2013中国科学院大学概率论与数理统计高清pdf
概率论与数理统计2.3
例1 机器里安装的某种元件，已知这种元件的使 用寿命X（年）服从参数为θ＝1/5的指数分布， 1)计算一个元件使用8年后仍能正常工作的概率； 2)一个元件已经使用了3年，求它还能再使用8 年的概率。
950
1 dr = 0.5 200
例2
X ~ U(2, 5). 现在对 X 进行三次独立 观测，试求至少有两次观测值大于 3 的概率.
解： 记 A = { X > 3 }, 则 P(A) = P( X> 3) = 2/3 设 Y 表示三次独立观测中 A 出现的次数, 则 Y~ b(3, 2/3)，所求概率为 P(Y≥2) = P(Y=2)+P(Y=3) 2 3 0 2 2 1 3 2 1 = C3 + C3 =20/27 3 3 3 3
例1 设 X ~ N(0, 1), 求 P(X>−1.96) , P(|X|<1.96) 解: P(X>−1.96) = 1− Φ(−1.96) = 1−(1− Φ(1.96)) = Φ(1.96) = 0.975 (查表得) P(|X|<1.96) = 2 Φ(1.96)−1 = 2 ×0.975−1 = 0.95
4. 点点计较 5. F(x)为阶梯函数。 F(a−0) ≠ F(a).
已知随机变量X概率密度为 概率密度为： 例1 已知随机变量 概率密度为
ax 0 < x ≤ 1 f ( x) = 其它 0
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操作步骤
计算相关系数矩阵、求特征值和特征 向量、确定主成分个数。
实例
分析消费者对不同品牌手机的偏好。
聚类分析
聚类分析
常见方法
目的
实例
将类似的对象归为同一 组，即“簇”，不同簇
的对象尽可能不同。
层次聚类、K均值聚类、 DBSCAN等。
揭示数据的内在结构， 用于分类、猜测和决策
用数学符号表示一个随机实验的结果 。
随机变量可以取到任何实数值，且取 每个结果的概率为一个确定的函数。
离散型随机变量
随机变量可以取到所有可能的结果， 且取每个结果的概率为一个确定的数 。
随机变量的函数变换
线性变换
对于随机变量X和常数a、b，有 aX+b的散布与X的散布不同。
非线性变换
对于随机变量X和函数g(x)，g(X)的散 布与X的散布不同。
置信区间
根据样本数据对总体参数进行估计的一个范围，表示我们对 估计的可靠程度。
假设检验与置信水平
假设检验
通过样本数据对总体参数或散布进行 假设，然后根据检验结果判断假设是 否成立。
置信水平
假设检验中，我们相信结论正确的概 率，通常表示为百分比。
05 数理统计的应用
方差分析
方差分析（ANOVA）
随机进程在通讯、气象、物理等领域有广泛应用。
马尔科夫链蒙特卡洛方法
01
马尔科夫链蒙特卡洛方法是一种 基于蒙特卡洛模拟的统计推断方 法，通过构造一个马尔科夫链来 到达近似求解复杂问题的目的。
02
马尔科夫链蒙特卡洛方法在许多 领域都有应用，如物理学、化学 、经济学等。
04 数理统计基础
样本与样本空间
概率论与数理统计 13-4节
P( A1 A2 ) 1 P( A1 A2 ) 1 0.95 0.05
例 如图所示的线路中,元件a发生故障的概率为0.08,
元件b发生故障的概率为0.05,而元件a与b同时发
生故障的概率为0.004,求线路中断的概率.
解:设 A=“元件a发生故障”, B=“元件b发生故障”. 则
r 365
美国数学家伯格米尼曾 经做过一个别开生面的实验:在一 个盛况空前、人山人海的世界杯足 球赛赛场上，他随机地在某号看 台上召唤了22个球迷，请他们分别写下自 己的生日，结果竟发现其两人同生日 )=1 (365)r
用上面的公式可以计算出22个球迷中 至少有两人同生日的概率为0.476.
证 Ai Aj Φ
i i
(i j , i , j 1, 2,, n)
P ( ) 1
i
A Ω P( A ) P A
i i i
i
对于有限个事件构成的完备事件组，有同样的结果
P( A )＝P( A )＝P( ) 1
i i i＝1 i＝1
n
n
完备事件组的概率和等于1
证： A1
i 1
n
n
A2 An = A1 A2 An +Φ+
i 1
P ( A1 A2 An ) = P( 1 A2 An＋Φ＋) A
= P( 1 ) P( A2 ) P( An ) P( ＋ A ＋ Φ) = P( 1 ) P( A2 ) P( An ) A
第三节 概率的基本性质和运算法则
概率的公理化定义指出了概率的本质. 即概率具有 1.非负性: 0 P( A) 1
概率论与数理统计公式整理(超全免费版)PDF
+∞
∫ f (x)dx = 1
2° −∞
。
（3）离散 P( X = x) ≈ P(x < X ≤ x + dx) ≈ f (x)dx
与连续型
随机变量 的关系
积分元 f (x)dx 在连续型随机变量理论中所起的作用与 P( X = xk) = pk 在离
散型随机变量理论中所起的作用相类似。
4
概率论与数理统计 公式（全）-大蚂蚱网
A，B，C，…表示事件，它们是 Ω 的子集。 Ω 为必然事件，Ø 为不可能事件。
不可能事件（Ø）的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件；同理， 必然事件（Ω）的概率为 1，而概率为 1 的事件也不一定是必然事件。
①关系：
如果事件 A 的组成部分也是事件 B 的组成部分，（A 发生必有事件 B 发生）：
4° F (x + 0) = F (x) ，即 F (x) 是右连续的；
5° P( X = x) = F (x) − F (x − 0) 。
∑ 对于离散型随机变量， F (x) = pk ； xk ≤x
x
∫ 对于连续型随机变量， F (x) = f (x)dx 。 −∞
（5）八大 0-1 分布 分布
重复排列和非重复排列（有序） （3）一些
对立事件（至少有一个） 常见排列
顺序问题
（4）随机 试验和随 机事件
如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个， 但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试 验。 试验的可能结果称为随机事件。
在一个试验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这样一组事件，它具有
①两个事件的独立性
《概率论与数理统计》课件
频数
17 20
10
2
1
入 则参数 的极大似然估计值为 ( )．
A1
B2
C3 D4
提交
设9八是9 的极大似然估计,g(9)是9函数,
若g(9)具有单值反函数,则g(9)的极大似然估计
为g(9八).
例 4 设总体X 的概率分布为
X
12
3
p
92 29(1−9) (1−9)2
现在观察容量为 3 的样本，观测值分别为 1 ，2 ，1，
n
9k ) = ln p(xi ;91 ,92
9k );
, i=1
(三) 对9i求偏导,然后令其为零,得到方程组
? ln L(91 ,92 ,
)
?9i
9
k = 0,
i = 1, 2,
k
解方程组得 (i = 1,2, , k) 则 为9i的极大似然估计量.
X ~ B(1, p), X1 , X2 , , Xn
其中 入> 0, 山 > 0 为未知参数，求参数入, 山 的矩估计．
解 设X1 , X2 , , Xn 为来自总体X 的一个样本，由于总体中
包含了两个未知参数，因此考虑总体的一阶、二阶原点矩，
1
j j EX = xf (x)dx = x入e −入(x−山)dx =山+ 入
2
j j EX2 = x2 f (x)dx = x2入e−入(x−山)dx = 山+ 1 + 1
矩估计量为( )．
A)
n −1
n
(Xi − X)2
i=1
1n
n C)
Xi 2
i=1
A
C
B) n −1 n Xi 2 i=1
中国科学技术大学概率论与数理统计 课件
nlim
P
n
n
p
1
第八页，共28页。
马尔可夫大数定律
定理5.1.5
若随机变量序列{Xn}满足：
1
n2
Var
n i1
Xi
0
(马尔可夫条件)
则 {Xn}服从大数定律.
第九页，共28页。
辛钦大数定律
定理5.1.6
若随机变量序列{Xn}独立同分布，且Xn的数学 期望存在，则 {Xn}服从大数定律.
➢ 讨论独立随机变量和的极限分布,
➢ 本节指出极限分布为正态分布.
