线段的中点专题
线段的中点(课件)
活动五：课堂小结
文字 语言
C是线 段AB 的中 点
图形 语言
符号语言
A
C
∵C是线段 ∵C是线段 ∵C是线段 AB的中点， AB的中点， AB的中点， ∴ ∴ AB=2AC B ∴AC=BC.
或 或AB=2BC.
反过来 ∵AC=BC， ∴C是线段 AB的中点.
反过来 ∵ 或 ， ∴C是线段 AB的中点.
4、已知：如图，D是线段AB中点， AB=6， E是线段BC中点,且BC=4，求线 段DE的长？
活动四：拓展提高 思考1：已知：线段AB=10，直线AB上 有一点C，且BC=4，M是线段AC中点， 求线段AM的长 .
思考2：已知一条直线上有A、B、C 三点，线段AB的中点为P，AB=10， 线段BC的中点为Q，BC=6，求线段 PQ的长。
反之推理，仍然成立. ① ∵点C在线段AB上，且 AC =BC ∴C是线段AB中点 ② ∵点C在线段AB上，且AB =2AC 或 AB=2BC ∴C是线段AB中点
③ ∵点C在线段AB上，且AC= AB,或BC = AB ∴C是线段AB中点
1 2 1 2
活动三：基础知识巩固 1、已知：如图，D是线段AB中点， AB=6， 求线段BD的长？
活动二：新知识学习 1、线段中点的定义：
线段上的一点将线段分成相等的两部 分，那么这 个点叫做这条线段的中点. 线段的中点也叫线段的二等分点
概念辨析： 下列不能判断点C是线段AB的中点的是（ ）
A、AC=BC C、AC+BC=AB
B、AB=2AC 1 D、BC= 2 AB
2、线段中点的找法：
（1）在学案上画一条线段AB，以刻度尺为 工具，如何确定线段AB的中点？试试看
线段的中点
与中点有关的线段性质
与中点有关的线段性质线段是平面几何中的基本概念之一，而中点则是线段中的一个重要属性。
本文将着重探讨与中点有关的线段性质。
1. 中点的定义在几何中，中点指的是连接线段两端点的直线上的一个点，该点距离线段两端点的距离相等。
中点被视为线段的折中点，折中线段的长度。
2. 中点的性质2.1 中点将线段分为两个等长的部分根据中点的定义，线段的中点折中了线段的长度，即将线段分为两个等长的部分。
如果在线段AB上有一个点M，且AM=MB，则M为线段AB的中点。
其几何表示可以用如下公式表示：AM = MB = AB/22.2 中点与线段的对称性中点具有线段的对称性。
如果在线段AB的中点为M，则点M同时也是线段BA的中点。
这是因为线段AB和线段BA的长度相等，且具有相同的中点。
3. 中点与线段的重要定理3.1 中点定理中点定理是指在一个三角形中，连接两边中点的线段平行于第三边中点所在的线段，并且长度是第三边长度的一半。
设ABC为一个三角形，D、E、F分别是BC、AC、AB的中点，则有DE∥AB，EF∥BC，DF∥AC，且三条线段长度分别为AB/2、BC/2、AC/2。
3.2 传递性质如果在线段AB的中点为M，在线段CD的中点也为M，则可以推断出线段AB和CD的长度相等。
这是因为根据中点的定义，AM=MB，CM=MD，所以AM+CM=MB+MD，即AC=BD。
4. 中点与平行线段对于平行线段来说，其中点之间也存在一些特殊性质。
4.1 中点连线平行于平行线段如果两个平行线段的中点连线，则该连线与两个平行线段均平行。
设AB和CD为两个平行线段，其中点分别为M和N，连接MN，可以推断出MN∥AB∥CD。
4.2 中点将平行线段分成相等的部分根据中点的定义，中点将线段平分。
同样地，对于平行线段来说，中点也将其平均分成相等的部分。
例如，如果EF与GH为平行线段且其中点分别为P和Q，则EP=FP=GP=GQ=1/4(EF)。
综上所述，中点在线段中起到至关重要的作用。
七年级数学线段中点专题
七年级数学线段中点专题的知识点总结
1.线段的中点定义：如果点M把线段AB分成相等的两部分，即AM=MB，那么点M 叫做线段AB的中点。
2.线段中点的性质：如果点M是线段AB的中点，那么有AM=MB。
3.线段中点定理：如果线段AB的中点是M，那么有AM=MB=21AB。
4.线段中点的计算：如果知道线段AB的长度和点M的位置，可以使用中点定理计算出AM=MB=21AB。
5.线段中点的作法：可以通过以下步骤作出线段的中点：
（1）在已知线段上取一个点，使得该点到线段的一个端点的距离等于线段长度的一半；（2）连接该点到线段的另一个端点；
（3）作该直线的垂线，交线段于一点，该点即为所求的中点。
6.线段中点的应用：线段中点在几何学中有广泛的应用，如三角形、四边形、圆等图形的对称性、垂直平分线的性质等。
以上知识点总结仅供参考，如需更详细、系统的总结，建议查阅七年级数学教材或相关教辅资料。
2024中考数学核心几何模型重点突破专题01 线段的中点模型(含解析)
2024中考数学核心几何模型重点突破专题01线段的中点模型模型分析【理论基础】如图，已知点M 是线段AB 的中点⇒AB BM AM 21==【模型变式1】双中点求和型如图已知点M 是线段AB 上任意一点，点C 是AM 的中点，点D 是BM 的中点⇒AB CD 21=【证明】点C 是AM 的中点，点D 是BM 的中点MB MD AM CM 21,21==∴MD CM CD +=AB MB AM CD 212121=+=∴AB CD 21=∴【模型变式2】双中点求差型如图点M 是线段AB 延长线上任意一点，点C 是线段AM 的中点，点D 是线段BM 的中点⇒AB CD 21=【证明】点C 是线段AM 的中点，点D 是线段BM 的中点MB MD AM CM 21,21==∴MDCM CD -=)(212121MB AM MB AM CD -=-=∴AB CD 21=∴【模型总结】两中点之间的线段，等于原线段的一半。
典例分析【例1】已知线段AB=10cm ，点C 是直线AB 上一点，BC=4cm ，若M 是AC 的中点，N 是BC 的中点，则线段MN 的长度是（）A ．7cm B ．3cm C ．7cm 或3cm D ．5cm【例2】如图，点C 是线段AB 上一点，AC <CB ，M 、N 分别是AB 和CB 的中点，8AC =，5NB =，则线段MN =__________．【例3】如图，已知点,,A B C 在同一直线上，,M N 分别是,AC BC 的中点．（1）若20,8AB BC ==，求MN 的长；（2）若,8AB a BC ==，求MN 的长；（3）若,AB a BC b ==，求MN 的长；（4）从（1）（2）（3）的结果中能得到什么结论？模型演练一、单选题1．（2021·内蒙古·中考真题）已知线段4AB =，在直线AB 上作线段BC ，使得2BC =．若D 是线段AC 的中点，则线段AD 的长为（）A ．1B ．3C ．1或3D ．2或32．点C 在线段AB 上，下列条件中不能确定点C 是线段AB 中点的是（）A ．AC BC =B ．AC BC AB +=C ．2AB AC =D ．12BC AB =3．如图，C 、D 是线段AB 上的两点，且D 是线段AC 的中点．若AB=10cm ，BC=4cm ，则BD 的长为（）A ．6cmB ．7cmC ．8cmD ．9cm4．如图，C ，D 是线段AB 上的两点，E 是AC 的中点，F 是BD 的中点，若EF ＝8，CD ＝4，则AB 的长为（）A ．10B ．12C ．16D ．18二、填空题5．如图，点D 是线段AB 的中点，C 是线段AD 的中点，若AB ＝8cm ，则CD ＝___cm ．6．在直线上取A ，B ，C 三点，使得AB ＝9cm ，BC ＝4cm ，如果O 是线段AC 的中点，则线段OA 的长为_____．7．如图所示，B 、C 是线段AD 上任意两点，M 是AB 的中点，N 是CD 的中点，若MN ＝7cm ，BC ＝3cm ，则AD 的长为_____cm ．8．如图，C ，D 两点将线段AB 分为三部分，AC ∶CD ∶DB ＝3∶4∶5，且AC ＝6．M 是线段AB 的中点，N 是线段DB 的中点．则线段MN 的长为____________．三、解答题9．（2022·安徽·宣城市第六中学一模）如图所示，已知C ，D 是线段AB 上的两个点，点M 、N 分别为AC 、BD 的中点(1)若AB =16cm ，CD =6cm ，求AC +BD 的长和M ，N 的距离；(2)如果AB =m ，CD =n ，用含m ，n 的式子表示MN 的长10．已知线段AB 如图所示，延长AB 至C ，使BC ＝AB ，反向延长AB 至D ，使AD ＝BC ．点M 是CD 的中点，点N 是AD 的中点．(1)依题意补全图形；(2)若AB 长为10，求线段MN 的长度．11．已知点B 、D 在线段AC 上，（1）如图，若20AC =，8AB =，点D 为线段AC 的中点，求线段BD 的长度；（2）如图，若1134BD AB CD ==，AE BE =，13EC =，求线段AC 的长度．12．如图，点C 为线段AB 上一点，AB =30，且AC -BC =10．（1）求线段AC 、BC 的长．（2）点P 从A 点出发，以1个单位/秒的速度在线段AB 上向B 点运动，设运动时间为t 秒（20t <），点D 为线段PB 的中点，点E 为线段PC 的中点，若CD =25DE ，试求点P 运动时间t 的值．（3）若点D 为直线AB 上的一点，线段AD 的中点为E ，且12AD BD CE -=，求线段AD 的长．13．如图，线段AB ＝20，BC ＝15，点M 是AC 的中点．（1）求线段AM 的长度；（2）在CB 上取一点N ，使得CN ：NB ＝2：3．求MN 的长．14．如图，点C 在线段AB 上，8,6AC cm CB cm ==，点,M N 分别是AC BC ，的中点．()1求线段MN 的长;()2若C 为线段AB 上任一点，满足AC CB a +=，其它条件不变，猜想MN 的长度，并说明理由;()3若C 在线段AB 的延长线上，且满足,,AC BC b M N -=分别为AC BC ，的中点，猜想MN 的长度，请画出图形，写出你的结论，并说明理由;()4请用一句简洁的话，描述你发现的结论．参考答案与详细解析典例分析【例1】已知线段AB=10cm ，点C 是直线AB 上一点，BC=4cm ，若M 是AC 的中点，N 是BC 的中点，则线段MN 的长度是（）A ．7cmB ．3cmC ．7cm 或3cmD ．5cm【答案】D【分析】先根据题意画出图形，再利用线段的中点定义求解即可．【解析】解：根据题意画图如下：∵10,4AB cm BC cm ==，M 是AC 的中点，N 是BC 的中点，∴1115222MN MC CN AC BC AB cm =+=+==；∵10,4AB cm BC cm ==，M 是AC 的中点，N 是BC 的中点，∴1115222MN MC CN AC BC AB cm =-=-==．故选：D ．【例2】如图，点C 是线段AB 上一点，AC <CB ，M 、N 分别是AB 和CB 的中点，8AC =，5NB =，则线段MN =__________．【答案】4【分析】根据中点的性质可得BC 的长，根据线段的和差可得AB 的长，根据中点的性质可得BM 的长，再根据线段的和差可得MN 的长．【解析】由N 是CB 的中点，NB =5，得：BC =2NB =10．由线段的和差，得：AB =AC +BC =8+10=18．∵M 是AB 的中点，∴1118922MB AB ==⨯=，由线段的和差，得：MN =MB -NB =9-5=4，故答案为：4.【例3】如图，已知点,,A B C 在同一直线上，,M N 分别是,AC BC 的中点．（1）若20,8AB BC ==，求MN 的长；（2）若,8AB a BC ==，求MN 的长；（3）若,AB a BC b ==，求MN 的长；（4）从（1）（2）（3）的结果中能得到什么结论？【答案】（1）10；（2）12a ；（3）12a ；（4）线段MN 的长度等于线段AB 的一半，与B 点的位置无关.【分析】（1）先求解,AC 再利用中点的含义求解,,MC NC 再利用线段的差可得答案；（2）先利用含a 的代数式,AC 再利用中点的含义，用含a 的代数式,,MC NC 再利用线段的差可得答案；（3）先利用含,a b 的代数式,AC 再利用中点的含义，用含,a b 的代数式,,MC NC 再利用线段的差可得答案；（4）由（1）（2）（3）总结出结论即可.【解析】解：（1）20,8AB BC ==，,M N 分别是,AC BC 的中点，1128,14,4,22AB BC AC MC AC NC BC ∴+======14410.MN MC NC ∴=-=-=（2）,8AB a BC ==，,M N 分别是,AC BC 的中点，1118,4,4,222AB BC AC a MC AC a NC BC ∴+==+==+==1144.22MN MC NC a a ∴=-=+-=（3）,AB a BC b ==，,M N 分别是,AC BC 的中点，11111,,,22222AB BC AC a b MC AC a b NC BC b ∴+==+==+==1111.2222MN MC NC a b b a ∴=-=+-=（4）由（1）（2）（3）的结果中可得：线段MN 的长度等于线段AB 的一半，与B 点的位置无关.模型演练一、单选题1．（2021·内蒙古·中考真题）已知线段4AB =，在直线AB 上作线段BC ，使得2BC =．若D 是线段AC 的中点，则线段AD 的长为（）A ．1B ．3C ．1或3D ．2或3【答案】C【分析】先分C 在AB 上和C 在AB 的延长线上两种情况，分别画出图形，然后运用中点的定义和线段的和差进行计算即可．【解析】解：如图：当C 在AB 上时，AC =AB -BC =2,∴AD =12AC =1如图：当C 在AB 的延长线上时，AC =AB +BC =6,∴AD =12AC =3故选C ．2．点C 在线段AB 上，下列条件中不能确定点C 是线段AB 中点的是（）A ．AC BC=B ．AC BC AB +=C ．2AB AC =D ．12BC AB =【答案】B【分析】根据线段中点的定义，结合选项一一分析，排除答案．显然A 、C 、D 都可以确定点C 是线段AB 中点．【解析】解：A 、AC =BC ，则点C 是线段AB 中点；B 、AC +BC =AB ，则C 可以是线段AB 上任意一点；C 、AB =2AC ，则点C 是线段AB 中点；D 、BC =12AB ，则点C 是线段AB 中点．故选：B ．3．如图，C 、D 是线段AB 上的两点，且D 是线段AC 的中点．若AB=10cm ，BC=4cm ，则BD的长为（）A．6cm B．7cm C．8cm D．9cm 【答案】B【分析】利用线段和的定义和线段中点的意义计算即可．【解析】∵AB=AC+BC，且AB=10，BC=4，∴AC=6，∵D是线段AC的中点，∴AD=DC=12AC=3，∴BD=BC+CD=4+3=7，故选B．4．如图，C，D是线段AB上的两点，E是AC的中点，F是BD的中点，若EF＝8，CD＝4，则AB的长为（）A．10B．12C．16D．18【答案】B【分析】由已知条件可知，EC+FD=EF-CD=8-4=4，又因为E是AC的中点，F是BD的中点，则AE+FB=EC+FD，故AB=AE+FB+EF可求．【解析】解：由题意得，EC+FD=EF-CD=8-4=4，∵E是AC的中点，F是BD的中点，∴AE=EC，BF=DF∴AE+FB=EC+FD=4，∴AB=AE+FB+EF=4+8=12．故选：B．二、填空题5．如图，点D是线段AB的中点，C是线段AD的中点，若AB＝8cm，则CD＝___cm．【答案】2【分析】由点D是线段AB的中点，C是线段AD的中点，可得14CD AB，即可求得答案．【解析】解：∵点D是线段AB的中点，∴12AD AB=，∵C是线段AD的中点，∴12CD AD=，∴1182cm44CD AB==⨯=，故答案为：2．6．在直线上取A，B，C三点，使得AB＝9cm，BC＝4cm，如果O是线段AC的中点，则线段OA的长为_____．【答案】2.5cm或6.5cm【分析】分两种情况：①当点C在线段AB上时，②当点C在线段AB的延长线上时，线求出AC，根据线段中点的定义求出OA．【解析】解：分两种情况：①当点C在线段AB上时，∵AB＝9cm，BC＝4cm，∴AC=AB-BC=9-4=5cm，∵O是线段AC的中点，∴1 2.52OA AC cm==；②当点C在线段AB的延长线上时，∵AB＝9cm，BC＝4cm，∴AC=AB+BC=9+4=13cm，∵O是线段AC的中点，∴1 6.52OA AC cm==；故答案为：2.5cm或6.5cm．7．