向量的减法运算及几何表示
向量减法运算及其几何意义,向量的数乘运算及其几何意义教案
向量减法运算及其⼏何意义,向量的数乘运算及其⼏何意义教案§2.2.2向量减法运算及其⼏何意义⼀．知识点梳理1．⽤“相反向量”定义向量的减法：1?“相反向量”的定义：与a 长度相同、⽅向相反的向量记作 -a2?规定：零向量的相反向量仍是零向量，且-(-a ) = a 。
任⼀向量与它的相反向量的和是零向量即a + (-a ) = 0。
如果a 、b 互为相反向量，则a = -b , b = -a , a + b = 0 3?向量减法的定义：向量a 加上b 的相反向量，叫做a 与b 的差即：a - b = a + (-b ) 求两个向量差的运算叫做向量的减法2．⽤加法的逆运算定义向量的减法：若b + x = a ，则x 叫做a 与b 的差，记作a - b3减法的三⾓形法则：在平⾯内取⼀点O ，作OA = a , OB = b , 那么连接两个向量的终点并指向被减向量⽅向的向量就是两个向量的差向量. 即a - b 可以表⽰为从向量b 的终点指向向量a 的终点的向量注意：1?AB 表⽰a - b 强调：差向量“箭头”指向被减数.4.向量减法运算的记忆⼝决：共起点，连终点，⽅向指向被减数（⽅向由后指前）5.向量减法与向量加法的⽐较：（1）加法：⾸尾相连，从头指尾（前向量的头指向后向量的尾）（2）减法：共起点，连终点，⽅向指向被减数 6.向量减法的字母公式：CB AC AB =-⼆．例题讲解例1.已知向量a 、b 、c 、d ，求作向量a -b 、c -d解：在平⾯上取⼀点O ，作OA = a , OB = b , OC = c , OD = d ,作BA, DC, 则BA= a-b, DC= c-d例2.已知，在平⾏四边形ABCD中，aAD=，⽤a，b表⽰向量AC、AB=，bDB解：由平⾏四边形法则得： D CAC= a + b,DB= ADAB- = a-b bA aB 例3.若|AB|=8,|AC|=5,则|BC|的取值范围是( )A.[3,8]B.(3,8)C.[3,13]D.(3,13)解析:BC=AC-AB.(1)当AB、AC同向时,|BC|=8-5=3;(2)当AB、AC反向时,|BC|=8+5=13;(3)当AB、AC不共线时,3<|BC|<13.综上,可知3≤|BC|≤13.答案:C点评:此题可直接应⽤重要性质||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|求解.三．课堂练习1. 如下图所⽰，已知⼀点O到ABCD的3个顶点A、B、C的向量分别是a、b、c,则向量OD等于( )A.a+b+cB.a-b+cC.a+b-cD.a-b-c解析:如图5,点O到平⾏四边形的三个顶点A、B、C的向量分别是a、b、c,结合图形有OD=OA+AD=OA+BC=OA+OC-OB=a-b+c.答案:B2 判断题:(1)若⾮零向量a与b的⽅向相同或相反,则a+b的⽅向必与a、b之⼀的⽅向相同.(2)△ABC中,必有AB+BC+CA=0.(3)若AB+BC+CA=0,则A、B、C三点是⼀个三⾓形的三顶点.(4)|a+b|≥|a-b|.解:(1)a与b⽅向相同,则a+b的⽅向与a和b⽅向都相同;若a与b⽅向相反,则有可能a与b互为相反向量,此时a+b=0的⽅向不确定,说与a、b之⼀⽅向相同不妥.(2)由向量加法法则AB+BC=AC,AC与CA是互为相反向量,所以有上述结论.(3)因为当A、B、C三点共线时也有AB+BC+AC=0,⽽此时构不成三⾓形.(4)当a与b不共线时,|a+b|与|a-b|分别表⽰以a和b为邻边的平⾏四边形的两条对⾓线的长,其⼤⼩不定.当a 、b 为⾮零向量共线时,同向则有|a +b |>|a -b |,异向则有|a +b |<|a -b |; 当a 、b 中有零向量时,|a +b |=|a -b |. 综上所述,只有(2)正确.四.内容⼩结本节我们学习的内容如下： 1.相反向量的概念 2.向量减法的定义 3.向量减法的运算法则§2.2.2向量的数乘运算及其⼏何意义教学⽬标：1.向量的数乘运算的概念 2.向量的数乘运算法则 3.向量的数乘运算的⼏何意义 4.平⾯向量基本定理教学重点：1.向量的数乘运算法则 2.向量的数乘运算的⼏何意义教学难点：平⾯向量基本定理的理解与运⽤⼀．知识点梳理1.向量的数乘运算定义：规定⼀个实数λ与向量a 的积是⼀个向量，这种运算叫做向量的数乘运算记作λa. 它的长度和⽅向规定如下：（1）|λa|=|λ||a|. （2）0λ>时，λa 的⽅向与a 的⽅向相同；当0λ<时，λa 的⽅向与a的⽅向相反；特别地，当0λ=或0a = 时，0λa =.2.运算律：设a 、b为任意向量，λ、µ为任意实数，则有：（1）()λµa λa µa +=+ ；（2）()()λµa λµa = ；（3）()λa b λa λb +=+.通常将（2）称为结合律，（1）（3）称为分配律。
向量减法运算及其几何意义 课件
方法归纳
用已知向量表示其他向量的三个关注点 (1)搞清楚图形中的相等向量、相反向量、共线向量以及构成三 角形三向量之间的关系，确定已知向量与被表示向量的转化渠道． (2)注意综合应用向量加法、减法的几何意义以及向量加法的结 合律、交换律来分析解决问题． (3)注意在封闭图形中利用向量加法的多边形法则． 例如，在四边形 ABCD 中，A→B＋B→C＋C→D＋D→A＝0.
类型一 向量的减法运算
[例 1] 化简下列各式： (1)(A→B＋M→B)＋(－O→B－M→O)； (2)A→B－A→D－D→C.
【解析】 (1)解法一：原式＝A→B＋M→B＋B→O＋O→M＝(A→B＋B→O) ＋(O→M＋M→B)＝A→O＋O→B＝A→B.
解法二：原式＝A→B＋M→B＋B→O＋O→M ＝A→B＋(M→B＋B→O)＋O→M＝A→B＋M→O＋O→M＝A→B＋0＝A→B. (2)解法一：原式＝D→B－D→C＝C→B. 解法二：原式＝A→B－(A→D＋D→C)＝A→B－A→C＝C→B.
B＝B→A就可以把减法转化为加法．即：减去一个向量等于 加上这个向量的相反向量，即 a－b＝a＋(－b)．
2．在用三角形法则作向量减法时，要注意“差向量连接两向 量的终点，箭头指向被减向量”．解题时要结合图形，准确判断，
防止混淆． 3．以平行四边形 ABCD 的两邻边 AB、AD 分别表示向量A→B＝
向量减法运输及其几何意义
1．相反向量 与 a 长度相等，方向相反的向量，叫作 a 的相反向量，记作－
a. (1)零向量的相反向量仍是零向量，即－0＝0. (2)任一向量与其相反向量的和是零向量，即 a＋(－a)＝0. (3)如果 a，b 是互为相反的向量，则 a＝－b，b＝－a，a＋b＝
0.
