高等数学(下册)第八章第七节——方向导数与梯度
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高等数学8.8 方向导数
f ( x0
x, y0
y)
f ( x0 , y0 )
f x (x0 , y0 )
(2). 沿着 x轴负向、 y 轴负向的方向导数是 f x , f y.
定理 如果函数z f ( x, y)在点 P(x0, y0) 处可微，那末函数在该
点沿任意方向 L 的方向导数都存在，且有
(6
x
2
8
y
2
1
)2
在此处沿方向n的方向导数.
z
解 令 F( x, y, z) 2x2 3 y2 z2 6,
故 nr |(1,1,1) Fx, Fy, Fz |(1,1,1) 4, 6, 2 ,
cos 2 ,
14
cos 3 ,
14
cos 1 .
f lim f ( x0 x, y0 y) f ( x0 , y0 ) lim fx ( x0 , y0 )x f y ( x0 , y0 )y o( )
l （x0 ,y0）0+
0+
fx ( x0 , y0 )cos f y ( x0 , y0 )cos
y
l
• P
且 P U( p). = | PP | (x)2 (y)2 ,
y
若 lim f ( x0 x, y0 y) f ( x0 , y0 )
P
••
x
0+
o
f
x
则称此极限为 z f ( x, y)在P处沿方向 l 的方向导数, 记为 l （x0 , y0）
l 0
z
第八章第7节方向导数与梯度
第七节 方向导数 与梯度
一、梯度 二、方向导数
1
一. 梯度
三元函数 f (x, y, z) 在点 P 处的梯度(gradient),
grad
f
(
f x
,
f y
,
f) z
f x
i
f y
j
f z
k
曲面 f (x , y , z)=0 在 P 点的一个法向量
n (fx(x,y,z), fy(x, y,z), fz(x, y,z)) g r a df(x ,y ,z)
指向外侧 的法向量,求函数 u
方向 n的方向导数.
6x2 8y2
z
在点P 处沿
解: gra d u (
6x
,
8y
6x2 8y2
,
)
z 6x2 8y2 z 6x2 8y2
z2
grad u ( 1 , 1 , 1 ) (
6, 14
8 , 14) 14
曲面 在点 P处 指向外侧 的法向量
n
n( 4 x , 6 y , 2 z ) P 2(2,3,1)
表示 f (x, y) 在点 P 沿l方向 的变化速度,
f y
空间射线 l 的起点为 P0(x0,y0,z0),方向角为 , ,
三元函数 f(x,y,z)在点P 0 沿l 方向 的方向导数
f l
P
0
lim
0
f(x0cos,y0cos,z0cos)f(x0,y0,z0)
l 定理 设与射线l 同方向的单位向量
•P
l 0 ( c o s,c o s,c o s)
f l
(
x
0
,
y
0
一、梯度 二、方向导数
1
一. 梯度
三元函数 f (x, y, z) 在点 P 处的梯度(gradient),
grad
f
(
f x
,
f y
,
f) z
f x
i
f y
j
f z
k
曲面 f (x , y , z)=0 在 P 点的一个法向量
n (fx(x,y,z), fy(x, y,z), fz(x, y,z)) g r a df(x ,y ,z)
指向外侧 的法向量,求函数 u
方向 n的方向导数.
6x2 8y2
z
在点P 处沿
解: gra d u (
6x
,
8y
6x2 8y2
,
)
z 6x2 8y2 z 6x2 8y2
z2
grad u ( 1 , 1 , 1 ) (
6, 14
8 , 14) 14
曲面 在点 P处 指向外侧 的法向量
n
n( 4 x , 6 y , 2 z ) P 2(2,3,1)
表示 f (x, y) 在点 P 沿l方向 的变化速度,
f y
空间射线 l 的起点为 P0(x0,y0,z0),方向角为 , ,
三元函数 f(x,y,z)在点P 0 沿l 方向 的方向导数
f l
P
0
lim
0
f(x0cos,y0cos,z0cos)f(x0,y0,z0)
l 定理 设与射线l 同方向的单位向量
•P
l 0 ( c o s,c o s,c o s)
f l
(
x
0
,
y
0
方向导数
x 2 + y 2在 (0,0)处沿任意方向
f y (0,0)均不存在，从而 f ( x, y )在(0,0)处不可微 .