如图所示，B、C是线段AD上任意两点，M是AB的中点，N是CD的中点，若MN＝7cm，BC＝3cm，则AD的长为_____cm．【答案】11【分析】由已知条件可知，MN＝MB+CN+BC，又因为M是AB的中点，N是CD中点，则AB+CD＝2（MB+CN），故AD＝AB+CD+BC可求．【解析】解：∵MN＝MB+BC+CN，MN＝7cm，BC＝3cm，∴MB+CN＝7﹣3＝4cm，∵M是AB的中点，N是CD的中点，∴AB＝2MB，CD＝2CN，∴AD＝AB+BC+CD＝2（MB+CN）+BC＝2×4+3＝11cm．故答案为：11．8．如图，C，D两点将线段AB分为三部分，AC∶CD∶DB＝3∶4∶5，且AC＝6．M是线段AB的中点，N是线段DB的中点．则线段MN的长为____________．【答案】7【分析】先根据已知条件求出CD，DB的长，再根据中点的定义求出BM，BN的长，进而可求出MN的长．【解析】解：∵AC∶CD∶DB＝3∶4∶5，且AC＝6，∴CD=6÷3×4=8，∴DB=6÷3×5=10，∴AB=6+8+10=24，∵M是线段AB的中点，∴MB=12AB=12×24=12，∵N是线段BD的中点，∴NB=12DB=12×10=5，∵MN=MB-NB，∴MN=12-5=7．故答案为：7．三、解答题9．（2022·安徽·宣城市第六中学一模）如图所示，已知C，D是线段AB上的两个点，点M、N分别为AC、BD的中点(1)若AB=16cm，CD=6cm，求AC+BD的长和M，N的距离；(2)如果AB=m，CD=n，用含m，n的式子表示MN的长【答案】(1)10cm ；11cm ；(2)2m n +．【分析】（1）根据AC +BD =AB -CD 列式进行计算即可求解，根据中点定义求出AM +BN 的长度，再根据MN =AB -（AM +BN ）代入数据进行计算即可求解；（2）根据（1）的求解，把AB 、CD 的长度换成m 、n 即可【解析】(1)∵AB =16cm ，CD =6cm ，∴AC +BD =AB -CD =10cm ，∴MN =AB -（AM +BN ）=AB -12（AC +BD ）=16-5=11（cm ）；(2)∵AB =m ，CD =n ，∴AC +BD =AB -CD =m -n ，∴MN =AB -（AM +BN ）=AB -12（AC +BD ）=m -12（m -n ）=2m n +．10．已知线段AB 如图所示，延长AB 至C ，使BC ＝AB ，反向延长AB 至D ，使AD ＝BC ．点M 是CD 的中点，点N 是AD 的中点．(1)依题意补全图形；(2)若AB 长为10，求线段MN 的长度．【答案】(1)见解析(2)线段MN 的长度为10．【分析】（1）根据题意画出图形；（2）由图，根据线段中点的意义，根据线段的和与差进一步解决问题．【解析】(1)解：补全图形如图所示：；(2)解：由题意知可知AD =AB =BC ，且AB =10，∴AD =AB =BC =10，即CD =30，∵点M 是CD 的中点，点N 是AD 的中点，∴DM =12CD =15，DN =12AD =5，∴MN =DM -DN =10，∴线段MN 的长度为10．11．已知点B 、D 在线段AC 上，（1）如图，若20AC =，8AB =，点D 为线段AC 的中点，求线段BD 的长度；（2）如图，若1134BD AB CD ==，AE BE =，13EC =，求线段AC 的长度．【答案】（1）2；（2）16．【分析】（1）由20AC =，点D 为线段AC 的中点，求得AD=DC=10，由8AB =，可求BD=AD-AB=2；（2）由1134BD AB CD ==，推出34AB BD CD BD ==，，由AE BE =，可用BD 表示3=2AE BE BD =，表示EC=132BD =13，求出2BD =，再求AE=3=可求，AC=AE+EC=16．【解析】（1）∵20AC =，点D 为线段AC 的中点，∴AD=DC=11201022AC =⨯=，∵8AB =，∴BD=AD-AB=10-8=2；（2）∵1134BD AB CD ==，∴34AB BD CD BD ==，，∵AE BE =，∴13=22AE BE AB BD ==，∵EC=313422BE BD DC BD BD BD BD ++=++==13，∴2BD =，∴AE=33=2322BD ⨯=，∴AC=AE+EC=3+13=16．12．如图，点C 为线段AB 上一点，AB =30，且AC -BC =10．（1）求线段AC 、BC 的长．（2）点P 从A 点出发，以1个单位/秒的速度在线段AB 上向B 点运动，设运动时间为t 秒（20t <），点D 为线段PB 的中点，点E 为线段PC 的中点，若CD =25DE ，试求点P 运动时间t 的值．（3）若点D 为直线AB 上的一点，线段AD 的中点为E ，且12AD BD CE -=，求线段AD 的长．【答案】（1）20,10；（2）14t =或6t =；（3）AD 的长为：1609或160.【分析】（1）由30AC BC +=，10AC BC -=，再两式相加，即可得到AC ，再求解BC 即可；（2）以A 为原点画数轴，再利用数轴及数轴上线段的中点知识分别表示,,,,,A C B P D E 对应的数，由CD =25DE ，利用数轴上两点之间的距离公式建立绝对值方程，解方程可得答案；（3）以A 为原点画数轴，分三种情况讨论，当D 在A 的左侧，当D 在线段AB 上，当D 在B 的右侧，利用数轴与数轴上线段的中点知识，结合数轴上两点之间的距离分别表示,,AD BD CE ，再利用1,2AD BD CE -=建立方程，解方程即可得到答案．【解析】解：（1）AB =30，30AC BC ∴+=①又AC -BC =10②，①+②得：240,AC =20AC ∴=，10.BC ∴=（2）如图，以A 为原点画数轴，则,,,,A P C B 对应的数分别为：0,,20,30t ，点D 为线段PB 的中点，D ∴对应的数为：()1130+15,22t t =+点E 为线段PC 的中点，E ∴对应的数为：()1120+10,22t t =+1115205,22CD t t ∴=+-=-11111510151052222DE t t t ⎛⎫=+-+=+--= ⎪⎝⎭，CD =25DE ，1255,25t ∴-=152,2t ∴-=1522t ∴-=或152,2t -=-解得：14t =或6t =．由20t <，经检验：14t =或6t =都符合题意．（3）如图，以A 为原点画数轴，设D 对应的数为m ，当D 在A 的左侧时，AD BD -＜0，12AD BD CE ∴-≠，舍去，当D 在AB 上时，线段AD 的中点为E ，E ∴对应的数为：()110,22m m +=此时E 在AC 上，,30,AD m BD m ∴==-120,2CE m =-1,2AD BD CE -=()113020,22m m m ⎛⎫∴--=- ⎪⎝⎭123010,4m m ∴-=-940,4m ∴=160,9m ∴=1609AD ∴=，当D 在B 的右侧时，如图，同理：,30,AD m BD m ==-120,2CE m =-1,2AD BD CE -=()113020,22m m m ∴--=-12060,2m ∴-=120602m ∴-=或12060,2m -=-解得：80m =-（舍去），160,m =160AD ∴=，综上：AD 的长为：1609或160.13．如图，线段AB ＝20，BC ＝15，点M 是AC 的中点．（1）求线段AM 的长度；（2）在CB 上取一点N ，使得CN ：NB ＝2：3．求MN 的长．【答案】（1）52；（2）172【分析】（1）根据图示知AM ＝12AC ，AC ＝AB ﹣BC ；（2）根据已知条件求得CN ＝6，然后根据图示知MN ＝MC +NC ．【解析】解：（1）线段AB ＝20，BC ＝15，∴AC ＝AB ﹣BC ＝20﹣15＝5．又∵点M 是AC 的中点．∴AM ＝12AC ＝12×5＝52，即线段AM 的长度是52．（2）∵BC ＝15，CN ：NB ＝2：3，∴CN ＝25BC ＝25×15＝6．又∵点M 是AC 的中点，AC ＝5，∴MC ＝12AC ＝52，∴MN ＝MC +NC ＝172，即MN 的长度是172．14．如图，点C 在线段AB 上，8,6AC cm CB cm ==，点,M N 分别是AC BC ，的中点．()1求线段MN 的长;()2若C 为线段AB 上任一点，满足AC CB a +=，其它条件不变，猜想MN 的长度，并说明理由;()3若C 在线段AB 的延长线上，且满足,,AC BC b M N -=分别为AC BC ，的中点，猜想MN 的长度，请画出图形，写出你的结论，并说明理由;()4请用一句简洁的话，描述你发现的结论．【答案】()17cm ；()22aMN =，证明解解析；()32bMN =，证明见解析；()4见解析【分析】()1根据“点M 、N 分别是AC 、BC 的中点”，先求出MC 、CN 的长度，再利用MN CM CN =+即可求出MN 的长度即可；()2当C 为线段AB 上一点，且M ，N 分别是AC ，BC 的中点，则存在12MN a =；()3点在AB 的延长线上时，根据M 、N 分别为AC 、BC 的中点，即可求出MN 的长度；()4根据前面的结果解答即可．【解析】解：()1,M N 分别是,AC BC 的中点，8,6AC cm CB cm ==11,22MC AC CN BC ∴==()12MN MC CN AC BC =+=+Q ()18672MN cm \=+=()22aMN =,M N 分别是,AC BC 的中点11,22MC AC CN BC ∴==又MN MC CN =+Q ()122a MN AC BC ∴=+=()32bMN =∵AC BC b -=，∴C 在点B 的右边，如图示：,M N 分别是,AC BC 的中点，AC BC b -=11,22MC AC NC BC ∴==又NM MC NC =-()122b MN AC BC ∴=-=()4只要满足点C 在线段AB 所在直线上，点M N ，分别是AC BC ，的中点．那么MN 就等于AB 的一半。
【专题复习】与中点有关的图形结构
秦皇岛市第八中学 高爽
环节一：知识回顾
问题１：如图，已知点C是线段AB的中点， 请写出你能想到的结论＿＿＿＿＿＿＿：
A
C
B
环节一：知识回顾
问题２：如图，已知点C是线段AB的中点，直线 l
经过点Ｃ且与线段AB垂直，你能通过适当添加线 段或者点，构造出你熟悉的图形吗？如果能，请 画出图形，并根据你添加的条件写出相应的结论：
环节三：学以致用
3、在正方形ABCD中,点E、F分别为BC和AB的 中点，DE与CF交于点M，连接AM。 求证：AM=AD
A
D
F M
B
E
C
环节四：理念提升
看到中点, 我能想到……
1、等腰三角形中遇到底边上的中点，常联想____________； 2、直角三角形中遇到斜边上的中点，常联想____________； 3、三角形中遇到两边的中点，常联想__________________； 4、两条线段相等，为全等提供条件（遇到两平行线所截得的 线段的中点时，常联想_____________________）； 5、有中点时常构造_____________________； 6、有中点时，常会出现面积的一半（理由：__________）； 7、圆中遇到弦的中点，常联想____________________；
环节四：理念提升
看到中点，我能想到……
1、等腰三角形中遇到底边上的中点，常联想“三线合一” 的性质；
2、直角三角形中遇到斜边上的中点，常联想“斜边上的 中线，等于斜边的一半”；
3、三角形中遇到两边的中点，常联想“三角形的中位线 定理”；
4、两条线段相等，为全等提供条件（遇到两平行线所截 得的线段的中点时，常联想“八字型”全等三角形）；
线段中点问题
线段中点专题一．填空题1．已知线段AB=8cm，点C是直线AB上一点，BC=2cm，若M是AB的中点，N是BC的中点，则线段MN 的长度为2．已知线段AB=7cm，在直线AB上截取BC=2cm，D是AC的中点，则线段BD= ．3．已知线段AB=5cm，在直线AB上截取BC=2cm，则AC= ．4．已知线段AB=12cm，C是直线AB上一点，AC：BC=3：1，则线段AC长为cm．5．已知一条直线上有A、B、C、三点，线段AB的中点为P，AB=10；线段BC的中点为Q，BC=6，则线段PQ的长为．6．已知直线上有A、B、C三点，线段AB=5，线段AC=2，D是线段AC的中点，E为线段BC上的点，且BE=BC，则DE= ．二．解答题（共10小题）7．已知线段AB=16cm，点C是直线AB上一点，BC=3AC，若M是AC的中点，N是BC的中点，求线段MN的长．8．如图，已知线段a，b，用尺规作一条线段AB，使AB=2a﹣b（不写作法，保留作图痕迹）．9．如图所示，点C在线段AB上，AC=8cm，CB=6cm，点M、N分别是AC、BC的中点．（1）求线段MN的长．（2）若C为线段AB上任意一点，满足AC+CB=a cm，其他条件不变，你能猜想出MN的长度吗并说明理由．（3）若C在线段AB的延长线上，且满足AC﹣CB=b cm，M、N分别为AC、BC的中点，你能猜想出MN的长度吗请画出图形，写出你的结论，并说明理由．10．如图，已知B、C两点把线段AD分成2：4：3的三部分，M是AD的中点，若CD=6，求：（1）线段MC的长．（2）AB：BM的值．11．画线段MN=3cm，在线段MN上取一点Q，使MQ=NQ，延长线段MN至点A，使AN=MN；延长线段NM至点B，使BN=3BM，根据所画图形计算：（1）线段BM的长度；（2）线段AN的长度；（3）试说明Q是哪些线段的中点图中共有多少条线段它们分别是13．如图，已知线段AB=3cm，延长线段AB到C，使BC=2AB．（1）线段AC的长为；（2）若点D为AC上的一点，且AD比DC短1cm．①求线段AD的长；②若点E是BC的中点，求线段DE的长．14．（1）已知：如图，点C在线段AB上，且AC=6cm，BC=14cm，点M、N分别是AC、BC的中点，求线段MN的长度．（2）在（1）中如果AC=acm，BC=bcm，其他条件不变，你能猜出MN的长度吗请用一个代数式表述你发现的结果，并说明理由（3）如果将（1）题的叙述改为：“已知线段AC=6cm，BC=14cm，点C在直线AB上，点M、N分别是AC，BC的中点，求线段MN的长度．”结果会有变化吗如果有，求出结果．15．如图所示，若AB=4cm，延长AB到C，使BC=3cm．如果点D是线段AB的中点，点E是线段AC 的中点，求线段DE的长；16．A、B两点在数轴上的位置如图，现A、B两点分别以1个单位/秒、4个单位/秒的速度同时向左运动．（1）几秒后，原点恰好在两点正中间（2）几秒后，恰好有OA：OB=1：217、如图，已知点A、B、C、D、E在同一直线上，且AC=BD，E是线段BC的中点。
小专题( 七 ) 巧解有关线段的中点问题