向量减法运算及其几何意义(数学-优秀课件)
向量减法的几何意义
向量减法可以理解为在几何空间中，从一个点出发，沿着两个向量的方向移动， 一个向量的长度减去另一个向量的长度。
向量减法可以用于描述速度和加速度的变化。例如，如果一个物体在一段时间内速 度从$vec{A}$变为$vec{B}$，那么$vec{B} - vec{A}$表示这段时间内的加速度。
向量减法不满足交换律
$overset{longrightarrow}{A} - overset{longrightarrow}{B} neq overset{longrightarrow}{B} overset{longrightarrow}{A}$，除非$overset{longrightarrow}{A}$和$overset{longrightarrow}{B}$共 线。
03
向量减法的运算规则
向量减法的代数运算规则
定义
向量减法是通过将一个向量的起点平移到另一个向量的终点，然后按照向量加法的规则 进行计算。
计算方法
设$overset{longrightarrow}{A} = (a_1, a_2, ldots, a_n)$， $overset{longrightarrow}{B} = (b_1, b_2, ldots, b_n)$，则 $overset{longrightarrow}{A} - overset{longrightarrow}{B} = (a_1 - b_1, a_2 - b_2,
向量减法在三维空间中的几何解释
01
定义
在三维空间中，向量减法同样表示从一个向量中减去另一个向量。
02
几何解释
与平面上的解释类似，但在三维空间中，除了在平面上的移动外，还需
要考虑垂直方向上的移动。
向量减法运算及其几何意义
向量
向量的概念
向量的关系
向表 零 单
量示 向 位
的方 量 向
定法
量
平相 相 行等 反 （向 向 共量 量
义
线
）
讲
向
课 人 ： 邢
量
启 强
2
二、向量的加法：
rr
uuur r uuur r
已知非零向量 a 、b , 在平面内任取一点A，作 AB a, BC b,
uuur r r
讲 课
rr
r r rr r r
人 ： 邢
对任意两个向量a，b，有 || a | | b ||| a b || a | | b |
启 强
3
练习：判断下列命题r 是否r 正确。 ① 或相如反果，模不那相么a等r 的br非的零方向向量必a与与arb, br的其方中向之相一同的
方向相同；
3. 正确熟练地掌握向量减法的三角形法则
(二)重点：向量减法的定义、向量减法的三角形法则
注意：
1、两个向量相减，则表示两个向量起点的字母必须相同
2、差向量的终点指向被减向量的终点
作业:
讲
课
人
：
邢
启 强
18
数学使人聪颖
数学使人严谨
数学使人深刻
数学使人缜密
数学使人坚毅
讲 课 人
数学使人智慧
：
邢
启 强
19
a
b
b
讲
课
人
：
邢
启 强
11
典型例题
例2.已 知 平 行 四 边 形ABCD, AB a, AD b,
D
C
用 a, b 表 示 向 量AC , DB
向量的减法运算及其几何意义 课件
题型二 向量减法法则的运用
【例 2】 (1)向量M→N可以写成：①M→O＋O→N；②M→O－O→N；③ O→M－O→N；④O→N－O→M． 其中正确的是________(填序号)． 解析 ①M→O＋O→N＝M→N；②M→O－O→N＝－O→M－O→N ＝－(O→M＋O→N)≠M→N；③O→M－O→N＝N→M；④O→N－O→M＝M→N， 故填①④．
答案 B
(2)如图所示，已知向量a，b，c，d，求作向量a－b，c－d．
解 如图所示，在平面内任取一点 O， 作O→A＝a，O→B＝b，O→C＝c，O→D＝d． 则 a－b＝B→A，c－d＝D→C．
规律方法 求作两个向量的差向量的两种思路
(1)可以转化为向量的加法来进行，如a－b，可以先作－b，然后作a＋(－b)即可． (2)可以直接用向量减法的三角形法则，即把两向量的起点重合，则差向量为连接两个向量的终点，
题型三 向量减法的应用
【例 3】 如图所示，在五边形 ABCDE 中，若四边形 ACDE 是 平行四边形，且A→B＝a，A→C＝b，A→E＝c，试用向量 a，b，c 表示向量B→D，B→C，B→E，C→D及C→E．
解 ∵四边形 ACDE 是平行四边形， ∴C→D＝A→E＝c， B→C＝A→C－A→B＝b－a， B→E＝A→E－A→B＝c－a， C→E＝A→E－A→C＝c－b， ∴B→D＝B→C＋C→D＝b－a＋c．
答案 ①④
(2)化简：①B→A＋O→D－O→A－B→C； ②(A→C＋B→O＋O→A)－(D→C－D→O－O→B)． 解 ①B→A＋O→D－O→A－B→C＝(B→A－B→C)＋(O→D－O→A) ＝C→A＋A→D＝C→D． ②(A→C＋B→O＋O→A)－(D→C－D→O－O→B)＝A→C＋B→A－O→C＋O→B ＝A→C＋C→O＋O→B＋B→A＝A→B＋B→A＝0．
向量的减法运算ppt课件
法则进行几何表示，那么向量的减法该如何用几何
表示？ B
设 由向量减法的定义知
O D
A C
连接AB，在四边形OCAB中， ∵OB∥CA∴OCAB是平行四边形
∴
二、向量减法的几何意义
思考 ：不借助向量的加法法则你能直接作出
吗？
①将两向量平移,使它们 有相同的起点.
②连接两向量的终点.
③箭头的方向是指向 “被减数”的终点. “共起点，连终点，指向被减向量”.长度相等、方向相反1、相反向量零向量
练习：判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)相反向量就是方向相反的向量．( × ) (2)向量 与 是相反向量．( √ ) (3)相反向量是共线向量．( √ )
2、向量减法 即：减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量.
思考：向量的加法可以用三角形法则或平行四边形
2.2.2 向量减法运算及其几何意义
1.向量加法的三角形法则 2.向量加法的平行四边形法则
首尾相连，起点指向终点. 起点相同，对角为和.
一、向量的减法
向量是否有减法?如何理解向量的减法? 我们知道,减去一个数等于加上这个数的相反数， 如:5-1=5+(-1)
向量的减法是否也有类似的法则？
一架飞机由北京飞往香港,然后再由香港返回北京,我们把北京记作A点, 香港记作B点,那么这架飞机的位移是多少?怎样用向量来表示呢?
“共起点，连终点，指向被减向量”.
“共起点，连终点，指向被减向量”.