第十二页，共28页。
5.2.2 独立同分布的中心极限定理
定理5.2.1 林德贝格—勒维中心极限定理
设 {Xn} 为独立同分布随机变量序列，数学期望为,
方差为 2>0，则当 n 充分大时，有
lim P
X n
i1 i
n
x
(x)
n
n
应用之例: 正态随机数的产生； 误差分析
nlim
P
Yn
Y
1
则称随机变量序列{Yn}依概率收敛于Y, 记为
Yn P Y
大数定律讨论的就是依概率收敛.
第五页，共28页。
依概率收敛的性质
定理5.1.2 若 X n P a, Yn P b
则{Xn}与{Yn}的加、减、乘、除 依概率收敛到 a 与 b 的加、减、乘、除.
第六页，共28页。
依概率收敛（续）
解：用 Xn表示n 个调查对象中收看此节目的人数，则 Xn 服从 b(n, p) 分布，k 为Xn的实际取值。 根据题意
P X n / n p 0.05 2 0.05 n / p(1 p) 1 0.90
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3
随机试验:
(1) 可在相同的条件下重复试验; (2) 每次试验的结果不止一个,且能事先明确所有可能的 结果; (3) 一次试验前不能确定会出现哪个结果.
4
§2. 样本空间与随机事件
不可能事件：空集φ不包含任何样本点, 它在每次试验中 都不发生，称为不可能事件。
6
例1. 试确定试验E2中样本空间, 样本点的个数, 并给出如
下事件的元素: 事件A1=“第一次出现正面”、事件A2=“ 恰好出现一次正面”、事件A3=“至少出现一次正面”.
7
（三）事件间的关系与事件的运算
1.包含关系和相等关系:
若事件A发生必然导致事件B发生,则称件B包含事件A,记 作AB. 若A B且A B, 即A=B, 则称A与B相等.
B
A S
(1) A B
8
2.和事件:
A B { x | x A或x B}称为A与B的和事件.
即A, B中至少有一个发生, 称为A与B的和, 记A B.
可列个事件A1, A2 , 的和事件记为 Ak .
概率的古典定义:
对于古典概型, 样本空间S＝{1, 2, … , n}, 设事件A包
含S的 k 个样本点，则事件A的概率定义为
A中的基本事件数 k
P( A) S中的基本事件总数 n
15
古典概型概率的计算步骤:
(1) 选取适当的样本空间S, 使它满足有限等可能的要求, 且把事件A表示成S的某个子集.
k 1
3.积事件： 事件A B={x|x A 且 x B}称A与B的
积，即事件A与BA同时发生. A B 可简记为AB.
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时间序列分析是一种统计学方法，用于分析和预测时间序列数据。随机过程在时间序列分析中用于描述数据随时间变化的随机性质。
随机过程在时间序列分析中用于建模和预测时间序列数据。通过使用随机过程，可以描述数据在不同时间点的变化和相关性，并基于历史数据预测未来的发展趋势。
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概率论基础数理统计初步概率论的应用数理统计的应用概率论与数理统计的交叉应用
01
概率论基础
概率是描述随机事件发生可能性大小的数值，通常用P表示。概率的取值范围在0到1之间，其中0表示事件不可能发生，1表示事件一定会发生。
概率的定义
概率具有可加性、可减性和有限可加性。可加性是指互斥事件的概率之和等于该事件的总概率；可减性是指对立事件的概率之和等于1；有限可加性是指任意有限个两两互斥事件的概率之和等于这些事件的总概率。
02
统计决策理论的基本思想是通过建立概率模型来描述不确定性，然后利用这些模型进行决策分析。
03
在统计决策理论中，常用的方法包括贝叶斯分析、假设检验和置信区间估计等。
04
统计决策理论在经济学、金融学、管理学等领域有广泛的应用，例如风险评估、投资组合优化和市场营销策略等。
01
试验设计涉及到如何选择合适的实验方法、如何分配实验对象、如何控制实验条件等问题。
03
概率论的应用
贝叶斯推断是一种基于概率的推理方法，它通过将先验知识与新获取的数据相结合，对未知参数进行估计和预测。
通过将先验概率分布和似然函数结合，可以得到后验概率分布，从而对未知参数进行推断。
在贝叶斯推断中，先验概率分布反映了在获取新数据之前对未知参数的认知，而似然函数则描述了数据与未知参数之间的关系。
概率论与数理统计1.1 1.2 1.3
§1.3.1 概率的统计定义
频率的定义：在n次重复试验中，如果事件A发生的次数为 m，那么我们称比值m/n为事件A在这n次试验中发生的频 （relative frequency）。
记为：
频率的性质：
fn ( A)
m n
(1)非负性: 对任意事件A,
f n ( A ) 0;
(2)规范性: 必然事件的频率为1,即 (3)可加性: 若 A B
AB AC BC ④ ⑤ ⑥ ⑦
（4） A, B ,C 至 多 两 个 发 生 ； ABC
（ 5 ） A , B , C 不 多 于 一 个 发 生 ；A B A C B C
（6） A, B , C 恰 好 一 个 发 生 ；
ABC +ABC +ABC
§1.2.2 事件的运算律
投 掷 n次 ， 观 察 针 与 平 行 线 相 交 的 次 数 。
E 6 : 向 平 面 区 域 D: x y 1 0 0内 随 机§1.1.2 样本空间
为了用数学的方法描述随机现象，需要对随机试验的可能 结果，用字母或数字表示，从而引入样本空间的概念。
0.492
0.500
当事验次数较小时，频率很不稳定，这反映掷硬币的随 机性，但当试验次数很大时，频率逐渐稳定在0.5附近。
英文字母使用频率表（%）
字母 频率 字母 频率 字母 频率 字母 频率 E 12.68 R 5.94 M 2.44 T 9.78 H 5.73 W 2.14 A 7.88 L 3.94 Y 2.02 O 7.76 D 3.89 G 1.87 I 7.07 U 2.80 P 1.86 N 7.06 C 2.68 B 1.56 S 6.34 F 2.56 V 1.02
概率论与数理统计知识点总结（PDF）
概率论与数理统计 知识点总结一、随机事件与概率1.随机事件（1）事件间的关系与运算● 事件的差：A B A AB AB -=-= ● 对立事件：,AA A A =∅⋃=Ω ● 完备事件组：设12,,,,n A A A 是有限或可数个事件，如果其满足：① ,,,1,2,i j A A i j i j =∅≠=； ②i iA =Ω，则称12,,,,n A A A 是一个完备事件组.（2）随机事件的运算律 ● 求和运算：①A B B A +=+（交换律）②()()A B C A B C A B C ++=++=++（结合律） ● 求交运算：①AB BA =（交换律）②()()AB C A BC ABC ==（结合律） ● 求和运算与求交运算的混合：①()()()A B C AB AC +=+（第一分配律） ②()()()A BC A B A C +=++（第二分配律） ● 求对立事件的运算：()A A =（自反律） ● 和及交事件的对立事件：①A B AB +=（第一对偶律） ②AB A B =+（第二对偶律）2.随机事件的概率（1）概率的公理化定义● 公理1：()1P Ω=；公理2：对任意事件A ，有()0P A ≥；公理3：对任意可数个两两不相容的事件12,,,,n A A A ，有11()()i i i i P A P A ∞∞===∑.（2）概率测度的其他性质 ● 性质1：()0P ∅=性质2（有限可加性）：12,,,n A A A 是两两互不相容的，则有11()()nni i i i P A P A ===∑性质3：()1()P A P A =-性质4：()()()P A B P A P AB -=-特别地，若A B ⊃，则①()()()P A B P A P B -=-；②()()P A P B ≥ 性质5：0()1P A ≤≤性质6：()()()()P A B P A P B P AB +=+-推论：()()()()()()()()P A B C P A P B P C P AB P AC P BC P ABC ++=++---+3.古典概型与几何概型（1）古典概型● 古典概型的概率测度：()==A A P A Ω中元素个数使发生的基本事件数中元素个数基本事件总数（2）几何概型● 几何概型的概率测度：()()()S A P A S =Ω 4.条件概率（1）条件概率的数学定义 ●()()(()0)()P AB P B A P A P A =>● ()1()P B A P B A =- ●()1()P B A P B A =-● 条件概率测度满足概率的三条公理：公理1：()1P A Ω=；公理2：对任意事件B ，有()0P B A ≥；公理3：对任意可数个两两不相容的事件12,,,,n A A A ，有11()()i i i i P A A P A A ∞∞===∑.