小专题( 七 ) 巧解有关线段的中点问题线段的中点把线段分成相等的两部分,因此在解决与线段中点有关的计算题时,利用线段的中点可以得到线段相等或有倍数关系的等式来辅助计算,再结合有关数学思想来解决问题.类型1 方程思想1.如图,点C 在线段AB 上,E ,F 分别是AB ,AC 的中点.若BC=4,求EF 的长.解:设CE=x ,则BE=x+4,因为E 是AB 的中点,所以AE=BE=x+4. 因为AC=AE+CE=2x+4,F 是AC 的中点, 所以CF=12AC=x+2,所以EF=CF-CE=x+2-x=2.2.如图,已知线段AB 和CD 的公共部分BC=13AB=13CD ,M ,N 分别为线段AB ,CD 的中点.若MN=14,求线段AB 的长.解:设BC=x ,则AB=CD=3x ,因为M ,N 分别为AB ,CD 的中点,所以BM=CN=32x.又MN=BM+CN-BC ,即32x+32x-x=14,解得x=7,所以AB=3x=21.3.已知A ,M ,N ,B 依次为一条直线上的4个点,若AM ∶MN=5∶2,NB-AM=12,AB=24,求线段BM 的长.解:设AM=5x ,MN=2x ,则NB=12+5x , 所以5x+2x+( 12+5x )=24,解得x=1, 所以BM=AB-AM=24-5=19.4.线段AD 被点B ,C 分成了2∶3∶4三部分,M 是线段AD 的中点.若MC=2,求线段AD 的长. 解:设AB=2x ,则BC=3x ,CD=4x ,线段AD 的长为2x+3x+4x=9x ,因为M 是线段AD 的中点,所以MD=12AD=4.5x.因为CD=4x ,MC=2,所以MC=MD-CD=4.5x-4x=0.5x=2,解得x=4, 所以AD=9x=9×4=36.5.如图,点B ,D 在线段AC 上,BD=13AB=14CD ,线段AB ,CD 的中点E ,F 之间的距离是10 cm,求线段AB 的长.解:设BD=x ,则AB=3x ,CD=4x.所以AD=AB-BD=2x ,AC=AD+CD=2x+4x=6x. 因为E ,F 分别是线段AB ,CD 的中点, 所以AE=12AB=32x ,FC=12CD=2x ,所以EF=AC-AE-FC=6x-32x-2x=10,解得x=4, 所以AB=3x=12 cm .类型2 分类讨论思想6.已知线段AB=12 cm,直线AB 上有一点C ,且BC=2 cm,D 是线段AB 的中点,求线段CD 的长. 解:因为D 是线段AB 的中点,所以BD=12AB=6 cm .①当点C 在线段AB 的延长线上时,CD=BD+BC=8 cm; ②当点C 在线段AB 上时,CD=BD-BC=4 cm .综上,线段CD 的长为4 cm 或8 cm .7.在一条直线上顺次取A ,B ,C 三点,已知AB=5 cm,O 是线段AC 的中点,且OB=1.5 cm,求线段BC 的长.解:①若点O 在线段BC 上,则OC=OA=AB+OB=6.5 cm, 所以BC=OB+OC=8 cm;②若点O 在线段AB 上,则OC=OA=AB-OB=3.5 cm, 所以BC=OC-OB=2 cm .综上,线段BC 的长为2 cm 或8 cm .8.如图,已知AB=14,C ,D 是线段AB 上的两个点,且满足AC ∶CD ∶DB=1∶2∶4,M 是线段AC 的中点.( 1 )若N 是线段CB 的中点,求线段MN 的长度;( 2 )若N 是线段AB 上一点,满足DN=1DB ,求线段MN 的长度. 解:( 1 )设AC=x ,则CD=2x ,DB=4x. 所以x+2x+4x=14,解得x=2,所以AC=2,CD=4,DB=8,CB=12.因为M 是线段AC 的中点,所以MC=12AC=1. 因为N 是线段CB 的中点,所以CN=12CB=6. 所以MN=MC+CN=1+6=7.( 2 )因为DB=8,DN=14DB ,所以DN=14×8=2.分以下两种情况:①当点N 在线段CD 上时,MN=MC+CD-DN=1+4-2=3; ②当点N 在线段DB 上时,MN=MC+CD+DN=1+4+2=7. 综上所述,线段MN 的长度为3或7.9.如图,C 是线段AB 的中点.( 1 )若点D 在线段CB 上,且DB=3.5 cm,AD=6.5 cm,求线段CD 的长度;( 2 )若将( 1 )中的“点D 在线段CB 上”改为“点D 在直线CB 上”,其他条件不变,请画出相应的示意图,并求出此时线段CD 的长度;( 3 )若线段AB=12 cm,点C 在AB 上,且D ,E 分别是AC 和BC 的中点. ①当C 恰是AB 的中点时,则DE= 6 cm; ②当AC=4 cm 时,求DE 的长;③当点C 在线段AB 上运动时( 点C 与A ,B 重合除外 ),求DE 的长. 解:( 1 )因为DB=3.5 cm,AD=6.5 cm,所以AB=10 cm . 因为C 为AB 的中点,所以CB=5 cm, 所以CD=5-3.5=1.5 cm .( 2 )①点D 在线段BC 上,CD=1.5 cm, ②如图,点D 在CB 的延长线上,则AB=AD-DB=3.所以BC=1.5,所以DC=1.5+3.5=5. ( 3 )②DE=6 cm .③设AC=x cm,则BC=( 12-x )cm, 又因为D ,E 分别为AC ,BC 的中点, 所以CD=x 2,CE=12-x2, 所以DE=CD+CE=x2+12-x2=6 cm .类型3 整体思想10.如图,C,D是线段AB上的任意两点,M是AC的中点,N是BD的中点.若CD=2,MN=8,求AB 的长.解:因为M是AC的中点,N是BD的中点,所以AC=2MC,BD=2DN.因为CD=2,MN=8,MN=MC+CD+DN,所以2+MC+DN=8,即MC+DN=6,所以AB=AC+CD+DB=2MC+CD+2DN=2( MC+DN)+2=2×6+2=14.11.如图,C,D是线段AB上任意两点,E是线段AC的中点,F是线段BD的中点.若EF=a,CD=b,求AB的长.解:因为E是AC中点,F是BD中点,所以AE=EC,DF=FB,又因为EF=a,CD=b,所以EC+DF=EF-CD=a-b,所以AE+FB=EC+DF=a-b,所以AB=AE+EF+FB=( AE+FB)+EF=a-b+a=2a-b.类型4动态思想12.如图,在数轴上有A,B,C,D四个点,且线段AB=4,CD=6,已知点A表示的数是-10,点C表示的数是8,若线段AB以每秒6个单位长度的速度,线段CD以每秒2个单位长度的速度在数轴上运动( A在B的左侧,C在D的左侧).( 1 )B,D两点所表示的数分别是-6,14.( 2 )若线段AB向右运动,同时线段CD向左运动,经过多少秒时,BC=2?( 3 )若线段AB,CD同时向右运动,同时点P从原点出发以每秒1个单位长度的速度向右运动,经过多少秒时,点P到点A,C的距离相等?解:( 2 )①当点B在点C左边时,得6t+2t+2=14,解得t=1.5;②当点B在点C右边时,得6t+2t-2=14,解得t=2.综上,经过1.5秒或2秒时,BC=2.( 3 )①当P是线段AC的中点时,.根据题意得2t+8-t=t-( 6t-10 ),解得t=13②当点A与点C重合时,根据题意得2t+8-t=( 6t-10 )-t,解得t=9,2综上,经过13秒或92秒时,点P 到点A ,C 的距离相等.13.如图,已知数轴上有三点A ,B ,C ,它们对应的数分别为a ,b ,c ,且c-b=b-a ,点C 对应的数是20.( 1 )若BC=30,求a ,b 的值.( 2 )如图2,在( 1 )的条件下,动点P ,Q 分别从A ,C 两点同时出发向左运动,同时动点R 从B 点出发向右运动,点P ,R ,Q 的速度分别为8个单位长度/秒、4个单位长度/秒、2个单位长度/秒,M 为PR 的中点,N 为RQ 的中点,在R ,Q 相遇前,多少秒时恰好满足MR=4RN ?( 3 )如图3,在( 1 )的条件下,O 为原点,动点P ,Q 分别从A ,C 同时出发,P 向左运动,Q 向右运动,P 点的运动速度为8个单位长度/秒,Q 点的运动速度为4个单位长度/秒,N 为OP 的中点,M 为BQ 的中点,在P ,Q 运动的过程中,PQ-2MN 的值是否发生变化?若不变,求其值;若变化,请说明理由.解:( 1 )a=-40,b=-10.( 2 )由( 1 )可得AB=BC=30.设x 秒时,Q 在R 右边,恰好满足MR=4RN. 因为MR=12( 8x+4x+30 ),RN=12( 30-4x-2x ),所以当MR=4RN 时,12( 8x+4x+30 )=4×12( 30-4x-2x ),解得x=2.5, 所以R ,Q 相遇前,2.5秒时恰好满足MR=4RN. ( 3 )设运动的时间为t ,则AP=8t ,CQ=4t. 由( 1 )可得AB=BC=30,点C 表示20, 所以AO=40,AC=60,BO=10,所以PQ=AP+AC+CQ=8t+60+4t=60+12t. 因为N 为OP 的中点,M 为BQ 的中点, 所以NO=12OP ,BM=12BQ ,所以MN=NO+MB-OB=1OP+1BQ-OB=1( 40+8t )+1( 30+4t )-10=25+6t , 所以PQ-2MN=( 60+12t )-2( 25+6t )=10, 即PQ-2MN 的值不发生变化,是定值10.。
【中考专题】中点模型（通关篇）—三种方法
【中考专题】中点模型（通关篇）—三种⽅法以微课堂⾼中版奥数国家级教练与四位⾼中特级教师联⼿打造，⾼中精品微课堂。
35篇原创内容公众号线段中点是⼏何部分⼀个⾮常重要的概念，和后⾯学习的中线，中位线等概念有着密切的联系.在⼏何证明题中也屡次出现.那么，如果在题中遇到中点你会想到什么？等腰三⾓形三线合⼀；直⾓三⾓形斜边上的中线等于斜边的⼀半；还是中位线定理？今天我们重点探究“倍长中线”法以及平⾏线间夹中点，延长中线交平⾏的应⽤。
建⽴模型模型⼀倍长中线如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线.当题中出现中线时，我们经常根据需要将AD延长，使延长部分和中线相等，这种⽅法叫做“倍长中线”.如下图：此时，易证△ACD≌EDB，进⽽得到AC=BE且AC//BE.模型⼆平⾏线夹中点如图，AB//CD，点E是BC的中点.可延长DE交AB于点F.平⾏线间夹中点.处理这种情况的⼀般⽅法是：延长过中点的线段和平⾏线我们把这种情况叫做平⾏线间夹中点相交.即“延长中线交平⾏”此时，易证△BEF≌△CED模型三中位线如图，在△ABC中，点D是AB边的中点.可作另⼀边AC的中点，构造三⾓形中位线.如下图所⽰：由中位线的性质可得，DE//BC且DE=1/2BC.模型运⽤例1、如图，在平⾏四边形ABCD中，AD=2AB，点E是BC边的中点.连接AE，DE.求∠AED的度数.分析：本题的证明⽅法有很多，⽐如利⽤“双平等腰”模型等（前⽂已对这种做法做过讲解，不再赘述.链接：课本例题引出的基本图形——双平等腰模型），这⾥主要讲⼀下平⾏线间夹中点的做法.根据平⾏四边形的性质可知，AB//CD，⼜点E是BC中点，构成了平⾏线间夹中点.当题中出现这些条件时，只需将AE延长和DC的延长线相交，就⼀定会得到全等三⾓形，进⽽得到我们需要的结果.证明：如图，延长AE交DC的延长线于点F.∵四边形ABCD是平⾏四边形∴AB//CD，即AB//DF∴∠BAE=∠CFE，∠B=∠FCE⼜∵点E是BC中点∴BE=CE∴△ABE≌△FCE∴CF=AB=CD，AE=FE∴DF=2CD, ⼜∵AD=2CD∴AD=DF,⼜因为点E是AF的中点∴DE⊥AF即∠AED=90°.反思：对于本题，还可以延长AE⾄点F使EF=AE，连接CF.通过证明△ABE≌△FCE得到AB//CF,利⽤经过直线外⼀点有且只有⼀条直线与已知直线平⾏，得到D、C、F三点共线.再证明△DAF 是等腰三⾓形，利⽤等腰三⾓形三线合⼀得到结论.对于第⼆种⽅法，同学们可以⾃⼰尝试.例2、在△ABC中，AB=AC，点F是BC延长线上⼀点，以CF为边，作菱形CDEF，使菱形CDEF与点A在BC的同侧，连接BE，点G是BE的中点，连接AG、DG．（1）如图①，当∠BAC=∠DCF=90°时，直接写出AG与DG的位置和数量关系；（2）如图②，当∠BAC=∠DCF=60°时，试探究AG与DG的位置和数量关系，（3）当∠BAC=∠DCF=α时，直接写出AG与DG的数量关系．分析：由题可知，DE//BF，且点G是BE的中点，满⾜平⾏线间夹中点，所以可将DG延长与BF 相交.证明：（1）AG=DG，且AG⊥DG.如图，延长DG交BF于点H，连接AH，AD.∵四边形CDEF是正⽅形，∴DE//CF即DE//BC∴∠GBH=∠GED，∠GHB=∠GDF⼜∵点G是BF的中点∴GB=GF∴△GBH≌△GDF(AAS)∴GD=GH，BH=DF∵DE=DC，∴BH=CD因为△ABC是等腰直⾓三⾓形∴AB=AC,∠ACD=180°-45°-90°=45°=∠ABC∴△ABH≌△ACD∴AH=AD，∠BAH=∠CAD∴∠DAH=∠CAD+∠CAH=∠BAH+∠CAH=∠BAC=90°∴△DAH是等腰直⾓三⾓形，⼜∵点G是DH的中点∴AG=DG且AG⊥DG.反思：若将正⽅形绕点C旋转任意⾓度，在旋转的过程中，上述结论还成⽴吗？试试看动画链接：/svg.html#posts/16428（选择复制并打开，可操作演⽰动画效果）(2)AG⊥DG，AG=√3DG如图，延长DG交BF于点H，连接AH，AD.∵四边形CDEF是菱形，∴DE//CF即DE//BC∴∠GBH=∠GED，∠GHB=∠GDF⼜∵点G是BF的中点∴GB=GF∴△GBH≌△GDF(AAS)∴GD=GH，BH=DF∵DE=DC，∴BH=CD因为△ABC是等边三⾓形∴AB=AC,∠ACD=180°-60°-60°=60°=∠ABC∴△ABH≌△ACD∴AH=AD，∠BAH=∠CAD∴∠DAH=∠CAD+∠CAH=∠BAH+∠CAH=∠BAC=60°∴△DAH是等边三⾓形，⼜∵点G是DH的中点∴AG⊥DG.∠DAG=1/2∠DAH=30°∴AG=√3DG动画链接：/svg.html#posts/16429（选择复制并打开，可操作演⽰动画效果）（3）AG⊥DG，DG=AG×tan(α/2)证明：延长DG与BC交于H，连接AH、AD，∵四边形CDEF是菱形，∴DE=DC，DE∥CF，∴∠GBH=∠GED，∠GHB=∠GDE，∵G是BE的中点，∴BG=EG，∴△BGH≌△EGD（AAS），∴BH=ED，HG=DG，∴BH=DC，∵AB=AC，∠BAC=∠DCF=α，∴∠ABC=90°﹣α/2，∠ACD=90°﹣α/2，∴∠ABC=∠ACD，∴△ABH≌△ACD（SAS），∴∠BAH=∠CAD，AH=AD，∴∠BAC=∠HAD=α；∴AG⊥HD，∠HAG=∠DAG=α/2，∴tan∠DAG=tan(α/2)，∴DG=AGtan（α/2）．动画链接：/svg.html#posts/16430（选择复制并打开，可操作演⽰动画效果）反思：在本题的证明中，我们结合题⽬中给出的平⾏线间夹中点这⼀条件，将DG进⾏延长和BC相交，通过全等使问题得证.对于本题我们也可以采⽤倍长中线法进⾏证明.下⾯⽤倍长中线法对第⼀种情况加以证明.证明：如图，延长AG⾄点H，使GH=AG.连接EH，AD，DH.在△ABG和△HEG中BG=EG,∠AGB=∠HGE，AG=HG∴△ABG≌△HEG∴AB=HE，∠ABG=∠HEG∵AB=AC∴AC=HE∵DE//BC∴∠DEG=∠EBC∴∠HED=∠HEB+∠DEG=∠ABG+∠EBC=∠ABC=45°⼜∠ACD=180°-45°-90°=45°∴∠ACD=∠HED在△ACD和△HED中AC=HE，∠ACD=∠HED，DC=DE∴△ACD≌△HEDDA=DH，∠ADC=∠HDE∴∠ADC-∠HDC=∠HDE-∠HDC即∠ADH=∠CDE=90°所以△ADH是等腰直⾓三⾓形⼜因为点G是AH的中点所以DG=AG，DG⊥AG.上⾯我们⽤倍长中线证明了第⼀种情况，请你对第⼆三问加以证明.反思：在本题的证明过程中，容易犯的⼀个错误是，许多同学看到HE经过点C，就说∠HED=45°.⽽这⼀结论是需要证明的.⼩试⾝⼿如图1，在正⽅形ABCD的边AB上任取⼀点E，作EF⊥AB交BD于点F，取FD的中点G，连接EG、CG.易证：EG=CG且EG⊥CG.（1）将△BEF绕点B逆时针旋转90°，如图2所⽰，则线段EG和CG有怎样的数量和位置关系？请直接写出你的猜想.（2）将△BEF绕点B逆时针旋转180°，如图3所⽰，则线段EG和CG⼜有怎样的数量和位置关系？请写出你的猜想，并加以证明.（3）将△BEF绕点B旋转⼀个任意⾓度α，如图4所⽰，则线段EG和CG有怎样的数量和位置关系？请直接写出结论.前两问较简单，请同学们⾃⾏完成，这⾥只给出第三问的⼏种解法，仅供⼤家参考.解法⼀：如图，延长EG⾄点H，使GH=EG.连接DH，CE，CH.因为点G是DF的中点，所以GF=GD.根据SAS易证△GEF≌△GHDEF=HD且∠GEF=∠GHD，所以EF//DH.分别延长HD与EB交于点K，HD的延长线交BC于点M.如下图：因为EB⊥EF，⽽EF//DH，所以EK⊥HK，即∠BKM=∠MCD=90°.⼜∠BMK=∠CMD.根据三⾓形的内⾓和，可得∠KBM=∠MDC.所以∠EBC=∠HDC.⼜EB=HD，BC=DC所以△EBC≌△HDC.所以CE=CB且∠ECB=∠HCD.所以∠ECB=90°，即△BCE是等腰直⾓三⾓形，⼜因为点G是斜边EB的中点，所以CG⊥GE且CG=GE.⽹址链接：/svg.html#posts/16284（选中并打开⽹址看动态图）解法⼆：如图，延长CG⾄点N，是GN=CG.连接FN，EN，EC.以下过程可参照解法⼀⾃⾏完成解法三：延长FE⾄点P使得EP=EF，连接BP；延长DC⾄点Q，使得CQ=CD，连接BQ.连接FQ，DP。
巧用线段中点(或分点)的有关计算
(2)几秒后，恰好有OA:OB＝1:2? 设运动时间为t s. ①B与A相遇前：12－4t＝2(t＋3)，即t＝1； ②B与A相遇后：4t－12＝2(t＋3)，即t＝9. 答：1 s或9 s后，恰好有OA:OB＝1:2.
度吗？请画出图形，写出你的结论，并说明理由．
如图所示．
MN＝
1 2
b
cm.理由如下：
因为点M，N分别是AC，BC的中点，
所以MC＝
1 2
AC，NC＝
1 2
BC，
所以MN＝MC－NC＝ 1 AC－ 1 BC
2
2
＝
1 2
(AC－BC)＝
1 2
b
cm.
