平面上直线的位置关系和度量ppt教学课件
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高中数学《第二章点、直线、平面之间的位置关系2.1空间点、直线、平面之间的位置关系》827PPT课件
11
1
1
1
已知正方体ABCD A B C D的棱长为a， 111 1
求平面A BC 和平面ACD 的距离。
1
1
1
三.两个平面相交
提问： 请同学们观察下面两个图形，有何不同？
提问： 我们如何刻画直线和平面的这种相对位置关系呢？
1.半平面
平面内的一条直线把这 个平面分成两部分，
其中的每一部分都叫做 半平面。
AB AD 1, AA 2,点P为DD的中点。
1
1
求证：（1）平面PAC 平面BDD ; 1
(2)平面PB C 平面PAC. 11
★★★7.平面与平面垂直的性质 定理
文字语言
如果两个平面互相垂直 ，
那么在其中一个平面内
垂直于它们交线的直线 垂直于另一个平面。
图形语言
符号语言
AB
AB l
(4)斜高相等
★注意：正棱锥中的有关计算：
都在高、侧棱、侧棱在 底面上的射影（底面正 多变形的半径）、
斜高、斜高在底面上的 射影底面正多边形的边心距 、
底面边的一半，所组成 的三棱锥P OEC的四个直角三角形 中进行。
正棱台
正棱锥被平行于底面的 平面所截，
截面和底面之间的部分 ，叫做正棱台。
底面正多变形的半径
那么它也垂直于另一个 平面。
图形语言
符号语言
∥ m
m
5.定理
文字语言 垂直于同一条直线的两 个平面平行。
图形语言
符号语言
a a
∥
6.定理
文字语言 平行于同一个平面的两 个平面平行
图形语言
符号语言
∥ ∥
∥
7.两个平行平面间的距离
第8章 第2讲两条直线的位置关系-2021版高三数学(新高考)一轮复习课件共55张PPT
∴另一条直角边的方程为 y－156＝－12(x－358)，即 x＋2y－14＝0，故选 C、D．
第八章 解析几何
高考一轮总复习 • 数学 • 新高考
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(1)当含参数的直线方程为一般式时，若要表示出直线的斜率，不仅要考虑到斜 率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况，同时还要注意x，y的系数 不能同时为零这一隐含条件．
a＝2
或
a＝－3，
又“a＝2”是“a＝2 或 a＝－3，的充分不必要条件，
即“a＝2”是“两直线 ax＋3y＋2a＝0 和 2x＋(a＋1)y－2＝0 平行”的充分不必
要条件，故选 A．
第八章 解析几何
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考点突破 • 互动探究
第八章 解析几何
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知识梳理 • 双基自测
第八章 解析几何
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知识点一 两条直线的位置关系 平面内两条直线的位置关系包括__平__行__、__相__交__、__重__合____三种情况． (1)两条直线平行 对于直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，l1∥l2⇔k1＝k2，且b1≠b2. 对于直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0， l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0，且B1C2－B2C1≠0(或A1C2－A2C1≠0)． (2)两条直线垂直 对于直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，l1⊥l2⇔k1·k2＝－1. 对于直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，l1⊥l2⇔ _A_1_A_2＋__B__1B__2＝__0_.
空间点直线平面之间的位置关系(课堂PPT)
a
α
BAlLeabharlann βα alP
β b
(1)
(2)
解：1） A，B，=l，a=A，a=B
2) a,b,=l,al=P, bl=P, ab=P
12
2.1.2 空间中直线与直线 之间的位置关系
13
两条直线的位置关系
思考1：同一平面内两条直线有几种位置关系？ 空间中的两条直线呢？
b
C
a
14
1）教室内日光灯管所在直线与黑板左右两 侧所在直线的位置关系如何？
10
平面的基本性质
思考3：如果两个平面有一个公共点， 那么还会有其它公共点吗？如果有这些
公共点有什么特征？
公理3 如果两个不重合的平面有一个公共点， 那么它们有且只有一条过该点的公共直线.
P , 且 P I l , 且 P l
作用：判断两个平面位
Pl
置关系的基本依据
11
例题
例1 如图，用符号表示下列图形中点、直线、 平面之间的位置关系.
直线AB 和直线HG
23
平行直线
观察
如图, 在长方体ABCD—A′B′C′D′中,
BB′∥AA′，DD′∥AA′，那么BB′与DD′平行
吗?