反例2
z
=
f (x,
y) =
⎪⎧ ⎨
x2
xy + y2
,
(x, y) ≠
(0,0)
⎪⎩0,
( x, y) = (0,0)
f f
x
(
(x0,,y0))在= 点f y(0(0,0,0)处) =沿0lr,
( P ′∈ l )
l
P′ P
o
x
f ( x + ρ cos π, y + ρ cos π ) − f ( x, y)
= lim
2
ρ→0+
ρ
=
–lim
ρ→+0
f
(x −
ρ, y) − –ρ
f
( x,
y)=
−(
∂f ∂x
)
−
=
−
∂f ∂x
但 ∂f 存在
∂x
∂∂fir
(el
=
r i
)
∂
∂f (−
r i
y0
P0
)
cos β
P
erl
α
∆x
,
∆
l
y
x
= ρ ⋅ [ f x ( x0 , y0 )cosα + f y ( x0 , y0 )cos β ]+ o( ρ )
∆ f = ρ ⋅ [ f x ( x0 , y0 )cosα + f y ( x0 , y0 )cos β ]+ o( ρ )
故
∂f
f y (0,0)均不存在，从而 f ( x, y )在(0,0)处不可微 .
反例2
z
=
f (x,
y) =
⎪⎧ ⎨
x2
xy + y2
,
(x, y) ≠
(0,0)
⎪⎩0,
( x, y) = (0,0)
f f
x
(
(x0,,y0))在= 点f y(0(0,0,0)处) =沿0lr,
( P ′∈ l )
l
P′ P
o
x
f ( x + ρ cos π, y + ρ cos π ) − f ( x, y)
= lim
2
ρ→0+
ρ
=
–lim
ρ→+0
f
(x −
ρ, y) − –ρ
f
( x,
y)=
−(
∂f ∂x
)
−
=
−
∂f ∂x
但 ∂f 存在
∂x
∂∂fir
(el
=
r i
)
∂
∂f (−
r i
y0
P0
)
cos β
P
erl
α
∆x
,
∆
l
y
x
= ρ ⋅ [ f x ( x0 , y0 )cosα + f y ( x0 , y0 )cos β ]+ o( ρ )
∆ f = ρ ⋅ [ f x ( x0 , y0 )cosα + f y ( x0 , y0 )cos β ]+ o( ρ )
故
∂f
高等数学同济版下第七节方向导数与梯度
f f f f cos cos cos l x y z
其中 , , 为 l 的方向角 .
对于二元函数 f (x 向角 ,y ), 在点 P ( x ,y ) 处沿方向 l( 方
为, ) 的方向导数为
f f ( x x , y y ) f ( x , y ) lim l 0 l
2
l x f f • 当 l 与 x 轴反向 , 时 ,有 2 l x
例1. 求函数 u x2yz 在点 P(1, 1, 1) 沿向量 l ( 2 , 1 , 3 )
的方向导数 .
6 14
2 2 在点P(2, 3)沿曲线 y x2 1 3 x y y 例2. 求函数 z
, y) 在点 P(x, y) 处的梯度 同样可定义二元函数 f (x
f f f f grad f i j , x y x y
说明: 函数的方向导数为梯度在该方向上的投影. 2. 梯度的几何意义
z f( x ,y ) 对函数 z f ( x , y ) , 曲线 在 xoy 面上的 z C
第七节 方向导数与梯度
一、方向导数 二、梯度
三、物理意义
一、方向导数
x ,y ,z )在点 P 定义: 若函数 f( (x, y, z) 处
, ,) 存在下列极限: 沿方向 l (方向角为
记作 f f f ( x x , y y , z z ) f ( x , y , z ) lim lim l 0 0
朝 x 增大方向的方向导数.
60 17
2 2 2 在点 P(1, 1, 1 )处 是曲面 n 2 x 3 y z 6 例3. 设
2019-D87方向导数与梯度高等数学-文档资料
x ( c x o ) 2 , s ( yy )2 c( o z )2 ,,szco s
则称 f 为函数在点 P 处沿方向 l 的方向导数.
l
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定理: 若函 f(x,y,z数 )在 P (点 x,y,z)处,可微
说明: 函数的方向导数为梯度在该方向上的投影.