平行向量
共线同向
共线向量
共线反向
D C
例3：
如图所示，四边形ACDE是平行四边形，点B是该平行四边形
外一点，且
试用向量
表示向量
向量减法运算及其几何意义
向量减法与向量加法的结合规则
向量加法满足交换律
对于任意向量$vec{A}$、$vec{B}$，有 $vec{A}+vec{B}=vec{B}+vec{A}$。
向量加法满足结合律
对于任意向量$vec{A}$、$vec{B}$、$vec{C}$，有 $(vec{A}+vec{B})+vec{C}=vec{A}+(vec{B}+vec{C})$。
Байду номын сангаас THANK YOU
感谢聆听
向量减法在实际问题中的应用
物理问题
向量减法可以用于解决物理问 题，如速度和加速度的计算、 力的合成与分解等。
导航问题
在导航中，通过计算起点和终 点之间的向量差，可以确定从 一个位置移动到另一个位置的 方向和距离。
机器学习
在机器学习中，向量减法可以 用于计算两个样本之间的差异 ，用于分类、聚类和降维等任 务。
向量减法运算及其几何意义
目
CONTENCT
录
• 向量减法的定义 • 向量减法的性质 • 向量减法的几何意义 • 向量减法的运算规则 • 向量减法的运算实例
01
向量减法的定义
向量减法的数学定义
向量减法是通过在第二个向量的起点绘制一个箭头，该箭头与第 一个向量的箭头在同一直线上，并且具有与第一个向量相反的方 向和长度，从而得到的结果。
04
向量减法的运算规则
向量减法与标量乘法的结合规则
标量乘法满足结合律
对于任意向量$vec{A}$、$vec{B}$和标量 $k$，有$(kvec{A})-vec{B}=k(vec{A}vec{B})$。
VS
标量乘法满足分配律
向量减法运算及其几何意义
在力学中，力的合成与分解可以通过向量减法来描述，例如合力与分力之间的关 系。
03
向量减法的运算规则
向量减法的代数运算
80%
定义
向量减法是通过将一个向量的起 点平移到另一个向量的终点，然 后按照向量加法的规则进行计算 。
100%
性质
向量减法满足交换律和结合律， 即a-b=-(b-a)和(a-b)-c=a(b+c)。
向量减法不满足结合律
$(vec{A} - vec{B}) - vec{C}$不等于$vec{A} (vec{B} - vec{C})$。
向量减法的零向量
若$vec{A} - vec{B} = vec{0}$，则表示$vec{A}$与 $vec{B}$方向相同或相反，且模长相等。
向量减法与加法的关系
向量加法和减法是互为逆运算
$vec{A} + vec{B} = vec{B} + vec{A}$，但$vec{A} - vec{B} neq vec{B} vec{A}$。
向量加法和减法的结合律
$(vec{A} + vec{B}) + vec{C} = vec{A} + (vec{B} + vec{C})$，但$(vec{A} vec{B}) - vec{C} neq vec{A} - (vec{B} - vec{C})$。
数学表示
设$vec{A}$和$vec{B}$是两个向量，则$vec{A} - vec{B}$表示从 $vec{B}$的起点沿着$vec{B}$的方向移动到$vec{A}$的起点，再 反向延长到原点所形成的向量。
向量减法的性质
向量减法不满足交换律
$vec{A} - vec{B}$不等于$vec{B} - vec{A}$。
向量的减法运算及其几何意义
（2）AB AC DB C
A.AD B.AC C.CD D.DC
例3 : 如图, 平行四边形ABCD中, AB a, AD b, 试用a,b表
示向量AC, DB.
D
C
b
解: AC AB AD a b
A
a
B
DB AB AD a b
证明：b c a OA
D
C
c
b
O
Aa
B
证明：b c DA OC OC CB OB b c a OB AB OB BA OA
例5.在四边形ABCD中，设AB
a,
AD
b,
BC
c,
试用a,
b,
c表示向量CD.
A
思考1：两个相反向量的和向量是什么？向量a的相反向量
可以怎样表示？ －a
思考2：－a的相反向量是什么？零向量的相反向量是什么？
－（－a）=a 规定：零向量的相反向量仍是零向量.
思考3：在实数的运算中，减去一个数等于加上这个数的
相反数.据此原理，向量a－b可以怎样理解？
定义：a－b＝a＋（－b）
思考4：两个向量的差还是一个向量吗？
3. 作图验证： (a b) a b .
B
C
b
D
a .
O
ab b
ab
a
A
F
E
练习2 (1)化简AB AC BD CD
解 : 原式 CB BD CD CD CD 0
(2)化简OA OC BO CO
解 : 原式 (OA BO) (OC CO) (OA OB) 0 BA
2.2.2向量减法运算及其几何意义
a a
AB BA, 在计算中常用
结论： （1） (a)
a 0
（2）零向量的相反向量仍是零向量,
0 0
(3)a (a) (a) a
（4）如果是a,b互为相反的向量，那么
a b , b a, a b 0
二、向量减法： 定义： a b a ( b) 即：减去一个向量相当于加上这个向量的 相反向量。 把 a b 也叫做 也是一个向量。
解:(1) D
船实际航行速度
C
船速 A
B 水速
(2)在Rt ABC中， | AB | 2,| BC | 2 3
| AC | | AB |2 | BC |2
22 (2 3) 2 4
D C
2 3 tan CAB 3 2
CAB 60 .
A
B
答：船实际航行速度为4km/h,方向与水的流速间的夹角为60º 。
变式训练 四 如图,
你能用
ABCD 中, AO = a,OB = b,
D C
O
a ,b 表示向量AB和AD吗?
a
A
解:AB=a + b; AD=a - b.
b
B
练习2
填空：
重要提示
AB BA
DB AB AD _____; 你能将减法运 CA 算转化为加法 BA BC ______; 运算吗？ AC BC BA ______;
AD OD OA ______;
BA OA OB ______ .
练习3
(1)化简AB AC BD CD 解 : 原式 CB BD CD CD CD 0
向量减法运算及其几何意义 课件
【审题路线图】1.向量的加减运算⇒向量加减法的三 角形法则⇒化简. 2.看到作图⇒向量加减法的三角形法则⇒作图的一般步 骤⇒作图.
【解析】1.选B.根据题意,得 AB BC AD AC AD DC. 2.方法一:如图①,在平面内任取一点O,作 OA＝a，AB＝b， 则 OB＝a＋再b作， 则OC＝c， CB＝a＋b－c.
【方法技巧】 1.向量减法运算的常用方法
2.向量加减法化简的两种形式 (1)首尾相连且为和. (2)起点相同且为差. 解题时要注意观察是否有这两种形式,同时注意逆向应 用.
3.与图形相关的向量运算化简 首先要利用向量加减的运算法则、运算律,其次要分析 图形的性质,通过图形中向量的相等、平行等关系辅助 化简运算.
方法二:如图②,在平面内任取一点O,作 OA＝a，AB＝b，
则OB＝a＋再b作， 连CB接＝cO，C,则
OC＝a＋b－c.
【方法技巧】求作两个向量的差向量的两种思路 (1)可以转化为向量的加法来进行,如a-b,可以先作-b, 然后作a+(-b)即可. (2)可以直接用向量减法的三角形法则,即把两向量的 起点重合,则差向量为连接两个向量的终点,指向被减 向量的终点的向量.
3.设a表示向西走10km,b表示向北走10 3 km,则a-b表 示( ) A.向南偏西30°走20 km B.向北偏西30°走20 km C.向南偏东30°走20 km D.向北偏东30°走20 km 【解析】选A.由减法的三角形法则易求得.