D'
C'
A'
B'
D A
答：平行
C B
24
平行直线
公理4 平行于同一直线的两条直线互相平行.
如果a//b，b//c，那么a//c
空间中的平行线具有传递性
D
C
F
答：四边形EFGH是菱形
A
因为EF 1 AC，EH 1 BD
2
2
H E
直线与平面平面与平面位置关系
05 空间几何中的位置关系的 习题和解析
直线与平面的位置关系的习题和解析
• 题目：已知直线$l$平行于平面 $\alpha$，过直线$l$作平面 $\beta$，使 $\alpha/\backslash/\beta$， 这样的$\beta$()
直线与平面的位置关系的习题和解析
答案：D
C.不存在 D.至多可以作一 个
电子工程
在电子工程中，直线与平面、平面与平面的位置关系对于确定电 路板的设计和电子元件的布局至关重要。
航空航天中的应用
飞机设计
在飞机设计中，直线与平面、平面与平面的位置关系对于确定机翼、 机身和尾翼的位置和形状至关重要。
航天器设计
在航天器设计中，直线与平面、平面与平面的位置关系对于确定太 阳能电ห้องสมุดไป่ตู้板、天线和其他设备的布局和稳定性至关重要。
性质
02
重合的平面具有相同的方向和距离。
判定定理
03
如果一个平面内的所有直线都与另一个平面重合，则这两个平
面重合。
03 空间几何中的位置关系的 应用
建筑学中的应用
建筑设计
建筑师在设计中需要考虑直线与平面、平面与平面的位置关系， 以确保建筑结构的稳定性和功能性。
空间规划
通过合理安排直线与平面、平面与平面的位置关系，建筑师可以创 造出舒适、美观的空间布局。
直线与平面、平面与平面的位置关 系
contents
目录
• 直线与平面的位置关系 • 平面与平面的位置关系 • 空间几何中的位置关系的应用 • 空间几何中的位置关系的性质和定理 • 空间几何中的位置关系的习题和解析
01 直线与平面的位置关系
直线在平面内
1 2
定义
直线与直线的位置关系-PPT课件
你能给“异面直线所成的角”下个定义吗？
b α a
b' a' o
已知两条异面直线a，b，经过空间任一 点O作直线a′∥a， b′∥b，则 a′与b′ 所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所 成的角(或夹角)
空间问题平面化
思考8
1.两条异面直线所成的角的取值范围是什么？ 2.如果两条异面直线a、b所成的角是90°， 则称这两条直线互相垂直. 记作a⊥b. 在长方体ABCD-A′B′C′D′中,有没有两条 棱所在的直线是互相垂直的异面直线?
C'
B' A'
D'
D A
C
B
3.两条平行直线中有一条与某一条直线垂直,那 么另一条是否也与这条直线垂直？
4. 垂直于同一条直线的两条直线是否平行?
例2 如图,在正方体ABCD-A′B′C′D′中. （1）直线A′B和CC′的夹角是多少？ （2）哪些棱所在的直线与直线AA′垂直？ 哪些棱所在的直线与直线A′B垂直？
D' A' B' C'
D A
B
C
思考3
空间中直线与直线的各种位置关系 各有什么特点？
位置关系 相交 平行 异面 公共点个数 是否共面
只有一个
没有 没有
共面 共面 不共面
思考4
你能给出异面直线的定义吗？
定义：不同在任何一个平面内的两条直线 叫做异面直线.
异面直线作法:为了表示异面直线a，b 不共面的特点，作图时，通常用一个或两 个平面衬托,如图.
探究：如图是一个正方体的表面展开图,如 果将它还原为正方体，那么AB，CD，EF， GH这四条线段所在直线是异面直线的有多 少对?
C G D H A B H G C E A B D
空间直线和平面的位置关系ppt课件
a
④求异面直线A1B与B1C1的距离
2a 2Biblioteka 例３：如图，已知长方体ABCD-A’B’C’D’的
棱长AA’=3cm,AB=4cm,AD=5cm.
