1.1命题与联结词
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例5(1)李强是100米或400米赛跑冠军。
(2)今天晚上我在家看电视或去剧场看戏。
解（1）可兼或。设P：李强是100米赛冠军，Q：李 强是400米赛冠军，则(1)表示为P∨Q。
（2）排斥或。若设P：今天晚上我在家看电视，Q：
今天晚上我去剧场看戏，则(2)可以表示为
(P∧Q)∨(P∧Q)，也可用后面介绍的异或联结词表 示为PQ。
1.否定词
定义1.4 复合命题“非P”称为命题P的否定，记作 P，读作非P。 P为真当且仅当P为假。
例3 设P：离散数学是计算机专业的核心课程，则 P表示离散数学不是计算机专业的核心课程。
2.合取词∧
定义1.5 复合命题“P且Q”称为P与Q 的合取式，记作P∧Q，读作P且Q。P∧Q 为真当且仅当P与Q都为真。
(AB)和(AB)是命题公式。 (4)经过有限次地使用(1)、(2)、(3)所组成的有意
义的符号串都是命题公式。 例1 (P∧Q)，(P(P∧Q))，
(((PQ)∧(QR))(PR))都是命题公式。而 P∨Q∨，((PQ)(∧Q))，(PQ都不是命题公式。
为了减少命题公式中的括号数量，我们规定：① 联结词的优先次序依次为：、∧、∨、、；② 规定具有相同优先级的联结词，按出现的先后次序进 行计算，其括号可以省去；③最外层的括号可以省去。
例 1 判断下列句子哪些是命题？
(1)雪是黑的。 命题
(2)天气多好呀！ 感叹句，不是命题
(3)别的星球上有生物。 命题（目前无法判断）
(4)1＋101＝110。 命题（由上下文而定）
(5)你上网了吗？ 疑问句，不是命题
(6)全体立正！ 祈使句，不是命题
(7)x＋y＞5。
陈述句，但没有确定的真值，不是命题
(2)2＋2＝4当且仅当雪是黑的。
解(1)设P：两个三角形全等，Q：两个三角形的三 组对应边相等，则(1)表示为PQ。
(2)设P：2＋2＝4，Q：雪是黑的，则(2)表示为 PQ。
1.2命题公式、翻译与真值表
1.2.1 命题公式 1.2.2 命题的符号化 1.2.3 真值表
1.2.1 命题公式
定义1.9 (1)单个命题变元是命题公式。 (2)如果A是命题公式，那么A也是命题公式。 (3)如果A、B是命题公式，那么(A∧B)、(A∨B)、
4.条件词
定义1.7 复合命题“如果P，则Q”称为P与Q的条 件式，记作PQ，读作如果P则Q。其中P称为前件， Q称为后件。PQ为假当且仅当P为真而Q为假。
在自然语言中，“如果”与“则”之间常有因果联系，否
则没有意义，但对条件命题PQ来说，只要P和Q能够确定 真值，PQ即成为命题。在条件命题中，若前提为假时，条
(8)人有五指。 命题（因人而异）
(9)现在是6点钟。 命题（因地而异）
(10)我正在说谎。 悖论，不是命题
1.1.2 命题分类与命题标识符
定义1.2 不能再分解为其他命题的命题称为原子命 题。由原子命题和命题联结词构成的命题称为复合命 题。
例如，例1中的命题都是原子命题，而命题“张三和李四 都是大学生”是复合命题，因为它由“张三是大学生”和 “李四是大学生”两个原子命题组成。
1.1 命题与联结词 1.2 命题公式、翻译、真值表 1.3 公式分类与等价式 1.4 对偶式与蕴涵式 1.5 联结词的扩充与全功能联结词组 1.6 公式标准型——范式 1.7 公式主范式 1.8 命题逻辑的推理规则
1.1 命题与联结词
1.1.1 命题的基本概念 1.1.2 命题分类与命题标识符 1.1.3 命题联结词
定义1.10 设B是命题公式A的一部分，且B 也是命题公式，则称B是A的子公式。
1.1.1 命题的基本概念
定义1.1 能判断真假的陈述句称为命题。一 个命题的真或假称为命题的真值，分别用 T(或1)与F(或0)表示。真值为真的命题称为真 命题，真值为假的命题称为假命题。
注意：判断一个句子是否为命题应分为两步：首 先判断它是否为陈述句，其次判断它能否确定真假。 注意，一个陈述句能否判断真假，和我们是否知道 它的真假是两回事。