返回
题型3 与线段中点有关的操作题
3． (1)如图，已知点C在线段AB上，线段AB＝12，点M，
因为M为AB的中点，
所以MB＝
1 2
AB＝
1 2
×20＝10(cm)．
因为N为BC的中点，
所以BN＝
1 2
BC＝
12×8＝4(cm)．
所以MN＝MB－BN＝10－4＝6(cm)．
②当点C在线段AB的延长线上时，如图②所示．
因为M为AB的中点，
所以MB＝
1 2
AB＝
1 2
×20＝10(cm)．
因为N为BC的中点，
返回
题型1 与线段分点有关的计算(设参法)
4．如图，B，C两点把线段AD分成2:4:3三部分，M是 AD的中点，CD＝6 cm，求线段MC的长．
解：设AB＝2k cm，
则BC＝4k cm，CD＝3k cm，AD＝2k＋4k＋3k＝9k(cm)．
北师大专题17 线段中点或角的计数问题含答案
专题17 线段中点或角的计数问题一、线段中点问题1. 如图，点C为线段AB上一点，AC=8cm，CB=6cm，点M、N分别是AC、BC的中点．（1）求线段MN的长；（2）若AC+BC=acm，其他条件不变，直接写出线段MN的长为．【答案】（1）7cm；（2）12a cm．【解析】【分析】（1）根据线段中点的性质（可得CM（CN的长（根据线段的和差（可得答案（（2）根据线段中点的性质（可得CM（CN的长（根据线段的和差（可得答案（【详解】（1（∵点M（N分别是AC（BC的中点（AC=8（CB=6（∴CM=12AC=12×8=4（CN=12BC=12×6=3（∴MN=CM+CN=4+3=7cm（（2（∵点M（N分别是AC（BC的中点（∴CM=12AC（CN=12BC（∴MN=CM+CN=1 2AC+12BC=12（AC+BC（=12AB=12a（cm（（故答案为12a cm（【点睛】本题考查了两点间的距离（连接两点间的线段的长度叫两点间的距离（2. 画线段MN=3㎝，在线段MN上取一点Q，使MQ=NQ，延长线段MN至点A，使AN=MN；延长线段NM至点B，使BN=3BM，根据所画图形计算：（1）线段BM的长度；（2）线段AN的长度；（3）试说明Q是哪些线段的中点？图中共有多少条线段？它们分别是？【答案】（1）1.5㎝；（2）1.5㎝；（3）由图可知，BM=MQ=NQ=NA所以Q既是线段MN的中点，也是线段AB的中点．图中共有10条线段，它们分别是：BM、BQ、BN、BA、MQ、MN、MA、QN、QA、NA.【解析】【分析】先根据题意画出几何图形（1）根据BN=3BM可得到MN=2BM，而MN=3cm，即可得到线段BM的长；（2）根据AN=12MN即可得到线段AN的长；（3）由（1）与（2）得到BM=MQ=NQ=NA，即QB=QA，QM=QN，则点Q是线段MN的中点，也是线段AB的中点；图形中共有BM、BQ、BN、BA、MQ、MN、MA、QN、QA、NA10条线段．【详解】如图所示：（1）（MN=3cm，BN=3BM，（BM=12MN=12×3=1.5（cm ）；（2）（MN=3cm，AN=12 MN（AN=1.5cm；（3）由图可知，BM=MQ=NQ=NA，（QB=QA，QM=QN，（点Q既是线段MN的中点，也是线段AB的中点；图中共有10条线段，它们分别是：BM、BQ、BN、BA、MQ、MN、MA、QN、QA、NA．【点睛】本题考查了两点间的距离、射线与线段的定义，解题的关键是熟记两点间的距离的定义：两点的连线段的长叫两点间的距离．二、线段分点问题3. 如图，B，C两点把线段AD分成2∶4∶3的三部分，M是线段AD的中点，CD ＝6 cm，求线段MC的长．【答案】3cm【解析】【分析】设AB=2x，BC=4x，CD=3x，再根据CD=6cm求出x的值，故可得出线段AD的长度，再根据M是AD的中点可求出MD的长，由MC=MD-CD即可得出结论．【详解】解：∵B，C两点把线段AD分成2：4：3三部分，∴设AB=2x，BC=4x，CD=3x，∵CD=6cm，即3x=6cm，解得x=2cm，∴AD=2x+4x+3x=9x=9×2=18cm，∵M是AD的中点，∴MD=12AD=12×18=9cm，∴MC=MD-CD=9-6=3cm．【点睛】本题考查的是两点间的距离，在解答此类问题时要注意各线段之间的和、差及倍数关系．4. A，B两点在数轴上的位置如图所示，O为原点，现A，B两点分别以1个单位长度/秒的速度同时向左运动．（1）几秒后，原点恰好在A，B两点正中间？（2）几秒后，恰好有OA：OB=1：2.【答案】（1）95（1.8）秒；（2）1或9秒.【解析】【分析】（1）根据原点恰好在两点正中间，分别表示出原点两旁的长度求出即可；（2）利用①B与A相遇前，②B与A相遇后分别表示出线段长度得出等式即可．【详解】（1）设运动时间为x秒，根据题意得出：x+3=12-4x，解得：x=1.8，答：1.8秒后，原点恰好在两点正中间；（2）设运动时间为x秒，分两种情况：①B与A相遇前：12-4x=2（x+3），解得：x=1，②B与A相遇后：4x-12=2（x+3），解得：x=9，答：1秒或9秒后，恰好有OA：OB=1：2．【点睛】此题主要考查了一元一次方程的应用，利用分类讨论得出是解题关键．三、线段条数的计数问题5. 先阅读文字，再解答问题．如图，在一条直线上取两点，可以得到1条线段，在一条直线上取三点可以得到3条线段，其中以A 1为端点的向右的线段有2条，以A 2为端点的向右的线段有1条，所以共有2＋1＝3(条)．(1)在一条直线上取四个点，以A 1为端点的向右的线段有______条，以A 2为端点的向右的线段有______条，以A 3为端点的向右的线段有______条，共有______＋______＋______＝______(条)．(2)在一条直线上取五个点，以A 1为端点的向右的线段有______条，以A 2为端点的向右的线段有________条，以A 3为端点的向右的线段有________条，以A 4为端点的向右的线段有______条，共有________＋________＋________＋________＝______(条)．(3)在一条直线上取n 个点(n≥2)，共有________条线段．(4)乘火车从A 站出发，沿途经过5个车站方可到达B 站，那么A ，B 两站之间最多有多少种不同的票价？需要安排多少种不同的车票？(只考虑硬座情况) 【答案】（1）3；2；1；3；2；1；6；（2）4；3；2；1；4；3；2；1；10；（3）(1)2n n -；（4）21种；42种 【解析】【分析】（1）分别找出以A 1，A 2，A 3为端点向右的线段数，再求和即可得到结论； （2）分别找出以A 1，A 2，A 3，A 4为端点向右的线段数，再求和即可得到结论； （3）由前面的规律可看出，当直线上有n 个点时，线段总数为(1)2n n -； （4）画出图形，结合图形，表示出线段的条数，就可以知道车票的种数，从而可得结论．【详解】解：(1)在一条直线上取四个点，如图以A 1为端点的向右的线段有12A A ，13A A ，41A A 共3条，以A 2为端点的向右的线段有23A A ，24A A 共2条，以A 3为端点的向右的线段有34A A ，1条，共有3＋2＋1＝6(条)．(2)在一条直线上取五个点，如图，以A 1为端点的向右的线段有12A A ，13A A ，41A A ，15A A 共4条，以A 2为端点的向右的线段有23A A ，24A A ，25A A 共3条，以A 3为端点的向右的线段有34A A ，35A A ，共2条，以A 4为端点的向右的线段有45A A ，1条，共有4＋3＋2＋1＝10(条)．(3)在一条直线上取n 个点(n≥2)，共有(1)2n n -条线段． (4)从A 站出发，沿途经过5个车站到达B 站，类似于一条直线上有7个点，如图，此时共有线段7(71)2⨯-＝21(条)，即A ，B 两站之间最多有21种不同的票价．因为来往两站的车票起点与终点不同，所以A ，B 两站之间需要安排21×2＝42(种)不同的车票．【点睛】此题主要考查学生数线段条数及规律型题的掌握情况，找到线段条数与直线上点的个数之间的联系，是解题的关键．四、平面内直线相交所得交点与平面的计数问题6. 为了探究同一平面内的几条直线相交最多能产生多少个交点，能把平面最多分成几部分，我们从最简单的情形入手，如图．列表如下：(1)当直线条数为5时，最多有________个交点，可写成和的形式为________；把平面最多分成______部分，可写成和的形式为________．(2)当直线条数为10时，最多有________个交点，把平面最多分成________部分． (3)当直线条数为n 时，最多有多少个交点？把平面最多分成多少部分？ 【答案】(1)10；1＋2＋3＋4；16；1＋1＋2＋3＋4＋5 (2)45；56；（3）(1)2n n -；n(n 1)12+⎡⎤+⎢⎥⎣⎦ 【解析】【分析】（1）两条直线只有一个交点，第3条直线和前两条直线都相交，增加了2个交点，得1+2， 第4条直线和前3条直线都相交，增加了3个交点，得1+2+3， 第5条直线和前4条直线都相交，增加了4个交点，得1+2+3+4， 可得，n 条直线两两相交，最多有(1)2n n -个交点（n 为正整数，且n≥2）． 一条直线把平面分成2部分，两条直线把平面分成2+2=4部分，三条直线把平面分成2+2+3=7部分，四条直线把平面分成2+2+3+4=11部分，五条直线把平面分成2+2+3+4+5=16部分，即n 条直线把平面分成2+2+3+4+5+…=1+1+2+3+…+n=1+(+1)2n n 部分 （2）代入（1）中的规律可得结果； （3）由（1）可得结论．【详解】解：（1）两条直线只有一个交点，第3条直线和前两条直线都相交，增加了2个交点，得1+2，第4条直线和前3条直线都相交，增加了3个交点，得1+2+3=4(41)2⨯-=6， 第5条直线和前4条直线都相交，增加了4个交点，得1+2+3+45(51)=2⨯-=10，∴可得，n 条直线两两相交，最多有(1)2n n -个交点（n 为正整数，且n≥2）． 一条直线把平面分成2部分， 两条直线把平面分成2+2=4部分，三条直线把平面分成2+2+3=7部分， 四条直线把平面分成2+2+3+4=11部分， 五条直线把平面分成2+2+3+4+5=16部分，∴n 条直线把平面分成2+2+3+4+5+…=1+1+2+3+…+n=[1+(+1)2n n ]部分 （2）当n=10时，最多有10(101)=452⨯-个交点，把平面最多分成1+10(10+1)=562⨯部分． （3）当直线条数为n 时， 最多有1＋2＋3＋…＋(n －1)＝(1)2n n -个交点； 把平面最多分成1＋1＋2＋3＋…＋n ＝(1)12n n +⎡⎤+⎢⎥⎣⎦部分． 【点睛】本题考查的是多条直线相交的交点问题，解答此题的关键是找出规律，即n 条直线相交有(1)2n n -个交点．本题体现了由“特殊到一般再到特殊”的思维过程，有利于培养同学们的探究意识．五、关于角的个数的计数问题7. 有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点叫做角的顶点，如图，如果过角的顶点A ，(1)在角的内部作一条射线，那么图中一共有几个角？ (2)在角的内部作两条射线，那么图中一共有几个角？ (3)在角的内部作三条射线，那么图中一共有几个角？ (4)在角的内部作n 条射线，那么图中一共有几个角？【答案】（1）3；（2）6；（3）10；（4）(1)(2)2n n ++【解析】【分析】（1）根据图形判断即可；（2）根据图形可判断出在（1）的基础上再增加一条射线，则增加3个角，进行计算即可；（3）根据图形判断在（2）的基础上再增加一条射线，则增加4个角，进行计算即可；（4）根据前面结论进行总结即可．【详解】解：（1）如题图①，已知∠BAC ，如果在其内部作一条射线，显然这条射线就会和∠BAC 的两条边都组成一个角，这样一共就有1＋2＝3(个)角； （2）题图①中有1＋2＝3(个)角，如果再在题图①的角的内部增加一条射线，即为题图②，显然这条射线就会和图中的三条射线再组成三个角，则题图②中一共有1＋2＋3＝6(个)角；（3）如题图③，在角的内部作三条射线，即在题图②中再增加一条射线，同样这条射线就会和图中的四条射线再组成四个角，即题图③中一共有1＋2＋3＋4＝10(个)角；（4）由（1）、（2）、（3）可知：在角的内部作一条射线，一共有1＋2＝3(个)角， 在角的内部作两条射线，一共有1＋2＋3＝6(个)角， 在角的内部作三条射线，一共有1＋2＋3＋4＝10(个)角，所以如果在一个角的内部作n 条射线，则图中一共有1＋2＋3＋…＋n ＋(n ＋1)＝(1)(2)2n n ++ (个)角．【点睛】本题考查了角的计数，通过观察，正确归纳总结出规律是解题关键．。
初中数学培优专题学习专题22 关于中点的联想
（3）将图2中的CE缩短到图3的情况，△FMH还是等腰直角三角形吗？（不必说明理由）
(2009年河北省中考试题)
12．在六边形ABCDEF中，AB∥DE，BC∥EF，CD∥FA，AB＋DE＝BC＋EF，A1，B1，D1，E1分别是边AB，BC，DE，EF的中点，A1D1＝B1E1．求证：∠CDE＝∠AFE．
求证：CD＝2EC．(宁波市竞赛试题)
解题思路：图形中有两个中点E，B，联想到与中点相关的丰富知识，将线段倍分关系的证明转化为线段相等关系的证明，关键是恰当添加辅助线．
【例4】如图1，P是线段AB上一点，在AB的同侧作△APC和△BPD，使∠APC＝∠BPD，PC＝PA，PD＝PB，连接CD，点E，F，G，H分别是AC，AB，BD，CD的中点，顺次连接E，F，G，H．
2．如图，已知AG⊥BD，AF⊥CE，BD，CE分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，若BF＝2，ED＝3，GC＝4，则△ABC的周长为_______________．(重庆市竞赛试题)
3．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，E是AC的中点，若BC＝16，DE＝5，则AD＝______________．（南京市中考试题）
(1)延长MP交CN于点E(如图2)．
①求证：△BPM≌△CPE；
②求证：PM＝PN．
(2)若直线a绕点A旋转到如图3的位置时，点B，P在直线a的同侧，其他条件不变，此时PM＝PN还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
(3) )若直线a绕点A旋转到与BC边平行的位置时，其他条件不变．请直接判断四边形MBCN的形状及此时PM＝PN是否成立．不必说明理由．（沈阳市中考试题）
线段的中点问题专项训练(30道)