(1)求点A和C’的距离；
(2)求点A到棱B’C’的距离；
(3)求棱AB和平面A’B’C’D’的距离；
(4)求异面直线AD和A’B’的距离．
D
C
A
B
D’
C’
取一点M，我们把__点__M___到___平__面____的___距___离_____
叫做直线l 和平面的距离。
3)平面和平面的距离： 设平面平行于平面β,在平面上任取一点M,我
们把_点__M__到_平__面__β_的__距__离__叫做平面和平面β
的距离。
M
MN
N
4)异面直线的距离
思考:和两条异面直线都垂直的直线有多少条？
练习:1. 选择题:
(1) 直线 m 与平面 平行的充分条件是 ( )
A. 直线 m 与平面 内一条直线平行;
B. 直线 m 与平面 内无数条直线平行; C. 直线 m 与平面 内所有直线平行; D. 直线 m 与平面 没有公共点;
(2) 过直线 l 外两点,作与 l 平行的平面,这样的平面 ( ) A. 能作无数个; B. 只能作一个;
(2) 过一点有且只有一个平面和一条直线垂直 .
(3) 平面的垂线一定与平面相交,交点就是垂足 .
A
直线和平面垂直，记作
l
2、判定直线和平面垂直的方法 （1）根据定义
直线l与平面上的任何直线都垂直
（2）直线和平面垂直的判定定理
定理2:如果直线l与平面上的两条相交直线a,b都 垂直，那么直线l与平面垂直.
《两条直线的位置关系》第2课时示范公开课PPT教学课件【七年级数学下册北师大版】
A
B
C
D
垂直的表示方法：
通常用符号“⊥”表示两条直线互相垂直.如图，直线AB与直线CD垂直.
记作：
AB⊥CD
读作：AB垂直于CD ， 垂足为O.
【注意】“⊥”是“垂直”的记号，而“┐”是图形中“垂直”(直角)的标记.
直线l与直线m互相垂直，记作：l⊥m ，垂足为O．
∵AB⊥CD∴∠1=90 °
直角(90°)
线 垂直
直角(90°)
线 垂直
∵∠1=90°(已知)∴AB⊥CD(垂直的定义)
垂直的性质、定义判定的应用格式:
问题1：你能借助三角尺在一张白纸上画出两条互相垂 直的直线吗？
问题2：如果只有直尺，你能在方格纸上画出两条互相 垂直的直线吗？
问题3：你能用折纸的方法折出互相垂直的直线吗？试试看！
1.折叠长方形纸片的一个角；
2.沿①中的折痕对折，使它与①中的折痕互相重合；
3.展开长方形纸片，则两次折叠所形成的折痕互相垂直.
①
②
③
如图 ，已知直线 l ，用三角尺或量角器画直线 l 的垂线，你能画出多少条？
这样画l的垂线可以画无数条.
l
O
C
B
直线外一点与直线上各点所连的所有线段中垂线段最短.
问题：体育课上老师是怎样测量跳远成绩的？你能说说其中的道理吗？
线段PO的长度即为所求.
根据：直线外一点与直线上各点所连的所有线段中垂线段最短.
如图，直线BC与MN相交于点O，AO⊥BC，∠BOE＝∠NOE，若∠EON＝20°，求∠AOM和∠NOC的度数．
B
对顶角相等.
余角和补角的性质：
同角或等角的余角相等，同角或等角的补角相等.
直线的位置关系PPT教学课件
相交于一点，则k的值等于
()
A. 1 B. 2C.2D. 1直线l1：2x+my+1=0与直线l2：y=3x-1 平行，则m=________.
5. 直线x-2y+1=0关于直线x=1对称的直线方程是_______．
答案：1. D 解析：由a(a+2)=-1，解得a=-1.
2
23解析：显然m¹0，k1=-m2
，k2=3，2由k1=k2，得m=23 -
.
5. x+2y-3=0 解析：设P(x，y)是所求直线上任一点，则(2-x
，y)在直线x-2y+1=0上，代入整理，得x+2y-3=0.
基础达标
题型一 两条直线位置关系的判定与应用
【例1】 已知直线l1：ax+2y+6=0和直线l2：x+(a-1)y+a2-1=0 (1)试判断l1与l2是否平行； (2)当l1⊥l2时，求a的值．
l可以过AB中点的情况.
正解：方法一：当l斜率不存在时，直线方程为x=1，满足
条件． 当斜率存在时，解法同错解中“方法一”．
方法二：当l过AB中点时，直线方程为x=1. 当l∥AB时，解法同错解中“方法二”． 综上，直线l的方程为x=1或4x-y-2=0.
