函数的值。

首先，我们需要了解三角函数的定义：1. 正弦函数（sine function）表示一个角的正弦值，记作sin，可以用一个角度对应在单位圆上的纵坐标来表示。

2. 余弦函数（cosine function）表示一个角的余弦值，记作cos，可以用一个角度对应在单位圆上的横坐标来表示。

3. 正切函数（tangent function）表示一个角的正切值，记作tan，可以用一个角度对应在单位圆上的纵坐标除以横坐标来表示。

在直角坐标系中，我们可以将角度表示为一个有向线段与坐标轴的夹角。

以直角坐标系的原点为起点，有向线段的终点与x轴的夹角表示角度。

根据这个表示方法，我们可以得到三角函数在直角坐标系中的图像。

二、三角函数图像的特点1. 正弦函数（sin）的图像是一个周期为2π的波浪线。

当角度为0时，正弦函数的值为0，随着角度的增大，正弦函数的值在[-1, 1]之间变化。

2. 余弦函数（cos）的图像也是一个周期为2π的波浪线。

当角度为0时，余弦函数的值为1，随着角度的增大，余弦函数的值在[-1, 1]之间变化。

3. 正切函数（tan）的图像在某些点上会出现无穷大的值，比如在角度为90°和270°时，正切函数的值为正无穷和负无穷。

此外，正切函数的图像也具有周期性。

三、极坐标系中的三角函数表示除了直角坐标系，三角函数也可以在极坐标系中表示。

在极坐标系中，一个点的位置由极径（r）和极角（θ）决定。

1. 在极坐标系中，正弦函数（sin）的值可以表示为单位圆上对应角度的纵坐标。

2. 余弦函数（cos）的值可以表示为单位圆上对应角度的横坐标。

第11讲平面直角坐标系与函数

一象限内，则m的取值范围是______．
【解析】因为第一象限内的点横坐标为正,纵坐标为正,所以
m 0, m 2 0,
解得
m 0, 所以m>2. m 2,
答案：m>2
求函数自变量的取值范围
◆中考指数:★★★★☆ 函数自变量取值范围的五种情形: 1.若函数解析式是整式，其取值范围是全体实数. 2.若函数解析式是分式，其取值范围应使分母不等于零. 3.若函数解析式是偶次根式，其取值范围应使被开方数为非负数. 4.若函数解析式为零指数和负整数指数，其取值范围应使底数不等于0. 5.与实际问题有关的函数解析式，其自变量的取值范围除了满足上述条件外，还应使实际问题有意义.
平路、上坡、下坡的时间分别为8分钟、10分钟、2分钟，所以
总共需要20分钟.
【对点训练】 6.(2012·益阳中考)在一个标准大气压下，能反映水在均匀加热过程中，水的温度(T)随加热时间(t)变化的函数图象大致是( )
【解析】选B.选项A：由图象中发现，水温达到100 ℃时温度
保持了一段时间后又在上升，错误;选项C：由图象中发现，水
【例】(2011·长沙中考)如图，在平面直角坐标系中，
点P(-1，2)向右平移3个单位长度后的坐标是(
(A)(2，2) (C)(-1，5) (B)(-4，2) (D)(-1，-1)
)
【解题导引】根据“右加左减，上加下减”确定点P平移后的
坐标.
【规范解答】选A.借助网格，可以看出在平面直角坐标系中点
3 2 (D) x 3 2
(A)x＞ 3
2 (C)x 3 2
(B) x
【解析】选D.∵2x-3≥0,解得 x
3 . 2

