华师大概率论第1章
初中数学华东师大九年级上册第章随机事件的概率骰子与概率PPT
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ合与实践
骰子与概率
巴中市恩阳区柳林初级中学 蔡长志
常胜将军的故事
古时候有一位常胜将军，在成名前的一次 带兵打仗时，为了鼓舞军心，激发将士兵斗志， 于是集合全体出征将士说：全体将士们：这一次 我们面临着有史以来的最强大的敌人，本次交战 能否取胜，就由老天爷来决定吧：现在我抛一枚 铜钱，若正面朝上，就是老天爷保佑我们一定胜 利，若是反面，那我们就认命吧，将士们睁大眼 睛盯着将军把一枚铜钱抛上了高空，全场鸦雀无 声，铜钱终于落定了，瞬间，全场一遍哗然，将 士们双双拥抱成团——正面朝上！将士们斗志昂 扬，经过一番天翻地覆的厮杀，将士们真的大获 全胜 ,凯旋而归。
概率论与数理统计第一章概率论的基本概论.
A AB B
19
§1.1随机现象与随机事件
n
推广 称A k为 n个事 A 1,A 2件 , ,A n的积 ; 事
k1
称A k为可列 A 1,个 A 2, 事 的件 积. 事
k1
和事件与积事件的运算性质
A A A , A , A A ,
王梓坤著 科学出版社
2
第 一章 概率论的基本概念
3
第1章 概率论的基本概念
§1.1 随机现象与随机事件
一 随机现象与随机试验 自然界所观察到的现象: 确定性现象 随机现象
1.确定性现象 在一定条件下必然发生 的现象称为确定性现象.
实例 “太阳从东方升起”, “水从高处流向低处”, “同性电荷必然互斥”,
正面、反面; (3) 进行一次试验之前不能
确定哪一个结果会出现. 故为随机试验. 9
§1.1随机现象与随机事件
同理可知下列试验都为随机试验.
1. 抛掷一枚骰子,观察出现的点数.
2. 从一批产品中,依次任选三件,记 录出现正品与次品的件数. 3. 记录某公共汽车站每日 上午某时刻的等车人数.
4. 从一批灯泡中任取 一 只,测试其寿命.
1. 事件的包含与相等
若事件 A 发生必然导致 B 发生 , 则称事件 B 包含事件 A, 记作 BA 或 A B .
若事件A 包含事件B， 而且事件B 包含事件A， 则称事件A与事件B相等，记作 A=B.
图示 B 包含 A.
AB
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§1.1随机现象与随机事件
2. 事件的和 “事件A或事件B至少有一个发生”是一个事件 ,
结果: 弹落点会各不相同. 实例3 抛掷一枚骰子,观 察出现的点数.
概率论与数理统计教程华东师大课件
概率论与数理统计教程华东师大课件目录一、课程概述 (2)1. 课程简介 (3)2. 教学目标 (4)3. 课程设置 (4)二、概率论基础 (5)1. 随机事件与概率 (7)1.1 随机事件 (8)1.2 概率概念 (9)2. 随机变量与分布 (10)2.1 随机变量 (11)2.2 概率分布 (12)3. 数字特征与期望 (13)3.1 数学期望 (14)3.2 方差与标准差 (15)三、数理统计基础 (16)1. 统计量与抽样分布 (17)1.1 统计量概念 (18)1.2 抽样分布概述 (20)2. 参数估计与假设检验 (21)2.1 参数估计方法 (21)2.2 假设检验原理与应用 (23)3. 方差分析与回归分析 (24)3.1 单因素方差分析 (25)3.2 回归分析概述与应用实例 (26)四、概率论与数理统计应用实例解析 (27)1. 实际问题中概率模型构建方法论述 (28)2. 典型案例分析与解题思路分享 (30)一、课程概述概率论与数理统计是一门研究随机现象规律的数学基础课程，它对于培养我们的科学素养、提高分析和解决问题的能力具有重要意义。
本教程主要面向华东师范大学的本科生，旨在帮助学生掌握概率论与数理统计的基本概念、基本原理和方法，培养学生运用概率论与数理统计解决实际问题的能力。
本教程共分为五部分：概率论基础、随机变量及其分布、多维随机变量及其分布、大数定律及中心极限定理、统计推断。
在教学过程中，我们将结合典型的例子和实际问题，引导学生理解和掌握概率论与数理统计的基本知识。