例4 设P：今天上机，Q：今天下雨，则 P∧Q表示今天上机且今天下雨。
3.析取词∨
定义1.6 复合命题“P或Q”称为P与Q的析取式，
记作P∨Q，读作P或Q。P∨Q为假当且仅当P和Q都为
假。由于自然语言中的“或”具有多义性，包括“可兼
或”、“排斥或”和“表示近似的或”，因此需要指
出命题逻辑中的“或”是指哪一种。先看下表给出的
表示原子命题的符号称为命题标识符。例2 P：雪是黑的。
定义1.3 一个命题标识符如表示真值确定的命题， 则称其为命题常元，如果命题标识符表示真值不确定 的陈述句，则称其为命题变元。
1.1.3 命题联结词
通过命题联结词可以把原子命题复合成一个复合命 题，命题逻辑中常用的联结词有以下五种：“非”、 “且”、“或”、“如果…，则…”、“…当且仅 当…”，下面给出它们的确切含义和符号表示。
例6 (1)只要不下雨，我就骑自行车上班。 (2)只有不下雨，我才骑自行车上班。
解 设P：天下雨，Q：我骑自行车上班。则(1) 表示为PQ；(2)表示为QP。
5.双条件词
定义1.8 复合命题“P当且仅当Q”称为P和Q的双条件
复合命题，记作PQ，读作P当且仅当Q。PQ为真
当且仅当P与Q的真值相同。
例7 (1)两个三角形全等当且仅当它们的三组对应 边相等。
或例的含子义 。
联结词
可兼或 排斥或
非联结词 表示近似数的或
例子 a·b＝0即a＝0或b＝0或a＝b＝0 小张在教室上课或参加长跑比赛
去主楼需6分钟或8分钟
说明
两者至少有一个发生，不 排斥两者都发生的情况
非此即彼，不可兼得 表示近似数
注：命题逻辑中的析取词∨表示的是可兼或， 即允许P∨Q中的P和Q同时为真。
件命题的真值为真，称为善意的推断。前件假而整个句子为 真的例子，在自然语言中也是常见的，如：假如给我一根合 适的杠杆，我可以把地球撬起来。
条件式PQ表示的基本逻辑关系是：Q是P的必要 条件或P是Q的充ຫໍສະໝຸດ Baidu条件。复合命题“只要P，就Q”、 “因为P，所以Q”、“除非Q，才P”、“除非Q，否 则非P”、“P仅当Q”、“只有Q，才P”等均可符号 化为PQ的形式。
(2)今天晚上我在家看电视或去剧场看戏。
解（1）可兼或。设P：李强是100米赛冠军，Q：李 强是400米赛冠军，则(1)表示为P∨Q。
（2）排斥或。若设P：今天晚上我在家看电视，Q：
今天晚上我去剧场看戏，则(2)可以表示为
(P∧Q)∨(P∧Q)，也可用后面介绍的异或联结词表 示为PQ。
1.否定词
定义1.4 复合命题“非P”称为命题P的否定，记作 P，读作非P。 P为真当且仅当P为假。
例3 设P：离散数学是计算机专业的核心课程，则 P表示离散数学不是计算机专业的核心课程。
2.合取词∧
定义1.5 复合命题“P且Q”称为P与Q 的合取式，记作P∧Q，读作P且Q。P∧Q 为真当且仅当P与Q都为真。
(AB)和(AB)是命题公式。 (4)经过有限次地使用(1)、(2)、(3)所组成的有意
义的符号串都是命题公式。 例1 (P∧Q)，(P(P∧Q))，
(((PQ)∧(QR))(PR))都是命题公式。而 P∨Q∨，((PQ)(∧Q))，(PQ都不是命题公式。
为了减少命题公式中的括号数量，我们规定：① 联结词的优先次序依次为：、∧、∨、、；② 规定具有相同优先级的联结词，按出现的先后次序进 行计算，其括号可以省去；③最外层的括号可以省去。
例 1 判断下列句子哪些是命题？
(1)雪是黑的。 命题
(2)天气多好呀！ 感叹句，不是命题
(3)别的星球上有生物。 命题（目前无法判断）
(4)1＋101＝110。 命题（由上下文而定）
(5)你上网了吗？ 疑问句，不是命题
(6)全体立正！ 祈使句，不是命题
(7)x＋y＞5。
陈述句，但没有确定的真值，不是命题
(2)2＋2＝4当且仅当雪是黑的。
解(1)设P：两个三角形全等，Q：两个三角形的三 组对应边相等，则(1)表示为PQ。
(2)设P：2＋2＝4，Q：雪是黑的，则(2)表示为 PQ。
1.2命题公式、翻译与真值表
1.2.1 命题公式 1.2.2 命题的符号化 1.2.3 真值表