线段的中点问题专项训练（30道）【题型1 单个中点问题】1．如图，已知DB＝2，AC＝10，点D为线段AC的中点，求线段BC的长度．2．如图，C是线段AB上的一点，N是线段BC的中点．若AB＝12，AC＝8，求AN的长．3．如图，点C为线段AB上一点，点D为BC的中点，且AB＝12，AC＝4CD．（1）求AC的长；（2）若点E在直线AB上，且AE＝3，求DE的长．4．如图，延长线段AB到C，使BC＝3AB，点D是线段BC的中点，如果CD＝9cm，那么线段AC的长度是多少？5．如图，已知AD=12DB，E是BC的中点，BE=15AC＝2cm．（1）求BC的长；（2）求DE的长．6．如图，点C是线段AB的中点，点D在线段AB上，若CD＝2，AD=32BD，求AB的长．7．如图，M为线段AB的中点，点C在线段BM上且CM：CB＝1：2．若AB＝12，求线段AC的长．8．如图，已知点C、D在线段AB上，点D是AB中点，AC=13AB，CD＝2．求线段AB长．9．如图，已知C、D两点将线段AB分成2：3：4三段，点E是BD的中点，点F是线段CD上一点，且CF＝2DF，EF＝12cm，求AB的长．10．已知线段AB上有两点C、D，使得AC：CD：DB＝1：2：3，M是线段AC的中点，点N是线段AB上的点，且满足DN=14DB，AB＝24．求MN的长．11．如图，线段AC＝6cm，线段AB＝21cm，M是AC的中点，在CB上取一点N，使得CN：NB＝1：2，求MN的长．12．如图，已知线段AB＝3cm，延长线段AB到C，使BC＝2AB，延长线段BA到D，使AD：AC＝4：3，点M是BD的中点，求线段BD和AM的长度．13．已知点B在线段AC上，点D在线段AB上，（1）如图1，若AB＝6cm，BC＝4cm，D为线段AC的中点，求线段DB的长度：（2）如图2，若BD=14AB=13CD，E为线段AB的中点，EC＝12cm，求线段AC的长度．【题型2 无关联型双中点问题】14．如图，点C在线段AB上，D是线段AC的中点，E是线段BC的中点．①若AC＝8，BC＝3，求DE；①若DE＝5，求AB．15．如图，点M是AB的中点，点N是BD的中点，AB＝8cm，BC＝12cm，CD＝6cm．（1）求BM的长；（2）求AN的长．16．如图，线段AD＝20cm，线段AC＝BD＝14cm，E、F分别是线段AB、CD的中点，求线段EF的长．17．如图，已知线段AB上有两点C，D，且AC：CD：DB＝2：3：4，点E，F分别为AC，DB的中点，EF＝48cm．求AB的长．18．如图，点C，D在线段AB上，且满足CD=14AD=16BC，点E、F分别为线段AC，BD的中点，如果EF＝10cm，求线段AB的长度．19．如图，点C为线段AB上一点，点M、N分别是线段AC、BC的中点．回答下列问题：（1）试判断线段AB与MN的关系为；（2）若点P是线段AB的中点，AC＝6cm，CP＝2cm，求线段PN的长．20．如图，C为线段AB上一点．AB＝m，BC＝n，M，N分别为AC，BC的中点．（1）若m＝8，n＝2，求MN的长；（2）若m＝3n，求CNMN的值．21．如图，C、D是线段AB上两点，已知AC：CD：DB＝1：2：3，M、N分别为AC、DB 的中点，且AB＝12cm，（1）求线段CD的长；（2）求线段MN的长．【题型3 关联型双中点问题】22．如图，点C为线段AB的中点，点E为线段AB上的点，点D为线段AE的中点，若AB ＝15，CE＝4.5，求出线段AD的长度．23．如图，线段AB＝20cm，线段AB上有一点C，BC：AC＝1：4，点D是线段AB的中点，点E是线段AC的中点．（1）求线段AC的长度；（2）求线段DE的长度．24．如图，线段AB＝8cm，C是线段AB上一点，M是AB的中点，N是AC的中点．（1）AC＝3cm，求线段CM、NM的长；（2）若线段AC＝m，线段BC＝n，求MN的长度（m＜n用含m，n的代数式表示）．25．如图，点C 是线段AB 的中点，点D 是线段CB 上的一点，点E 是线段DB 的中点，AB ＝20，EB ＝3． （1）求线段DB 的长． （2）求线段CD 的长．26．如图，线段AB ＝8，点C 是线段AB 的中点，点D 是线段BC 的中点． （1）求线段AD 的长；（2）若在线段AB 上有一点E ，CE =14BC ，求AE 的长．【题型4 两个以上中点问题】27．如图，O 是AC 的中点，M 是AB 的中点，N 是BC 的中点，试判断MN 与OC 的大小关系．28．如图，线段AB ＝6cm ，点C 是AB 的中点，点D 是BC 的中点，E 是AD 的中点．（1）求线段AE 的长； （2）求线段EC 的长．29．已知线段AB ＝20，M 是线段AB 的中点，P 是线段AB 上任意一点，N 是线段PB 的中点．（1）当P 是线段AM 中点时，求线段NB 的长； （2）当线段MP ＝1时，求线段NB 的长；（3）若点P 在线段BA 的延长线上，求线段P A 与线段MN 的数量关系．30．如图，C 为线段AB 上一点，D 为AC 的中点，E 为BC 的中点，F 为DE 的中点． （1）若AC ＝4，BC ＝6，求CF 的长； （2）若AB ＝16CF ，求AC CB的值．。
七年级数学线段中点专题
七年级数学线段中点专题摘要：一、线段中点概念解析1.线段中点的定义2.线段中点与线段长度关系二、线段中点问题类型及解题方法1.已知线段长度求中点坐标2.已知中点坐标求线段长度3.线段中点与线段长度关系的应用题三、线段中点专题训练1.基础题型训练2.进阶题型训练3.综合题型训练四、线段中点在实际问题中的应用1.求解距离问题2.求解角度问题3.求解面积问题正文：一、线段中点概念解析1.线段中点的定义：线段中点是指在线段上，将线段分成两个相等部分的一个点。
用数学符号表示为：M=(A+B)/2，其中A、B为线段两个端点的坐标，M为线段中点的坐标。
2.线段中点与线段长度关系：已知线段CD的长度，若CD是线段BC的一半，则BC长度可求出。
根据3AB=BC，即可求出AB的长度，进而可求出AC 的长度。
二、线段中点问题类型及解题方法1.已知线段长度求中点坐标：设线段AB的两个端点坐标为A(x1, y1)和B(x2, y2)，线段长度为AB=|x2-x1|。
根据中点公式，可求出线段中点M的坐标为M((x1+x2)/2, (y1+y2)/2)。
2.已知中点坐标求线段长度：已知线段中点M的坐标为(Mx, My)，求线段AB的长度。
根据中点公式，可得线段AB的两个端点坐标为A(2Mx-x, 2My-y)和B(2Mx+x, 2My+y)，进而求出线段AB的长度为AB=|2Mx+x-2Mx+x|=|x|。
3.线段中点与线段长度关系的应用题：已知线段AB的长度为6，中点M 的坐标为(2, 3)，求线段AM和MB的长度。
根据中点公式，可求出线段AM 和MB的长度分别为AM=MB=3。
三、线段中点专题训练1.基础题型训练：求解已知线段长度求中点坐标的问题。
例如，线段AB 的长度为10，端点A的坐标为(1, 2)，求线段中点M的坐标。
2.进阶题型训练：求解已知中点坐标求线段长度的问题。
例如，线段中点M的坐标为(3, 4)，求线段AB的长度。
2021年人教版数学中考第一轮专题练习 线段中点的模型应用
线段中点的模型应用类型1 倍长中线或类中线(与中点有关的线段)构造全等三角形) 如图，已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，F是AD上的一点，延长BF 交AC于点E，且AE＝EF，求证：BF＝AC.类型2 已知等腰三角形底边的中点，可以考虑与顶点连接用“三线合一”) 如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，点M为BC的中点，MN⊥AC于点N，求MN的长．类型3 已知三角形一边的中点，可以考虑中位线定理)如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，AC＝BD，E，F分别是AB，CD的中点，连接EF，分别交AC，BD于点N，M，试判断△OMN的形状．类型4 已知直角三角形斜边的中点，可以考虑构造斜边的中线) 已知：如图，在△ABC中，∠B＝2∠C，AD⊥BC于点D，M为BC的中点，求证：AB＝2DM.1．如图所示，在△ABC中，AB＝5，AC＝13，BC边上的中线AD＝6，求BC的长．2．(1)阅读理解：如图①，在△ABC中，若AB＝8，AC＝5，求BC边上的中线AD的取值范围．可以用如下方法：将△ACD绕着点D逆时针旋转180°得到△EBD，在△ABE中，利用三角形三边的关系即可求出中线AD的取值范围是________________________________________________________________________；图①图②图③(2)问题解决：如图②，在△ABC中，D是BC边的中点，DE⊥DF于点D，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，求证：BE＋CF>EF；(3)问题拓展：如图③，在四边形ABCD中，∠B＋∠D＝180°，CB＝CD，∠BCD＝100°，以C 为顶点作一个50°的角，角的两边分别交AB，AD于E，F两点，连接EF，探索线段BE，DF，EF之间的数量关系，并说明理由．3．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，点E是BA延长线上的一点，点F是AC上的一点，连接EF并延长交BC于点G，且AE＝AF.(1)若∠ABC＝50°，求∠AEF的度数；(2)求证：AD∥EG.4．如图，在四边形ABCD 中，AB ＝CD ，E ，F 分别是BC ，AD 的中点，连接EF 并延长分别与BA ，CD 的延长线交于点M ，N ，求证：∠BME＝∠CNE.5．【感知】如图①，BD ，CE 分别是△ABC 的外角平分线，过点A 分别作AM⊥BD 于点M ，AN⊥CE 于点N ，连接MN ，易证：MN ＝12(AB ＋BC ＋AC)(不需要证明)；【探究】如图②，若BD ，CE 分别是△ABC 的两个内角的平分线，且AM⊥BD 于点M ，AN⊥CE 于点N ，连接MN.试猜想MN 与边AB ，AC 和BC 之间的数量关系，并证明你的结论；【应用】如图③，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，射线BE平分∠ABC，AM⊥BE于点M，连接MD，延长BC至点F，若∠DCF＝∠ACD＝75°，AB＝2，直接写出MD的长度．图①图②图③6．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高线，CE是AB边上的中线，DG⊥CE于点G，CD＝AE.(1)求证：CG＝EG；(2)已知BC＝13，CD＝5，连接ED，求△EDC的面积．7．如图①，已知在锐角△ABC中，CD，BE分别是AB，AC边上的高，M，N分别是线段BC，DE的中点．(1)求证：MN⊥DE；(2)连接DM，ME，猜想∠A与∠DME之间的数量关系，并证明你的猜想；(3)当∠A变为钝角时，如图②，上述(1)(2)中的结论是否都成立？若结论成立，直接回答，不需证明；若结论不成立，请说明理由．图①图②参考答案【例1】证明：如图，延长FD到点G，使DG＝DF，连接CG，∵AD是BC边上的中线，∴BD＝CD.在△BDF 和△CDG 中， ∵⎩⎪⎨⎪⎧BD ＝CD ，∠BDF＝∠CDG DF ＝DG ，， ∴△BDF≌△CDG(SAS)， ∴BF＝CG ，∠BFD＝∠G.∵AE＝EF ，∴∠EAF＝∠EFA＝∠BFD， ∴∠G＝∠CAG， ∴AC＝CG ，∴BF＝AC. 【例2】解：如图，连接AM.∵AB＝AC ，点M 为BC 的中点， ∴AM⊥BC，BM ＝CM ＝3，∴根据勾股定理，得AM ＝AB 2－BM 2＝52－32＝4. ∵S △AMC ＝12MN·AC＝12AM·MC，∴MN＝AM·CM AC ＝4×35＝125.【例3】解：△OMN 是等腰三角形，理由如下： 如图，取BC 的中点H ，连接EH ，FH ，∵E 是AB 的中点，H 是BC 的中点，∴EH 平行且等于12AC.同理可证FH 平行且等于12BD.∵AC＝BD ，∴HE＝HF ，∴∠HEF＝∠HFE.又∵EH∥AC，FH∥BD，∴∠HEF＝∠ONM，∠OMN＝∠HFE， ∴∠OMN＝∠ONM，∴OM＝ON ，∴△OMN 是等腰三角形．【例4】证明：如图，取AC 的中点N ，连接MN ，DN ，∵M，N 分别为BC ，AC 的中点， ∴MN 为△ABC 的中位线， ∴MN＝12AB ，MN∥AB，∴∠B＝∠NMC. ∵∠B＝2∠C， ∴∠NMC＝2∠C.又∵∠NMC 为△DMN 的外角， ∴∠NMC＝∠MDN＋∠MND＝2∠C. ∵DN 为Rt△ADC 斜边上的中线， ∴DN＝NC ＝AN ＝12AC ，∴∠MDN＝∠C，∴∠MND＝∠C＝∠MDN， ∴DM＝MN ＝12AB ，∴AB＝2DM. 1.解：如图，延长AD 到点E ，使AD ＝DE ，连接CE ， 在△ABD 和△ECD 中， ∵⎩⎪⎨⎪⎧AD ＝DE ，∠ADB＝∠EDC BD ＝CD ，， ∴△ABD≌△ECD(SAS)，∴AB＝CE ＝5，AD ＝DE ＝6，∴AE＝12. 在△AEC 中，∵AC＝13，AE ＝12，CE ＝5， ∴AC 2＝AE 2＋CE 2， ∴∠E＝90°，∴由勾股定理，得CD ＝DE 2＋CE 2＝62＋52＝61， ∴BC＝2CD ＝261， ∴BC 的长是261.2．(1)解：将△ACD 绕着点D 逆时针旋转180°得到△EBD，则△ACD≌△EBD，∴AD＝DE ，BE ＝AC ＝5.∵在△ABE 中，AB －BE<AE<AB ＋BE ，即3<AE<13， ∴3＜2AD ＜13，∴1.5<AD<6.5.(2)证明：如图①，延长FD 至点N ，使DN ＝DF ，连接BN ，EN ，在△CDF 和△BDN 中， ∵⎩⎪⎨⎪⎧FD ＝ND ，∠CDF＝∠BDN CD ＝BD ，， ∴△CDF≌△BDN(SAS)，∴BN＝FC. ∵DF＝DN ，DE⊥DF，∴EF＝EN.在△EBN 中，∵BE＋BN>EN ，∴BE＋CF>EF.(3)BE ＋DF ＝EF ，理由如下：如图②，延长AB 至点H ，使BH ＝DF ，连接CH.∵∠ABC＋∠D＝180°，∠HBC＋∠ABC＝180°， ∴∠HBC＝∠D. 在△CBH 和△CDF 中， ∵⎩⎪⎨⎪⎧DF ＝BH ，∠D＝∠CBH CD ＝CB ，， ∴△CBH≌△CDF(SAS)，∴CH＝CF ，∠HCB＝∠FCD.又∵∠BCD＝100°，∠ECF＝50°，∴∠BCE＋∠FCD＝50°， ∴∠ECH＝∠BCE＋∠HCB＝50°＝∠ECF. 在△HCE 和△FCE 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧CF ＝CH ，∠ECF＝∠ECH CE ＝CE ，，∴△HCE≌△FCE(SAS)，∴EH＝EF ，即BE ＋BH ＝EF ，∴BE＋DF ＝EF.3．(1)解：∵AB＝AC ，∴∠ABC＝∠C＝50°，∴∠BAC＝180°－50°－50°＝80°.又∵点D 为BC 的中点，∴AD⊥BC，AD 平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD＝12∠BAC＝12×80°＝40°. ∵AE＝AF ，∴∠E＝∠AFE.又∵∠BAC＝∠E＋∠AFE，∴∠AEF＝∠BAD＝40°.(2)证明：∵AD 平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD＝12∠BAC. ∵AE＝AF ，∴∠E＝∠AFE.∵∠BAC＝∠BAD＋∠CAD＝∠E＋∠AFE，∴∠AEF＝∠BAD，∴AD∥EG.4．证明：如图，连接BD ，取BD 的中点H ，连接HE ，HF ，∵E，F ，H 分别是BC ，AD ，BD 的中点，∴FH∥AB 且FH ＝12AB ，EH∥CD 且EH ＝12CD ， ∴∠BME＝∠HFE，∠CNE＝∠HEF.又∵AB＝CD ，∴FH＝EH ，∴∠HFE＝∠HEF，∴∠BME＝∠CNE.5．解：【感知】如图①中，设AM 的延长线交CB 的延长线于点J ，AN 的延长线交BC 的延长线于点K.∵AM⊥BD，∴∠AMB＝∠BMJ＝90°.又∵∠ABM＝∠JBM，∴∠BAM＝∠J，∴BA＝BJ.同理可证CA ＝CK ，又∵BD⊥AJ，CE⊥AK，∴AM＝MJ ，AN ＝NK ，∴MN＝12JK ＝12(JB ＋BC ＋CK)＝12(AB ＋BC ＋AC)． 【探究】结论：MN ＝12(AB ＋AC －BC)．证明如下：如图②中，延长AM 交BC 于点F ，延长AN 交BC 于点G. ∵AM⊥BD，∴∠AMB＝∠BMF＝90°.又∵∠ABM＝∠FBM，∴∠BAM＝∠BFM，∴BA＝BF.同理可证CA ＝CG ，又∵AM⊥BD，AN⊥CE，∴AM＝MF ，AN ＝NG ，∴MN＝12FG ＝12(BF ＋CG －BC)＝12(AB ＋AC －BC)． 【应用】DM 的长度为1＋ 3.提示：如图③中，延长AM 交BC 于点J ，延长AD 交BC 的延长线于点K ，由题意得∠ACB＝180°－∠ACD－∠DCF＝30°.又∵∠ABC＝90°，AB ＝2，∴AC＝2AB ＝4，BC ＝3AB ＝2 3.∵AM⊥BE，∴∠AMB＝∠JMB＝90°.又∵BE 平分∠ABJ，∴∠ABM＝∠JBM，∴∠BAM＝∠BJM，∴AB＝BJ.同理可证AC ＝KC ，又AM⊥BE，CD⊥AK，∴AM＝JM ，AD ＝KD ，∴DM＝12JK ＝12(CK ＋BC －BJ)＝12(AC ＋BC －AB)＝12×(4＋23－2)＝1＋ 3. 6．(1)证明：如图，连接DE.∵AD 是△ABC 的边BC 上的高，∴AD⊥BC.在Rt△ADB 中，∵点E 是AB 的中点，∴DE＝12AB ＝AE.∵CD＝AE ，∴DE＝DC.又∵DG⊥CE，∴CG＝EG.(2)解：如图，过点E 作EF⊥BC 于点F.∵BC＝13，CD ＝5，∴BD＝BC －CD ＝13－5＝8.∵DE＝BE ，EF⊥BC，∴DF＝BF ＝4， ∴EF＝DE 2－DF 2＝52－42＝3，∴S △EDC ＝12CD·EF＝12×5×3＝7.5. 7．(1)证明：如图①，连接DM ，ME.∵在△ABC 中，CD ，BE 分别是AB ，AC 边上的高，∴CD⊥AB，BE⊥AC.图①又∵M 是BC 的中点，∴DM＝12BC ，ME ＝12BC ， ∴DM＝ME.又∵N 为DE 的中点，∴MN⊥DE.(2)解：在△ABC中，∠ABC＋∠ACB＝180°－∠A.∵DM＝ME＝BM＝MC，∴∠ABC＝∠BDM，∠ACB＝∠CEM，∴∠BMD＋∠CME＝(180°－∠ABC－∠BDM)＋(180°－∠ACB－∠CEM)＝(180°－2∠ABC)＋(180°－2∠ACB)＝360°－2(∠ABC＋∠ACB)＝360°－2(180°－∠A)＝2∠A，∴∠DME＝180°－2∠A.(3)解：结论(1)成立，结论(2)不成立，理由如下：如图②，结论(1)的证法同(1)，结论(2)不成立．理由如下：图②在△ABC中，∠ABC＋∠ACB＝180°－∠BAC.∵DM＝ME＝BM＝MC，∴∠ABC＝∠BDM，∠ACB＝∠CEM，∴∠CMD＝∠ABC＋∠BDM＝2∠ABC，∠BME＝∠ACB＋∠CEM＝2∠ACB，∴∠BME＋∠CMD＝2∠ACB＋2∠ABC＝2(180°－∠BAC)＝360°－2∠BAC，∴∠DME＝180°－(360°－2∠BAC)＝2∠BAC－180°.。
