定积分在物理学上的应用ppt课件
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定积分在物理学上的应用PPT课件
h
wh 0 f(x)dx.
2021
8
wh 0hkxdx
kh 2
2
,
依题意知，每次锤击所作的功相等．
whnw1 kh2
2
n
k 2
,
n次击入的总深度为 h n,
第n次击入的深度为 nn1.
2021
9
二、水压力
由物理学知 道，在水 深为 h处 的压强为
ph， 这 里 是 水 的 比 重 ． 如 果 有 一 面 积 为 A
第三节
第六章
定积分在物理学上的应用
一、 变力沿直线所作的功 二、 液体的侧压力 三、 引力问题
四、 转动惯量 (补充)
2021
1
一、变力沿直线所作的功
由物理学知道，如果物体在作直线运动的
过程中有一个不变的力F 作用在这物体上，且
这力的方向与物体的运动方向一致，那么，在
物体移动了距离s时，力F 对物体所作的功为
连线方向．
如 果 要 计 算 一 根 细 棒 对 一 个 质 点 的 引 力 ， 那 么 ， 由 于 细 棒 上 各 点 与 该 质 点 的 距 离 是 变 化 的 ， 且 各 点 对 该 质 点 的 引 力 方 向 也 是 变 化 的 ， 就 不 能 用 此 公 式 计 算 ．
2021
15
例 7 有一长度为l 、线密度为 的均匀细棒， 在其中垂线上距棒 a 单位处有一质量为 m的质
水面平行，且该边到水面的距离恰等于该边的
边长，求薄板所受的侧压力．
解 建立坐标系如图
2a
o 2a
面积微元 2(ax)d,x
a
d ( P x 2 a ) 2 ( a x ) 1 dx x
定积分在物理学上的应用
详细描述
热量传递是热力学中的基本过程，包括热传 导、热对流和热辐射。在这些过程中，热量 传递的速率通常与温度梯度、物质属性以及 边界条件等因素有关。定积分可以用来求解 这些因素对热量传递速率的影响。
热力学第一定律的推导
总结词
定积分在推导热力学第一定律中具有重要应用，通过能量守恒原理和热力学基本方程， 可以建立热力学第一定律的数学表达式。
详细描述
在推导电磁感应定律的过程中，我们需要考虑磁场的变化对导体中电子运动的影响。通过定积分，我们可以计算 出导体中的电动势，从而理解电磁感应现象的本质。定积分的应用使得我们能够准确地描述和预测电磁感应现象 。
04
定积分在热学中的应用
温度分布的计算
总结词
定积分在计算温度分布问题中具有广泛应用，通过求解偏微分方程，可以得到物体内部和表面的温度 分布情况。
此外，定积分还在相对论中的质能关系推导、引力场中的时空几何结构分析等方面发挥着重要作用。
混沌理论中的分形结构描述
混沌理论是研究非线性系统中复杂行为和现象的学科，分形结构是混沌 理论中的重要概念。分形结构具有自相似性和无穷嵌套的特点，通常用 于描述复杂系统的结构和行为。
定积分在分形结构的描述中起到关键作用。通过定积分，可以计算分形 结构的维数和面积、体积等几何属性，从而更好地理解和描述混沌系统
VS
详细描述
磁场强度是由电流产生的，而电流分布又 是随空间变化的。通过使用定积分，我们 可以计算出任意形状导电物体在空间中任 意一点的磁场强度。这对于理解和预测磁 场的行为至关重要。
电磁感应定律的推导
总结词
电磁感应定律的推导过程中，定积分起到了核心作用，该定律描述了磁场变化时会在导体中产生电动势的现象。
定积分在物理中的应用PPT精品课件
W = 28 (J ) 3
例3 某汽车在高速公路上直线行驶， 刹车后汽车的速度为v(t)＝12－0.6t （m/s），求刹车后汽车需前进多少m才 能停住？
120m
小结作业
1.在物理中，定积分主要应用于求变速
直线运动的位移和变力所作的功，其基
本原理如下：
原理1（求变速直线运动的位移）：
若物体运动的速度函数为v(t)，则物体
作业：
P59练习：1，2. P60习题1.7A组：2，3.
