中心极限定律

i1
n
Var i1 Xi
的极限分布。
n
n
Xi E(Xi)
考虑 Zn i1
i1
n
Var i1 Xi
的极限分布。
可以证明：当{ Xn } 满足一定条件时, Zn的极限分布是 标准正态分布。
概率论中，常把独立同分布的随机变量之和的标准化 随机变量收敛于标准正态分布的定理称为中心极限定理。
中心极限定理的几种简单情形。
Var ( X )
1 Var ( X ) Var ( X )
1
对X 做 X E(X ) 称为将X 标准化， 称 Y X E( X ) 为 X 的标准化随机变量.
Var( X )
Var ( X )
经标准化后的随机变量的期望为0，方差为1.
§5.2 中心极限定理
中心极限定理是棣莫弗 (De Moivre) 在18世纪首先ห้องสมุดไป่ตู้提出的，到现在内容已十分丰富。在这里，我们只介绍 其中两个最基本的结论:
作业：p114，5.1，5.3，5.5，5.6。
npq
P(20 80 2X 40)
4.9874
P(20
X
30)
P(
20 np npq
X np npq
30 np) npq
P( 20 25 4.9874
X 25 4.9874
30 25) 4.9874
P(1.0025
X 25 4.9874
1.0025)
(1.0025) (1.0025) 2(1.0025) 1 0.6839.
根据定理5.2.1 X E ( X )近似 N (0,1)
n 所以要求E
n
Xi
i 1
( X ),
记做 X . Var(X )
Var(X )
∴ E(Xi)= (-0.5+0.5)/2=0， Var(Xi)=[0.5-(-0.5)]2/12=1/12
E( X ) 0,
Var( X ) 2 1 , X E(X )
lim P
n
Yn np np(1 p)
x
x
1 et2 / 2d t (x).
2
定理 5.2.2 表明: 当 n 很大时，二项分布Yn标准化后的 分布近似于标准正态分布 N(0, 1) 。
P112定理5.2.2 (棣莫弗——拉普拉斯定理):
设随机变量 X服从参数为 (n, p) 的二项分布(0<p<1) ，则对任
第五章 极限定理
§5.1 大数定律 §5.2 中心极限定理
回顾：P95例4.2.4：设随机变量X 的期望和方差 Y X E(X )
分别为E(X)和Var(X),且Var(X)> 0,求Y的期望
Var ( X )
和方差。
解：因期望与方差都是常数，故可设E(x)=a, 1 b
Var( X )
E(Y )
Xi n
lim P{ i1
x}
x
1
其中 Φ(x) 是标准
t2
e 2 dt
(x) ，正态分布 N(0, 1)
n
n
- 2
的分布函数。
n
Xi n
设Yn
i 1
n
知lnimPYn
x
( x)，即 lim n
FYn
x (x),
即：当n 时, Yn ~ N(0,1)
n
Xi n
n
n
Xi E( Xi)
简单计,现在对小数点后面的第一位进行四舍五入运算，则误
差X这个随机变量可以认为服从[-0.5,0.5]上的均匀分布.若独立
进行了100次数字计算.求:平均误差落在区间
3 20
,
3 20
上的概率.
解： n=100,设Xi是第i次运算的误差.
P{ 3 X 3}
20
20
∵误差服从[-0.5,0.5]上均匀分布 ∴平均误差为1
1. 当 n 无限增大时，独立同分布的随机变量之和的极 限分布是正态分布；
2. 当 n 很大时，二项分布可用正态分布近似。
由于无穷个随机变量之和可能趋于∞，
而任何经过标准化后的随机变量的期望为0，方差为1.
故我们不研究 n 个随机变量之和本身，而只考虑其
n
n
Xi E(Xi)
标准化的随机变量Zn i1
Yn
i 1
n
i1
i 1
n
Var i1 X i
n
即Yn是
X
的标准化随机变量。
i
当n很大时, Yn近似服从N (0,1)，
i 1
P110 定理5.2.1 (莱维——林德伯格定理) 的核心内容：
设 X1, X2, … 是独立同分布随机变量序列，
然后对其求和再进行标准化：
n
n
n
即对 Xi进行标准化，得到：Yn
(2) 当n很大时,Yn np 近似 N (0,1) npq
p113例5.2.3：某公司有200名员工参加一种资格证书考试。
按往年经验，考试通过率为0.8。试计算这200名员工至少
有150人考试通过的概率。 P X 150
解: 令 Xi为第i 个员工考试通过的个数，i 1, 2, , 200 .
公司一年总收益= 5000 0.016 2 X 80 2 X
i 1
X ~ B(n, p), n 5000, p 0.005， np 5000 0.005 25.
npq 5000 0.005 0.995 4.9874 ,由棣莫弗-拉普拉斯定理
当n很大时,X np X 25 近似 N (0,1),
意 x∈(-∞,∞)，均有
lim P n
Yn np np(1 p)
x
x
1 et2 / 2d t (x).
2
定理 2 表明: 当 n 很大时，二项分布 Yn 标准化后的 分布近似于标准正态分布 N(0, 1) 。
棣莫弗——拉普拉斯定理的重点：
设： Yn ~ B(n, p).
