全国卷理科数学模拟试题一
2013年全国高考仿真模拟题(一)(全国新课标理科数学卷)参考答案
（ ２ ２） ＋（ ２
０ ． ４ ， ， Ｊ （ 一 ２ ） 一 音 ｏ ． ２ ， Ｐ （ ∈ 一 ３ ） ＝ ｏ ． ２ ， Ｐ （ ｓ 一 ４ ） 一 一
０ ． １ ，Ｐ （ 一５ ） ： ＝ｏ ． １ ．故 “ 购 买 该 品 牌 汽 车 的 ３位 顾 客 中
所 以 的 分 布 列 为
假 设 抛 物 线 Ｌ 上 存 在 点 ｃ （ ｆ ， 鲁 ） （ ｆ ≠ ｏ ， ￡ ≠ ４ ） ， 使 得 经 过
１ ｌ － ５ ｌ ２
ｏ ． Ｉ ｏ ． ２ Ｉ
ｌ
Ｉ
Ｐ
故 的 数 学 期 望
０ ． ４
设 该 圆 的 圆 心 为 Ｎ （ ｎ ， ６ ） ． 因 ｛ Ｉ Ｎ Ａ Ｉ ＝ Ｉ Ｎ Ｂ Ｉ ， 所 以
（ ３ ）叩的可 能 取 值 为 １ ， １ ． ５ ， ２ （ 单位 ： 万元 ） ， 易 得
Ｐ（ １ ） 一 Ｐ（ １ ） 一Ｏ ． ４ ，
｝ ＋ ； ＞ 兰
Ｐ（ ： １ ． ５ ） 一 Ｐ（ ＝２ ） ＋ Ｐ（ 搴 ＝３ ） 一０ ． ４，
Ｐ（ 一 ２ ） ＝ Ｐ（ ： ４ ） ＋ Ｐ（ 一 ５ ） Ｏ ． １ ＋０ ． １ —０ ． ２ ．
．
１ 一 ａ — － ｔ ） ２ ＋ （ ｂ －．
ＡＳ Ｂ Ｃ为 等 腰 三 角 形 ， ｓ ｏ＿ ｌ ＿ Ｂ ｃ， 且 Ｓ Ｏ＝ ｓ Ａ， 从而 Ｏ Ａｚ ＋
即 ｆ ｎ 十 ６ 一 ＋ 吉 解 。 得 ｔ ： 一 － 。 十 壑 ，
．
Ｓ Ｏ ＝Ｓ Ａ。 ． 所 以Ａ Ｓ Ｏ Ａ 为 直 角 三角 形 ， 且Ｓ Ｏ上Ａ Ｏ． 又Ａ ０ｎＢ Ｏ＝０， 所以 Ｓ Ｏ 上平面 Ａ ＢＣ ．
【冲锋号考场模拟】赢战2023年高考数学模拟仿真卷 01卷(理科)(全国卷专用)(解析版)
【冲锋号·考场模拟】赢战2023年高考数学模拟仿真卷01卷（理科）（全国卷专用）（解析版）本卷满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．4．测试范围：高考全部内容5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（2023·浙江温州·模拟预测）已知全集U =R ，集合{}2230A x x x =-->，{}2,B x x k k ==∈Z ，则()UB A ⋂=ð（）A ．{2}B ．{0,2}C ．{0,2,4}D ．{1,0,1,2,3}-数．则正确说法的个数为（）．A ．3B ．2C ．1D ．03．（2022·河南南阳·高三期中（理））若函数()()e sin xf x x a =+在点()()0,0A f 处的切线方程为3y x a =+，则实数a 的值为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【分析】求出函数的导函数，即可求出()0f 、()0f '，从而求出切线方程，即可得到方程，解得即可.【详解】解：因为()()e sin x f x x a =+，所以()()00e sin 0a f a =+=，又()()e sin cos x f x x a x '=++，所以()()00e sin 0cos01a f a '+==++，所以切线方程为()()10y a a x -=+-，即()1y a x a =++，所以13a +=，解得2a =；故选：B4．新式茶饮是指以上等茶叶通过萃取浓缩液，再根据消费者偏好，添加牛奶、坚果、柠檬等小料调制而成的饮料．下图为2021年我国消费者购买新式茶饮频次扇形图及月均消费新式茶饮金额条形图：根据所给统计图，下列结论中不正确的是（）A ．每周消费新式茶饮的消费者占比超过90%B ．每天消费新式茶饮的消费者占比超过20%C ．月均消费50—200元的消费者占比超过50%D ．月均消费新式茶饮超过100元的消费者占比超过60%【答案】D【分析】由所给统计图逐一判断即可【详解】每周消费新式茶饮的消费者占比19.1%90%->，A 正确，每天消费新式茶饮的消费者占比5.4%16.4%20%+>，B 正确；月均消费50—200元的消费者占比30.5%25.6%50%+>，C 正确；月均消费新式茶饮超过100元的消费者占比114.5%30.5%60%--<．D 错误．故选：D5．刘徽构造的几何模型“牟合方盖”中说：“取立方棋八枚，皆令立方一寸，积之为立方二寸．规之为圆困，径二寸，高二寸．又复横规之，则其形有似牟合方盖矣．”牟合方盖是一个正方体被两个圆柱从纵横两侧面作内切圆柱体时的两圆柱体的公共部分，计算其体积的方法是将原来的“牟合方益”平均分为八份，取它的八分之一（如图一）．记正方形OABC 的边长为r ，设OP h =，过P 点作平面PQRS 平行于平面OABC ．OS OO r ==，由勾股定理有PS PQ ==PQRS 面积是22r h -．如果将图一的几何体放在棱长为r 的正方体内（如图二），不难证明图二中与图一等高处阴影部分的面积等于2h ．（如图三）设此棱锥顶点到平行于底面的截面的高度为h ，不难发现对于任何高度h ，此截面面积必为2h ，根据祖暅原理计算牟合方盖体积（）注：祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．意思是两个同高的立体，如在等高处的截面积相等，则体积相等A ．383r B ．383r πC ．3163r D ．3163r π6．（2022·河北·模拟预测）若2cos230,,21tan 8αα⎛⎫∈= ⎪+⎝⎭，则cos 6α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A ．2B ．2C ．12D ．13BC CD =，若AD AB AC λμ=+，则（）A ．53-B ．12-C ．12D ．53.8．（2022·河南·模拟预测（理））如图是函数的图象，则函数的解析式可以为（）．A ．e ln xx+B ．2e e x x-+C ．21x x+D ．21x x +．（江西二模（理））若正整数、只有1为公约数，则称、互质.对于正整数，是小于或等于n 的正整数中与n 互质的数的个数.函数()n ϕ以其首名研究者欧拉命名，称为欧拉函数，例如：()32ϕ=，()76ϕ=，()96ϕ=，则下列说法正确的是（）A ．()127ϕ=B ．数列(){}3nϕ是等差数列C ．()977log 79log6ϕ=+D ．数列()2nnϕ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭的前n 项和为n S ，则4n S <【答案】D【分析】利用题中定义可判断A 选项；利用特殊值法可判断B 选项；求出()97ϕ的值，结合对数的运算性质可判断C 选项；计算出()2nϕ，利用错位相减法可求得n S ，可判断D 选项.【详解】对于A 选项，在不超过12的正整数中，与12互质的正整数有：1、5、7、11，故()412ϕ=，A 错；对于B 选项，因为()32ϕ=，()96ϕ=，()2718ϕ=，显然()3ϕ、()9ϕ、()27ϕ不成等差数列，B 错；对于C 选项，7 为质数，在不超过97的所有正整数中，能被7整除的正整数的个数为87，所有与97互质的正整数的个数为9877-，所以，()()9988877777167ϕ=-=-=⨯，因此，()()98777log 7log 678log6ϕ=⨯=+，C 错；对于D 选项，因为2为质数，在不超过2n 的正整数中，所有偶数的个数为12n -，10．（2022·四川资阳·一模（理））已知函数，其中．给出以下命题：①若()f x 在π0,4⎛⎫⎪⎝⎭上有且仅有1个极值点，则15ω<≤；②若()f x 在π,π2⎛⎫⎪⎝⎭上没有零点，则304ω<≤或3724ω≤≤；③若()f x 在区间π3π,24⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，则103ω<≤或532ω≤≤．其中所有真命题的序号是（）A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③的椭圆；某校体育馆的钢结构与“鸟巢”相同，其平面图如图2所示，若由外层椭圆长轴一端点A和短轴一端点B分别向内层椭圆引切线AC，BD，且两切线斜率之积等于23-，则椭圆的离心率为（）A ．13B ．23C 33D 64【答案】C【分析】设出外层椭圆方程，利用离心率表达出内层椭圆方程，设出直线方程，联立后由根的判别式得到()22121b k a λλ=-与()22221b k aλλ-=，利用斜率乘积列出方程，求出2223b a =，从而求出离心率.【详解】设外层椭圆方程为22221x y a b+=，则内层椭圆方程为()222201x y a b λλ+=<<，设过A 点的切线方程为()11,0y k x a k =+<，与()222201x y a bλλ+=<<联立得：()222232422211120b a k x a k x a k a b λ+++-=，由()()6422242221111Δ440a k b a k a k a b λ=-+-=得：()22121b k a λλ=-，设过点B 的切线方程为2y k x b =+，与()222201x y a bλλ+=<<联立得：()()222222222210b a k x a k bx a b λ+++-=，由()()42222222222Δ4410a k b b a ka bλ=-+-=得：()22221b ka λλ-=，从而()()22422122241419b b b k k a a a λλλλ-=⋅==-，故2223b a =，椭圆的离心率为22313b a -=.故选：C.12．设50a =，112ln sin cos 100100b ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，ln 550c =，则a ，b ，c 的大小关系正确的是（）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．b<c<aD ．b a c<<【答案】D【分析】由于10.0250ln e ln e a ==，211ln sin cos 100100b ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，6551ln 50c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以只要比较6250.0211151e ,sin cos 1sin 1sin 0.02,1001005050x y z ⎛⎫⎛⎫==+=+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的大小即可，然后分别构造函数()e (1sin )(0)x f x x x =-+>， 1.2()(1)e x g x x =+-，判断出其单调性，利用其单调性比较大小即可第Ⅱ卷二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知()1022001201x x a a x a x +-=+++ ，则3a =_____________.【答案】30【分析】利用二项式定理的原理与组合的意义求解即可.【详解】因为()1022001201x x a a x a x +-=+++ ，所以3a 是含3x 项的系数，若从10个()21x x +-式子中取出0个()2x -，则需要从中取出3个x ，7个1，则得到的项为()0023********7C C C 1120x x x -=；若从10个()21x x +-式子中取出1个()2x -，则需要从中取出1个x ，8个1，则得到的项为()1218831098C C C 190x x x -=-；若从10个()21x x +-式子中取出大于或等于2个()2x -，则无法得到含3x 的项；综上：含3x 的项为3331209030x x x -=，则含3x 项的系数为30，即330a =.故答案为：30.14．（2022·福建·模拟预测）已知数列{}n a 满足奇数项成等差数列，公差为d ，偶数项成等比数列，公比为q ，且数列{}n a 的前n 项和为n S ，1=1a ，22a =，5452S a a =+，934a a a =+．若12m m m a a a ++=，则正整数m =__________．【答案】2【分析】利用等差等比数列的通项公式求解即可.【详解】由题意知，1=1a ，22a =，因为54521222S a a a q a d =+=++，51234512121122233S a a a a a a a a d a q a d a d a a q =++++=++++++=+++，所以得420q d -+=，①由934a a a =+得1142a d a d q +=++，即32d q =，②联立①②解得2,3d q ==，所以121,=21,=2×3,=2,n k k n k k N a n k k N *-*--∈∈⎧⎨⎩，当2m k =时，由12m m m a a a ++=得123(21)23k k k -⨯⨯+=⨯，解得=1k ，此时=2m ;当21m k =-时，由12m m m a a a ++=得1(21)2321k k k --⨯⨯=+，此等式左边为偶数，右边为奇数，则方程无解.故答案为:2.15．（2022·山东·一模）已知1F ，2F 分别为双曲线C :221412x y -=的左、右焦点，E 为双曲线C 的右顶点，过2F 的直线与双曲线C 的右支交于A ，B ，两点（其中点A 在第一象限），设M ，N 分别为12AF F △，12BF F △的内心，则ME NE -的取值范围是______.设12AF F △的内切圆与12,AF AF 所以12|||||||AF AF AH HF -=+又12||||2GF GF c +=，所以|GF 又12||,||EF a c EF c a =+=-，所以设直线AB 的倾斜角为θ.则∠()||||tan2ME NE c a πθ--=-()sin()sin 222c a πθθ⎛⎫- ⎪=-⋅-⎪11111111列说法中所有正确的序号是___________①G 在AB 上运动时，存在某个位置，使得MG 与1A D 所成角为60 ；②G 在AB 上运动时，MG 与1CC③G 在1AA 上运动且113AG GA =时，过,,G M N 三点的平面截正方体所得多边形的周长；④G 在1CC 上运动时（G 不与1C 重合），若点1,,,G M N C 在同一球面上，则该球表面积最大值24π.AB ⊥Q 平面11ADD A ，1A D ⊂11ADD A ，1AB A D ∴⊥； 四边形又1AD AB A ⋂=，1,AD AB ⊂平面11ABC D ，1A D ∴⊥平面1ABC 又MG ⊂平面11ABC D ，1A D MG ∴，即MG 与1A D 所成角恒为对于②，取CD 中点P ，连接，PG ，,M P 分别为11,C D CD 中点，1//MP CC ，又1CC ⊥平面ABCD MG ∴与CC 所成角即为PMG ∠sin PGPMG ∠=，当sin PMG ∠取11A D 中点K ，连接NK ，NK ，1112SD D M SK NK ∴==，∴同理可得：1113B Q A G =，11D R ∴；224225GQ GR ∴==+=22125NQ =+=，MN =∴五边形GQNMR 的周长为2，③错误；对于④，若点1,,,G M N C 在同一球面上，则该球即为三棱锥生都必须作答。
2023届高三冲刺卷(一)全国卷-理科数学试题(含答案解析)
2023届高三冲刺卷（一）全国卷-理科数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合{}110,1,2,3,4,1,93xA B x x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫==∈⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭Z ∣ ，则A B = （）A ．{}0,2B ．{}1,2C ．{}0,1,2D ．{}1,2,42．已知复数z 满足2i 1iz -=-+，则z 在复平面内所对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．已知1cos 23x =-，则22ππcos cos 66x x ⎛⎫⎛⎫-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值为（）A ．916B ．56C ．1320D ．17244．已知变量x ，y 满足2022000x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎪⎨≥⎪⎪≥⎩，则28z x y =-的最大值是（）A ．4B ．6C ．8D ．125．一个集合中含有4个元素，从该集合的子集中任取一个，则所取子集中含有3个元素的概率为（）A ．47B ．35C ．16D ．146．某汽车生产厂家研发了一种电动汽车，为了了解该型电动汽车的月平均用电量（单位：度）情况，抽取了150名户主手中的该型电动汽车进行调研，绘制了如图所示的频率分布直方图，其中，第5组小长方形最高点的纵坐标为x ，则该型电动汽车月平均用电量在[)200,280的户主人数为（）7．某班学生的一次的数学考试成绩ξ（满分：100分）服从正态分布：()2~85,N ξσ，且()83870.3P ξ<<=，()78830.12P ξ<<=，()78P ξ<=（）A ．0.14B ．0.18C ．0.23D ．0.268．已知函数()()31bx f x a x x =-++的图象过点()0,1与93,4⎛⎫⎪⎝⎭，则函数()f x 在区间[]1,4上的最大值为（）A ．32B ．73C ．54D ．859．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左右焦点分别为12,,F F P 为C 右半支上一点，且212121cos ,24F PF PF PF a ∠=⋅=，则双曲线C 的离心率为（）A ．2B ．4C ．6D ．910．在等比数列{}n a 中，公比2q =，且291011121011116a a a a a +++=，则9101112a a a a +++=（）A ．3B ．12C ．18D ．2411．