2. 梯度的几何意义
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对函 zf数 (x,y),曲 线 zzf(C x,y)在xo面 y 上的 影 L*:f(x,y)C称为函数 f 的等值线 .
设fx, fy不同时为, 则零L*上点P 处的法向量为
(fx, fy) PgrafdP 同样, 对应函数 uf(x,y,z), 有等值面(等量面) f(x,y,z)C,
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u 162831 41 11
n P 14
7
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二、梯度
方向导数公式 ffc o sfco s fcos
l x y
z
令向量
Gxf,
f, y
f z
l0(co ,cso ,s co )s
fco sfco sfco so()
x
y
z
故
f limffco sfco sfco s
l 0 x
y
z
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对于二元函数 f(x,y), 在点 P(x,y)处沿方 l(方 向 向角
为, ) 的方向导数为
指向外侧的法向量, 求函数 u 6x2 8y2 在点P 处沿
方向 n的方向导数.
z
第七节 方向导数与梯度课件
到点 Q ( 2 , 1 ) 的方向的方向导数. 解
r 即为 PQ { 1 , 1 } , 这里方向 l r 故 x 轴到方向 l 的转角 . 4 z e 2 y (1, 0 ) 1; z 2 xe 2 y (1, 0 ) 2, x (1, 0 ) y ( 1 , 0 )
设 x 轴正向到射线
l 的转角
P U ( p ). o
为 , 并设 P ( x + x , y + y )
P
x
y
为 l 上的另一点且
（如图）
x
扬州环境资源职业技术学院基础部
| PP | ( x )2 + ( y )2 ,
且 z f ( x + x , y + y ) f ( x , y ),
扬州环境资源职业技术学院基础部
梯度的概念可以推广到三元函数 三元函数 u f ( x , y , z ) 在空间区域 G 内具有 P ( x, y,z) G ， 一阶连续偏导数，则对于每一点 都可定义一个向量(梯度)
f r f r f r gradf ( x , y , z ) i + j + k. x y z
因为
f 2x 2 , 2 2 x (x + y )
1 2x 2y gradu 2 2 i 2 j 2 2 2 2 2 x +y (x + y ) (x + y )
扬州环境资源职业技术学院基础部
小结
1、方向导数的概念
（注意方向导数与一般所说偏导数的区别） 2、梯度的概念 （注意梯度是一个向量） 3、方向导数与梯度的关系 梯度的方向就是函数 f ( x , y ) 在这点增长最快的方向.
高等数学 8-7.方向导数与梯度
π 方向导数达到最大值 2 ; 故 1）当α = 时， （ 4 5π π （2）当α = 时， 方向导数达到最小值− 2 ; 4 3π 7π π π （3）当α = 和α = 时，方向导数等于 0. 4 4
推广可得三元函数方向导数的定义
对于三元函数 u = f ( x, y, z )，它在空间一点 P( x0 , y0 , z0 ) 沿着方向 l = (cosα ,cos β ,cos γ ) 的方 向导数 ，可定义为 f ( x0 + ∆x, y0 + ∆y, z0 + ∆z ) − f ( x0 , y0 , z0 ) ∂f = lim ρ ∂l ρ →0
方向导数仍可理解 为曲线上一点处右 切线在新坐标系下 的斜率. 的斜率
y
t
P = ( x 0 , y0 )
v = (cos α ,sin α )
方向导数的物理意义：
设一质点 P 在三维空间的运动轨迹为 (时间t) 时间
x = x0 + t cos α , y = y0 + t sin α , z = f ( x0 + t cos α , y0 + t sin α )
y
l
• P′
•
•
ϕ
∆x
∆y
x
（如图） 如图）
ρ f ( x + ∆x , y + ∆y ) − f ( x , y ) 是否存在？ 是否存在？ lim ρ →0 ρ
上述极限若存在, 定义: 上述极限若存在 则称此极限为函数 f 在 P处沿方向 l 的方向导数 记为 方向导数, 处沿方向
∵ | PP ′ |= ρ = ( ∆x )2 + ( ∆y )2 , 且 ∆z = f ( x + ∆x , y + ∆y ) − f ( x , y ), ∆z 考虑 , 当 P′沿着 l 趋于 P时，
方向导数与梯度
设方向l的方向角为 , ,
x cos , y cos , z cos ,
f同理,f当co函s数在此f c点os可 微 时f ,c那os末 函数在该点 沿其任中l意(c方osx向 ,lc的os方向,c导oys数)是都l存的在方z,向且向有量.
