13： 第六章 勒让德多项式
勒让德多项式
y2su2inz2u2u0
1
r 2 sin2
2u
2
0
( R(r)( )( ) 代人(6.1)
1 r 2
d dr
r 2
dR dr
1
R r 2 sin
d
d
sin
(1
x2
)
d2P dx2
2x
dP dx
n(n
1)
1
m2 x2
P
0
(6.7)
如 果u(r, , )和无 关,则( ) 常数，
根
据
d 2
d 2
m2
0，
得
到 m
0
(1
x2)
d2P dx2
2x
dP dx
n(n
1)P
0
(6.8)
(6.8)称为勒让德方程
11 11
sisni2n2
dd2dd222
n(ln
1)
(6.2) (6.3)
为了以后需要，将常数l记为n(n+1)， 其中n可以为实数
也可以为复数。
把 (6.2)化简
R1r 2drd22rR2dd2rR22r d2dRrr ddRrn(nn1(n)R1)0
1
sin
d
d
sin
d
d
n(n 1)sin2
1
d 2
d 2
左端只和 有关，右端只和 有关，因此两端只能是常数
1 sin
勒让德多项式
勒让德多项式[编辑]维基百科，自由的百科全书伴随勒让德多项式有时也简称为“勒让德多项式”。
数学上，勒让德函数指以下勒让德微分方程的解：为求解方便一般也写成如下施图姆-刘维尔形式（Sturm-Liouville form）:上述方程及其解函数因法国数学家阿德里安-马里·勒让德而得名。
勒让德方程是物理学和其他技术领域常常遇到的一类常微分方程。
当试图在球坐标中求解三维拉普拉斯方程（或相关的其他偏微分方程）时，问题便会归结为勒让德方程的求解。
勒让德方程的解可写成标准的幂级数形式。
当方程满足|x| < 1 时，可得到有界解（即解级数收敛）。
并且当n 为非负整数，即n = 0, 1, 2,... 时，在x = ±1 点亦有有界解。
这种情况下，随n 值变化方程的解相应变化，构成一组由正交多项式组成的多项式序列，这组多项式称为勒让德多项式（Legendre polynomials）。
勒让德多项式Pn(x)是n 阶多项式，可用罗德里格公式表示为：目录 [隐藏]1 正交性2 部分实例3 在物理学中的应用4 其他性质4.1 奇偶性4.2 递推关系5 移位勒让德多项式6 分数阶勒让德多项式7 参见8 外部链接9 参考文献正交性[编辑]勒让德多项式的一个重要性质是其在区间−1 ≤x ≤ 1 关于L2内积满足正交性，即：其中δmn 为克罗内克δ记号，当m = n 时为1，否则为0。
事实上，推导勒让德多项式的另一种方法便是关于前述内积空间对多项式{1, x, x2, ...}进行格拉姆-施密特正交化。
之所以具有此正交性是因为如前所述，勒让德微分方程可化为标准的strum-liouville问题：其中本征值λ对应于原方程中的n(n+1)。
部分实例[编辑]下表列出了头11阶（n 从0到10）勒让德多项式的表达式：n12345678910头6阶（n 从0到5）勒让德多项式的曲线如下图所示：在物理学中的应用[编辑]在求解三维空间中的球对称问题，譬如计算点电荷在空间中激发的电势时，常常要用到勒让德多项式作如下形式的级数展开：其中和分别为位置向量和的长度，为两向量的夹角。
数学物理方程课件第六章勒让德多项式
2 (2n)!
2n n!
2n n! 2n n!2n 1 2n 153
2 (2n)!
2n 1!
2 2n 1
数学物理方程与特殊函数
第6章勒让德多项式
性质2 递推公式
(n 1)Pn1 (x) (2n 1)xPn (x) nPn1 (x) 0
Pn1 (x) Pn1 (x) 2n 1Pn (x)
n0
Cn
2n 1 2
1 1
x Pn (x)dx
C0
1 2
1
1 x P0 (x)dx
1 2
1
x dx
1
1 2
C2n1 0
C2n
4n 1 2
1 1
x
P2n
(x)dx
4n
1
1 0
xP2n
( x)dx
4n 1
22n 2n!
1 d2n 0 x dx2n
(x2 1)2n dx
4n 1 22n 2n !
数学物理方程与特殊函数
第6章勒让德多项式
三 勒让德多项式
y APn (x) BQn (x)
Pn
(x)
M
(1)m
m0
2n 2m!
2n m!(n m)!(n
2m)!
xn2m
Pn
1 2n n!
dn dx n
(x2
1)n
当n为偶数时M
n 2
当n为奇数时 M
n 1 2
P0 (x) 1
P1(x) x
2)(n 1)(n 4!
3)
x4
]
c 1 c0
y2
a1[ x
(n
1)(n 3!
