流体力学 第4章 第3节

应分别满足柯西—黎曼条件
2 2 2 2 , ; 2 0, 2 0 2 2 x y y x x y x y
由上述条件可以证明 , 在 平面内也满足拉氏方程，
2 2 0 2 2
R 1 1 R2 2
2
2
2c
2c
z c2
1 2 2v1 v2

平面上的两条线的夹角在 z 平面上变换为原夹角的2倍。
4.13
茹柯夫斯基变换
平面通过 c 点的光滑曲线在 z 平面变换为尖角

1 2
（参阅《Fundamental Mechanics of Fluids》， pp.92-97）
4.12 保角变换
保角变换 f z 把
z 平面中的拉氏方程转换为 平面中 的拉氏方程，即如果 x, y 在 z 平面内是调和函数， ,
在 平面内也必然是调和函数。
4.12 保角变换
4.11
镜像法
镜像法
a2 z0


z0
当流体外部流场中存在奇点（如点源、点涡 等）时，常用镜像法求得满足边界条件的复 位势，其作法是在物体内部适当位置也布置 奇点，称为外部奇点的镜像，使得由奇点及 其镜像产生的复速度势满足物体边界总是一 条流线




a
如欲求圆柱外一位于 z0 点，强度为 的点涡的复位势，可在圆柱内 z0 点 添加一强度为 的点涡，在原点添加一强度为 的点涡，三个奇点在圆柱 外共同产生的复位势即所求的复位势，且保证圆柱面本身是一条流线。 请注意圆内 a 点即对于圆外一点 z0 的所谓镜像点，它们的模的乘积等于 a2 z0 z0 a 2 ； 它们的圆心处于同一条直线上，即 z 0 和 圆半径的平方， 2 a z0 有相同的幅角。 z
2
2
1 2
1
1
z 2c c z 2c c
i1
c
1 2
1e R1e i 2 e iv2 R2 e 2
iv1

2
z
2
R2
1
R1
R1 i 1 2 1 2i v1 v2 e e R2 2
Cz Cz
dz d W d i m d C
z
mz m
点涡、点源经保角变换后强度保持不变。
W z
d W dz
4.13
茹柯夫斯基变换
茹柯夫斯基变换
z
c2

（ c 为实数）
2
在无穷远处茹柯夫斯基变换是恒等变换
复位势
若存在保角变换
f z
Φ x, y +i Ψ x, y =Φ ξ,η +i Ψ ξ,η
因为 , 在 z 平面和 平面都满足拉氏方程， 若 则
F z x, y ix, y
在 z 平面是复位势 F , i , 在 平面是复位势

上式中常数可以删去。这正 是我们在介绍镜像法时举例 提到的圆外点涡流场的结果。
a
4.12 保角变换
保角变换
y
z
dz
p

c
c
d


p
x
f z

复变函数 f z 把 z x iy 平面上的区域映射到 i 平面的 d 某区域上去。如果函数f z 在 z 平面处处解析且 f ' z 0，则 dz d 的值与增量 dz 的方向无关，而只是点的函数. 设 , Ae i dz 或 d Aei dz ，则上式中A ， 只应是点的函数。
a2 F ( z) f ( z) f ( ) z
a2 a2 在圆上 z z z a , z , f ( ) f ( z ), 所以F z f z f z 实数， z z 即圆周是一条流线。 另一方面，奇点位置 z 0 a ，全在圆外，其镜像点位 a2 置 ，全在圆内，圆外未增加奇点。 a