（2）乘法公式 ● ()()(),()0P AB P A P B A P A => ● ()()(),()0P AB P B P A B P B => ● ()()()()P ABC P A P B A P C AB = ●12121312121()()()()()n n n P A A A P A P A A P A A A P A A A A -=（3）全概率公式● 设{}i A 是一列有限或可数无穷个两两不相容的非零概率事件，且i iA =Ω，则对任意事件B ，有()()()i i iP B P A P B A =∑.（4）贝叶斯公式● 设{}i A 是一列有限或可数无穷个两两不相容的非零概率事件，且1i i A ∞==Ω，则对任意事件B ， ()0P B >，有()()()()()()()i i i i j j jP A P B A P A B P A B P B P A P B A ==∑. 5.事件的独立性（1）两个事件的独立性 ●()()()P AB P A P B =（2）有限个事件的独立性● 两两独立：()()()i j i j P A A P A P A = ● 相互独立：1212()()()()k k i i i i i i P A A A P A P A P A =（3）相互独立性的性质 ● 性质1：如果n 个事件12,,,n A A A 相互独立，则将其中任何(1)m m n ≤≤个事件改为相应的对立事件，形成的新的n 个事件仍然相互独立. 性质2：如果n 个事件12,,,n A A A 相互独立，则有1111()1(1())n n ni i i i i i P A P A P A ===⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭∏∏（4）伯努利概型● 伯努利定理：在一次试验中，事件A 发生的概率为(01)p p <<，则在n 重伯努利试验中，事件A 恰好发生k 次的概率为：(;,)C k k n kn b k n p p q-=，其中1q p =-. ● 在伯努利试验序列中，设每次试验中事件A 发生的概率为p ，“事件A 在第k 次试验中才首次发生”(1)k ≥，这一事件的概率为1(,)k g k p q p -=.二、随机变量的分布与数字特征1.随机变量及其分布（1）离散型随机变量的概率分布● 离散型随机变量的概率分布满足性质：①()0,1,2,i p x i ≥=②()1iip x =∑● 一旦知道一个离散型随机变量X 的概率分布{}i p x （），便可求得X 所生成的任何事件的概率.特别地，对任意a b ≤，有{}({}){}()i i i i i i a x ba x ba x bP a X b P X x P X x p x ≤≤≤≤≤≤≤≤=====∑∑.一般地，若I 是一个区间，则{}=()i ix IP X I p x ∈∈∑.（2）分布函数● 随机变量的分布函数性质：①单调性，若12x x <，则12()()F x F x ≤； ②()lim ()0x F F x →-∞-∞==，()lim ()1x F F x →+∞+∞==；③右连续性，(0)()F x F x +=. （3）连续型随机变量及其概率密度 ●(){}()xF x P X x f t dt -∞=≤=⎰，()f x 为X 的概率密度函数.● 密度函数性质：①()0,(,)f x x ≥∈-∞+∞； ②()1f x dx +∞-∞=⎰.● {}()()()b aP a X b F b F a f x dx <≤=-=⎰● {}0P X x ==（连续型）●'()()F x f x =2.随机变量的数字特征（1）离散型随机变量的数学期望 ●1=i i i EX x p ∞=∑（2）连续型随机变量的数学期望 ●()EX xf x dx +∞-∞=⎰（3）随机变量函数的数学期望● 设X 是一个随机变量，()g x 是一个实函数.①若X 为离散型随机变量，概率分布为{},1,2,i i P X x p i ===.且1()iii g x p∞=<∞∑，则()Eg X 存在，且1()()i i i Eg X g x p ∞==∑.②若X 为连续型随机变量，()f x 是其密度函数，且()()g x f x dx +∞-∞<∞⎰，则()Eg X 存在，且()()()Eg X g x f x dx +∞-∞=⎰.（4）数学期望的性质● ①对任意常数a ，有Ea a =；②设12,αα为任意实数，12(),()g x g x 为任意实函数，如果12(),()Eg X Eg X 均存在，则11221122[()()]()()E g X g X Eg X Eg X αααα+=+；③如果EX 存在，则对任意实数a ，有()E X a EX a +=+. （5）随机变量的方差 ● 离差：X EX -● 方差：2()DX E X EX =-● ● ①若X 为离散型随机变量，其概率分布为{},1,2,i i P X x p i ===，则22()()i i iDX E X EX x EX p =-=-∑②若X 为连续型随机变量，()f x 为其密度函数，则22()()()DX E X EX x EX f x dx +∞-∞=-=-⎰③22()DX EX EX =-● 方差的基本性质：设X 的方差DX 存在，a 为任意常数，则 ①0Da =；②()D X a DX +=； ③2()D aX a DX =.（6）随机变量的矩与切比雪夫不等式● 矩定义：X 为一个随机变量，k 为正整数，如果kEX 存在（即kE X<∞），则称kEX 为X的k 阶原点矩，称kE X 为X 的k 阶绝对矩.定理：随机变量X 的t 阶矩存在，则其s 阶矩（s t <为正整数）也存在. 推论：设k 为正整数，C 为常数，如果kEX 存在，则()kE X C +存在，特别地，)k E X EX -（存在.● 中心矩定义：X 为一个随机变量，k 为正整数，如果k EX 存在，则称()kE X EX -为X 的k阶中心矩，称kE X EX -为X 的k 阶绝对中心矩.● 定理：设()h x 是x 的一个非负函数，X 是一个随机变量，且()Eh X 存在，则对任意0ε>，有(){()}Eh X P h X εε≥≤.推论1（马尔可夫不等式）：设X 的k 阶矩存在（k 为正整数），即kE X <∞，则对任意0ε>有{}kkE XP X εε≥≤.推论2（切比雪夫不等式）：设X 的方差存在，则对任意0ε>有2{}DXP X EX εε-≥≤.推论3：随机变量X 的方差为0当且仅当存在一个常数a ，使得{}=1P X a =.3.常用的离散型分布,n),n kp -,ndef(,),g k p k =几何分布的无记忆性：设{P X二项分布可作为超几何分布的近似，即1212C C Ck n kk n kN N k n nNN N C N N --⎛⎫⎛⎫≈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.这一近似关系的严格数学表述是：当N →∞时，1N →∞，2N →∞，且1N p N →，21Np N→-，则对任意给定的n 和k ，有()12C C lim1Ck n kn kN N k kn nN NC p p --→∞=-.泊松定理：在n 重伯努利试验中，事件A 在每次试验中发生的概率为n p （注意这与试验的次数n 有关），如果n →∞时，n np λ→（0λ>为常数），则对任意给定的k ，有lim (;,)e !kn n b k n p k λλ-→∞=.当二项分布(,)b n p 的参数n 很大，而p 很小时，可以将它用参数为np λ=的泊松分布来近似，即有()(;,)e !k npnp b k n p k -≈.4.常用的连续型分布正态分布● 定理：设2~(,),,,X N Y aX b a b μσ=+为常数，且0a ≠，则22~(,)Y N a b aμσ+.推论1：如果2~(,)X N μσ，则~(0,1)X N μξσ-=.ξ通常称为X 的标准化.推论2：2~(,)X N μσ的充要条件是存在一个随机变量~(0,1)N ξ，使得X σξμ=+. 推论3：设2~(,),(),()X N x x μσϕΦ分别为其分布函数与密度函数，00(),()x x ϕΦ是标准正态分布的分布函数和密度函数，则有00()(),1()().x x x x μσμϕϕσσ-Φ=Φ-=● 一般正态分布的概率计算：【例】已知2~(,)X N μσ，求()a Φ. 解 0(){}{}{}()X a X a P X a P P b b μμμσσσ---Φ=≤=≤=≤=Φ5.