自学导航:
一、动物在自然界 中的作用
问题1：人类是否可以将苍蝇和蚊子赶尽 杀绝？
1、不能，因为在自然界中，某种动物与 其他生物有着直接或者间接的关系，当 某种动物被灭杀后，会间接或者直接影 响其他生物的生存，以至影响到整个自 然界。
2、不能，当某种动物的数量增多时，以 该动物为食的动物也会增多（或它的天 敌也会增多），从而限制了这种动物的 数量。
思考3：根据定积分计算，汽车在这1min
内行驶的路程是多少m？
v(m/s)
ò 10
3tdt＝150
30 A
B
0
ò 40
30dt＝900
C
10
O 10
40 60 t(s)
ò 60 (- 3 t + 90)dt ＝300
40
2
思考4：根据定积分的几何意义，如何计 算汽车在这1min内行驶的路程？
v(m/s)
运输 观赏
耕地 食品
3.动物与基因工程
2.动物与仿生学
动物与仿生萤火虫与冷光 Nhomakorabea保护我们的生存环境
草履虫 蚯蚓
净化污水 改良土壤
啄木鸟和杜鹃 壁虎
森林害虫的天敌 捕捉苍蝇、蚊子
例3 某汽车在高速公路上直线行驶， 刹车后汽车的速度为v(t)＝12－0.6t （m/s），求刹车后汽车需前进多少m才 能停住？
120m
小结作业
1.在物理中，定积分主要应用于求变速
直线运动的位移和变力所作的功，其基
本原理如下：
原理1（求变速直线运动的位移）：
若物体运动的速度函数为v(t)，则物体
作业：
P59练习：1，2. P60习题1.7A组：2，3.
自学导航:
一、动物在自然界 中的作用
问题1：人类是否可以将苍蝇和蚊子赶尽 杀绝？
1、不能，因为在自然界中，某种动物与 其他生物有着直接或者间接的关系，当 某种动物被灭杀后，会间接或者直接影 响其他生物的生存，以至影响到整个自 然界。
2、不能，当某种动物的数量增多时，以 该动物为食的动物也会增多（或它的天 敌也会增多），从而限制了这种动物的 数量。
思考3：根据定积分计算，汽车在这1min
内行驶的路程是多少m？
v(m/s)
ò 10
3tdt＝150
30 A
B
0
ò 40
30dt＝900
C
10
O 10
40 60 t(s)
ò 60 (- 3 t + 90)dt ＝300
40
2
思考4：根据定积分的几何意义，如何计 算汽车在这1min内行驶的路程？
v(m/s)
运输 观赏
耕地 食品
3.动物与基因工程
2.动物与仿生学
动物与仿生萤火虫与冷光 Nhomakorabea保护我们的生存环境
草履虫 蚯蚓
净化污水 改良土壤
啄木鸟和杜鹃 壁虎
森林害虫的天敌 捕捉苍蝇、蚊子
高中数学选修2-2定积分在物理中的应用课件
4、 一圆柱形蓄水池高为5米，底半径为3米，底半径为3米，池内盛满了水全部吸出，需作多少功？
解：建立坐标系如图
取x为积分变量，x [0,5]
取任一小区间[ x, x dx],
这一薄层水的重力为 9.8 32 dx
功元素为 dw 88.2 x dx,
5
w 0 88.2 x dx
88.2
所对应的薄层的体积用圆柱体体积代替,得到
0 x
x dx
Ry
x
新知探究
dV = πy2dx = π(R2 - x2 )dx.
由于将这一薄层水吸出是这一薄层水的重力在作功，设水的比重为 γ = 1, 所以功的元素为
dW = γπx(R2 - x2 )dx
(3) 求定积分：将满池水全部抽出所作的功为
W = R γπx(R2 - x2 )dx = π R x(R2 - x2 )dx = π R4
答：克服弹力所作的功为
. 1 kl2(J) 2
Q
l
F
新知探究
万有引力定律
两个质量分别为 m1 , m2 ，相距为 r 的质点间的引力
F
k
m1m2 r2
若要计算一细长杆对一质点的引力，此时由于细杆上各点与质点的距离是变化的，所以不能直接 利用上述公式计算.
新知探究
例3
设有一长为 l 质量为 M 的均匀细杆，另有一质量为 m 的质点和杆在一条直线上，它到杆
人教版高中数学选修2-2
第1章 导数及其应用
定积分在物理中的应用
课前导入
定积分的物理应用包括作功、水压力和引力等问题。本节仅给出作功、水压力和引力问题的例子. 定积分的物理应用包括变速直线运动作功、水压力和引力等.本节仅给出变速直线运动作功、水 压力和引力问题的例子.