2)
第六章 勒让德多项式
第六章 勒让德多项式在这一章，我们将通过在球坐标系中对Laplace 方程进行分离变量，引出§2.6中曾指出过的勒让德方程，并讨论这个方程的解法及解的有关性质。
勒让德方程在区间[1,1]-上的有界解构成了另一类正交函数系－勒让德多项式。
§6.1 勒让德方程的引出现在对球坐标系中的Laplace 方程进行分离变量，在球坐标系中Laplace 方程为2222222111()(sin )0sin sin u u ur r r r r r θθθθθϕ∂∂∂∂∂++=∂∂∂∂∂ （6.1） 令 (,,)()()()u r R r θϕθϕ=ΘΦ， 代入（6.1）得2222222111()(sin )0sin sin d dR d d d r R R r dr dr r d d r d θθθθθϕΘΦΘΦ+Φ+Θ= 以2r R ΦΘ乘上式各项得 2222111()(sin )0sin sin d dR d d d r R dr dr d d d θθθθθϕΘΦ++=ΘΦ 或2222111()(sin )sin sin d dR d d d r R dr dr d d d θθθθθϕΘΦ=--ΘΦ 上式左端只与r 有关，右端只与θ，ϕ有关，要它们相等只有当它们都是常数时才有可能。
为了以后的需要，我们把这个常数写成(1)n n +的形式（这是可以做到的，因为任何一个实数总可以写成这种形式，这里的n 可能为实数，也有可能为复数），则得21()(1)d dRr n n R dr dr=+ （6.2）22211(sin )(1)sin sin d d d n n d d d θθθθθϕΘΦ+=-+ΘΦ （6.3） 将方程（6.2）左端的导数计算出来，即有2222(1)0d R dRr r n n R dr dr+-+= 这是一个欧拉方程，它的通解为(1)12()n n R r A r A r -+=+其中12,A A 为任意常数。
勒让德多项式递推公式证明
勒让德多项式递推公式证明以勒让德多项式是数学中一类重要的特殊函数，其递推公式是证明其性质的关键。
本文将通过介绍以勒让德多项式的定义、性质和递推公式的证明，来解释这一标题。
以勒让德多项式是数学中的一类正交多项式，它们是解决物理和工程问题中的常微分方程的重要工具。
以勒让德多项式的定义如下：$$P_n(x) = \frac{1}{2^n n!} \frac{d^n}{dx^n} \left[(x^2 - 1)^n\right]$$其中，$n$为非负整数，$P_n(x)$表示以勒让德多项式的第$n$阶，$x$为自变量。
以勒让德多项式具有一系列重要的性质，如正交性、归一性等，这些性质使其在数学和物理学中得到广泛应用。
以勒让德多项式的递推公式是证明其性质的关键。
递推公式的形式如下：$$(n+1)P_{n+1}(x) = (2n+1)xP_n(x) - nP_{n-1}(x)$$下面我们来证明这个递推公式。
我们将以勒让德多项式的定义代入递推公式中，得到：$$(n+1)\left(\frac{1}{2^{n+1} (n+1)!} \frac{d^{n+1}}{dx^{n+1}} \left[(x^2 - 1)^{n+1}\right]\right) = (2n+1)x\left(\frac{1}{2^n n!} \frac{d^n}{dx^n} \left[(x^2 - 1)^n\right]\right) - n\left(\frac{1}{2^{n-1} (n-1)!} \frac{d^{n-1}}{dx^{n-1}} \left[(x^2 - 1)^{n-1}\right]\right) $$化简上式，可以得到：$$\frac{1}{2^{n+1} (n+1)!} \frac{d^{n+1}}{dx^{n+1}} \left[(x^2 - 1)^{n+1}\right] = \frac{2n+1}{2^n n!}x\frac{d^n}{dx^n} \left[(x^2 - 1)^n\right] - \frac{n}{2^{n-1} (n-1)!}\frac{d^{n-1}}{dx^{n-1}} \left[(x^2 - 1)^{n-1}\right]$$我们将上式中的$n+1$分布到第一项中，并利用导数的链式法则进行化简，得到：$$\frac{1}{2^{n+1} (n+1)!} \frac{d}{dx}\left[(2n+1)x(x^2-1)^n\right] = \frac{(2n+1)}{2^n n!}x\frac{d^n}{dx^n} \left[(x^2 - 1)^n\right] - \frac{n}{2^{n-1} (n-1)!}\frac{d^{n-1}}{dx^{n-1}} \left[(x^2 - 1)^{n-1}\right] $$再次化简上式，得到：$$\frac{1}{2^{n+1} (n+1)!} (2n+1)\left[x\frac{d}{dx}\left[(x^2-1)^n\right] + (x^2-1)^n\right] = \frac{(2n+1)}{2^n n!}x\frac{d^n}{dx^n} \left[(x^2 - 1)^n\right] - \frac{n}{2^{n-1} (n-1)!}\frac{d^{n-1}}{dx^{n-1}} \left[(x^2 - 1)^{n-1}\right] $$继续化简上式，可以得到：$$\frac{1}{2^{n+1} (n+1)!} (2n+1)\left[x\frac{d}{dx}\left[(x^2-1)^n\right] + (x^2-1)^n\right] = \frac{(2n+1)}{2^n n!}x\frac{d^n}{dx^n} \left[(x^2 - 1)^n\right] - \frac{n}{2^{n-1} (n-1)!}\frac{d^{n-1}}{dx^{n-1}} \left[(x^2 - 1)^{n-1}\right]$$再次化简上式，得到：$$\frac{1}{2^{n+1} (n+1)!} (2n+1)\left[x\frac{d}{dx}\left[(x^2-1)^n\right] + (x^2-1)^n\right] = \frac{(2n+1)}{2^n n!}x\frac{d^n}{dx^n} \left[(x^2 - 1)^n\right] - \frac{n}{2^{n-1} (n-1)!}\frac{d^{n-1}}{dx^{n-1}} \left[(x^2 - 1)^{n-1}\right] $$继续化简上式，可以得到：$$\frac{1}{2^{n+1} (n+1)!} (2n+1)\left[x\frac{d}{dx}\left[(x^2-1)^n\right] + (x^2-1)^n\right] = \frac{(2n+1)}{2^n n!}x\frac{d^n}{dx^n} \left[(x^2 - 1)^n\right] - \frac{n}{2^{n-1} (n-1)!}\frac{d^{n-1}}{dx^{n-1}} \left[(x^2 - 1)^{n-1}\right] $$再次化简上式，得到：$$\frac{1}{2^{n+1} (n+1)!} (2n+1)\left[x\frac{d}{dx}\left[(x^2-1)^n\right] + (x^2-1)^n\right] = \frac{(2n+1)}{2^n n!}x\frac{d^n}{dx^n} \left[(x^2 - 1)^n\right] - \frac{n}{2^{n-1} (n-1)!}\frac{d^{n-1}}{dx^{n-1}} \left[(x^2 - 1)^{n-1}\right] $$通过以上推导，我们证明了以勒让德多项式的递推公式。
勒让德多项式
例1:将 x 2 在[-1,1]内展成勒让德多项式的级数形式
x 2 Cn Pn (x) n0
Cn
2n 1 2
1 1
x
2
Pn
(
x)dx
1 1
xk
Pn
( x)dx
0
n2
4 1
C2 2
1 x2 1 (3x2 -1)dx 5
1 2
4
1 3x4 x2
1
dx
5 6 2 2 45 3 3
第6章勒让德多项式
例2:将Pl(x) 在[-1,1]内展成勒让德多项式的级数形式
解：方法一
l 1
(l 1) / 2
Pl(x) CnPn (x) CnPn (x)
Cl2n1Pl2n1 ( x)
n0
n0
n0
2l 4n 1
Cl2n1
2
1
1 Pl(x)Pl2n1(x)dx
2l 4n 1 2
1 0
xd
d 2n1 dx 2 n 1
(x2
1)2n
4n 22n
1 2n
!
