2019版同步优化探究理数练习：第八章第三节圆的方程含答案解析

课时作业

A组一一基础对点练

1 .方程x

2 + y2 + 2x — 4y— 6= 0表示的图形是( )

A .以(1，— 2)为圆心，，11为半径的圆

B .以(1,2)为圆心，，11为半径的圆

C.以(—1,— 2)为圆心，.11为半径的圆

D .以(—1,2)为圆心，.11为半径的圆

解析：由 x2 + y2 + 2x— 4y— 6= 0 得(x+ 1)2+ (y— 2)2= 11,故圆心为(—1,2)，半径为一 11.

答案：D

2.若圆C的半径为1,圆心C与点(2,0)关于点(1,0)对称，则圆C的标准方程为( )

A. x2 + y2= 1

B. (x — 3)2 + y2= 1

C. (x— 1)2 + y2= 1

D. x2+ (y — 3)2= 1

解析：因为圆心C与点(2,0)关于点(1,0)对称，故由中点坐标公式可得C(0,0)，所以所求圆的标准方程为x2 + y2= 1.

答案：A

3.圆(x+ 2)2 + y2= 5关于原点(0,0)对称的圆的方程为( )

A . x2 + (y— 2)2= 5 B. (x — 2)2 + y2 = 5

C. x2 + (y+ 2)2= 5 D . (x— 1)2 + y2 = 5

解析：因为所求圆的圆心与圆(x+ 2)2 + y2= 5的圆心(一2, 0)关于原点(0,0)对称，所以所求圆的圆心为(2,0)，半径为.5,故所求圆的方程为(x — 2)2 + y2 = 5.

答案：B

4 .设P是圆(x— 3)2+ (y+ 1)2= 4上的动点，Q是直线x= 诈_3升—3上的动点，则|PQ|的最小值为________________ .

解析：如图所示，圆心M(3, — 1)到定直线x= — 3上点的

3— (— 3) = 6,又圆的半径为2,故所求最短距离为6 — 2 = 4.

答案：4

5 . (2018唐山一中调研)点P(4 , — 2)与圆x2 + y2 = 4上任一点连线的中点的轨迹方程是.

x i + 4 x= 2

2 ，即*

y i — 2 2

=4,得(2x — 4)2 + (2y+ 2)2 = 4,化简得(x — 2)2 + (y+ i)2= i. 答案：(x — 2)2

+ (y+ i)2

= i

6•已知圆C 经过点(0,i),且圆心为C(i,2). (1) 写出圆C 的标准方程；

(2) 过点P(2,— i)作圆C 的切线，求该切线的方程及切线长.

解析：⑴由题意知，圆C 的半径r= "i — 02

+ 2— i 2

= 2, 所以圆C 的标准方程为(x — i)2

+ (y — 2)2

= 2.

(2)由题意知切线斜率存在，故设过点 P(2,— i)的切线方程为y+ i = k(x —2),即卩kx — y — 2k —1 =

所以 k 2 — 6k — 7= 0,解得 k= 7或 k= — i, 故所求切线的方程为7x — y — i5 = 0或x+ y — i = 0.

由圆的性质易得所求切线长为. PC 2

— r 2

=「2—i 2

+ — i — 2 2

— 2 = 2 2.

7. (20i8南昌二中检测)在平面直角坐标系xOy 中，经过函数f(x) = x 2 — x —6的图像与两坐标轴交 点的圆记为圆C. (i)求圆C 的方程;

(2)求经过圆心C 且在坐标轴上截距相等的直线I 的方程.

2 2 2

解析：⑴设圆的方程为x + y + Dx+ Ey+ F = 0,函数f(x) = x — x — 6的图像与两坐标轴交点为(0,

36— 6E+ F = 0

—6), ( — 2,0), (3,0),由 4— 2D + F= 0

9+ 3D + F= 0

D = — 1

解得E= 5

,

F = — 6 所以圆的方程为x 2

+ y 2

— x+ 5y — 6= 0.

1 5

(2)由(1)知圆心坐标为(2，— 5)，若直线经过原点，则直线l 的方程为5x + y= 0;若直线不过原

1

5

解析：设圆上任意一点为(x i , y i )，中点为(x, y),贝U x i = 2x — 4 2 2

片2y+ 2，代入x + y

0,则 I — k —

3|

「2,

点，设直线I的方程为x+y= a,则a =十空=—2,即直线l的方程为x+ y+ 2 = 0•综上可得，直线I的方程为5x+ y= 0或x+ y+ 2= 0.

B组一一能力提升练

2 2 2

1.已知圆x + y — 4ax+ 2by+ b = 0(a>0, b>0)关于直线x—y— 1= 0对称，则ab的最大值是( )

1 1

B・8

J , 2

C. D. ~~r

4 4

解析：由圆 x2 + y2— 4ax+ 2by+ b2= 0(a>0, b>0)关于直线 x—y— 1 = 0 对称，可得圆心(2a,— b)

__ 1

在直线x — y— 1 = 0上，故有2a + b— 1 = 0,即卩2a + b= 1 >2 2ab,解得ab<8，故ab的最大值为*,故选B.

答案：B

2

2. (2018绵阳诊断)圆C的圆心在y轴正半轴上，且与x轴相切，被双曲线x2—鲁=1的渐近线截得的弦长为，3,则圆C的方程为( )

A . x2 + (y— 1)2= 1 B. x2+ (y— ,3)2 = 3

C. x2 + (y+ 1)2= 1

D. x2+ (y+ 3)2 = 3

解析：依题意得，题中的双曲线的一条渐近线的斜率为(3,倾斜角为60°结合图形(图略)可知，

所求的圆C的圆心坐标是(0,1)、半径是1,因此其方程是x2+ (y— 1)2= 1,选A.

答案：A

3.

已知圆C与直线y= x及x—y— 4= 0都相切，圆心在直线y= — x上，则圆C的方程为( ) A . (x+ 1)2 + (y— 1)2= 2 B . (x+ 1)2+ (y+ 1)2 = 2

C. (x— 1)2+ (y— 1)2 = 2

D. (x— 1)2+ (y+ 1)2 = 2

解析：由题意知x — y= 0和x—y— 4= 0之间的距离为|42=22，所以r = . 2.又因为y= — x与x —y= 0, x—y— 4= 0均垂直，所以由y= — x和x— y= 0联立得交点坐标为(0,0),由y= — x和x —y — 4 = 0联立得交点坐标为(2, — 2),所以圆心坐标为(1,— 1)，圆C的标准方程为(x— 1)2+ (y