高等数学(同济第六版)课件 第六章 6.3定积分物理应用
第三节 定积分在物理学上的应用
一、变力沿直线所作的功
F a x
F
x+dx b
常力 F 沿直线对物体所作的功为：W=F · S 若力是变力： F F ( x )
dW F ( x )dx
W F ( x )dx
a
b
例1 一个带 +q 电量的点电荷放在 r 轴上坐标原点处, 产生一个电场． 若将一个单位正电荷从r 轴上r = a 处 沿 r 轴移动到 r = b处，求场力 F 所作的功． 解 取r为积分变量，
20 x 20 x dW2 (10 0.05)dx (10 )dx 4 80
x
功元素
1 20 x dW [ x (10 )]dx 10 80
20
功
W
0
1 20 x [ x (10 )]dx 10 80
＝217.5(千克米) ＝2131.5(焦耳)
l l 解 取y为积分变量 y [ , ], 2 2 取任一小区间[ y , y+dy ] 小段的质量为 dy ,
小段与质点的距离为 r a y ,
2 2
m dx 引力 dF k 2 , 2 a y amdy dFx k 2 , 2 (a y )
3 2
l y 2 y dy
解 建立坐标系如图
面积元素 2(a x )dx ,
dP ( x 2a ) 2(a x )dx
2a
o
a
2a
7 3 P 2( x 2a )(a x )dx a . 0 3
a
x
三、 引力
质量分别为m1, m2相距为 r 的两个质点间的引力 大小：F k m1m2 , 其中k为引力系数， r2 引力的方向沿着两质点的连线方向． 例6 有一长度为l、线密度为 的均匀细棒， 在其中垂线上距棒 a 单位处有一质量为 m 的 质点M， 计算该棒对质点 M 的引力．
一、变力沿直线所作的功
F a x
F
x+dx b
常力 F 沿直线对物体所作的功为：W=F · S 若力是变力： F F ( x )
dW F ( x )dx
W F ( x )dx
a
b
例1 一个带 +q 电量的点电荷放在 r 轴上坐标原点处, 产生一个电场． 若将一个单位正电荷从r 轴上r = a 处 沿 r 轴移动到 r = b处，求场力 F 所作的功． 解 取r为积分变量，
20 x 20 x dW2 (10 0.05)dx (10 )dx 4 80
x
功元素
1 20 x dW [ x (10 )]dx 10 80
20
功
W
0
1 20 x [ x (10 )]dx 10 80
＝217.5(千克米) ＝2131.5(焦耳)
l l 解 取y为积分变量 y [ , ], 2 2 取任一小区间[ y , y+dy ] 小段的质量为 dy ,
小段与质点的距离为 r a y ,
2 2
m dx 引力 dF k 2 , 2 a y amdy dFx k 2 , 2 (a y )
3 2
l y 2 y dy
解 建立坐标系如图
面积元素 2(a x )dx ,
dP ( x 2a ) 2(a x )dx
2a
o
a
2a
7 3 P 2( x 2a )(a x )dx a . 0 3
a
x
三、 引力
质量分别为m1, m2相距为 r 的两个质点间的引力 大小：F k m1m2 , 其中k为引力系数， r2 引力的方向沿着两质点的连线方向． 例6 有一长度为l、线密度为 的均匀细棒， 在其中垂线上距棒 a 单位处有一质量为 m 的 质点M， 计算该棒对质点 M 的引力．
定积分在物理中的应用 课件
t1
这一时段的路程是位移的相反数，即路程为
t2 v(t) d t
.
t1
例 1 一辆汽车的速度－时间曲线如图所示．求汽车在这 1 min 行驶的路程．
解 由速度－时间曲线可知：
3t， v(t)＝30，
－1.5t＋90，
0≤t≤10， 10≤t≤40， 40≤t≤60.
因此汽车在这 1 min 行驶的路程是： s＝ʃ 1003tdt＋ʃ 410030dt＋ʃ 6400(－1.5t＋90)dt ＝32t2|100＋30t|4100＋(－34t2＋90t)|6400 ＝1 350 (m)． 答 汽车在这 1 min 行驶的路程是 1 350 m.
得 t∈(0,1)∪(3,4)． 这说明 t∈(1,3)时质点运动方向与 t∈(0,1)∪(3,4)时运动方向 相反．
故 S＝ʃ04|t2－4t＋3|dt ＝ʃ 10(t2－4t＋3)dt＋ʃ 31(4t－t2－3)dt＋ʃ 34(t2－4t＋3)dt＝4. 即在时刻 t＝4 时，该质点运动的路程为 4 m.
