排列组合2

排列组合、概率统计难题破解（专题1）

（一） 古典概型与几何概型

1.9支球队任意地分为3组，每组有3支球队。试问：其中,A B 两支球队恰好分在同一组的概率是多少？

推广1：(2,2)mn m n ≥≥个队任意平均分成2组，其中的2个强队恰好分在同一组的概率为11

n p mn -=

-。 推广2：(2,2)mn m n ≥≥个队任意平均分成2组，其中的(2)k k n ≤≤个强队恰好分在同一组的概率为1111

k n k mn A p A ----=。

（二） 互斥与独立

2.已知在某段时间内每个元件不出故障的的概率都是p 。（1）试分析以下两个系统12,N N (如图)的稳定性（即比较它们正常工作的概率）；（2）推广为一般情况，如图所示，每个系统都

有2n 个元件，试分析这两个系统//12,N N 的稳定性，并证明你的结论。

（三）条件概率

3. [2012·湖北卷] 根据以往的经验，某工程施工期间的降水量X (单位：mm)对工期的影响如下表：

0.3,0.7,0.9.求：(1)工期延误天数Y 的均值与方差；

(2)在降水量X 至少是300的条件下，工期延误不超过6天的概率．

（四）二项分布

4. 现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择，为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏．

(1)求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率；

(2)求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率；

(3)用X ，Y 分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记ξ＝|X －Y |，求随机变量ξ的分布列与数学期望Eξ.

5. 东方庄家给游人准备了这样一个游戏，他制作了“迷尼游戏板”：在一块倾斜放置的矩形胶合板上钉着一个形如“等腰三角形”的八行铁钉，钉子之间留有空隙作为通道，自上而下第1行2个铁钉之间有1个空隙，第2行3个铁钉之间有2个空隙，…，第8行9个铁钉之间有8个空隙（如图所示）．东方庄家的游戏规则是：游人在迷尼板上方口放人一球，每玩一次（放入一球就算玩一次）先付给庄家2元．若小球到达①②③④号球槽，分别奖4元、2元、0元、-2元．（一个玻璃球的滚动方式：通过第1行的空隙向下滚动，小球碰到第二行居中的铁钉后以相等的概率滚入第2行的左空隙或右空隙．以后小球按类似

方式继续往下滚动，落入第8行的某一个空隙后，最后掉入迷尼

板下方的相应球槽内）．恰逢周末，某同学看了一个小时，留心

数了数，有80人次玩．试用你学过的知识分析，这一小时内庄

家是赢是赔；通过计算，你想到了什么？

（五）超几何分布

6. [2012·广东卷] 某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图1－4所示，其中成绩分组区间是：[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]．

(1)求图中x 的值；

(2)从成绩不低于80分的学生中随机选取2人，该2人中成绩在90分以上(含90分)的人数记为ξ，求ξ的数学期望．

（六）独立性检测

7.[2012·辽宁卷] 电视传媒公司为了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查．下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图．

将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”．

(1)根据已知条件完成下面的2×2列联表，并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关？

(2)方法每次抽取1名观众，抽取3次．记被抽取的3名观众中的“体育迷”人数为X .若每次抽取的结果是相互独立的，求X 的分布列，期望E (X )和方差D (X )．

附：χ2＝n (n 11n 22－n 12n 21)2

n 1＋n 2＋n ＋1n ＋，

（七）正态分布

8. [2012·课标全国卷] 某一部件由三个电子元件按图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作，设三个电子元件的使用寿命(单位：小时)均服从正态分布N (1000,502)

过1000小时的概率为________．

（八）统计

9.“世界睡眠日”定在每年的3月21日．2009年的世界睡眠日主题是“科学管理睡眠”，以提高公众对健康睡眠的自我管理能力和科学认识．为此某网站2009年3月13日到3月20日持续一周的在线调查，共有200人参加调查，现将数据整理分组如题中表格所示．为了对数据进行分析，采

用了计算机辅助计算．（1）求睡眠小于8的概率是多

少？（2）分析中一部分计算见算法流程图，则输出的

）。

10. [2012·北京卷] 近年来，某市为促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱．为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1 000吨生活垃圾，数据统计如下(单位：吨)：

(1)(2)试估计生活垃圾投放错误的概率；

(3)假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为a ，b ，c ，其中a >0，a ＋b ＋c ＝600.当数据a ，b ，c 的方差s 2最大时，写出a ，b ，c 的值(结论不要求证明)，并求此时s 2的值．

注：s 2＝1n

[(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]，其中x 为数据x 1，x 2，…，x n 的平均数

（九）概率与统计方法

（A ）用树形图解题

11. 甲、乙两人掷骰子赌博，甲、乙各掷一次为一回合，掷骰子的过程按照一个回合一个回合的顺序进行，赢家获得全部赌金。两人约定：到某个回合如果甲累计掷出三个“6点”而乙未掷出三个“4点”，则甲为赢家；反之，如果乙累计掷出三个“4点”而甲未掷出三个“6点”，则乙为赢家；如果甲累计掷出三个“6点”而乙掷出三个“4点”，则这个回合不计，退回到上一个回合的基础上继续掷骰子，直到分出输赢。掷骰子若干次后，甲累计掷出两次“6点”， 乙累计掷出一次“4点”。这时赌博因故不能继续进行，问在这种情况下如何合理分配这些赌金？

12. A 、B 、C 三人进行决斗。A 的射击命中率是三分之一，也就是说如果他努力的话，他平均每三枪可以击中一次；B 的射击命中率是二分之一；C 的射击命中率是一（也就是百分之百）。由于 A 的命中率最低，为公平起见，他们让 A 先射，然后是 B （如果他还活着的话），然后是 C （如果他还活着的话）。再然后是 A ，B ，C ，如此循环下去，直到只有一人活着。每次射击时只能开一枪，但可以选择朝哪里开，也可以选择放空枪。我们的问题是：如果ABC 三人都按照最佳选择行事，也就是说尽可能的提高自己地存活率，谁活下来的可能性最大？准确一点，每个人活下来的概率是多少？

（B ）概率与递推关系

13.（2006年北京春招卷）A,B 两人拿两颗骰子做抛掷游戏，规则如下：若掷出的点数之和是3的倍数，就由对方接着掷。第一次由A 开始掷，设第n 次由A 开始掷的概率为n P ，求n P 的表达式（用n 表示）

（十）综合以上方法

练习1：（2013年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯WORD 版））某高校数学系

计划在周六和周日各举行一次主题不同的心理测试活动,分别由李老师和张老师负责,已知该系共有n 位学生,每次活动均需该系k 位学生参加(n 和k 都是固定的正整数).假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给该系k 位学生,且所发信息都能收到.记该系收到李老师或张老师所发活动通知信息的学生人数为x

(Ⅰ)求该系学生甲收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率;

(Ⅱ)求使()P X m 取得最大值的整数m .