第一部分概率论基础主要包括概率的基本概念、条件概率、独立性、贝叶斯公式等内容；第二部分随机变量及其分布主要介绍离散型随机变量及其分布律、连续性随机变量及其概率密度函数、期望与方差等内容；第三部分多维随机变量及其分布主要讲解多元正态分布、多元伯努利分布等内容；第四部分大数定律及中心极限定理主要讲述大数定律的基本思想、中心极限定理的应用等内容；第五部分统计推断主要涉及假设检验、置信区间、回归分析等内容。
概率论与数理统计答案(华东师大魏宗舒版)
概率论与数理统计答案（华东师大魏宗舒版）第一章 事件与概率1.1 写出下列随机试验的样本空间及表示下列事件的样本点集合。
(1)10件产品中有1件是不合格品，从中任取2件得1件不合格品。
(2)一个口袋中有2个白球、3个黑球、4个红球，从中任取一球，(ⅰ)得白球，(ⅱ)得红球。
解 (1)记9个合格品分别为 921,正正正，， ，记不合格为次，则，，，，，，，，，)()()(){(1913121次正正正正正正正 =Ω，，，，，，，，，)()()()(2924232次正正正正正正正 ，，，，，，，)()()(39343次正正正正正 )}()()(9898次正次正正正，，，，，，=A ){(1次正，，，，)(2次正)}(9次正，，(2)记2个白球分别为1ω，2ω，3个黑球分别为1b ，2b ，3b ，4个红球分别为1r ，2r ，3r ，4r 。
则=Ω{1ω，2ω，1b ，2b ，3b ，1r ，2r ，3r ，4r }(ⅰ) =A {1ω，2ω} (ⅱ) =B {1r ，2r ，3r ，4r }1.2 在数学系的学生中任选一名学生，令事件A 表示被选学生是男生，事件B 表示被选学生是三年级学生，事件C 表示该生是运动员。
(1) 叙述C AB 的意义。
(2)在什么条件下C ABC =成立？ (3)什么时候关系式B C ⊂是正确的？ (4) 什么时候B A =成立？解 (1)事件C AB 表示该是三年级男生，但不是运动员。
(2) C ABC = 等价于AB C ⊂，表示全系运动员都有是三年级的男生。
(3)当全系运动员都是三年级学生时。
(4)当全系女生都在三年级并且三年级学生都是女生时`。
1.3 一个工人生产了n 个零件，以事件i A 表示他生产的第i 个零件是合格品（n i ≤≤1）。
用i A 表示下列事件：(1)没有一个零件是不合格品；(2)至少有一个零件是不合格品； (3)仅仅只有一个零件是不合格品； (4)至少有两个零件是不合格品。
概率论第一章ppt课件
i1
i1
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3. 积（交）事件 : 事件A与事件B同时发生，记
作 AB 或AB。
推广：n个事件A1, A2,…, An同时发生，记作
n
n
A1A2…An或 A i 或 A i
i1
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4. 差事件： A－B称为A与B的差事件, 表示事件 A发生而事件B不发生
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5. 互不相容事件（也称互斥的事件）： 即事件 A与事件B不能同时发生。AB＝ 。
A 1 “: 至少有一人命中目标 A 2 “: 恰有一人命中目标” A 3 “: 恰有两人命中目标” A 4 “: 最多有一人命中目标 A 5 “: 三人均命中目标” A 6 “: 三人均未命中目标”
”:
ABC
: ABCABCABC
: AC BABC ABC
”: BCACAB
:
ABC
:
ABC
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小结
P Ak
k 1
k
k 1 k!
e
1 e
．
本题可采用另外一种解法． A A0 { 该地一年内
未发生交通事故} ，于是
P(A) 1 P(A) 1 P( A0) 1 e ．
33
小结
• 本节课主要讲授： 1.概率的统计定义； 2.概率的公理化定义； 3.概率的性质（重点）。
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§1.3 古典概型与几何概型
验，简称试验。随机试验常用E表示。
7
1.1.3 随机事件与样本空间
❖样本空间: 试验的所有可能结果所组成的集合称为 试验E的样本空间, 记为Ω. ❖样本点: 试验的每一个可能出现的结果（样本空 间中的元素）称为试验E的一个样本点, 记为ω.
