三角形中的几何计算(学生版)

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【人教A版】高中数学：必修5全集第一章1.2第3课时三角形中的几何计算

2020年精品试题芳草香出品第一章解三角形1.2 应用举例第3课时三角形中的几何计算A 级基础巩固一、选择题1．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A 、B 、C 的对边，a ＝5，b＝4，cos C ＝45，则△ABC 的面积是( ) A ．8 B ．6 C ．4 D ．2解析：因为cos C ＝45，C ∈(0，π)，所以sin C ＝35，所以S △ABC ＝12ab sin C ＝12×5×4×35＝6. 答案：B2．在△ABC 中，三边a ，b ，c 与面积S 的关系式为a 2＋4S ＝b 2＋c 2，则角A 为( )A ．45°B ．60°C ．120°D ．150°解析：4S ＝b 2＋c 2－a 2＝2bc cos A ，所以4·12bc sin A ＝2bc cos A ，所以tan A ＝1，又因为A ∈(0°，180°)，所以A ＝45°.答案：A3．在△ABC 中，A ＝60°，AB ＝1，AC ＝2，则S △ABC 的值为( ) A.12 B.32C. 3 D ．2 3 解析：S △ABC ＝12AB ·AC ·sin A ＝32. 答案：B4．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a ＝1，B ＝π3，当△ABC 的面积等于3时，tan C 等于( ) A. 3 B ．－ 3 C ．－2 3 D ．－2解析：S △ABC ＝12ac sin B ＝12·1·c ·32＝3，所以c ＝4，由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝13，所以b ＝13，所以cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－113，所以sin C ＝1213，所以tan C ＝sin C cos C ＝－12＝－2 3. 答案：C5．在△ABC 中，已知b 2－bc －2c 2＝0，且a ＝6，cos A ＝78，则△ABC 的面积等于( ) A.152 B.15 C ．2 D ．3 解析：因为b 2－bc －2c 2＝0，所以(b －2c )(b ＋c )＝0，所以b＝2c.由a2＝b2＋c2－2bc cos A，解得c＝2，b＝4，因为cos A＝78，所以sin A＝15 8，所以S△ABC＝12bc sin A＝12×4×2×158＝152.答案：A二、填空题6．△ABC中，下述表达式：①sin(A＋B)＋sin C；②cos(B＋C)＋cos A表示常数的是________．解析：①sin(A＋B)＋sin C＝sin(π－C)＋sin C＝2sin C，不是常数；②cos(B＋C)＋cos A＝cos(π－A)＋cos A＝0，是常数．答案：②7．在△ABC中，已知a－b＝4，a＋c＝2b，且最大角为120°，则该三角形的周长为________．解析：因为a－b＝4，所以a＞b，又因为a＋c＝2b，所以b＋4＋c＝2b，所以b＝4＋c，所以a＞b＞c.所以最大角为A，所以A＝120°，所以cos A＝b2＋c2－a22bc＝－12，所以b2＋c2－a2＝－bc，所以b2＋(b－4)2－(b＋4)2＝－b(b－4)，即b2＋b2＋16－8b－b2－16－8b＝－b2＋4b，所以b＝10，所以a＝14，c＝6.故周长为30.。

人教新课标A版必修5第一章解三角形1.2第2课时三角形中的几何计算课件

＝
3sinA＋π6≤
2π
30<A<
3
.
当A＝π3时，即△ABC为等边三角形时取等号，
所以sin A＋sin B的最大值为 3.
题点四：多边形面积问题 4．已知圆内接四边形ABCD的边长AB＝2，BC＝6，CD＝DA
＝4，求四边形ABCD的面积S. 解：如图，连接BD，则S＝S△ABD＋S△CBD ＝12AB·ADsin A＋12BC·CDsin C. ∵A＋C＝180°，∴sin A＝sin C， ∴S＝12sin A(AB·AD＋BC·CD)＝16sin A. 在△ABD中，由余弦定理得
(2)求sin A＋sin B的最大值．解：(1)由题意可知
1 2absin
C＝
43×2abcos
C.
所以tan C＝ 3.
因为0<C<π，所以C＝π3.
(2)由(1)知sin A＋sin B＝sin A＋sinπ－A－π3
＝sin A＋sin23π－A
＝sin
A＋
ห้องสมุดไป่ตู้
3 2 cos
A＋12sin
A
(√ )
(2)三角形中已知三边无法求其面积
(×)
(3)在三角形中已知两边和一角就能求三角形的面积 ( √ ) 解析：(1)正确，S＝12absin C适合求任意三角形的面积．
(2)错误．已知三边可利用余弦定理求角的余弦值，再求得正
弦值，进而求面积．
(3)正确．已知两边和两边的夹角可直接求得面积，已知两边
＝a2－c2 b2
＝左边，
所以a2－c2 b2＝sinsiAn－CB.
与三角形有关的综合问题题点一：与三角形面积有关的综合问题 1．在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.