小结 (1)用定积分解决变速直线运动的位移和路程问题时， 将物理问题转化为数学问题是关键． (2)路程是位移的绝对值之和，因此在求路程时，要先判断速 度在区间内是否恒正，若符号不定，应求出使速度恒正或恒 负的区间，然后分别计算，否则会出现计算失误．
跟踪训练 1 一质点在直线上从时刻 t＝0(s)开始以速度 v(t) ＝t2－4t＋3(m/s)运动．求： (1)在时刻 t＝4 时，该点的位置； (2)在时刻 t＝4 时，该点运动的路程． 解 (1)由 ʃ 04(t2－4t＋3)dt＝(t33－2t2＋3t)|04＝43知， 在时刻 t＝4 时，该质点离出发点43m. (2)由 v(t)＝t2－4t＋3>0，
定积分在物理的应用ppt课件
变速直线运动程做变速直线运动的物体所经过的路程s等于其速度函数等于其速度函数vvtvt0在时间区间在时间区间ab上的定积分即变力做功力如果物体在变力fx的作用下做直线运动并且物体沿着与的作用下做直线运动并且物体沿着与fx相同的方向从xa移动到xbab那么变力fx所做的功为所做的功为?bavtdt?bafxdx1
A
C．810 ．945 解析 停车时 v(t)＝0D ，由 27－0.9t＝0，
得 t＝30，
30 30 ∴s＝ʃ v ( t )d t ＝ ʃ 0 0 (27－0.9t)dt
＝(27t－0.45t2)|30 0 ＝405.
练习 2．一个弹簧压缩 x cm 可产生 4x N 的力，把它从自然 长度压缩到比自然长度短 5 cm，求弹簧克服弹力所做的 功．
1.7.2
定积分在物理的应用
1．7.2
【学习要求】
定积分在物理中的应用
1．能利用定积分解决物理中的变速直线运动的路程、变力 做功问题. 2.通过定积分在物理中的应用，学会用数学工具解决物理问 题，进一步体会定积分的价值． 【学法指导】 利用定积分解决变速直线运动的路程，变力做功等问题， 要特别注意问题的物理意义同时借助定积分的几何意义， 用“数形结合”思想解决问题.
0
将速度转化为 20m/s，设制动后 ts 内速度为 0，路
0
t t 程为 v(t)dt 且 v(t)＝v0＋ adt.
解 (1)a＝－0.4m/s2，v0(t)＝72km/h＝20m/s，设 ts 后的
t t 速度为 v，则 v＝v0＋ adt＝20－ 0.4dt＝20－0.4t.
答 案
b 1.S＝ v(t)dt
a
b 2.W＝ F(x)dx
A
C．810 ．945 解析 停车时 v(t)＝0D ，由 27－0.9t＝0，
得 t＝30，
30 30 ∴s＝ʃ v ( t )d t ＝ ʃ 0 0 (27－0.9t)dt
＝(27t－0.45t2)|30 0 ＝405.
练习 2．一个弹簧压缩 x cm 可产生 4x N 的力，把它从自然 长度压缩到比自然长度短 5 cm，求弹簧克服弹力所做的 功．
1.7.2
定积分在物理的应用
1．7.2
【学习要求】
定积分在物理中的应用
1．能利用定积分解决物理中的变速直线运动的路程、变力 做功问题. 2.通过定积分在物理中的应用，学会用数学工具解决物理问 题，进一步体会定积分的价值． 【学法指导】 利用定积分解决变速直线运动的路程，变力做功等问题， 要特别注意问题的物理意义同时借助定积分的几何意义， 用“数形结合”思想解决问题.
0
将速度转化为 20m/s，设制动后 ts 内速度为 0，路
0
t t 程为 v(t)dt 且 v(t)＝v0＋ adt.
解 (1)a＝－0.4m/s2，v0(t)＝72km/h＝20m/s，设 ts 后的
t t 速度为 v，则 v＝v0＋ adt＝20－ 0.4dt＝20－0.4t.