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例1-2：
概率论第一章PPT课件
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费尔马的解法
费尔马注意到，如果继续赌下去，最多只要再赌4轮便可 决出胜负，如果用“甲”表示甲方胜，用“乙”表示乙方胜， 那么最后4轮的结果，不外乎以下16种排列。
甲甲甲甲 甲甲甲乙 甲甲乙甲 甲乙甲甲 乙甲甲甲 乙甲甲乙
甲甲乙乙 甲乙甲乙 甲乙乙甲 乙乙甲甲 乙甲乙甲
甲乙乙乙 乙甲乙乙 乙乙甲乙 乙乙乙甲 乙乙乙乙
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直到1654年，一位经验丰富的法国赌徒默勒以自己的 亲身经历向帕斯卡请教“赌金分配问题“，求助其对这种现 象作出解释，引起了这位法国天才数学家的兴趣，帕斯卡接 受了这些问题，但他没有立即去解决它，而是把它交给另一 位法国数学家费尔马。之后，他们频频通信，互相交流，围 绕着赌博中的数学问题开始了深入细致的研究。这些问题后 来被来到巴黎的荷兰科学家惠更斯获悉，回荷兰后，他也开 始就这方面展开研究。
若每次试验中，事件A与事件B不能同时发生， 即A∩B= 。则称事件A与事件B互斥或互不相 容。
有时，我们也称满足以上三个特点的试验为随机 试验。
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§1.1.2 样本空间 随机事件
一、样本空间
随机试验E的所有可能的结果组成的集合称为E的 样本空间，记为Ω。Ω的每个元素，即Ω的每一个可能 的结果，称为E的一个样本点或基本事件。
指的是基本 结果
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样本点
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特征：条件不能完全决定结果。
确定性现象与随机现象的共同特点是事物本身的含 义确定。随机现象与模糊现象的共同特点是不确定性， 随机现象的不确定性是指试验的结果不确定，而模糊现 象的不确定性有两层含义，一是指事物本身的定义不确 定，二是结果不确定。
概率论与数理统计教程(华东师范大学)
事件运算的图示
AB
AB
AB
9 April 2018
华东师范大学
第一章 随机事件与概率
第13页
德莫根公式
A B A B;
n n
A B A B
n n
Ai
i 1 i 1
Ai ;
i 1
Ai
i 1
Ai
9 April 2018
华东师范大学
第一章 随机事件与概率
第14页
华东师范大学
第一章 随机事件与概率
第25页
组
• 组合：
合
r
n n! P r Cn n r! r r !( n r )!
n r 1 r
• 重复组合： Cn r 1
r
9 April 2018
华东师范大学
第一章 随机事件与概率
第26页
第10页
例1.1.1
口袋中有a 个白球、b 个黑球，从中一个一个不返 回地取球。A = “取到最后一个是白球”， B = “取到最后一段是白球”。问 A 与 B 的关系？ 解：1) 显然，B 发生必然导致A发生，所以 BA;.
2) 又因为A发生必然导致B发生，所以 AB， 由此得 A = B.