【例2】 设直线l1：ax+2y+8=0，l2：8x+3y-10=0，l3：2x-y10=0，若三条直线不能围成三角形，试求a的值．
错解 因为l2与l3不平行，所以l1∥l2或l1∥l3，
又因为k1
a 2
, k2
8 3
, k3
2,
所以 a 8 或 a 2， 23 2
故a 16 或a 4. 3
高等代数课件-§4 点、直线和平面之间的度量关系
m n p : Ax By Cz D 0,
s , n 2
n ( A, B, C ),
s , n 2
sin cos cos . 2 2
sin
| Am Bn Cp | A2 B 2 C 2 m 2 n 2 p 2
4.3 两条直线的夹角，直线和平面的夹角
1. 两直线的夹角
x x1 y y1 z z1 , 直线 L1 : m1 n1 p1 x x 2 y y2 z z 2 直线 L2 : , m2 n2 p2 m1m2 n1n2 p1 p2 cos L1 , L2 2 2 2 2 2 2 m1 n1 p1 m2 n2 p2
x 1 y z 1 ，平面 例2 设直线 L : 1 2 2 : x y 2 z 3，求直线与平面的夹角. 解 n (1,1, 2), s ( 2,1, 2),
sin
| Am Bn Cp | 2 2 2 2 2 2 A B C m n p
由此公式可计算两条直线的夹角.
补角称为L1与L2的夹角，记为< L1, L2 >.
两直线L1与L2的方向向量 s1与 s2 的夹角或它的
例1 夹角
x 1 y z 1 x1 y3 z 4 求 与 的 2 4 3 1 1 2
解：两直线的方向向量分别为：
S1 =(-2,4,-3)，S2 =(-1,1,2)
而l1,l2的公垂线是过l1且平行于 v1 v2 的平面1与 过l2且平行于 v1 v2 的平面2的交线。 1的方程为：x 1
1
2
y z
高中数学《第二章点、直线、平面之间的位置关系2.1空间点、直线、平面之间的位置关系》783PPT课件
××版 ×修×
公理3
文字 如果两个不重合的平面有一个__公__共__点____，那么它 语言 们有且只有一条过该点的公共___直__线_____
图形 语言
符号语言 (1)
作用 (2) (3)
P∈α∩β⇒α∩β＝l且___P_∈__l____ 判定平面相交 证明点共线 证明线共点
××版 ×修×
• [名师点拨] 公理3反映了两个平面的位置关系，条件可简记 为“两面共一点”，结论是“两面共一线，且线过点，线唯 一”．
• (2)证明点线共面的常用方法 • ①纳入平面法：先由公理2或其推论确定一个平面，再由公理
1证明有关点线在此平面内．
• ②辅助平面法：先证明有关的点线确定平面α，再证明其余 元素确定平面β，最后证明平面α，β重合．
××版 ×修×
练习1
• 过直线l外一点P，引两条直线PA，PB和直线l分别交于A，B两 点，求证：三条直线PA，PB，l共面．
××版 ×修×
谢谢
• (2)公理2中“有且只有一个”的含义要准确理解，这里的“有 ”是说图形存在，“只有一个”是说图形唯一，强调的是存在 和唯一两个方面，因此“有且只有一个”必须完整地使用，不 能仅用“只有一个”来代替，否则就没有表达出存在性．确定 一个平面中的“确定”是“有且只有”的同义词，也是指存在 性和唯一性这两个方面，这个术语今后也会常常出现．
∵E，H 分别为 BC，AB 的中点，∴EH 綊12AC．
∵DF∶FC＝1∶2，DG∶GA＝1∶2， ∴FG∥AC，FG＝13AC，∴EH∥FG 且 EH≠FG， ∴E，F，G，H 四点共面且 EF∥\ GH.∴EF 与 GH 相交．
××版 ×修×
• 设EF∩GH＝O，则O∈GH，O∈EF. • ∵GH⊂平面ABD，EF⊂平面BCD， • ∴O∈平面ABD，O∈平面BCD． • ∵平面ABD∩平面BCD＝BD，
空间中直线与直线之间的位置关系PPT
不平行性
相交直线不平行，即两条 相交的直线不可能位于同 一平面内且方向相同。
传递性
如果直线a与直线b相交， 且直线b与直线c相交，那 么直线a与直线c也相交。