答 案
b 1.S＝ v(t)dt
a
b 2.W＝ F(x)dx
《定积分课件》课件
03 定积分的应用
CHAPTER
面积与体积的计算
总结词
定积分在计算平面图形的面积和三维物体的体积方面具有广 泛应用。
详细描述
利用定积分，可以计算出由曲线围成的平面图形的面积，例 如由y=sinx和y=cosx围成的图形面积。此外，定积分还可以 用于计算三维物体的体积，例如球体、圆柱体和旋转体的体 积。
详细描述
在静水压力问题中，压力分布是深度的函数。通过定积分，我们可以计算任意 深度的压力分布，从而了解水下物体的受力情况。
引力场的强度
总结词
通过定积分计算引力场的强度，理解引 力场的分布规律。
VS
详细描述
在引力场中，场强是位置的函数。通过定 积分，我们可以计算任意位置的场强，从 而了解物体在引力场中的运动规律。
符号表示
02
定积分的符号为∫，读作“拉姆达”。
计算方法
03
定积分的计算方法是通过微积分基本定理，将定积分转化为求
原函数在某点的值。
定积分的几何意义
平面区域面积
定积分可以用来计算平面图形的面积，特别是 当面积元素与坐标轴平行时。
体积
定积分还可以用来计算三维物体的体积，例如 旋转体的体积。
曲线下面积
定积分可以用来计算曲线下在某一区间内的面积。
定积分的计算方法
要点一
总结词
定积分的计算方法包括直接法、换元法和分部积分法等。
要点二
详细描述
定积分的计算可以通过多种方法进行。直接法是根据微积 分基本定理，通过求原函数并计算其差值来得到定积分的 结果。换元法是在积分变量进行换元，使得积分简化。分 部积分法则是通过将两个函数的乘积进行积分，将一个积 分转化为另一个积分，从而简化计算。这些方法在计算定 积分时常常需要结合使用。
定积分在物理中的应用上
定积分的应用可以帮助我们更好地理解物体的运动规律，为解决物理问题 提供了重要的数学工具。
03
CHAPTER
动能与势能的定积分表示
动能的定积分表示
总结词
动能的定积分表示是物体在某段时间内通过的路径与该路径上的力的乘积的积分。
详细描述
根据牛顿第二定律，物体的动能为物体质量与速度平方的一半的乘积。在定积分形式下，动能的表示为 ∫F·dx，其中F是作用在物体上的力，dx是物体在该力作用下的位移。
瞬时加速度表示物体在某一时刻的速 度变化快慢，而平均加速度表示物体 在某段时间内速度变化的平均快慢。
速度与加速度的连续变化
在物理中，物体的速度和加速度通常都是随时间连续变化的。定积分可以 用来描述这种连续变化的过程。
通过定积分，我们可以计算物体在任意时间段内的速度和加速度的变化量， 以及物体在任意时刻的速度和加速度的大小。
详细描述
在热力学中，温度场是一个连续变化的物理量，它描述 了物体内部各点的温度分布。通过定积分，可以将温度 场表示为一个连续的函数，从而方便地计算物体内部各 点的温度值。
热量传递的定积分表示
总结词
热量传递的过程可以通过定积分来描述，包括热传导、热对流和热辐射等。
详细描述
热量传递是热力学中的重要过程，包括热传导、热对流和热辐射等。这些过程都可以通过定积分来描 述。通过定积分，可以计算热量传递的速率、方向和分布，从而更好地理解和控制热量传递的过程。
VS
详细描述
在匀速直线运动中，物体的速度是恒定的 ，因此物体的位移量可以通过速度与时间 的乘积来计算。定积分可以用来计算在一 段时间内物体的总位移量。
匀加速直线运动的定积分表示
总结词
定积分在匀加速直线运动中可以表示物体的 速度和位移量。
03
CHAPTER
动能与势能的定积分表示
动能的定积分表示
总结词
动能的定积分表示是物体在某段时间内通过的路径与该路径上的力的乘积的积分。
详细描述
根据牛顿第二定律，物体的动能为物体质量与速度平方的一半的乘积。在定积分形式下，动能的表示为 ∫F·dx，其中F是作用在物体上的力，dx是物体在该力作用下的位移。
瞬时加速度表示物体在某一时刻的速 度变化快慢，而平均加速度表示物体 在某段时间内速度变化的平均快慢。
速度与加速度的连续变化
在物理中，物体的速度和加速度通常都是随时间连续变化的。定积分可以 用来描述这种连续变化的过程。
通过定积分，我们可以计算物体在任意时间段内的速度和加速度的变化量， 以及物体在任意时刻的速度和加速度的大小。
详细描述
在热力学中，温度场是一个连续变化的物理量，它描述 了物体内部各点的温度分布。通过定积分，可以将温度 场表示为一个连续的函数，从而方便地计算物体内部各 点的温度值。
热量传递的定积分表示
总结词
热量传递的过程可以通过定积分来描述，包括热传导、热对流和热辐射等。
详细描述
热量传递是热力学中的重要过程，包括热传导、热对流和热辐射等。这些过程都可以通过定积分来描 述。通过定积分，可以计算热量传递的速率、方向和分布，从而更好地理解和控制热量传递的过程。
VS
详细描述
在匀速直线运动中，物体的速度是恒定的 ，因此物体的位移量可以通过速度与时间 的乘积来计算。定积分可以用来计算在一 段时间内物体的总位移量。
匀加速直线运动的定积分表示
总结词
定积分在匀加速直线运动中可以表示物体的 速度和位移量。
( 人教A版)定积分在物理中的应用课件 (共24张PPT)
[解析] (1)由 v(t)＝8t－2t2≥0，得 0≤t≤4，
即当 0≤t≤4 时，P 点向 x 轴正方向运动，
当 t>4 时，P 点向 x 轴负方向运动．
故当 t＝6 时，点 P 离开原点的路程
s1＝4(8t－2t2)dt－6(8t－2t2)dt
0
4
＝4t2－23t340 －4t2－23t364 ＝1238.