9 April 2018
nnnniiiiiiiiaaaa??????第一章随机事件与概率华东师范大学9july2020第14页记号概率论集合论样本空间必然事件空间不可能事件空集?样本点元素a?ba发生必然导致b发生a是b的子集aba与b互不相容a与b无相同元素a?ba与b至少有一发生a与b的并集aba与b同时发生a与b的交集a?ba发生且b不发生a与b的差集a不发生对立事件a的余集a第一章随机事件与概率华东师范大学9july2020第15页基本事件互不相容基本事件之并注意点1aa???aa??a????aa???aa???a????aababb???????第一章随机事件与概率华东师范大学9july2020第16页注意点2ababbaba?????abaab???ababaabab???????aabab??第一章随机事件与概率华东师范大学9july2020第17页若a1a2
概率论第一章总结
第一章随机事件及其概率一、内容提要 （一）．随机事件的概率1.随机试验：（i ）在相同的条件下可以重复进行；（ii ）试验有多种可能结果（iii ）所有可能结果可以明确，但试验前不能事先预知哪个结果出现。
记为E2.随机事件:与随机试验结果有关的命题, 简称事件.记为A,B,C……不可能事件和必然事件也视为为随机事件分别记为 φ和Ω.3.基本事件:按照试验的目的和要求所确定的随机试验E 的一个直接可能结果ω称为基本事件或样本点.4.样本空间(基本事件集):试验E 的所有样本点ω构成的集合称为E 的样本空间或基本事件集,记为Ω.即 Ω.={ω}（二）．随机事件的关系和运算1.事件的包含: 若事件A 发生必然导致B 发生.则称A 包含于B 记作 A ⊂B.2.事件的相等:对两个事件A,B.若A ⊂B.且B ⊂A.则称A 与B 相等.记作A=B3.事件的并：“事件A 与B 中至少有一个发生”的事件称为A 与B 的并（或和），记作A B 。
“n 个事件中至少有一个发生”的事件称为这个事件的并(或和).记作12....n A A A 简记为1n i i A =4.事件的差: “事件A 发生而B 不发生”的事件称为A 与B 的差记作A-B5.事件的交(积): “事件A 与B 都发生” 的事件称为A 与B 的交(积).记作A Bn 个事件12,...n AA A 都发生”的事件称为这个事件的交(或积).记作12...n A A A .6. 事件的互斥(互不相容):事件A 与事件B 不能同时发生,则称互斥.即AB φ=7. 事件的互逆(对立): 事件A 与事件B 必有一个发生,但不能同时发生,则称A 与B 互逆,记作A B =或B A = 即满足A B =Ω AB φ=8.完备事件组:若事件12,,,n A A A 必有一个发生,且12,,,n A A A 两两互不相容,即 12,n A A A =Ω ,且(, 1.2...,,)i j A A i j n i j φ==≠（三）．概率的概念1.概率的古典定义:设E 为古典概型,其样本空间Ω包含n 样本点,事件A 含k 样本点,则称k/n 为 事件A 的概率,记作()/P A k n =2.概率的统计定义设在相同条件下重复进行同一试验,n 次试验中事件A 发生的次数为μ,如果随着试验次数的增大,事件A 发生的频率/n μ 仅在某个常数(01)p p << 附近有 微小变化,则称数p 是事件A 的概率, 即()P A p =.3.概率的公理化定义设A 为随机事件, ()P A 为定义在所有随机事件组成的集合上的实函数且满足下列三条公理:公理1 对任一事件A,有0()1P A ≤≤公理2 ()1P Ω= ()0P φ=公理3.对于两两互斥的可数个随机事件12,,,n A A A ..., 有1212(......)()()...()...n n P A A A P A P A P A =++++ 则()P A 称为事件A 的概率.（四）．概率的性质1. ()1P Ω= ()0P φ=2. 对任意两个事件A ，B.有()()()()P A B P A P B P AB =+-若AB φ=,则()()()P A B P A P B =+3.对任意事件A,有()1(P A P A =-)4.对任意个事件12,,...,n A A A .有12(...)n P A A A 11()()n i i j i i j n P A P A A =≤<≤=-∑∑+1()i j k i j k n P A A A ≤<<≤∑-...+12(1)(...)n n P A A A -(-1)若i j A A φ= (,1,2...,)i j n i j =≠ 则121(...)()n n i i P A A A P A ==∑5.若B A ⊂,则()()()P A B P A P B -=-,且()()P A P B ≥（五）．条件概率、 乘法公式1.条件概率 设A ，B 为随机试验E 的两个事件。
概率论第一章知识点总结
概率论第一章知识点总结
概率论第一章主要介绍了以下几个知识点：
