薛定谔方程的建立和探讨

编号

学士学位论文

薛定谔方程的建立和探讨

学生姓名：麦麦提阿布都拉.艾沙

学号：20070105034

系部：物理系

专业：物理学

年级：07-1班

指导教师：艾沙江.赛来

完成日期：2012 年 5 月 5 日

中文摘要

薛定谔方程是量子力学的重要基本方程其地位与经典物理中的牛顿运动方程相当，打开物质微观世界大门的金钥匙。薛定谔方程是关于微观粒子运动状态的描述和微观粒子力学量的表达等方面谈量子力学，量子力学的基本规律是统计规律，介绍了薛定谔方程的表述形式, 分析了不同体系的薛定谔方程的建立方法, 并介绍了求解复杂体系的薛定谔方程的近似模型和方法分析了薛定谔方程在揭示物质微观世界的实际应用价值,从而有助于更好地认识薛定谔方程的重要意义，首先分析薛定谔方程在一维势场中的应用然后建立波函数最后建立薛定谔方程，还要说薛定愕方程的实验基础。

关键词:创造性思维; 特性;薛定谔方程。

目录

中文摘要 (1)

引言 (3)

1. 薛定谔方程的建立和创造性的思维 (4)

1.1问题提出 (4)

1.2发散思维 (4)

2. 薛定谔方程的建立 (4)

2.1．薛定谔方程的建立 (4)

2.2再造想象 (8)

3.一维定态薛定谔方程的建立和求解举例 (8)

3.1一维运动自由粒子的薛定谔方程 (8)

3.2一维运动自由粒子的定态薛定谔方程 (9)

4.薛定谔方程的实验基础： (10)

5. 量子力学与经典物理的区别: (12)

5.1.关于运动状态的描述 (12)

5.2.关于状态量的解释 (12)

5.3.关于力学量的表达 (13)

结论 (14)

参考文献. (15)

致谢 (16)

引言

薛定谔提出的量子力学基本方程建立于1926 年, 它是一个非相对论的波动方程。它反映了描述微观粒子的状态随时间变化的规律, 它在量子力学中的地位相当于牛顿定律对于经典力学一样, 是量子力学的基本假设之一。设描述微观粒子状态的波函数为Ψ( r , t ) , 质量为m 的微观粒子在势场U( r , t ) 中运动的薛定谔方程为在给定初始条件和边界条件以及波函数所满足的单值、有限、连续的条件下, 可解出波函数Ψ( r , t ) , 由此可计算粒子的能量、分布概率等。当势能U(r)与时间无关而只是坐标的函数情况下为定态问题。定态时的波函数可写成式中Ψ( r ) 称为定态波函数, 满足定态薛定谔方程, 这一方程在数学上称为本征方程, 式中 E 为本征值, 是定态能量, Ψ( r ) 又称为属于本征值E 的本征函数，波函数本身及其一阶导数必须是单值、连续和有限的, 这称为波函数的标准条件。薛定谔方程是线性、齐次的微分方程, 所以满足叠加原理。定态薛定谔方程的每一个解就代表粒子的一个稳定状态。纵观物理学发展的历史, 人们对于微观世界的认识是极其曲折复杂的, 经历了许多伟大科学家的艰辛努力与激烈争论。其间, 他们各有自己的高见, 也都有各自的不足, 每人只认识其中的一个侧面, 将他们各自正确的部分集中起来, 才建立起反映微观世界的正确理论——量子力学。其重要组成部分之一是薛定谔创立的波动力学。在波动力学中薛定谔从几何光学向波动光学的过渡关系, 而推断出由经典力学向波动力学如何过渡, 再受德布罗意波的启发而建立了薛定谔方程。虽然如此, 当时他本

人对方程中的波函数的意义并不清楚, 有趣的是, 当第二年波恩对波函数进行统计解释时, 他还持反对态度, 同时引出了许多科学家对这一问题的激烈争论( 这方面在很多教科书中都有详细描述, 笔者不再赘述) 。而今, 人们对于波函数的理解虽有了统一的认识, 但对于波函数的教学仍有诸多不便。当然, 教学过程不是历史的重演, 所以, 不可能, 也不应该完全按历史发展的进程来讲授, 笔者只在这里总结。

一下自己的教学过程, 谨此与同行们切磋。由于在实践中只有少数几个特殊的粒子运动体系的薛定谔方程可以精确求解，而对于复杂的多电子原子和分子体系的薛定谔方程则无法精确求解, 即使是利用近似模型处理后, 其求解过程仍然非常复杂烦琐. 随着计算机技术的飞速发展, 经过适当的近似处理后, 通过求解薛定谔方程来揭示物质的微观性质和状态已经得到了非常成功的应用, 尤其是在量子化学计算领域. 因此, 薛定谔方程已经成为了人们打开物质微观世界大门的金钥匙。薛定谔方程在量子力学的研究中有着极其重要

的作用, 它是量子力学重要的基本方程. 这方程既不是推导, 也不是证明出来的, 它是假设而建立起来的. 建立方程的依据是: ( 1) 应当是波函数对时间的一阶微分方程; ( 2) 方程要包含外界的因素; ( 3) 方程中的系数不含有状态参量; ( 4) 方程是线性的.薛定谔方程的建立与创造性思维

1. 薛定谔方程的建立和创造性的思维

1. 1 问题提出

1923 年,正当人们对光的波粒二象性仍然感到新奇之际,法国物理学家德布罗意又提出实物粒子也具有波粒二象性.在爱因斯坦的提议下, 实验物理学家们都积极参与对这一提法的实验证明.美国实验物理学家戴维森在对电子束实验中,证明德布罗意的提法是正确的. 实物粒子具有波粒二象性, 这是物质的根本属性,那么具有波粒二象性的实物粒子运动的基本规律是什么? 如何从理论上直接得到,是在德布罗意的假设被肯定之后所面临的中心问题.薛定愕的老师德拜指定他做有关德布罗意工作的报告.在报告之后, 德拜表示不满, 向他指出,德布罗意以物质具有波动性质描述了微观粒子,但还不曾建立一个以波动来表示微观粒子运动的动力学方程, 研究波动就应该先建立一个方程. 薛定愕在他的启示下,深入研究了这个问题, 显然他不是用传统理论中人们熟悉的逻辑思维解决的.

1.2 发散思维

( 1) 建立方程首先要选择一个状态量, 那么用什么样的物理量来描述具有波粒二象性的实物粒子的运动状态呢? 这个状态量的意义是什么呢?

( 2) 建立方程的形式应属于那一基本类型呢? 这个方程的解是什么呢?

( 3) 建立方程中自变量是什么? 有几个呢?

( 4) 被描述的实物粒子所处的环境又将怎样描述呢?

2. 薛定谔方程的建立:

2.1．薛定谔方程的建立 .

建立过程：自由粒子波函数所满足的方程推广到一般。

自由粒子的波函数为平面波