定义在R 上的函数()f x 满足，①对于互不相等的任意1x ，(]20,2x ∈都有()()1122x f f x f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，且当1x >时，()0f x >，②()()2f x f x +=-对任意x ∈R 恒成立，③()2y f x =+的图象关于直线2x =-对称，则()10f -､92f ⎛⎫- ⎪⎝⎭､()3f 的大小关系为（）A ．()()91032f f f ⎛⎫-<-< ⎪⎝⎭B ．()()93102f f f ⎛⎫-<<- ⎪⎝⎭C ．()()9.1032f f f ⎛⎫-<<- ⎪⎝⎭D ．()()93102f f f ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭12．已知函数()f x 与()g x 定义域都为R ，满足()()()1e xx g x f x +=，且有()()()0g x xg x xg x ''+-<，()12e g =，则不等式()4f x <的解集为（）A ．()1,4B ．()0,2C ．(),2-∞D ．()1,+∞二、填空题13．若“2,630x x ax a ∃∈-+<R ”为假命题，则实数a 的取值范围为___________.14．43(2)(1)x x +-的展开式中2x 的系数为______________．15．如图所示，△ABC 是边长为8的等边三角形，点P 为AC 边上的一个动点，长度为6的线段EF 的中点为点B ，则PE PF ⋅的取值范围是___________.16．直线:10l x y +-=与椭圆22:142x yC +=交于,A B 两点，长轴的右顶点为点P ，则ABP 的面积为___________.三、解答题17．已知ABC 的角,,A B C 对边分别为,,a b c1cos sin ,3C a C bc +==，0b c +=.(1)求A ；(2)求ABC 外接圆的半径R .18．某农科所统计了单位面积某种化肥实施量x （kg ）和玉米相应产量Y （kg ）的相关数据，制作了数据对照表：x （kg ）1620242936Y （kg ）340350362404454若在合理施肥范围内x 与Y 具有线性相关关系，(1)求Y 关于x 的线性回归方程 ˆˆy bxa =+；(2)请利用线性回归方程预测40kg x =时的玉米产量.附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：()()()121nii i nii xx y ybxx==--=-∑∑，ˆay bx =-.19．已知正三棱柱111ABC A B C -，底面边长为2，D 为AB 的中点.(1)证明：1CD A D ⊥；(2)求二面角1D A C A --的大小；(3)求直线CA 与平面1ACD 所成角的正弦值.20．已知斜率存在的直线l 过点()1,0P 且与抛物线()2:20C y px p =>交于,A B 两点.(1)若直线l 的斜率为1，M 为线段AB 的中点，M 的纵坐标为2，求抛物线C 的方程；(2)若点Q 也在x 轴上，且不同于点P ，直线,AQ BQ 的斜率满足0AQ BQ k k +=，求点Q 的坐标.21．已知函数()21ln (0)2f x x x x a a=-+>.(1)若1a =，求函数()f x 在点()()1,1f 处的切线方程；(2)若函数()21ln (0)2f x x x x a a=-+>在其定义域上有唯一零点，求实数a 的值.22．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=，直线l 的参数方程为1cos ,1sin .x t y t ϕϕ=-+⎧⎨=+⎩（t 为参数）.(1)若π4ϕ=，求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；(2)过点()0,3P -向直线l 作垂线，垂足为Q ，说明点Q 的轨迹为何种曲线.23．已知函数()3f x x =+.(1)解不等式()38f x x +->；(2)若()()39f x m x x ≤-++在(),-∞+∞上恒成立，求实数m 的最小值.参考答案：1．C【分析】由指数函数的性质求解集合B ，结合交集的概念运算可得出结果.【详解】{}{}{}111,02,0,1,2,0,1,293xB x x x x x A B ⎧⎫⎪⎪⎛⎫=≤≤∈=≤≤∈=∴⋂=⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭Z Z ∣∣.故选：C 2．B【分析】化简复数z ，结合复数的坐标表示，即可求解.【详解】由题意，复数z 满足2i 1iz -=-+，可得()()()()21i 1i 1i 12i i i=1+2i 1i i z -==-=----++++-+，所以复数z 在复平面内对应的点(1,2)-位于第二象限.故选：B.3．B【分析】利用降幂公式及两角和差的余弦公式化简即可得解.【详解】22ππ1cos 21cos 2ππ33cos cos 6622x x x x ⎛⎫⎛⎫+-++ ⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭⎝⎭-++=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭111cos 221cos 22222222x x x x +++-=+11151cos 212236x ⎛⎫=+=+⨯-= ⎪⎝⎭.故选：B.4．A【分析】作出不等式组表示的平面区域，再利用目标函数的几何意义求出最大值作答.【详解】作出不等式组2022000x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎪⎨≥⎪⎪≥⎩表示的平面区域，如图中阴影四边形OABC （含边界），(2,0),(6,4),(0,1)A B C ，目标函数28z x y =-，即148zy x =-表示斜率为14，纵截距为8z -的平行直线系，画直线01:4l y x =，平移直线0l 到直线1l ，当直线1l 过点()2,0A 时，直线1l 的纵截距最小，z 最大，即max 224z =⨯=，所以28z x y =-的最大值为4.故选：A 5．D【分析】结合子集的概念与性质及古典概型的概率公式求解即可.【详解】4个元素的集合所有子集共4216=个，设此集合为{},,,a b c d ，事件A ：“所取子集中含有3个元素”，则事件A 的基本事件个数为4个，即{},,a b c ，{},,a b d ，{},,a c d ，{},,b c d ，所以()41164P A ==.故选：D ．6．C【分析】由频率和为1列方程求x ，再根据直方图中[)200,280区间频率求样本中对应的户主人数.【详解】由()0.0020.00950.0110.01250.0050.0025201x ++++++⨯=，得0.0075x =.月平均用电量在[)200,280的用户()200.0110.01250.00750.005150108⨯+++⨯=户.故选：C 7．C【分析】根据正态分布的对称性计算即可.【详解】因为()2~85,N ξσ，()83870.3P ξ<<=，所以()()81830.358372P P ξξ<-<=<，又()78830.12P ξ<<=，所以()()()7878830.2833P P P ξξξ-<=<<<=.故选：C.8．B【分析】由条件列方程求,a b ，由此可得函数()f x 的解析式，再由基本不等式求其最大值.【详解】因为函数()()31bx f x a x x =-++的图象过点()0,1与93,4⎛⎫⎪⎝⎭，所以()01f =，()934f =，则394431b a ⎧=⎪⎨⎪=⎩，解得13a =，3b =，故函数()f x 的解析式为：()3113x xf x x =-++.而()()313313311371113133133x x x x x f x x x x +-+⎡⎤=-+=-+=-+≤-=⎢⎥+++⎣⎦，当且仅当2x =时取等号，函数()f x 在区间[]1,4上的最大值为73.故选：B.9．A【分析】根据数量积的定义可得2128PF PF a ⋅= ，结合双曲线的定义可得122PF PF a -= ，进而求解124,2PF a PF a ==，由余弦定理即可求解.【详解】221212122,cos 2PF PF a PF PF F PF a ∠⋅=∴⋅= 可得2128PF PF a ⋅= .又122PF PF a -= ，两式联立可得124,2PF a PF a ==，22222212121221216441cos 2164PF PF F F a a c F PF PF PF a ∠+-+-∴===⋅，整理可得224c a =，2,2c a e ∴==.故选：A .10．B【分析】根据等比数列的性质即可求解.【详解】9121011910111291011122910111291210119121011101110111111112a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫+++++++++++=+++=+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，910111291011122229101112101010111166,,122a a a aa a a a a a a a a a a ++++++=∴=∴+++=.故选:B.11．B【分析】根据函数的三个条件得到函数()f x 为R 上的偶函数，周期为4，且函数()f x 在(0,2]上单调递增，然后将利用周期、奇偶性和单调性即可比较大小.【详解】因为()2y f x =+的图象关于直线2x =-对称，则函数()f x 关于y 轴对称，所以函数()f x 为R 上的偶函数，又因为()()2f x f x +=-对任意x ∈R 恒成立，则函数()f x 的周期为4，又因为对于互不相等的任意1x ，(]20,2x ∈都有()()1122x f f x f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，且当1x >时，()0f x >，所以对任意1220x x ≥>>，则121x x >，故有1122()()()0xf x f x f x -=>，所以函数()f x 在(0,2]上单调递增，则有(3)(34)(1)(1)f f f f =-=-=，(10)(1034)(2)f f f -=-+⨯=，9911((4)()(2222f f f f -=-+=-=，因为函数()f x 在(0,2]上单调递增，则1()(1)(2)2f f f <<，即()()93102f f f ⎛⎫-<<- ⎪⎝⎭，故选：B.12．D【分析】利用导数结合题意可知()0f x '<，()f x 在(),-∞+∞上单调递减，又()()41f x f <=，结合单调性定义可得不等式的解集．【详解】由()()()1e xx g x f x +=可得()()()()()()()()()()2e 1e 1e e e x x xxxg x x g x x g x xg x g x xg x f x ++-++'-''=='.而()()()0g x xg x xg x ''+-<，∴()0f x '<，∴()f x 在(),-∞+∞上单调递减，又()12e g =，则()()1214e14e eg f ⨯===，所以()()41f x f <=，则1x >，故不等式()4f x <的解集为()1,+∞．故选：D ．13．10,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】由“2,630x x ax a ∀∈-+≥R ”为真命题，利用判别式法求解.【详解】解：由条件可知“2,630x x ax a ∀∈-+≥R ”为真命题，则2Δ36120a a =-≤，即103a ≤≤.故答案为：10,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦14．24【分析】43(2)(1)x x +-的展开式中2x 来自于三类:①4(2)+x 中的二次项与3(1)x -的常数项的乘积;②4(2)+x 中的常数项与3(1)x -的二次项的乘积;③4(2)+x 中的一次项与3(1)x -的一次项的乘积.【详解】展开式中2x 项为32224123322224343(1)C 22C (1)C 2C (1)24x x x x -⋅+⋅⋅-+⋅⋅-=，∴2x 的系数为24．故答案为:2415．[]39,55【分析】由向量的数量积公式得出29PE PF PB ⋅=- ，求出PB 的最大值和最小值即可得出结果.【详解】由线段EF 的中点为点B ，得出BF BE =-.()()()()22PE PF PB BE PB BF PB BE PB BE PB BE ⋅=+⋅+=+⋅-=- 29PB =-.当点P 位于点A 或点C 时，PB 取最大值8.当点P 位于AC 的中点时，PB 取最小值，即minπ8sin3PB==∴PB的取值范围为⎡⎤⎣⎦，∴PE PF ⋅的取值范围为[]39,55.故答案为：[]39,55.16【分析】根据弦长公式以及点到直线的距离即可结合三角形面积公式进行求解.【详解】直线l 与椭圆C 联立221,4210,x y x y ⎧+=⎪⎨⎪+-=⎩得23420x x --=.设点()()1122,,,A x y B x y ，则121242,33x x x x +==-.所以AB ===由椭圆C 知点()2,0P ，故点P 到直线:10l x y +-=的距离：d ==所以ABP的面积为11222S AB d =⋅=故答案为3.17．(1)π3【分析】（1）根据正弦定理边角互化以及和差角公式化简可得sin A A =，结合三角函数同角关系即可求解，（2）由余弦定理代入已知关系即可得1a =，由正弦定理即可求解.【详解】（1）cos sin C a C+=cos sin sin A C A C B +=，πA B C++=，())cos sin sin sin cos cos sin A C A C A C A C A C +++，sin sin sin A C AC ∴，sin 0,tan C A ≠∴= ()π0,π,3A A ∈∴=.（2）1,03bc b c =+-=222222222()213cos 22223a a b c a b c bc a A bc bc --+-+--∴====，整理得21a =，1a ∴=.由正弦定理可得2,sin 33a R R A ==∴=18．(1) 5.893234.675y x =+(2)470.395kg【分析】（1）利用最小二乘法求解；（2）将40kg x =代入回归方程求解.【详解】（1）解：由表中数据计算得，25x =.382y =，()()511438i i i x x y y =--=∑，()521244i i x x =-=∑，()()()51521 5.893i i i i i x x y y b x x ==--=≈-∑∑， 382 5.89325234.675ay bx =-=-⨯= .所以回归方程为 5.893234.675y x =+.（2）将40kg x =代入回归方程得 5.893234.675y x =+.故预测40kg x =时，玉米产量约为5.89340234.675470.395kg ⨯+=.19．(1)证明见解析；(2)π4【分析】（1）由正三棱柱的性质可得1BB ⊥平面ABC ，再利用线面垂直的判定定理即可证明CD ⊥平面11ABB A ，即可得1CD A D ⊥；（2）以11A C 的中点O 为坐标原点，建立空间直角坐标系利用空间向量与二面角的几何关系即可求得二面角1D A C A --的大小为π4；（3）根据（2）中结论，利用线面角与空间向量的关系即可得直线CA 与平面1ACD 所成角的正弦值【详解】（1）由111ABC A B C -为正三棱柱可知，1BB ⊥平面ABC ，又CD ⊂平面ABC ，所以1BB CD ⊥，由底面是边长为2的正三角形，D 为AB 的中点，所以CD AB ⊥；又1BB AB B ⋂=，1,BB AB ⊂平面11ABB A ，所以CD ⊥平面11ABB A ；又1A D ⊂平面11ABB A ，所以1CD A D ⊥；（2）取线段11,AC AC 的中点分别为,O E ，连接1,OB OE ，易知11,,OB OE OC 两两垂直，以O 为坐标原点，分别以11,,OC OE OB 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系O xyz -，如下图所示;，底面边长为2可得，()()()((111,0,0,1,,1,,0,0,0,A C A B B --，由D 为AB的中点可得12D ⎛- ⎝⎭，所以()13,,0,2AC DC ⎛== ⎝⎭uuu r uuu r ，设平面1DAC 的一个法向量为(),,n x y z = ，则120302n AC x n DC x ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，令1x =，可得y z =即(1,n =r ；易得(1OB =uuu r即为平面1A CA 的一个法向量，所以111cos ,2n OB n OB n OB ⋅==r uuu r r uuu r r uuu r ，设二面角1D A C A --的平面角为θ，由图可知θ为锐角，所以1cos cos ,2n OB θ==r uuu r ，即π4θ=；即二面角1D A C A --的大小为π4.（3）由（2）可知()2,0,0CA =-uu r ，平面1DAC的一个法向量为(1,n =r ，设直线CA 与平面1ACD 所成的角为α，所以sin cos ,n CA n CA n CAα⋅===r uu r r uu r r uu r ，即直线CA 与平面1ACD20．(1)24y x=(2)Q ()1,0-【分析】（1）由题知直线l 的方程，联立抛物线，利用韦达定理以及中点公式即可求解；（2）设出直线l 的方程及Q 的坐标，联立方程组，消元，韦达定理，利用直线斜率公式写出AQ BQ k k +将韦达定理代入0AQ BQ k k +=，化简求出参数即可得点Q 的坐标.【详解】（1）因为直线l 的斜率为1且过点()1,0P ，所以直线l 的方程为：1y x =-，设()()1122,,,A x y B x y ，由221y px y x ⎧=⎨=-⎩，得：()22210x p x -++=，所以121222,1x x p x x +=+=，所以121222y y x x p +=+-=，因为M 为线段AB 的中点，M 的纵坐标为2，所以1222y y p +==，所以抛物线的方程为：24y x =.