人教a版必修五课件：解三角形-应用举例：三角形中的几何计算(54页)

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第一章 1.2 第3课时
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课堂互动探究
例练结合 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·素能提升
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π 又0＜A＜π，故A＝ . 3
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1 (2)△ABC的面积S＝2bcsinA＝ 3，故bc＝4. 而a2＝b2＋c2－2bccos A，故b2＋c2＝8. 解得b＝c＝2.
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典例导悟
类型一 [例1] 三角形中的面积计算 (2012· 全国新课标卷)已知a，b，c分别为△
ABC三个内角A，B，C的对边，acos C＋ 3 asin C－b－c ＝0. (1)求A； (2)若a＝2，△ABC的面积为 3，求b，c.
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1 1 1 (4)S＝2absinC＝2acsinB＝_________. 2bcsinA
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2．三角形中的计算、证明问题除正弦定理、余弦定理外，常见的公式还有： (1)P＝a＋b＋c(P为三角形的周长)； (2)A＋B＋C＝π； 1 (3)S＝ aha(ha表示a边上的高)； 2 1 1 1 (4)S＝ absinC＝ acsinB＝ bcsinA； 2 2 2

2.2三角形中的几何计算课件(2013-2014年北师大版必修五)

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题型三
三角形中的综合问题
【例3】(本题满分 12 分)在△ABC 中，角 A、B、C 所对的边分别 3 为 a，b，c，设 S 为△ABC 的面积，满足 S＝ (a2＋b2－c2)． 4 (1)求角C的大小； (2)求sin A＋sin B的最大值．审题指导本题考查了余弦定理、三角形面积公式、三角恒等变换等基础知识，同时考查了三角运算求解能力．
π C.A，B，C≠ 2
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题型一
计算三角形的面积
B，且其对边分别为 a，【例1】已知角 A， C 为△ABC 的三个内角， 1 b，c，若 cos Bcos C－sin Bsin C＝ . 2 (1)求角 A； (2)若 a＝2 3，b＋c＝4，求△ABC 的面积．
由 sin 2A＝sin 2B 得到 2A＝2B，而忘证了 2A＝π －2B，造成错选 A；由 sin 2A＝sin 2B 得 2A＝2B 或 2A＝π π －2B，即 A＝B 或 A＋B＝，但看成了等腰直角三角形，错 2 选 B.前者是正弦函数值相等两角关系不清；后者是对“或” 的理解不深入或读题不认真．
3 1 ＝sin A＋ cos A＋ sin A 2 2 ＝
π 3sinA＋ ≤ 6 2π 30<A< (9 3
分)
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π 当 A＝时，即△ABC 为等边三角形时取等号(11 分) 3 所以 sin A＋sin B 的最大值为 3.(12 分)
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2 2 2 1 × ＋ 3 2 3
题型二计算线段的长度
【例2】如图，在△ABC中，已知， B＝45°，D是BC边上的一点， AD＝5，AC＝7，DC＝3，求AB 的长． [思路探索] 解答本题可先由余弦定理求cos C，然后由同角三角关系求出sin C，最后由正弦定理求出AB的长．

2018四年级奥数.几何.三角形等高模型(A级).学生版

【例 12】如下图， E 、 F 分别是梯形 ABCD 的下底 BC 和腰 CD 上的点， DF FC ，并且甲、乙、丙 3 个三角形面积相等．已知梯形 ABCD 的面积是 32 平方厘米．求图中阴影部分的面积．
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四年级奥数.f 11
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【随练 3】如下图，在平行四边形 ABCD 中，EF 平行 AC，连结 BE、AE、CF、BF 那么与△BEC 等积的三角形一共有哪几个三角形？
【随练 4】如图，三角形 ABC 的面积为 1，其中 AE 3AB ， BD 2BC ，三角形 BDE 的面积是多少？
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【作业 3】如图， ABCD 与 AEFG 均为正方形，三角形 ABH 的面积为 6 平方厘米，图中阴影部分的面
积为
．
【作业 4】 ABCD 是边长为 12 的正方形，如图所示，P 是内部任意一点，BL DM 4 、BK DN 5 ，
那么阴影部分的面积是
．
A
E
B
D
C
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【巩固】如图，在梯形 ABCD 中，共有八个三角形，其中面积相等的三角形共有哪几对？
A
D
O
B
C
【例 9】如图，三角形 ABC 的面积是 24，D、E 和 F 分别是 BC、AC 和 AD 的中点。求：三角形 DEF 的面积。
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三角形中的导角模型-飞镖模型、风筝模型、角内翻模型(学生版)