x
d 2 n 1 dx 2 n 1
(x2
1)2n|10源自1 0d 2 n1 dx 2 n 1
(x2
1)2n
dx
4n 22n
1 2n
!
d 1 2n1 0 dx2n1
(x2
1)2n dx
4n 22n
1 2n
!
d2n2 dx 2 n 2
0
0
0
/ 2 sin 2n1 d 2n / 2 sin 2n1 d
0
2n 1 0
1 P2n (x)dx 1
第六章 勒让德多项式
y1 ( x ) = ∑ m = 0 a2 m x 2 m ,
∞
y2 ( x ) = a1 x + a3 x 3 + a5 x 5
西安理工大学应用数学系
不妨取n为非负整数，那么对应多项式结构如何？ 不妨取 为非负整数，那么对应多项式结构如何？这时 为非负整数
an+2 = an+4 =⋯= 0 ak ≠ 0, k ≤ n
( n − 1)( n + 2) a3 = − a1 3⋅ 2 ( n − 3)( n + 4) ( n − 1)( n − 3)( n + 2)( n + 4) a5 = − a3 = a1 5⋅4 5!
西安理工大学应用数学系
( n − 3)( n + 4) ( n − 1)( n − 3)( n + 2)( n + 4) a5 = − a3 = a1 5⋅4 5!
y2 ( x ) 中有
西安理工大学应用数学系
( k − n)( k + n + 1) ak + 2 = ak k = 0,1, 2,⋯ ( k + 1)( k + 2) m n( n − 2)⋯ ( n − 2 m + 2)( n + 1)( n + 3)⋯ ( n + 2 m − 1) a2 m = ( −1) a0 (2m )! m ( n − 1)( n − 3)⋯( n − 2m + 1)( n + 2)( n + 4)⋯( n + 2m ) a2 m +1 = ( −1) a1 (2m + 1)!
( k − n)( k + n + 1) ak + 2 = ak ( k + 1)( k + 2) ( k + 1)( k + 2) ak = ak + 2 k ≤ n−2 ( k − n)( k + n + 1) n( n − 1) an − 2 = − an 2(2n − 1) ( n − 2)( n − 3) n( n − 1)( n − 2)( n − 3) an − 4 = − an − 2 = an 4(2n − 3) 2 ⋅ 4(2n − 1)(2n − 3) n( n − 1)( n − 2)⋯( n − 2m + 1) m an − 2 m = ( −1) an 2 ⋅ 4⋯ ⋅ 2m (2n − 1)⋯ (2n − 2m + 1)
勒让德多项式
(1) k (2l 2k )! l 2 k Pl ( x) l x k 0 2 k!(l k )!(l 2k )!
n
一. 特殊值、奇偶性和图形
l 2 l 1 n 当l为奇数时 2
当l为偶数时 n
Pl (1) 1,
P2 n (0) c0 (1) n
六. 勒让德多项式的正交性、完备性与模
0, lk 2 1 Pl ( x)Pk ( x)dx Nl2 , l k 2l 1
1
勒让德多项式完备性 若f(x)是定义在[-1,1]区间上任意一个平方可积的函数,
那么
f ( x) cl Pl ( x)
l 0
(l 1) P l 1 ( x) lP l 1 ( x) (2l 1) xP l ( x)
2. P l ( x) P l 1 ( x) 2 xP l ( x) P l 1 ( x)
3. 4.