4. PA PB =________. 【解析】 PA PB BA. 答案:
3.如图,已知O为平行四边形ABCD内一点, OA a,OB b, OC c, 则 OD =________.
【审题路线图】1.图形中的向量化简运算⇒图形的性
向量的减法与几何意义
性质
向量减法不满足交换律，即$vec{A} - vec{B}$和$vec{B} - vec{A}$不一 定相等。
向量减法是可结合的，即$(vec{A} vec{B}) - vec{C} = vec{A} - (vec{B} vec{C})$。
方向相同的向量相减
方向相同的两个向量相减，结果的模长等于 Байду номын сангаас向量模长之差，方向与被减向量相同。
向量减法的运算律
02
01
03
向量减法的结合律
$a - b - c = a - (b + c)$
向量减法的交换律
$a - b = b - a$
向量减法的分配律
$(a + b) - c = a - c + b - c$
04
向量减法的注意事项
零向量的特殊性
零向量作为向量减法的基准
任何向量与零向量相减，结果仍为原向量。
零向量的方向不确定
零向量没有确定的方向，可以视为任意方向。
零向量的模长为0
零向量的模长为0，表示它没有大小。
向量减法的方向性
方向相反的向量相减
方向相反的两个向量相减，结果的模长等于 两向量模长之和，方向与被减向量相反。
VS
详细描述
在向量加减法中，向量的长度或模是一个 重要的概念。向量的模长是指向量的长度 或大小，通常用双箭头表示。向量的模长 可以通过勾股定理计算得出，即向量的大 小等于向量坐标的平方和的平方根。在向 量加减法中，向量的模长可能会发生变化 ，这取决于向量的方向和大小。
03
向量减法的应用
速度与加速度的计算
平面向量向量减法运算及其几何意义
平面向量向量减法运算及其几何意义
平面向量的减法运算是指将一个向量减去另一个向量，即将一个向量
从另一个向量的起点处移至终点处的操作。
设有平面上的两个向量u和v，其起点坐标分别为A和B，终点坐标
分别为C和D。
则用向量表示的字母表示如下：
向量u：AB→= vec(AB)
向量v：CD→= vec(CD)
平面向量减法运算定义为：用终点坐标表示的第二个向量反向平移至
起点坐标表示的第一个向量上。
即向量差u-v定义为：AE→= vec(AE), 其中E为D向量反向平移到
B点得到的点。
几何意义上来说，平面向量减法运算的结果是一个新的向量，它表示
了以第一个向量作为起点、第二个向量作为终点的向量。
为了更好地理解平面向量减法运算及其几何意义，可以从以下两个方
面加以说明：
1.矢量相加示意图：
首先，在平面上绘制向量u和v的起点A和C，终点B和D，并连接
AB和CD。
然后，选择一个与向量v等长，且与向量AB平行的向量，将其
起点放在D点，连接BD。
最后，将向量BD平行平移至A点，得到向量AE，即为u-v的结果。
2.减法与加法的关系：
平面向量减法运算可以理解为向量加法的逆运算。
也就是说，若u-v=AB→，则有u=v+AB→。
换句话说，当我们需要求u-v时，可以通过已知向量v和向量AB的终点坐标C，按照向量加法的定义，将向量v平移至C点得到向量CD→，然后连接AC，即可得到u=AC→。
总结起来，平面向量减法运算的几何意义是将第二个向量反向平移至第一个向量的起点处，得到一个新的向量。
在表示和操作上，减法与加法有着密切的关系。
第二章 2.2.2 向量减法运算及其几何意义
2．2.2 向量减法运算及其几何意义学习目标 1.理解相反向量的含义，向量减法的意义及减法法则.2.掌握向量减法的几何意义.3.能熟练地进行向量的加、减运算．知识点一 相反向量1．定义：与a 长度相等，方向相反的向量，叫做a 的相反向量，记作－a . 2．性质(1)对于相反向量有：a ＋(－a )＝(－a )＋a ＝0.(2)若a ，b 互为相反向量，则a ＝－b ，b ＝－a ，a ＋b ＝0. (3)零向量的相反向量仍是零向量． 知识点二 向量的减法1．定义：a －b ＝a ＋(－b )，即减去一个向量，相当于加上这个向量的相反向量，求两个向量差的运算，叫做向量的减法．2.几何意义：在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则向量a －b ＝BA →，如图所示．3．文字叙述：如果把两个向量的起点放在一起，那么这两个向量的差是以减向量的终点为起点，被减向量的终点为终点的向量．思考 若a ，b 是不共线向量，|a ＋b |与|a －b |的几何意义分别是什么？ 答案 如图所示，设OA →＝a ，OB →＝b .根据向量加法的平行四边形法则和向量减法的三角形法则，有OC →＝a ＋b ，BA →＝a －b .因为四边形OACB 是平行四边形，所以|a ＋b |＝|OC →|，|a －b |＝|BA →|，分别是以OA ，OB 为邻边的平行四边形的两条对角线的长．1．相反向量就是方向相反的向量．( × )提示 相反向量的方向相反，大小相等；方向相反的向量只是方向相反，大小没有关系．2．向量AB →与BA →是相反向量．( √ ) 提示 AB →与BA →大小相等、方向相反． 3．－AB →＝BA →，－(－a )＝a .( √ ) 提示 根据相反向量的定义可知其正确． 4．两个相等向量之差等于0.( × ) 提示 两个相等向量之差等于0.题型一 向量减法的几何作图例1 如图，已知向量a ，b ，c 不共线，求作向量a ＋b －c .考点 向量减法的定义及其几何意义 题点 求作差向量解 方法一 如图①，在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，AB →＝b ，则OB →＝a ＋b ，再作OC →＝c ，则CB →＝a ＋b －c .方法二 如图②，在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，AB →＝b ，则OB →＝a ＋b ，再作CB →＝c ，连接OC ，则OC →＝a ＋b －c .引申探究若本例条件不变，则a －b －c 如何作？ 解 如图，在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则BA →＝a －b .再作CA →＝c ，则BC →＝a －b －c . 反思感悟 求作两个向量的差向量时，当两个向量有共同始点，直接连接两个向量的终点，并指向被减向量，就得到两个向量的差向量；若两个向量的始点不重合，先通过平移使它们的始点重合，再作出差向量．跟踪训练1 如图所示，O 为△ABC 内一点，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c .求作：b ＋c －a .考点 向量减法的定义及其几何意义 题点 求作差向量解 方法一 以OB →，OC →为邻边作▱OBDC ，连接OD ，AD ，则OD →＝OB →＋OC →＝b ＋c ， AD →＝OD →－OA →＝b ＋c －a . 