则有结论： (1) 当n 时,Yn np N (0,1), npq
n 1200 Var(X )
X
1
0
20
1200
3 X 近似 N (0,1)
于是 P{ 3 X 3} P{20
20
20
3 3 20 20
3 X 20
3 3} 20
P{3 20 3 X 3} (3) (3) 2(3) 1 0.9973
i=1,2, ,100.
P112定理5.2.2 (棣莫弗——拉普拉斯定理):
N
(0,1)，所以要求E(
X
n
),Var(
X
n
)
Var( X n )
E(
X
)
14，Var
(
X
)
Var
1 n
n i 1
X i
Xi独
1 n2
n i1
Var(Xi
)
1
n2
n 2
2 n
=4 100
X n 14 ~N (0,1) 2 /10
(1).P{X n 14.5}
1
P
X
n
14
2.5
32 5.6568,
X np npq
X
160 32
近似 N (0,1)
P
X
150
P
X
160 32
150
160 32
P
X
160 32
1.77
1
P
X
160 32
1.77
1 1.77 1.77 =0.9616
P113例5.2.4：某市保险公司开办一年人身保险业务。被保人每年
需交付保费160元。若一年内发生重大人身事故，其本人或家属
小结
本讲首先介绍了大数定律。 大数定律的主要成果是： 大量随机现象的平均结果几乎不再是随机了。
其后介绍了两个中心极限定理:莱维—林德伯格定 理和棣莫佛 — 拉普拉斯定理。 莱维—林德伯格定理的内容是：独立同分布随机变量之 和标准化之后的极限分布是标准正态分布；
棣莫弗— 拉普拉斯定理的内容是：当 n 很大时， 二项分布可用正态分布近似。
设X为200名员工中的考试通过数，则X X1 X 2 X 200 ,
由题意知X ~ B(200,0.8).
由棣莫弗-拉普拉斯定理
当n很大时,X np 近似 N (0,1) npq
X ~ B(n, p), n 200, p 0.8， np 200 0.8 160.
npq
200 0.8 0.2
下面给出独立同分布随机变量序列和的中心极限定理， 称作莱维——林德伯格(Levy —— Lindberg) 定理。
P110 定理5.2.1 (莱维——林德伯格定理)：
设 X1, X2, … 是独立同分布随机变量序列，且 E(Xi) =μ,
Var(Xi)=σ2，对任给 x ∈(-∞, ∞), 均有
n
0.2
P
X
n
14
14.5
14
2 /10
2 /10
1 (2.5) 0.0062
P
；
X
n 14 0.2
2.5
(2).
P{X
n
14}
P
X n 14 2 /10
14 2
14 / 10
1
P
X
n 14 0.2
0
1
(0)
0.5.
P112例 5.2.2计算机在进行数字计算时遵从四舍五入原则,为
设 X1, X2, … 是独立同分布随机变量序列，
然后对其求和再进行标准化： n
n
i 1
Xi
E
n i 1
Xi
即对 Xi进行标准化，得到：Yn
i 1
设：Xn
1 n
n i 1
Xi
n
X i nX n
i 1
n
Var i1 Xi
n
n
i1 X i E i1 Xi nX n E nX n
nX n nE
Xn
n
Var i1 Xi
Var nX n
n2Var X n
X
n EXn Var Xn
.
则有结论：
当n
X
时,
n
E
Xn
: N (0,1)
Var X n
P111例5.2.1：设一批产品的强度服从期望为14、方差为4的
分布。每箱中装有这种产品100件。求
(1).每箱产品的平均强度超过14.5的概率；P{X n 14.5}
i1
i1 X i E i1 X i n
Var i1 Xi
则有结论： (1) 当n 时,Yn N (0,1)
近似
(2) 当n很大时,Yn N (0,1)
大量独立同分布的随机变量之和的标准化变量近 似地服从标准正态分布。
P110 定理5.2.1 (莱维——林德伯格定理) 的一个应用：
(2).每箱产品的平均强度超过期望14的概率。P{X n 14} 解：n=100,设 Xi 是第i 件产品的强度，则
E每(箱Xi)产=1品4,的Va平r(均X强i)=度4,为i =1n1,in21 ,X…i，记,1为00X。n且. 各产品的强度Xi相互独立。
由莱维—林德伯格定理得X
n
E
(
X
n
)
近
~
获赔付金2万元。己知该市人员一年内发生重大人身事故的概率
为0.005，现有5000人参加此项保险。求:保险公司一年内从此项
业务所得到的总收益在20万元到40万元之间的概率。
P(20 80 2X 40)
解: 令 Xi为第i个投保者一年内发生人身事故的次数，i 1,2,,5000. 5000
设X为5000名参保者发生重大人身事故数， 则X Xi ,
E
1
X E(X ) E(bX ab) bE( X ) E(ab)
Var ( X )
Var ( X )
ab ab 0
回顾：性质2 Var aX c a2Var(X ).
Var (Y ) Var
1
X
E(X )
Var(bX ab) b2Var( X )
Var ( X )
设随机变量序列X1,X2 , ,Xn ,相互独立,且Xi都服从
B(1,p)，则对任意 x∈(-∞,∞)，均有
lim
P
n i1
Xi
np
x
x
n np(1 p)
1 et2 /2d t (x).
2
或表达为:
设随机变量 Yn 服从参数为 (n, p) 的二项分布(0<p<1) ，则对
任意 x∈(-∞,∞)，均有