1. 随机试验：指具有以下三个特征的试验：可以进行多次独立重复；每次试验只有两个可能结果中的一个发生；每次试验发生的概率相同。
2. 样本空间：随机试验的所有可能结果构成的集合称为样本空间，通常用S表示。
3. 事件：样本空间的任意子集称为事件，通常用A、B等大写字母表示。
4. 概率：事件A发生的概率定义为P(A)=n(A)/n(S)，其中n(A)表示事件A中元素的个数，n(S)表示样本空间中元素的个数。
5. 概率的性质：对于任意事件A和B，有以下性质：
(1) 0 ≤ P(A) ≤ 1
(2) P(S) = 1
(3) P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)
(4) 若A和B互不相容（即A∩B=），则P(A∪B) = P(A) + P(B) 6. 条件概率：事件B在事件A发生的条件下发生的概率称为条件概率，记为P(B|A)，计算公式为P(B|A) = P(A∩B) / P(A)。
7. 乘法公式：对于任意事件A1，A2，…，An，有P(A1∩A2∩…∩An) = P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1∩A2)…P(An|A1∩A2∩…∩An-1)。
8. 全概率公式和贝叶斯公式：全概率公式和贝叶斯公式是基于条件概率的重要公式，用于计算复杂事件的概率。
其中全概率公式为：
P(B) = Σi=1,2,…,nP(Ai)P(B|Ai)，贝叶斯公式为：P(Aj|B) = P(Aj)P(B|Aj)/Σi=1,2,…,nP(Ai)P(B|Ai)。
概率论第一章课件
• 使概率论成为数学一个分支的另一奠基人 是瑞士数学家雅各布-伯努利［1654-1705］。 他的主要贡献是建立了概率论中的第一个 极限定理，我们称为“伯努利大数定理” • 到了1730年，法国数学家棣莫弗和数个数 学家建立了关于“正态分布”及“最小二 乘法”的理论 。概率论发展史上的代表人 物是法国的泊松。他推广了伯努利形式下 的大数定律 ，研究得出了一种新的分布 。
课程说明
• 期末闭卷考试，平时课后留作业，每周五收作业。 • 成绩计算方法：期末考试占70%，平时分占30% • 平时分计算方法：作业上交情况，平时上课做题 情况，思考题，讨论题。按百分制记，每上黑板 每上黑板 做一次题加6分 做一次思考题加10分 做一次题加 分，做一次思考题加 分，讲解讨论 题加16分 一次作业没有交扣5分 旷课扣15分 题加 分，一次作业没有交扣 分，旷课扣 分, 累计旷课3次平时分低于 分。 累计旷课 次平时分低于40分 次平时分低于 • 课程安排：讲解 到7章，13周左右作一次概率论 课程安排：讲解1到 章 周左右作一次概率论 应用专题讲解， 周课堂讨论我给出问题 周课堂讨论我给出问题. 应用专题讲解，15周课堂讨论我给出问题 上限100分，下限 分. 注：上限 分 下限0分
摸球问题（ 例1.摸球问题（抽奖问题） 摸球问题 抽奖问题）
袋中有a只红球，b 袋中有a只红球，b只白球
（除颜色外无任何差别），现依次将球一只只摸出（不放回）， 求第k 求第k次摸到红球的概率
解：将这a + b只球进行编号，其中a只红球为1-a号， b只白球为a+1-a+b号， b只白球为a+1-a+b号，
a b
b
1 f ( x, y ) = 1( a ≤ x ≤b ,0≤ y ≤ M ) M (b − a )
华师统计与概率
第1章 随机事件与概率 一、 基本概念概率论研究随机现象的统计规律性。
1．事件的运算及关系 ● 事件的并A ∪B =“两事件A 与B 中至少有一件发生”。
● 事件的交A ∩B =AB =“两事件A 与B 都发生”。
1ni i A == “n 个事件12,,,n A A A 中至少有一件发生”；1ni i A == “n 个事件12,,,n A A A 都发生”。
● 事件的运算规律（1）交换律：A B B A =，AB BA =；（2）结合律：()()A B C A B C =，()()AB C A BC =；（3）分配律：()A B C AB AC =，()()()A BC A B A C =；（4）对偶律：AB AB =，AB A B =。
11nni i i i A A ===；11nni i i i A A ===.● 包含若事件A 的发生必然导致事件B 的发生，则称事件B 包含事件A ，记为B A ⊂。
● 相等当事件B 包含事件A 且事件A 也包含事件B 时，则称事件A 与B 相等,记为A =B 。
● 互不相容（互斥）若两事件A 与B 不可能同时发生，即AB =φ，则称事件A 与B 互不相容。
● 对立若两事件A 与B 互不相容，且它们的并是必然事件，即A ∪B =Ω，AB =φ，则称A 与B 互为对立事件，记为A B =或B A =。
● 独立称A 与B 相互独立，如果 P (AB )=P (A )P (B )。
注意两事件互不相容、对立与独立之间的关系。
2．概率与条件概率随机事件发生的可能性大小称为随机事件的概率.条件概率是指事件B 已经发生的条件下，事件A 发生的概率，记作(|)P A B 。
