第八章习题解答

第八章习题解答

1．选择题

（1）设某种药品中有效成分的含量服从正态分布2

(,)N μσ，原工艺生产的产品中有效成分的平均含量为

a ，现在用新工艺试制了一批产品，测其有效成分含量，以检验新工艺是否真的提高了有效成分的含量，

要求当新工艺没有提高有效成分含量时，误认为新工艺提高了有效成分含量的概率不超过5%，那么应取原假设0H 及显著性水平α为（ ）

(A)0:,0.01H a μα≤= (B) 0:,0.05H a μα≥= (C) 0:,0.05H a μα≤= (D) 0:,0.01H a μα≥=

解 应选(C)。依题设需检验新工艺是否真的提高了有效成分的含量，即检验新工艺生产的产品中有效成分的平均含量大于a ，从而原假设和备择假设应为01:,:H a H a μμ≤>，显著性水平应该是在该检验中犯第一类错误的概率，即当新工艺没有提高有效成分含量时，误认为新工艺提高了有效成分含量的概率，从而0.05α=，故选(C)。

（2）对于正态总体2

(,)N μσ（2

σ未知）的假设检验问题01:1,:1H H μμ≤>，若取显著性水平0.05α=，

则其拒绝域为（ ）

(A)0.051X u ->

(B) 0.051(X t n >+-

(C) 0.051(X t n ->-

(D) 0.051(X t n <-- 解 应选(B)。对于假设检验问题01:1,:1H H μμ≤>，应选择的假设检验统计量

1

~(1)X T t n -=

-（在0H 为真时）

由于0.05α=，所以临界点为0.05(1)(1)t n t n α-=-，其拒绝域为0.05(1)T t n >-，

即0.051(X t n >+-，故选(B)。 2．填空题

（1）设总体2

~(,)X N μσ，其中

μ已知，12,,,n X X X 是来自总体X 的样本，则假设检验

2222

00210:,:H H σσσσ=≠的统计量为 ，当0H 为真时，服从 分布。

解 对于正态总体2

~(,)X N μσ，当

μ已知，需检验222200210:,:H H σσσσ=≠，应选择

2

21

2

()

n

i

i X

μχσ

=-=

∑为检验统计量，当0H 为真时，2

221

2

0()~()n

i

i X

n μχχσ=-=

∑

（2）设α是双边检验的显著性水平，β是双侧置信区间的置信度，（i ）若λ是t -分布的统计量T 的临界

值，则( )P α=，( )P β=，（ii ）若12,λλ是2

χ-分布的统计量2

χ的临界值，12λλ<，

则22

21()()P P χλχλ>=<= 。

解 由双边检验的显著性水平及双侧置信区间的置信度的概念，则（i ）当λ是t -分布的统计量T 的临界值时，由t -分布的性质知()P T αλ=>，()P T βλ=<；（ii ）当12,λλ（12λλ<）是2χ-分

布的统计量2

χ的临界值时，则22

21()()2

P P α

χλχλ>=<=。

3．解答题

（1）长期的统计资料表明，某市轻工产品的月产值百分比X 服从正态分布，方差2

1.21σ=，现任意抽查9个月，得轻工产品产值占总产值的百分比平均值为31.15%x =，问在显著性水平0.05α=下，可否认为过去该市轻工产品月产值占该市工业产品总产值的百分比为3

2.50% 。

解（i ）需检验01:32.50%,:32.50%H H μμ=≠ （ii ）选择检验统计量~(0,1)X U N

=

（iii ）由于0.05α=，所以临界点为2

1.96u α±=±，从而接受域为( 1.96,1.96)- （iv ）由于9, 1.1,31.15%n x σ===，所以检验统计量U 的样本值为

0.037

u =

=-

（v ）由于0.037( 1.96,1.96)u =-∈-，所以接受0H 。即可以认为过去该市轻工产品月产值占该市工业产品总产值的百分比为32.50%

（2）设某厂生产的一种钢索，其断裂强度X （kg/cm 2）服从正态分布2

(,40)N μ，从中选取一个容量为9的样本，计算得到样本均值为780x =kg/cm 2，能否据此认为这批钢索的断裂强度为800 kg/cm 2（0.05α=）。

解（i ）需检验，01:800,:800H H μμ=≠ （ii ）选择检验统计量~(0,1)X U N

=

（iii ）由于0.05α=，所以临界点为2

1.96u α±=±，从而接受域为( 1.96,1.96)- （iv ）由于9,40,780n x σ===，所以检验统计量U 的样本值为

1.5

u==-

（v）由于 1.5( 1.96,1.96)

u=-∈-，所以接受

H。即可以认为这批钢索的断裂强度为800 kg/cm2。（3）设某次考试的考生成绩服从正态分布，从中随机的抽取36位考生的成绩，算得平均成绩为66.5分，标准差为15分，问在显著性水平0.05

α=下，是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩为70分。

解（i）需检验，

01

:70,:70

H H

μμ

=≠

（ii

）选择检验统计量~(1)

X

T t n

=-

（iii）由于0.05

α=，36

n=，所以临界点为

2

0.025

(1)(35) 2.0301

t n t

α

±-=±=±，从而接受域为(2.0301,2.0301)

-

（iv）由于36,66.5,15

n x s

===，所以检验统计量T的样本值为

1.4

t==-

（v）由于 1.4( 2.0301,2.0301)

t=-∈-，所以接受

H。即可以认为这次考试全体考生的平均成绩为70分。

（4）某厂所生产的某种细纱支数的标准差为1.2，现从某日生产的一批产品中，随机地抽取16缕进行支数测量，求得样本标准差为2.1，设细纱支数服从正态分布，问细纱的均匀度有无显著性的变化（0.05

α=）。

解（i）需检验2222

01

: 1.2,: 1.2

H H

σσ

=≠

（ii）选择检验统计量

2

22

2

(1)

~(1)

1.2

n S

n

χχ

-

=-

（iii）由于0.05

α=，16

n=，所以临界点为

0.9750.025

1

22

2222

(1)(15) 6.25,(1)(15)27.5

n n

αα

χχχχ

-

-==-==，从而接受域为(6.25,27.5)

（iv）由于16, 2.1

n s

==，所以检验统计量2χ的样本值为

2

2

2

(161) 2.1

49.5

1.2

χ

-⨯

==

（v）由于249.5(6.25,27.5)

χ=∉，所以拒绝

H。即细纱的均匀度有显著性的变化

（5）某灯泡厂在采用一项新工艺的前后，分别抽取10个灯泡进行寿命试验，计算得到：在采用新工艺前灯泡寿命的样本均值为2460小时，标准差为56小时，采用新工艺后灯泡寿命的样本均值为2550小时，标准差为48小时，设灯泡的寿命服从正态分布，是否可以认为采用新工艺后灯泡的平均寿命有显著的提高（0.01

α=）。

解设采用新工艺前灯泡寿命2

11

~(,)

X Nμσ，采用新工艺后灯泡寿命2

22

~(,)

Y Nμσ，分两步检验，