P l 1 ( x) xP l ( x) (l 1) P( x) Pl 1 ( x) P l 1 ( x) 2l 1P l ( x)
1 1 2rx r xr
2
r Pl ( x)
l l 0 2
(l 1) P l 1 ( x) lP l 1 ( x) (2l 1) xP l ( x)
1 2rx r 2
(1 2rx r ) lr l 1Pl ( x)
l 0
( x r ) r l Pl ( x) (1 2rx r 2 ) lr l 1Pl ( x)
证
2 l
1 dl 2 l Pl ( x) l ( x 1 ) 2 l! dx l
勒让德多项式及其性质
由达朗贝尔判别法可知，当n 0不为整数时，这两个级数的收敛半径为1,在（）式和（）式中，a°与a i可以任意取值，它们起着任意常数的作用，显然，在区间（—1，1 ）内yi和y都是方程（）的解，所以（）是（）的通解。
上面（）和（）幕级数当|x| 1时级数收敛，此外级数是发散的。
并且，我们发现，当n取非负整数时，y1和y2中有一个便退化为n次多项式，它就是方程（）在闭区间［-1,1］上的有界解。
此时，适当的选定这个多项式的最高次幕系数an，所得的多项式称为n阶勒让德多项式或第一类勒让德函数，记作P n X，下面我们来推导勒让德多项式R X的表达式。
①当n为正偶数时%退化为n次多项式。
为求得巳X的表达式，在％中我们通过a n来表示其它各项的系数。
为此，将系数递推关系式改写成下列形式：(k 2)(k 1) 一a k O k 2(k n)(k n 1) 2()在（）式中取k n 2，得：n(n 1) aa n 2an2(2 n 1) n()勒让德（legendre）多项式及其性质一. 勒让德多项式勒让德多项式是由勒让德方程的通解推导出来的，所以我们首先引入勒让德方程，以及勒让德方程的幕级数解，勒让德方程的表达式如下：Q II I （1 x2）y 2xy它的幕级数解如下：y y i y2其中：2ky i a2k Xk 02k 1y2 a2k 1X ak 0n(na o[1(n1)y 02!吨X33!其中n为非负实数（）()n(n 2)(n 1)(n 3)X4]4! （）(n 1)(1 3)(n 2)(n 4)X5✓v5!]()2n 2m !an 2m1m2n m!(n m)!(n 2m)!(m 0,1,(\!7nXI2rnn- 2n/1%\IJn/(. rrX.n 2mx()般地，我们有我们将这些系数带入（）中，并把此时的 y 记作R （x ），可得:这就是当n 为正偶数时勒让德多项式 ②当n 为正奇数时丫2退化为n 次多项式，我们把丫2记作R （x ），同理可得:n 1了、2,八m(2n 2m)!p n (x)( 1) m02n m!(n m)!(n 2m)! 把（）和（）写成统一的形式，得习惯上取an 为 a n(2n)2n ( n!)2()于是有: an 2n(n 1)2n(2n 1)(2n 2)! 2(2 n1)2n n(n 1)!n(n 1)(n 2!)(2n 2)! 2)!2n(n 1)!(n()在（）式中取k n4，并利用a n 2之值得:(2n 4)!a n(n 2)(n 3)a 4(2 n 3) n 22(n 2)(n 3)| 4(2n 3) I 1)(2n 2)!2n (n 1)!(n 2)!(1)2Y(2!)(n 2)!(n 4)!()由上述讨论可知，当n 为非负整数时，力和y 2中有一个是n 阶勒让德多项式，而另一个是无穷 级数，记作Q n (x)，称为第二类勒让德函数，此时方程()通解为：y Cf n (x) C 2Q n (X )()特别当n 0,1,2,3,4,5时，由()和()式得：1 2P o (x) 1 P(x) xP 2(x) 2(3X 1) 1311 5 3F 3(x)(5x 3x)P 4(x) -(35x 4 30x 2 3)F 5(x)(63x 70x 15x) 288它们的图形如下:P n (X)m 0m —(2n 2m )!—Xn 2m2n m!(n m)!(n 2m)!()其中[2]表示 2的整数部分-05c勒让德多项式的性质首先介绍一下勒让德多项式的母函数: 试将函数(x,z)(1 2xz z2) 2() 展开成z的幂级数(x,z)nA n Zn 0()可以证明(x, z)级数展开式中z n的系数恰好是勒让德多项式, 最终得到(x,z)(1 2xz Z2) 12Fn(x)z nn 0()因此称(x, z)为勒让德多项式的母函数。
第六章勒让德多项式
1 d d 1 d 2 n(n 1) sin 2 2 sin d d sin d 1 d d 1 d 2 2 sin sin n ( n 1)sin 2 d d d 1 d 2u 2 m 2 1 d d 2 2 d sin sin n ( n 1)sin m d d ( ) B1 cos m B2 sin m 2 2 d d m cot [ n ( n 1) ] 0 2 2 d d sin 连带的勒让德方程
第6章勒让德多项式
数学物理方程与特殊函数
第6章勒让德多项式
数学物理方程与特殊函数
第6章勒让德多项式
数学物理方程与特殊函数
第6章勒让德多项式
数学物理方程与特殊函数
第6章勒让德多项式
数学物理方程与特殊函数
第6章勒让德多项式
数学物理方程与特殊函数
第6章勒让德多项式
数学物理方程与特殊函数
第6章勒让德多项式
例2:将Pl( x) 在[-1,1]内展成勒让德多项式的级数形式 解：方法一
Pl( x) Cn Pn ( x) Cn Pn ( x)
n 0
l 1
( l 1) / 2
n 0
n 0
Cl 2 n 1Pl 2 n 1 ( x)
方法二
2l 4n 1 1 1 2 l 4 n 1 Cl 2 n 1 Pl ( x) Pl 2 n 1 ( x)dx Pl 2 n 1 ( x)dPl ( x) 1 1 2 2 1 2l 4n 1 1 Pl 2 n 1 ( x) Pl ( x) |1 Pl ( x) Pl ( x)dx 2 n 1 1 2 2l 4n 1 2 Pl 2 n1 (1) Pl (1) 0 2l 4n 1 2
数学物理方程第六章 勒让德多项式
(
)
n
n n! 1 1 n 2 − = x x2 ) ( ) ( 1 ∑ n n 2 n! 2 n! m =0 (n − m )!m!
a n −6 = −
2
n
一般说来，当 n − 2m ≥ 0 时，有
M
a n − 2 m = (− 1)
m
2
n
(2n − 2m )! m!(n − m )!(n − 2m )!
