高等数学(下册)第八章第七节——方向导数与梯度

G 向量
称为函数 f (P) 在点 P 处的梯度
记作 grad f , 即
(gradient),
f, x
f, y
f z
同样可定义二元函数
在点 P(x, y) 处的梯度
说明: 函数的方向导数为梯度在该方向上的投影. 2. 梯度的几何意义
对函数
z
f
(x,
y) ,曲线
z
f (x, zC
y)在
xoy
面上的投
梯度场 grad f (P)
(向量场)
注意: 任意一个向量场不一定是梯度场.
例5. 已知位于坐标原点的点电荷 q 在任意点
处所产生的电位为
u q ( r x2 y2 z 2 ), 试证
4 r
grad u E
(场强
E
4π
q ε
r2
r
0
)
证: 利用例4的结果
grad f (r) f (r) r 0
f f cos f cos f cos
l x
y
z
且有
l
P
证明: 由函数
f (x, y, z) 在点 P 可微 ,
得
P(x, y, z)
f f x f y f z o( )
x y z
o( )
故 f lim f f cos f cos f cos
n 方向
的方向导数.
解: n (4x , 6 y , 2z) P 2(2 , 3 , 1)
方向余弦为
cos 2 , cos 3 , cos 1
14
14
14
而
u
x P z
6x 6x2 8y2
P
6 14
同理得
u 1 6 2 8 3 14 1 11
n P 14
7
二、梯度
方向导数公式
f f cos f cos f cos
l x
y
z
令向量
G
f, x
f, y
f z
l 0 (cos , cos , cos )
当 l 0 与 G 方向一致时, 方向导数取最大值：
max f G
l
这说明
方向：f 变化率最大的方向
G : 模 : f 的最大变化率之值
1. 定义
西 点 实军 例校 二地 形 图
3. 梯度的基本运算公式
(2) grad (C u) C grad u (4) grad ( u v ) u grad v v grad u
例4.
处矢径 r 的模 ,
试证
证:
f (r)
x2
x y2
z2
f (r) x r
f (r) f (r) y ,
x 朝 增大方向的方向导数.
解:将已知曲线用参数方程表示为
x x y x2 1
它在点 P 的切向量为
(1, 2x) x2 (1, 4)
cos 1 , cos 4
17
17
yP o 1 2 x
60 17
例3. 设 n 是曲面
指向外侧的法向量,
求函数
在点 P(1, 1, 1 )处 在点P 处沿
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
55
2 1.5
4 3 2
Y
11
X
(x2
ky y2)32
等值线方程为
x2 y2 (k / c)2.
结论:
蚂蚁应沿着负梯度方向爬行才能最快到达较凉快的地点
y
4
3.5
3
2.5
-grad f 2
1.5
grad f
1
0.5
0
0
1
2
3
4
5
6
x
结论:
等高线图指出支流沿最速下降的路径垂直于等高线流动
影 L* : f (x, y) C 称为函数 f 的等值线 .
设 f x , f y 不同时为零 , 则L*上点P 处的法向量为
( f x , f y ) P grad f P
同样, 对应函数
y
f c3
f c2
有等值面(等量面)
当各偏导数不同时为零时,
其上
点P处的法向量为
grad f P .
示意图
3
2.5
2
1.5
1
0.5
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
实质：应沿由热变冷变化最剧烈的方向爬行
问题：何为温度变化最剧烈的方向？
实例二
西点军校地形图
观 察 支 流 的 流 动 方 向
一、方向导数
定义: 若函数 f (x, y, z) 在点 P(x, y, z) 处
l 沿方向 (方向角为
, , ) 存在下列极限:
l
P
lim f
0
P(x, y, z)
lim
0
f
(x
x,
y
y, z
z)
f
(x,
y,
z
)
记作
f l
l 则称 f 为函数在点 P 处沿方向 的方向导数. l
定理: 若函数 f (x, y, z) 在点 P(x, y, z) 处可微 ,
l 则函数在Hale Waihona Puke Baidu点沿任意方向 的方向导数存在 ,
第八章
第七节
方向导数与梯度
一、方向导数 二、梯度 三、物理意义
一、问题的提出
实例一 一块长方形的金属板，四个顶点的坐标是(1,1)，(5,1)，(1,3)， (5,3)．在坐标原点处有一个火焰，它使金属板受热．假定板上任意一点处的 温度与该点到原点的距离成反比．在(3,2)处有一只蚂蚁，问这只蚂蚁应沿什 么方向爬行才能最快到达较凉快的地点？
P f c1
o
x
(设 c1 c2 c3 )
函数在一点的梯度垂直于该点等值面(或等值线) ,
指向函数增大的方向.
实例1的求解
金属板上各点的温度为
T (x, y) k x2 y2
各点的梯度为
grad
T
(x,
y)
(x2
kx y2
)3 2
3
2.5
3
2
2.5
12.5
Z
1.51
1
0.5
0.5
30
0 2.50.5
l 0 x
y
z
对于二元函数 f (x, y), 在点 P(x, y) 处沿方向 l (方向角
为, ) 的方向导数为
f lim f (x x, y y) f (x, y)
l 0
y lP
l
f x (x, y) cos f y (x, y) cos
o
x
特别: • 当 l 与 x 轴同向
y
r
f (r) f (r) z
z
r
grad
f
(r)
f
(r)
i
f
(r)
j
f
(r)
k
z
x
y
z
P
f (r) 1 (x
i y
jz
k)
r
r
o
y
f
(r)
1
r
f (r) r0
x
r
三、物理意义
函数
场
(物理量的分布)
可微函数 f (P)
(势)
数量场 (数性函数) 如: 温度场, 电位场等
向量场(矢性函数) 如: 力场,速度场等
• 当 l 与 x 轴反向
0, 时, 有 f f
2
l x
, 时, 有 f f
2
l x
例1. 求函数
3) 的方向导数 .
解: 向量 l 的方向余弦为
在点 P(1, 1, 1) 沿向量
u 2xyz 2
l P
14
x2y
3 14
例2. 求函数
在点P(2, 3)沿曲线