16
方向导数与梯度
1991年研究生考题, 计算,5分
存在时,
f x
f y
是否一定存在
7
方向导数与梯度
例如, 函数 z 的方向导数
fflimlimf (fx(xx, yx,y)y) f (fx(,xy,)y)
lx 0x0
x
x2 y2在点(0, 0)处沿方向 l i
f l
f i
lim |x|0
(x)2 02 0 lim x 1,
第七节 方向导数与梯度
directional derivative and gradient
方向导数概念与计算公式 梯度概念与计算 数量场与向量场的概念 小结 思考题 作业
1
第八章 多元函数微分法及其应用
方向导数与梯度
一、方向导数概念与计算公式
设有二元函数 z f ( x, y),考虑函数在某点
l P0 x P0
y P0
13
方向导数与梯度
问在怎样的方向上此方向导数有 (1) 最大值; (2) 最小值; (3) 等于零?
f cos sin 2 sin( p )
l (1,1)
4
故 (1) 当 p 时,方向导数达到最大值
4
2;
(2) 当 5p 时, 方向导数达到最小值 2;
4
(3) 当 3p 和 7p 时,方向导数等于 0.
例 设n 是曲面2x2 3 y2 z2 6在点P(1,1,1)
《方向导数与梯度》课件
方向导数在优化中的应用
总结词
方向导数是优化算法中常用的工具，它可以用于求解无约束和约束优化问题，以及用于 梯度下降法和牛顿法的实现。
详细描述
方向导数是优化算法中常用的工具，它可以用于求解无约束和约束优化问题。在无约束 优化问题中，方向导数可以用于梯度下降法和牛顿法的实现，通过不断沿着负梯度方向 搜索，找到函数的极小值点。在约束优化问题中，方向导数可以用于确定搜索方向和步
长，以避免进入不可行区域或避免目标函数的增加。
02
梯度
定义与性质
01
基本概念
02 梯度是标量场中某一点的方向导数最大的。
04
梯度的大小表示函数在该点的斜率，方向 表示函数在该点的增长方向。
计算方法
计算步骤
计算函数在这一点沿各个 方向的变化量。
确定函数在某一点的值。
计算方法
总结词
计算方向导数需要用到偏导数和方向余弦，常用的计算方法有解析法、数值法和图解法。
详细描述
计算方向导数需要用到函数的偏导数和方向余弦。首先求出函数的偏导数，然后根据方向余弦计算出方向导数。 常用的计算方法有解析法、数值法和图解法。解析法适用于数学函数，数值法适用于复杂函数，图解法适用于直 观理解。
05
实际应用案例
在机器学习中的应用
机器学习算法优化
方向导数和梯度在机器学习中用于优化算法，例如梯度下降法。通过计算梯度，可以找到函数值下降最 快的方向，从而更新模型的参数，使模型在训练数据上的表现更好。
方向导数和梯度的计算对于深度学习尤为重要，因为深度学习模型通常具有大量的参数，需要使用梯度 下降等优化算法进行训练。
在机器学习中的应用
01
特征选择与降维
02
方向导数与梯度ppt课件
lim φ( ρ) φ(0)
ρ0
ρ
φ (0).
本质上，方向导数计算可归结 为一元函数导数计算
例1 求f ( x, y) xy 在点 (1, 2) 处沿方向
el (cos m,cos n) 的方向导数. 解 ( x0, y0 ) (1,2), cosα cos m, cos β cos n,
P
o
x
f ( x ρcos π, y ρcos π ) f ( x, y)
lim
2
ρ0
ρ
– lim
ρ0
f (x
ρ, y) –ρ
f (x, y)
(
f x
)
f x
但
f 存在
x
f i
(el
i)
存在
f (
i
)
(el
i )
y
Pl
证 由函数
f ( x, y) 在点 可P微0 ,
f fx ( x0, y0) x f y( x0, y0)
得
y o( ρ)o P0
el y
x x
[
] o( ρ)
f [
故
f
lim f
l ( x0 , y0 ) ρ0 ρ
] o( ρ)
l ( x0 , y0 ) ρ0
ρ
注 1º方向导数的其他形式：
f l
( x0 , y0 )
lim
ρ0
f ( x0
ρcos α, y0 ρcos β) ρ
f ( x0, y0 )
lim f ( x Δx, y Δy) f ( x, y)
南京航空航天大学《高等数学》8.7方向导数与梯度
小结
1,方向导数的概念
(注意方向导数与一般所说偏导数的区别)
2,梯度的概念
(注意梯度是一个向量)
3,方向导数与梯度的关系
梯度的方向就是函数 f ( x , y ) 在这点增长 最快的方向.