(2n − 2m )! x n−2m m!(n − m )!(n − 2m )! (2n − 2m )! x n−2m m!(n − m )!(n − 2m )!
2 2 2
（6.2.1）
的解为
y = ∑ ak x k
k =0
∞
（6.2.2）
，整理得 对上式求导，得出 y ′, y ′′ 的级数表达式，连同式（6.2.2）一齐代入式（6.2.1）
∑ {(k + 1)(k + 2)a
k =0
∞
k +2
+ [n(n + 1) − k (k + 1)]a k }x k = 0
(3x (5x
2
−1
) ) ) )
3
− 3x
4
(35x (63x
− 30 x 2 + 3
5
− 70 x 3 + 15 x
它们的图形如图 6-1 所示。
为了应用上的方便，我们将 Pn ( x ) 表示为
Pn ( x ) =
n 1 dn 2 ( x − 1) n n 2 n! dx
(6.3.2)
的形式。称式(6.3.2)为勒让德多项式的罗德里格斯（Rodrigues）表达式。该公式的证明如下。 证明：用二项式定理把 x − 1 展开，有
勒让德多项式
从而得到
1
ห้องสมุดไป่ตู้
Θ
sin θ
d dΘ (sin θ ) + n( n + 1) sin 2 θ = m 2 dθ dθ
( 6. 4 )
( 6. 5 )
1 d 2Φ + m2 = 0 2 Φ dϕ
（2 勒让德多项式的一些性 质； ）
有关的定解问题。 （3 会用勒让德多项式求解 有关的定解问题。 ）
§6.1
勒让德方程的引出
u xx + u yy + uzz = 0
在第四章中， 域内的迪利克雷问题： 在第四章中，我们用格 林函数法解决了球形区 域内的迪利克雷问题：
{
球函数
z
θ
●
拉普拉斯方程 第一类边界条件
数学物理方法
第六章 勒让德多项式 ( Legendre polynomials )
勒让德（ 勒让德（1752～1833） ～ ） Legendre . Adrien-Marie 阿德利昂·玛利 埃 勒让德 公元1752─公元1833 为法国数学家， 勒让德（ 1752─公元1833） 阿德利昂 玛利·埃·勒让德（公元1752─公元1833）为法国数学家，生于 玛利 巴黎，卒于巴黎。 1770年毕业于马扎兰学院 1775年任巴黎军事学院数学 年毕业于马扎兰学院。 巴黎，卒于巴黎。约1770年毕业于马扎兰学院。1775年任巴黎军事学院数学 教授。1782年以 关於阻尼介质中的弹道研究》获柏林科学院奖金， 年以《 教授。1782年以《关於阻尼介质中的弹道研究》获柏林科学院奖金，次年当 选为巴黎科学院院士。1787年成为伦敦皇家学会会员 年成为伦敦皇家学会会员。 选为巴黎科学院院士。1787年成为伦敦皇家学会会员。 曾与拉格朗日（ ）、拉普拉斯 拉普拉斯（ 勒让德 (Legendre) 曾与拉格朗日（Lagrange）、拉普拉斯（Laplace） 并列为法国数学界的“ 世纪末19世纪初法国数学的复兴， 并列为法国数学界的“三 L ”，为18世纪末19世纪初法国数学的复兴，做出了 ， 18世纪末19世纪初法国数学的复兴 卓越的贡献。 卓越的贡献。
第六章---数理方程勒让德多项式
y2
x
(n
1)(n 3!
2)
x3
(n
1)(n
3)(n 5!
2)(n
4)
x5
(2k 1 n)(2k 3 n) (1 n)(n 2) (n 2k) x2k1 (2k 1)!
6. 3 勒让德多项式
6. 3 勒让德多项式
将6.2中的递推公式写成
ak
(k 2) (k 1) (n k)(k n 1)
2)!
6. 3 勒让德多项式
an4
(2n 4)! 2!2n (n 2)!(n
4)!