定义 设()0P B >，则在事件B 已发生的条件下, 事件A 的条件概率定义为()(|)()P AB P A B P B =。
二、基本方法1．频率方法（统计方法）独立重复试验n 次，当n 充分大时，可把事件A 出现的频率nA A f n n )()(μ=作为A 的概率P (A )的近似值。
概率论与数理统计第一章课件
所有样本点的平均值
样本方差
描述样本点离散程度的量
无偏估计
样本统计量的值等于总体参数的真实值
t分布与F分布
t分布
用于描述小样本数据的分布情况，也 称学生t分布
F分布
用于描述两个比例的方差之间的比例 关系
04
参数估计
点估计与估计量
点估计
用样本统计量来估计未知参数的 过程。
估计量
用于估计未知参数的样本统计量。
假设检验的分类单侧检验、双侧检验。来自 单侧与双侧检验单侧检验
01
只关注参数的一个方向是否满足假设，如检验平均值是否大于
某个值。
双侧检验
02
关注参数的两个方向是否满足假设，如检验平均值是否在两个
值之间。
单侧与双侧检验的选择
03
根据实际问题需求和数据特征选择合适的检验方式。
显著性检验与P值
显著性检验
通过比较样本数据与理论分布，判断样本数据是否显著地偏离理 论分布。
P值
观察到的数据或更极端数据出现的概率，用于判断是否拒绝或接 受假设。
P值的解读
P值越小，表明数据越显著地偏离理论分布，假设越可能不成立。
第一类错误与第二类错误
1 2
第一类错误
拒绝实际上成立的假设，也称为假阳性错误。
第二类错误
接受实际上不成立的假设，也称为假阴性错误。
3
错误率控制
通过调整临界值的大小，可以控制第一类错误和 第二类错误的概率，从而实现错误率控制。
通过参数估计，还可以对生产过 程进行实时监控和预警，及时发 现并解决生产中的问题，保证生
产的稳定性和可靠性。
假设检验在医学研究中的应用
假设检验是数理统计中的一种 重要方法，在医学研究中有着
概率论第一章总结
概率论与数理统计第一章总结1.随机事件在试验的结果中，可能发生也可能不发生的事件成为随机事件，通常用字母A ，B ，C 等表示。
在每次试验的结果中，如果某事件一定发生，则称为必然事件。
相反，如果某事件一定不发生，则称为不可能事件。
2.样本空间随机试验的每一个可能的结果称为样本点，所有样本点组成的集合称为样本空间。
任一随机事件A 都是样本空间的一个子集，必然事件A 就等于样本空间，不可能事件是不包含任何样本点的空集，基本事件就是仅包含单个样本点的子集。
3.事件的关系及运算（1）事件的包含与相等： （2）事件的和(或并)： （3）事件的积(或交)： （4）事件的差： （5）互不相容事件： （6）对立事件： （7）事件满足以下运算规律：交换律，结合律，分配率，德摩根定律4.随机事件的频率与概率的定义及性质设随机事件A 在n 次试验中发生了a 次，则a/n 称为随机事件A 发生的频率。
概率的公理化定义：（1） 非负性（2） 规范性（3） 有限可加性（4） 可列可加性概率的重要性质：（1） （2）P (Φ)=0（3）若A 、B 互斥， 则P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )（4）A ⊂ B ，则 P (B －A )＝P (B )－P (A )（5）加法公式：P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )－P(AB )5.古典概型两个特征：有限性，等可能性。
设在古典概型中，试验的基本事件的总数为N ，随机事件A 包含其中的M 个基本事件，则随机事件A 的概率为：P （A ）=M/N（生日模型，抽签模型，分配模型）6. 几何概型两个特征：无限性，等可能性。
（蒙特卡罗法）7. 条件概率与乘法公式A B 或B A⊂⊃ A B A B或+ AB A B 或A B-ΦAB = A A 与()1()P A P A =-条件概率若P(B)>0,乘法公式:P (AB )=P (B )P (A |B )P (A 1A 2…An )= P (A 1) P (A 2|A 1) P (A3| A 1A 2) P (A 4| A 1A 2A 3) …P (An | A 1A 2…An -1)(波利亚罐模型)8. 全概率公式与贝叶斯公式(1) 全概率公式：(全概率公式用来求较复杂事件的概率.)(敏感性问题调查)(2) 贝叶斯公式:(贝叶斯公式用来求后验概率)9.随机事件的独立性两两独立与相互独立的关系：相互独立一定两两独立，两两独立不一定相互独立多个事件相互独立的必要条件：10.伯努利概型若在试验E 的样本空间S 只有两个基本事件 且每次试验中 我们称这只有两个对立的试验结果的试验为伯努里试验。
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4 June 2015
华东师范大学
第一章 随机事件及其概率
第29页
§1.5 习题
P57 3, 4, 7, 8, 9, 10, 11.