思考题
(分清方向导数与一般导数的区别)
梯度与等高线的关系:
函数 z = f ( x , y ) 在点 P ( x , y ) 的梯度的方向与点 P 的等 高线 f ( x , y ) = c 在这点的法 线的一个方向相同,且 从数 值较低的等高线指向数 值较 高的等高线,而梯度的 模等 于函数在这个法线方向 的方 向导数.
梯度的概念可以推广到三元函数
同理:当函数在此点可微时,那末函数在该点 沿任意方向 l 的方向导数都存在,且有
f f f f = cosα + cos β + cos γ . z l x y
n 是曲面 2 x 2 + 3 y 2 + z 2 = 6 在点 例4 设 P (1,1,1)处的指向外侧的法向量,求函数 1 1 = (6 x 2 + 8 y 2 ) 2 在此处沿方向 n 的方向 u z
u u u u 11 故 = ( cosα + cos β + cos γ ) = . 7 n P x y z P
三,梯度的概念
问题 : 函数在点 P 沿哪一方向增加的速度 最快 ?
定义 设函数 z = f ( x , y ) 在平面区域 D 内具有一 阶连续偏导数,则对于每一点 P ( x , y ) ∈ D ,都可
f l
= f x (1,1) cosα + f y (1,1) sin α
( 1 ,1 )
= ( 2 x y ) (1,1) cosα + ( 2 y x ) (1,1) sin α ,
第七节方向导数与梯度
8; 14
u zP
6x2 8y2
z2
14.
P
u n
P
6283(1)4 1 11
14141414
147
.
二、一梯个度二概元函念数与在给计定算的点处沿不同方向
的方(g向ra导di数en是t)不一样的.
问题 函数z = f (x, y)沿什么方向的方向导数为最大
已知方向导数公式 ffcosfcos
f(x,y)c表示一条平面曲线,
所其以参g任数r意形a点式处d：的fxy切向xy(量x)为：1,yfxx f1y,yffxxy
0
1
fx
(
fx fy
)
fy 0 gr afx d ,fyf gradf
所以梯度为曲线 f(x,y)c上点( x, y) 处的法向量.
梯度与等高线的关系：
函数 z f ( x , y ) 在点 P ( x , y )
zlP fxPco s fyPcos gr zP a (c d ,c oo s )s grzP al0 d 19
沿梯度方向,
函数的增长最快!
gradzP
f x
,
f y
P
结论 函数在某点的梯度是这样一个向量,
它的方向与取得最大方向导数的方向一致, 而它 的模为方向导数的最大值(最大的变化率).
8.7 方向导数与梯度
一、 方向导数的概念 二、 梯度的定义和方向导数的计算 三、 小结 思考题
一、方向导数定义与计算公式
y
实例
(1, 3)
(5, 3)
TT(x,y) k x2 y2
(1, 1)
o
(5, 1)
x
问这只蚂蚁应沿什么方向爬行才能最快 到达较凉快的地点？
课件8-7方向导数梯度
即梯度方向与法向量 相同，此时
P
f(x,y)c
uuuur grad f
f
n
f(x,y)c1
o
c1 cc2
x
梯度方向与等值线线, 梯度的模就等于函数在这个
法线方向的方向导数.
问题：
上山时，如何选择最快的方向？ 梯度
计算方法课程中的一种计算策略： “瞎子下山法”
则 称 这 极 限 为 函 数 在 点P
P 沿 方 向 l的 方 向 导 数 ．o
x
记为 f l i m f(xx,yy)f(x,y)
l 0
f f(x x,y y)f(x,y)
lim l 0
r若偏导 f x 存在,则 f(x,y)在点P沿着x轴正向
i (1,0)的方向导数为
fl lx i m 0 f(xx,y x 0y)f(x,y)
c o ss in 2sin(),
故
4
（1）当
时，方向导数达到最大值 4
2
（2）当 5时，方向导数达到最小值 2 4
（3）当 3和 7时，方向导数等于0.