交点计算
方法一
利用向量的方法，设两条直线的方向向量为$overset{longrightarrow}{a}$和 $overset{longrightarrow}{b}$，则它们的交点坐标可以通过解方程组得到。
空间中直线与直线之间的位 置关系
目录
• 平行直线 • 相交直线 • 重合直
在空间中，如果两条直线在同一 平面内，且不相交，则它们被称 为平行直线。
平行性判定
如果两条直线的方向向量共线， 则这两条直线平行。
性质
01
02
03
唯一性
过直线外一点，有且仅有 一条直线与已知直线平行。
如果两条直线的起点 相同且方向向量相同， 则它们是重合直线。
04
异面直线
定义
异面直线定义
两条直线分别位于不同的平面上，且两平面没有 公共点。
异面直线性质
异面直线既不平行也不相交。
异面直线判定条件
两条直线在不同的平面上，且两平面没有公共点。
性质
异面直线性质1
异面直线不会相交于一点。
异面直线性质2
感谢您的观看
THANKS
传递性
如果直线a平行于直线b， 直线b平行于直线c，那么 直线a也平行于直线c。
性质定理
平行于同一条直线的两条 直线互相平行。
判定条件
1 2
斜率相等
如果两条直线的斜率相等，则它们平行。
方向向量共线
如果两条直线的方向向量共线，则它们平行。
3
3《两直线的位置关系》课件4.ppt
D. x + y = 0
作业： • 习题三：1，2，3 • 一课一练
同学们 再 见 ！
两条直线平 行 的复习
判断不重合的两条直线平行的程序
两 条 直 线 方 程
两条直线斜率都不存在 平行 平行
化为 斜截 式方 程
求两 条直 线斜 率
k1= k2 k1= k2
相交Βιβλιοθήκη 线L1直线L2K1=K2
知 二
直线L1//直线L2
求 一
平面上两条相交直线的分类
Y
O
X
平面上两条相交直线分类
相 交
ab
, 则(
)
A. L与 x 轴垂直
B. L与 y 轴垂直
C. L 过原点和一 .三象限 D. L 的倾斜角为
3 4
T13.点 P(m,n)与点 Q(n-1,m+1)关于
直线 L 对称,L 的直线方程是( )
A. x - y + 1 = 0
C. x + y + 1 = 0
B. x - y = 0
• [4]位置关系 L1 L2
直线L1
直线L2
。K =-1 KK1=K2 1 2
知 二
直线L1直线L2 //直线L
求 一
小结 小结
• 记住两条直线垂直的判断程序 • 记住两条直线垂直问题中的模型 知二求一
T8.直线L过点(3, 1),且于X轴垂直,则L的 方程是( ) A. x + y - 4 = 0 C. x + 3 = 0 B. x - 3 = 0 D. y - 1 = 0
求证： L1 L2
练习1： 教科书32页第1题 题号：T1---T4
作题要求：[1]判定平行或垂直 [2]考虑判断垂直的程序
作业： • 习题三：1，2，3 • 一课一练
同学们 再 见 ！
两条直线平 行 的复习
判断不重合的两条直线平行的程序
两 条 直 线 方 程
两条直线斜率都不存在 平行 平行
化为 斜截 式方 程
求两 条直 线斜 率
k1= k2 k1= k2
相交Βιβλιοθήκη 线L1直线L2K1=K2
知 二
直线L1//直线L2
求 一
平面上两条相交直线的分类
Y
O
X
平面上两条相交直线分类
相 交
ab
, 则(
)
A. L与 x 轴垂直
B. L与 y 轴垂直
C. L 过原点和一 .三象限 D. L 的倾斜角为
3 4
T13.点 P(m,n)与点 Q(n-1,m+1)关于
直线 L 对称,L 的直线方程是( )
A. x - y + 1 = 0
C. x + y + 1 = 0
B. x - y = 0
• [4]位置关系 L1 L2
直线L1
直线L2
。K =-1 KK1=K2 1 2
知 二
直线L1直线L2 //直线L
求 一
小结 小结
• 记住两条直线垂直的判断程序 • 记住两条直线垂直问题中的模型 知二求一