4 June 2015
华东师范大学
n
i 1 n n P(A) P( ABi ) P( Bi ) P( A | Bi ) i 1 i 1
华东师范大学
Bi 可得
4 June 2015
第一章 随机事件及其概率
第15页
例1.5.3
设10 件产品中有 3 件不合格品，从中 不放回地取两次，每次一件，求取出 的第二件为不合格品的概率。
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1.5.1 条件概率的定义
定义1.5.1：
对于事件A、B，若 P(B)>0，则称
P(A|B) = P(AB) / P(B)
为在 B 出现的条件下，A 出现的条件概率。
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第一章 随机事件及其概率
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条件概率 P(A|B) 的计算
1) 缩减样本空间： 将 缩减为B=B. 2) 用定义： P(A|B) = P(AB) / P(B)。
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摸彩模型
n 张彩票中有一张中奖，从中不返回地摸 取，记 Ai为“第 i 次摸到奖券” ，则 (1) P(A1) =1/n .
(2) 可用全概率公式计算得 P(A2)=1/n .
(3) 可用归纳法计算得 P(Ai)=1/n , i=1, 2, ……, n
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第一章 随机事件及其概率
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第一章 随机事件及其概率
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例1.5.1 甲、乙两人独立地对同一目标射击 一次，其命中率分别为 0.6 和 0.7，现已 知目标被击中，求它是甲击中的概率。
解:设 A =“甲中”, B= “乙中”, C= “目标被击中”, 所以 P(A|C) = P(AC)/P(C) = P(A)/[P(A)+P(B)P(A)P(B)] = 0.6/0.88 = 15/22
注意点(1)
• 全概率公式用于求复杂事件的概率。 • 使用全概率公式关键在于寻找另一式最简单的形式。
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第一章 随机事件及其概率
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注意点(2)
• 若事件B1, B2 , · · · · · · , Bn是互不相容的，且 P(Bi)>0， 则由 A
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元件工作独立，求系统正常工作的概率。 记 Ai = “第i个元件正常工作” ， pi = P(Ai) . (1) 两个元件的串联系统： P(A1 A2)=p1 p2 (2) 两个元件的并联系统： P(A1 A2) = p1+ p2 p1 p2 = 1(1 p1)(1 p2) (3) 五个元件的桥式系统： 用全概率公式
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定理1.5.5 若事件B1, B2 , · · · · · · , Bn是样本空间的一组分割，
且 P(Bi)>0，则
n n P(A) P( ABi ) P( Bi ) P( A | Bi ) i 1 i 1
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第一章 随机事件及其概率
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定理1.5.6 贝叶斯公式
若事件B1, B2 , · · · · · · , Bn是样本空间的一组分割，且 P(A)>0, P(Bi)>0，则
P( ABi ) P( Bi ) P( A | Bi ) P( Bi | A) P( A) P( A) P( Bi ) P( A | Bi ) n P( B j ) P( A | B j )
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敏感性问题的调查(例1.5.7)
• 要调查“敏感性”问题中某种比例 p ；
• 两个问题： A：生日是否在7月1日前？ B：是否考试作弊？ • 抛硬币回答A或B。
• 答题纸上只有：“是” 、“否”. • 可用全概率公式分析“敏感性”问题.