方法二 作CD →＝OB →＝b ，连接AD ，则AC →＝OC →－OA →＝c －a ， AD →＝AC →＋CD →＝c －a ＋b ＝b ＋c －a . 题型二 向量减法法则的应用 例2 化简下列式子： (1)NQ →－PQ →－NM →－MP →；(2)(AB →－CD →)－(AC →－BD →)．考点 向量加减法的综合运算及应用 题点 利用向量的加减法化简向量解 (1)原式＝NP →＋MN →－MP →＝NP →＋PN →＝NP →－NP →＝0. (2)原式＝AB →－CD →－AC →＋BD →＝(AB →－AC →)＋(DC →－DB →)＝CB →＋BC →＝0.反思感悟 向量减法的三角形法则的内容是：两向量相减，表示两向量起点的字母必须相同，这样两向量的差向量以减向量的终点字母为起点，以被减向量的终点字母为终点． 跟踪训练2 化简：(1)(BA →－BC →)－(ED →－EC →)； (2)(AC →＋BO →＋OA →)－(DC →－DO →－OB →)． 考点 向量加减法的综合运算及应用 题点 利用向量的加、减法化简向量 解 (1)(BA →－BC →)－(ED →－EC →) ＝CA →－CD →＝DA →.(2)(AC →＋BO →＋OA →)－(DC →－DO →－OB →) ＝AC →＋BA →－DC →＋(DO →＋OB →) ＝AC →＋BA →－DC →＋DB →＝BC →－DC →＋DB →＝BC →＋CD →＋DB → ＝BC →＋CB →＝0.利用已知向量表示未知向量典例 如图，已知O 为平行四边形ABCD 内一点，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，则OD →＝________.(用a ，b ，c 表示)答案 a －b ＋c 解析 因为BA →＝CD →，BA →＝OA →－OB →，CD →＝OD →－OC →，所以OD →－OC →＝OA →－OB →，OD →＝OA →－OB →＋OC →， 所以OD →＝a －b ＋c .[素养评析] (1)本题主要考查平面向量的加法、减法运算，利用已知向量表示未知向量，这正体现了数学运算的核心素养．(2)解决此类问题要充分利用平面几何知识，灵活运用平行四边形法则和三角形法则.1.如图所示，在▱ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，则用a ，b 表示向量AC →和BD →分别是( )A ．a ＋b 和a －bB ．a ＋b 和b －aC ．a －b 和b －aD ．b －a 和b ＋a考点 向量加减法的综合运算及应用 题点 用已知向量表示未知向量 答案 B解析 由向量的加法、减法法则，得 AC →＝AB →＋AD →＝a ＋b ， BD →＝AD →－AB →＝b －a . 故选B.2.OP →－QP →＋PS →＋SP →等于( ) A.QP → B.OQ → C.SP → D.SQ →考点 向量加减法的综合运算及应用 题点 利用向量的加、减法化简向量 答案 B3．下列等式成立的个数是( )①a ＋b ＝b ＋a ；②a －b ＝b －a ；③0－a ＝－a ；④－(－a )＝a ；⑤a ＋(－a )＝0. A ．5 B ．4 C ．3 D ．2考点 向量加减法的综合运算及应用 题点 利用向量的加、减法化简向量答案 B解析 由向量加、减法的定义可知，①③④⑤正确．4．若向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |＝22，|a |＝3，则|b |＝__________. 考点 向量减法的定义及其几何意义的应用 题点 向量、和向量与差向量的模之间的特殊关系 答案5解析 如图，在平面内任取一点A ，作AD →＝a ，AB →＝b ，以AB ，AD 为邻边作平行四边形，则AC →＝a ＋b ，BD →＝a －b .又因为|a ＋b |＝|a －b |， 所以四边形ABCD 为矩形， 即△ABD 是直角三角形，在Rt △ABD 中，|BD →|＝|a －b |＝22，|AD →|＝|a |＝3， 所以|b |＝|AB →|＝(22)2－(3)2＝ 5.5.如图，在五边形ABCDE 中，若四边形ACDE 是平行四边形，且AB →＝a ，AC →＝b ，AE →＝c ，试用a ，b ，c 表示向量BD →，BC →，BE →，CD →及CE →.考点 向量加减法的综合运算及应用 题点 用已知向量表示未知向量 解 ∵四边形ACDE 是平行四边形， ∴CD →＝AE →＝c ， BC →＝AC →－AB →＝b －a ， BE →＝AE →－AB →＝c －a ， CE →＝AE →－AC →＝c －b ， ∴BD →＝BC →＋CD →＝b －a ＋c .1．向量减法的实质是向量加法的逆运算．利用相反向量的定义，－AB →＝BA →就可以把减法转化为加法．即减去一个向量等于加上这个向量的相反向量．如a －b ＝a ＋(－b )．2．在用三角形法则作向量减法时，要注意“差向量连接两向量的终点，箭头指向被减向量”．解题时要结合图形，准确判断，防止混淆．3．以平行四边形ABCD 的两邻边AB ，AD 分别表示向量AB →＝a ，AD →＝b ，则两条对角线表示的向量为AC →＝a ＋b ，BD →＝b －a ，DB →＝a －b ，这一结论在以后应用非常广泛，应该加强理解并掌握．一、选择题1．化简PM →－PN →＋MN →所得的结果是( ) A.MP → B.NP → C ．0 D.MN → 考点 向量加减法的综合运算及应用 题点 利用向量的加、减法化简向量 答案 C解析 PM →－PN →＋MN →＝NM →＋MN →＝0.2．在平行四边形ABCD 中，AB →＋CB →－DC →等于( ) A.BC → B.AC → C.DA → D.BD → 考点 向量加减法的综合运算及应用 题点 利用向量的加、减法化简向量 答案 C解析 在平行四边形ABCD 中，AB →＝DC →，CB →＝DA →， 所以AB →＋CB →－DC →＝(AB →－DC →)＋CB →＝DA →.3．在边长为1的正三角形ABC 中，|AB →－BC →|的值为( ) A ．1 B ．2 C.32D. 3 考点 向量加减法的综合运算及应用 题点 利用向量的加减法运算求向量的模 答案 D解析 如图，作菱形ABCD ，则|AB →－BC →|＝|AB →－AD →|＝|DB →|＝ 3.4．下列四个式子中可以化简为AB →的是( )①AC →＋CD →－BD →；②AC →－CB →；③OA →＋OB →；④OB →－OA →. A ．①④ B ．①② C ．②③ D ．③④ 考点 向量加减法的综合运算及应用 题点 利用向量的加、减法化简向量 答案 A解析 因为AC →＋CD →－BD →＝AD →－BD →＝AD →＋DB →＝AB →，所以①正确，排除C ，D ；因为OB →－OA →＝AB →，所以④正确，排除B ，故选A. 5.