T8.直线L过点(3, 1),且于X轴垂直,则L的 方程是( ) A. x + y - 4 = 0 C. x + 3 = 0 B. x - 3 = 0 D. y - 1 = 0
求证： L1 L2
练习1： 教科书32页第1题 题号：T1---T4
作题要求：[1]判定平行或垂直 [2]考虑判断垂直的程序
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条直线的垂线。它们的交点叫垂足。
2. 垂线的性质: (1)过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 性质(2): 直线外一点与直线上各点连结的所有线段中，垂线
段最短。简称:垂线段最短。 3.点到直线的距离: 从直线外一点到这条直线的垂线段的长度， 叫做点到直线的距离。 4.如遇到线段与线段，线段与射线，射线与射线，线段或射线与 直线垂直时，特指它们所在的直线互相垂直。 5.垂线是直线，垂线段特指一条线段是图形，点到直线距离是指 垂线段的长度，是指一个数量，是有单位的。
角，再根据角之间 的关系求解。
x 20 BOC 13 20 260 又 OB OD
BOD 900
COD 900 260 640
1. 平行线的概念: 在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。 2. 两直线的位置关系: 在同一平面内，两直线的位置关系只有两
种:(1)相交; (2)平行。 3. 平行线的基本性质: (1) 平行公理(平行线的存在性和唯一性)
经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行。 (2) 推论(平行线的传递性) 如果两条直线都和第三条直线平行， 那么这两条直线也互相平行。 4.同位角、内错角、同旁内角的概念 同位角、内错角、同旁内角，指的是一条直线分别与两条直线 相交构成的八个角中，不共顶点的角之间的特殊位置关系。它 们与对顶角、邻补角一样，总是成对存在着的。
第三章
平面上直线的位置关 系和度量
复习
知识结构
两条
邻补角、对顶角
对顶角相等
直线
相 交 线
相交 两条
垂线及其性质
点到直线的距离
直线
被第 三条
同位角、内错角、同旁内角
直线
平
所截
行
平行公理
线
平移
判定 性质
1. 互为邻补角:两条直线相交所构成的四了角中,有公共顶点且
有一条公共边的两个角是邻补角。如图(1) 1与2是邻补角。
．P D
B C
F
A
B
D
练一练
如图中的∠1和∠2是同位角吗? 为什么?
2 1
1
2
∠1和∠2不是同位角， ∠1和∠2是同位角，
∵∠1和∠2无一边共线。 ∵∠1和∠2有一边共线、同向 且不共顶点。
例1. ∠1与哪个角是内错角？ 答：∠ DAB
∠1与哪个角是同旁内角？答：∠ BAC,∠BAE , ∠2
∠2与哪个角是内错角? 答：∠ EAC
例2.已知OA OC，OB OD，AOB : BOC 32 :13，
求COD的度数。
CB
解.由OA OC知 : AOC 900 即AOB BOC 900
D O
由AOB : BOC 32 :13，
A 设AOB 32x，则BOC=13x 列方程:32x+13x=900
由垂直先找到 900 的
2. 对顶角: (1)两条直线相交所构成的四个角中，
有公共顶点但没有公共边的两个角是对顶角。
如图(2). 1与2, 3与4是对顶角。
21
(1)
(2)一个角的两边分别是另一个角的两边的 反向延长线，这两个角是对顶角。
3. 邻补角的性质: 同角的补角相等。
1与3互补，2与3互补
3 12
4
(2)
1 2(同角的补角相等) 4. 对顶角性质:对顶角相等。
内错角相等,两直线平行。 同旁内角互补,两直线平行。 在这五种方法中，定义一般不常用。
读下列语句,并画出图形
• 点p是直线AB外的一点, 直线CD经过点P,且与直 线AB平行;
• 直线AB、CD是相交直线, 点P是直线AB外的一点, 直线EF经过点P与直线 AB平行,与直线CD交于E.