部编数学七年级上册专题有关线段中点的计算问题大题专项提升训练(重难点培优)同步培优含答案
【讲练课堂】2022-2023学年七年级数学上册尖子生同步培优题典【人教版】专题4.5有关线段中点的计算问题大题专项提升训练（重难点培优）一、解答题1．（2022·山东潍坊·七年级期中）已知点C在直线AB上，点M，N分别为AC，BC的中点．(1)如图所示，若C在线段AB上，AC=6厘米，MB=10厘米，求线段BC，MN的长；(2)若点C在线段AB的延长线上，且满足AC―BC=a厘米，请根据题意画图，并求MN的长度（结果用含a的式子表示）．∵M是AC的中点，∵M是AC的中点，cm，CB=8cm，D、E分别是AC、AB的中点．求：(1)求AD的长度；(2)求DE的长度；(3)若M在直线AB上，且MB=6cm，求AM的长度．∴AM的长度为26cm或14cm．【点睛】本题考查了关于线段的中点的计算，线段的和与差的计算，读懂题意熟练运用线段的和差倍分是解本题的关键．3．（2022·全国·七年级专题练习）如图，已知，C为线段AB上一点，D为AC的中点，E为BC 的中点，F为DE的中点(1)如图1，若AC=4，BC=6，求CF的长；(2)若AB=16CF，求AC的值；CB(3)若AC＞BC，AC―BC=a，取DC的中点G，CE的中点H，GH的中点P，求CP的长(用含a 的式子表示)．设AC=x，BC=y，即x―y=a，则DC 的中点，如果CD=4cm，(1)求AC的长度；(2)若点E是线段AC的中点，求ED的长度．分别是线段AB、BP的中点．(1)如图1，点B在线段AP上一点，AP=15，求MN的长；(2)如图2，点B在线段AP的延长线上，AM-PN=3.5，点C为直线AB上一点，CA+CP=13，求CP长．CP+CA=CP+(CP+AP)=13，即CP+(CP+7)=13，解得CP=3；当点C在点A的左侧时，CA+CP=CA+(CA+AP)=13，即CA+(CA+7)=13，解得CA=3，∴CP=CA+AP=3+7=10．综上所述，CP的长为3或10．【点睛】本题考查中点的定义和线段的和差关系，解题的关键是熟练运用分类讨论思想，避免漏解．6．（2021·湖北·十堰市郧阳区教学研究室七年级期末）如图，已知线段AB=24，动点P从A 出发，以每秒2个单位的速度沿射线AB方向运动，运动时间为t秒（t>0），点M为AP的中点．(1)若点P在线段AB上运动，当t为多少时，PB=AM？(2)若点P在射线AB上运动，N为线段PB上的一点．①当N为PB的中点时，求线段MN的长度；②当PN=2NB时，是否存在这样的t，使M，N，P三点中的一个点是以其余两点为端点的线段的中点？如果存在，请求出t的值；如不存在，请说明理由．7．（2022·河南郑州·七年级期末）如图，点A，C，E，B，D在同一条直线上，且AB=CD，点E是线段AD的中点．(1)点E是线段BC的中点吗？说明理由；(2)若AB=11，CE=3，求线段AD的长．【答案】(1)点E是线段BC的中点．理由见解析(2)16【分析】（1）先根据线段和差可得AC=BD，再根据线段中点的定义可得AE=DE，然后根据线段和差即可得出结论；（2）先根据（1）的结论可得BC=CE+BE=6，从而可得AC=5，再根据CD=AB可得CD=11，然后根据AD=AC+CD即可得．（1）解：点E是线段BC的中点．理由如下：因为AB=CD，所以AB―BC=CD―BC，即AC=BD，又因为E是线段AD的中点，所以AE=DE，所以AE―AC=DE―BD，即CE=BE，所以点E是线段BC的中点．（2）解：因为CE=3,CE=BE，所以BC=CE+BE=3+3=6，又因为AB=11，所以AC=AB―BC=11―6=5，又因为CD=AB=11，所以AD=AC+CD=5+11=16．【点睛】本题考查了与线段中点有关的计算，熟练掌握线段之间的运算是解题关键．8．（2021·江西鹰潭·七年级期中）已知，点A，B，C在同一条直线上，点M为线段AC的中点、点N为线段BC的中点，(1)如图，当点C在线段AB上时；①若线段AB=10，BC=4，求MN的长度；②若AB=a，则MN=_______．(2)若AC=10，BC=n，直接写出MN的长度．（用含n的代数式表示）点P是线段OA上一动点，沿O→A→O以每秒2个单位的速度往返运动1次，B是线段OA的中点，设点P运动时间为t秒（0≤t≤10）(1)线段BA的长度为____，当t =3时，点P所表示的数是____；(2)求动点P所表示的数（用含t的代数式表示）；(3)在运动过程中，当PB=2时，求运动时间t．∴|20―2t―5|=2，∴20―2t―5=2，或20―2t―5=―2，解得t=6.5，或t=8.5．综上所述，所求t的值为1.5或3.5或6.5或8.5．【点睛】此题主要考查了一元一次方程的应用以及数轴上点的位置关系，根据P点位置的不同正确进行分类讨论，进而列出方程是解题的关键．10．（2022·黑龙江·绥棱县绥中乡学校七年级期末）已知：如图，点C、D 在线段AB上，AB，AB＝12．点D是AB中点，AC=13(1)求线段CD的长；(2)E是线段BD上一点，且DE＝CD，请在图中画出点E，并证明C是AE的中点．CD的长为1．(1)求AB的长度；(2)若点E为BC中点，试求DE的长度．【答案】(1)10(2)3【分析】（1）根据AC和CD得到AD，再根据中点的定义求出AB；（2）先求出BC，根据中点的定义得到CE，再加上CD即可得到DE．（1）解：∵AC=6，CD=1，∴AD=AC-CD=5，∵点D为AB中点，∴AB=2AD=10；（2）∵AB=10，AC=6，∴BC=AB-AC=4，∵E为BC中点，∴BE=CE=2，∴DE=CD+CE=1+2=3．【点睛】本题考查了中点的定义，线段的和差，解题的关键是掌握中点平分一条线段．12．（2022·山东东营·期末）如图，点C为线段AB的中点，点E为线段AB上的点，点D 为线段AE的中点．(1)若线段AB＝a，CE＝b且(a―16)2+|2b―8|=0，求a，b的值；(2)在（1）的条件下，求线段CD的长，【答案】(1)a=16，b=4；(2)CD=2．【分析】（1）根据非负数的性质即可推出a、b的值；（2）根据（1）所推出的结论，即可推出AB和CE的长度，根据图形即可推出AC=8，然后由AE=AC+CE，即可推出AE的长度，由D为AE的中点，即可推出DE的长度，再根据线段的和差关系可求出CD的长度．（1）BC的中点．(1)若AM＝2，BC＝8，求MN的长度；(2)若AB＝14，求MN的长度．【点睛】此题考查了两点间距离，解题的关键是熟练掌握线段的中点性质．14．（2021·贵州毕节·七年级阶段练习）（1）如图，已知平面内A、B两点用没有刻度的直尺和圆规按下列要求尺规作图，并保留作图痕迹①连接AB；②反向延长线段AB到C，使AC ＝AB；③延长线段AB到D，使AD＝3AB．（2）若点E是线段AC的中点，点F是线段AD中点，AB＝4cm，求线段EF、CD的长度，并说明线段EF、CD的数量关系．【答案】（1）①见解析；②见解析；③见解析；（2）EF＝8cm，CD＝16cm，CD＝2EF【分析】（1）根据要求作图即可．（2）根据线段中点的定义可得出答案．【详解】解：（1）①如图，线段AB即为所求．②如图，线段AC即为所求．③如图，线段AD即为所求．（2）∵AB=AC=4cm，AD=3AB=12cm，点E是线段AC的中点，点F是线段AD中点，∴AE=2cm，AF=6cm，∴EF=AE+AF=8cm，CD=AC+AD=16cm，∴CD=2EF．【点睛】本题考查作图-复杂作图、直线、射线、线段等知识，解题的关键是掌握直线、射线、线段的定义．15．（2022·全国·七年级专题练习）已知A，B，C，D四点在同一条直线上，点C是线段AB 的中点．BC，求线段CD的长度；(1)点D在线段AB上，且AB=6，BD=13(2)若点E是线段AB上一点，且AE=2BE，当AD:BD=2:3时，线段CD与CE具有怎样的数量关系，请说明理由．【答案】(1)线段CD的长度为2；(2)5CD=3CE或CD=15CE．理由见解析【分析】（1）根据线段中点的性质求出BC，根据题意计算即可；（2）分两种情况讨论，当点D在线段AB上和点D在BA延长线上时，利用设元的方法，分别表示出AB以及CD、CE的长，即可得到CD与CE的数量关系．【详解】（1）解：如图1，∵点C是线段AB的中点，AB=6 AB=3，∴BC=12设AD=2x，则BD=3x，∴AB=AD+BD=5x，设AD=2a，则BD=3a，∴AB=BD-AD=a，M是AB的中点，N是AC的中点．求：(1)线段CM的长；(2)求线段MN的长．【答案】(1)1cm(2)3cm【分析】（1）根据M是AB的中点，求出AM，再利用CM＝AM−AC求得线段CM的长；（2）根据N是AC的中点求出NC的长度，再利用MN＝CM＋NC即可求出MN的长度．（1）解：∵AB＝10，M是AB的中点，∴AM＝5，又∵AC＝4，∴CM＝AM﹣AC＝5﹣4＝1（cm）．∴线段CM的长为1cm；（2）解：∵N是AC的中点，∴NC＝2，∴MN＝NC＋CM，2＋1＝3（cm），∴线段MN的长为3cm．【点睛】本题主要考查两点间的距离，线段中点的运用，知道线段的中点把线段分成两条相等的线段是解题的关键．17．（2021·山东·高青县教学研究室期中）如图，点C，E是线段AB上两点，点D为线段AB的中点，AB＝6，CD＝1．(1)求BC的长；(2)若AE：EC＝1：3，求EC的长．【答案】(1)BC＝2在线段AD上．(1)图中共有条线段；(2)若AB＝CD．①比较线段的大小：AC BD（填：“＞”、“＝”或“＜”）；②如图2，若AD＝20，BC＝12，M是AB的中点，N是CD的中点，求MN的长度．【答案】(1)6(2)①＝；②16【分析】（1）依据B、C在线段AD上，即可得到图中共有线段AB，AC，AD，BC，BD，CD；题）如图：A、B、C、D四点在同一直线上．(1)若AB＝CD．①比较线段的大小：AC BD（填“＞”、“＝”或“＜”）；AC，且AC＝12cm，则AD的长为cm；②若BC＝34(2)若线段AD被点B、C分成了3∶4∶5三部分，且AB的中点M和CD的中点N之间的距离是16cm，求AD的长．【答案】(1)①=；②15(2)24cm【分析】（1）①由已知同加BC即得答案；②求出BC和AB，根据AB=CD得到CD，即可得到AD；（2）根据题意画出图形，设AB=3x，BC=4x，CD=5x，根据线段的和差关系求得MN，根据题意列出方程进而即可求解．（1）①∵AB=CD，∴BM=AM=32x,CN点C在线段AB上，线段AC＝15，BC=5，点M、N分别是AC、BC的中点，求MN的长度；（2）已知：如图2，点C在线段AB上，点M、N分别是AC、BC的中点，AC+CB＝a，求MN的长度；（3）已知：如图3，点C在直线AB上，线段AC＝15，BC=5，点M、N分别是AC、BC的中点，求MN的长度．∵点M、N分别是AC，BC中点，11（苏科版））如图，O为数轴原点，点A原点左侧，点B在原点右侧，且OB＝2OA，AB＝18．(1)求A、B两点所表示的数各是多少；(2)P、Q为线段AB上两点，且QB＝2PA，设PA＝m，请用含m的式子表示线段PQ；(3)在②的条件下，M为线段PQ的中点，若OM＝1，请直接写出m的值．【答案】(1)A表示的数为﹣6，B表示的数为12(2)18﹣3m或3m﹣18(3)m＝4或m＝8【分析】（1）由题意可求得OB＝12，OA＝6，从而可表示出点A，B所表示的数；（2）分两种情况进行讨论：①点P在点Q的左侧；②点P在点Q的右侧，再利用相应的线段的关系可以求解；PQ＝AB﹣PA﹣BQ＝18﹣3m；②当点P在点Q的右侧时，如图，PQ＝QB﹣（AB﹣PA）＝3m﹣18，∴线段PQ的长是18﹣3m或3m﹣18．直线l上，且AB＝18cm，点C是AB的中点．(1)若点P 是直线l 上的动点，且PB ＝5cm ，则CP ＝ cm ；(2)若点Q 是AB 的延长线上一点，点M 、N 分别是AQ 、BQ 的中点，求线段MN 的长．【点睛】本题考查两点间的距离，线段的和差关系，熟练掌握线段中点的定义与线段的和差直线l 上的两点，点C 、D 在直线l 上且点C 在点D 的左侧，点D 在点B 的右侧，且AC ＝13BC ，BD ＝12AB ．(1)若AB ＝8，求线段CD 的长；(2)若CD ＝m ，则线段AB 的长为（用含m 含的代数式表示）．∵AC=1BC，AB=8，∵AC=1BC，AB=8，∵AC=1BC，∵AC=1BC，四点在同一直线上．(1)若AB=CD．①比较线段的大小：AC________BD（填“＞”、“＝”或“＜”）；AC，且AC=16cm，则AD的长为________cm；②若BC=34(2)若线段AD被点B、C分成了2：3：4三部分，且AB的中点M和CD的中点N之间的距离是18cm，求AD的长．(2)解：如图所示，设每份为x，则AB=2x，BC=3x，CD=4x，AD=9x，∵M是AB的中点，点N是CD的中点N，∴AM=BM=x，CN=DN=2x又∵MN=18，∴x+3x+2x=18，解得，x=3，∴AD=9x=27(cm)．【点睛】本题考查线段及其中点的有关计算，解题的关键是理解线段中点的意义．25．（江苏省苏州市振华中学校2021-2022学年七年级上学期期末数学试题）已知线段AB= a，小明在线段AB上任意取了点C然后又分别取出AC、BC的中点M、N的线段MN（如图1）；小红在线段AB的延长线上任意取了点D，然后又分别取出AD、BD的中点E、F的线段EF（如图2）(1)试判断线段MN与线段EF的大小，并说明理由．(2)若EF=x，AD=4x+1，BD=x+3，求x的值．a；∴MN=12如图2，得EF=ED-FD=1AD―1BD=1(AD―BD)，AB，D为线段BC的中点．（如图），C是AB反向延长线上的点，且AC=13(1)将CD的长用含a的代数式表示为________；(2)若AD=3cm，求a的值．cm，C是线段AB上一点，AC=6cm，D、E分别是AB、BC的中点．(1)求线段CD的长；(2)求线段DE的长．28．（江苏省盐城市射阳县第六中学2021-2022学年七年级上学期期末数学试题（b卷））如图，已知点D是线段AB上一点，点C是线段AB的中点，若AB＝10cm，BD＝4cm．(1)求线段CD的长；BD，求线段AE的长．(2)若点E是线段AB上一点，且BE=12BD=2cm∵BE=12∴AE=AB线段AB上一点，AB＝m，BC＝n，M、N分别为AB、BC的中点．(1)若m＝10，n＝3，求MN的长；(2)若m＝3n，求CN的值．MN已知数轴上A，B两点表示的数分别为-9和7．（1）AB= ；（2）点P、点Q分别从点A、点B出发同时向右运动，点P的速度为每秒4个单位，点Q 的速度为每秒2个单位，经过多少秒，点P与点Q相遇？（3）如图2，线段AC的长度为3个单位，线段BD的长度为6个单位，线段AC以每秒4个单位的速度向右运动，同时线段BD以每秒2个单位的速度向左运动，设运动时间为t 秒．①t为何值时，点B恰好在线段AC的中点M处．②t为何值时，AC的中点M与BD的中点N距离2个单位．。
线段的计算(中点专题)
