复变函数第四版-第二章_2.5 几种重要的矢量场

u y Q ( x, y, z )
u z R ( x, y, z)
第二章 场论
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此性质表明： （1） A d l P d x Q d y R d z
u x dx u y dy u z dz du
即表达式A⋅dl = Pdx + Qdy+ Rdz 为函数u 的全微分； （2）函数u 满足A = grad u，所以，矢量场A 为有势场。 一般称旋度恒为零的场为无旋场；具有曲线积分 M
第二章 场论
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也就是满足
W W P y z W U Q x z W W R x y
(5 .1 2 )
满足（5.11）式的矢量B，称为矢量场A 的矢势量，其存在是 肯定的，例如以
于是

A d l x yz
l
B ( 2 ,3 ,1) A (1, 4 ,1)
12 4 8
第二章 场论
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2. 管形场
定义：设有矢量场A，若其散度div A ≡ 0，则称此矢量场为管 形场。换言之，管形场就是无源场。 定理2.设管形场A 所在的空间区域为一面单连域，在场中任取一 个矢量管，假定S1与S2是它的任意两个横断面，其法矢n1与n2都 朝向矢量A 所指的一侧。如图（2 − 24）。则有
g ra d v 1 g ra d v 2
或 于是 即
g ra d v 1 v 2） 0 （
v 1 v 2 C (C 为 任 意 常 数 ）
v 1 v 2 C
所以，在有势场中任何两个势函数之间，只相差一个常数。
第二章 场论
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由此，若已知有势场A (M) 的一个势函数v (M) ，则场的所有势 函数的全体可表示为
A = g ra d v
第二章 场论
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由梯度的运算法则有
g ra d ( v C ) g ra d v A (C 为 任 意 常 数 ）
即v + C 亦为有势场A (M) 的势函数。由于C 为任意常数，故知 有势场A (M) 的势函数有无穷多个。
又若v1和v2均为矢量场A (M) 的势函数，则有
v(M ) C （ C为 任 意 常 数 ） (5 .3)
定理1.在线单连域内矢量场A 为有势场的充要条件是其旋度在场 内处处为零。
证：[ 必要性]设A = P ( x , y , z ) i +Q (x , y , z ) j + R ( x , y , z ) k
如果A 为有势场，则存在函数u (x , y , z ) 满足A = grad u ，即有
第二章 场论
( x x , y ,z )
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u

P ( x, y, z )dx
( x, y,z )
按积分中值定理有
u P ( x x, y, z ) x, (0 1)
两端除以 Δx 后，令Δx→0 而取极限，就得到
u x P ( x, y, z)
同理可证

或
A
s1
n
A
s2
n
dS
A
s3
n
dS 0
注意到场中矢量A 是与矢量线相切的，从而也就与矢量管的管 面相切，所以在管面S3 上有 An ≡ 0 。因此，上式成为
A n d S
1
A
s2
n2
dS 0
s1
或
A
s1
n1
dS
A
u ( x, y, z )

( x, y,z) ( x0 , y0 , z0 )
Pdx Q dy Rdz
(5 .4 )
第二章 场论
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证明这个函数满足A=grad u,即A为有势场，只要证明
ux P, uy Q, uz R
先证其中第一个等式。为此，我们保持终点M( x , y , z ) 的y ，z 坐标不动而给x 坐标以增量 Δx ，这样，得到一个新的点N ( x + Δx , y , z ) 。于是有
P ux, Q uy, R uz
假定：函数P , Q , R 具有一阶连续偏导数。从而，由上式知函数 u 具有二阶连续偏导数。因此有
第二章 场论
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R y Q z 0， Pz R x 0， Q x Py 0
所以在场内处处有
rot A = 0
[ 充分性] 设在场中处处有 rot A = 0，又因场所在的区域是线单 连的，则由斯托克斯公式可知，对于场中的任何封闭曲线l 都有
第二章 场论
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1. 有势场
定义：设有矢量场A (M) ，若存在单值函数u (M) 满足
A = g ra d u (5 .1)
则称此矢量场为有势场；命v = − u，并称v 为这个场的势函数 。易见矢量A 势函数v 之间的关系是
A = g ra d v (5 .2 )
（1）有势场是一个梯度场； （2）有势场的势函数有无穷多个，它们之间只相差一个常数： 因为，若A (M) 为有势场，按定义就存在势函数v ，它满足
2 2
第二章 场论
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例 2.用不定积分法求例1 中矢量场A 的势函数。
解：在例1 中已证得A 为有势场，故存在函数u 满足A = grad u ， 即有
u x 2 xyz ,
2
u y x z co s y ,
2 2
u z 2 x yz
2
(5 .6 )
由第一个方程对x 积分，得
u x yz ( y , z )
则上式就成为