C A
P． E
A
B 又 AOE 360
C
F
BOE 1800 360 1440
又 DOE 900
AOD AOE DOE 1260
又 BOC与AOD是对顶角
BOC AOD 1260
1.垂线的定义: 两条直线相交，所构成的四个角中，有一个角
是 900 时，就说这两条直线互相垂直。其中一条直线叫做另一
两个特征:(1) 具有公共顶点;
5. n条直线相交于一点， 就有n(n-1)对对顶角。
(2) 角的两边互为反向延长线。
例1.直线AB与CD相交于O，AOC : AOD 2 : 3
求BOD的度数。
D 解.设AOC 2X 0，则AOD=3X0
A
根据邻补角的定义可得方程:
2X+3X=1800
O
C
在解
解得X=360
B
AOC 2X 720
BOD AOC 720
决与角的计算有关 答 : BOD的度数为720
的问题时，经常用
到代数方法。
例2.已知直线AB、CD、EF相交于点O，DOE 900，AOE 360
求BOE、BOC的度数。
解. AOB是பைடு நூலகம்线
E
D
AOE与BOE是互为邻补角
O
AOE BOE 1800
(平行于同一条直线的两条直线互相平行)
平 行
条件
线
的 两直线平行 性
质
平 条件
行 线
同位角相等
的 内错角相等
判
定 同旁内角互补
结论
同位角相等 内错角相等 同旁内角互补
例1.直线AB、CD相交于点O，OE AB，垂足为O，
且DOE 5COE。求AOD的度数。
CE
┓
AO
B
D 此题需要正确地
应用、对顶角、
邻补角、垂直的
概念和性质。
解 :由邻补角的定义知: COE+DOE=1800， 又由DOE 5COE COE 5COE 1800 COE 300 又 OE AB BOE 900 BOC BOE COE 1200 由对顶角相等得: AOD=BOC=1200
D A
E
1
B
2 C
例2. 已知∠DAC= ∠ACB, ∠D+∠DFE=1800,求
证:EF//BC
DF
C
证明: ∵ ∠DAC= ∠ACB (已知)
∴ AD// BC
(内错角相等,两直线平行) ∵ ∠D+∠DFE=1800(已知) ∴ AD// EF
B
E A
(同旁内角互补,两直线平行)
∴ EF// BC
同位角的位置特征是: (1)在截线的同旁，(2)被截两直线的同方向。 内错角的位置特征是: (1)在截线的两旁，(2)在被截两直线之间。 同旁内角的位置特征是: (1)在截线的同旁，(2)在被截两直线之间。 判定两直线平行的方法有三种: (1)定义法;在同一平面内不相交的两条直线是平行线。
(2)传递法;两条直线都和第三条直线平行,这两条直线也平行。 (3)三种角判定(3种方法): 同位角相等,两直线平行。
2. 垂线的性质: (1)过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 性质(2): 直线外一点与直线上各点连结的所有线段中，垂线
段最短。简称:垂线段最短。 3.点到直线的距离: 从直线外一点到这条直线的垂线段的长度， 叫做点到直线的距离。 4.如遇到线段与线段，线段与射线，射线与射线，线段或射线与 直线垂直时，特指它们所在的直线互相垂直。 5.垂线是直线，垂线段特指一条线段是图形，点到直线距离是指 垂线段的长度，是指一个数量，是有单位的。
角，再根据角之间 的关系求解。
x 20 BOC 13 20 260 又 OB OD
BOD 900
COD 900 260 640
1. 平行线的概念: 在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。 2. 两直线的位置关系: 在同一平面内，两直线的位置关系只有两
种:(1)相交; (2)平行。 3. 平行线的基本性质: (1) 平行公理(平行线的存在性和唯一性)
经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行。 (2) 推论(平行线的传递性) 如果两条直线都和第三条直线平行， 那么这两条直线也互相平行。 4.同位角、内错角、同旁内角的概念 同位角、内错角、同旁内角，指的是一条直线分别与两条直线 相交构成的八个角中，不共顶点的角之间的特殊位置关系。它 们与对顶角、邻补角一样，总是成对存在着的。
第三章
平面上直线的位置关 系和度量
复习
知识结构
两条
邻补角、对顶角
对顶角相等
直线
相 交 线
相交 两条
垂线及其性质
点到直线的距离
直线
被第 三条
同位角、内错角、同旁内角
直线
平
所截
行
平行公理
线
平移
判定 性质
1. 互为邻补角:两条直线相交所构成的四了角中,有公共顶点且
有一条公共边的两个角是邻补角。如图(1) 1与2是邻补角。
．P D
B C
F
A
B
D
练一练
如图中的∠1和∠2是同位角吗? 为什么?