随机变量函数的分布（1）离散型随机变量函数的分布● 离散型随机变量函数的概率分布的一般方法：先根据自变量X 的可能取值确定因变量Y 的所有可能取值，然后对Y 的每一个可能取值(1,2,)i y i =确定相应的{()}i j j i C x g x y ==，则有{}{()}{},{}{}{},j ii i i i i jx C Y y g X y X C P Y y P X C P X x ∈====∈==∈==∑从而求得Y 的概率分布. （2）连续型随机变量函数的分布● 连续型随机变量函数的概率分布的一般方法：一般地，已知X 的分布函数()X F x 或密度函数()X f x ，为求()Y g X =的分布函数，有()(){()}{},Y x F x P Y x P g X x P X C =≤=≤=∈其中{()}x C t g t x =≤.而{}x P X C ∈往往可由X 的分布函数()X F x 来表达或用其密度函数()X f x 的积分来表达：{}()xx X C P X C f t dt ∈=⎰.进而，Y 的密度函数，可直接从()Y F x 导出.三、随机向量1.随机向量的分布（1）随机向量及其分布函数 ●1212{,}P x X x y Y y <≤<≤22122111(,)(,)(,)(,)F x y F x y F x y F x y =--+● 由（联合）分布函数的定义得出性质：①0(,)1F x y ≤≤；②(,)F x y 关于x 和y 均单调非降、右连续； ③(,)lim (,)0,x F y F x y →-∞-∞==(,)lim (,)0,y F x F x y →-∞-∞==(,)(,)(,)lim (,)0,x y F F x y →-∞-∞-∞-∞== (,)(,)(+,+)lim(,) 1.x y F F x y →+∞+∞∞∞==●(,)F x y 的边缘分布函数：(){}{,}(,)X F x P X x P X x Y F x =≤=≤<+∞=+∞， (){}{,}(,)Y F y P Y y P X Y y F y =≤=<+∞≤=+∞.（2）离散型随机向量的概率分布● 离散型随机向量的概率分布{,},,1,2,i i ij P X x Y y p i j ====，ij p 满足性质：①0,,1,2,ij p i j ≥=；②1ijijp=∑∑.● 边缘概率分布：{},1,2,X i i ij jp P X x p i ====∑ {},1,2,Y j j ij ip P Y y p j ====∑（3）连续型随机向量的概率密度函数 ● 二维连续型随机向量(,)(,)x yF x y f s t dsdt -∞-∞=⎰⎰，(,)f x y 为(),X Y 的概率密度函数或X 与Y 的联合密度函数. (,)f x y 具有性质：①(,)0f x y ≥； ②(,)1f x y dxdy +∞+∞-∞-∞=⎰⎰；③若D 是平面上的一个区域，则(){,}(,)DP X Y D f x y dxdy ∈=⎰⎰● 边缘密度函数：()(,)()(,)X Y f x f x y dyf y f x y dx+∞-∞+∞-∞==⎰⎰● 均匀分布的密度函数：1,(,)()(,)0,x y G S G f x y ⎧∈⎪=⎨⎪⎩其他，若(),X Y 服从G 上的均匀分布，则对任何平面区域D ，有()1(){,}(,)=()()DD GS D G P X Y D f x y dxdy dxdy S G S G ⋂⋂∈==⎰⎰⎰⎰. （4）二元正态分布 ● 密度函数：()2211222221212()()()()122(1),x x y y x y μμμμρσσρσσϕ⎡⎤------+⎢⎥-⎢⎥⎣⎦=，记作()221212,~(,;,;)X Y N μμσσρ.● 边缘密度函数分布：()2121()2()=,x X x x y dy μσϕϕ--+∞-∞⎰，()2222()2()=,y Y y x y dx μσϕϕ--+∞-∞⎰.注意：比较联合密度函数(),x y ϕ和边缘密度函数()X x ϕ，()Y y ϕ，当且仅当0ρ=时，对一切(),x y ，有(),()()X Y x y x y ϕϕϕ=.2.条件分布与随机变量的独立性（1）条件分布与独立性的一般概念● 随机变量X 和Y 相互独立：(,)()()X Y F x y F x F y =● 定理1：随机变量X 和Y 相互独立的充要条件是X 所生成的任何事件与Y 生成的任何事件独立，即对任意实数集A 和B ，有{,}{}{}P X A Y B P X A P Y B ∈∈=∈∈.定理2：如果随机变量X 和Y 相互独立，则对任意函数12(),()g x g y ，均有1()g X 与2()g Y 相互独立. ● 相互独立：12,,,n X X X 相互独立，()121122,,,()()()n n n F x x x F x F x F x =.（2）离散型随机变量的条件概率分布与独立性 ● 概率分布：{,},,1,2,i j ij P X x Y y p i j ====●i j p （当{}0i P Y y =>时）：{,}{}{}iji i i j Y i jP P X x Y y P X x Y y P Y y P =======性质：①0i j p ≥；②1i jip=∑.● 已知j Y y =的条件下X 的条件概率分布：{},1,2,i i i j P X x Y y p i ====； 已知i X x =的条件下Y 的条件概率分布：{},1,2,i i j i P Y y X x p j ====.●X Y ij i j j i i j p p p p p =⋅=⋅● 定理：设,X Y 是离散型随机变量，其联合概率分布为{,}(,1,2,)i j ij P X x Y y p i j ====，边缘概率分布分别为X i p 和Yj p (,1,2,)i j =，则X 与Y 相互独立的充要条件是,,1,2,X Y ij i j p p p i j ==.（3）连续型随机变量的条件密度函数与独立性● 在Y y =的条件下X 的条件分布：0(,){,}{}lim {}()xy Y f u y du P X x y y Y y P X x Y y P y y Y y f y -∞∆→≤-∆<≤≤===-∆<≤⎰● 条件分布和条件密度函数● (,)()()()()X Y Y X X Y f x y f x f y x f y f x y ==● 定理：设连续型随机向量(),X Y 的密度函数为(,)f x y ，边缘密度函数分别为()X f x 和()Y f y ，则X 与Y 相互独立的充要条件是(,)()()X Y f x y f x f y =.3.随机向量的函数的分布与数学期望（1）离散型随机向量的函数分布 ●(,){}{(,)}{,},1,2,i j kk k i j g x y z P Z z P g X Y z P X x Y y k ========∑● 设,X Y 是两个相互独立的随机变量，分别服从参数为1λ和2λ的泊松分布，则X Y ξ=+的分布为()()1212e ,0,1,2,!kk k λλλλ-++=,可见X Y ξ=+服从参数为()12λλ+的泊松分布.结论：泊松分布具有独立可加性.2,（2）连续型随机向量的函数分布● 分布函数：(){}{(,)}{(,)}(,)zZ z D F z P Z z P g X Y z P X Y D f x y dxdy =≤=≤=∈=⎰⎰，其中z D ={(,)(,)}x y g x y z ≤. ● 密度函数：'()=()Z Z f z F z .● 随机变量的和：设(,)X Y 的联合密度函数为(,)f x y ，则X Y +的密度函数为()=(,)Z f z f z y y dy +∞-∞-⎰或 ()=(,)Z f z f x z x dx +∞-∞-⎰特别地，如果X 和Y 是相互独立的随机变量，则有(卷积公式)()=()()Z X Y f z f x f z x dx +∞-∞-⎰或 ()=()()Z X Y f z f z y f y dy +∞-∞-⎰即，()=*()*()Z X Y Y X f z f f z f f z =.● 独立正态随机变量之和：设随机变量221122~(,),~(,)X N Y N μσμσ，且X 与Y 独立，则221212~(,)X Y N μμσσ+++，即2122212()2()()z X Y f z μμσσ⎡⎤---⎢⎥+⎢⎥⎣⎦+=，结论：独立正态分布的和服从正态分布.推论：X 与Y 相互独立且分别服从正态分布211(,)N μσ和222(,)N μσ，则其任意非零线性组合仍服从正态分布，且22221212~(,)aX bY N a b a b μμσσ+++.进一步地，12,,n X X X 相互独立，2~(,)i i iX N μσ，则22111~(,)n n ni i i i i i i i i a X N a a μσ===∑∑∑.