（2）设直线l 的方程为：()1y k x =-，()(),01Q m m ≠，()221y px y k x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，得：()2222220k x k p x k -++=，所以21212222,1k p x x x x k ++==，由()()()()()()122112121211AQ BQ k x x m k x x m y y k k x m x m x m x m --+--+=+=----()()()12122121222kx x km km k x x x x m x x m +-++=-++()222222222122k p k km k km k m p m k k+-+⋅+-⋅++=()()22222222202222k km km p k k k k k p k m m k ⎡⎤+-+⋅⎢⎥⎣⎦=-++=+由0k ≠，所以()2202222k k km km k p k +-++=⋅，即220mp p k k--=，所以1m =-，所以点Q 的坐标为()1,0-.21．(1)2210x y --=(2)12【分析】（1）求导，利用导数求解斜率，由点斜式即可求解直线方程，（2）将问题等价转化成22ln 20x a x ax --=在()0,∞+有唯一实数解.构造函数()22ln 2g x x a x ax =--，和()2ln 1,h x x x =+-利用导数求解单调性，进而确定方程的根，即可求解.【详解】（1）当1a =时，()111221f =-+=，且()()11,11f x x f x=-+'∴='，∴函数()f x 在点()()1,1f 处的切线方程112y x -=-，即2210x y --=.（2）()21ln (0)2f x x x x a a=-+>在其定义域上有唯一零点，∴方程21ln 02x x x a-+=，即22ln 20x a x ax --=在()0,∞+有唯一实数解.设()22ln 2g x x a x ax =--，则()2222x ax a g x x --'=.令()0g x '=，即20.0,0,x ax a a x --=>> 20x ax a ∴--=的两个根分别为102a x =<（舍去），22a x =当()20,x x ∈时，()()0,g x g x '<在()20,x 上单调递减，当()2,x x ∈+∞时，()()0,g x g x '>在()20,x 上单调递增，当2x x =时，()()0,g x g x '=取最小值()2g x ，要使()g x 在()0,∞+有唯一零点，则须()()220,0,g x g x ⎧=⎪⎨='⎪⎩即22222222ln 20,0,x a x ax x ax a ⎧--=⎨--=⎩()22222ln 0,0,2ln 10.*a x ax a a x x ∴+-=>∴+-= 设函数()2ln 1,h x x x =+-当0x >时()h x 是增函数，()h x ∴至多有一解.⋅()10,h =∴ 方程()*的解为21x =，即12a =，解得12a =，∴实数a 的值为12.【点睛】思路点睛：利用导数求解函数零点时，需要利用导数求解函数的单调性，如果求导后的正负不容易辨别，往往可以将导函数的一部分抽离出来，构造新的函数，利用导数研究其单调性，进而可判断原函数的单调性.在证明不等式时，常采用两种思路：直接求最值和等价转化.22．(1)2y x =+，224x y x+=(2)Q 的轨迹为以点1,12⎛⎫-- ⎪⎝⎭为圆心，2为半径的圆【分析】（1）根据直线l 的参数方程和π4ϕ=求解；利用ρcos x θ=，222x y ρ+=求解；（2）在0ϕ=时直接求出Q 的坐标，在0ϕ≠时，写出过点P 且与直线l 垂直的直线方程，与直线l 的方程联立消参求得Q 的轨迹方程，然后检验，进而得到答案.【详解】（1）解：由直线l 的参数方程为1cos ,1sin ,x t y t ϕϕ=-+⎧⎨=+⎩∵π4ϕ=，1,21,2x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩∴直线l 的普通方程为11y x -=+，即2y x =+.由4cos ρϕ=得24cos ρρθ=，因为cos x ρθ=，222x y ρ+=，所以曲线C 的直角坐标方程为224x y x +=.（2）若0ϕ=，由1·tan 1y t ϕ=+=，可知直线l 的方程为1y =，于是过点()0,3P -向直线l 作垂线，垂足为()0,1Q .若0ϕ≠，由直线l 的参数方程可知直线l 的斜率为tan ϕ，∴过点()0,3P -且与直线l 垂直的直线方程为13tan y x ϕ=--.联立方程组()tan 11,13,tan y x y x ϕϕ⎧=⋅++⎪⎨=--⎪⎩整理得2223y y x x +-=--，∴点Q 的轨迹方程为22230x y x y +++-=，即()22117124x y ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭，显然，点()0,1也在()22117124x y ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭上，所以动点Q 的轨迹为以点1,12⎛⎫-- ⎪⎝⎭为圆心，2为半径的圆.23．(1)()(),44,∞∞--⋃+(2)12【分析】（1）分3x ≤-、33x -<<、3x ≥三种情况解不等式即可；（2）由()()39f x m x x ≤-++，可得339x m x x +≥-++，由3923x x x -++≥+可得31392x x x +≤-++在(),-∞+∞上恒成立，进而求解.【详解】（1）因为()333f x x x x +-=++-，所以解不等式338x x ++->，而2,333=6,332,3x x x x x x x -≤-⎧⎪++--<<⎨⎪≥⎩，当3x ≤-时，不等式为2x ->8，解得<4x -；当33x -<<时，不等式为68>不成立，不等式无解；当3x ≥时，不等式为28x >，解得>4x .综上所述，不等式()38f x x +->的解集为()(),44,∞∞--⋃+.（2）由()()39f x m x x ≤-++，可得339x m x x +≥-++，因为3923x x x -++≥+，当且仅当()()390x x -+≥，即9x ≤-或3x ≥时等号成立.所以31392x x x +≤-++在(),-∞+∞上恒成立，故要使()()39f x m x x ≤-++在(),-∞+∞上恒成立，只须12m ≥，即实数m 的最小值为12.。
2021年全国卷Ⅰ高考理科数学模拟试题含答案解析 (10)
2021年全国卷Ⅰ高考理科数学模拟试题10学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明一、选择题(共12题，每题5分，共60分)1．已知集合A ={x |-1<x <2},B ={x |2x -1≥0},则A ∩B =A.(1,+∞)B.[12,1) C.(12,2) D.[12,2) 2．若复数1-bi 2+i(b ∈R )的实部与虚部相等,则b 的值为A.-6B.-3C.3D.6 3．函数f (x )=2x2+1，x ∈[−1, √2]的值域为A.[2, 8]B.[4, 8]C.[1, 3]D.[2, 3]4．设△ABC,P 0是边AB 上一定点,满足P 0B=14AB,且对于边AB 上任一点P,恒有PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PC ⃗⃗⃗⃗⃗ ≥P 0⃗⃗⃗⃗ ·P 0⃗⃗⃗⃗ ,则A.∠ABC=90°B.∠BAC=90°C.AB=ACD.AC=BC5．定义在R 上的奇函数f (x )连续且可导,若f (x )-f'(x )<x -1恒成立(其中f'(x )为f (x )的导函数),则A.f'(0)<1B.f (-1)+f'(-1)<0C.f (1)<f (0)<f (-1)D.f (-1)<f (0)<f (1)6．在2019年亚洲杯前,某商家为了鼓励中国球迷组团到阿联酋支持中国队,制作了3种不同的精美海报,每份“中国队球迷礼包”中随机装入一份海报,集齐3种不同的海报就可获得中国队在亚洲杯上所有比赛的门票.现有4个球迷组成的球迷团(每人各买一份球迷礼包),则他们能获得该门票的概率为A.1027B.49C.59D.17277．已知m ,n 是两条不同的直线,α,β,γ是三个不同的平面,则下列命题中正确的是A.若α⊥γ,β⊥γ,则α∥βB.若m ∥α,n ∥α,则m ∥nC.若m ⊥α,n ⊥α,则m ∥nD.若m ∥α,m ∥β,则α∥β8．若执行如图的程序框图,则输出i 的值等于A.2B.3C.4D.59．在等差数列{a n }中,若a 1+a 2+a 3=36,a 11+a 12+a 13=84,则a 5+a 9=A.30B.35C.40D.4510．已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0),以原点O 为圆心的圆(圆的半径小于b )的面积为4π,且经过椭圆的焦点,P 为椭圆上任意一点,Q 为圆上任意一点,若P ,Q 两点间的距离的最小值为1,则椭圆的离心率为A.2√1313 B.√1313C.√32 D.12 11．下列区间中,函数f (x )=7sin(x -π6)单调递增的区间是A.(0,π2)B.(π2,π)C.(π,3π2)D.(3π2,2π)12．如图,已知圆柱OO 1的轴截面是边长为2的正方形,A 1,B 1,C 1是圆O 1的三等分点,BB 1∥AA 1∥OO 1,那么异面直线AC 1与OB 所成角的大小为A.30°B.45°C.60°D.90°第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题(共4题，每题5分，共20分)13．曲线f (x )=e x 2-e x (e 是自然对数的底数)在x =1处的切线方程为 . 14．已知数列{a n }与{b n }满足a n =2b n +3(n ∈N ∗),若{b n }的前n 项和为S n =32(3n −1)且λa n >b n +36(n −3)+3λ对一切n ∈N ∗恒成立,则实数λ的取值范围是 . 15．某公司为确定明年投入某产品的广告支出,对近5年的年广告支出m 与年销售额t (单位:百万元) 进行了初步统计,得到下列表格中的数据:经测算,年广告支出m 与年销售额t 满足线性回归方程t ＾=6.5m +17.5,则p = .16．已知某双曲线的渐近线方程为3x ±2y =0,且该双曲线经过点(2,-3√2),则该双曲线的实轴长为 .三、解答题(共7题，共70分)17．(本题12分)在△ABC 中,∠A ,∠B ,∠C 的对边分别为a ,b ,c ,已知向量m =(cos∠B ,2cos 2∠C 2-1),n =(c ,b -2a ),且m ·n =0.(1)求∠C 的大小;(2)若点D 为边AB 上一点,且满足AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =DB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,|CD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√7,c =2√3,求△ABC 的面积. 18．(本题12分)如图,棱柱ABCD −A 1B 1C 1D 1的底面是菱形.侧棱长为5,平面ABCD ⊥平面A 1ACC 1,AB =3√3,∠BAD =60°,点E 是ΔABD 的重心,且A 1E =4.(1)求证:平面A 1DC 1∥平面AB 1C ; (2)求棱柱ABCD −A 1B 1C 1D 1的体积.19．(本题12分)某省在高考改革试点方案中规定:从2017年秋季高中入学的新生开始,不分文理科;从2020年开始,高考总成绩由语、数、外三门统考科目和物理、化学等六门选考科目构成.将每门选考科目考生的原始成绩从高到低依次划分为A,B+,B,C+,C,D+,D,E 共8个等级,参照正态分布的原则,确定各等级人数所占比例分别为3%,7%,16%,24%,24%,16%,7%,3%.选考科目成绩计入考生总成绩时,将A 至E 等级内的考生原始成绩,依照等比例转换法则,分别转换到[91,100],[81,90],[71,80],[61,70],[51,60],[41,50],[31,40],[21,30]八个分数区间,得到考生的等级成绩.某校高一年级共2 000人,为给高一学生合理选科提供依据,对六门选考科目进行测试,其中物理考试原始成绩基本服从正态分布N (60,132). (1)求该校高一年级学生的物理原始成绩在区间(47,86)的人数;(2)按高考改革方案,若从全省考生中随机抽取3人,X 表示这3人中某门选考科目的等级成绩在区间[61,80]的人数,求X 的分布列和数学期望.附:若随机变量ξ~N (μ,σ2),则P (μ-σ<ξ≤μ+σ)≈0.682 7,P (μ-2σ<ξ≤μ+2σ)≈0.954 5,P (μ-3σ<ξ≤μ+3σ)≈0.997 3.20．(本题12分)已知以F 为焦点的抛物线C :y 2=2px (p >0)过点P (1,-2),直线l 与C 交于A ,B 两点,M 为AB 的中点,O 为坐标原点,且OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λOF⃗⃗⃗⃗⃗ . (1)当λ=3时,求点M 的坐标; (2)当OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =12时,求直线l 的方程.21．(本题12分)已知函数f (x )=(x −1)e x +ax 2,e 为自然对数的底数.(1)若函数f (x )在(1,f(1))处的切线方程为y =−ex +a +e ,求实数a 的值; (2)讨论f (x )的单调性.请考生在第 22、23 三题中任选二道做答，注意：只能做所选定的题目。
2013年全国高考仿真模拟题(一)(全国新课标理科数学卷)
２ ０ １ ３年 全 国 高考 仿 真 模 拟题 （ 一， ）
（ 全 国新 课 标 理科 数 学 卷 ）
考试 时间 １ ２ ０分 钟 总分 １ ５ ０分
第 １卷
一
、
选 择题 （ 本大题 共 １ ２小题 ， 每 小题 ５分 ， 共６ Ｏ分 ， 在 每小题 给 出 的 ４个 选项 中， 只有 １ 项 是符合 题 目要求 的 ） ） ．
１ ３ ．已知在等 差数 列 ｛ ａ ） 中， ａ ＋口 一６ ， ａ 。 一２ ， 则 Ｓ 一
１ ４ ．已知 ６ ： ＝ ＝ （ ３ ， ３ ） ， 且口 ・ ６ ： ＝ ＝ 一３ ， Ｉ 口ｌ 一’ １ ， 则 向量． 口 ， ｂ夹角 为
…
件：
一
１ ６ ．假 设要 考察 某公 司生 产 的 ５ ０ ０ ｇ袋装 牛奶 的质 量是 否达 标 ， 现从 ８ ０ ０袋牛 奶 中抽取 ６ Ｏ袋 进行 检验 ， 利 用 随 机 数表抽 取 样本 时 ， 先将 ８ ０ ０袋牛奶 按 ０ ０ ０ ， ０ ０ １ ， …， ７ ９ ９ 进 行编 号 ， 如果从 随机数 表第 ８行第 ７列 的数 开始 向右 读， 请你 依 次写 出最先 检测 的 ５袋 牛奶 的编号 ：
９ ．已知 图① 中 的图象 对 应 的 函数 为 Ｙ 一厂 （ ｚ ） ， 则 图② 的 图象 对应 的函 数 为
（ ） ．
Ａ 一， （ 『 ｚＩ ） ； Ｃ 一厂 （ 一Ｉ Ｊ ） ；
Ｂ —Ｉ 厂 （ ） Ｉ ； Ｄ 一－ｆ （ １ ｚ 内 ， 点（ ２ ， １ ） 对 应 的复数 为 Ｚ， 则 ｚ的共 轭复 数是 （
Ａ ； Ｂ ； ｃ ； Ｄ
３ ．执 行 右 图所示 的程 序框 图 ， 输 出的 Ｓ值 为 （
全国卷Ⅰ新高考理科数学仿真模拟试卷含答案解析 (3)