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第一章 随机事件及其概率
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第一章 随机事件及其概率
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条件概率的三大公式
乘法公式;
全概率公式；
贝叶斯公式。
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第一章 随机事件及其概率
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乘法公式
定理1.5.1 (1) 若 P(B)>0，则 P(AB) = P(B)P(A|B)； 若 P(A)>0，则 P(AB) = P(A)P(B|A)。 (2) 若 P(A1A2 · · · · · · An1)>0，则 P(A1A2 · · · · · · An) = P(A1)P(A2|A1) · · · · · · P(An|A1A2 · · · · · · An1)
例 1.5.10
B1 =“患肝癌” ， B2 =“未患肝癌” ， 肝癌发病率为0.0004，即 P(B1)=0.0004, P(B2)=0.9996. 用甲胎蛋白化验：A=“呈阳性” ，已知 P(A|B1)=0.99, P(A|B2)=0.05. 求 P(B1| A). (0.00786)
第一章 随机事件及其概率
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§1.5 条件概率
问题的提出： 1) 10个人摸彩，有3张中彩。 问：第1个人中彩的概率为多少？ 第2个人中彩的概率为多少？(3/10) 2) 10个人摸彩，有3张中彩。 问：已知第l个人没摸中， 第2个人中彩的概率为多少？(1/3)
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第一章 随机事件及其概率
100 99
98
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1.5.3
定理1.5.4
全概率公式
对任意事件Ａ和B , 如 ０＜P(B)＜１，则
P (A) P ( A | B ) P ( B ) P ( A | B ) P ( B )
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p3(p1+ p4 p1 p4)(p2+ p5 p2 p5) + (1 p3)(p1p2 + p4 p5 p1p2 p4p5 )
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第一章 随机事件及其概率
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1.5.4
贝叶斯公式
• 乘法公式是求“几个事件同时发生”的概率；
• 全概率公式是求“最后结果”的概率；
解： 设 A = “第一次取得不合格品”， B = “第二次取得不合格品”。 由全概率公式得：
P( B ) P( A) P( B | A) P( A) P( B | A )
= (3/10)×(2/9)+(7/10)×(3/9) = 3/10
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第一章 随机事件及其概率
• 甲口袋有a只白球、b只黑球；乙口袋有n只白球、 m只黑球。从甲口袋任取一球放入乙口袋，然后 从乙口袋中任取一球，求从乙口袋中取出的是白 球的概率。 • 概率为：
a n 1 b n a b n m 1 a b n m 1
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i 1
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课堂练习
口袋中有一只球，不知它是黑的还是白的。 现再往口袋中放入一只白球，然后从口袋中 任意取出一只，发现是白球。试问口袋中原
来的那只球是白球的可能性多大？
2/3
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思 考 题
• 甲口袋有a只白球、b只黑球；乙口袋有n只白 球、m只黑球。从甲口袋任取两球放入乙口袋， 然后从乙口袋中任取一球，求从乙口袋中取出的 是白球的概率。 • 以上是甲、乙两口袋的球数不同，如果两口袋装 的黑、白球个数都相同，则情况又如何？
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第一章 随机事件及其概率
式”;
4) 称P(Bj) 为“先验概率”.
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第一章 随机事件及其概率
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某商品由三个厂家供应，其供应量为：甲厂家是 乙厂家的2倍；乙、丙两厂相等。各厂产品的次品 率为2%, 2%, 4%。若从市场上的随机抽取一件此 种商品，发现是次品，求它是甲厂生产的概率? 解：用1、2、3分别记甲、乙、丙厂，设 Ai =“取到第i 个工厂的产品”，B=“取到次品”， 由题意得: P(A1)=0.5, P(A2)=P(A3)=0.25； P(B|A1)= P(B|A2)=0.02, P(B|A3)=0.04. 由Bayes公式得: P( A1 | B ) 3P( A1 ) P( B | A1 ) = 0.4 P( Ai ) P( B | Ai )
• 贝叶斯公式是已知“最后结果” ，求“原因” 的概率。
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已知“结果” ，求“原因”
• 某人从甲地到乙地，乘飞机、火车、汽车迟到 的概率分别为0.1、0.2、0.3，他等可能地选择 这三种交通工具。若已知他最后迟到了，求他 分别是乘飞机、火车、汽车的概率。 （1/6， 2/6， 3/6）
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摸 彩 模 型 (续)
• n 张彩票中有 k 张中奖，从中不返回地摸 取，记 Ai 为“第 i 次摸到奖券” ，则 P(Ai) = k/n , i=1, 2, ……, n • 结论：不论先后，中彩机会是一样的。