(2)∵v(t)＝t2－4t＋3＝(t－1)(t－3)，
∴在区间[0,1]及[3,4]上 v(t)≥0，
在区间[1,3]上，v(t)≤0.
∴在 t＝4 s 时的路程为
s＝1(t2－4t＋3)dt－3(t2－4t＋3)dt＋4(t2－4t＋3)dt
0
1
3
＝13t3－2t2＋3t10 －13t3－2t2＋3t31 ＋13t3－2t2＋3t43 ＝4 (m)．
a
a
＝－bv(t)dt. a
1．一点在直线上从时刻 t＝0(单位：s)开始以速度 v＝t2－4t＋3(单位：m/s)运动，求： (1)在 t＝4 s 时的位置； (2)在 t＝4 s 时运动的路程． 解析：(1)在 t＝4 s 时该点的位移为 04(t2－4t＋3)dt＝13t3－2t2＋3t40 ＝43(m)． 即在 t＝4 s 时该点距出发点43 m.
0
答案：45 J
探究一 求变速直线运动的路程、位移 [典例 1] 有一动点 P 沿 x 轴运动，在时间 t 时的速度为 v(t)＝8t－2t2(速度的正方向 与 x 轴正方向一致)．求： (1)P 从原点出发，当 t＝6 时，求点 P 离开原点的路程和位移； (2)P 从原点出发，经过时间 t 后又返回原点时的 t 值．
1.7 定积分的简单应用
定积分在物理中的应用.ppt
F(x)=W kxdx kx |0 kl J 0 2 2
l
l
1 2 答:克服弹力所作的功为 kl J 2
练习
一物体在力F(x)=3x+4(单位:N)的作用下,沿着与力F相同 的方向,从x=0处运动到x=4处(单位:m),求力F(x)所作的功.
20 10
v/m/s
40
O
10 20 30 40 50 60 t/s
=
+
+
解: 由v-t图象曲线可知:
3t , vt 30, 1.5t 90,
10 40
0 t 10; 10 t 40; 40 t 60;
60
v/m/s
40 30 20 10
10 20 30 40 50 60 t/s
因此汽车在这1min行驶的路程是:
3 2 10 3 2 60 40 t |0 30t |10 t 90t |40 2 4 1350m
0 10 40
s 3tdt 30dt 1.5t 90dt O
答:汽车在这 1 min 行驶的路程是1 350 m.
W
4
0
3 2 4 F x dx 3x 4dx x 4 x |0 40J 0 2
4
练习
把弹簧拉长所需的力与弹簧的伸长成正比.已知1kg的力 能使弹簧伸长1cm,问把弹簧拉长10cm要作多少功?
练习
按万有引力定律,两质点间的吸引力F
km1m2 , k为常数, 2 r
m1 , m2为两质点的质量,r为两点间距离,若两质点起始距 离为a,质点m1沿直线移动至离m2的距离为b处,试求所作 之功(ｂ＞a)?
定积分在物理上的应用【高等数学PPT课件】
bΒιβλιοθήκη W a F (x) dx
例1. 在一个带 +q 电荷所产生的电场作用下, 一个单
位正电荷沿直线从距离点电荷 a 处移动到 b 处 (a < b) , 求电场力所作的功 .
解: 当单位正电荷距离原点 r 时,由库仑定律电场力为
q 1 1
则功的元素为 dW
k r
q
2
d
r
o
a
r r dr b r
所求功为
kq
1 r
b a
kq
(
1 a
1 b
)
说明:
kq a
例2. 一蓄满水的圆柱形水桶高为 5 m, 底圆半径为3m,
试问要把桶中的水全部吸出需作多少功 ?
解: 建立坐标系如图. 在任一小区间
o
[x , x dx] 上的一薄层水的重力为
g 32 dx (KN)
这薄层水吸出桶外所作的功(功元素)为
5m x
xdx
dW 9 g x dx
故所求功为
5
W 0
9 g x d x 9
g x2
2
5 0
112.5 g ( KJ )
3m
x
设水的密
度为
第三节 定积分在物理学上的应用
一、 变力沿直线所作的功 *二、 液体的侧压力 *三、 引力问题
一、 变力沿直线所作的功
设物体在连续变力 F(x) 作用下沿 x 轴从 x＝a 移动到 力的方向与运动方向平行, 求变力所做的功 .