B A
A dl u ( M )
B A
u (B ) u ( A)
第二章 场论
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例
A 2 x yz x z 3 x yz 4.证明A = 2xyz3i i+x2z3j j+3x2yz2kk
3 2 3 2 2
为保守场，并计算曲线
积分 ∫ A⋅dl 其中l 是从A ( 1 , 4 , 1 ) 到B ( 2 , 3 , 1 ) 的路径。 证：由
证：因A 为保守场，则曲线积 A d l与路径无关，于是
AB

B A
A dl

B A
A dl

M A
0
A dl

M M
B M
0
A dl

B M
0
A dl

A M
0
A dl
其中M0 为场中任一点。根据（5.4）式：
u (M )

A dl
0
A dl
0M
与路径无关性质的矢量场为保守场。从上面的定理及其证明我 们可以看出：在线单连域内：“场有势（梯度场）”、“ 场无 旋”、“ 场保守” 以及 “ 表达式 A⋅dl = Pdx + Qdy + Rdz 是某 个函数的全微分” 这四者是彼此等价的。
第二章 场论
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如图（2 − 27），其中M0R平行与Ox 轴，RS 平行与Oy 轴，SM 平行于Oz 轴，这样（5. 4）式便成为
故A 为有势场。 应用公式（5.5）来求其势函数：
u

x 0
0 d x co s yd y 2 x yxd z sin y x yz
2 2 0 0
y
z
2
于是得势函数v = − u = − sin y − x2y z2。而场的势函数的全体则为
v sin y x yz C
A dl 0
l
这个事实等价于曲线积分 M
A dl
0M
与路径无关。其积分之值，
只取决于积分的起点 M 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) 与终点M( x , y , z ) ；当起点M 0 固定时，它就是其终点M 的函数，将这个函数记作u ( x ,y , z ) ，即
势场，并求其势函数。
第二章 场论
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证：由雅克比矩阵
2 yz 2 2 D A 2 xz 4 xyz
得
2 2
2 xz
2
sin y 2x z
2
4 xyz 2 2x z 2 2x y
2 2
ro t A ( 2 x z 2 x z ) i ( 4 xyz 4 xyz ) j ( 2 xz 2 xz ) k 0
u x yz sin y C 1
2 2
从而势函数
v x yz sin y C
2 2
第二章 场论
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例 3.若A = Pi +Qj + Rk 为保守场，则存在函数u (M) 使

B A
A dl u ( M )
B A
u (B ) u ( A)
(5 .9 )
第二章 场 论
2.5 几种重要的矢量场
第二章 场论
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（1）如果在一个区域内G 内的任何简单闭曲线l，都可以作出一 个以l 为边界且全部位于区域G 内的曲面S，则称此区域G 为线 单连域；否则，称为线复连域。例如空心球体是线单连域，而 环面体则为线复连域，如图（2 − 22）。 （2）如果一个区域G 内任何简单闭曲面S 所包围的全部点，都 在区域G 内（即S 内没有洞），则称此区域为面单连域；否则， 称为面复连域。例如环面体是面单连域，而空心球体则为面复 连域，如图（2 − 22）。
2 yz 3 3 D A 2 xz 6 xyz 2 2 xz 0 3x z
2 2
2 2 3 2 6 xyz 2 2 3x z 2 6 x yz