1.2.1 命题公式
定义1.9 (1)单个命题变元是命题公式。 (2)如果A是命题公式，那么A也是命题公式。 (3)如果A、B是命题公式，那么(A∧B)、(A∨B)、
4.条件词
定义1.7 复合命题“如果P，则Q”称为P与Q的条 件式，记作PQ，读作如果P则Q。其中P称为前件， Q称为后件。PQ为假当且仅当P为真而Q为假。
在自然语言中，“如果”与“则”之间常有因果联系，否
则没有意义，但对条件命题PQ来说，只要P和Q能够确定 真值，PQ即成为命题。在条件命题中，若前提为假时，条
(8)人有五指。 命题（因人而异）
(9)现在是6点钟。 命题（因地而异）
(10)我正在说谎。 悖论，不是命题
1.1.2 命题分类与命题标识符
定义1.2 不能再分解为其他命题的命题称为原子命 题。由原子命题和命题联结词构成的命题称为复合命 题。
例如，例1中的命题都是原子命题，而命题“张三和李四 都是大学生”是复合命题，因为它由“张三是大学生”和 “李四是大学生”两个原子命题组成。
1.1 命题与联结词 1.2 命题公式、翻译、真值表 1.3 公式分类与等价式 1.4 对偶式与蕴涵式 1.5 联结词的扩充与全功能联结词组 1.6 公式标准型——范式 1.7 公式主范式 1.8 命题逻辑的推理规则
1.1 命题与联结词
1.1.1 命题的基本概念 1.1.2 命题分类与命题标识符 1.1.3 命题联结词
定义1.10 设B是命题公式A的一部分，且B 也是命题公式，则称B是A的子公式。
1.1.1 命题的基本概念
定义1.1 能判断真假的陈述句称为命题。一 个命题的真或假称为命题的真值，分别用 T(或1)与F(或0)表示。真值为真的命题称为真 命题，真值为假的命题称为假命题。
注意：判断一个句子是否为命题应分为两步：首 先判断它是否为陈述句，其次判断它能否确定真假。 注意，一个陈述句能否判断真假，和我们是否知道 它的真假是两回事。
例4 设P：今天上机，Q：今天下雨，则 P∧Q表示今天上机且今天下雨。
3.析取词∨
定义1.6 复合命题“P或Q”称为P与Q的析取式，
记作P∨Q，读作P或Q。P∨Q为假当且仅当P和Q都为
假。由于自然语言中的“或”具有多义性，包括“可兼
或”、“排斥或”和“表示近似的或”，因此需要指
出命题逻辑中的“或”是指哪一种。先看下表给出的
表示原子命题的符号称为命题标识符。例2 P：雪是黑的。
定义1.3 一个命题标识符如表示真值确定的命题， 则称其为命题常元，如果命题标识符表示真值不确定 的陈述句，则称其为命题变元。
1.1.3 命题联结词
通过命题联结词可以把原子命题复合成一个复合命 题，命题逻辑中常用的联结词有以下五种：“非”、 “且”、“或”、“如果…，则…”、“…当且仅 当…”，下面给出它们的确切含义和符号表示。
例6 (1)只要不下雨，我就骑自行车上班。 (2)只有不下雨，我才骑自行车上班。
解 设P：天下雨，Q：我骑自行车上班。则(1) 表示为PQ；(2)表示为QP。
5.双条件词
定义1.8 复合命题“P当且仅当Q”称为P和Q的双条件
复合命题，记作PQ，读作P当且仅当Q。PQ为真
当且仅当P与Q的真值相同。
例7 (1)两个三角形全等当且仅当它们的三组对应 边相等。
或例的含子义 。
联结词
可兼或 排斥或
非联结词 表示近似数的或
例子 a·b＝0即a＝0或b＝0或a＝b＝0 小张在教室上课或参加长跑比赛
去主楼需6分钟或8分钟
说明
两者至少有一个发生，不 排斥两者都发生的情况
非此即彼，不可兼得 表示近似数
注：命题逻辑中的析取词∨表示的是可兼或， 即允许P∨Q中的P和Q同时为真。
件命题的真值为真，称为善意的推断。前件假而整个句子为 真的例子，在自然语言中也是常见的，如：假如给我一根合 适的杠杆，我可以把地球撬起来。
条件式PQ表示的基本逻辑关系是：Q是P的必要 条件或P是Q的充ຫໍສະໝຸດ Baidu条件。复合命题“只要P，就Q”、 “因为P，所以Q”、“除非Q，才P”、“除非Q，否 则非P”、“P仅当Q”、“只有Q，才P”等均可符号 化为PQ的形式。