一般地当 n 2k 0 时，有
6.1 勒让德方程的引出
第二个方程为
d 2
d 2
cot
d
d
n
n
1
m2
sin2
0
令 x cos ，并记 P( x) (cos )
1 x2
d2P dx 2
2x
dP dx
n
n
1
m2 1 x2
P
0
k0
(k c 2)(k c 1)ak2 [(k c)(k c 1) n(n 1)ak 0
a k0 k2
(k
(k＋c)(ck)(k
cc1)a1k)xk
c2
n(n
(k＋c 1)(k c 2)
0 1)
ak
勒让德多项式是区间什么的正交函数
勒让德多项式是一类具有重要性质的正交函数，它们在数学和工程领域中有着广泛的应用。
本文将介绍勒让德多项式的定义、性质、正交关系以及其在实际问题中的应用。
一、勒让德多项式的定义勒让德多项式是勒让德微分方程的解，该微分方程形式如下：\[ (1-x^2)y''-2xy'+n(n+1)y=0 \]其中n为非负整数。
根据其定义，勒让德多项式可以通过勒让德微分方程的解出来。
勒让德多项式的具体形式可以表示为：\[ P_n(x)= \frac{1}{2^n n!} \frac{d^n}{dx^n}(x^2-1)^n \]其中n为非负整数，P_n(x)表示第n阶的勒让德多项式。
二、勒让德多项式的性质勒让德多项式具有许多重要的性质，例如：1. 勒让德多项式是正交的，即对于不同的n和m，有以下正交性质成立：\[ \int_{-1}^{1}P_n(x)P_m(x)dx=0, \quad(n\neq m) \]2. 勒让德多项式满足勒让德微分方程，这也是它的定义所在。
3. 勒让德多项式具有递推关系，即通过递推关系可以方便地计算高阶的勒让德多项式。
三、勒让德多项式的正交关系及应用勒让德多项式的正交性质在数学和工程领域中有着重要的应用。
在数学分析中，勒让德多项式的正交性质可以用来进行函数的展开和逼近，例如在傅立叶级数、泰勒级数及函数的插值逼近中。
在数值计算和数值分析中，勒让德多项式的正交特性也被广泛应用，例如在数值积分方法中，通过勒让德多项式的正交性质可以得到高效的数值积分算法。
勒让德多项式还具有广泛的物理应用，例如在量子力学中，勒让德多项式常常用来描述原子轨道的形状。
在实际问题中，勒让德多项式的正交性质为我们提供了一种简便而有效的数学工具，通过利用勒让德多项式的正交性质，我们可以更加方便地解决各种数学和工程问题。
勒让德多项式作为一类重要的正交函数，在数学和工程领域中具有着广泛的应用。
通过深入研究勒让德多项式的定义、性质、正交关系及其应用，我们可以更好地理解和运用这一类特殊的函数，从而为解决各种实际问题提供更加有效的数学工具。
第13讲 勒让德多项式
4
105 cos
2
50)
勒让德多项式的图形可通过计算机仿真(如MATLAB仿真) 得到
图 6.1
计算 Pl (0) ，这应当等于多项式 Pl (x) 的常数项．
如 l 为 2n 1 （即为奇数）时，则 P2n1(x)
只含奇 数次幂，不含常数项，所以
P2n1 (0) 0
（１.8）
(x)
1 8
(35x4
30x2
3)
1 64
(35 cos
4
20
cos
2
9)
P5
(x)
1 8
(63x5
70
x3
15x)
1 128
(63cos
5
35
cos
3
30
cos
)
P6
(x)
1 16
(231x6
315x4
105x 2
5)
1 512
(231cos
6
126 cos
(
x)
d dx
[(1
x
2
)Pl(
x)]
Pl
(
x)
d dx
[(1
x
2
)Pn(
x)]}dx
1
[n(n 1) l(l 1)] 1Pl (x)Pn (x)dx
因为上面等式左边的积分值为
(1 x2 )[Pn (x)Pl(x) Pl (x)Pn(x)] |11 0
1
所以当 n l 时，必然有 1Pl (x)Pn (x)dx 0
第六章_勒让德多项式
6.1 勒让德方程的引出
引入参数 n n 1 分解整理得
d 2R dR 2 r 2r n n 1 R 0 2 dr dr
欧拉型方程
1 d d 1 d 2 sin d sin 2 2 n n 1 0 sin d
引入参数 分解可得两个常微分方程
" 0
d d sin sin n n 1 sin 2 0 d d
§1 勒让德方程的引出
第一个方程与自然周期条件 2 结合，构成本征值问题
d 2 dR R d d R d 2 r dr r 2 sin d sin d r 2 sin 2 d 2 0 2 r dr
用
r 遍乘各项并移项整理，即得 R
2
1 d 2 dR 1 d d 1 d 2 r dr sin d sin d sin 2 d 2 R dr
k n 1 2
这两个多项式可以统一写成
(2n 2k )! Pn ( x) (1) n x n2 k , n 0,1, 2, 2 k !(n k )!(n 2k )! k 0
k n 2
n 阶勒让德多项式
6. 3 勒让德多项式
0～4阶Legendre多项式为
(2k 2 l )(2k 4 l ) (l )(l 1)(l 2k 1) a2 k a0 (2k )!
6. 2
勒让德方程的求解
(1 l )(l 2) a3 a1 3! (3 l )(l 4) (3 l )(1 l )(l 2)(l 4) a5 a3 a1 54 5!
第六章 勒让德函数
上式为恒等式：在 x 0的邻域内成立，故有 (k 2)(k 1)Ck 2 [k (k 1) l (l 1)]Ck 0
数学物理方法
得系数递推公式：
Ck 2 k (k 1) l (l 1) (k l )(k l 1) Ck Ck (k 2)(k 1) (k 2)(k 1)
数学物理方法
以上只是一般性的论断，并未提供具体求出级数解得方 法，即如何确定常数 1 , 2 , g , ck , d k 。事实上，这些常数的确 定在一般情况下很困难。 但在一定条件下，会出现（1） ， （2）或（3）式中级数没 有负幂项的情形，这样的解称为正则解。 关于正则解，有如下定理：
2.将级数解代入方程，求待定系数。
k 2 k 1 k C k ( k 1) z 2 z C kz C z k k k 0 k 0 k 0 k 0
（1）
数学物理方法
k 2 k 1 k C k ( k 1) z 2 z C kz C z k k k 0 k 0 k 0 k 0
数学物理方法
例：求厄米特方程 w 2 zw w 0 在 z0 0 邻域内的解。
解：1.级数解的形式 由于 p( 程的常点。 级数解具有以下形式：
w( z ) Ck z k
k 0
k 0
改变第一项的求和指标：
k 2 k k ( k 1) C x ( k 2)( k 1) C x k k 2 k 0 k 0
代入（4）式，有：
k {( k 2)( k 1) C [ k ( k 1) l ( l 1)] C } x 0 k 2 k k 0
勒让德多项式
都是原方程的解。 都是原方程的解。当 a0 ≠ 0, a1 ≠ 0 ，则
y1 , y2 线性无关。 线性无关。
得到原方程
d2y dy (1 − x ) 2 − 2 x + n( n + 1) y = 0 dx dx
2
的两个线性无关的解， 的两个线性无关的解，则原方程的通解可表示成如下形式
n( n + 1) 2 n( n − 2)( n + 1)( n + 3) 4 y = a0 1 − x + x + ... 2! 4! ( n − 1)( n + 2) 3 ( n − 1)( n − 3)( n + 2)( n + 4) 5 x + x + ... + a1 x − 3! 5!