如图，D ，E ，F 分别是△ABC 的边AB ，BC ，CA 的中点，则( )A.AD →＋BE →＋CF →＝0B.BD →－CF →＋DF →＝0C.AD →＋CE →－CF →＝0D.BD →－BE →－FC →＝0考点 向量加减法的综合运算及应用 题点 几何图形中的向量加、减法运算 答案 A解析 AD →＋BE →＋CF →＝12AB →＋12BC →＋12CA →＝12(AB →＋BC →＋CA →)＝0.6.如图，在四边形ABCD 中，设AB →＝a ，AD →＝b ，BC →＝c ，则DC →等于( )A ．a －b ＋cB ．b －(a ＋c )C ．a ＋b ＋cD ．b －a ＋c考点 向量加减法的综合运算及应用题点 用已知向量表示未知向量 答案 A7．平面上有三点A ，B ，C ，设m ＝AB →＋BC →，n ＝AB →－BC →，若m ，n 的长度恰好相等，则( ) A ．A ，B ，C 三点必在同一直线上B ．△ABC 必为等腰三角形且∠ABC 为顶角 C ．△ABC 必为直角三角形且∠ABC ＝90°D ．△ABC 必为等腰直角三角形考点 向量减法的定义及其几何意义的应用 题点 向量、和向量与差向量的模之间的特殊关系 答案 C解析 如图所示，作▱ABCD ，则AB →＋BC →＝AC →，AB →－BC →＝AB →－AD →＝DB →.∵|m |＝|n |，∴|AC →|＝|DB →|. ∴▱ABCD 为矩形，∴△ABC 为直角三角形，∠ABC ＝90°. 8．若|AB →|＝5，|AC →|＝8，则|BC →|的取值范围是( ) A ．[3,8] B ．(3,8) C ．[3,13]D ．(3,13)考点 向量减法的定义及几何意义 题点 向量减法的三角不等式 答案 C解析 ∵|BC →|＝|AC →－AB →|且||AC →|－|AB →||≤|AC →－AB →|≤|A C →|＋|AB →|， ∴3≤|AC →－AB →|≤13，∴3≤|BC →|≤13. 二、填空题9．化简：(1)PB →＋OP →－OB →＝________；(2)OB →－OA →－OC →－CO →＝________. 考点 向量加减法的综合运算及应用 题点 利用向量的加、减法化简向量 答案 (1)0 (2)AB →解析 (1)PB →＋OP →－OB →＝PB →＋BP →＝0； (2)OB →－OA →－OC →－CO →＝(OB →－OA →)－(OC →＋CO →)＝AB →－0＝AB →.10．已知OA →＝a ，OB →＝b ，若|OA →|＝12，|OB →|＝5，且∠AOB ＝90°，则|a －b |＝________. 考点 向量加减法的综合运算及应用 题点 利用向量的加减法运算求向量的模 答案 13解析 ∵|OA →|＝12，|OB →|＝5，∠AOB ＝90°， ∴|OA →|2＋|OB →|2＝|AB →|2，∴|AB →|＝13. ∵OA →＝a ，OB →＝b ， ∴a －b ＝OA →－OB →＝BA →， ∴|a －b |＝|BA →|＝13.11.如图所示，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AC 与BD 交于点O ，则BA →－BC →－OA →＋OD →＋DA →＝________.考点 向量加减法的综合运算及应用 题点 已知图形中向量的加、减法运算 答案 CA →12．设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，且|BC →|＝4，|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，则|AM →|＝________.考点 向量减法的定义及其几何意义的应用 题点 向量、和向量与差向量的模之间的特殊关系 答案 2解析 以AB ，AC 为邻边作平行四边形ACDB ，由向量加减法几何意义可知，AD →＝AB →＋AC →，CB →＝AB →－AC →，∵|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，∴|AD →|＝|CB →|，又|BC →|＝4，M 是线段BC 的中点，∴|AM →|＝12|AD →|＝12|BC →|＝2.三、解答题13.如图所示，已知正方形ABCD 的边长为1，AB →＝a ，BC →＝b ，AC →＝c ，试求：(1)|a ＋b ＋c |；(2)|a －b ＋c |.考点 向量加减法的综合运算及应用题点 利用向量的加、减法运算求向量的模解 (1)由已知得a ＋b ＝AB →＋BC →＝AC →，∵AC →＝c ，∴延长AC 到E ，使|CE →|＝|AC →|.则a ＋b ＋c ＝AE →，且|AE →|＝2 2.∴|a ＋b ＋c |＝2 2.(2)作BF →＝AC →，连接CF ，则DB →＋BF →＝DF →，而DB →＝AB →－AD →＝AB →－BC →＝a －b ，∴a －b ＋c ＝DB →＋BF →＝DF →且|DF →|＝2.∴|a －b ＋c |＝2.14.如图所示，O 是平行四边形ABCD 的对角线AC ，BD 的交点，设AB →＝a ，DA →＝b ，OC →＝c .证明：b ＋c －a ＝OA →.考点 向量加减法的综合运算及应用题点 用已知向量表示未知向量证明 b ＋c －a ＝DA →＋OC →－AB →＝CB →＋OC →－AB →＝OB →－AB →＝OB →＋BA →＝OA →.15．已知|a |＝8，|b |＝6，且|a ＋b |＝|a －b |，求|a －b |.解 设AB →＝a ，AD →＝b ，以AB ，AD 为邻边作平行四边形ABCD ，如图所示．则AC →＝a ＋b ，DB →＝a －b ，所以|AC →|＝|DB →|.又因为四边形ABCD 为平行四边形，所以四边形ABCD 为矩形，故AD ⊥AB .在Rt △DAB 中，|AB →|＝8，|AD →|＝6，由勾股定理得|DB →|＝|AB →|2＋|AD →|2＝82＋62＝10. 所以|a －b |＝10.。
向量的减法运算及其几何意义
向量减法是通过将一个向量的起点平移到另一个向量的终点，然后按照相反方向延长得到的。
表示方法
用“-”号表示向量减法，例如，向量AB - 向量CD = 向量AD。
向量减法的几何意义
减法运算的几何意义是将一个向量平 移到另一个向量的终点，然后按照相 反方向延长。
在坐标系中，向量减法的几何意义表 现为向量坐标的相减。
计算方法
对于任意向量a，其模的计算公式为 |a| = √(x^2 + y^2)，其中x和y分别 是向量在x轴和y轴上的分量。
向量的表示方法
坐标表示法
在二维平面中，向量可以用有序对(x, y)表示；在三维空间中，向 量可以用有序三元组(x, y, z)表示。
箭头表示法
在平面或空间中，用带箭头的线段表示向量，箭头的指向代表向 量的方向。
向量加法的性质
交换律
向量加法满足交换律，即a+b=b+a。
无单位元
向量加法没有单位元，即不存在一个向量与 任何向量相加都等于该向量本身。
结合律
向量加法满足结合律，即 (a+b)+c=a+(b+c)。
无逆元
向量加法没有逆元，即不存在一个向量与任 何向量相加都等于零向量。
03