4
4
推广: 三元函数方向导数的定义
对于三元函数 uf(x,y,z) 它在空间一点P(x,y,z)沿方向 l 的方向导数
可定义为
f
例4 求函数 u x 2 2 y 2 3 z 2 3 x 2 y
在点(1,1, 2 ) 处的梯度,并问在何处梯度为零？
解 由梯度计算公式得
u gu ru au d ru(x,y,z)uirurjuk r x y z
u u u u r ( 2 x r 3 ) i r ( 4 y 2 r ) j 6 z k , 故 g r a d u ( 1 ,1 ,2 ) 5 i 2 j 1 2 k .
数学分析8-7方向导数和梯度
y
cos α =
2 , cos β = 3 , cos γ = 1 . 14 14 14
Printed with FinePrint - purchase at PDF 文件使用 "pdfFactory Pro" 试用版本创建 ÿ
u′(0) = lim
t→0
(性质2) 梯度向量的模 等于方向导数的最 大值;
r 称为函数 f在点 M 0沿方向 l 的方向导数 .记作
∂f r ∂l
z = f ( x, y)
L
•
f ( x0 + t cosα , y0 + t cosβ , z0 + t cosγ ) − f ( x0 , y0 ) t
证明
由于函数可微，则增量可表示为 故 = cos α + sin α = 2 sin( α + π ), 4 π 时， 方向导数达到最大值 2 ; 4
5π 时， 方向导数达到最小值 − 2 ; 4
∂f ∂f f ( x + ∆x, y + ∆y) − f ( x, y) = ∆x + ∆y + o(ρ ) ∂x ∂y
Printed with FinePrint - purchase at PDF 文件使用 "pdfFactory Pro" 试用版本创建 ÿ
设 e = cosϕi + sin ϕj 是任意 给定 的 单位 向 量 ，
r
一、问题的提出
实例：一块长方形的金属板，四个顶点的坐标是 (1,1)，(5,1)，(1,3)，(5,3)．在坐标原点处有一个 火焰，它使金属板受热．假定板上任意一点处的 温度与该点到原点的距离成反比．在(3,2)处有一 个蚂蚁，问这只蚂蚁应沿什么方向爬行才能最快 到达较凉快的地点？ 问题的实质：应沿由热变冷变化最骤烈的方向 （即梯度方向）爬行．
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l 0 x
y
z
对于二元函数 f (x, y), 在点 P(x, y) 处沿方向 l (方向角
为, ) 的方向导数为
f lim f (x x, y y) f (x, y)
l 0
y lP
l
f x (x, y) cos f y (x, y) cos
o
x
特别: • 当 l 与 x 轴同向
西 点 实军 例校 二地 形 图
3. 梯度的基本运算公式
(2) grad (C u) C grad u (4) grad ( u v ) u grad v v grad u
例4.
处矢径 r 的模 ,
试证
证:
f (r)
x2
x y2
z2
f (r) x r
f (r) f (r) y ,
• 当 l 与 x 轴反向
0, 时, 有 f f
2
l x
, 时, 有 f f
2
l x
例1. 求函数
3) 的方向导数 .
解: 向量 l 的方向余弦为
在点 P(1, 1, 1) 沿向量
u 2xyz 2
l P
14
x2y
3 14
例2. 求函数
在点P(2, 3)沿曲线
G 向量
称为函数 f (P) 在点 P 处的梯度
记作 grad f , 即
(gradient),
f, x
f, y
f z
同样可定义二元函数
在点 P(x, y) 处的梯度
说明: 函数的方向导数为梯度在该方向上的投影. 2. 梯度的几何意义
对函数
z
f
(x,
y) ,曲线
z
f (x, zC
y)在
xoy
面上的投
P f c1
o
x
(设 c1 c2 c3 )
函数在一点的梯度垂直于该点等值面(或等值线) ,
指向函数增大的方向.