三角形中的导角模型-飞镖模型、风筝模型、角内翻模型近年来各地中考中常出现一些几何导角模型，该模型主要涉及高线、角平分线及角度的计算(内角和定理、外角定理等)。

熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。

本专题就飞镖型、风筝模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

模型1、“飞镖”模型(“燕尾”模型)图1图2图3条件：如图1，凹四边形ABCD ；结论：①∠BCD =∠A +∠B +∠D ；②AB +AD >BC +CD 。

条件：如图2，线段BO 平分∠ABC ，线段OD 平分∠ADC ；结论：∠O =12(∠A +∠C )。

条件：如图3，线段AO 平分∠DAB ，线段CO 平分∠BCD ；结论：∠O =12(∠D -∠B )。

飞镖模型结论的常用证明方法：1(2023·重庆·八年级专题练习)请阅读下列材料，并完成相应的任务：有趣的“飞镖图”：如图，这种形似飞镖的四边形，可以形象地称它为“飞镖图”．当我们仔细观察后发现，它实际上就是凹四边形．那么它具有哪些性质呢？又将怎样应用呢？下面我们进行认识与探究：凹四边形通俗地说，就是一个角“凹”进去的四边形，其性质有：凹四边形中最大内角外面的角等于其余三个内角之和．(即如图1，∠ADB=∠A+∠B+∠C)理由如下：方法一：如图2，连接AB，则在△ABC中，∠C+∠CAB+∠CBA=180°，即∠1+∠2+∠3+∠4+∠C =180°，又∵在△ABD中，∠1+∠2+∠ADB=180°，∴∠ADB=∠3+∠4+∠C，即∠ADB=∠CAD+∠CBD+∠C．方法二：如图3，连接CD并延长至F，∵∠1和∠3分别是△ACD和△BCD的一个外角，. . . . . .大家在探究的过程中，还发现有很多方法可以证明这一结论，你有自己的方法吗？任务：(1)填空：“方法一”主要依据的一个数学定理是；(2)探索：根据“方法二”中辅助线的添加方式，写出该证明过程的剩余部分；(3)应用：如图4，AE是∠CAD的平分线，BF是∠CBD的平分线，AE与BF交于G，若∠ADB =150°，∠AGB=110°，请你直接写出∠C的大小．2(2023·广东河源·八年级校考期末)(1)模型探究：如图1所示的“镖形”图中，请探究∠ADB与∠A、∠B、∠C的数量关系并给出证明；(2)模型应用：如图2，DE平分∠ADB，CE平分∠ACB，∠A=24°，∠B= 66°，请直接写出∠E的度数．3(2022秋·广西八年级期中)如图，∠ABD，∠ACD的角平分线交于点P，若∠A=48°，∠D=10°，则∠P 的度数()A.19°B.20°C.22°D.25°4(2023·广东·八年级期中)如图，在三角形ABC中，AB>AC>BC，为三角形内任意一点，连结AP，并延长交BC于点D. 求证：(1)AB+AC>AD+BC；(2)AB+AC>AP+BP+CP.5(2023·福建三明·八年级统考期末)如图1所示的图形，像我们常见的符号--箭号．我们不妨把这样图形叫做“箭头四角形”．探究：(1)观察“箭头四角形”，试探究∠BDC与∠A、∠B、∠C之间的关系，并说明理由；应用：(2)请你直接利用以上结论，解决以下两个问题：①如图2，把一块三角尺XYZ放置在ΔABC上，使三角尺的两条直角边XY、XZ恰好经过点B、C，若∠A=60°，则∠ABX+∠ACX=；②如图°3，∠ABE、∠ACE的2等分线(即角平分线)BF、CF相交于点F，若∠BAC=60°，∠BEC=130°，求∠BFC的度数；拓展：(3)如图4，BO i，CO i分别是∠ABO、∠ACO的2020等分线(i=1，2，3，⋯，2018，2019)，它们的交点从上到下依次为O1、O2、O3、⋯、O2019．已知∠BOC=m°，∠BAC=n°，则∠BO1000C=度．模型2、风筝模型(鹰爪模型)图1图21)风筝(鹰爪)模型：结论：∠A+∠O=∠1+∠2；2)风筝(鹰爪)模型(变形)：结论：∠A+∠O=∠2-∠1。