在其上所作的功元
素为
dW F(x)dx
a x x dx b x
因此变力F(x) 在区间 上所作的功为
例1. 在一个带 +q 电荷所产生的电场作用下, 一个单
位正电荷沿直线从距离点电荷 a 处移动到 b 处 (a < b) , 求电场力所作的功 .
解: 当单位正电荷距离原点 r 时,由库仑定律电场力为
q 1 1
则功的元素为 dW
k r
q
2
d
r
o
a
r r dr b r
所求功为
kq
1 r
b a
kq
(
1 a
1 b
)
说明:
kq a
例2. 一蓄满水的圆柱形水桶高为 5 m, 底圆半径为3m,
试问要把桶中的水全部吸出需作多少功 ?
解: 建立坐标系如图. 在任一小区间
o
[x , x dx] 上的一薄层水的重力为
g 32 dx (KN)
这薄层水吸出桶外所作的功(功元素)为
5m x
xdx
dW 9 g x dx
故所求功为
5
W 0
9 g x d x 9
g x2
2
5 0
112.5 g ( KJ )
3m
x
设水的密
度为
第三节 定积分在物理学上的应用
一、 变力沿直线所作的功 *二、 液体的侧压力 *三、 引力问题
一、 变力沿直线所作的功
设物体在连续变力 F(x) 作用下沿 x 轴从 x＝a 移动到 力的方向与运动方向平行, 求变力所做的功 .
在其上所作的功元
素为
dW F(x)dx
a x x dx b x
因此变力F(x) 在区间 上所作的功为
定积分在物理中的某些应用
检疫
注册申请
条件：申办注册登记的出口动物饲养场，应具备独立法人资格， 不具独立法人资格的，由其拥有独立法人资格的上级主管单位
提出注册登记申请。 受理单位：所在地直属检验检疫机构。 所需材料及数量:申请注册时，需提交《申请表》和《企业法 人营业执照》复印件、饲养场平面图和彩色照片(包括场区全 貌、进出场区及生产区消毒通道、栏舍内外景、兽医室、发病 动物隔离区、死亡动物处理设施、粪便处理设施、隔离检疫舍 等)以及饲养管理制度和动物卫生防疫制度等资料，一式3份。 实施一场一证制度。同一企业所属的位于不同地点的饲养场应
W a F ( x)dx
2022年9月1日10时36分
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14
例8. 弹簧在拉伸过程中，需要的力 F (单位：N)与弹 簧的伸长量 s (单位:cm)成正比，即F=ks (k是比例常 数) 如果把弹簧由原长拉伸6cm，计算所做的功。 解： 当弹簧从x拉伸至x+dx，可认为外力近似于F=kx
O x
64g (kJ )
x+dx
x
2022年9月1日10时36分
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19
例13. 半径为R的球沉入水中, 球的上部与水面相切，球
的密度为1，现将球从水中取出,需作多少功？
解：建立坐标系如图所示。
x
相应于区间[x，x+dx]的球体中
的薄片(球台)的体积约为
R+x
dV (R2 x2 )dx
v =1吨/米3 ，于是受到的静压力 为 P 2vx 9 x2 dx 从而闸门受到的总压力为
3
o x
y
x dx
P
3
2vx
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对它的作用力的大小为
F
k
q r2
（k
是常数），当
这个单位正电荷在电场中从 r a 处沿 r 轴移
动到 r b 处时，计算电场力 F 对它
q
o
a
1
r
r
dr
b
r
r [a,b],
取任一小区间[r, r dr],
功元素
kq dw r 2 dr,
作的功 . 解: 建立坐标系如图. 由波义耳—马略特定律知压强
p 与体积 V 成反比 , 即
故作用在活塞上的
力为 功元素为
S
o a xx dx b x
所求功为
5
例 3 一圆柱形蓄水池 高为 5 米，底半径为 3 米，池内盛满了水. 问要把池内的水全部 吸出，需作多少功？
解 建立坐标系如图
取x为积分变量， x [0,5] 取任一小区间[ x, x dx],
所求功为 w
bkq
a r 2 dr
kq
1b r a
kq
1 a
1 b
.
如果要考虑将单位电荷移到无穷远处
w
a
krq2 dr
kq
1 r a
kq a
.
4
例2. 在底面积为 S 的圆柱形容器中盛有一定量的气 体,由于气体的膨胀, 把容器中的一个面积为S 的活塞从 点 a 处移动到点 b 处 (如图),求移动过程中气体压力所
0
2x
R2 x2dx
R
0
R2 x2d(R2 x2)
2 3
R2
x2
3
R 0
2
3
R3.