函数与坐标系的理解与运用

函数与坐标系的理解与运用函数与坐标系是数学中非常重要的概念和工具。

函数是一种关系，它将一个集合中的每个元素映射到另一个集合中的唯一元素。

而坐标系则是一个二维或多维空间中的点的表示方式。

一、函数的基本概念和性质函数的定义：函数是一个特殊的关系，它将一个集合中的每个元素映射到另一个集合中的唯一元素。

函数通常用符号表示，例如f(x)，其中x代表输入值，f(x)代表输出值。

函数的可变性：函数的输出值随着输入值的改变而改变。

函数可以是线性的、非线性的、周期性的等等。

函数的可变性可以通过函数图像来表示，函数图像是函数在坐标系中的表示。

函数的性质：函数具有定义域、值域和图像等性质。

定义域是输入值的集合，值域是输出值的集合，而图像是函数在坐标系中的表示。

函数的运算法则：函数之间可以进行加减乘除等运算。

例如，两个函数可以进行加法运算得到一个新的函数。

函数的应用：函数在数学中有广泛的应用，例如在解方程、建模等方面起到重要作用。

二、坐标系的基本概念和性质直角坐标系：直角坐标系是一个由两条相互垂直的线组成的平面，其中一条线称为x轴，另一条线称为y轴。

通过坐标系，可以表示平面上的任意点。

极坐标系：极坐标系是一个由极轴和极径组成的平面。

极轴是一个固定的线，极径是从原点到点的距离。

通过极坐标系，可以表示点的位置和方向。

坐标系的转换：直角坐标系和极坐标系之间可以进行相互转换。

通过坐标系的转换，可以方便地描述复杂的图形和计算相关的量。

三、函数与坐标系的关系函数的图像在坐标系中可以表示为曲线或者直线。

通过函数的图像，可以更直观地理解函数的性质和变化规律。

坐标系可以帮助我们理解函数的定义域、值域和图像。

通过函数在坐标系中的表示，可以更好地理解函数的变化趋势和特点。

函数图像可以通过坐标系的变换来表示。

例如，对于一条直线的方程，可以通过直角坐标系或者极坐标系来表示。

总结：函数与坐标系是数学中重要的概念和工具。

函数是一种关系，将一个集合中的元素映射到另一个集合中的唯一元素。

平面直角坐标系与函数

六边形,所以 OC=OA=1,∠COD=60°,所以 OM=12,CM= 23,因为点 C
在第四象限内,所以点 C 的坐标为
1 2
,-
3 2
.
答案:
1 2
,-
3 2
命题点2 平面直角坐标系内点的坐标特征
【例2】已知点P(a+1,2a-1)关于x轴的对称点在第一象限,则a的
取值范围是( )
A.a>-1 C.-1<a<12
P（x，y）
向上
平移
b个
向右平移a个单位
单位
P1（x+a，y）
点到坐标轴及原点的距离
点P（a，b)到x轴的距离为 b
点P（a，b)到y轴的距离为⑨ a 点P（a，b)到原点的距离为⑩ a2 b2
常量和变量：在某一变化过程中，保持不变的量叫做常量，可以变化的量叫做变量
相关函数：在某一变化过程中，有两个变量x与y，概念如果对于x在某一范围内的每一个确定的值，
解：解法一：∵－1≤x＜3，∴2≥－2x＞－6，∴2＋4≥－2x＋4＞－6
＋4，即6≥－2x＋4＞－2.∵y＝－2x＋4，∴6≥y＞－2，即－2＜y≤6 解
法二：∵y＝－2x＋4，∴x＝
4－y 2
.∵－1≤x＜3，∴－1≤
4－y 2
＜3，∴－
2≤4－y＜6，∴－2－4≤－y＜6－4，－6≤－y＜2，∴－2＜y≤6
[对应训练]
1 在函数 y＝ x2－5中，自变量 x 的取值范围是( A ) A．x＞5 B．x≥5 C．x≠5 D．x＜5
2 在函数 y ＝ x＋4 ＋ x － 2 中，自变量 x 的取值范围是 _______x_≥_－__4_且__x_≠_0_________．

坐标系和一次函数知识点

位置的确定一、在平面内，确定物体的位置一般需要两个数据。

二、平面直角坐标系及有关概念 1、平面直角坐标系在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴，组成平面直角坐标系。

其中，水平的数轴叫做x 轴或横轴，取向右为正方向；铅直的数轴叫做y 轴或纵轴，取向上为正方向；x 轴和y 轴统称坐标轴。

它们的公共原点O 称为直角坐标系的原点；建立了直角坐标系的平面，叫做坐标平面。

2、为了便于描述坐标平面内点的位置，把坐标平面被x 轴和y 轴分割而成的四个部分，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。

注意：x 轴和y 轴上的点（坐标轴上的点），不属于任何一个象限。

3、点的坐标的概念对于平面内任意一点P,过点P 分别x 轴、y 轴向作垂线，垂足在上x 轴、y 轴对应的数a ，b 分别叫做点P 的横坐标、纵坐标，有序数对（a ，b ）叫做点P 的坐标。