全国卷Ⅰ新高考理科数学仿真模拟试卷一、选择题(共12题，每题5分，共60分)1．如图,已知R是实数集,集合A={x|lo g12(x-1)>0},B={x|2x-3x<0},则阴影部分表示的集合是A.[0,1]B.[0,1)C.(0,1)D.(0,1] 2．已知复数z满足1+iz=(1-i)2,则复数z的虚部是A.-12B.12C.12i D.-12i3．设a=log32,b=log52,c=log23,则A.a>c>bB.b>c>aC.c>b>aD.c>a>b4．已知向量a和向量b的夹角为30°,|a|=2,|b|=√3,则向量a和向量b的数量积a·b= A.1 B.2 C.3 D.45．函数f(x)=x 2|x|e x的大致图象是A. B.C.D.6．我国古代有着辉煌的数学研究成果,其中的《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、《缉古算经》,有丰富多彩的内容,是了解我国古代数学的重要文献.这5部专著中有3部产生于汉、魏、晋、南北朝时期.某中学拟从这5部专著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容,则所选2部专著中至少有一部是汉、魏、晋、南北朝时期专著的概率为A.35B.710C.45D.9107．若l 1,l 2,l 3表示三条不同的直线,则下列命题正确的是A.l 1⊥l 2,l 2⊥l 3⇒l 1∥l 3B.l 1⊥l 2,l 2∥l 3⇒l 1⊥l 3C.l 1∥l 2∥l 3⇒l 1,l 2,l 3共面D.l 1,l 2,l 3共点⇒l 1,l 2,l 3共面8．若执行如图的程序框图,则输出i 的值等于A.2B.3C.4D.59．已知各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ,且a n 2-9=4(S n -n ),数列{1a n ·a n+1}的前n 项和为T n ,则T 10=A.13B.17C.235D.22510．已知椭圆C :x 2m+y 2m -4=1(m >4)的右焦点为F ,点A (-2,2)为椭圆C 内一点.若椭圆C 上存在一点P ,使得|PA |+|PF |=8,则m 的取值范围是A.(6+2√5,25]B.[9,25]C.(6+2√5,20]D.[3,5]11．已知定义在[0,π4]上的函数f (x )=sin(ωx -π6)(ω>0)的最大值为ω3,则正实数ω的取值个数最多为A.4B.3C.2D.112．已知三棱锥S-ABC 中,AB ⊥BC ,AB =BC =2,SA =SC =2√2,二面角B-AC-S 的大小为2π3,则三棱锥S-ABC 的外接球的表面积为A.124π9B.105π4C.105π9D.104π9第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明二、填空题(共4题，每题5分，共20分)13．过点M(2,0)作函数f(x)=e x(x-6)的图象的切线,则切线的方程为. 14．已知在等比数列{a n}中,a n>0且a3+a4=a1+a2+3,记数列{a n}的前n项和为S n,则S6-S4的最小值为.15．某统计调查组从A,B两市各随机抽取了6个大型商品房小区调查空置房情况,并记录他们的调查结果,得到如图所示的茎叶图.已知A市被调查的商品房小区中空置房套数的平均数为82,B市被调查的商品房小区中空置房套数的中位数为77,则x-y=.16．已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,准线与x轴的交点为Q,双曲线x 2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线被抛物线截得的弦为OP,O为坐标原点.若△PQF为直角三角形,则该双曲线的离心率等于.三、解答题(共7题，共70分)17．(本题12分)在△ABC中,a=7,b=8,cos B=-17.(Ⅰ)求∠A;(Ⅱ)求AC边上的高.18．(本题12分)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,D为BC的中点,AB=AC,BC1⊥B1D.求证:(1)A1C∥平面ADB1;(2)平面A1BC1⊥平面ADB1.19．(本题12分)2018年11月27日~28日,2018“未来信息通信技术国际研讨会”在北京召开,本届大会以“5G应用生态与技术演进”为主题,全球5G大咖齐聚一堂,进行了深入探讨.为了给5G手机的用户提供更好的服务,我国的移动、联通、电信三大运营商想通过调查了解现有4G手机用户对传输速度的满意度,随机抽取了100名手机用户进行调查评分(满分100分,单位:分),其频数分布表如下所示.(1)作出频率分布直方图,并求这100名4G 手机用户评分的平均数(同一组中的评分用该组区间的中点值作代表);(2)以样本的频率作为概率,认为评分“不低于80分”为“满意度高”,现从所有4G 手机用户中随机抽取5名用户进行进一步访谈,用X 表示抽出的5名用户中“满意度高”的人数,求X 的分布列和数学期望.20．(本题12分)已知椭圆C :x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为√32, 且过点A (2,1).(1)求椭圆C 的方程;(2) 若P ,Q 是椭圆C 上的两个动点,且使∠PAQ 的角平分线总垂直于x 轴, 试判断直线PQ 的斜率是否为定值?若是,求出该值;若不是,请说明理由.21．(本题12分)已知函数f (x )=e x -a ln(x -1).(其中常数e=2.718 28…是自然对数的底数) (1)若a ∈R ,求函数f (x )的极值点个数;(2)若函数f (x )在区间(1,1+e -a )上不单调,证明:1a +1a+1>a .请考生在第 22、23 三题中任选二道做答，注意：只能做所选定的题目。
2022年全国卷Ⅰ高考数学理科模拟试题卷含答案(2)
2022年全国卷Ⅰ高考数学理科模拟试题卷班级：_________________ 姓名：_________________ 座号：________________评卷人得分一、选择题(共12题，每题5分，共60分)1．若集合A={x||x|≤1,x∈R},B={y|y=x2,x∈R},则A∩B=A.{x|-1≤x≤1}B.{x|x≥0}C.{x|0≤x≤1}D.2．已知复数z=(a-3i)(3+2i)(a∈R)的实部与虚部的和为7,则a的值为A.1B.0C.2D.-23．函数y=log0.4(–x2+3x+4)的值域是A.(0，–2]B.[–2，+∞)C.(–∞，–2]D.[2，+∞)4．以AB为直径的半圆如图所示,其中||=8,O为其所在圆的圆心,OB的垂直平分线与圆弧交于点P,与AB交于点D,Q为PD上一点,若=0,则·=A.9B.15C.-9D.-155．已知lg a+lg b=0,函数f(x)=a x与函数g(x)=-log b x的图像可能是A BC D6．袋子中有四个小球,分别写有“和”“平”“世”“界”四个字,有放回地从中任取一个小球,直到“和”“平”两个字都取到才算完成.用随机模拟的方法估计恰好取三次便完成的概率.利用电脑随机产生0到3之间取整数值的随机数,0,1,2,3代表的字分别为“和”“平”“世”“界”,以每三个随机数为一组,表示取球三次的结果,随机模拟产生了以下24组随机数组:由此可以估计,恰好取三次便完成的概率为A. B. C. D.7．在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB＝1,AC＝2,BC＝,D,E分别是AC1和BB1的中点,则直线DE 与平面BB1C1C所成的角为A.30°B.45°C.60°D.90°8．执行如图所示的程序框图,若输入的k=,则输出的S=A. B. C. D.9．已知等差数列的前项和分别为,若,则的值是A. B. C. D.10．若x1,x2∈R,则的最小值是A.1B.2C.3D.411．已知直线l过点(1,0),且倾斜角为直线l0:x-2y-2=0的倾斜角的2倍,则直线l的方程为A.4x-3y-3=0B.3x-4y-3=0C.3x-4y-4=0D.4x-3y-4=012．若a,b是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,则下列命题正确的是A.若a⊥b,b⊥α,α⊥β,则a⊥βB.若α⊥β,a⊥α,b∥β,则a⊥bC.若a∥α,a∥β,α∩β=b,则a∥bD.若a∥b,a⊥α,b∥β,则α∥β第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明评卷人得分二、填空题(共4题，每题5分，共20分)13．曲线y=在点(-1,-3)处的切线方程为.14．已知{a n}是递增的等差数列,其前n项和为S n,且S2=S7,写出一个满足条件的数列{a n}的通项公式a n= .15．已知数列{a n}的前n项和为S n,a n+2S n=3n,数列{b n}满足(3a n+2-a n+1)(n∈N*),则数列{b n}的前10项和为.16．已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点P在双曲线上.若△PF1F2为直角三角形,且tan∠PF1F2=,则双曲线的离心率为.评卷人得分三、解答题(共7题，共70分)17．在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且sin(+C)=.(1)求角A;(2)若a=4,△ABC的周长为9,求△ABC的面积.18．如图,已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是菱形,BB1⊥底面ABCD,E是棱CC1的中点.(1)求证:AC∥平面B1DE;(2)求证:平面BDD1B1⊥平面B1D E.19．2020年12月10日,首届全国职业技能大赛在广州广交会展馆拉开帷幕,活动为期4天,2 557名参赛选手围绕86个比赛项目展开激烈角逐.大赛组委会秘书长、人社部职业能力建设司司长张立新表示,这次大赛是新中国成立以来规格最高、项目最多、规模最大、水平最高的综合性国家职业技能赛事.为了准备下一届比赛,甲、乙两支代表队各自安排了10名选手参与选拔活动,他们在活动中取得的成绩(单位:分,满分100分)如下:甲代表队:95 95 79 93 86 94 97 88 81 89乙代表队:88 83 95 84 86 97 81 82 85 99(1)分别求甲、乙两支代表队成绩的平均值,并据此判断哪支代表队的成绩更好;(2)甲、乙两支代表队的总负责人计划从这两支队伍得分超过90分的选手中随机选择4名参加强化训练,记参加强化训练的选手来自甲代表队的人数为X,求X的分布列和数学期望.20．已知椭圆的右焦点为,过且与轴垂直的弦长为3.(1)求椭圆的标准方程;(2)过作直线与椭圆交于两点,问在轴上是否存在点,使为定值,若存在,请求出点坐标,若不存在,请说明理由.21．已知函数f(x)=(x-2)e x-x2+ax,a∈R.(1)讨论函数f(x)的单调性;(2)若不等式f(x)+(x+1)e x+x2-2ax+a>0恒成立,求a的取值范围.请考生在第 22、23 三题中任选二道做答，注意：只能做所选定的题目。
全国100所名校2020届高考模拟金典卷理科数学(一)
2020年高考数学(理科)全国1卷高考模拟试卷(17)
2020年高考数学（理科）全国1卷高考模拟试卷（17）一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）1．（5分）已知集合A ＝{x |x 2﹣x ﹣6＜0}，B ＝N ，则A ∩B ＝（ ） A ．{﹣1，0，1，2} B ．{0，1，2} C ．{﹣2，﹣1，0，1} D ．{0，1}2．（5分）已知i 是虚数单位，复数z 满足z⋅i 3+2i=1−i ，则z =（ ） A ．1+5iB ．﹣1﹣5iC ．1﹣5iD ．﹣1+5i3．（5分）已知平面α，直线m ，n 满足m ⊈α，n ⫋α，则“m ∥n ”是“m ∥α”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．（5分）已知数列{a n }满足a n +1•（1﹣a n ）＝1，且a 1=−12，则a 2020＝（ ） A ．3B ．−12C ．23D ．134525．（5分）根据如下样本数据：x 1 2 3 4 5 6 y54.53.532.52得到的线性回归方程为y =b x +a ，则（ ） A ．a ＞0，b ＜0B ．a ＞0，b ＞0C ．a ＜0，b ＜0D ．a ＜0，b ＞06．（5分）若直线y ＝ax +2a 与不等式组{x −y +6≥0x ≤3x +y −3≥0表示的平面区域有公共点，则实数a的取值范围是（ ） A ．[0，95]B ．[0，9]C ．[0，+∞]D ．[﹣∞，9]7．（5分）已知数列{a n }中，a 1=12，a n +1＝1−1a n，利用下面程序框图计算该数列的项时，若输出的是2，则判断框内的条件不可能是（ ）A ．n ≤2 015B ．n ≤2 018C ．n ≤2 020D ．n ≤2 0218．（5分）设向量CA →=2OB →，|OA →|＝2√5，OA →•OB →=1，则OA →•OC →=（ ） A ．14B ．16C ．18D ．209．（5分）函数f （x ）＝（3x ﹣3﹣x ）log 3x 2的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．10．（5分）已知函数f(x)=2sinωx ⋅cos 2(ωx2−π4)−sin 2ωx +cosωx(ω＞0)的区间[0，π]上的最大值与最小值之和是0，则ω的最小值是（ ） A ．94B ．54C ．1D ．3411．（5分）若双曲线E ：x 2a 2−y 2b2=1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线被圆（x +3）2+y 2＝9所截得的弦长为3，则E 的离心率为（ ） A ．√2B ．√3C ．2D ．2√3312．（5分）已知定义在R 上的连续函数f （x ）满足f （x ）＝f （4﹣x ），且f （﹣2）＝0，f '（x ）为函数f （x ）的导函数，当x ＜2时，有f （x ）+f '（x ）＞0，则不等式x •f （x ）＞0的解集为（ ）A ．（0，6）B ．（﹣2，0）C ．（﹣∞，﹣2）D ．（﹣∞，﹣2）∪（0，6）二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（5分）已知抛物线y 2＝2px 的焦点为F ，准线与x 轴的交点为M ，N 为抛物线上的一点，且满足|MN |＝2|NF |，则∠NMF ＝ ． 14．（5分）若二项式(x −x)n的展开式中只有第4项的二项式系数最大，则展开式中常数项为 ．15．（5分）若无穷数列{cos （ωn ）}（ω∈R ）是等差数列，则其前10项的和为 ． 16．（5分）边长为1的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点M 为上底面A 1B 1C 1D 1的中心，N 为下底面ABCD 内一点，且直线MN 与底面ABCD 所成线面角的正切值为2，则点N 的轨迹围成的封闭图象的面积为 ．三．解答题（共5小题，满分60分，每小题12分）17．（12分）在三棱锥P ﹣ABC 中，AB ＝1，BC ＝2，AC =√5，PC =√2，P A =√5，PB =√6，E 是线段BC 的中点．（1）求点C 到平面APE 的距离d ； （2）求二面角P ﹣EA ﹣B 的余弦值．18．（12分）在平面直角坐标系xOy 中，设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a +b =√3c ，2sin 2C ＝3sin A sin B ． （1）求C ；（2）设P （﹣1，cos A ），Q （﹣cos A ，1），且A ≤C ，OP →与OQ →的夹角为θ，求cos θ的值． 19．（12分）已知一堆产品中有一等品2件，二等品3件，三等品4件，现从中任取3件产品．（1）求一、二、三等品各取到一个的概率；（2）记X 表示取到一等品的件数，求X 的分布列和数学期望．20．（12分）已知椭圆C ：x 23+y 2b 2=1（b ＞0）的右焦点为F ，过F 作两条直线分别与圆O ：x 2+y 2＝r 2（r ＞0）相切于A ，B ，且△ABF 为直角三角形．又知椭圆C 上的点与圆O 上的点的最大距离为√3+1． （1）求椭圆C 及圆O 的方程；（2）若不经过点F 的直线l ：y ＝kx +m （其中k ＜0，m ＞0）与圆O 相切，且直线l 与椭圆C 交于P ，Q ，求△FPQ 的周长．21．（12分）已知函数f （x ）＝lnx ﹣x +2sin x ，f '（x ）为f （x ）的导函数． （Ⅰ）求证：f '（x ）在（0，π）上存在唯一零点； （Ⅱ）求证：f （x ）有且仅有两个不同的零点 四．解答题（共1小题，满分10分，每小题10分）22．（10分）在平面直角坐标系x 0y 中，直线l 1的参数方程为{x =t −√3y =kt （t 为参数），直线l 2的参数方程为{x =√3−my =m3k（m 为参数）．设直线l 1与l 2的交点为P ．当k 变化时点P 的轨迹为曲线C 1．（Ⅰ）求出曲线C 1的普通方程；（Ⅱ）以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线C 2的极坐标方程为ρsin(θ+π4)=3√2，点Q 为曲线C 1上的动点，求点Q 到直线C 2的距离的最大值． 五．解答题（共1小题）23．已知函数f （x ）＝|x +1|﹣|x ﹣2|． （1）求不等式f （x ）≥1的解集；（2）记f （x ）的最大值为m ，且正实数a ，b 满足1a+2b+12a+b=m ，求a +b 的最小值．2020年高考数学（理科）全国1卷高考模拟试卷（17）参考答案与试题解析一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）1．（5分）已知集合A＝{x|x2﹣x﹣6＜0}，B＝N，则A∩B＝（）A．{﹣1，0，1，2}B．{0，1，2}C．{﹣2，﹣1，0，1}D．{0，1}【解答】解：∵A＝{x|x2﹣x﹣6＜0}＝[﹣2，3]，B＝N，则A∩B＝{0，1，2}．故选：B．2．（5分）已知i是虚数单位，复数z满足z⋅i3+2i=1−i，则z=（）A．1+5i B．﹣1﹣5i C．1﹣5i D．﹣1+5i【解答】解：因为z⋅i3+2i=1−i，所以z•i＝（1﹣i）•（3+2i）＝5﹣i，所以z=−1−5i，z−1+5i，故选：D．3．（5分）已知平面α，直线m，n满足m⊈α，n⫋α，则“m∥n”是“m∥α”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：m⊈α，n⫋α，“m∥n”⇒“m∥α”．∴m∥n”是“m∥α”的充分不必要条件．故选：A．4．（5分）已知数列{a n}满足a n+1•（1﹣a n）＝1，且a1=−12，则a2020＝（）A．3B．−12C．23D．13452【解答】解：数列{a n}满足a n+1•（1﹣a n）＝1，且a1=−1 2，a2=23，a3＝3，a4=−12，…，所以数列的周期为：3，则a2020＝a673×3+1＝a1=−1 2．故选：B．5．（5分）根据如下样本数据：x123456y 54.53.5 3 2.5 2得到的线性回归方程为y =b x +a ，则（ ） A ．a ＞0，b ＜0B ．a ＞0，b ＞0C ．a ＜0，b ＜0D ．a ＜0，b ＞0【解答】解：【方法一】根据表中数据，计算x =16×（1+2+3+4+5+6）＝3.5， y =16×（5+4.5+3.5+3+2.5+2）=4112≈3.4； 计算b =∑ 6i=1xi y i−6xy∑ 6i=1x i2−6x 2=(5+9+10.5+12+12.5+12)−6×3.5×3.4(1+4+9+16+25+36)−6×3.52≈−0.66＜0；a =y −b x =3.4﹣（﹣0.66）×3.5＝5.71＞0．【方法二】根据表中样本数据知，变量y 随x 的增大而减小， 所以线性回归方程y =b x +a 中，b ＜0； 又x ＞0，对应y ＞0，所以a ＞0． 故选：A ．6．（5分）若直线y ＝ax +2a 与不等式组{x −y +6≥0x ≤3x +y −3≥0表示的平面区域有公共点，则实数a的取值范围是（ ） A ．[0，95]B ．[0，9]C ．[0，+∞]D ．[﹣∞，9]【解答】解：画出不等式组表示的平面区域，如图所示 {x −y +6=0x +y −3=0⇒{x =−32y =92；∴C （−32，92），直线y ＝a （x +2）过定点A （﹣2，0），直线y ＝a （x +2）经过不等式组表示的平面区域有公共点 则a ＞0，k AC =92−0(−32)−(−2)=9，∴a ∈[0，9]． 故选：B ．7．（5分）已知数列{a n }中，a 1=12，a n +1＝1−1a n，利用下面程序框图计算该数列的项时，若输出的是2，则判断框内的条件不可能是（ ）A ．