4.11
镜像法
以虚轴为边界
设奇点全在 x 0 的平面内，当无物体边界时，其复位势为 f z 轴为边界时，这些奇点在右半平面内产生的复位势为 ，当虚
F z f z f z
事实上在虚轴上 z z ， f z f ( z )， F ( z) f ( z) f ( z ) 实数，即 虚轴是 0 的流线，并且在 x 0 的区域内并不增加新的奇点。
C C
u dx v dy i u dy v dx
C
i m
4.12 保角变换
设 Cz , C 是 z 平面和 平面上的相应封闭曲线， z 和 m z 分 别是 C 内一个点涡的强度和一个点源的强度，则
z
z i mz W z dz W z

z0


f z
f z
i ln z z0 2
i ln z z0 2
z0

z z0 i i i F z ln z z0 ln z z0 ln 2 2 2 z z0


4.11
4.12 保角变换
y
z
dz
p

c
c
d


p
x

由上式可以看出在
z 平面上一点处具有长度为 dz
的线元 dz ，经
A 过 f z 变换以后，在 平面的相应线元 d 的长度伸长了 倍， d 变为 d A dz ，而且曲线的方位旋转了 角。由于 只是 的 dz
0
a2
2
4.11
镜像法
以实轴为边界
y0 假设奇点全在 的上半平面内，当无物体边界时，其复速度势 为 f z ， 当实轴为边界时，这些奇点在上半平面产生的复位势为
F z f z f z
式中 f z 表示除 z 外其余复常数均取 其共轭值。 如图求实轴上点涡 的复位势， 点涡复位势
z
c2
2
2
1 2

1
1 2 2

c
c
2 2 3 1 2 2 2 2


复位势可以增加或减少一个常数，而不影响流体运动，c可以略去。上式 表明当以虚轴为边界时，一个点涡的复位势等于她本身的复位势与其以 虚轴为镜面的镜像点 zo 处一个反方向旋转的点涡的复位势的迭加。
4.11
镜像法
圆定理
设在无界流体中的复位势为 f z ，其所有奇点都在圆 z a 外，当在流场 中有一个圆心在原点，半径为 a 的圆柱时，满足圆柱面是条流线的复位势为
2 2

z0
圆柱的无环量绕流
平行流的复位势
f z U z
a2 a2 f U z z
圆柱无环量绕流的复速度势
a2 F z U z z
这正是4.7节所求得到的结果。
4.11
镜像法
例1：设在 z z 0 点有一强度为 的点涡， z 0 a， f z ln z z0 ，求存在 2 i 半径为 a 的圆周 z a 时的复位势 a 2 i i a2 解： F z f z f ln z z0 ln z0 2 z z 2
4.12 保角变换
点源和点汇
设 是封闭曲线C内所有涡的强 度 ，m 是C内所有源的强度，则
C
m u n dl u dy v dx
u dl u dx v du
C C
C
C
dl
vdx
udy
W ( z )dz u i v x i dy
, x, y , x, y x, y
上式中 x, y ， x, y 可以从 f z 得到。
4.12 保角变换
i f z 是解析函数， 和
和拉氏方程，
z
c2

z
在无穷远处物理平面和映射平面上的复速度相同，速度的大小 和夹角都相等。
4.13
茹柯夫斯基变换
奇点
dz c2 z , 1 2 d c2
0
dz d
0 是奇点。该点通常位于物体内部，对研究物体外流动无影响。
4.13
的流动复位势是已知的，于是就可求得复杂外形流动问题
的复位势。
4.12 保角变换
复速度
dF z d dF d W z W dz dz d dz
物理平面和映射平面的复速度间不是一对一变换，而是相互成比 例，比例系数取决于变换函数。经过保角变换复速度的大小、方 向都改变了。
以点涡为例，由上式
F z
i i ln z z0 ln z z 0 2 2 i i ln z z0 ln z z 0 c 2 2 i z z0 ln c 2 z z 0



z0


z0相反也成立。 如果来自平面内 F 已知，则
z 平面内相应的复位势 F z 可通过
代入变换函数而求得，
F F f z F z
4.12 保角变换
在平面无旋流动理论中应用保角变换的基本思想是把
z平
面（物理平面）上比较复杂的外形变换成 平面（映射平 面）上简单的外形，如圆或无穷长平板，而这些简单外形