小学等边三角形面积计算

小学等边三角形面积计算
三角形文章
三角形是一种在几何学中最古老而又最重要的形状。

在小学数学中，学生们经常会学习三角形，包括边、面积等等内容。

那么，如何计算同一边三角形的面积呢？
计算三角形面积最常用的方式是使用链锁（Heron）公式，它也称为海伦公式。

公式的数学表达式是：面积=√（s-a）（s-b）（s-c）其中，s为三边变量之和的一半，a,b,c为三个边的长度。

从链锁公式我们可以看出，若是同一边的三角形，我们只需要知道边的长度，即可计算出该三角形的面积。

假设给出三边长度均为a，则只需根据以下公式：面积=√（s-a）（s-a）（s-a）求得s即可计算出同一边三角形的面积。

计算同一边三角形的面积不但能够提高学生的数学计算能力，也能够加深对几何学中三角形的理解。

对于学生而言，深入了解三角形的公式有助于在更复杂的几何情境中找出解决问题的方法。

综上所述，通过链锁公式，我们可以计算出同一边三角形的面积，这有益于学生们对几何中三角形的理解，从而帮助他们更好地解决各种数学问题。

三角形中角度计算七大几何模型(解析版)-初中数学

三角形中角度计算七大几何模型【模型18字模型】 1【模型2飞镖模型】 5【模型3A字模型】 11【模型4老鹰抓小鸡模型】 14【模型5双内角平分线模型】 19【模型6双外角平分线模型】 24【模型7内外角平分线模型】 30【模型18字模型】【结论】如图，AC与BD相交于点O，则∠A+∠B=∠C+∠D.【证明】在△ABO中，∠A+∠B+∠AOB=180°.在△CDO中，∠C+∠D+∠COD=180°.∵∠AOB=∠COD，∴∠A+∠B=∠C+∠D.【练习】1.如图，∠C=∠D=90°，∠A=20°，则∠COA=，∠B=．【分析】依据三角形内角和定理，以及对顶角相等，即可得到∠AOC和∠B的度数．【解答】解：∵∠C=90°，∠A=20°，∴∠AOC=∠BOD=70°，又∵∠D=90°，∴∠B=90°-70°=20°，故答案为：70°，20°．2.如图，五角星的顶点分别是A，B，C，D，E，那么∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=．【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠A+∠D=∠1，∠B+∠E=∠2，再根据三角形的内角和等于180°求解即可．【解答】解：如图，∠A+∠D=∠1，∠B+∠E=∠2，∵∠1+∠2+∠C=180°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°．故答案为：180°．3.如图，是由线段AB，CD，DF，BF，CA组成的平面图形，∠D=28°，则∠A+∠B+∠C+∠F的度数为．【分析】首先求出∠F+∠B=∠D+∠EGD，然后证明出∠C+∠A+∠F+∠B-∠D=180°，最后结合题干∠D=28°求出∠A+∠B+∠C+∠F的度数．【解答】解：∵如图可知∠BED=∠F+∠B，∠CGE=∠C+∠A，又∵∠BED=∠D+∠EGD，∴∠F+∠B=∠D+∠EGD，又∵∠CGE+∠EGD=180°，∴∠C+∠A+∠F+∠B-∠D=180°，又∵∠D=28°，∴∠A+∠B+∠C+∠F=180°+28°=208°．故答案为：208°．4.如图所示，∠1=60°，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数为．【分析】根据三角形内角和定理得到∠B与∠C的和，然后在五星中求得∠1与另外四个角的和，加在一起即可．【解答】解：由三角形外角的性质得：∠3=∠A+∠E，∠2=∠F+∠D，∵∠1+∠2+∠3=180°，∠1=60°，∴∠2+∠3=120°，即：∠A+∠E+∠F+∠D=120°，∵∠B+∠C=120°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=240°．故答案为：240°．5.如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F等于()A.240°B.300°C.360°D.540°【分析】连接BD，根据三角形内角和定理与对顶角的性质得出∠E+∠F=∠GDB+∠GBD，再根据四边形内角和等于360°，即可得出答案．【解答】解：连接BD，∵∠E+∠F=∠GDB+∠GBD，又∵∠A+∠C+∠CDB+∠DBA=360°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠GDB+∠GBD=360°，∴∠A +∠B +∠C +∠D +∠E +∠F =360°．故选：C ．6.如图，△ABC ≌△ADE ，且∠CAD =10°，∠B =∠D =25°，∠EAB =120°，求∠DFB 和∠DGB 的度数．【分析】由△ABC ≌△ADE ，可得∠DAE =∠BAC =12(∠EAB -∠CAD )，根据三角形外角性质可得∠DFB =∠FAB +∠B ，因为∠FAB =∠FAC +∠CAB ，即可求得∠DFB 的度数；根据三角形内角和定理可得∠DGB =∠DFB -∠D ，即可得∠DGB 的度数．