n ≤2 015B ．n ≤2 018C ．n ≤2 020D ．n ≤2 021【解答】解：因为a 1=12，a n +1＝1−1a n， 所以a 2=1−1a 1=1−2=−1，a 3=1−1a 2=1+1=2，a 4=1−1a 3=1−12=12， 所以数列{a n }是以3为周期的周期数列，循环的三项分别是12，−1，2，即输出的数字2是循环数列中的第三项，20153=671⋯⋯2，20183=672⋯⋯2，20203=673⋯⋯1，20213=673⋯⋯2，只有选项C 对应的余数是1，不是2， 故选：C ．8．（5分）设向量CA →=2OB →，|OA →|＝2√5，OA →•OB →=1，则OA →•OC →=（ ） A ．14B ．16C ．18D ．20【解答】解：∵CA →=OA →−OC →=2OB →， ∴OA →=2OB →+OC →，∴OA →2=OA →⋅(2OB →+OC →)=2OA →⋅OB →+OA →⋅OC →， ∴(2√5)2=2×1+OA →⋅OC →， ∴OA →⋅OC →=18． 故选：C ．9．（5分）函数f （x ）＝（3x ﹣3﹣x ）log 3x 2的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【解答】解：根据题意，函数f （x ）＝（3x ﹣3﹣x ）log 3x 2，其定义域为{x |x ≠0}， 且f （﹣x ）＝（3x ﹣3﹣x ）log 3x 2＝﹣（3x ﹣3﹣x ）log 3x 2）＝﹣f （x ），即函数f （x ）为奇函数，排除A 、C ，又由x →0时，（3x ﹣3﹣x ）→0，则f （x ）→0，排除D ；故选：B ．10．（5分）已知函数f(x)=2sinωx ⋅cos 2(ωx 2−π4)−sin 2ωx +cosωx(ω＞0)的区间[0，π]上的最大值与最小值之和是0，则ω的最小值是（ ） A ．94B ．54C ．1D ．34【解答】解：f(x)=2sinωx ⋅cos 2(ωx 2−π4)−sin 2ωx +cosωx(ω＞0) ＝2sin ωx ⋅1+cos(ωx−π2)2−1−cos2ωx 2+cosωx ＝sin ωx +sin ωx •sin ωx −12+12cos2ωx +cos ωx ＝sin ωx +sin 2ωx −12(1−cos2ωx)+cos ωx＝sin ωx +cos ωx =√2sin(ωx +π4)．由ωx +π4=π2+kπ，得x =π4ω+kπω，k ∈Z ； 由ωx +π4=3π2+kπ，得x =5π4ω+kπω，k ∈Z ． ∵f （x ）在区间[0，π]上的最大值与最小值之和是0，∴{π4ω≥05π4ω≤π，即ω≥54．∴ω的最小值是54．故选：B ．11．（5分）若双曲线E ：x 2a 2−y 2b2=1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线被圆（x +3）2+y 2＝9所截得的弦长为3，则E 的离心率为（ ） A ．√2B ．√3C ．2D ．2√33【解答】解：由圆C ：（x +3）2+y 2＝9可得圆心（﹣3，0），半径为3， 双曲线E ：x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线为：bx ﹣ay ＝0， 渐近线被圆（x +3）2+y 2＝9所截得的弦长为：3，圆心到直线的距离为：√a 2+b 2，由弦长公式可得32=√9−9b 2a 2+b 2，可得a 2a 2+b 2=14，即c 2a 2=4．可得e ＝2， 故选：C ．12．（5分）已知定义在R 上的连续函数f （x ）满足f （x ）＝f （4﹣x ），且f （﹣2）＝0，f '（x ）为函数f （x ）的导函数，当x ＜2时，有f （x ）+f '（x ）＞0，则不等式x •f （x ）＞0的解集为（ ） A ．（0，6） B ．（﹣2，0）C ．（﹣∞，﹣2）D ．（﹣∞，﹣2）∪（0，6）【解答】解：由f （x ）＝f （4﹣x ），且f （﹣2）＝0，可得f （6）＝0，且函数图象关于x ＝2对称，令g （x ）＝e x f （x ），则g ′（x ）＝e x [f （x ）+f ′（x ）]当，因为x ＜2时，有f （x ）+f '（x ）＞0，即g ′（x ）＞0，所以g （x ）在（﹣∞，2）上单调递增，根据函数的对称性可得f （x ）在（2，+∞）上单调递减，g （x ）的大致图象如图所示， 则不等式x •f （x ）＞0可化为x⋅g(x)e x＞0即x •g （x ）＞0，所以{x ＞0g(x)＞0，或{x ＜0g(x)＜0，可得，0＜x ＜6或x ＜﹣2．故不等式的解集（0，6）∪（﹣∞，﹣2） 故选：D ．二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（5分）已知抛物线y 2＝2px 的焦点为F ，准线与x 轴的交点为M ，N 为抛物线上的一点，且满足|MN |＝2|NF |，则∠NMF ＝π3．【解答】解：过点N 作NP ⊥准线，交准线于P ， 由抛物线定义知|NP |＝|NF |， ∴在Rt △MPN 中，∠MPN ＝90°， |MN |＝2|PN |， ∴∠PMN ＝30°， ∴∠NMF =π3． 故答案为：π3．14．（5分）若二项式(x −1√x )n 的展开式中只有第4项的二项式系数最大，则展开式中常数项为 15 ．【解答】解：由二项式(x −1√x )n展开式中只有第4项的二项式系数最大， 即展开式有7项，∴n ＝6； ∴展开式中的通项公式为T r +1=C 6r•（﹣1）r •x 6−32r ； 令6−32r ＝0，求得r ＝4，故展开式中的常数项为（﹣1）4•C 64=15．故答案为：15．15．（5分）若无穷数列{cos （ωn ）}（ω∈R ）是等差数列，则其前10项的和为 10 ． 【解答】解：∵无穷数列{cos （ωn ）}（ω∈R ）是等差数列， ∴ω＝0，∴cos （ωn ）＝1，∴无穷数列{cos （ωn ）}（ω∈R ）的前10项的和为：S 10＝10×1＝10． 故答案为：10．16．（5分）边长为1的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点M 为上底面A 1B 1C 1D 1的中心，N 为下底面ABCD 内一点，且直线MN 与底面ABCD 所成线面角的正切值为2，则点N 的轨迹围成的封闭图象的面积为π4．【解答】解：如图，由题意知，M 在底面ABCD 内的投影为底面ABCD 的中心O ，连接ON ，则∠MNO 即为直线MN 与底面ABCD 所成线面角， 所以tan ∠MNO =MO NO =2，则NO =12，所以N 的轨迹是以底面ABCD 的中心0为圆心，以12为半径的圆，则N 的轨迹围成的封闭图象的面积为S =π4． 故答案为：π4．三．解答题（共5小题，满分60分，每小题12分）17．（12分）在三棱锥P ﹣ABC 中，AB ＝1，BC ＝2，AC =√5，PC =√2，P A =√5，PB =√6，E 是线段BC 的中点．（1）求点C 到平面APE 的距离d ； （2）求二面角P ﹣EA ﹣B 的余弦值．【解答】解：∵AB 2+BC 2＝AC 2，PC 2+BC 2＝PB 2，P A 2+AB 2＝PB 2， ∴∠ABC =∠PCB =∠PAB =π2，过点P 作PO ⊥平面ABC ，垂足为O ，易得OP ＝1，且BC ⊥OC ，BA ⊥OA ， ∴四边形ABCO 为矩形，（1）以O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则C （1，0，0），E （1，1，0），A （0，2，0），P （0，0，1）， AP →=(0，−2，1)，AE →=(1，−1，0)，CE →=(0，1，0)， 设平面APE 的法向量为n →=(x ，y ，z)，则{n →⋅AP →=−2y +z =0n →⋅AE →=x −y =0，令x ＝1，则n →=(1，1，2)， ∴d =|CE →⋅n →||n →|=√66；（2）由（1）知平面APE 的法向量为n →=(1，1，2)，取平面ABE 的一个法向量m →=(0，0，1)，且二面角P ﹣EA ﹣B 为钝角，设其为θ，故cosθ=−|n →⋅m →||n →||m →|=−√63．18．（12分）在平面直角坐标系xOy 中，设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a +b =√3c ，2sin 2C ＝3sin A sin B ． （1）求C ；（2）设P （﹣1，cos A ），Q （﹣cos A ，1），且A ≤C ，OP →与OQ →的夹角为θ，求cos θ的值． 【解答】解：（1）∵2sin 2C ＝3sin A sin B ， ∴sin 2C =32sinAsinB ， ∴由正弦定理得c 2=32ab ， ∵a +b =√3c ， ∴a 2+b 2+2ab ＝3c 2，根据余弦定理得：cosC =a 2+b 2−c 22ab =2c 2−2ab 2ab =ab 2ab =12，∴C =π3．（2）由（1）知C =π3，代入已知，并结合正弦定理得：{sinA +sinB =32sinAsinB =12，解得sinA =12或sin A ＝1（舍去）， 所以A ＝30°，B ＝90°， ∴OP →⋅OQ →=2cosA =√3，而|OP →|⋅|OQ →|=√1+cos 2A ⋅√cos 2A +1=1+cos 2A =74， ∴cosθ=2cosA 1+cos 2A =√374=4√37． 19．（12分）已知一堆产品中有一等品2件，二等品3件，三等品4件，现从中任取3件产品．（1）求一、二、三等品各取到一个的概率；（2）记X 表示取到一等品的件数，求X 的分布列和数学期望．【解答】解：（1）一堆产品中有一等品2件，二等品3件，三等品4件，现从中任取3件产品．基本事件总数n =C 93=84，一、二、三等品各取到一个包含的基本事件个数m ＝2×3×4＝24， ∴一、二、三等品各取到一个的概率p =m n =2484=27．（2）记X 表示取到一等品的件数，则X 的可能取值为0，1，2， P （X ＝0）=C 73C 93=512， P （X ＝1）=C 21C 72C 93=12， P （X ＝2）=C 22C 71C 93=112， ∴X 的分布列为：X 012 P51212112数学期望E （X ）=0×512+1×12+2×112=23． 20．（12分）已知椭圆C ：x 23+y 2b =1（b ＞0）的右焦点为F ，过F 作两条直线分别与圆O ：x 2+y 2＝r 2（r ＞0）相切于A ，B ，且△ABF 为直角三角形．又知椭圆C 上的点与圆O 上的点的最大距离为√3+1． （1）求椭圆C 及圆O 的方程；（2）若不经过点F 的直线l ：y ＝kx +m （其中k ＜0，m ＞0）与圆O 相切，且直线l 与椭圆C 交于P ，Q ，求△FPQ 的周长．【解答】解：（1）椭圆C 上的点与圆O 上的点的最大距离为√3+1， 可得√3+1⇒a +r =√3+1⇒r =1； △ABF 为直角三角形⇒c =√2r ⇒c =√2； 又b 2+c 2＝3⇒b ＝1．圆O 的方程为：x 2+y 2＝1；椭圆C 的方程为：x 2+y 2=1．（2）y＝kx+m与圆相切：则m2＝k2+1，设P（x1，y1），Q（x2，y2），由{x23+y2=1y=kx+m得（1+3k2）x2+6kmx+3m2﹣3＝0，由△＞0，得3k2+1＞m2…（※），且x1+x2=−6km1+3k2，x1x2=3m2−31+3k2，|PQ|=2√3√k2+1⋅√3k2−m2+13k2+1=−2√6k√k2+13k2+1，|PF|+|QF|=2a−e(x1+x2)=2√3+2√6k √k2+13k2+1，△FPQ的周长为|PQ|+|PF|+|QF|=2√3．21．（12分）已知函数f（x）＝lnx﹣x+2sin x，f'（x）为f（x）的导函数．（Ⅰ）求证：f'（x）在（0，π）上存在唯一零点；（Ⅱ）求证：f（x）有且仅有两个不同的零点【解答】解：（Ⅰ）设g(x)=f′(x)=1x−1+2cosx，当x∈（0，π）时，g′(x)=−2sinx−1x2＜0，∴g（x）在（0，π）上单调递减．又∵g(π3)=3π−1+1＞0，g(π2)=2π−1＜0，∴g（x）在(π3，π2)上有唯一的零点．（Ⅱ）①由（Ⅰ）知，当x∈（0，α）时，f'（x）＞0，f（x）在（0，α）上单调递增；当x∈（α，π）时，f'（x）＜0，f（x）在（α，π）上单调递减；∴f（x）在（0，π）上存在唯一的极大值点α(π3＜α＜π2)，∴f(α)＞f(π2)=lnπ2−π2+2＞2−π2＞0．∵f(12)=−2−12+2sin12＜−2−12+2＜0，∴f（x）在（0，α）上恰有一个零点．∵f（π）＝lnπ﹣π＜2﹣π＜0，∴f（x）在（α，π）上也恰有一个零点；②当x∈[π，2π）时，sin x≤0，f（x）≤lnx﹣x．设h（x）＝lnx﹣x，ℎ′(x)=1x−1＜0，∴h（x）在[π，2π）上单调递减，∴h（x）≤h（π）＜0，∴当x ∈[π，2π）时，f （x ）≤h （x ）≤h （π）＜0恒成立， ∴f （x ）在[π，2π）上没有零点．③当x ∈[2π，+∞）时，f （x ）≤lnx ﹣x +2， 设φ（x ）＝lnx ﹣x +2，φ′(x)=1x −1＜0，∴φ（x ）在[2π，+∞）上单调递减，∴φ（x ）≤φ（2π）＜0， ∴当x ∈[2π，+∞）时，f （x ）≤φ（x ）≤φ（2π）＜0恒成立， ∴f （x ）在[2π，+∞）上没有零点． 综上，f （x ）有且仅有两个零点．四．解答题（共1小题，满分10分，每小题10分）22．（10分）在平面直角坐标系x 0y 中，直线l 1的参数方程为{x =t −√3y =kt （t 为参数），直线l 2的参数方程为{x =√3−my =m3k（m 为参数）．设直线l 1与l 2的交点为P ．当k 变化时点P 的轨迹为曲线C 1．（Ⅰ）求出曲线C 1的普通方程；（Ⅱ）以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线C 2的极坐标方程为ρsin(θ+π4)=3√2，点Q 为曲线C 1上的动点，求点Q 到直线C 2的距离的最大值． 【解答】解：（Ⅰ）直线l 1的参数方程为{x =t −√3y =kt （t 为参数），转换为直角坐标方程为y =k(x +√3)①． 直线l 2的参数方程为{x =√3−m y =m3k（m 为参数）．转换为直角坐标方程为y =13k (√3−x)②． 所以①×②得到x 23+y 2=1（y ≠0）．（Ⅱ）直线C 2的极坐标方程为ρsin(θ+π4)=3√2，转换为直角坐标方程为x +y ﹣6＝0． 设曲线C 1的上的点Q （√3cosθ，sinθ）到直线x +y ﹣8＝0的距离d =|√3cosθ+sinθ−6|2=|2sin(θ+π3)−6|2，当sin(θ+π3)=−1时，d max =82=4√2． 五．解答题（共1小题）23．已知函数f （x ）＝|x +1|﹣|x ﹣2|．（1）求不等式f （x ）≥1的解集；（2）记f （x ）的最大值为m ，且正实数a ，b 满足1a+2b+12a+b=m ，求a +b 的最小值．【解答】解：（1）当x ≥2时，f （x ）＝x +1﹣（x ﹣2）＝3≥1恒成立，∴x ≥2， 当﹣1≤x ＜2时，f （x ）＝x +1+x ﹣2＝2x ﹣1≥1，解得1≤x ＜2， 当x ＜﹣1时，f （x ）＝﹣（x +1）+x ﹣2＝﹣3≥1不成立，无解， 综上，原不等式的解集为[1，+∞）； （2）由（1）知m ＝3，即1a+2b+12a+b=3，∴a +b =19[(a +2b)+(2a +b)(1a+2b +12a+b )=19(2+a+2b2a+b +2a+ba+2b )≥19(2+2√a+2b 2a+b ⋅2a+ba+2b )=49， 当且仅当a+2b 2a+b=2a+b a+2b ，即a =b =29时等号成立，∴a +b 的最小值是49．。
2024届高三第一次统一考试(全国乙卷)理科数学试题(1)
一、单选题二、多选题1. 已知函数在上单调递增，在上单调递减，当时，不等式恒成立，则实数的取值范围为A．B．C．D．2. 在中，是边上一点，且，则（ ）A．B．C．D．3. 海面上有相距4公里的，两个小岛，在的正东方向，为守护小岛，一艘船绕两岛航行，已知这艘船到两个小岛距离之和为6公里.在岛的北偏西处有一个信号站，岛到信号站的距离为公里.若这艘船航行的过程中一直能接收到信号站发出的信号，则信号站的信号传播距离至少为（ ）A ．公里B ．5公里C ．公里D ．公里4.已知数列的前项和为，且，，成等差数列，则（ ）A．B．C．D．5. 已知是双曲线的左、右焦点，焦距为，以原点为圆心，为半径的圆与双曲线的左支交于，两点，且，则该双曲线的离心率为（ ）A．B．C．D．6. 已知函数的图象关于直线对称，函数的 图象沿轴正半轴平移个单位后图象关于轴对称，则的最小值为（ ）A．B．C．D．7.某农贸市场出售西红柿，当价格上涨时，供给量相应增加，而需求量相应减少，具体调查结果如下表：根据以上提供的信息，市场供需平衡点（即供给量和需求量相等时的单价）应在区间（ ）A ．（2.3，2.6）内B ．（2.4，2.6）内C ．（2.6，2.8）内D ．（2.8，2.9）内8.已知数列的前n项和为，且，则（ ）A ．129B ．132C ．381D ．3849.科学研究表明，物体在空气中冷却的温度变化是有规律的．如果物体的初始温度为，空气温度保持不变，则t 分钟后物体的温度（单位：）满足：．若空气温度为，该物体温度从（）下降到，大约所需的时间为，若该物体温度从，下降到，大约所需的时间分别为，则（ ）（参考数据：）A．B．C．D．10. 在长方体中，，，、、分别是、、上的动点，下列结论正确的是（ ）A ．对于任意给定的点，存在点使得B．对于任意给定的点，存在点使得2024届高三第一次统一考试(全国乙卷)理科数学试题(1)2024届高三第一次统一考试(全国乙卷)理科数学试题(1)三、填空题四、解答题C ．当时，D ．当时，平面11.如图，在三棱柱中，底面，为线段上的动点，分别为线段中点，则下列命题中正确的是（）A．三棱锥的外接球体积的最大值为B．直线与所成角的余弦值的取值范围是C．当为中点时，三棱锥的体积为D ．存在点，使得12.若曲线（e 为自然对数的底数）有两条过坐标原点的切线，则a 的取值可以是（ ）A．B．C ．0D ．113. 计算__________，__________.14. 高三某位同学参加物理、化学、政治科目的等级考，已知这位同学在物理、化学、政治科目考试中达的概率分别为、、，这三门科目考试成绩的结果互不影响，则这位考生至少得个的概率是____________．15. 已知则________.16. 如图，在四棱锥中，底面是矩形，是的中点，，.(1)求证：平面平面；(2)求点到平面的距离.17. 动点P 到定点F (0，1)的距离比它到直线的距离小1，设动点P 的轨迹为曲线C ，过点F 的直线交曲线C 于A 、B 两个不同的点，过点A 、B 分别作曲线C 的切线，且二者相交于点M ．(1)求曲线C 的方程；(2)求证：；(3)求△ ABM 的面积的最小值．18. 已知椭圆的离心率为，且过点.(1)求椭圆的方程；(2)点关于原点的对称点为点，与直线平行的直线与交于点，直线与交于点，点是否在定直线上？若在，求出该直线方程；若不在，请说明理由.19. 已知数列满足.(1)设，证明：是等比数列；(2)求数列的前项和.20. 已知函数在处的切线平行于x轴（e为自然对数的底数）．(1)讨论函数的单调性；(2)若关于x的不等式恒成立，求实数a的值．21. 已知等差数列的前项和为，，．（1）求的通项公式；（2）设，求证：数列是等比数列，并求数列的前项和．。