● 随机变量的商：设二维随机向量(,)X Y 的密度函数为(,)f x y ，则XZ Y=的密度函数为'()=()(,)Z Z f z F z y f zy y dy +∞-∞=⎰.● 最大值与最小值：设,X Y 的分布函数分别为(),()F x G x ，密度函数分别为(),()f x g x ，且X与Y 相互独立，令max{,},min{,}M X Y N X Y ==，则有（3）随机向量函数的数学期望● 二维离散型随机向量的数学期望：,(,)(,)ijiji jEZ Eg X Y g x y p==∑.● 二维连续型随机向量的数学期望：(,)(,)(,)EZ Eg X Y g x y f x y dxdy +∞+∞-∞-∞==⎰⎰.●(,)g X Y XY =型：()(),,,(,),,i j ij i jx y p X Y EXY xyf x y dxdy X Y +∞+∞-∞-∞⎧⎪=⎨⎪⎩∑⎰⎰若为离散型若为连续型 （4）数学期望的进一步性质● （1）对任意两个随机变量,X Y ，如果其数学期望均存在，则()E X Y +存在，且()=E X Y EX EY ++（2）设,X Y 为任意两个相互独立的随机变量，数学期望均存在，则EXY 存在，且=EXY EXEY推广： （1）12,,,n X X X 是任意n 个随机变量，数学期望均存在，则()12n E X X X +++存在，且()1212n n E X X X EX EX EX +++=+++（2）设12,,,n X X X 是个相互独立的随机变量，且数学期望均存在，则()12n E X X X 存在，且()1212n n E X X X EX EX EX =.4.随机变量的数字特征（1）协方差● 协方差：()()()cov ,X Y E X EX Y EY =--⎡⎤⎣⎦1,2,)●()cov ,X Y EXY EXEY =-● 定理：（1）()cov ,X X DX = （2）()()cov ,cov ,X Y Y X =（3）()()cov ,cov ,,,aX bY ab X Y a b =为任意常数 （4）()cov ,0,C X C =为任意常数（5）()()()1212cov ,cov ,cov ,X X Y X Y X Y +=+ （6）如果X 与Y 相互独立，则()cov ,0X Y =推论：设,X Y 为任意两个随机变量，如果其方差均存在，则X Y +的方差也存在，且()()2cov ,D X Y DX DY X Y +=++.()()2cov ,D X Y DX DY X Y -=+-特别地，如果X 与Y 相互独立，则()D X Y DX DY +=+.● 定理：设()12,,,n X X X 是n 维随机向量，如果()1,2,,i X i n =的方差均存在，则对任意实向量()12,,,n λλλ，1ni i i X λ=∑的方差必存在，且()21112cov ,n n i i i i i j i j i i i j n D X DX X X λλλλ==≤<≤⎛⎫=+ ⎪⎝⎭∑∑∑.特别地，如果12,,,n X X X 两两独立，则211n n i i i i i i D X DX λλ==⎛⎫= ⎪⎝⎭∑∑. （2）协方差矩阵 ● 记()T 12,,,n X X X =X ，其协差阵通常记作D X .对任意实向量()T12,,,n λλλ=λ，有()T T D D =λX λX λ.对任意实向量()T12,,,n λλλ=λ，()T T 0D D =≥λX λλX .（3）相关系数 ●,cov ,X Y X Y ρ，,1X Y ρ≤● 定理：设(),X Y 是一个二维随机向量，,DX DY 均存在且为正，则,1X Y ρ=的充要条件是X 与Y 具有线性关系，即存在常数0a ≠及常数b ，使得{}1P Y ax b =+=.而且，当0a >时，,1X Y ρ=；当0a <时，,1X Y ρ=-.● 如果,DX DY 均存在且为正，那么X 与Y 不相关等价以下条件：①()cov ,0X Y =； ②EXY EXEY =；③()D X Y DX DY +=+； ④,0X Y ρ=.5.大数定律与中心极限定理（1）依概率收敛 ● 定义：设12,,,,,n X X X X 是一列随机变量，如果对任意0ε>，恒有{}lim 0n n P X X ε→∞->=，则称{}n X 依概率收敛到X ，记作Pn X X −−→或lim n n P X X →∞-=.（2）大数定律 ● 定理：①伯努利大数定律：设n μ是n 重伯努利试验中事件A 发生的次数，已知在每次试验中A 发生的概率为()01p p <<，则对任意0ε>，有lim 0n n P p n με→∞⎧⎫->=⎨⎬⎩⎭， 即Pnp nμ−−→或limnn P p nμ→∞-=.②切比雪夫大数定律：设12,,,n ξξξ是一列两两不相关的随机变量，它们的数学期望iE ξ和方差i D ξ均存在，且方差有界，即存在常数C ，使得()1,2,i D C i ξ≤=，则对任意0ε>，有1111lim 1n ni i n i i P E n n ξξε→∞==⎧⎫-<=⎨⎬⎩⎭∑∑. 推论：设12,,,nξξξ是一列独立同分布的随机变量，其数学期望和方差均存在，记=i E ξμ，则对任意0ε>，有11lim 1n i n i P n ξμε→∞=⎧⎫-<=⎨⎬⎩⎭∑. 即11n Pi i n ξμ=−−→∑.③辛钦大数定律：设12,,,nξξξ是一列相互独立同分布的随机变量，且数学期望存在，记=i E ξμ，则有11lim 1n i n i P n ξμε→∞=⎧⎫-<=⎨⎬⎩⎭∑. （3）中心极限定理● 定理：林德伯格-列维 设12,,,n ξξξ是一列相互独立同分布的随机变量，且=i E ξμ，2=0,1,2,,i D i ξσ>=则有22lim en t i xn n P x dt ξμ--∞→∞⎧⎫-⎪⎪⎪≤=⎬⎪⎪⎪⎩⎭∑.● 定理：设()~,,01,n X b n p p <<则22lim et xn P x dt --∞→∞⎧⎫⎪≤=⎬⎪⎭.四、数理统计的基础知识1.总体与样本样本与样本分布● 总体X 的分布函数为()F x ，则样本()12,,,n X X X 的分布函数为：()()121,,,nn n i i F x x x F x ==∏，称之为样本分布.特别地，若总体X 为连续型随机变量，其密度函数为()f x ，则样本的密度函数为()()121,,,nn n i i f x x x f x ==∏.若总体X 为离散型随机变量，概率分布为(){}p x P X x ==，x 取遍X 所有可能取值，则样本的概率分布为()()()1211221,,,,,,nn n n n i i p x x x P X x X x X x p x ======∏.),n i x =∏为伯努利总体，如果它服从以}{,p P X =)12,,,n X X X 的概率分布为,n n X i =取1或0，而n i +，它恰等于样本中取值为服从参数为λ的泊松分布，)12,,,n X X 为其样本，则样本的概率分布为)21,,ee !!!!kinn n n k k k n i X i X i i i i i λλλλ--======∏，其中取非负整数，而n i ++.2.统计量常用的统计量)n X +2)X -1(ni i X X =-∑3.常用的统计分布（1）分位数● 上侧分位数：设随机变量X 的分布函数为()F x ，对给定的实数(01)αα<<，如果实数F α满足{}P X F αα>=，即()1F F αα-=或()1F F αα=-，则称F α为随机变量X 的分布的水平α上的上侧分位数. ● 有关等式：{}1P X F αα-≤= 1221P F X F ααα-⎧⎫<≤=-⎨⎬⎩⎭推论：()()122,,P X F m n X F m n ααα-⎛⎫⎧⎫⎧⎫<⋃>= ⎪⎨⎬⎨⎬ ⎪⎩⎭⎩⎭⎝⎭或()()122,,1P F m n X F m n ααα-⎧⎫<<-⎨⎬⎩⎭. ● 双侧分位数：设X 是对称分布的连续型随机变量，其分布函数为()F x ，对给定的实数(01)αα<<，如果正实数T α满足{}P X T αα>=，即()()1F T F T ααα--=-.则称T α为随机变量X 的分布的水平α的双侧分位数. 注意：由于对称性，上式可改写为：()12F T αα=-或{}()12P X T F T ααα>=-=.对于具有对称密度函数的分布函数的上侧分位数，恒有1F F αα-=-. （2）2χ分布 ● 命题：设()12,,,n X X X 是n 个相互独立的随机变量，且()~0,1,1,2,,i X N i n =，则22212n X X X X=+++的密度函数为()1122221;e,022n x n x n xx n χ--=>⎛⎫Γ ⎪⎝⎭.