【解答】解：∵△ABC ≌△ADE ，∴∠DAE =∠BAC =12(∠EAB -∠CAD )=12(120°-10°)=55°．∴∠DFB =∠FAB +∠B =∠FAC +∠CAB +∠B =10°+55°+25°=90°∠DGB =∠DFB -∠D =90°-25°=65°．综上所述：∠DFB =90°，∠DGB =65°．7.我们把有一组对顶角的两个三角形组成的图形叫做“8”字图形，如图1，AD ，BC 相交于点O ，连接AB ，CD 得到“8”字图形ABDC ．(1)如图1，试说明∠A +∠B =∠C +∠D 的理由；(2)如图2，∠ABC 和∠ADC 的平分线相交于点E ，利用(1)中的结论探索∠E 与∠A 、∠C 间的关系；(3)如图3，点E 为CD 延长线上一点，BQ 、DP 分别是∠ABC 、∠ADE 的四等分线，且∠CBQ =14∠ABC ，∠EDP =14∠ADE ，QB 的延长线与DP 交于点P ，请探索∠P 与∠A 、∠C 的关系．【分析】(1)根据三角形的内角和定理，结合对顶角的性质可求解；(2)根据角平分线的定义可得∠ABE =∠CBE ，∠CDE =∠ADE ，结合(1)的结论可得2∠E =∠A +∠C ；(3)运用(1)和(2)的结论即可求得答案．【解答】解：(1)如图1，∵∠AOB +∠A +∠B =∠COD +∠C +∠D =180°，∠AOB =∠COD ，∴∠A +∠B =∠C +∠D ．(2)如图2，∵∠ABC 和∠ADC 的平分线相交于点E ，∴∠ABE =∠CBE ，∠CDE =∠ADE ，由(1)可得：∠A +∠ABE =∠E +∠ADE ，∠C +∠CDE =∠E +∠CBE ，∴∠A +∠ABE +∠C +∠CDE =∠E +∠ADE +∠E +∠CBE ，∴2∠E =∠A +∠C ．(3)由(1)得：∠A +∠ABC =∠C +∠CDA ，∴14∠A +14∠ABC =14∠C +14∠CDA ，又∠CBQ =14∠ABC ，∠EDP =14∠ADE ，∠CDA =180°-∠ADE ，∴14∠A +∠CBQ =14∠C +45°-∠EDP ，设AD 与PQ 的交点为点O ，则∠CBQ +∠BOD =∠C +∠ADC ，两式相减可得：∠BOD -14∠A =34∠C +∠ADC +∠EDP -45°，∴∠BOD -14∠A =34∠C +180°-∠ADP -45°，∴45°-14∠A =34∠C +180°-∠ADP -∠BOD ，∵∠P =180°-∠BOD -∠ADP ，∴45°-14∠A =34∠C +∠P ，即∠A +3∠C +4∠P =180°．【模型2飞镖模型】【结论】如图所示，已知四边形ABDC ，则∠BDC =∠A +∠B +∠C .【证明】如图,延长BD 交AC 于点E .∠BEC是△ABE的外角，∵∠BEC=∠A+∠B.又∵∠BDC是△CDE的外角，∴∠BDC=∠BEC+∠C=∠A+∠B+∠C.【练习】8.如图，∠BDC=98°，∠C=38°，∠B=23°，则∠A的度数是()A.37°B.61°C.60°D.39°【分析】首先连接AD，并延长到E，根据三角形外角的性质，易得∠BDC=∠1+∠2=∠B+∠C+∠BAD+∠CAD=∠B+∠C+∠BAC，继而求得答案．【解答】解：连接AD，并延长到E，∵∠1=∠B+∠BAD，∠2=∠C+∠CAD，∴∠BDC=∠1+∠2=∠B+∠C+∠BAD+∠CAD=∠B+∠C+∠BAC，∵∠BDC=98°，∠C=38°，∠B=23°，∴∠BAC=∠BDC-∠B-∠C=37°．故选：A．9.如图，已知在△ABC中，∠A=40°，将一块直角三角板放在△ABC上，使三角板的两条直角边分别经过B，C，直角顶点D落在△ABC的内部，则∠ABD+∠ACD=( )度．A.90B.60C.50D.40【分析】根据三角形内角和定理可得∠ABC+∠ACB=180°-∠A=140°，∠DBC+∠DCB=180°-∠DBC= 90°，进而可求出∠ABD+∠ACD的度数．【解答】解：在△ABC中，∵∠A=40°，∴∠ABC+∠ACB=180°-40°=140°，在△DBC中，∵∠BDC=90°，∴∠ABD+∠ACD=140°-90°=50°；故选：C．10.如图所示，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的结果为()A.90°B.180°C.360°D.无法确定【分析】根据三角形内角与外角的关系可得∠A+∠B=∠2，∠D+∠E=∠1，再根据三角形内角和定理可得∠1+∠2+∠C=180°，进而可得答案．【解答】解：延长BE交AC于F，∵∠A+∠B=∠2，∠D+∠E=∠1，∠1+∠2+∠C=180°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°，故选：B．11.在社会实践手工课上，小茗同学设计了如图这样一个零件，如果∠A=52°，∠B=25°，∠C=30°，∠D=35°，∠E=72°，那么∠F=°．