必修一函数概念与基本性质

函数的概念及基本性质

【知识要点】

1. 函数的概念：设A 、B 是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于

集合A 中的任意 一个 数x ，在集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应，那么就称

:f A B →为从集合A 到集合B 的一个函数，记作：()y f x =，x A ∈，其中，自变

量x 的取值范围A 称为函数的定义域；与x 的值对应的y 值得取值范围(){}

f x x A ∈称为函数的值域；

2. 函数的三要素：____________ 、____________、__________________；

3. 函数的三种表示方法：____________ 、____________、__________________；

4. 相同函数需要满足的条件：____________和______________相同就表示同一个函数；

5. 复合函数的概念：设()y f u = ，()u g x = ，设函数()u g x =的定义域为D ，函数()

u g x =的值域为M ，函数()y f u =的值域为N ，则函数()u g x =的值域M 就是函数()y f u =的定义域，当函数()u g x =的自变量x 在定义域D 内变化时，函数()u g x =的值在函数()y f u =的定义域内变化，因此变量x 与变量y 通过中间变量u 形成的一种函数关系，记为

[()]y f g x = 。

6. 分段函数：在定义域内不同部分，函数有不同的解析式，这样的函数称为分段函数。

7. 映射：设A 、B 是两个非空的集合，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任

意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素()f x 和它对应，那么就称:f A B →为从集合A 到集合B 的一个映射。

【知识点1】函数概念的理解

【例1】判断下列对应是否为A 到B 的函数. （1）R A =，{}

0B x x =>，x y x f =→：； （2）Z A =，B Z =，2

x y x f =→：； （3）A Z =，B Z =，x y x f =

→：；

（4）{}

11≤≤-=x x A ，{}0B =，0=→y x f ：.

【例2】设集合M ＝{x |0≤x ≤2}，N ＝{y |0≤y ≤2}，那么下面的4个图形中，能表示集合

M 到集合N 的函数关系的是________．

【练习】下列对应是A 到B 的函数的是（ ）

.A A R =,B R =,对应法则：

f 取倒数 {}

0.>=x x A B ,B R =,对应法则：f 求平方根 {}.0C A x x =>，B R =，3:f x y x x →=+

{}.55D A x x =-≤≤，{}55B y y =-≤≤，22::25f x y x y →+=

【点评】判断一个对应是不是函数，关键看数集A 中的元素x 在数集B 中是否有唯一的元

素y 与之对应，若要否定，只要举一个反例即可. 【知识点2】函数相同

【例3】下列四组函数中，哪组表示同一函数（ ）

()()0

.1A f x x =-与()1g x = 与(

)g x =()2

1.1x C f x x -=+与()211

x

g x x +=+ (

)2

.D f x x

=与(

)2

g t =

【练习】下列各组中的两个函数是一个函数的是（ ）

(

).A f x (

)g x =(

).B f x (

)g x =()(

)2.2x C f x x -=

-与(

)g x =

()29

.3

x D f x x -=

-与()3g x x =+ 【知识点3】映射概念的理解

【例4】设集合{}c b a A ,,=，集合R B =，以下对应关系中，一定能建立从A 到B 的映射

的是（ ）

.A 对A 的数开平方 .B 对A 的数求倒数 .C 对A 的数取算术平方根 .D 对A 的数开立方 【练习】下列对应是否为A 到B 的映射？能否构成函数？

（1）A R =，B R =，1:f x y x

→=

； （2）[)0,A =+∞，B R =，:f x y →，2

2y x =；

（3）{}A =三角形，{}

B =圆，:f 作三角形的内切圆.

【点评】判断一个对应是否为映射，关键看这个对应是否符合任意性与唯一性。 【知识点4】函数的定义域 【例5】求下列函数的定义域. （1）(

)f x =；

（2）()21

56

f x x x =--；

（3）()31

1

x f x x -=-；

（4）.

().B f x x =()()0

2

2f x x x -=-+

【练习】1.求下列函数的定义域

（1）y =； （2）()0

2y x =+-

2.函数()f x =

）

[].2,2A - {}.2,2B - ()

().,22,C -∞-+∞ (][).,22,D -∞-+∞

【点评】目前求函数的几条基本原则是： （1）分式中分母不能为零； （2）偶次根式中被开方数非负； （3）0x 及()

n x n N -*∈的底数0x ≠；

（4）求定义域是在原函数中求，不能随意对函数式进行变形. 【例6】已知函数()f x 的定义域为[]2,3，求函数11f x ⎛⎫

+

⎪⎝⎭

的定义域.

【练习】

（1）已知函数()x f 定义域为[]2,0，则函数()2+x f 的定义域为 . （2）已知函数(

)

1+x f

的定义域为⎪⎭

⎫

⎝⎛9,49，则函数()x f 的定义域为 .

【点评】复合函数中间变量的范围一致. 【知识点5】函数的解析式

【例7】求满足下列各条件的函数()f x 的解析式. （1）()3212

+-=+x x x f ；

（2）22

42x

x x x f +=⎪⎭⎫ ⎝⎛-

；

（3）()()232+=-+x x f x f ；

【练习】求下列各题中函数()y f x =的解析式. （1）(

)

x x x f 84+=+；