● Γ函数：()()10e 0a x a x dx a +∞--Γ=>⎰.●2χ分布：一个随机变量X 称为服从以n 为自由度的2χ分布，如果其密度函数由()1122221;e,022n x n x n xx n χ--=>⎛⎫Γ ⎪⎝⎭给出，记作()2~X n χ.● 命题：①若()()22~,~X m Y n χχ，且X 与Y 相互独立，则()2~X Y m n χ++. ②若()2~X n χ，则,2EX n DX n ==.（3）F 分布 ● 命题：设Z 由/=/X m n X Z Y n m Y=（设()()22~,~X m Y n χχ，且X 与Y 相互独立.）所定义，则Z 的密度函数为()()11221;,1,0,22m m n m m m f x m n x x x m n n n n --+⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+> ⎪⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎝⎭B ⎪⎝⎭.● B 函数：()()()1110,=10,0q p p q x x dx p q --B ->>⎰.●F 分布：如果一个随机变量X 的密度函数由()()11221;,1,0,22m m n m m m f x m n x x x m n n n n --+⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+> ⎪⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎝⎭B ⎪⎝⎭给出，则称其服从第一自由度为m ，第二自由度为n 的F 分布，记作()~,X F m n . ● 若()~,X F m n ，则()1~,XF n m -.● 当α接近1时，可利用()()11,=,F m n F n m αα-求出所需上侧分位数.（3）t 分布● 定义式：设()()2~0,1,~X N Y n χ，且X 与Y相互独立，记T =，则()2~1,/X T F n Y n=.● 命题：T 的密度函数为()122;1,n x t x n x n +-⎫=+-∞<<+∞⎪⎭⎝⎭.●t 分布：如果一个随机变量X 的密度函数由()122;1,n x t x n x n +-⎫=+-∞<<+∞⎪⎭⎝⎭给出，则称其为服从自由度为n 的t 分布，记作()~X t n .注意：当自由度n 很大时，t 分布接近于标准正态分布，因为2+11222lim 1=en x n x n --→∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭.●当α接近1时，()()1t n t n αα-=-.4.抽样分布（1）正态总体的抽样分布● 定理：设总体()()212~,,,,,n X N X X X μσ是其容量为n 的一个样本，X 与2S 分别为此样本的样本均值与样本方差，则有①2~,X N n σμ⎛⎫⎪⎝⎭；②()2221~1n S n χσ--；③X 与2S 相互独立. ● 单正态总体的抽样分布定理：设()12,,,n X X X 为正态总体()2~,X N μσ的样本，X 与2S 分别为该样本的样本均值与样本方差，则有①()~0,1X U N =；②()2221~1n S n χσ--；③()~1X T t n =-.● 双正态总体的抽样分布定理：设()211~,X N μσ与()222~,Y N μσ是两个相互独立的正态总体.又设()112,,n X X X是总体X 的容量为1n 的样本，X 与21S 分别为该样本的样本均值与样本方差.再设()212,,n Y Y Y 是总体Y 的容量为2n 的样本，Y 与22S 分别为此样本的样本均值与样本方差.记2S 是21S 与22S 的加权平均：222121212121122n n S S S n n n n --=++-+-，则有 ①()()~0,1X Y U N μμ---=；②()222112212~1,1S F F n n S σσ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭；③当22212==σσσ时，()12~2X Y T t n n μμ---=+-.（2）一般总体抽样分布的极限分布 ● 定理：设()12,,,n X X X 为总体X 的样本，并设总体X 的数学期望与方差均存在，分别记为2,EX DXμσ==.再记n n X X U T ==X 与S 分别表示上述样本的样本均值与样本方差，则有①()()0n dU F x x −−→Φ； ②()()0n dT F x x =−−→Φ.以上()n U F x ，n T F 与()0x Φ分别表示n U ，n T 及标准正态分布的分布函数.五、参数估计与假设检验1.点估计概述评价估计量的标准 ),n X 为参数的有偏估计量.若),n X 为未知参数}-<=θε),n X 为取自总体①样本均值X 是μ的无偏估计量；②样本方差2S 是σ③未修正的样本方差，即样本二阶中心矩),n X 是取自总体,n .则1n 的相合估计量，,n .(~,X N μ),n X 为其样本，则样本方差2S 是2σ的相合估计2.参数的最大似然估计与矩估计（1）最大似然估计 ● ),n x ，存在),n x ，使()*1,,n x x θ为θ的最大似然估计值，称相应的统),n X 为的最大似然估计量.它们统称为θ的最大似然估计，可MLE . 如果未知参数为12,,,r θθθ，那么似然函数是多元函数(,,)r L θθ.若对任意),n x 存在),,,1,2,=n x i r ，使1*1(,,),,)max (,,)∈Θ=r r r L θθθθθ，则称*i θ为i θ的,1,2,,=MLE i r .当似然函数关于未知参数可微时，一般可通过求导数得到MLE ，其主要步骤①写出似然函数1(,,)r L θθ；0∂=∂L θ或ln 0,1,,∂==∂L i r θ，从中求得驻点注意，函数L 与ln L有相同的最值点，而使用后者往往更方便；③判断驻点为最大值点； MLE .● 最大似然估计的不变性：如果ˆθ为θ的最大似然估计，()=u g θ是θ的函数且存在单值反函数()=h u θ.那么()ˆg θ是()g θ的最大似然估计. （2）矩估计 ● 1,2,,ˆ2,3,=k B β.这种求点估计的方用矩法确定的估计量称为矩估计量，相应的估计值为矩估计值，矩估计量. 表示为总体矩的函数，即)2,;,l s αββ； k B 分别替换g 中的k α，)()1212ˆˆˆˆ,,;,,;,,=l s l sg A A B B ααββ即为θ的3.置信区间（1）寻求置信区间的方法● ①选取θ的一个较优的点估计ˆθ； ②围绕ˆθ寻找一个依赖于样本与θ的函数()1,,;=n u u X X θ.u 的分布为已知分布.像u 这样的函数，称为枢轴量；③对给定的置信水平1-α，确定1λ与2λ，使{}121<<=-P u λλα，一般可选取满足{}{}122≤=≥=P u P u αλλ的1λ与2λ；④利用不等式变形导出套住θ的置信区间(),θθ. （2）正态总体参数的置信区间4.假设检验概述假设检验的一般步骤 ①建立零假设0H ；②构造一个含待检验参数θ（不含其他未知参数）且分布已知的枢轴量()12,,,;n u X X X θ，并确定其分布；③对给定的显著性水平α，由上述枢轴量及其分布，结合零假设0H ，确定拒绝域C ，使得(){}120,,,∈≤n P X X X C H α；④根据样本值()12,,,n x x x 是否落在C 中做出是否拒绝0H 的统计决断：如果()12,,,∈n x x x C ，则拒绝0H ，如果()12,,,∉n x x x C ，则不能拒绝0H .5.单正态总体的参数假设检验编辑：李雪伟 2013年5月25日。
概率论与数理统计课件
1 9 1 9 81 3 10 10 9 10 9 8 10
或拨号不超过3次而接通电话的对立事件为
__
A1
__
A2
A3
__ __
__
__
__
P( A1 A2 A3 ) P( A1 )P( A2 A1 )P( A3 A1 A2 )
9 87 7 10 9 8 10
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四、全概率公式与贝叶斯公式
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例1:甲、乙、丙三人对同一目标各射击一次，甲、 乙、丙 击中目标的概率分别为0.6、0.55、0.45。
令Ai=“第i人击中目标”，i=1，2，3。 （1）求三人都击中目标的概率。 （2）求目标被击中的概率。 (1)解：P(A1A2A3)=P(A1)P(A2)P(A3)
