无穷限的反常积分

b
如果极限 lim f ( x)dx 存在,则称这个极限值 t t
为f ( x)在(,b]上的反常积分,记作 b f ( x)dx.
即
b
b
f ( x)dx lim f ( x)dx

t t
当极限存在时, 称反常积分 收敛;
当极限不存在时, 称反常积分 发散.


f ( x)dx F ( x) F() F(a),
a
a
F() lim F( x).
x
b
b
f ( x)dx F ( x) F(b) F(),


F() lim F( x).
x


f ( x)dx F ( x) F() F().

f ( x)dx


0
lim
0
f ( x)dx lim
t
f ( x)dx
t t
t 0
称反常积分 f ( x)dx收敛; 否则称反常积分
f ( x)dx发散.

5
注 为这了时方反便常起积见分, 的规收定敛: 与发散取决于F ( ) 若和FF对( x(反)是常)连是积续否分函存可数 在用f.如( x下)的的原简函记法数使. 用N--L公式,
1 p
te pt

1 p2
e pt]0
lim [ t
1 te pt p
1 p2
e pt]
1 p2

1 p2

提示： lim te pt
t
lim t
t e pt
lim t
1 pe pt
0

8
例
计算反常积分
1 1
2
x2 sin x dx
(x)dx
[F
(x)]a

lim
x
F
(x)

F
(a)

例例2
计算反常积分
te
0
ptdt
(p
是常数
且 p>0)
解解
te ptdt [
0
te ptdt]0 [
1 p
tde pt]0
[ 1 te pt 1
p
p
e ptdt]0
[
如为果f (极x)限在[atl,im a)t上f (的x)反dx常存积在分, 则,记称作这个 极f ( lim f ( x)dx
a
t a
当极限存在时, 称反常积分 收敛;
当极限不存在时, 称反常积分 发散.
3
(2) 设f ( x)在(, b]上连续, 取t b

1
1 x pdx

1 dx
1x
ln
x
1



(2) p 1,
1
1 xp
dx

x1 1
p
p



1
, 1 p1
p1 p1
因此 当p 1时 收敛, 其值为 1 ;
p1
当p 1时 发散.
10
1.计算
e
x
1 ln 2
解
1 1
2
x2 sin x dx


2
sin
1 x
d
1 x


cos
1 x


2

lim cos 1 cos 1.
x
x
2
9
例
证明反常积分
1
x1pdx,当p

1时收敛,
* 当p 1时发散.
证 (1) p 1,
c点为f ( x)的瑕点,(即lim f ( x) ).如果
x c
反常积分 b f ( x)dx写成 a
函数 f ( x) 在(a,b]上的反常积分, 仍然记为
b
b
b
f ( x)dx, 即 f ( x)dx lim f ( x)dx
a
a
ta t
也称反常积分 b f ( x)dx收敛;当极限不存在时, a
称反常积分 b f ( x)dx发散. a
12
(2) 设f ( x)在[a, b)上连续, 点b为f ( x)的瑕点,
(即 lim f ( x) ).取t b, 如极限
x b
t
lim f ( x)dx
tb a
存在, 则定义
b
t
f ( x)dx lim f ( x)dx
a
tb a
否则,称反常积分 b f ( x)dx发散. a
13
(3) 设f ( x)在[a,b]上 除x c(a c b)外连续,
0
0
[ xe x e xdx] 1
0
0
11
二、无界函数的反常积分(瑕积分)
定义2 (1) 设f ( x)在(a, b]上连续,在a点右邻域
内f ( x)无界 (即 lim f ( x) ). 取t a, 瑕点 x a
如极限 lim b f ( x)dx 存在,则称此极限为 ta t
dx x
2002年考研数学(一)填空3分
解
e
1 x ln2
dx x

e
1 ln 2
dlnx x


1 ln x
e

1
2002年考研数学(二)填空3分
2.位于曲线 y xex (0 x )下方, x轴上方的
无界图形的面积是
解 A xexdx xdex
§5.4 反常积分 (广义积分)
improper integral 无穷限的反常积分 无界函数的反常积分 小结
1
第五章 定积分
积分区间有限 常义积分
被积函数有界
推 广
积分区间无限
反常积分
常义积分的极限
被积函数无界
2
一、无穷限的反常积分
定义1 (1) 设f ( x)在[a,)上连续,取t a,
4
(3) 设f ( x)在(,)上连续, 如果反常积分
0

f ( x)dx 和 f ( x)dx

0
都收敛, 则称上述两反常积分之和为函数 f ( x)
在(,)上的反常积分,记作 f ( x)dx, 即
f ( x)dx
0
f ( x)dx


6
例
计算反常积分

1
dx x
2
.
解

1
dx x2

arctan x

lim arctan x lim arctan x
x
x


2




2



.
y
反常积分的积分值 的几何意义
y

1
1 x
2
O
x
7

a
f