新课标高考理科数学模拟试题含答案
新课标高考理科数学模拟试题含答案The following text is amended on 12 November 2020.2017年普通高等学校招生全国统一考试理科数学模拟试卷（一）第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知命题:p x ∀∈R ，sin x ≤1，则（ ）A ．:p x ⌝∃∈R ，sin x ≥1B ．:p x ⌝∀∈R ，sin x ≥1C ．:p x ⌝∃∈R ，sin x >1 不能D ．:p x ⌝∀∈R ，sin x >12．已知平面向量a =（1，1），b （1，－1），则向量1322-=a b （ ）A ．（－2，－1）B ．（－2，1）C ．（－1，0）D ．（－1，2）3．函数πsin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间ππ2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，的简图是（ ）4．已知{a n }是等差数列，a 10=10，其前10项和S 10=70，则其公差d =（ ）A ．23-B ．13-C ．13D ．235．如果执行右面的程序框图，那么输出的S=（ ）A ．2450B ．2500 y x11-2π-3π-O6ππyx11-2π-3π-O 6ππy x11-2π-3πO 6π-πy xπ2π-6π-1O1-3π A．B．C ．D ．6．已知抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，点P 1（x 1，y 1），P 2（x 2，y 2），P 3（x 3，y 3）在抛物线上，且2x 2=x 1+x 3， 则有（ ）A ．123FP FP FP +=B ．222123FP FP FP += C ．2132FP FP FP =+ D ．2213FPFP FP =· 7．已知x >0，y >0，x ，a ，b ，y 成等差数列，x ，c ，d ，y 成等比数列，则2()a b cd+的最小值是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．48．已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm ），可得这个几何体的体积是（ ）A ．34000cm 3 B ．38000cm 3C ．2000cm 3D ．4000cm 3 9．若cos 22π2sin 4αα=-⎛⎫- ⎪⎝⎭，则cos sin αα+的值为（ ） A ．7．12- C ．12D 7 10．曲线12e x y =在点（4，e 2）处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ）A ．29e 2年B ．4e 2, C ．2e 2 D ．e 2s 1，s 2，s 3分别表示甲、乙、丙三名运动员这次测试成绩的标准差，则有（ ）甲的成绩 环数7 8 9 10 频数 5 5 5 5 乙的成绩 环数7 8 9 1频数 6 4 4 6 丙的成绩 环数7 8 9 1频数4 6 6 412．一个四棱锥和一个三棱锥恰好可以拼接成一个三棱柱，这个四棱锥的底面为正方形，且底面边长与各侧棱长相等，这个三棱锥的底面边长与各侧棱长也都相等。
2023年高考数学理科模拟卷01(原卷版)--2023年高考数学压轴题专项训练(全国通用)
2023年高考模拟卷（一）理科数学（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合{}2|230A x x x =∈--≤N ，2023{R |log 0}B x x =∈≤，则A B = （）A ．](0,1B ．[0,1]C ．{1}D ．∅2．a b >的一个充要条件是（）A ．11a b <B ．22ac bc >C ．22log log a b>D ．1.7 1.7a b>3．已知向量()1,a m =，()1,0b =- ，且6-=⋅+ a b a b ，则a =r （）A B ．CD ．4．将顶点在原点，始边为x 轴非负半轴的锐角α的终边绕原点逆时针转过π4后，交单位圆于点3,5P y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，那么cos α的值为（）A ．210B ．25C ．7210D ．92105．中国古代数学著作《九章算术》是人类科学史上应用数学的最早巅峰.书里记载了这样一个问题“今有女子善织，日自倍，五日织五尺.问日织几何？”译文是“今有一女子很会织布，每日加倍增长，5天共织5尺，问每日各织布多少尺？”，则该女子第二天织布（）A ．531尺B ．1031尺C ．1516尺D ．516尺6．立德学校于三月份开展学雷锋主题活动，某班级5名女生和2名男生，分成两个小组去两地参加志愿者活动，每小组均要求既要有女生又要有男生，则不同的分配方案有（）种．A ．20B ．4C ．60D ．807．法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆.我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的蒙日圆方程为2222x y a b +=+，现有椭圆222:116x y C a +=的蒙日圆上一个动点M ，过点M 作椭圆C 的两条切线，与该蒙日圆分别交于P ，Q 两点，若MPQ 面积的最大值为41，则椭圆C 的长轴长为（）A ．5B ．10C ．6D ．128．已知函数()sin()(0)f x x ωϕω=+>是在区间π5π,1836⎛⎫⎪⎝⎭上的单调减函数，其图象关于直线π36x =-对称，且f （x ）的一个零点是7π72x =，则ω的最小值为（）A ．2B ．12C ．4D ．89．在“2，3，5，7，11，13，17，19”这8个素数中，任取2个不同的数，则这两个数之和仍为素数的概率是（）A ．328B ．528C ．17D ．31410．已知函数()()31bx f x a x x =-++的图象过点()0,1与93,4⎛⎫⎪⎝⎭，则函数()f x 在区间[]1,4上的最大值为（）A ．32B ．73C ．54D ．8511．已知三棱锥-P ABC 的所有顶点都在球O 的表面上，ABC 是边长为若三棱锥-P ABC 体积的最大值是O 的表面积是（）A ．100πB ．160πC ．200πD ．320π12．若存在[)1,x ∞∈+，使得关于x 的不等式11e x ax +⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭成立，则实数a 的最小值为（）A ．2B ．1ln2C ．ln21-D ．11ln2-第Ⅱ卷二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．()22051001i 1i 12i i 1i 2⎡⎤-+⎛⎫⎛⎫+⋅+-=⎢⎥ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦____________14．已知,x y 都是正数，且2x y +=，则4121x y +++的最小值为__________．15．()()321x x +-展开式中2x 的系数为___________.16．已知圆224x y +=上有且仅有四个点到直线1250x y c -+=的距离为1，则实数c 的取值范围是__________三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，数列{}n S 是公差为1的等差数列．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)记数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，若存在*N n ∈，使得223n T λλ<-成立，求λ的取值范围．18．如图，在三棱台111ABC A B C -中，面11AAC C ABC ⊥面，145ACA ACB ∠=∠=，124AC BC ==(1)证明：111B C A B ⊥；(2)792，72AC =1AC ，求二面角11A BC B --的余弦值．19．安全教育越来越受到社会的关注和重视．为了普及安全教育，学校组织了一次学生安全知识竞赛，学校设置项目A “地震逃生知识问答”和项目B “火灾逃生知识问答”．甲、乙两班每班分成两组，每组参加一个项目，进行班级对抗赛．每一个比赛项目均采取五局三胜制（即有一方先胜3局即获胜，比赛结束），假设在项目A 中甲班每一局获胜的概率为23，在项目B 中甲班每一局获胜的概率为12，且每一局之间没有影响．(1)求乙班在项目A 中获胜的概率；(2)设乙班获胜的项目个数为X ．求X 的分布列及数学期望．20．已知对称轴都在坐标轴上的椭圆C 过点12A ⎛ ⎝⎭与点()2,0B ，过点()1,0的直线l 与椭圆C 交于P ，Q 两点，直线BP ，BQ 分别交直线3x =于E ，F 两点．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)PE QF ⋅是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．21．已知函数2()2(1)2ln f x x m x m x =-++-，()0,x ∈+∞．(1)讨论()f x 的单调区间；(2)当0m ≥时，试判断函数()f x 的零点个数解：请考生在第22、23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分．22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为cos sin cos sin x y αααα=-⎧⎨=+⎩（α为参数），以O为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为πcos 6ρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭．(1)求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；(2)P 为l 上一点，过P 作曲线C 的两条切线，切点分别为A ，B ，若3APB π∠≥，求点P 横坐标的取值范围．23．已知()3f x x a x =-+-()R a ∈．(1)若1a =，解不等式()9f x ≥；(2)当()0a t t =>时，()f x的最小值为3，若正数m ，n 满足m n t +=，证明：6≤．。
全国普通高等学校高考数学模拟试卷(理科)及答案
全国普通高等学校高考数学模拟试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的•1. （5 分）已知集合A={x| - x2+4x> 0},片&|占<3玄丈歼} , C=（x|x=2n, n€81N}，贝U（A U B）n C=（）A. {2，4}B. {0，2}C. {0，2，4}D. {x|x=2n, n € N}2. （5分）设i是虚数单位，若-- ' ― ，x，y€ R，则复数x+yi的共轭复数2^1是（）A. 2 - iB.- 2 - iC. 2+iD.- 2+i3. （5分）已知等差数列{a n}的前n项和是S h，且％+a5+a6+a z=18，贝U下列命题正确的是（）A. a5是常数B. S5是常数C. a i0是常数D. Si o是常数4. （5分）七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为东方魔板”它是由五块等腰直角三角形（两块全等的小三角形、一块中三角形和两块全等的大三角形）、一块正方形和一块平行四边形组成的.如图是一个用七巧板拼成的正方形中任取一点，贝吐匕点取自黑色部分的概率是（）BCD2 25. （5分）已知点F为双曲线C: = 一一（a>0，b>0）的右焦点，直线x=aa b与双曲线的渐近线在第一象限的交点为A,若AF的中点在双曲线上，贝U双曲线的离心率为（）A. "B. I ■:C. I」订D. - % -6. （5分）已知函数f&）二sinx, K E [-冗50]诋(0t i]A . 7 .nJTD.——-74 一（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的S的值为（）2+ n B. C.盒2*出£产〔筠棗）*>201A.二7B. 「」C.. - 厂D. +-8 （5分）已知函数f仗）二sin 3葢X^\/3C^OS23(3> 0) 的相邻两个零点差的绝对值为二，则函数f （x）的图象（4A . 可由函数（X）=cos4x的图象向左平移个单位而得B. 可由函数（X）=cos4x的图象向右平移C. 可由函数（X）=cos4x的图象向右平移D . 可由函数（X）=cos4x的图象向右平移丄个单位而得24丄个单位而得245兀个单位而得9. （5 分）（羽-3）（1的展开式中剔除常数项后的各项系数和为（A . —73 B.—61 C.—55 D.—6310. （5分）某几何体的三视图如图所示，其中俯视图中六边形ABCDEF是边长为1的正六边形，点G为AF的中点，则该几何体的外接球的表面积是（nanA . 317£~6~B.31兀C.481K D丑価兀. ■:6411. （5分）已知抛物线C: y 2=4x 的焦点为F ,过点F 分别作两条直线l i , I 2，直 线l i 与抛物线C 交于A 、B 两点，直线12与抛物线C 交于D 、E 两点，若l i 与12 的斜率的平方和为1,则|AB|+| DE 的最小值为（ ）A . 16 B. 20 C. 24 D . 3212. （5分）若函数y=f （x ）, x € M ，对于给定的非零实数a ,总存在非零常数T , 使得定义域M 内的任意实数x ,都有af （x ） =f （x+T ）恒成立，此时T 为f （x ） 的类周期，函数y=f （x ）是M 上的a 级类周期函数.若函数y=f （x ）是定义在 区间[0 , + %）内的2级类周期函数，且T=2,当x € [0 , 2 ）时，zg ■-2,，1 ©卄比）二戈函数.若？ X 1€ [6, 8] , ?X 2€L<Y <2’二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13 . （ 5分）已知向量, ^占口），-1），且旦丄1,则1)-=为 ______ .15. （5分）在等比数列｛a n ｝中，a 2?a 3=2a 1,且a 4与2a 7的等差中项为17,设b n =a 2n -1- a 2n , n € N*，则数列｛b n ｝的前2n 项和为 ______ .16.（5分）如图，在直角梯形 ABCD 中，AB 丄BC, AD // BC,一二亍「二，点14. （ 5分）已知x , y 满足约束条件（0, +x ）,使g （X 2）- f （X 1）w 0成立，则实数m 的取值范围是（ 的最小值E是线段CD上异于点C, D的动点，EF丄AD于点^将厶DEF沿EF折起到△ PEF 的位置，并使PF丄AF,则五棱锥P-ABCEF勺体积的取值范围为________ .三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. （12分）已知△ ABC的内角A, B, C的对边a, b, c分别满足c=2b=2.2bcosA+acosC+ccosA=Q 又点D 满足■ /（1）求a及角A的大小;18. （12分）在四棱柱ABCD- A i B i C i D i中，底面ABCD是正方形，且匚-:-，/ A1AB=Z A1AD=6C°.（1）求证：BD丄CG;（2）若动点E在棱C1D1上，试确定点E的位置，使得直线DE与平面BDB所成角的正弦值为I .19. （12分）过大年，吃水饺”是我国不少地方过春节的一大习俗.2018年春节前夕，A市某质检部门随机抽取了100包某种品牌的速冻水饺，检测其某项质量指标，(1)求所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数「(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(2)①由直方图可以认为，速冻水饺的该项质量指标值Z服从正态分布N (卩,d2),利用该正态分布，求Z落在(14.55, 38.45)内的概率；②将频率视为概率，若某人从某超市购买了4包这种品牌的速冻水饺，记这 4 包速冻水饺中这种质量指标值位于(10，30)内的包数为X,求X的分布列和数学期望.附：①计算得所抽查的这100包速冻水饺的质量指标的标准差为^=V142. 75^11-95;②若〜N — b 2 )，贝U P (卩―crV Z< p+ o)=0.6826，P (卩―2 o< Z< (J+2 C)=0.9544.0e030 ・-0-025 ・*0.020 - 0.0150.01010 2030 4050各水饺质量指标丄一，且以两焦点为直20. (12分)已知椭圆C: 亏〔呂0)的离心率为径的圆的内接正方形面积为2.(1)求椭圆C的标准方程；(2)若直线I: y=kx+2与椭圆C相交于A，B两点，在y轴上是否存在点D,使直线AD与BD的斜率之和k AD+k BD为定值？