高一函数的对称性

类比探究
中心对称性
从”数”的角度看，
从”形”的角度看， y=F(x)图像关于(0,0)中心对称
y

F(-x)+F(x)=0
-x
o
x a
x
类比探究
中心对称性
从”数”的角度看， F(x)+F(2a-x)=0
从”形”的角度看， y=F(x)图像关于(a,0)中心对称
y
2a-x o
a
x
x
类比探究
x
x 2
思考?若y=f(x)图像关于直线x=-1对称
Y
f(x)=f(-ห้องสมุดไป่ตู้-x)
-2-x
-3 -2 -1 1
x
2 3 4 5 6 7 8
x
x=-1
思考?若y=f(x)图像关于直线x=-1对称
Y
f(x)=f(-2-x)
f(-1+x)=f(-1-x)

-1-x
-3 -2 -1
-1+x
1 2 3 4 5 6 7 8
y
b o
a
x
思考？
(1)若y=f(x)满足f(a-x)+f(b+x)=0, 则函数图像关于
点( a+b ,0 ) 2 对称
(2)若y=f(x)满足f(a-x)+f(b+x)=2c, 则函数图像关于点 (
a+b ,C ) 对称 2
知识内容： 函数图像的对称性 对称关系式
y=F(x)图像关于x=a轴对称 F(x)=F(2a-x)
中心对称性
从”形”的角度看， y=F(x)图像关于(a,0)中心对称
y

从”数”的角度看， F(x)+F(2a-x)=0
F(a-x)+F(a+x)=0
b
a-x o
a
a+x
x
类比探究
中心对称性
F(x)+F(2a-x)=2b F(a+x)+F(a-x)=2b
y=F(x)图像关于(a,b)中心对称
2a-x0
xa
x0
则有P’的坐标应满足y=f(x) P’(2a-x0,f(x0)) f(x0)=f(2a-x0) 即： f(x)=f(2a-x)
（代数证明）
求证
已知
y=f(x)图像关于直线x=a对称
f(x)=f(2a-x)
( )
P’
在y=f(x)图像上任取一点P
若点P关于直线x=a的对称点P’ P(x0,f(x0)) P’(2a-x ,f(x )) ? 也在f(x)图像上
x
x=-1
猜测：若y=f(x)图像关于直线x=a对称
f(x)= f(2a-x) f(a-x)=f(a+x)
xa
（代数证明）
已知
求证
y=f(x)图像关于直线x=a对称
f(x)=f(2a-x)
( )
P’ P(x0,f(x0))
在y=f(x)图像上任取一点P
点P关于直线x=a的对称点P’也在f(x)图像上
如：作出函数 y x
1 x
的图象．
B.图象变换法：利用基本初等函数变换作图 (以熟悉基本 初等函数的图象为前提).
1、平移变换：（左正右负，上正下负）即
y f ( x ) y f ( x h ) y f ( x ) y f ( x ) k
yx 1 原点 y轴 x轴
(x)
边部分的对称图
y f ( x ) y f ( x ) y f (x) y f (x)
仍一点的横坐标变为原 1 来的 倍 来的 A 倍
y 轴右边不变，左边为右
k 0 , 下移 ; k 0 , 上移
h 0 , 右移 ; h 0 , 左移
2、对称变换：(口诀:对称谁，谁不变，对称原点都要变）
y f ( x) y f ( x) y f ( x) y f ( x) y f ( x) y f ( x) y f (x) y f
F(a-x)=F(a+x) y=F(x)图像关于点(a,b)中心对称 F(x)+F(2a-x)=2b F(a-x)+F(a+x)=2b
轴对称
函数图像关于直线x=0对称
中心对称性
函数图像关于(0,0)中心对称
-x
x
F(-x)=F(x)
F(-x)=-F(x) 函数图像关于(a,0)中心对称
函数图像关于直线x=a对称 F(x)=F(2a-x) F(a-x)=F(a+x)
保留 x 轴上方图，将
x 轴下方图上翻
3.伸缩变换：
y f ( x ) y f ( x ) y f ( x ) y Af ( x )
仍一点的纵坐标变为原
二。有关结论： 1、若f(a+x)=f(a-x)，x∈R恒成立，则y=f(x)关于x=a对 称 2 、 若 f(a+x)=f(b-x) ， x∈R 恒 成 立 ， 则 y=f(x) 关 于 x=(a+b)/2对称 3、 若f(a+x)= -f(a-x)，x∈R恒成立，则y=f(x)关于点（ a，0）对称 三.图象对称性的证明：注意区别一个图象，还是两个图 象 （1）、证明函数图象的对称性：图象上任一点关于对称 轴（对称点）的对称点仍在图象上 （2）、证明两个图象C1C2的对称性：证C1上任意点关于 对称轴（对称点）的对称点在C2图象上，反之也对
x=a
a
F(x)+F(2a-x)=0 F(a-x)+F(a+x)=0
数学思想方法: 1.数形结合 2.由特殊到一般
3.类比思想
知识迁移：
已知对任意x，有f(x+2)=f(-x), 当x [2,3]，y=x 求当x [-1,0]时，f(x)的解析式？
函数的图象
一、作函数图象的基本方法有两种： A.描点法：1、先确定函数定义域，讨论函数的性质（奇 偶性，单调性，周期性）2、列表（注意特殊点，如：零 点，最大最小，与轴的交点） 3、描点，连线
-x
-3 -2 -1 1 2
x
3 4 5 6 7 8
X
x 0
从”形”的角度看，
Y=f(x)图像关于直线x=2对称
y
从”数”的角度看，
f(1)= f(3) f(0)= f(4)
f (x)
f(-2)= f(6)
f(310)=f(4-310)

7 8
4-x
-3 -2 -1 0 1 2 3 4
函数的对称性
有些函数 其图像有着优美的对称性， 同时又有着优美的对称关系式
知识回顾（偶函数）
从”形”的角度看， Y=F(x)图像关于直线x=0对称
Y
F ( 1) F (1) F (2) F (2) F ( x) F ( x)
从”数”的角度看， F(-x)=F(x)

x
5
f(x)=f(4-x)
6
x
x 2
从”形”的角度看，
Y=f(x)图像关于直线x=2对称
Y
从”数”的角度看，
f(x)=f(4-x) f(1+x)=f(3-x) f(2+x)=f(2-x)
f (x)

对于任意的x 你还能得到怎样的等式？
4-x
-3 -2 -1 0 1 2 3 4
x
5 6 7
0 0
2a-x0
xa
x0
f(x0)=f(2a-x0) P’在f(x)的图像上 则y=f(x)图像关于直线x=a对称
轴对称性
y=f(x)图像关于直线x=a对称

f(x)= f(2a-x) f(a-x)=f(a+x)
特例：a=0
xa
y=f(x)图像关于直线x=0对称

f(x)= f(-x)
思考？ 若y=f(x)满足f(a-x)=f(b+x), a+b 直线 x= 则函数图像关于 2 对称