0.6 0.55 0.45 =0.1485
P(A)>0时， P(B A) 1 P(B A)
P(B C A) P(B A) P(C A) P(BC A)
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例1 6个球中有4个白球2个黑球, 无放回取2个 球, 已知第一次取到白球, 问第二次取到白球 的概率? 解 A=“第一次取到白球” , B=“第二次取到白球”
P(B A) 3 5
P(B A) 0.8, P(B A) 0.1
__
(1)P(B) P(A)P(B A) P(A)P(B A)
0.48 0.04 0.52
(2)P(A B) P(A)P(B A) 0.48 12 P(B) 0.52 13
例3：已知男人中有5%是色盲，女人中有0.25%是色 盲，今从男女人数相等的人群中随机地挑选一人，恰 好是色盲，求此人是男人的概率。
（１）求收报台收到信号“＋”的概率。
概率论与数理统计pdf版
试验人
n
nA
fn（A）
摩根
2048
1061
0.5181
蒲丰
4040
2048
0.5069
皮尔逊
12000
6019
0.5016
从上表可见，当试验次数 n 大量增加时，事件 A 发生的频率 fn（A）会稳定某一常数，我们称这一常数为频率的稳定值。 例如从上表可见抛硬币试验，正面出现的事件 A 的频率 fn（A）的稳定值大约是 0.5。
③AA=A
（3）差事件：事件 A 发生而且事件 B 不发生的事件叫事件 A 与事件 B 的差事件，记作（A-B）
例如，掷一次骰子，A=｛1，3，5｝；B=｛1，2，3｝，则 A-B=｛5｝
显然有性质：
①
②若
，则有 A-B=Φ
③A-B=A-AB
（4）互不相容事件：若事件 A 与事件 B 不能都发生，就说事件 A 与事件 B 互不相容（或互斥）即 AB=Φ
不可能事件：在一次试验中，一定不出现的事件叫不可能事件，而习惯用 φ 表示不可能事件。
例如，掷一次骰子，点数>6 的事件一定不出现，它是不可能事件。
（二）基本（随机）事件
随机试验的每一个可能出现的结果，叫基本随机事件，简称基本事件，也叫样本点，习惯用 ω 表示基本事件。
例如，掷一次骰子，点数 1，2，3，4，5，6 分别是基本事件，或叫样本点。
全部基本事件叫基本事件组或叫样本空间，记作 Ω，当然 Ω 是必然事件。
（三）随机事件的关系
（1）事件的包含：若事件 A 发生则必然导致事件 B 发生，就说事件 B 包含事件 A，记作
。
例如，掷一次骰子，A 表示掷出的点数≤2，B 表示掷出的点数≤3。∴A=｛1，2｝，B=｛1，2，3｝。
概率论与数理统计完整版课件全套ppt教学教程-最全电子讲义(最新)
四、事件的关系与运算
在一个样本空间中显然可以定义不止一个事件。概率论的重要研究课 题之一是希望从简单事件的概率推算出复杂事件的概率。为此，需要研究 事件间的关系与运算。
事件是一个集合，因此事件间的关系和运算自然按照集合之间的关系 和运算来处理。
1 事件的包含与相等
若 A B ，则称事件 B 包含事件 A ，这里指的是事件 A 发生必然导致事件 B 发生， 即属于 A 的样本点都属于 B ，如图1-2所示。显然，对任何事件A，必有 A 。
若 A B 且 B A ，则称事件 A 与 B 相等，记为 A B。
图1-2 A B
事件 A B {x | x A或x B}，称为事件A与事件B的和事件，即当且仅当事件 A 或 事件 B 至少有一个发生时，和事件 A B 发生。它由属于 A 或 B 的所有公共样本点构 成，如图 1-4 所示。
图 1-4 A B
4 事件的差
事件 A B {x | x A且x B}称为事件 A 与事件 B 的差事件，即当且仅当事件 A 发 生但事件 B 不发生时，积事件A B发生。它是由属于 A 但不属于 B 的样本点构成的集 合，如图1-5所示。差事件 A B 也可写作 AB 。
定义1 在相同的条件下重复进行了 n 次试验，如果事件 A 在这 n 次试验中出现
了 nA
次，则称比值
nA n
为事件 A
发生的频率，记为fn ( 源自) ，即fn( A)
nA n
显然，频率 fn ( A) 的大小表示了在 n 次试验中事件 A 发生的频繁程度。频率 大，事件 A 发生就频繁，在一次试验中 A 发生的可能性就大，也就是事件 A 发
概率论与数理统计1.1-2课件
数据的收集与整理
描述性统计
使用图表和数值描述数据的基本 特征，如均值、中位数、众数、
标准差等。
随机抽样
从总体中随机选取一部分数据，以 近似估计总体的特性。
数据清洗
处理缺失值、异常值和重复值，确 保数据质量如 均值和比例。
区间估计
给出总体参数的可能范围，以及 该范围的置信水平。
概率论与数理统计1.1-2课 件
• 概率论与数理统计简介 • 概率论基础 • 数理统计基础 • 概率论与数理统计的应用实例
01
概率论与数理统计简介
概率论与数理统计的定义
概率论
研究随机现象的数学学科，通过 数学模型描述随机事件、随机变 量等概念，揭示其内在规律。
数理统计
应用概率论对数据进行收集、整 理、分析和推断的数学方法，旨 在从数据中获取有用信息。
在药物研发过程中，概率论和数理统计用于预测药物的疗效和安全 性，以及临床试验的成功率。
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感谢观看
02
概率论基础
概率的基本性质
01
02
03
概率的取值范围
概率的取值范围是 [0,1]， 其中0表示不可能事件，1 表示必然事件。
概率的加法原则
两个互斥事件的并集的概 率等于这两个事件的概率 之和。
概率的乘法原则
两个事件的交集的概率等 于这两个事件的概率的乘 积。
条件概率与独立性
条件概率的定义
在事件B发生的情况下，事 件A发生的概率称为条件 概率，记作P(A|B)。
贝叶斯统计推断
贝叶斯定理
根据先验信息和样本数据更新对未知参数的信念，并给出后验概 率分布。
贝叶斯决策理论
将贝叶斯概率应用于决策问题，以最小化期望损失或最大化期望效 用。
《概率论与数理统计》课件
条件概率与独立性
条件概率
在某个事件B已经发生的条件下，另 一事件A发生的概率，记为P(A|B)。
独立性
两个事件A和B如果满足 P(A∩B)=P(A)P(B)，则称事件A和B是 独立的。
随机变量及其分布
01
随机变量
随机变量是定义在样本空间上的 一个实值函数，表示随机试验的 结果。
02
离散型随机变量
03
连续型随机变量
离散型随机变量的取值可以一一 列举出来，其概率分布可以用概 率质量函数或概率函数表示。
连续型随机变量的取值范围是一 个区间或半开区间，其概率分布 可以用概率密度函数表示。
数理统计初步
02
统计数据的描述
01
统计数据的收集
描述如何通过调查、试验或观测 等方法，获取用于统计分析的数
据。
03
夫链
随机过程的基本概念
随机过程
随机过程是一组随机变量，每个随机 变量对应于时间或空间的一个点。
有限维分布
描述随机过程在有限个时间点上的联 合分布。
独立性
如果随机过程在不相交的时间区间上 的随机变量是独立的，则该随机过程
是独立的。
马尔科夫链及其性质
马尔科夫性
在已知现在状态下，未来与过去独立，即“未来 只取决于现在”。
03
数据的可视化
介绍如何使用图表（如直方图、 散点图等）将数据可视化，以便 更直观地理解数据分布和关系。
02
数据的整理
介绍如何对数据进行分类、排序 和分组，以便更好地理解和分析
。
04
数据的数字特征
介绍如何使用均值、中位数、众 数、方差等统计量来描述数据的
中心趋势和离散程度。
参数估计与置信区间
概率论与数理统计PDF版课件1-2