若存在，求出点D坐标及该定值，若不存在，试说明理由.21. (12分)已知函数f (x) =e x- 2 (a- 1) x- b，其中e为自然对数的底数.(1)若函数f (x)在区间［0,1］上是单调函数，试求实数a的取值范围；(2)已知函数g (x) =e x-(a- 1) x2- bx- 1,且g (1) =0,若函数g (x)在区间［0,1］上恰有3个零点，求实数a的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.［选修4-4:坐标系与参数方程］22. (10分)在平面直角坐标系xOy中，圆C i的参数方程为\ K-_Uacos® ( 0ty=-l+asin9为参数，a是大于0的常数).以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C2的极坐标方程为p =2^2^05 ( .(1)求圆C i的极坐标方程和圆C2的直角坐标方程；(2)分别记直线I： ^吕，P€ R与圆C i、圆C2的异于原点的焦点为A，B,若圆C i与圆C2外切，试求实数a的值及线段AB的长.［选修4-5:不等式选讲］23. 已知函数f (x) =|2x+1| .(1)求不等式f (x)< 10-| x-3|的解集；(2)若正数m，n 满足m+2n=mn，求证：f (m) +f (- 2n)》16.2018年全国普通高等学校高考数学模拟试卷（理科）（一）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的•1. （5 分）已知集合A={x| - x2+4x> 0}, B二丘|丄<罗<27} , C={x|x=2n, n€31N}，贝U（A U B）n C=（）A. {2，4}B. {0，2}C. {0，2，4}D. {x|x=2n, n € N}【解答】解：A={x| - x2+4x> 0} ={x| 0< x< 4}，駐〔兀I去V3y 27} ={x| 3-4v 3x v 33}={x| - 4<x< 3}，oJL则A U B={x| - 4< x<4}，C={x| x=2n, n € N}，可得（A U B）n C={0, 2, 4},故选C.2. （5分）设i是虚数单位，若' ,x, y€ R,则复数x+yi的共轭复数2-1是（）A. 2 - iB.- 2 - iC. 2+iD.- 2+i【解答】解：由一「2-1得x+yi= — -i —-! ■=2+i得x+yi= =2+i，•••复数x+yi的共轭复数是2 -i.3（5分）已知等差数列{a n}的前n项和是S，且a4+a5+a e+a7=18,则下列命题正确的是（）A. a5是常数B. S5是常数C. a10是常数D. Si0是常数故选：A.【解答】解：•••等差数列｛a n ｝的前n 项和是S n ,且a 4+a 5+a 6+a 7=18, 二 a 4+a 5+a 6+a 7=2 (a i +a io ) =18, --a i +a io =9, …Sg 二乎(有十^10)=45- 故选：D .4. （5分）七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为 东方魔板”它是由五块等腰 直角三角形（两块全等的小三角形、一块中三角形和两块全等的大三角形） 、- 块正方形和一块平行四边形组成的.如图是一个用七巧板拼成的正方形中任取一点，贝吐匕点取自黑色部分的概率是（）【解答】解：设AB=2,则BC=CD=DE=EF=1V B —订,S 平行四边形EFG 阳2S BC =2 X — , •••所求的概率为口 +S 平行四边形EPGH g 正方形AB5 =2x7故选：A .2 25. （5分）已知点F 为双曲线C : 云丄尹1 （a >0, b >0）的右焦点，直线x=a 与双曲线的渐近线在第一象限的交点为 A ,若AF 的中点在双曲线上，贝U 双曲线 的离心率为（）16BCDA. . 1B. I ■:C.「'.打D. I 口2 2【解答】解：设双曲线C:青冬二1的右焦点F （c, 双曲线的渐近线方程为y丄x,a由x=a代入渐近线方程可得y=b，则A（a，b），可得AF的中点为（誓，寺b）,代入双曲线的方程可得卄J -丄=1，可得4a2- 2ac- c2=0，由e*，可得e2+2e- 4=0，a解得e= !.- 1 （- 1 —汀舍去），故选：D. 0)，6. （5分）已知函数f&）二则.A. 2+ nB. JT T-2J Ql-/dK=/ cOSdt= J 1 址齐t芒1 2+'，J 2开£(只),xE [-TT , 0]2,址© 1]^rcsinx *兀4+ (- COSX：=(2. 故选：D.7. （5分）执行如图所示的程序框图，则输出的 S 的值为（）A ...工7B .C.. -厂 D . m【解答】解：第1次循环后，S=-,不满足退出循环的条件，k=2; 第2次循环后，S= -;，不满足退出循环的条件，k=3; 第3次循环后，S= =2，不满足退出循环的条件，k=4；第n 次循环后，S= ，不满足退出循环的条件，k=n+1 ； 第2018次循环后，S=,3.「儿 不满足退出循环的条件，k=2019第2019次循环后，S==2「|「，满足退出循环的条件， 故输出的S 值为2厂「， 故选：C& （5分）已知函数f （瓷）sin® xug®負7勺（3> 0）的相邻两个 零点差的绝对值为「则函数f （x ）的图象（）A. 可由函数g （x ） =cos4x 的图象向左平移卑匚个单位而得B. 可由函数g （x ） =cos4x 的图象向右平移2二个单位而得24C. 可由函数g （x ） =cos4x 的图象向右平移丄?个单位而得D. 可由函数g （x ） =cos4x 的图象向右平移一个单位而得O【解答】 解：函数 f （7） =sinseesxVsccs5 工=寺 sin7T=sin （2^）-—）（3>0）的相邻两个零点差的绝对值为才?爲=：，二①=2 f (x ) =sin (4x -中=cos[(2 3X )]=cos (4x普）.故把函数g （x ） =cos4x 的图象向右平移竺个单位，可得f （X ）的图象，24 故选：B.9・（5分）©-3）（代/的展开式中剔除常数项后的各项系数和为（ ）A .- 73B .- 61C.- 55D .- 63【解答】解：丄广展开式中所有各项系数和为（2- 3） （1+1） 6=- 64; ⑵-3）（1 丄）社（2x -3） （1忑碍+•••）,工工/其展开式中的常数项为-3+12=9,• ••所求展开式中剔除常数项后的各项系数和为 -64 - 9=- 73.故选：A . 6【解答】解：如图，可得该几何体是六棱锥 P -ABCDEF 底面是正六边形，有一 PAF 侧面垂直底面，且P 在底面的投影为AF 中点，过底面中心N 作底面垂线, 过侧面PAF 的外心M 作面PAF 的垂线，两垂线的交点即为球心 0, 设厶PAF 的外接圆半径为r ，/二（2P ）牛（寺严，解得r #，•価二0昨茅6 （5分）某几何体的三视图如图所示，其中俯视图中六边形ABCDEF 是边长为 1的正六边形，点G 为AF 的中点，则该几何体的外接球的表面积是（）A .B .312Z8 C.鋁1叽64D.48MAS11. (5分)已知抛物线C: y 2=4x 的焦点为F ,过点F 分别作两条直线11, 12，直 线11与抛物线C 交于A 、B 两点，直线12与抛物线C 交于D 、E 两点，若11与12 的斜率的平方和为1,则|AB|+| DE 的最小值为()A . 16 B. 20 C. 24 D . 32【解答】解：抛物线C: y 2=4x 的焦点F (1, 0),设直线11: y=k i (x- 1),直线 12： y=k 2 (x - 1),由题意可知，贝U 叭Jk 『二1,设 A (X 1 , y 1), B (X 2 , y 2),贝 U X 1+X 2= -------k l 4设 D (X 3 , y 3), E (X 4 , y 4),同理可得：X 3+X 4=2+ ° ,k2由抛物线的性质可得：丨AB | =X 1+x 2+p=4+则该几何体的外接球的半径•••表面积是则该几何体的外接球的表面积是7 V4M+1 FS=4冗 R =°*l 兀.64联立丿y=k] (i-lj,整理得：k 12x 2-( 2k 12+4) x+k 12=0,R= I :. 故选：C.C,| DE | =X 3+X 4+pk l=84 ,当且仅当k®目时，上式“我立• ••• | AB|+| DE 的最小值 24, 故选：C.12. (5分)若函数y=f (x ), x € M ，对于给定的非零实数a ,总存在非零常数T , 使得定义域M 内的任意实数x ,都有af (x )=f (x+T )恒成立，此时T 为f (x ) 的类周期，函数y=f (x )是M 上的a 级类周期函数.若函数y=f (x )是定义在区间［0 , + %)内的2级类周期函数，且T=2,当x € ［0 , 2 )时，f(2-Kb 1<X<2(0 , +x),使g (x 2)- f (X 1)w 0成立，贝U 实数m 的取值范围是(【解答】解：根据题意,对于函数f(x ),当x € ［0 , 2)时,f k)弓2fCE-s), Kx<2-2,有最大值f (0)二，最小值f (1)2，当1v x v 2时，f (x ) =f (2 -x ),函数f (x )的图象关于直线x=1对称,则此时 有-一v f (x )v又由函数y=f (x )是定义在区间[0, +7 内的2级类周期函数，且T=2; 则在€ [6, 8) 上, f (x ) =23?f (x -6),则有—12<f (x )w 4,则 f (8) =2f (6) =4f (4) =8f (2) =16f (0) =8,则函数f (x )在区间［6 , 8］上的最大值为8,最小值为-12;A .—] B. (a, 13 ] C. 〔a,32 J2」2」D .[普g| AB|+| DE =8+1 k 24(ki 2+k 2Z ) 8P4、412 J一 _ _ •若？ xi € [ 6, 8] , ? X 2 €函数 =-21nx分析可得：当O w x < 1时，f (x) --=84 ,对于函数山)二-加4^5切,有g'(x) =-Z +X+1」®之-炉1)3切L x x x分析可得：在(0 , 1)上,g (x)v0,函数g (x)为减函数，在(1 , +x)上,g r (x)>0,函数g (x)为增函数，则函数g （x ）在（0, +x ）上，由最小值f （1） =_ +m ,2若？ x i € [6, 8] , ? X 2 €(0, +x ),使 g (X 2)— f (x i )< 0 成立, ，即一+m < 8, ，即m 的取值范围为(-x,必有 g (x ) min < f (x ) max 故选：B. 解可得m 13 2 、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13. （5 分）已知向重.I _ d •二二「，，| 丄---,且-一、，则！ . I I ]【解答】解：根据题意，向重 丁（2営cgd ），b=（l, -1）， 若；丄卞，则 ^?b=2sin a cos a =0 则有 tan a又由 sin 2 a +COS 2 a=1 则有 则 则 |..|-: 2^5sina=^ a" COS Cl - !_ 亍),或 = sin a 二芈^ 5 n _砸 C0S 或（— 5则崙丄）2=3品2- 21?工半 5故答案为: 14. （5分）已知x , y 满足约束条件 的最小值为L_. 【解答】解：由约束条件作出可行域如图,X = — 22n -4,联立fxWQ ，解得A （2, 4）, J 23<2，令t=5x -3y ,化为y 专富诗,由图可知,当直线宾耳过A 时, 」 J "J 直线在y 轴上的截距最大，t 有最小值为-2. •••目标函数 玄二彳； 的最小值为2~^-^. 故答案为：丄.15. （5分）在等比数列｛a n ｝中，a 2?a 3=2a i ,且a 4与2a 7的等差中项为17,设b n =a 2n -1- a 2n , n € N*，则数列｛b n ｝的前2n 项和为—亠〕/" _.丄ka【解答】解：等比数列｛a n ｝中，a 2?a 3=2a i ，且a 4与2a 7的等差中项为17, 设首项为a 1,公比为q , 则：整理得:+血］<1 二 34解得: 则: 所以：b n =a 2n -1 — a 2n =屯一」116. （5分）如图，在直角梯形 ABCD 中，AB 丄BC, AD // BC,上-二一二-_，点 E 是线段CD 上异于点C , D 的动点，EF 丄AD 于点^将厶DEF 沿 EF 折起到△ PEF 的位置，并使PF 丄AF ,则五棱锥P -ABCEF 的体积的取值范围为【解答】 解：T PF 丄AF , PF 丄EF, AF G EF=F 二PF 丄平面ABCD 设 PF=x 贝U O v x v 1, 且 EF=DF=x•五棱锥P-ABCEF 的体积V 丄 丄(3-x 2) x 设 f (x ) (3x - x 3),贝U f ' (x) — (3 - 3x 2)6 6•••当 O v x v 1 时，f'(x )>0,则：T 2n = I' 1-4 故答案为: 討护）. (0,丄) •五边形ABCEF 的面积为S=S 弟形ABCD - x( 1+2)x 1-—X 2丄(3-x 2). (3x — x 3), (1-x 2),••• f（x）在（0, 1）上单调递增，又f （0）=0, •五棱锥P-ABCEF的体积的范围是（0,丄）.故答案为:三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. （12分）已知△ ABC的内角A, B, C的对边a, b, c分别满足c=2b=2.2bcosA+acosC+ccosA=Q 又点 D 满足 【解答】 解：(1)由2bcosA+acosC+ccosA=0及正弦定理得-2sinBcosA=sinAcos&osAsinC 即—2si nBcosA=si n( A+C ) =s inB, 在厶 ABC 中，sinB >0,所以一”二二. 在厶 ABC 中，c=2b=2,由余弦定理得 a 2=b 2+c 2 - 2bccosA=k J +c 2+bc=7, 18. (12分)在四棱柱ABCD — A i B i C i D i 中，底面ABCD 是正方形，且匚-■-,/ A 1AB=Z A 1AD=6C °.(1) 求证：BD 丄CG ;(2) 若动点E 在棱C 1D 1上，试确定点E 的位置，使得直线DE 与平面BDB 所成 角的正弦值为….又A €(0, n),所以(1)求a 及角A 的大小; C所以一 I【解答】解：（1）连接A i B, A i D, AC,因为AB=AA=AD,/ A i AB=Z A i AD=60,所以△ A i AB和厶A i AD均为正三角形，于是A i B=A i D.设AC与BD的交点为0,连接A i O,则A i O丄BD,又四边形ABCD是正方形，所以AC丄BD, 而A i O n AC=O,所以BD丄平面A i AC.又AA i?平面A i AC,所以BD丄AA i, 又CG // AA i,所以BD丄CG.（2）由，及BDW2AB=2，知A i B丄A i D,结合A i O丄BD, AO n AC=O 得A i O丄底面ABCD, 所以OA、OB、OA i两两垂直.如图，以点O为坐标原点，| &的方向为x轴的正方向，建立空间直角坐标系 -xyz 则A (i, 0, 0), B (0 , i , 0), D (0 , - i , 0), A i (0 , 0 , i) , C(- i , 0 , DB=(O, 2, 0),瓦二瓯二(一1・ 0, 1), D]C[二磋(T, 1；",由i 丨，得Di (- i, - i , i).设：,I- ■：.：'(疋[0 , i]),则(X E+i , y E+i , Z E- i)=入(-i , i , 0),即 E (-入—i,入—i , i), 所以；「―■•亠.设平面B i BD的一个法向量为|• • •'!,O 0),B,从而A i O丄AO,设直线DE 与平面BDB 所成角为9, 则血*k^＜运，（—'—D+oy m 丨申, V2XV X 2+（-1-\）£+1 14 解得二二或•，二丄（舍去）,2 3所以当E 为D i C i 的中点时，直线DE 与平面BDBi 所成角的正弦值为「.19. （ 12分）过大年，吃水饺”是我国不少地方过春节的一大习俗.2018年春节 前夕，A 市某质检部门随机抽取了 100包某种品牌的速冻水饺，检测其某项质量 指标，（1） 求所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数■:（同一组中的 数据用该组区间的中点值作代表）；（2） ①由直方图可以认为，速冻水饺的该项质量指标值 Z 服从正态分布N（卩, ；），利用该正态分布，求Z 落在（14.55, 38.45）内的概率；②将频率视为概率，若某人从某超市购买了 4包这种品牌的速冻水饺，记这 4 包速冻水饺中这种质量指标值位于（10, 30）内的包数为X ,求X 的分布列和数 学期望. 附：①计算得所抽查的这100包速冻水饺的质量指标的标准差为②若（卩，^ ）,贝U P （卩―eV Z w p+ o ） =0.6826, P （卩―2 eV Z w （J +2 o ） =0.9544.得n=(l, 0, 1)，n ・ E6=0 ｛十…… n • &B-i =0 L得 产。
高考数学高三模拟考试试卷压轴题普通高等学校招生全国统一考试理科数学
高考数学高三模拟考试试卷压轴题普通高等学校招生全国统一考试理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是复合题目要求的。