2 1
1
2
∠1和∠2不是同位角， ∠1和∠2是同位角，
∵∠1和∠2无一边共线。 ∵∠1和∠2有一边共线、同向 且不共顶点。
例1. ∠1与哪个角是内错角？ 答：∠ DAB
∠1与哪个角是同旁内角？答：∠ BAC,∠BAE , ∠2
∠2与哪个角是内错角? 答：∠ EAC
例2.已知OA OC，OB OD，AOB : BOC 32 :13，
求COD的度数。
CB
解.由OA OC知 : AOC 900 即AOB BOC 900
D O
由AOB : BOC 32 :13，
A 设AOB 32x，则BOC=13x 列方程:32x+13x=900
由垂直先找到 900 的
2. 对顶角: (1)两条直线相交所构成的四个角中，
有公共顶点但没有公共边的两个角是对顶角。
如图(2). 1与2, 3与4是对顶角。
21
(1)
(2)一个角的两边分别是另一个角的两边的 反向延长线，这两个角是对顶角。
3. 邻补角的性质: 同角的补角相等。
1与3互补，2与3互补
3 12
4
(2)
1 2(同角的补角相等) 4. 对顶角性质:对顶角相等。
内错角相等,两直线平行。 同旁内角互补,两直线平行。 在这五种方法中，定义一般不常用。
读下列语句,并画出图形
• 点p是直线AB外的一点, 直线CD经过点P,且与直 线AB平行;
• 直线AB、CD是相交直线, 点P是直线AB外的一点, 直线EF经过点P与直线 AB平行,与直线CD交于E.
C A
P． E
A
B 又 AOE 360
C
F
BOE 1800 360 1440
又 DOE 900
AOD AOE DOE 1260
又 BOC与AOD是对顶角
BOC AOD 1260
1.垂线的定义: 两条直线相交，所构成的四个角中，有一个角
是 900 时，就说这两条直线互相垂直。其中一条直线叫做另一
两个特征:(1) 具有公共顶点;
5. n条直线相交于一点， 就有n(n-1)对对顶角。
(2) 角的两边互为反向延长线。
例1.直线AB与CD相交于O，AOC : AOD 2 : 3
求BOD的度数。
D 解.设AOC 2X 0，则AOD=3X0
A
根据邻补角的定义可得方程:
2X+3X=1800
O
C
在解
解得X=360
B
AOC 2X 720
BOD AOC 720
决与角的计算有关 答 : BOD的度数为720
的问题时，经常用
到代数方法。
例2.已知直线AB、CD、EF相交于点O，DOE 900，AOE 360
求BOE、BOC的度数。
解. AOB是பைடு நூலகம்线
E
D
AOE与BOE是互为邻补角
O
AOE BOE 1800
(平行于同一条直线的两条直线互相平行)
平 行
条件
线
的 两直线平行 性
质
平 条件
行 线
同位角相等
的 内错角相等
判
定 同旁内角互补
结论
同位角相等 内错角相等 同旁内角互补
例1.直线AB、CD相交于点O，OE AB，垂足为O，
且DOE 5COE。求AOD的度数。
CE
┓
AO
B
D 此题需要正确地
应用、对顶角、
邻补角、垂直的
概念和性质。
解 :由邻补角的定义知: COE+DOE=1800， 又由DOE 5COE COE 5COE 1800 COE 300 又 OE AB BOE 900 BOC BOE COE 1200 由对顶角相等得: AOD=BOC=1200
D A
E
1
B
2 C
例2. 已知∠DAC= ∠ACB, ∠D+∠DFE=1800,求
证:EF//BC
DF
C
证明: ∵ ∠DAC= ∠ACB (已知)
∴ AD// BC
(内错角相等,两直线平行) ∵ ∠D+∠DFE=1800(已知) ∴ AD// EF
B
E A
(同旁内角互补,两直线平行)
∴ EF// BC
同位角的位置特征是: (1)在截线的同旁，(2)被截两直线的同方向。 内错角的位置特征是: (1)在截线的两旁，(2)在被截两直线之间。 同旁内角的位置特征是: (1)在截线的同旁，(2)在被截两直线之间。 判定两直线平行的方法有三种: (1)定义法;在同一平面内不相交的两条直线是平行线。
(2)传递法;两条直线都和第三条直线平行,这两条直线也平行。 (3)三种角判定(3种方法): 同位角相等,两直线平行。