点的坐标用（a ，b ）表示，其顺序是横坐标在前，纵坐标在后，中间有“，”分开，横、纵坐标的位置不能颠倒。

平面内点的坐标是有序实数对，当b a ≠时，（a ，b ）和（b ，a ）是两个不同点的坐标。

平面内点的与有序实数对是一一对应的。

4、不同位置的点的坐标的特征（1）、各象限内点的坐标的特征点P(x,y)在第一象限0,0>>⇔y x点P(x,y)在第二象限0,0><⇔y x 点P(x,y)在第三象限0,0<<⇔y x 点P(x,y)在第四象限0,0<>⇔y x （2）、坐标轴上的点的特征点P(x,y)在x 轴上0=⇔y ，x 为任意实数点P(x,y)在y 轴上0=⇔x ，y 为任意实数点P(x,y)既在x 轴上，又在y 轴上⇔x ，y 同时为零，即点P 坐标为（0，0）即原点（3）、两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征点P(x,y)在第一、三象限夹角平分线（直线y=x ）上⇔x 与y 相等点P(x,y)在第二、四象限夹角平分线上⇔x 与y 互为相反数（4）、和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征位于平行于x 轴的直线上的各点的纵坐标相同。

二次函数与坐标系关系回顾

二次函数与坐标系关系回顾在数学中，二次函数是一种常见的函数类型，具有形如y = ax^2 +bx + c的标准形式。

其中a、b和c是实数常数，且a不等于0。

在本文中，我们将回顾二次函数与坐标系之间的关系。

一、函数图像与坐标系二次函数的图像通常是一个抛物线，其开口方向取决于a的正负值。

当a大于0时，抛物线开口向上；当a小于0时，抛物线开口向下。

通过观察函数的系数，我们可以预测函数图像在坐标系中的形状。

在笛卡尔坐标系中，横轴表示自变量x，纵轴表示因变量y。

二次函数的图像与坐标系之间存在以下关系：1. 函数对称轴：二次函数图像的对称轴是垂直于x轴的直线。

对称轴的方程可以通过求解x = -b / 2a得到。

2. 函数顶点：二次函数图像的顶点是抛物线的最高或最低点。

顶点的横坐标由对称轴的x值确定，纵坐标可通过代入对称轴的x值计算得出。

3. 函数与坐标轴的交点：二次函数与坐标轴的交点可以用方程y = 0和x = 0求解。

当y = 0时，我们可以得到函数与x轴的交点；当x = 0时，我们可以得到函数与y轴的交点。

二、函数的变化和坐标系改变二次函数的系数a、b和c的值，将会对函数的图像产生不同的影响。

以下是几个常见的变化情况：1. 纵向伸缩：改变a的绝对值将会使抛物线图像在纵向上发生伸缩。

当|a|大于1时，图像纵向压缩；当0 < |a| < 1时，图像纵向拉伸。

2. 横向平移：改变b的值将会使抛物线图像在横向上发生平移。

当b大于0时，图像左移；当b小于0时，图像右移。

3. 纵向平移：改变c的值将会使抛物线图像在纵向上发生平移。

当c大于0时，图像上移；当c小于0时，图像下移。

三、实例分析以下是几个实例，通过对二次函数与坐标系之间的关系进行分析，我们可以更好地理解二次函数的图像特征：1. y = x^2当a = 1，b = 0，c = 0时，二次函数为y = x^2。

由于a大于0，函数图像开口向上。

对称轴为x = 0，顶点为原点，函数与x轴交于原点，不与y轴相交。

函数与坐标系

平面直角坐标系与函数的概念

讲平面直角坐标系与函数

第9讲 平面直角坐标系与函数

一次函数与坐标系

初三数学总复习-坐标系与函数

函数概念与平面直角坐标系

平面直角坐标系与函数的概念

函数,平面直角坐标系

第11讲平面直角坐标系与函数课件

函数与坐标系

平面直角坐标系与函数

第13课坐标系与函数

平面直角坐标系与函数方程的关系

三角函数与坐标系的关系

第11讲 平面直角坐标系与函数

函数与坐标系的理解与运用

平面直角坐标系与函数

坐标系和一次函数知识点

二次函数与坐标系关系回顾

第9讲平面直角坐标系与函数

第11讲平面直角坐标系与函数