【分析】连接AD，连接AE并延长到点M，连接AF并延长到点N，利用三角形的外角性质，可得出∠BEM=∠BAE+∠B，∠DEM=∠DAE+∠ADE，∠DFN=∠DAF+∠ADF，∠CFN=∠CAF+∠C，将其相加后可得出∠BED+∠CFD=∠A+∠B+∠EDF+∠C，再代入各角的度数，即可求出结论．【解答】解：连接AD，连接AE并延长到点M，连接AF并延长到点N，如图所示．∵∠BEM是△ABE的外角，∴∠BEM=∠BAE+∠B．同理可得出：∠DEM=∠DAE+∠ADE，∠DFN=∠DAF+∠ADF，∠CFN=∠CAF+∠C，∴∠BEM+∠DEM+∠DFN+∠CFN=∠BAE+∠B+∠DAE+∠ADE+∠DAF+∠ADF+∠CAF+∠C，即∠BED+∠CFD=∠A+∠B+∠EDF+∠C，∴∠CFD=70°．故答案为：70．12.如图，若∠EOC=115°，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=°．【分析】由三角形的外角的性质，可以推出∠EOC=∠E+∠C+∠D，∠BOF=∠A+∠B+∠F，于是可以解决问题．【解答】解：∵∠EOC=∠E+∠EMO，∠EMO=∠C+∠D，∴∠EOC=∠E+∠C+∠D，同理：∠BOF=∠A+∠B+∠F，∵∠BOF=∠EOC，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=2∠EOC=2×115°=230°．故答案为：230．13.如图，已知BE、CF分别为△ABC的两条高，BE和CF相交于点H，若∠BAC=50°，则∠BHC的度数是．【分析】先根据直角三角形两锐角互余求出∠ABE，再根据三角形外角性质即可求出∠BHC的度数．【解答】解：∵BE为△ABC的高，∠BAC=50°，∴∠ABE=90°-50°=40°，∵CF为△ABC的高，∴∠BFC=90°，∴∠BHC=∠ABE+∠BFC=40°+90°=130°．故答案为：130°．14.【探究】如图①，求证：∠BOC=∠A+∠B+∠C．【应用】(1)如图②，我们设计了一张帆布折椅，它的侧面如图所示，∠A=28°，∠D=12°，∠ABC=64°，∠BCD=46°，求椅面和椅背的夹角∠AED的度数；(2)如图③，∠ABC=100°，∠DEF=130°，求∠A+∠C+∠D+∠F的度数．【分析】∠BOC=∠BOM+∠COM，其中∠BOM与∠COM分别是△ABO与△AOC的外角．∠ABC+∠BCD+∠CAO=180°．【解答】证明：【探究】连接OA，并延长，如图①所示：∵∠BOM是△ABO的外角，∴∠BAO+∠B=∠BOM．①∵∠COM是△AOC的外角，∴∠CAO+∠C=∠COM．②①+②得，∠BAO+∠B+∠CAO+∠C=∠BOM+∠COM，即∠BOC=∠A+∠B+∠C．【应用】(1)∵∠ABC=64°，∠BCD=46°，∴∠CAO=180°-∠ABC-∠BCD=180°-64°-46°=70°，∴∠BAO=∠CAO=70°．(2)连接AD，如图③所示：由【探究】可知∠F+∠FAD+∠EDA=∠DEF③，∠BAD+∠ADC+∠C=∠ABC④，③+④，得∠F+∠FAD+∠EDA+∠BAD+∠ADC+∠C=∠DEF+∠ABC=130°+100°=230°，∴原图中∠A+∠C+∠D+∠F=230°．15.已知：点D是△ABC所在平面内一点，连接AD、CD．(1)如图1，若∠A=28°，∠B=72°，∠C=11°，求∠ADC；(2)如图2，若存在一点P，使得PB平分∠ABC，同时PD平分∠ADC，探究∠A，∠P，∠C的关系并证明．【分析】(1)如图1，延长AD交BC于E．利用三角形的外角的性质即可解决问题；(2)∠A-∠C=2∠P，利用三角形的外角的性质可以推出：∠A+∠1=∠P+∠3，由∠1=∠2，∠3=∠4，推出∠A+∠2=∠P+∠4，由(1)知∠4=∠2+∠P+∠C，可得∠A+∠2=∠P+∠2+∠P+∠C即可解决问题；【解答】解：(1)如图1，延长AD交BC于E．在△ABE中，∠AEC=∠A+∠B=28°+72°=100°，在△DEC中，∠ADC=∠AEC+∠C=100°+11°=111°．(2)∠A-∠C=2∠P，理由如下：如图2，∠5=∠A+∠1，∠5=∠P+∠3，∴∠A+∠1=∠P+∠3，∵PB平分∠ABC，PD平分∠ADC，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∴∠A+∠2=∠P+∠4，由(1)知∠4=∠2+∠P+∠C，∴∠A+∠2=∠P+∠2+∠P+∠C，∴∠A-∠C=2∠P．【模型3A字模型】【结论】如图所示，∠DAE的两边上各有一点B，C，连接BC，则∠DBC+∠ECB=180°+∠A.【证明】∴∠DBC和∠ECB是△ABC的外角，∴∠DBC=∠A+∠ACB，∠ECB=∠A+∠ABC.又∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∴∠DBC+∠ECB=∠A+∠ACB+∠ABC+∠A=180°+∠A.