向量的减法运算
向量减法的定义
02
向量的加法运算
向量加法的定义
定义
向量加法是指将两个向量首尾相接，形成一个新的向量。表示方法用三角源自法则或平行四边形法则表示向量加法。
向量加法的几何意义
平行四边形法则
将两个向量首尾相接，形成一个平行四边形，新向量为对角 线。
三角形法则
将第一个向量延长至终点，与第二个向量起点相接，形成三 角形，新向量为对角线。
向量减法运算及其几何意义汇总
向量减法运算及其几何意义汇总向量减法是数学中一种常见的运算方式，用于计算两个向量之间的差值。
它在几何上有重要的意义，可以表示位移、速度、加速度等物理量。
下面将详细介绍向量减法的定义、计算方法以及其几何意义。
1.向量减法的定义向量减法是指通过对两个向量进行相应元素之间的减法运算，得到一个新的向量。
设有两个向量A和A，它们的减法记作A-A，等于将向量A取反后与向量A进行加法运算。
即：A-A=A+(-A)2.向量减法的计算方法向量的减法通过对应分量的相减来完成。
设有两个向量A=(A1,A2,A3)和A=(A1,A2,A3)，则向量减法的计算公式为：A-A=(A1-A1,A2-A2,A3-A3)例如，对于向量A=(3,4,5)和A=(1,2,3)，它们的减法运算结果为：A-A=(3-1,4-2,5-3)=(2,2,2)3.向量减法的几何意义向量减法在几何上有重要的意义，可以表示位移、速度、加速度等物理量。
下面分别介绍它们的几何意义：3.1位移位移可以用向量来表示，通过一个点从起始位置到达终点位置的位移向量。
向量减法可以用来计算两个位置之间的位移向量。
设有两个位置A 和A，它们的坐标表示分别为A(A1,A1,A1)和A(A2,A2,A2)，则A-A即为A到A的位移向量。
例如，若A(1,2,3)为起始位置，A(4,6,8)为终点位置，则位移向量A-A=(4-1,6-2,8-3)=(3,4,5)。
3.2速度速度是定义为单位时间内位移的向量，可以用向量来表示。
当物体从位置A移动到位置A时，所产生的平均速度向量为A-A，即终点位置向量减去起始位置向量。
通过向量减法可以计算得到物体在单位时间内的平均速度向量。
例如，若物体从A(1,2,3)移动到A(4,6,8)，所产生的平均速度向量为A-A=(4-1,6-2,8-3)=(3,4,5)。
3.3加速度加速度是定义为单位时间内速度的改变率，也可以用向量来表示。
当物体从位置A移动到位置A时，速度变化的向量为终点速度向量减去起始速度向量。
向量的线性运算：减法
向量减法运算中的注意事项
注意向量的方向
在进行向量减法运算时，需要注意被减向量和减向量的方向。如果方向不一致，需要先进 行方向调整再进行减法运算。
注意向量的维度
被减向量和减向量必须具有相同的维度才能进行减法运算。如果维度不同，需要先进行维 度调整再进行减法运算。
注意结果的合理性
在进行向量减法运算后，需要检查得到的结果是否合理。例如，如果得到的结果向量为零 向量或不合理向量（如模长为负数），则需要重新检查计算过程并找出错误原因。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ位移的分解
当已知质点的合位移和其中一个分位移时， 可以通过向量的减法运算求出另一个分位移。 同样地，两个分位移的向量差即为质点的位 移变化量。
05
向量减法的计算技巧与注意
事项
向量减法的计算步骤
确定被减向量和减向量
在进行向量减法运算时，首先需要确定被减向量和减向量，即明 确要进行减法运算的两个向量。
向量的线性运算：减 法
• 向量减法的基本概念 • 向量减法的运算规则 • 向量减法在几何中的应用 • 向量减法在物理中的应用 • 向量减法的计算技巧与注意事项
目录
01
向量减法的基本概念
向量减法的定义
向量减法定义
设有两个向量a与b，它们的差a b是一个向量，其方向与a、b的方 向有关，大小等于a、b的大小之差。
坐标运算性质
坐标运算具有直观性和便捷性，方便进行向量的加减、数乘 等运算。同时，坐标运算也遵循向量加法的交换律和结合律 。
03
向量减法在几何中的应用
求解两点的距离
向量减法与距离公式
在二维或三维空间中，两点间的距离 可以通过对应向量的减法运算和模长 计算得到。
具体应用
向量的减法运算及其几何意义
向量的减法运算及其几何意义设有两个向量A和B，分别表示为A=(a1,a2,a3)和B=(b1,b2,b3)。
则A减去B的结果为一个新的向量C，表示为C=(a1-b1,a2-b2,a3-b3)。
例如，考虑向量A=(3,2)和B=(4,1)。
要计算A减去B，我们将A的分量减去B的分量，得到C=(3-4,2-1)=(-1,1)。
几何上，向量的减法运算可以通过向量的几何表示进行解释。
向量可以用箭头来表示，箭头的方向表示向量的方向，箭头的长度则表示向量的大小。
要进行向量的减法，在数学坐标系上，我们先将第一个向量A的起点放置在坐标原点，然后将A的尖端移动到相应的位置。
然后，我们将第二个向量B的起点放置在A的尖端，将B的尖端移动到相应的位置。
最后，连接A的起点和B的尖端，我们得到的向量就是A减去B的结果。
例如，在数学坐标系中，考虑向量A=(3,2)和B=(4,1)。
首先，将A 的起点放在原点，将A的尖端移动到坐标(3,2)的位置。
然后，将B的起点放在A的尖端，将B的尖端移动到坐标(4,1)的位置。
最后，连接A的起点和B的尖端，我们得到的向量就是A减去B的结果，即向量C=(-1,1)。
1.平移：向量的减法就好比是将一个向量平移一段距离再固定终点。
例如，在上述示例中，向量A减去向量B后得到向量C，可以看作是将向量A从原来的位置平移了一段距离再固定终点。
2.相反方向：向量的减法还可以理解为两个向量的相反方向的叠加。
当一个向量与另一个向量做减法时，可以将其中一个向量旋转180度，然后将它与另一个向量相加。
这个运算结果的向量方向与两个向量相反，且长度等于两个向量的差的长度。
3.差向量：向量的减法得到的结果称为差向量，它表示由一个向量指向另一个向量的方向和大小。
差向量的起点与被减去的向量的起点一致，终点与减去的向量的终点一致。
向量的减法在几何学、物理学、工程学等领域都有广泛的应用。
在几何学中，向量的减法常用于表示点的位移、距离、速度和加速度等概念。
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a b a (b)
定义：求两个向量差的运算叫向量的减法。 rr r r
表示： a b a (b),
说明：r １、与 b 长r 度相等、方向相反的向量，
叫做 b 的相反向量
２、零向量的相反向量仍是零向量 ３、任一向量和它相反向量的和是零向量
练习
r
ar
0
r 0
r
r
b
a
r 0
已知a,b,根据减法的定义，如何作出a b呢？
D
A
A
B
小结作业
1.向量概念源于物理，位移的合成是向量 加法三角形法则的物理模型，力的合成是 向量加法平行四边形法则的物理模型.
2.任意多个向量可以相加，并可以按任 意次序、组合进行.若平移这些向量使其 首尾相接，则以第一个向量的起点为起 点，最后一个向量的终点为终点的向量， 即为这些向量的和.