第一章随机事件与概率§1.2 事件的概率及其性质一、频率二、概率的公理化定义随机事件发生的概率是刻画该事件在一次试验中发生的可能性大小的数值..)(nn A A f An ==试验的总共次数发生的次数事件一、频率1. 定义1 在相同的条件下, 进行了n 次试验, 在这n 次试验中, 事件A 发生的次数n A 称为事件A 发生的频数, 称为事A 发生的频率. 记为An n2. 频率的基本性质(1) 非负性: 对任意事件A, 有0 ≤f n(A) ≤1;(2) 规范性:f n(Ω)=1;(3) 可加性: 对任意两两互不相容的事件A1, A2, ⋅⋅⋅, A n , 有f n(A1∪A2∪⋅⋅⋅∪A n)= f n(A1) +f n(A2) +⋅⋅⋅+f n(A n) .第一章随机事件与概率§1.2 事件的概率及其性质试验者投掷次数（n ）正面次数（）正面频率德⋅莫根204810610.5181浦丰404020480.5069费勒1000049790.4979K ⋅皮尔森24000120120.5005历史上统计学家们所作的抛硬币试验记录如下表:A n )(n n A3. 频率的稳定性在足够多次试验中, 事件发生的频率总在一个定值附近摆动, 而且试验次数越多, 一般来说摆动幅度越小, 这个性质叫做频率的稳定性.频率在一定程度上反映了事件发生的可能性大小.在实际中, 当随机事件的概率不易求出时, 人们常取试验次数很大时事件发生的频率作为概率的估计值, 并称此概率为统计概率, 这种确定概率的方法称为频率方法.4. 概率的统计定义定义2在相同条件下, 独立重复进行n 次试验, 则事件A 在n 次试验中发生的次数称为A 发生的频数, 记为n A , 比值f n (A )= 称为A 发生的频率. 当试验次数n增大时, 频率f n (A )呈现出某种稳定性, 即它在某一常数p 附近波动, 且n 越大, 波动的幅度一般越小, 则称p 为事件A 发生的概率.An n公理2 (规范性)公理1 (非负性) 二、概率的公理化定义对任意事件A , 有P (A ) ≥0,公理3 (可列可加性) 对任意两两互不相容的事件列A 1,A 2 ,A 3,⋅⋅⋅, 有123123()()()()P A A A P A P A P A =+++ 1. 概率的定义定义3 设随机试验E 的样本空间为Ω,对E 的任意一个事件A ,规定一个实数P (A )与之对应, 若集合函数P ( · ) 满足下列述公理:P (Ω) = 1,则称P (A )为事件A 的概率.2. 概率的基本性质ＡAΩ性质1 对不可能事件Φ, P (Φ) = 0 .性质2 (有限可加性) 若A 1,A 2 , ⋅⋅⋅, A n , 两两互互斥, 则有P (A 1∪A 2∪⋅⋅⋅∪A n )=P (A 1)+P (A 2)+ ⋅⋅⋅+P (A n ) .性质3 (求逆公式)()1().P A P A =-第一章随机事件与概率§1.2 事件的概率及其性质性质4 (减法公式)设A , B 是任意两个事件, 则P (A -B )=P (A )-P (AB ) .特别地, 当B ⊂A 时,P (B ) ≤ P (A ).ΩABBAAB A -BP (A -B )=P (A )-P (B ),第一章随机事件与概率§1.2 事件的概率及其性质例1(P13例1)设事件A, B满足P(A)=0.7, P(A−B)=0.3, 求().P AB 解由P(A-B)=P(A)-P(AB), 得P(AB) = P(A)-P(A-B)= 0.7 -0.3= 0.4 .于是()1()=-P AB P AB= 1 -0.4= 0.6 .性质5 对任意事件A , 有P (A ) ≥0 .性质6 (加法公式)对任意两个事件A , B , 有P (A ∪B )=P (A )+P (B )-P (AB ) .性质7 (广义加法公式, 也称多除少补原理)(1) 对任意三个事件A , B , C , 有P (A ∪B ∪C )=P (A )+P (B )+P (C )-P (AB )-P (AC )-P (BC )+P (ABC ).(2) 对任意n 个事件A 1, A 2,…, A n , 有∑===n i i n i i A P A P 11)()( ∑≤<≤-n j i j i A A P 1)(1()i j k i j k n P A A A ≤<<≤+∑112(1)().n n P A A A -++-1()()(),4P A P B P C ===解++11110004448=---+5.8=1()()0,(),8P AB P BC P AC ===例2 (P 14例4) 若事件A , B , C 满足则A , B , C 三个事件中至少发生一个的概率为________.P (A ∪B ∪C ) = P (A )+P (B )+P (C )-P (AB )-P (AC )-P (BC )+P (ABC )1()()(),4P A B P B C P AC ===()1()P AB BC AC P AB BC AC ++=-++111(32)416=-⨯-⨯.83=1(),16P ABC =例3 (P 14例5) 设事件A , B , C 满足求A , B , C 中不多于一个发生的概率.解= 1-[P (AB )+P (BC )+P (AC )-P (ABC )-P (ABC )-P (ABC )+P (ABC ) ]。
概率论与数理统计PDF版课件1-1
(3) A B C A B C A B C +A B C . (4) A B C A B C A B C A B C A B C +A B C +A B C . (5) ( A B)C .
第一章 随机事件与概率 §1.1基本概念
例4 设A, B 为两个事件, 试化简下列各式：
例1 (P2 例1)写出下列随机试验的样本空间
(1) 从一批含有次品的产品中随机抽一件产品, 检查它 是否为合格品;
(2) 掷一颗骰子, 观察出现的点数; (3) 将一枚梗币抛三次, 观察出现正面, 反面的情况; (4) 将一枚硬币抛三次, 观察出现正面的次数; (5) 观察某一时间段通过一路口的车辆数; (6) 测量某物理量(长度,单位:米)的误差 .
定义4 在一定的条件下必然会发生的事件称为必然事件.
记为 S 或 .
定义5 在一定的条件下肯定不会发生的事件称为不可能事
件. 记为 ．
3. 随机事件的表示 (1) 文字描述. (2) 样本点, 即集合表示. (3) 文氏图.
第一章 随机事件与概率 §1.1基本概念
例2 (P3 例2)掷一颗骰子, 观察出现的点数, 用样本点表示下列
(4) 设i 表示抛三次硬币出现 i 次正面, 则 Ω4 ={0, 1, 2, 3 }.
(5) 设i 表示某一时间段通过路口i 辆车数, 则
Ω5 ={0, 1, 2, 3, } .
(6) 6 ={ t | <t < }.
第一章 随机事件与概率 §1.1基本概念
2. 随机事件: 在随机试验中可能发生也可能不发生的事情或 结果.
第一章 随机事件与概率 §1.1基本概念
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中国科学院大学
2013年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题
科目名称：概率论与数理统计
考生须知：
1．本试卷满分为150分，全部考试时间总计180分钟。
2．所有答案必须写在答题纸上，写在试题纸上或草稿纸上一律无效。
一、（10分）假定通过验血可以诊断某种疾病，验血结果只有两种：阴性或阳性。
已知当结果显示为阳性时，的确患有该种疾病的概率为0.95，而显示为阴性时，患有该种疾病的概率为0.02.有一个病人到某诊所看病，他告诉医生他感觉不舒服，医生为他做了检查并验了血，在看到验血结果之前，医生认为他患病的可能性为0.3，问在看到验血结果为阳性时该医生应如何修改他先前的判断？
二、（10分）有5个家庭，每家有6个孩子，问至少有3家育有4个或更多个女孩子的概率是多少？（假定每家的任一个孩子的性别与其他孩子的性别相互独立而
且是女孩的概率为12）
三、（共30分，每小题15分）设一家超市买入数量为B的某种商品，这种商品的需求量是随机的，用Y表示（Y取非负整数值）。
又假设每卖出一件这种商品，超市盈利s元，而贮存一件所需费用为t元。
（a）试证：当Y取值为y时，超市在这种商品上的损失函数为：
L(y,B)=�−sy+t(B−y),y≤B
−sB, y>B
（b）假设Y的分布为P(Y=y)=p y（已知），试求使超市获得平均最大盈利的B值。
四、（共30分，每小题10分）设R的分布密度为
f(r)=�2r， 0<r<1
0，其他
（a）试求概率P(a≤R≤b),0<a<b<1；
（b）试求R的期望和方差；
（c）现有100个相互独立且与R同分布的随机变量：R1，R2，⋯,R100。
试用正态分布表示如下概率：
科目名称：概率论与数理统计第1页共2页
P�R1+R2+⋯+R100
100>13�.
五、（10分）设有一个均匀的骰子和若干均匀硬币。
掷一次骰子，然后按照投掷的点数再抛掷相同数目的硬币，以Y记这些硬币中出现正面的个数。
试求Y的概率分布。
六、（共20分，每小题10分）设X与Y有如下联合密度函数：
f(x,y)=�2x+2y−4xy , 0≤x≤1, 0≤y≤1,
0 , 其他.
(a)试求X与Y的边际分布密度；
(b)试求给定X=14时Y的条件密度f Y(y|X=14)。
七、（20分）考虑一个容量为n的样本：X1，X2，⋯,X n，它们共同的分布为
f(x;λ,θ)=�λe−λ(x−θ), x≥θ,
0, 其他.
试求λ及θ的极大似然估计（其中λ≥0）。
八、（共20分，每小题10分）某学院一年级学生共100人，期中考试的平均成绩
µ。
期末考试后，教员在统计成绩之前预测学生的平均成绩有所提高。
为
µ（检验水平为5%）；（a）设计一个检验，以便考查期末考试的平均成绩是否高于
（b）试求期末考试平均成绩的置信区间（置信水平为95%）。
科目名称：概率论与数理统计第2页共2页。