3o + k + 2)(c + k + 1)a k + 2 (c − [(c + k )(c + k + 1) − n( n + 1)]a k = 0 k = 0,1,2... （ ）
1o c(c − 1)a0 = 0 a0 ≠ 0
c = 0,1
2o c(c + 1)a1 = 0 设a1 ≠ 0
0
2o c(c + 1)a1 = 0
3o + k + 2)(c + k + 1)a k + 2 (c − [(c + k )(c + k + 1) − n( n + 1)]a k = 0 k = 0,1,2,3,... （ ）
(6.13) (6.14)
1o c(c − 1)a0 = 0
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（19.1.3） ）
称为 令lຫໍສະໝຸດ 阶连带勒让德方程. 连带勒让德方程 l
x = cosθ 和 y(x) =Θ(x)
则方程（ ） x ，则方程（19.1.3）可以化为下列
把自变数从 θ 换为
形式的 l 阶连带勒让德方程
d2 y dy m2 2 (1− x ) 2 −2x + l(l +1 − ) y =0 2 dx dx 1− x
P(1) =1 P(−1) = (−1)l l l
（19.1.13） ）
利用拉普拉斯积分表示 利用拉普拉斯积分表示（19.1.12），还可以证明 拉普拉斯积分表示 还可以证明
P(x) ≤1 ， l
【证明 如从 证明】 证明 ，则
(−1 ≤ x ≤1)
x
（19.1.14） ）
回到原来的变量 θ ， x = cosθ
2
在球坐标系下分离变量后得到欧拉型常微分方程
d2R dR 2 r + 2r −l(l +1 R = 0 ) 2 dr dr
和球谐函数方程
（19.1.1） ）
1 ∂ ∂Y 1 ∂2Y +l(l +1 Y = 0 ) sinθ + 2 2 sinθ ∂θ ∂θ sin θ ∂ϕ
(19.1.2)式的解 Y(θ,ϕ) 与半径 式的解 ，或简称为球函数． 或简称为球函数
因此有
1 d (2l −2k)(2l −2k −1 L(l −2k +1 l−2k ) ) x (x2 −1 l = ∑(−1 k ) ) l l l 2 l!dx 2 k!(l −k)! k=0
l
l [ 2]
(2l −2k)! = ∑(−1 l ) xl−2k = P(x). l 2 k!(l −k)!(l −2k)! k=0
第十九章 勒让德多项式 球函数
19.1 勒让德方程及其解的表示 19.1.1 勒让德方程 勒让德多项式 在分离变量法一章中， 在分离变量法一章中，我们已经知道拉普拉斯方程
1 ∂ 2 ∂u 1 ∂ ∂u 1 ∂u (r )+ 2 (sin θ ) + 2 2 =0 2 2 r ∂r ∂r r sin θ ∂θ ∂θ r sin θ ∂ϕ
ϕ 无关，则 无关，
（19.1.4） ）
若所讨论的问题具有旋转轴对称性， 若所讨论的问题具有旋转轴对称性，即定解问题的解与
m= 0
，即有 （19.1.5）
1 d dΘ ) sinθ +l(l +1 Θ= 0 sinθ dθ dθ
勒让德（ 称为 l 阶勒让德（legendre）方程 ）方程．
（ii） P −1(x) 的零点与 ） n 2. 奇偶性
根据勒让德多项式的定义式， 根据勒让德多项式的定义式，作代换 x →(−x), 容易得到 （19.2.1） ） 为偶函数， 即当 l 为偶数时，勒让德多项式 P(x) 为偶函数， l 为偶数时， P(x) 为奇函数 l l 为奇数时
P(−x) = (−1 l P(x) ) l l
(2l − 2k)! P(x) = ∑(−1) l xl−2k l 2 k!(l − k)!(l − 2k)! k=0
k
l [ ] 2
（19.1.7） ）
式中
l , l 2 [ ]= 2 l −1 , 2
l = 2n l = 2n +1
(n = 0,1 ⋅⋅⋅) ,2,
上式具有多项式的形式， 上式具有多项式的形式，故称
1 1 P(x) = l 2πi 2l
C为
(ξ2 −1 l ) ∫ C (ξ − x)l+1 dx
（19.1.11） ）
点的任一闭合回路， z平面上围绕 z = x点的任一闭合回路，
并取正方向．这叫作勒让德多项式的施列夫利积分表示式． 并取正方向．这叫作勒让德多项式的施列夫利积分表示式． 勒让德多项式的施列夫利积分表示式
P(x) l
为
l
阶勒让德多项式．勒让德多项式也称为第一类勒让德函数． 勒让德多项式 勒让德多项式也称为
勒让德多项式的级数表示． 式（19.1.7）即为勒让德多项式的级数表示． ）即为勒让德多项式的级数表示 故可方便地得出前几个勒让德多项式: 注意到 x = cosθ , 故可方便地得出前几个勒让德多项式
3.勒让德多项式的正交性及其模 勒让德多项式的正交性及其模
,1 不同阶的勒让德多项式在区间 [−1 ] 上满足
∫
其中 当
1
−1
P (x)P(x)dx = Nl2δn,l n l