温故知新
探究一：向量加法的几何运算法则
思考1：如图，某人从点A到点B，再从点B按 原方向到点C，则两次位移的和可用哪个向 量表示？由此可得什么结论？
A
BC
思考2：如图，某人从点A到点B，再从点B按 反方向到点C，则两次位移的和可用哪个向 量表示？由此可得什么结论？
CA
B
思考3：如图，某人从点A到点B，再从点 B改变方向到点C，则两次位移的和可用 哪个向量表示？由此可得什么结论？
a
ｂ
B
C
ｂ
a＋b
O
a
A
思考8：用三角形法则和平行四边形法 则求作两个向量的和向量，其作图特点 分别如何？
三角形法则：首尾相接连端点； 平行四边形法则：起点相同连对角.
探究二：向量加法的代数运算性质
思考1：零向量0与任一向量a可以相加 吗？ 规定：a＋0=0＋a=a，
思考2：若向量a与b为相反向量，则a＋ b等于什么？反之成立吗？
例4：如图平行四边形ABCD, AB a,
uuur r uuur r
DA b,OC c,
D
C
r r r uuur 证明：b c a OA
b
c
O
A
B
a
证明：b c DA OC OC CB OB
b c a OB AB OB BA OA
练习1
1.如图，已知a,b,求作a b.
结合律吗？如何检验？
C
a+b+c
c
a＋b O
B
（a＋b）＋c
a
ｂ
A
a＋（b＋c）
思考7： 等于什么向量？
等于什么向量？
理论迁移
例 长江两岸之间没有大桥的地方，常常 通过轮渡进行运输.如图所示，一艘船从长 江南岸A点出发，以5km/h的速度向垂直于 对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东 2km/h. （1）使用向量表示江水速度、船速以及船 的实际航行的速度； （2）求船实际航行速度的大小与方C向.
a与b 为相反向量
a＋b=0
思考3：若向量a与b同向，则向量a＋b 的方向如何？若向量a与b反向，则向量 a＋b的方向如何？
思考4：考察下列各图，|a＋b|与|a|＋
|b|的大小关系如何？|a＋b|与|a|－|b|的
大小关系如何？
a
C
a
ｂ
a＋b ｂ
ｂ
A aB
a＋b
a＋b
|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当a与b同向时取 等号；
2.共线反向
a
r b
AC
B
B
AC
例１：
• 如图，已知向量a,b,c,d, 求作向量a-b,c-d.
bd
a
c
rr B
ab
A b
a
O
D r ur d cd
C c
例2：选择题
uuur uuur uuur
（1）AB BC AD D
uuur
uuur
uuur
( A) AD (B)CD (C)DB
uuur (D)DC
a
b
B
b
ab
b O a
A
C
D
rr
方法：平移向量a, b, 使它们起点相同，那么
r
r
rr
b的终点指向a的终点的向量就是a b.
二、向量减法的三角形法则
A
.a
O
ab
B
b
注意： 1、两个向量相减，则表示两个向量起点的字母必须相同 2、差向量的终点指向被减向量的终点
向量的减法
•特殊情况
1.共线同向
ar b
uuur uuur uuur
（2）AB AC DB C
uuur
uuur
uuur
( A) AD (B) AC (C)CD
uuur (D)DC
例3：如图，平行四边形ABCD，AB=a，
AD=b，用a、b表示向量AC、DB。
D
C
b
Aa
B
注意向量的方向，向量 AC=a+b,向量DB=a-b
uuur r
a
B
(2)以点A为起点以向量a、b为邻边作平行
四边形ABCD.即AD＝BC＝a,AB=DC=b ；
（3）则以点A为起点的对角线AC＝a+b.
注意起点相同.共线向量不适用
一、走进新课
uur
uur
已知：两个力的合力为 F 其中一个力为 F1
uur
求：另一个力 F2
F F2
F1
减去一个向量等于加上这个向量的相反向量
1、向量加法的三角形法则
A
B
a a a a a a a a aa
注意：
b
b b b bO b
b
bb
a+b
各向量“首尾相连”，和向量由第一个向 量的起点指向最后一个向量的终点.
2、向量加法的平行四边形法则 D
a a a a a a a a a a a+b
bb
b
A
b
b
作法:(1)在平面内任取一点A；
bC
示橡皮条在一个力F的作用下，沿相同
方向伸长了相同长度.从力学的观点分
析，力F与F1、F2之间的关系如何？
F1
M
C
EO
F1 F
图1
F2
F2
M
F
EO
图2
F=F1+F2
思考6：人在河中游泳，人的游速为 水流速度为 ，那么人在水中的实际 速度 与 、 之间的关系如何？
O
B
A
C
思考7：上述求两个向量和的方法，称为 向量加法的平行四边形法则.对于下列两 个向量a与b，如何用平行四边形法则求 其和向量？
(二)重点
重点：向量减法的定义、向量减法的三角形法则
C
O
D b
`
120o
a
B
A
解：以AB、AD为邻边作平行四边形ABCD，
由于 | AD || AB | 3，故此四边形为菱形
由向量的加减法知
AC
a
b，DB
a
b
故
|
AC
||
a
b
|
，| DB
||
a
b|
D
因为DAB 120O，所以DAC 60O b
|a＋b|≥||a|－|b||，当且仅当a与b反向时取 等号.
思考5：实数的加法运算满足交换律，
即对任意a，b∈R，都有a＋b=b＋a.那
么向量的加法也满足交换律吗？如何检
验？
a B
ｂ a＋b
C
ｂ
O
a
A
a＋b
b＋a
思考6：实数的加法运算满足结合律，
即对任意a，b，c∈R，都有（a＋b）＋
c=a＋（b＋c）.那么向量的加法也满足
C
O
12`0o a B
A
所以ADC是正三角形，则 | AC | 3
由于菱形对角线互相垂直平分,所以AOD是直角三角形，
uuur uuur | OD || AD | sin 60o 3
33 3
所以
|
a
b |
3，| a
b
2 |
3
2 3
3.两个向量的和的模不大于这两个 向量的模的和，这是一个不等式性 质，解题中具有一定的功能作用
C
A
B
思考4：上述分析表明，两个向量可以相加， 并且两个向量的和还是一个向量.一般地， 求两个向量和的运算，叫做向量的加法.上 述求两个向量和的方法，称为向量加法的三 角形法则.对于下列两个向量a与b，如何用 三角形法则求其和向量？
a
ｂ
C
a＋b
ｂ
A
a
B
思考5：图1表示橡皮条在两个力F1和F2 的作用下，沿MC方向伸长了EO；图2表
（1）
a
（2）
a
b
b
（3）
a
AC BD CD
解 : 原式 CB BD CD CD CD 0
(2)化简OA OC BO CO
解 : 原式 (OA BO) (OC CO) (OA OB) 0 BA
小结:
(一)知识
1．理解相反向量的概念 2. 理解向量减法的定义， 3. 正确熟练地掌握向量减法的三角形法则
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向量加法运算及其几何意义
问题提出
1.向量、平行向量、相等向量的含义分 别是什么？
2.用有向线段表示向量，向量的大小 和方向是如何反映的？什么叫零向量 和单位向量？
3.两个实数可以相加，从而给数赋予了 新的内涵.如果向量仅停留在概念的层 面上，那是没有多大意义的.我们希望 两个向量也能相加，拓展向量的数学意 义，提升向量的理论价值，这就需要建 立相关的原理和法则.