实例1的求解
金属板上各点的温度为
T (x, y) k x2 y2
各点的梯度为
grad
T
(x,
y)
(x2
kx y2
)3 2
3
2.5
3
2
2.5
12.5
Z
1.51
1
0.5
0.5
30
0 2.50.5
f f cos f cos f cos
l x
y
z
且有
l
P
证明: 由函数
f (x, y, z) 在点 P 可微 ,
得
P(x, y, z)
f f x f y f z o( )
x y z
o( )
故 f lim f f cos f cos f cos
, , ) 存在下列极限:
l
P
lim f
0
P(x, y, z)
lim
0
f
(x
x,
y
y, z
z)
f
(x,
y,
z
)
记作
f l
l 则称 f 为函数在点 P 处沿方向 的方向导数. l
定理: 若函数 f (x, y, z) 在点 P(x, y, z) 处可微 ,
l 则函数在该点沿任意方向 的方向导数存在 ,
n 方向
的方向导数.
解: n (4x , 6 y , 2z) P 2(2 , 3 , 1)
方向余弦为
cos 2 , cos 3 , cos 1
14
14
14
而
u
x P z
6x 6x2 8y2
P
6 14
同理得
u 1 6 2 8 3 14 1 11
n P 14
7
二、梯度
方向导数公式
第八章
第七节
方向导数与梯度
一、方向导数 二、梯度 三、物理意义
一、问题的提出
实例一 一块长方形的金属板，四个顶点的坐标是(1,1)，(5,1)，(1,3)， (5,3)．在坐标原点处有一个火焰，它使金属板受热．假定板上任意一点处的 温度与该点到原点的距离成反比．在(3,2)处有一只蚂蚁，问这只蚂蚁应沿什 么方向爬行才能最快到达较凉快的地点？
f f cos f cos f cos
l x
y
z
令向量
G
f, x
f, y
f z
l 0 (cos , cos , cos )
当 l 0 与 G 方向一致时, 方向导数取最大值：
max f G
l
这说明
方向：f 变化率最大的方向
G : 模 : f 的最大变化率之值
1. 定义
y
r
f (r) f (r) z
z
r
grad
f
(r)
f
(r)
i
f
(r)
j
f
(r)
k
z
x
y
z
P
f (r) 1 (x
i y
jz
k)
r
r
o
y
f
(r)
1
r
f (r) r0
x
r
三、物理意义
函数
场
(物理量的分布)
可微函数 f (P)
(势)
数量场 (数性函数) 如: 温度场, 电位场等
向量场(矢性函数) 如: 力场,速度场等
x 朝 增大方向的方向导数.
解:将已知曲线用参数方程表示为
x x y x2 1
它在点 P 的切向量为
(1, 2x) x2 (1, 4)
cos 1 , cos 4
17
17
yP o 1 2 x
60 17
例3. 设 n 是曲面
指向外侧的法向量,
求函数
在点 P(1, 1, 1 )处 在点P 处沿
影 L* : f (x, y) C 称为函数 f 的等值线 .
设 f x , f y 不同时为零 , 则L*上点P 处的法向量为
( f x , f y ) P grad f P
同样, 对应函数
y
f c3
f c2
有等值面(等量面)
当各偏导数不同时为零时,
其上
点P处的法向量为
grad f P .
示意图
3
2.5
2
1.5
1
0.5
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
实质：应沿由热变冷变化最剧烈的方向爬行
问题：何为温度变化最剧烈的方向？
实例二
西点军校地形图
观 察 支 流 的 流 动 方 向
一、方向导数
定义: 若函数 f (x, y, z) 在点 P(x, y, z) 处
l 沿方向 (方向角为
梯度场 grad f (P)
(向量场)
注意: 任意一个向量场不一定是梯度场.
例5. 已知位于坐标原点的点电荷 q 在任意点
处所产生的电位为
u q ( r x2 y2 z 2 ), 试证
4 r
grad u E
(场强
E
4π
q ε
r2
r
0
)
证: 利用例4的结果
grad f (r) f (r) r 0
1
1.5
2
2.5
3
3.54Βιβλιοθήκη 4.5552 1.5
4 3 2
Y
11
X
(x2
ky y2)32
等值线方程为
x2 y2 (k / c)2.
结论:
蚂蚁应沿着负梯度方向爬行才能最快到达较凉快的地点
y
4
3.5
3
2.5
-grad f 2
1.5
grad f
1
0.5
0
0
1
2
3
4
5
6
x
结论:
等高线图指出支流沿最速下降的路径垂直于等高线流动