12
说明: 当桶内充满液体时,小窄条上的压强为 g (R x),
侧压力元素 dP 2 g (R x) R2 x2 dx ,
故端面所受侧压力为
点 M ，计算该棒对质点 M 的引力．
解 建立坐标系如图
ly
取y为积分变量
y
l 2
,
2l ,
取任一小区间[ y, y dy]
2 y dy
yr
o a M
x
将典型小段近似看成质点
l 2
小段的质量为 dy,
16
小段与质点的距离为 r a2 y2 ,
引力
mdy
F k a2 y2 ,
力与铁钉进入木板的深度成正比，铁锤在第一次 锤击时将铁钉击入1厘米，若每次锤击所作的功
相等，问第 次锤n击时又将铁钉击入多少？
解 设木板对铁钉的阻力为 f ( x) kx,
第一次锤击时所作的功为
w1
1
0
f
( x)dx
k 2
,
设 n次击入的总深度为 h厘米
n次锤击所作的总功为
h
wh 0 f ( x)dx.
的平板水平地放置在水深为h 处，那么，平板一 侧所受的水压力为P p A．
如果平板垂直放置在水中，由于水深不同
的点处压强p 不相等，平板一侧所受的水压力
就不能直接使用此公式，而采用“微元法”思 想．
10
例 5 一个横放着的圆柱形水桶，桶内盛有半桶水，
设桶的底半径为 R，水的比重为 ，计算桶的一端
点击图片任意处播放\暂停
o
x x dx
5
x
6
这一薄层水的重力为 9.8 32 dx
功元素为 dw 88.2 x dx,
o
x x dx
5
x
5
w 0 88.2 x dx
88.2
x2 2
5 0
3462 (千焦)．
7
例4 用铁锤把钉子钉入木板，设木板对铁钉的阻
k
m1m2 r2
，
其中k 为引力系数，引力的方向沿着两质点的
连线方向．
如果要计算一根细棒对一个质点的引力， 那么，由于细棒上各点与该质点的距离是变化 的，且各点对该质点的引力方向也是变化的， 就不能用此公式计算．
15
例 7 有一长度为l 、线密度为 的均匀细棒， 在其中垂线上距棒 a 单位处有一质量为 m的质
4R g R R2 x2 dx 0 令 x R sin t
奇函数
o
x
y
xdx
R
x
4Rg x
2
R2
x2
R2 2
arcsin
x R
R 0
g R3
13
例 6 将直角边各为a及2a的直角三角形薄板
垂直地浸人水中，斜边朝下，直角边的边长与
水面平行，且该边到水面的距离恰等于该边的
面上所受的压力．
解 在端面建立坐标系如图
取x为积分变量，x [0, R]
取任一小区间[ x, x dx]
小矩形片上各处的压强近
似相等 p x,
小矩形片的面积为 2 R2 x2dx.
o
x
x dx
x
11
小矩形片的压力元素为 dP 2x R2 x2dx
端面上所受的压力
P
R
W F s.
如果物体在运动的过程中所受的力是变化 的，就不能直接使用此公式，而采用“微元法” 思想.
2
例 1 把一个带 q 电量的点电荷放在 r 轴上坐
标原点处，它产生一个电场．这个电场对周围的电
荷有作用力．由物理学知道，如果一个单位正电荷
放在这个电场中距离原点为 r 的地方，那么电场
第三节
第六章
定积分在物理学上的应用
一、 变力沿直线所作的功 二、 液体的侧压力 三、 引力问题 四、 转动惯量 (补充)
1
一、变力沿直线所作的功
由物理学知道，如果物体在作直线运动的
过程中有一个不变的力F 作用在这物体上，且
这力的方向与物体的运动方向一致，那么，在
物体移动了距离s时，力F 对物体所作的功为
水平方向的分力元素
dFx
k
amdy
(a2
y
2
)
3 2
,
Fx
l 2
l 2
k
amdy
(a2 y2 )
3 2
2kml
a(4a 2
l
2
)
1 2
边长，求薄板所受的侧压力．
解 建立坐标系如图 面积微元 2(a x)dx,
2a
o 2a
a
dP ( x 2a) 2(a x) 1dx
x
P
a
0
2(
x
2a)(a
x)dx
7
3
a3.
14
三、引力
由物理学知道，质量分别为m1 , m2 相距为
r 的两个质点间的引力的大小为F
8
wh
h
0 kxdx
kh2 2
,
依题意知，每次锤击所作的功相等．
wh nw1
kh2 n k , 22
n次击入的总深度为 h n,
第n次击入的深度为 n n 1.
9
二、水压力
由 物 理 学 知 道 ， 在 水 深 为h 处 的 压 强 为
p h，这里 是水的比重．如果有一面积为A