2018年高考数学黄金100题系列第05题含参数的简易逻辑问题理

第5题 含参数的简易逻辑问题

I ．题源探究·黄金母题

【例1】下列各题中，那些p 是q 的充要条件？（节选） （1）p ：0b =，q ：函数()2f x ax bx c =++是偶函数； 【解析】

,p q ⇔∴p 是q 的充要条件．

精彩解读

【试题来源】人教A 版选修1-1第11页例3． 【母题评析】本题考查充要条件的判断，容易题．

【思路方法】直接应用定义进行判断． II ．考场精彩·真题回放

【例2】【2017天津，理4】设θ∈R ，则“ππ

||1212

θ-

<”是“1

sin 2

θ<

”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 【解析】当1a b ==时，有()2

1i 2i +=，即充分性成立．当

()2

i 2i a b +=时，

有2

2

2i 2i a b ab -+=，得220,

1,

a b ab ⎧-=⎨=⎩解得1a b ==或1a b ==-，即必要性不成立，故选A ． 【例3】【2014 福建理数】直线:1l y kx =+与圆22:1O x y +=相交于,A B 两点，

则“1k =”是“ABC △的面积为1

2

”的（ ）

A ．充分而不必要条件

B ．必要而不充分条件

C ．充分必要条件

D ．既不充分又不必要条件 【解析】当1k =时，:1l y x =+，由题意不妨令

()1,0A -，()0,1B ，则11

1122

AOB S =⨯⨯=△，所以充分性成立；当1k =-时，:1l y x =-+，也有1

2AOB S =△，

所以必要性不成立．

【命题意图】本类题通常主要考查充分条件与必要条件的判定．

【考试方向】这类试题在考查题型上，通常以选择题或填空题的形式出现，难度较小，往往与命题（特别是含有逻辑联结词的复合命题）真假的判断、充分条件与必要条件的判断以及全称命题、特称命题等联系紧密．

【难点中心】充分、必要条件的三种判断方法． 1．定义法：直接判断“若p 则q ”、“若q 则p ”

的真假．并注意和图示相结合，例如“p ⇒ q ”为真，则p 是q 的充分条件．

2．等价法：利用p ⇒ q 与非q ⇒非p ， q ⇒

p 与非p ⇒非q ， p ⇔ q 与非q ⇔非p 的

等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．

3．集合法：若A ⊆ B ，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若B A ⊆，则A 是

B 的必要条件；若A ＝B ，则A 是B 的充要

条件；若A 是B 的真子集，则A 是B 的充分不必要条件；若B 是A 的真子集，则A 是B 的

必要不充分条件．

【例4】【2014四川理数】以A 表示值域为R 的函数组成的集合，B 表示具有如下性质的函数()x ϕ组成的集合：对于函数()x ϕ，存在一个正数M ，使得函数()x ϕ的值域包含于区间[],M M -．例如，当()31x x ϕ=，

()2sin x x ϕ=时，()1x A ϕ∈，()2x B ϕ∈．现有如下命

题：

①设函数()f x 的定义域为D ，则“()f x A ∈”的充要条件是“b ∀∈R ，a D ∃∈，()f a b =”； ②函数()f x B ∈的充要条件是()f x 有最大值和最小值；

③若函数()f x ，()g x 的定义域相同，且()f x A ∈，

()g x B ∈，则()()f x g x B +∉；

④若函数()()2

ln 21

x

f x a x x =+++()2,x a >-∈R 有最大值，则()f x B ∈．

其中的真命题有 ．（写出所有真命题的序号） 【解析】依题意可直接判定①正确；令()(]()2,1x f x x =∈-∞，

显然存在正数2，使得()f x 的值域

(][]0,22,2⊆-，但()f x 无最小值，②错误；假设

()()f x g x B +∈，则存在正数M ，使得当x 在其公共

定义域内取值时，有()()f x g x M +…，则

()()f x M g x -…，又因为()g x B ∈，则存在正数1M ，

使()[]11,g x M M ∈-，

所以()1g x M -…，即()1M g x M M -+…，所以

()1f x M M +…，与()f x A ∈矛盾，③正确；当0

a =时，()211,122x f x x ⎡⎤=

∈-⎢⎥+⎣⎦

，即()f x B ∈，当0a ≠时，因为()ln 2y a x =+的值域为(),-∞+∞，而

211,122x x ⎡⎤

∈-⎢⎥+⎣⎦

，此时()f x 无最大值，故0a =，④正确．

III ．理论基础·解题原理

考点一 与充分条件、必要条件有关的参数问题

充分条件和必要条件的理解，可以翻译成“若p 则q ”命题的真假，或者集合与集合之间的包含关系，尤其转化为集合间的关系后，利用集合知识处理． 考点二 与逻辑联接词有关的参数问题

逻辑联接词“或”“且”“非”与集合运算的并集、交集、补集有关，由逻辑联接词组成的复合命题的真假与组成它的简单命题真假有关，其中往往会涉及参数的取值范围问题． 考点三 与全称命题、特称命题真假有关的参数问题

全称命题和特称命题从逻辑结构而言，是含义相反的两种命题，利用正难则反的思想互相转化，达到解题的目的．

考点四 与全称量词、特称量词有关的参数问题

全称量词“∀”表示对于任意一个，指的是在指定范围内的恒成立问题，而特称量词“∃”表示存在一个，指的是在指定范围内的有解问题，上述两个问题都利用参变分离法求参数取值范围． IV ．题型攻略·深度挖掘

【考试方向】

这类试题在考查题型上，通常基本以选择题或填空题的形式出现，难度较小，往往与命题（特别是含有逻辑联结词的复合命题）真假的判断、充分条件与必要条件的判断以及全称命题、特称命题等联系紧密．

【技能方法】

解决与简易逻辑问题有关的参数问题，需要正确理解充分条件和必要条件的定义，弄懂逻辑联接词的含义以及全称量词、特称量词包含的数学理论

【易错指导】

（1）参数的边界值即是否取等号，容易出错；