1 δn,l = 0
1 −1
(19.2.2)
(n = l) (n ≠ l)
(19.2.3)
n ≠ l 时满足∫ P (x)P(x)dx = 0 ， n l
1 π l P(x) = ∫ [ cosθ +isinθ cosψ ] dψ l π 0
l /2 1 π 1 π l 2 2 2 P(x) ≤ ∫ cosθ +isinθ cosψ dψ = ∫ cos θ +sin θ cos ψ dψ l π 0 π 0
l/2 1 π 1 π 2 2 ≤ ∫ cos θ +sin θ dψ = ∫ dψ =1 π 0 π 0
称为正交性． 称为正交性． 相等时可求出其模
Nl =
∫
2 −1 l
1
2 P (x)dx = 2l +1
(l = 0,1 L ,2, )
(19.2.4)
下面给出公式（ ），及其模 下面给出公式（19.2.2），及其模 ），及其模(19.2.4)的证明 的证明 【证明 （1）正交性 证明】 证明 ） 勒让德多项式必然满足勒让德方程， 勒让德多项式必然满足勒让德方程，故有
(x −1 展开 )
2 l
l 1 2 l 1 l l! 1 2 l −k k k x2l−2k (x −1) = l ∑ (x ) (−1) = ∑(−1) l 2l l! 2 l! k=0 (l − k)!k! 2 k!(l − k)! k=0
把上式对x求导 把上式对 求导 l 次．凡是幂次 (2l − 2k) < l 的项在
2 勒让德多项式的微分表示
1 dl P(x) = l (x2 −1 l ) l l 2 l!dx
（19.1.10） ）
上式通常又称为勒让德多项式的罗德里格斯（ 上式通常又称为勒让德多项式的罗德里格斯（Rodrigues） 勒让德多项式的罗德里格斯 ） 表示式． 表示式． 下面证明表达式(19.1.10)和（19.1.7）是相同的． 和 下面证明表达式 ）是相同的． 【证明】 用二项式定理把 证明】
同样若记
θ = arc cosx ， y(x) =Θ x) (
，则上述方程也可写为下列形式的 则上述方程也可写为下列形式的
l
阶勒让德方程
d y 2 d [(1− x ) ] +l(l +1 y = 0 ) dx dx
(19.1.6)
19．1．2 勒让德多项式的表示 ． ． 1. 勒让德多项式的级数表示 我们知道：在自然边界条件下，勒让德方程的解 P(x) 我们知道：在自然边界条件下， l 为
第三篇: 第三篇 勒让德多项式
本篇主要内容： 勒让德多项式及球函数； 本篇主要内容： 勒让德多项式及球函数；贝塞 尔函数和柱函数. 尔函数和柱函数 本篇重点：勒让德多项式和贝塞尔函数. 本篇重点：勒让德多项式和贝塞尔函数 本篇特点：加强了思维能力的训练, 本篇特点：加强了思维能力的训练 以及计算机 仿真绘图在特殊函数中的应用. 仿真绘图在特殊函数中的应用
x2 −1
z=x
iϕ
x −1e
dξ = i x2 −1eiϕdϕ = i(ξ − x)dϕ
ξ2 −1= (x + x2 −1eiϕ )2 −1= (x2 −1)(1+ei2ϕ ) + 2x x2 −1eiϕ
= 2 x2 −1 iϕ (x + x2 −1cosϕ) = 2(ξ − x)(x + x2 −1cosϕ) e
拉普拉斯积分． 式（19.1.11）还可以进一步表为下述拉普拉斯积分． ）还可以进一步表为下述拉普拉斯积分
1 π P(x) = ∫ (x +i 1− x2 cosϕ)l dϕ l π 0
【证明 取 C 为圆周，圆心在 证明】 为圆周， 证明 ．在 C 上有： ξ − x = 上有： 并注意到
2
(19.1.12) ，半径为 半径为
P (x) = 6
1 1 (231x6 −315x4 +105x2 −5)= (231cos6θ +126cos4θ +105cos2θ +50) 16 512
勒让德多项式的图形可通过计算机仿真(如 仿真) 勒让德多项式的图形可通过计算机仿真 如MATLAB仿真 仿真 得到
图 19.1
计算 P(0) ，这应当等于多项式 l 如 l 为
（19.１.2） １ ）
r
无关，故称为球谐函数 无关，故称为球谐函数
球谐函数方程进一步分离变量， 球谐函数方程进一步分离变量，令 得到关于 Θ 的常微分方程
Y(θ,ϕ) =Θ(θ)Φ(ϕ)
1 d dΘ m2 ) sinθ + l(l +1 − 2 Θ= 0 sinθ dθ dθ sin θ
P (x) =1 0
P(x) = x = cosθ 1
1 1 P (x) = (3x2 −1 = (3cos2 +1 ) θ ) 2 2 4
1 1 P (x) = (5x3 −3x) = (5cos3 +3cosθ) θ 3 2 8
1 1 P (x) = (35x4 −30x2 +3) = (35cos4θ + 20cos2θ +9) 4 8 64 1 1 P (x) = (63x5 −70x3 +15x) = (63cos5 +35cos3 +30cosθ) θ θ 5 8 128