线段的计算（中点专题）1．如图，C、D在线段AB上，48CD mm=．求线段BC=，且D为BC的中点，18AB mm和AD的长．2．如图，点C在线段AB上，9=，D是AC的中点，求AD长．AB=，2AC CB3．如图：已知8=，C为AB的中点，求线段DC的长．BD cm=，3AB cm4．如图，点C在线段AB上，线段15=，AB cmCN cm=，点M，N分别是AC，BC的中点，3求线段MC的长度．5．如图，已知点B在线段AC上，8AB cm=，10BC cm=，点P，Q分别为AB，AC的中点．（1）线段AC的长为cm，线段PC的长为cm；（2）求线段PQ的长．6．（1）如图，已知点C在线段AB上，8AC cm=，6BC cm=，M，N分别是AC，BC的中点，求线段MN的长度；（2）在（1）题中，如果AC acm=，BC bcm=，其他条件不变，求此时线段MN的长度．7．已知，点C是线段AB的中点，6AC=，点D在直线AB上，且12AD BD=．请画出相应的示意图，并求线段AD的长．8．如图，已知线段10AB cm =，2CD cm =，点E 是AC 的中点，点F 是BD 的中点．（1）若3AC cm =，求线段EF 的长度．（2）当线段CD 在线段AB 上从左向右或从右向左运动时，试判断线段EF 的长度是否发生变化，如果不变，请求出线段EF 的长度；如果变化，请说明理由．9．如图，C 为线段AB 上一点，点D 为BC 的中点，且30AB cm =，4AC CD =． （1）求AC 的长；（2）若点E 在直线AB 上，且5EA cm =，求BE 的长．10．如图，12AB cm =，点C 是线段AB 的中点，D 、E 分别是线段AC 、CB 上的点，13AD AC =，8DE cm =，求线段CE 的长．11．如图，已知点A，B，C，D，E在同一直线上，且AC BD=，E是线段BC的中点．（1）点E是线段AD的中点吗？请说明理由；（2）当30AD=，9AB=时，求线段BE的长度．12．如图，B是线段AD上一动点，沿A D Acm s的速度往返运动1次，C是线→→以3/段BD的中点，15t．AD cm=，设点B运动时间为t秒(010)（1）当2t=时，求线段AB和CD的长度．（2）用含t的代数式表示运动过程中AB的长．（3）在运动过程中，若AB中点为E，则EC的长是否变化？若不变．求出EC的长；若发生变化，请说明理由．13．已知关于m的方程11223m m m+=-的解也是关于x的方程2(3)13x n--=的解．（1）求m、n的值．（2）若线段AB m=，在直线AB上取一点P，恰好使APnPB=，点Q为AP的中点，求线段BQ的长．（3）若线段AB m=，点A，B分别以2个单位/秒和5个单位/秒的速度向左而行，经过几秒，A、B两点相距2个单位．14．已知：如图，一条直线上依次有A 、B 、C 三点． （1）若60BC =，3AC AB =，求AB 的长；（2）若点D 是射线CB 上一点，点M 为BD 的中点，点N 为CD 的中点，求BCMN的值； （3）当点P 在线段BC 的延长线上运动时，点E 是AP 中点，点F 是BC 中点，下列结论中： ①AC BPEF+是定值； ②||AC BPEF-是定值．其中只有一个结论是正确的，请选择正确结论并求出其值．。
小专题(九)_线段的计算
小专题（九）《线段的计算》类型1 线段的中点计算【例】如图，点C在线段AB上，点M，N分别是AC，BC的中点.（1）若AC=9 cm，CB=6 cm，则MN=_____cm；（2）若AC=a cm，CB=b cm，则MN=_____cm；（3）若AB=mcm，求线段MN的长；（4）若C为线段AB上任意一点，且AB=n cm，其他条件不变，你能猜想MN的长吗？并用一句简洁的话描述你发现的结论.【变式1】若MN=k cm，求线段AB的长.【变式2】若C在线段AB的延长线上，且满足AB=p cm，M，N分别为AC，BC的中点，你能猜想MN的长度吗？请画出图形，并说明理由.方法指导如图，点C在线寝AB所在的直线上，点M，N分别是AC，BC的中点，则MN=12 AB.针对训练1.已知线段AB=10cm，点C是直线AB上一点，BC=4cm，若M是AC的中点，N是BC的中点，则线段MN的长是（）A.7cmB.3cmC.7cm或3cmD.5cm2.如图，已知点C，D为线段AB上顺次两点，M，N分别是AC，BD的中点. （1）若AB=24，CD=10，求MN的长；（2）若AB=a，CD=b，请用含有a，b的式子表示出MN的长.类型2 线段的和差倍分计算3.如图，点C为线段AB的中点，点D在线段CB上.（1）图中共有_____条线段；（2）图中AD=AC+CD，BC=AB-AC，类似地，请你再写出两个有关线段的和与差的关系式；（3）若AB=8，DB=1.5，求线段CD的长.4.如图，AD=12cm，AC=BD=8cm，E，F分别是AB，CD的中点，求EF+2FB的长.类型3 运用分类讨论思想求线段的长度5.已知：点C在直线AB上.（1）若AB=2，AC=3，求BC的长；（2）若点C在射线AB上，且BC=2AB，取AC的中点D，已知线段BD的长为1.5，求线段AB的长.（要求：在图上补全图形）6.已知线段AB=60cm，在直线AB上画线段BC，使BC=20cm，点D是AC的中点，求CD的长.类型4 动态问题7.【分类讨论思想】如图，数轴上A，B两点对应的有理数分别为10和15，点P 从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴正方向运动，点Q同时从原点O 出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向运动，设运动时间为t秒.（1）当0<t<5时，用含t的式子填空：BP=_____，AQ=_____；（2）当t=2时，求PQ的值；（3）当PQ=12AB时，求t的值.参考答案【例】解：（1）7.5（2）5 12（a+b）（3）因为点M是AC的中点，所以CM=12AC.因为点N是BC的中点，所以CN=12BC.所以MN=CM+CN=12AC+12BC=12AB=12mcm.（4）猜想MN=12AB=12ncm.结论：当C为线段AB上一点，且M，N分别是AC，BC的中点，则MN=12AB一定成立.【变式1】解：因为点M是AC的中点，所以CM=12AC.因为点N是BC的中点，所以CN=12BC，所以MN=CM+CN=12AC+12BC=12AB.所以AB=2MN=2kcm.【变式2】解：猜想：MN=12AB=12Pcm.理由如下：当点C在线段AB的延长线上时，如图.因为点M是AC的中点，所以CM=12 AC.因为点N是BC的中点，所以CN=12BC.所以MN=CM-CN=12（AC-BC）=12AB=12Pcm.针对训练1.D2.解：（1）因为AB=24，CD=10，所以AC+DB=AB-CD=14.因为M，N分别是AC，BD的中点，所以MC+DN=12（AC+DB）=7.所以MN=MC+DN+CD=17.（2）因为AB=a，CD=b，所以AC+DB=AB-CD=a-b.因为M，N分别是AC，BD的中点，所以MC+DN=12（AC+DB）=12（a-b），所以MN=MC+DN+CD=12（a-b）+b=12（a+b）.3.解：（1）6（2）答案不唯一，如：①BC=CD-DB；②AD=AB=DB.（3）因为C为线段AB的中点，AB=8，所以CB=12AB=4.所以CD=CB-DB-2.54.解：因为AD=12cm，AC=BD=8cm，所以BC=AC+BD-AD=4cm.所以AB=AC-BC=4cm，CD=BD-BC=4cm，所以EF=BC+12（AB+CD）=4+12×8=8（cm）.所以CF=12CD=2cm.所以FB=BC+CF=6cm.所以EF+2FB=8+2×6=20（cm）.即EF+2FB的长为20cm. 5.解：（1）若点C在点A的左边，则BC=AB+AC=5：若C在A的右边，则BC=AC-AB=1.故BC的长为5或1.（2）如图所示，点C在AB延长线上：因为BC=2AB，D是AC的中点，所以AD=32AB.所以BD=12AB.因为BD=1.5，所以AB=3.6.解：当点C在线段AB上时，如图1.CD=12AC=12（AB-BC）=12×（60-20）=124020(cm)⨯=.当点C在线段AB的延长线上时，如图2.CD=12AC=12（AB+BC）=11(6020)8040(cm)22⨯+=⨯=.所以CD的长为20cm或40cm.7.解：（1）5-t 10-2t（2）当t=2时，AP<5，点P在线段AB上OQ<10，点Q在线段OA上，如图1.此时PQ=OP-OQ=（OA+AP）-OQ=（10+t）-2t=10-1=8.（3）①当点P在点Q右边时，如图2.此时，AP=t，OQ=2t，OA=10，AB=5.所以PQ=OA+AP-OQ=10+t-2t=10-t.当PQ=12 AB时，即10-t=2.5，解得t=7.5.②当点P在点Q左边时，如图3.此时，OQ=2t，AP=t，OA=10，AB=5.所以PQ=OQ-OA-AP=2t-10-t=t-10.当PQ=12 AB时，即：t-10=2.5，解得=12.5.综上所述，当PQ=12AB时，t=7.5或12.5.。
初中数学竞赛奥数培优资料第二辑专题22 关于中点的联想
专题22关于中点的联想阅读与思考线段的中点把线段分成相等的两部分，图形中出现中点，可以引起我们丰富的联想：首先它和三角形的中线紧密联系；若中点是在直角三角形的斜边上，又可以引用“斜边上的中线等于斜边的一半”结论；其次，中点又与中位线息息相关；另外，中点还可以与中心对称相连．解答中点问题的关键是恰当地添加辅助线，如作中线倍长、作直角三角形的斜边上的中线、构造三角形、梯形中位线、构造中心对称图形等，如图所示：例题与求解【例1】如图，△ABC 边长分别为AB ＝14，BC ＝16，AC ＝26，P 为∠A 的平分线AD 上一点，且BP ⊥AD ，M 为BC 的中点，则PM 的值为___________．(安徽省竞赛试题)解题思路：∠A 的平分线与BP 边上的垂线互相重合，通过作辅助线，点P 可变为某线段的中点，利用三角形中位线定理解题．【例2】如图，边长为1的正方形EFGH 在边长为3的正方形ABCD 所在的平面上移动，始终保持EF ∥AB ，线段CF ，DH 的中点分别为M ，N ，则线段MN 的长度为()(北京市竞赛试题)A ．102B ．172C ．173D ．2103解题思路：连接CG ，取CG 的中点T ，构造三角形中位线、梯形中位线．【例3】如图，在△ABC中，AB＝AC，延长AB到D，使BD＝AB，E为AB中点，连接CE，CD，求证：CD＝2EC．(宁波市竞赛试题)解题思路：图形中有两个中点E，B，联想到与中点相关的丰富知识，将线段倍分关系的证明转化为线段相等关系的证明，关键是恰当添加辅助线．例3图【例4】如图1，P是线段AB上一点，在AB的同侧作△APC和△BPD，使∠APC＝∠BPD，PC＝PA，PD＝PB，连接CD，点E，F，G，H分别是AC，AB，BD，CD的中点，顺次连接E，F，G，H．(1)猜想四边形EFGH的形状，直接回答，不必说明理由；(2)当点P在线段AB的上方时，如图2，在△APB的外部作△APC和△BPD，其他条件不变，(1)中的结论还成立吗？说明理由；(3)如果(2)中，∠APC＝∠BPD＝90°，其他条件不变，先补全图3，再判断四边形EFGH的形状，并说明理由．（营口市中考试题）图①图②图③解题思路：结论随着条件的改变也许发生变化，但解决问题的方法是一致的，即通过连线，为三角形中位线定理的应用创造条件．【例5】如图，以△ABC的AB，AC边为斜边向形外作直角三角形ABD和ACE，且使∠ABD＝∠ACE，M是BC的中点，求证：DM＝EM．（“祖冲之杯”邀请赛试题）解题思路：显然△DBM不全等于△ECM，必须通过作辅助线，构造全等三角形证明DM＝EM．例5图【例6】如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，AB边上的高CH与△ABC的两条内角平分线AM，BN 分别交于P，Q两点，PM，QN的中点分别为E，F，求证：EF∥AB．（全国初中数学联赛题）解题思路：从图形的形成过程，逐步探索相应结论．将原问题分解为多个小问题．例6图○能○力○训○练A级1．如图，若E，F，G，H分别是四边形ABCD各边的中点，则四边形EFGH是____________．(1)如果把条件中的四边形ABCD依次改为矩形、菱形、正方形或等腰梯形，其他条件不变，那么所得的四边形EFGH分别为_______________________；(2)如果把结论中的平行四边形EFGH依次改为矩形、菱形、正方形，那么原四边形ABCD应具备的条件是_______________________．（湖北省黄冈市中考试题）第1题图第2题图2．如图，已知AG⊥BD，AF⊥CE，BD，CE分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，若BF＝2，ED＝3，GC＝4，则△ABC的周长为_______________．(重庆市竞赛试题)3．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，E是AC的中点，若BC＝16，DE＝5，则AD＝______________．（南京市中考试题）4．如图，在△ABC中，AB＝AC，M，N分别是AB，AC的中点，D，E为BC上的点，连接DN，EM，若AB＝13cm，BC＝10cm，DE＝5cm，则图中阴影部分的面积为________________．（北京市中考试题）第3题图第4题图第7题图5．A′，B′，C′，D′顺次为四边形ABCD的各边的中点，下面条件中使四边形A′B′C′D′为正方形的条件是（）A．四边形ABCD是矩形B．四边形ABCD是菱形C．四边形ABCD是等腰梯形D．四边形ABCD中，AC⊥BD且AC＝BD 6．若等腰梯形的两条对角线互相垂直，中位线长为8cm，则该等腰梯形的面积为（）A．16cm2B．32cm2C．64cm2D．112cm27．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，E，F分别是BD，AC的中点，若AD＝6cm，BC＝18cm，则EF 的长为（）A．8cm B．7cm C．6cm D．5cm8．如图，在梯形ABCD中，AD∥EF∥GH∥BC，AE＝EG＝GB，AD＝18，BC＝32，则EF＋GH＝（）A．40B．48C．50D．56（泰州市中考试题）第8题图第9题图9．如图，在△ABC中，∠B＝2∠C，AD⊥BC于点D，M是BC的中点，求证：DM＝1AB．210．如图，在△ABC 中，BD ＝CE ，BE ，CD 的中点分别是M ，N ，直线MN 分别交AB ，AC 于点P ，Q ，求证：AP ＝AQ ．第10题图11．在图1至图3中，点B 是线段AC 的中点，点D 是线段CE 的中点．四边形BCGF 和CDHN 都是正方形．AE 的中点是M ．（1）如图1，点E 在AC 的延长线上，点N 与点G 重合时，点M 与点C 重合，求证：FM =MH ，FM ⊥MH ；（2）将图1中的CE 绕点C 顺时针旋转一个锐角，得到图2，求证：△FMH 是等腰直角三角形；（3）将图2中的CE 缩短到图3的情况，△FMH 还是等腰直角三角形吗？（不必说明理由）(2009年河北省中考试题)图1A H C (M )D E B F G (N )G 图2A HC DE BF NM A H C D E 图3B F G M N 12．在六边形ABCDEF 中，AB ∥DE ，BC ∥EF ，CD ∥FA ，AB ＋DE ＝BC ＋EF ，A 1，B 1，D 1，E 1分别是边AB ，BC ，DE ，EF 的中点，A 1D 1＝B 1E 1．求证：∠CDE ＝∠AFE ．第12题图B级1．如图，正方形ABCD两条对角线相交于点E，∠CAD的平分线AF交DE于点G，交DC于点F，若GE＝24，则FC＝_________________．2．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点F，M，N分别是AB，CD的中点，MN分别交BD，AC于点P，Q，且∠FPQ＝∠FQP，BD＝10，则AC＝_________．（重庆市竞赛试题）第1题图第2题图第3题图3．如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，以AB，AC为边分别向形外作正三角形ABD和正三角形ACE，M为AD的中点，N为AE的中点，P为BC的中点，则∠MPN＝_________．（北京市竞赛试题）4．如图，已知A为DE的中点，设△DBC，△ABC，△EBC的面积分别为S1，S2，S3，则S1，S2，S3之间的关系是（）A．S2＝32(S1＋S3)B．S2＝12(S3―S1)C．S2＝12(S1＋S3)D．S2＝32(S3―S1)5．如图，在图形ABCD中，AB∥DC，M为DC的中点，N为AB的中点，则()A．MN＞12(AD＋BC)B．MN＜12(AD＋BC)C．MN＝12(AD＋BC)D．无法确定MN与12(AD＋BC)的关系第4题图第5题图第6题图第7题图6．如图，凸四边形ABCD的面积是a，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，那么图中的阴影部分的面积为()A．18a B．16a C．14a D．12a（江苏省竞赛试题）7．如图，在△ABC中，D为AB的中点，分别延长CA，CB到点E，F，使DE＝DF，过E，F分别作CA，CB的垂线，相交于点P．求证：∠PAE＝∠PBF．（全国初中数学联赛试题）8．如图，锐角△ABC中，作高BD和CE，过顶点B，C分别作DE的垂线BF和CG，求证：EF＝DG．（全俄奥林匹克数学竞赛试题）第8题图9．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，点M在AB边上，点N在AC边上，并且∠MDN＝(AB2＋AC2)．