2003年上海交通大学冬令营选拔测试数学试题2003

2003年上海交通大学冬令营选拔测试数学试题 2003.1.4

一、填空题（本大题共40分，每题4分）

1．三次多项式f (x )满足f (3)＝2f (1)，且有两个相等的实数根2，则第三个根为___________．

2．用长度为12的篱笆围成四边形，一边靠墙，则所围成面积S 的最大值是_______________．

3．已知,x y R +∈，x +2y ＝1，则22x y

+的最小值是______________． 4．有4个数，前3个成等比数列，后3个成等差数列，首末两数和为32，中间两数和为24，则这四个数是___________________．

5．已知f (x )=ax 7+bx 5+x 2+2x -1，f (2)=-8，则f (-2)=_______________．

6．投三个骰子，出现三个点数的乘积为偶数的概率是_______________．

7．正四面体的各个面无限延伸，把空间分为________________个部分．

8．有n 个元素的集合分为两部分，空集除外，可有___________种分法．

9．有一个整数的首位是7，当7换至末位时，得到的数是原数的三分之一，则原数的最小值是___________．

10．100!末尾连续有______________个零．

二、解答题（本大题共60分，每题10分）

11．数列{a n }的a 1=1，a 2=3，3a n +2=2a n +1+a n ，求a n 和lim n n a →∞

．

12．3个自然数倒数和为1．求所有的解．

13．已知x 1000+x 999(x +1)+…+(x +1)1000，求x 50的系数．

14．化简：(1) 11!22!!n n ⋅+⋅++⋅ ； (2) 1212k n n n k C C C ++++++ ．

15．求证：342231

a a a a +++为最简分式．

16．证明不等式()!()23n n

n n n >>，当自然数n ≥6时成立．