【练习】16.如图，△ABC中，∠A=65°，直线DE交AB于点D，交AC于点E，∠BDE+∠CED的值为()A.180°B.215°C.235°D.245°【分析】根据三角形内角和定理求出∠ADE+∠AED，根据平角的概念计算即可．【解答】解：∵∠A=65°，∴∠ADE+∠AED=180°-65°=115°，∴∠BDE+∠CED=360°-115°=245°，故选：D．17.如图，在△ABC中，E，F分别是AB，AC上的点，∠1+∠2=214°，则∠A的度数为()A.17°B.34°C.68°D.无法确定【分析】根据三角形内角和定理可知，要求∠A只要求出∠AEF+∠AFE的度数或者∠B+∠C的度数即可，结合补角的性质和四边形内角和为360°可以解决问题．【解答】解：方法一：∵∠1+∠AEF=180°，∠2+∠AFE=180°∴∠1+∠AEF+∠2+∠AFE=360°∵∠1+∠2=214°∴∠AEF+∠AFE=360°-214°=146°∵在△AEF中：∠A+∠AEF+∠AFE=180°(三角形内角和定理)∴∠A=180°-146°=34°方法二：∵在四边形BCEF中：∠B+∠C+∠1+∠2=360°(四边形内角和为360°)∠1+∠2=214°∴∠B+∠C=360°-214°=146°∵在△ABC中：∠A+∠B+∠C=180°(三角形内角和定理)∴∠A=180°-146°=34°．故选：B．18.如图，在△ABC中，∠C=70°，沿图中虚线截去∠C，则∠1+∠2=()A.140°B.180°C.250°D.360°【分析】根据三角形内角和定理求出∠3+∠4，继而可求出∠1+∠2的值．【解答】解：∵∠C=70°，∴∠3+∠4=180°-70°=110°，∴∠1+∠2=(180°-∠3)+(180°-∠4)=360°-(∠3+∠4)=250°．故选：C．19.在△ABC中，∠B=58°，三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，则∠AEC=61°．【分析】根据三角形内角和定理、角平分线的定义以及三角形外角定理求得12∠DAC+12∠ACF=12(∠B+∠B+∠1+∠2)=119°；最后在△AEC中利用三角形内角和定理可以求得∠AEC的度数．【解答】解：∵三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，∴∠EAC=12∠DAC，∠ECA=12∠ACF，∵∠DAC=∠B+∠2，∠ACF=∠B+∠1∴1 2∠DAC+12∠ACF=12(∠B+∠2)+12(∠B+∠1)=12(∠B+∠B+∠1+∠2)，∵∠B=58°(已知)，∠B+∠1+∠2=180°(三角形内角和定理)，∴1 2∠DAC+12∠ACF=119°∴∠AEC=180°-12∠DAC+12∠ACF=61°．故答案为：61°．20.如图，已知∠A=40°，求∠1+∠2+∠3+∠4的度数．【分析】根据三角形的内角和定理分别求得∠1+∠2，∠3+∠4，就可求得最后结果．【解答】解：∵∠A=40°，∴∠1+∠2=∠3+∠4=180°-∠A=140°．∴∠1+∠2+∠3+∠4=280°．【模型4老鹰抓小鸡模型】【结论】如图所示，∠A+∠BFC=∠DBF+∠FCE.【证明】如图，连接AF.∵∠DBF是△ABF的外角，∠FCE是△ACF的外角，∴∠FCE=∠CAF+∠CFA，∴∠DBF+∠FCE=∠BAF+∠BFA+∠CAF+∠CFA=∠BAC+∠BFC，即∠BAC+∠BFC=∠DBF+∠FCE.【练习】21.如图，将△ABC纸片沿DE折叠，点A的对应点为A′，若∠B=60°，∠C=80°，则∠1+∠2等于()A.40°B.60°C.80°D.140°【分析】证明∠1+∠2=2∠A即可解决问题．【解答】解：连接AA′．∵∠B=60°，∠C=80°，∴∠A=40°∵∠2=∠EA′A+∠EAA′，∠1=∠DA′A+∠DAA′，∠BAC=∠EA′D，∴∠1+∠2=∠EA′A+∠EAA′+∠DA′A+∠DAA′=∠EAD+∠EA′D=2∠EAD=80°，故选：C．22.如图，将△ABC沿着DE翻折，使B点与B′点重合，若∠1+∠2=80°，则∠B的度数为()A.20°B.30°C.40°D.50°【分析】根据翻折的性质可得∠BED=∠B'ED，∠BDE=∠B'DE，结合平角的定义可求解∠BED+∠BDE的度数，再利用三角形的内角和定理可求解∠B的度数．【解答】解：由翻折可知：∠BED=∠B'ED，∠BDE=∠B'DE，∴∠1+2∠BED+∠2+2∠BDE=360°，∵∠1+∠2=80°，∴2∠BED+2∠BDE=280°，∴∠BED+∠BDE=140°，∵∠BED+∠BDE+∠B=180°，∴∠B=180°-140°=40°．故选：C．23.如图，三角形纸片ABC中，∠A=65°，∠B=70°，将∠C沿DE对折，使点C落在△ABC外的点C'处，若∠1=20°，则∠2的度数为()A.80°B.90°C.100°D.110°【分析】根据三角形内角和定理，易得∠C=180°-65°-70°=45°；设C'D与BC交于点O，易得∠2=∠C+∠DOC，∠DOC=∠1+∠C'，则∠2的度数可求．