1．1212ii+=-（） A ．4355i --B ．4355i -+C ．3455i --D ．3455i -+2．已知集合(){}223A x y xy x y =+∈∈Z Z ，≤，，，则A 中元素的个数为（）A ．9B ．8C ．5D ．43．函数()2x xe ef x x --=的图象大致是（）4．已知向量a b ，满足，1a =，1a b ⋅=-，则()2a a b ⋅-=（）A ．4B ．3C ．2D ．05．双曲线()2222100x y a b a b-=＞，＞的离心力为3，则其渐近线方程为（）A ．2y x =±B ．3y x =±C ．2y x =±D ．3y x =± 6．在ABC △中，5cos2C =，1BC =，5AC =，则AB =（） A ．42B ．30 C ．29 D ．257．为计算11111123499100S =-+-+⋅⋅⋅+-，设计了右侧的程序框图，则在空白框中应填入（）A ．1i i =+B ．2i i =+C ．3i i =+D ．4i i =+8．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30723=+．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是（） A ．112B ．114C ．115D ．1189．在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB BC ==，1AA =1AD 与1DB 所成角的余弦值为（）A ．15BCD10．若()cos sin f x x x =-在[]a a -，是减函数，则a 的最大值是（）A ．4πB ．2πC ．43πD ．π 11．已知()f x 是定义域为()-∞+∞，的奇函数，满足()()11f x f x -=+．若()12f =，则()()()()12350f f f f +++⋅⋅⋅+=（）A ．50-B ．0C ．2D ．5012．已知1F ，2F 是椭圆()2222:10x y C a b a b+=＞＞的左、右焦点交点，A 是C 的左顶点，点P 在过A 且的直线上，12PF F △为等腰三角形，12120F F P ∠=︒，则C 的离心率为（） A ．23B ．12C ．13D ．14 二、填空题，本题共4小题，每小题5分，共20分．13．曲线()2ln 1y x =+在点()00，处的切线方程为__________．14．若x y ，满足约束条件25023050x y x y x +-⎧⎪-+⎨⎪-⎩≥≥≤，则z x y =+的最大值为_________．15．已知sin cos 1αβ+=，cos sin 0αβ+=，则()sin αβ+=__________． 16．已知圆锥的顶点为S ，母线SA ，SB 所成角的余弦值为78，SA 与圆锥底面所成角为45︒．若SAB △的面积为_________．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
2020届高考全国卷1数学(理)模拟试卷含答案详解-202全国卷1数学
第 1 页 共 8 页 2020年普通高等学校招生全国统一考试理科数学模拟试题卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知集合}02|{2<--=x x x A ，}log |{2m x x B >=，若B A ⊆，则实数m 的取值范围（ ）A ．]21,(-∞ B ．]4,0( C ．]1,21( D ．]21,0( 2. 若复数z 满足232z z i +=-，其中i 为虚数单位，则z=（ ）A ．1+2iB ．1﹣2iC ．﹣1+2iD ．﹣1﹣2i 3．在等差数列{}n a 中，810112a a =+，则数列{}n a 的前11项和11S =( ) A. 8 B. 16 C. 22 D. 444． 某几何体的三视图如图（其中侧视图中的圆弧是半圆），则该几何体的表面积为A ．9214π+B ．8214π+C ．9224π+D ．8224π+5．若)()1(*3N n xx x n ∈+ 的展开式中存在常数项，则下列选项中n 可为( ) A ．9 B ．10 C ．11 D ．12 6．某地区高考改革，实行“3+1+2”模式，即“3”指语文、数学、外语三门必考科目，“1”指在物理、历史两门科目中必选一门，“2”指在化学、生物、政治、地理以及除了必选一门以外的历史或物理这五门学科中任意选择两门学科，则一名学生的不同选科组合有( )A. 8种B. 12种C. 16种D. 20种7. 已知抛物线C: 28=x y ，定点A （0，2），B （0，2-），点P 是抛物线C 上不同于顶点的动点，则∠PBA 的取值范围为 （ ） A. 0,4π⎛⎤ ⎥⎝⎦ B. 42，ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C. 0,3π⎛⎤ ⎥⎝⎦D. 32，ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭8． 若0>ω，函数)3cos(πω+=x y 的图象向右平移3π个单位长度后与函数x y ωsin =图象重合，则ω的最小值为A.211B.25C.21D. 23 9．抛掷两枚骰子，当至少有一枚5点或6点出现时，就说这次试验成功，则在9次试验中成功次数的均值为（ ）。
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高中数学学习材料 （灿若寒星 精心整理制作）全国卷理科数学模拟试题一第Ⅰ卷一 选择题：本题共12题，每小题5分，共60.在每小题给出的四个选项中，有且只有一个是正确的.1．设集合{1,2,3,4},{1,2,3},{2,3,4}U M N ===，则)(N M C U = （ ） A.{1,2} B.{2,3} C.{2,4} D.{1,4} 2.复数131iZ i -=+的实部是（ ） A ． 2 B ． 1C ．1-D ．4-3.设0.8log 0.9a =， 1.1log 0.9b =，0.91.1c =,则a ，b ，c 的大小关系是 ( ) （A ）a b c <<（B ）a c b << （C ）b a c <<（D ）c a b <<4．如图，在66⨯的方格纸中，若起点和终点均在格点的向量,,a b c 满足,(,)c xa yb x y R =+∈，则x y +=A ．0B ． 1C ．55D ．1355.下列说法:①将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后,方差恒不变;②设有一个回归方程ˆｙ＝3-5x ,变量x 增加一个单位时,y 平均增加5个单位; ③回归方程ˆˆˆｙ＝bx+a 必过（x,y) ④有一个2×2列联表中,由计算得2k =13.079,则有99%的把握确认这两个变量间有关系.其中错a b c误的个数是( )(A)0 (B)1 (C)2 (D)3本题可以参考独立性检验临界值表: P(2k ≥0k )0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0k0.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6356．执行如图的程序框图，输出的S 值是（ ） A ．23-B ．23C ．0D ．37．等差数列{a n }中，a 1+a 2+…+a 50＝200，a 51+a 52+…+a 100＝2700，则a 1等于( ) A ．－1221 B ．－21．5 C ．－20．5 D ．－208．下列命题中正确的是（ ）A ．若p q ∨为真命题，则p q ∧为真命题B ．“0a >，0b >”是“2b aa b+≥”的充分必要条件 C ．命题“若2320x x -+=，则1x =或2x =”的逆否命题为“若1x ≠或2x ≠，则2320x x -+≠”D ．命题:p R x ∃∈，使得210x x +-<，则:p ⌝R x ∀∈，使得210x x +-≥9．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ．则“10a >”是“32S S >”的（ ） （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （D ）既不充分又不必要条件 （C ）充要条件10.某四棱柱的三视图如图所示，该几何体的各面中互相垂直的面的对数是（ ）A ．2B ．4C ．6D ．811.设Q P ,分别为()2622=-+y x 和椭圆11022=+y x 上的点，则Q P ,两点间的最大距离是（ ）.52A B.246+ C.27+ D.2612.已知函数2,1,()1,1,x ax x f x ax x ⎧-+≤=⎨->⎩若1212,,x x x x ∃∈≠R ，使得12()()f x f x =成立，则实数a 的取值范围是 ( )（A ）2a < （B ）2a >（C ）22a -<< （D ）2a >或2a <-第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分。
第13第21必考题，每个试题考生都必须作答。
第22，23,24考生根据要求作答。
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上）13.(2013济南三模)某市居民2009~2013年家庭年平均收入x(单位:万元)与年平均支出Y(单位:万元)的统计资料如表所示:年份 2009 2010 2011 2012 2013 年平均收入x 11.5 12.1 13 13.3 15 年平均支出Y6.88.89.81012根据统计资料,居民家庭年平均收入的中位数是 ,家庭年平均收入与年平均支出 有 线性相关关系.14．某校编写了甲、乙、丙、丁四门选修课教材，在同一学年的五个班级试用。
要求：每个班级只开设一门选修课；只有一、二班开设相同的选修课，且三班不开设甲门选修课，则不同的开设方法共有 种（用数字作答）15．二项式122⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x n 的展开式第4项是常数项，则n 的值是16．设函数2()65f x x x =-+，集合{(,)|()()0A a b f a f b =+≤，且()()0}f a f b -≥．直直角坐标系aOb 中，集合A 所表示的区域的面积为______．三．解答题(解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)．17．（本小题满分12分）已知ABC ∆的三个内角分别为A,B,C,且22sin ()3sin 2.B C A += （Ⅰ）求A 的度数；（Ⅱ）若7,5,BC AC ==求ABC ∆的面积S .18. （本小题满分12分）某项选拔共有四轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答者进入下一轮考核，否则即被淘汰.已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮的问题的概率分别为0.6、0.4、0.5、0.2 . 已知各轮问题能否正确回答互不影响. （Ⅰ）求该选手被淘汰的概率；（Ⅱ）记该选手在选拔中回答问题的个数为ξ，求ξ的分布列与数学期望.19．（本小题满分12分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，90o BAC ∠=，AB =AC =a ，1AA b =，点E ，F 分别在棱1BB ，1CC 上，且113BE BB =，1113C F CC =．设b aλ=． （Ⅰ）当λ=3时，求异面直线AE 与1A F 所成角的大小； （Ⅱ）当平面AEF ⊥平面1A EF 时，求λ的值．20.（本小题满分12分）已知ax x x x f -=ln )(，2)(2--=x x g ，（Ⅰ）对一切)()(),,0(x g x f x ≥+∞∈恒成立，求实数a 的取值范围； （Ⅱ）当时，1-=a 求函数]3,[)(+m m x f 在(0m >)上的最小值.21.（本小题满分12分）已知椭圆M ：2221(0)3x y a a +=>的一个焦点为(1,0)F -，左右顶点分FEC 1B 1A 1 CBA（第19题图）别为A ，B .经过点F 的直线l 与椭圆M 交于C ，D 两点. （Ⅰ）求椭圆方程；（Ⅱ）记ABD ∆与ABC ∆的面积分别为1S 和2S ，求12||S S -的最大值.（本小题满分10）请考生在（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一个题目计分，做答时，请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。
22. 选修4-1：几何证明选讲（本小题满分10分）如图，P 是⊙O 外一点，PA 是切线，A 为切点，割线PBC 与⊙O 相交于点B ，C ，PC ＝2PA ，D 为PC 的中点，AD 的延长线交⊙O 于点E ，证明： （Ⅰ）BE ＝EC ；（Ⅱ）AD ·DE ＝2PB 2.22题图23.坐标系与参数方程（本小题满分10分）在直角坐标系xOy 中，已知点P(0，3)，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝5cos φy ＝15sin φ(φ为参数)．以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为. （Ⅰ）判断点P 与直线l 的位置关系，说明理由；(Ⅱ）设直线l 与曲线C 的两个交点为A 、B ，求|PA|·|PB|的值．24选修4—5：不等式选讲（本小题满分10分） 设不等式*2()x a a N -<∈的解集为A ,且32A ∈,12A ∉. （Ⅰ）求a 的值;（Ⅱ）求函数()2f x x a x =++-的最小值.全国卷理科数学模拟试题一参考答案一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.1-5 DCCDB 6-10 BCDCD 11-12 DA二、 填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13 13万元 正相关 14 18种 15 6 16 4π三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程. 17．解:（Ⅰ） 22sin ()3sin 2.B C A +=22sin 23sin cos A A A ∴=, ……………………….2分 sin 0,sin 3cos ,tan 3A A A A ≠∴=∴=, ……………………….4分60,0=∴<<A A π °. …………………….6分（Ⅱ）在ABC ∆中, 60cos 2222⨯⨯-+=AC AB AC AB BC ,7,5,BC AC ==,525492AB AB -+=∴8,02452=∴=--∴AB AB AB 或3-=AB (舍),………….10分31023852160sin 21=⨯⨯⨯=⨯⨯=∴∆ AC AB S ABC . …………………….12分18． 解：记“该选手能正确回答第i 轮的问题”为事件A i （i=1，2，3，4） 则P （A 1）=0.6，P （A 2）=0.4，P （A 3）=0.5，P （A 4）=0.2（Ⅰ）该选手被淘汰的概率：P=P （1A + A 12A + A 1 A 23A + A 1 A 2 A 34A ）= P （1A ）+ P （A 1）P （2A ）+P （A 1）P （A 2）P （3A ）+ P （A 1）P （A 2）P （A 3）P （4A ） =0.4+0.6×0.6+0.6×0.4×0.5+0.6×0.4×0.5×0.8=0.976 ……5分 (Ⅱ)ξ=1,2,3,4 ……6分 P(ξ=1)=P(1A )=0.4 ……7分P(ξ=2)=P （A 12A ）=P （A 1）P （2A ）=0.6×0.6=0.36 ……8分P(ξ=3)=P （A 1 A 23A ）=P （A 1）P （A 2）P （3A ）=0.6×0.4×0.5=0.12 ……9分 P(ξ=4)=P （A 1 A 2 A 3）=P （A 1）P （A 2）P （A 3）=0.6×0.4×0.5=0.12 ……10 分 因此ξ的分布列为ξ1 2 3 4P0.4 0.36 0.12 0.12ξ的数学期望E ξ=1×0.4+2×0.36+3×0.12+4×0.12=1.96 (12)分19．（本小题满分12分）解：建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -．（Ⅰ）设a =1，则AB =AC =1，1AA =3，各点的坐标为(0,0,0)A ,(1,0,1)E ，1(0,0,3)A ，(0,1,2)F ．(1,0,1)AE =，1(0,1,1)A F =-．∵12AE A F ==,11AE A F ⋅=-， ∴111,11cos 222AE A F AE A FAE A F⋅-===-⨯．∴向量AE 和1A F 所成的角为120o ，∴异面直线AE 与1A F 所成角为060．……5分（Ⅱ）∵(,0,)3bE a ，2(0,,)3bF a ， ∴2(,0,),(0,,)33b b AE a AF a ==．设平面AEF 的法向量为1(,,)x y z n ， 则10AE ⋅=n ，且10AF ⋅=n ．即03bz ax +=，且203bzay +=． 令1z =，则2,33b b x y a a=-=-． ∴12(,,1)33b b a a =--n =2(,,1)33λλ--是平面AEF 的一个法向量． ………9分 同理，22(,,1)33b ba a=n =2(,,1)33λλ是平面1A EF 的一个法向量．∵平面AEF ⊥平面1A EF ，∴120⋅=n n ．∴22221099λλ--+=．解得，32λ=．∴当平面AEF ⊥平面1A EF 时，32λ=． ………………………12分z yxFEC 1 B 1A 1CBA（第19题图）20解：（Ⅰ）对一切)()(),,0(x g x f x ≥+∞∈恒成立，即2ln 2--≥-x ax x x 恒成立. 也就是++≤x x a ln x2在),0(+∞∈x 恒成立. 令xx x x F 2ln )(++=，则F '2222)1)(2(2211)(x x x x x x x x x -+=-+=-+=， 在)10(，上F '0)(<x ，在上，)1(∞+上F '0)(>x ，因此，)(x F 在1=x 处取极小值，也是最小值，即min )(x F 3)1()(min ==F x F ，所以3≤a .（Ⅱ）当时，1-=a x x x x f +=ln )(，f '2ln )(+=x x ，由f '0)(=x 得21e x =. ①当210e m <<时，在上)1,[2e m x ∈上f '0)(<x ，在上]3,1(2+∈m ex 上f '0)(>x 因此，)(x f 在21ex =处取得极小值，也是最小值，,1)1()(22min e e f x f -== ②当时21e m ≥，0)('≥x f ，因此]3,[)(+m m x f 在上单调递增，所以()()min 1ln f x m m =+。