（北京市竞赛试题）90°，如果BM2＋CN2＝DM2＋DN2．求证：AD2＝14第9题图10．已知：△ABD和△ACE都是直角三角形，且∠ABD＝∠ACE＝90°．如图1，连接DE，设M为DE的中点．(1)求证：MB＝MC；(2)设∠BAD＝∠CAE，固定△ABD，让Rt△ACE绕顶点A在平面内旋转到图2的位置，试问：MB＝MC是否还成立?请说明理由．（江苏省竞赛试题）11．已知△OAB，△OCD都是等腰直角三角形，∠AOB＝∠COD＝90°．(1)如图1，点C在OA边上，点D在OB边上，连接AD，BC，M为线段AD的中点，求证：OM⊥BC．(2)如图2，在图1的基础上，将△OCD绕点O逆时针旋转α(α为锐角)，M为线段AD的中点．①求证：OM＝12 BC；②OM⊥BC是否还成立?若成立，请证明；若不成立，请说明理由．12．如图1，在△ABC中，点P为BC边的中点，直线a绕顶点A旋转，若点B，P在直线a的异侧，BM⊥直线a于点M，CN⊥直线a于点N，连接PM，PN．(1)延长MP交CN于点E(如图2)．①求证：△BPM≌△CPE；②求证：PM＝PN．(2)若直线a绕点A旋转到如图3的位置时，点B，P在直线a的同侧，其他条件不变，此时PM＝PN 还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．(3))若直线a绕点A旋转到与BC边平行的位置时，其他条件不变．请直接判断四边形MBCN的形状及此时PM＝PN是否成立．不必说明理由．（沈阳市中考试题）专题22关于中点的联想例1、6例2B 提示：取CG 的中点T ，连MT ，NT ，则12MT =，2NT =，∠90MTN =°例3提示：取AC 中点F ，连BF ，证明BF CE=例4（1）四边形EFGH 为菱形；（2）成立，连AD ，BC ，由APD D ≌CPB D ，得AD BC =，又12EF BC =，12FG AD =，12HG BC =，12EH AD =，则EF FG GH HE ===，故四边形EFGH 为菱形；（3）四边形EFGH 是正方形例5证明：延长BD 至P ，使DP DB =，延长CE 至Q ，使EQ EC =，连AP ，AQ ，PC AB AP = ，AC AQ =，∠PAC =∠BAQ ，ABQ \D ≌APC D ，有PC BQ =，又MD ，ME 分别是BPC D 与BQC D 的中位线，12MD PC \=，12ME BQ =，故MD ME =例6（1）如图a ，b ，CPM D ，CNQ D 皆为等腰三角形，连CE ，CF ，则CE ⊥PM ，CF ⊥NQ（2）如图c ，分别延长CE ，CF 交AB 于S ，R ，则EF ∥12RSA 级1.平行四边形（1）菱形、矩形、正方形、菱形；（2）对角线互相垂直、对角线相等、对角线互相垂直且相等2.303.64.30230cm5.D6.C7.C8.C9.提示：取AC 中点N ，连结MN ，DN ，则12MN AB =，证明DM MN =10.提示：取BC 中点R ，连结MR ，NR ，则MR NR=11.（1）略（2）连MB ，MD ，则四边形BCDM 为平行四边形，可证明FBM D ≌MDH D ，则FM MH =，∠BFM =∠DMH ，延长AC 交MH 于S ，则∠DMH =∠CSM ∠BFM ，则∠FBC =∠90FMH =°，故∠FMH 是等腰直角三角形（3）是12.如图，作□ABPF ，连接DP ，取DP 的中点M ，则四边形BCDP 是梯形，连接1B M ，1E M ，由梯形中位线定理知，1B M ∥CD ∥BP ∥AF ，1ME ∥DE ∥FP ∥AB ，且122BP CD AF CD B M ++==，122PF DE AB DE E M ++==，同理作□BCDO ，取OF 的中点N ，连接1A N ，1D N ，由梯形中位线定理知，1A N ∥AF ∥BO ∥CD ，1ND ∥EF ∥OD ∥BC且122AF BO AF CD A N ++==，1222EF OD EF BC AB DE D N +++===，在11B ME D 与11A ND D 中，11B M A N =，11E M D N =。
第四节 线段中点的应用(含答案)...八年级数学 学而思
第四节 线段中点的应用线段的中点是几何图形中一个特殊的点，它关联着三角形中线、直角三角形斜边中线、中心对称图形、三角形中位线、梯形中位线等丰富的知识，恰当地利用中点，处理中点是解与中点有关问题的关键，由中点想到什么？常见的联想路径是：1. 倍长中线或类中线（与中点有关的线段）构造全等三角形与平行线，如图8-4-1①，②，③，④，所示2. 作直角三角形斜边中线，如图8-4-1⑤所示148--3. 构造中位线如图8-4-1⑥⑦⑧所示4. 构造等腰三角形三线合一，如图8-4-⑨所示5. 三角形的中线可以等分三角形的面积。
如图8-4-1-⑩所示 若D 是BC 边上的中点，则ACD ABD S S ∆∆= 6．中点四边彩(1)定义：顺次连接四边形四边中点所得的四边形叫做中点四边形． (2)常见的中点四边形：①任意四边形的中点四边形是平行四边形；②平行四边形的中点四边形是平行四边形； ③矩形的中点四边形是菱形； ④菱形的中点四边形是矩形； ⑤等腰梯形的中点四边形是菱形．1.一个中点(1)等腰三角形：三线合一． (2)直角三角形：斜边中线．(3)已知任意一边中点：普通中线平分面积倍长中线 (4)平行线间所截线段的中点：构造八字形全等三角形． 2.两个中点(1)三角形两边的中点：中位线定理 (2)梯形的中位线，例1．如图8-4-2所示，已知P AB ,10=是线段AB 上的动点，分别以AP ，PB 为边在线段AB 的同侧作等边△ACP 和等边△PDB，连接CD ，设CD 的中点为G ，当点P 从点A 运动到点B 时，则点G 移动路径的长是检测1.已知8-4-3所示，如图矩形ABCD 中，延长CB 到E ，使F AC CE ,=是AE 中点，求证：.DF BF ⊥ 例2．（四川宜宾中考）如图8-4-4所示，在△ABC 中，BD ABC ,90ο=∠为AC 的中线，过点C 作BD CE ⊥于点E ，过点A 作BD 的平行线，交CE 的延长线于点F ，在AF 的延长线上截取,BD FG =连接BG ，DF.若,6,13==CF AG 则四边形BDFG 的周长为248-- 348-- 448--检测2.如图8-4-5所示，等腰梯形ABCD 中，,,,//BC AD CD AB AB DC =>AC 和BD 交于0，且所夹的锐角为M F E ,,,60ο分别为BC OA OD ,,的中点．求证：三角形EFM 为等边三角形，例3．如图8-4-6所示，△ABC 中，M AC AB ,7,4==是BC 的中点，AD 平分,BAC ∠过M 作AD FM //交AC 于F ，则FC 的长为548-- 648-- 748-- 848--检测3.如图8-4-7所示，□ABCD 中，F AB AD ,2=是AD 的中点，作,AB CE ⊥垂足E 在线段AB 上，连接,,CF EF则下列结论;21BCD DCF ∠=∠①;CF EF =②③;2S CEF BEC S ∆∆=AEF DFE ∠=∠3④中一定成立的是( )①②.A ①②④.B ①③④.C ①②③④.D例4．如图8-4-8所示，边长为1的正方形EFGH 在边长为3的正方形ABCD 所在的平面上移动，且始终保持.//AB EF设线段CF ，DH 的中点分别为M ，N ，则线段MN 的长为210.A 217.B 317.C 3102.D检测4.（灌云县模拟）如图8 -4 - 10所示，在四边形ABCD 中，对角线BD AC ⊥且F E BD AC ,,8,6==分别是边AB ，CD 的中点，则=EF第四节 线段中点的应用(建议用时30分钟)实战演练1．如图8-4-1所示，矩形ABCD 中，R 是CD 的中点，点M 在BC 边上运动，E ，F 分别是AM ，MR 的中点，则EF 的长随着M 点的运动( )A ．变短B ．变长 C.不变 D ．无法确定2．（河北中考）如图8-4-2所示，点A ，B 为定点，定直线P AB l ,//是L 上一动点，点M ，N 分别为PA ，PB 的中点，对下列各值：①线段MN 的长；②△PAB 的周长；③△PMN 的面积；④直线MN ，AB 之间的距离，⑤∠APB 的大小，其中会随点P 的移动而变化的是( )②③.A ②⑤.B ①③④.C ④⑤.D148-- 248-- 348--3．如图8-4-3所示，M ，P 分别为△ABC 的AB ，AC 上的点，且,2,CP AP BM AM ==BP 与CM 相交于点N ．已知,1=PN 则PB 的长为( )2.A3.B4.C5.D4．如图8-4-4所示，梯形ABCD 中，EF AB DC ,//是梯形的中位线，对角线BD 交EF 于G ．若,8,10==EF AB 则GF 的长等于5．（辽宁鞍山中考）如图8-4-5所示，D 是△ABC 内一点，,6,=⊥AD CD BD ,4=BD H G F E CD ,,,,3=分别是BD CD AC AB ,,,的中点，则四边形EFGH 的周长是448-- 548-- 648--6．一个等腰梯形的周长为100 cm ，如果它的中位线与腰长相等，它的高为20 cm ，那么这个梯形的面积是 .2cm 7．如图8-4-6所示，AD ，BE 为△ABC 的中线，交于点===∠OE OD AOE O ,23,60,ο,25求=AB8．如图8-4-7所示，梯形ABCD 中，,//BC AD 且,5:3:=BC AD 梯形ABCD 的面积是,82cm 点M ．N 分别是AD 和BC 上一点，E ，F 分别是BM ，CM 的中点，则四边形MENF 的面积是 .2cm9．如图8-4-8所示，在△ABC 中，E ，F 分别为AB ，AC 上的点，且N M CF BE ,.=分别为BF ，CE 的中点，过M ，N 的直线交AB 于点P ，交AC 于点Q.已知,70ο=∠A 那么，APQ ∠的度数是10.如图8-4-9所示，在梯形ABCD 中，,//CD AB 并且N M CD AB ,,2=分别是对角线BD AC ,的中点，设梯形ABCD 的周长为,1L 四边形CDMN 的周长为,2L 求:1L =2L748-- 848-- 948--11．如图8 -4 - 10所示，已知AD 为△ABC 的角平分线，,AC AB <在AC 上截取,AB CE =M ．N 分别为BC ，AE的中点．求证：.//AD MN12.如图8-4-11所示，在△ABC 中，AD C ABC ，∠=∠2平分,BAC ∠过BC 的中点M 作,AD ME ⊥交AB 的延长线于点E ，交AD 的延长线于点F.求证：.21BD BE =1048-- 1148--13.（北京西城一模）在正方形ABCD 中，点P 是射线CB 上一个动点，连接PA ，PD ，点M ，N 分别为BC ，AP 的中点，连接MN 交PD 于点Q.(l)如图8-4 - 12所示，当点P 与点B 重合时，△QPM 的形状是(2)当点P 在线段CB 的延长线上时，如图8-4 -13所示，①依题意补全图8-4—13；②判断△QPM 的形状，并加以证明．1248-- 1348-- 拓展创新14.如图8-4 - 14所示，在四边形ABCD 中，F E CD AB ADC ,,,180=>∠ο分别为BC ，AD 中点．BA 交EF 延长线于点G ，CD 交EF 于点H.求证：.CHE BGE ∠=∠1448--拓展1．如图8 -4 -15所示，在△ABC 中，D AB AC ,>点在AC 上，F E CD AB ,,=分别是 BC ，AD 的中点，连接EF 并延长，与BA 的延长线交于点G ，若,60ο=∠EFC 连接GD ，判断△AGD 的形状并证明．1548--拓展2．如图8 -4 -16所示，P 是△ABC 内的一点，,PBC PAC ∠=∠过点P 分别作⊥PM AC 于点BC PL M ⊥,于点L ，D 为线段AB 的中点，求证：.DL DM =1648--极限挑战15.如图8-4 - 17所示，在△ABC 的两边AB ，AC 向形外作正方形ABDE 和ACFG ，取,BE CG BC ,的中点M ，Q ，N.判断△MNQ 的形状并证明，1748--答案11。
线段中点的计算
ADC E B
解：AC=BC=
1 2
AB=4cm，
DC=
1 2
AC=2cm,EC=
1 2
CB=2cm,
DE=DC+CE=2cm+2cm=4cm
例4、已知线段AB=10cm,点C在直线AB上， BC=6cm，求线段AC的长
解：有两种情况
10
6
A
B
C
甲
图甲：当点C在线段AB的延长线时
AC=AB+BC=10+6=16
∴AB=AC+CD+DB=4+4+3=11（cm）
四.小试牛刀：
5、已知AB=9cm,BD=3cm,C为AB的中点， 求线段DC的长。
A
CD
B
6、已知AD=4cm,BD=2cm,C为AB的 中点，求线段BC的长。
A
CD
B
五.大展身手：
例3:如图,线段AB=8cm，点C是AB的 中点，点D是AC的中点，点E是CB的 中点，求线段DE的长度。来自ACDB
解：∵ AB=8cm， ∴ CB=1/2 AB=4cm 又∵ DB=1.5cm
∴CD=CB-DB =4cm-1.5cm=2.5cm.
例2.如图，DB=3cm，BC=7cm，
C是AD的中点，求AB的长.
A
C
DB
解：∵DB=3cm，BC=7cm ∴CD=BC－DB=7－3= 4（cm）
∵点C是AD的中点， ∴AC=CD=4cm，
2.若AM=BM，则点M一定是线段
AB的中点吗？
M
线段中点的条件：
A
B 1、在已知线段上。
2、把已知线段分成
两条相等线段的点
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
线段的中点练习课
与线段有关的所有知识点清单：
1、线段、射线、直线的定义：
（1）线段：绷紧的琴弦，人行横道线都可以近似的看做线段。
线段有两个端点。
（2）射线：将线段向一个方向无限延长就形成了射线。
射线有一个端点。
（3）直线：将线段向两个方向无限延长就形成了直线。
直线没有端点。
2、线段、射线、直线的区别与联系：
（1）线段有两个端点，射线有一个端点，直线没有端点；
（2）将线段向一个方向无限延长就形成了射线；
（3）将线段向两个方向无限延长就形成了直线。
3、点、直线、射线和线段的表示
在几何里，我们常用字母表示图形。
一个点可以用一个大写字母表示。
一条直线可以用一个小写字母表示或用直线上两个点的大写字母表示。
一条射线可以用一个小写字母表示或用端点和射线上另一点来表示（端点字母写在前面）。
6、线段的中点:
一个点把一条线段分成相等的两条线段，这个点就叫做这条线段的中点。
本节目标：
1、学会线段中点的几何语言；
2、学会用线段中点的几何语言解答简单的有关线段中点的几何问题。
本节重点、难点：
重点：
1、学会线段中点的几何语言；
2、 学会用线段中点的几何语言解答简单的有关线段中点的几何问题。
难点：
学会用线段中点的几何语言解答简单的有关线段中点的几何问题。
一、什么是几何语言？
几何语言有三类：“文字语言”、“图形语言”、“符号语言”，几何中的每个知识点都对应 有三种语言，
以线段的中点为例：
“一个点把一条线段分成相等的两条线段，这个点就叫做这条线段的中点。
”是这一知识点中的文字语言。
C 对应的图形语言是：右图 A
B
符号语言就是：∵点C 是线段AB 的中点 ∴AC=BC=2
1
AB
二、用线段中点的几何语言解答简单的有关线段中点的几何问题
（一）解答题：
在解答几何题目的时候，都是用“图形”来分析题目，“符号语言”来书写解答过程，“文字语言”来解释原因。
典例分析：
如图，C 、D 是线段AB 上的两点，若BC=3㎝，BD=5㎝，且D 是AC 的中点， 求AC 的长
针对练习：
如图，已知线段AB=6cm ，延长线段AB 到点C ，使BC=2AB ，点D 是AC 的中点 （1） 求AC 的长；
（2） 求BD 的长。
（二）证明题
关于证明题，证明方法都是从“求证”问题入手，通过分析，寻求“证据”回到“已知”条件。
具体到关于线段的中点的证明题，的证明方法是通过线段的加或减，或者等量代换得到。
典例分析：
已知，线段AC 及点B ，点D 是线段AB 的中点，点E 是线段CB 的中点 （1）如图，点B 是线段AC 上任意一点，求证:DE=
2
1AB
（2）当点B 在线段AB 或者线段BA 的延长线上，其它条件不变，此时上述结论是否依然成立？请选择一种情况画出图形，并说明理由。
针对练习：
1、 如图，点B 是线段AC 的中点，点C 是线段BD 的中点，求证：AB=CD
2、如图，已知点C是线段AB的中点，点M是线段AC的中点，点N是线段BC的中点，求证：AN=BM
如有侵权请联系告知删除，感谢你们的配合！。