【解答】解：根据题意，易得∠C=∠C'=180°-65°-70°=45°；如图，设C'D与BC交于点O，易得∠2=∠C+∠DOC，∠DOC=∠1+∠C'，则∠2=∠C+∠1+∠C'=45°+20°+45°=110°．故选：D．24.如图，在△ABC中，∠C=46°，将△ABC沿着直线l折叠，点C落在点D的位置，则∠1-∠2的度数是．【分析】由折叠的性质得到∠D=∠C，再利用外角性质即可求出所求角的度数．【解答】解：由折叠的性质得：∠D=∠C=46°，则∠1=∠2+∠C+∠D=∠2+2∠C=∠2+92°，则∠1-∠2=92°．故答案为：92°．25.一个三角形纸片ABC沿DE折叠，使点A落在点A′处．(点A′在△ABC的内部)(1)如图1，若∠A=45°，则∠1+∠2=°．(2)利用图1，探索∠1，∠2与∠A之间的数量关系，并说明理由．(3)如图2，把△ABC折叠后，BA′平分∠ABC，CA′平分∠ACB，若∠1+∠2=108°，利用(2)中得出的结论求∠BA′C的度数．【分析】(1)根据翻折变换的性质用∠1、∠2表示出∠ADE和∠AED，再根据三角形的内角和定理列式整理即可得解；根据翻折变换的性质用∠1、∠2表示出∠ADE和∠AED，再根据三角形的内角和定理列式整理即可得解；(2)由∠BDE、∠CED是△ADE的两个外角知∠BDE=∠A+∠AED、∠CED=∠A+∠ADE，据此得∠BDE+∠CED=∠A+∠AED+∠A+∠ADE，继而可得答案；(3)由(1)∠1+∠2=2∠A知∠A=54°，根据BA'平分∠ABC，CA'平分∠ACB知∠A'BC+∠A'CB=12(∠ABC+∠ACB)=90°-12∠A．利用∠BA'C=180°-(∠A'BC+∠A'CB)可得答案．【解答】解：(1)∵点A沿DE折叠落在点A′的位置，∴∠ADE=∠A′DE，∠AED=∠A′ED，∴∠ADE=12(180°-∠1)，∠AED=12(180°-∠2)，在△ADE中，∠A+∠ADE+∠AED=180°，∴45°+12(180°-∠1)+12(180°-∠2)=180°，整理得∠1+∠2=90°；故答案为：90；(2)∠1+∠2=2∠A，理由：∵∠BDE、∠CED是△ADE的两个外角，∴∠BDE=∠A+∠AED，∠CED=∠A+∠ADE，∴∠BDE+∠CED=∠A+∠AED+∠A+∠ADE，∴∠1+∠ADE+∠2+∠AED=2∠A+∠AED+∠ADE，即∠1+∠2=2∠A；(3)由(1)∠1+∠2=2∠A，得2∠A=108°，∴∠A=54°，∵BA'平分∠ABC，CA'平分∠ACB，∴∠A'BC+∠A'CB=12(∠ABC+∠ACB)=12(180°-∠A)=90°-12∠A．∴∠BA'C=180°-(∠A'BC+∠A'CB)，=180°-90°-12∠A=90°+12∠A=90°+12×54°=117°．26.Rt△ABC中，∠C=90°，点D、E分别是△ABC边AC、BC上的点，点P是一动点．令∠PDA=∠1，∠PEB=∠2，∠DPE=∠α．(1)若点P在线段AB上，如图(1)所示，且∠α=50°，求∠1+∠2的度数；(2)若点P在边AB上运动，如图(2)所示，则∠α、∠1、∠2之间有何关系？猜想并说明理由；(3)若点P运动到边AB的延长线上，如图(3)所示，直接写出∠α、∠1、∠2之间关系为：．(不需说明理由)．【分析】(1)如图1中，连接PC．由∠1=∠DCP+∠DPC，∠2=∠PCE+∠CPE，推出∠1+∠2=(∠DCP+∠PCE)+(∠DPC+∠EPC)，由∠DCP+∠PCE=90°，∠DPC+∠EPC=α=50°，即可推出∠1+∠2=(2)结论：∠1+∠2=90°+α．证明方法类似(1)．(3)由∠1=∠C+∠COD，∠COD=∠2+α，由∠C=90°，即可推出∠1=90°+∠2+α．【解答】解：(1)如图1中，连接PC．∵∠1=∠DCP+∠DPC，∠2=∠PCE+∠CPE，∴∠1+∠2=(∠DCP+∠PCE)+(∠DPC+∠EPC)，∵∠DCP+∠PCE=90°，∠DPC+∠EPC=α=50°，∴∠1+∠2=140°．(2)结论：∠1+∠2=90°+α．理由如图2中，连接PC．∵∠1=∠DCP+∠DPC，∠2=∠PCE+∠CPE，∴∠1+∠2=(∠DCP+∠PCE)+(∠DPC+∠EPC)，∵∠DCP+∠PCE=90°，∠DPC+∠EPC=α∴∠1+∠2=90°+α．(3)如图3中，∵∠1=∠C+∠COD，∠COD=∠2+α，∵∠C=90°，∴∠1=90°+∠2+α．故答案为∠1=90°+∠2+α．【模型5双内角平分线模型】【结论】如图所示，在△ABC中，BD，CD分别是∠ABC和∠ACB的平分线,则∠BDC=90°+12∠A.【证明】设∠ABD=∠DBC=c，∠ACD=∠BCD=y.由△ABC的内角和为180°,得∠A+2x+2y=180°.①由△BDC的内角和为180°,得∠BDC+x+y=180°.②由②得x+y=180°-∠BDC.③把③代入①,得∠A+2(180°-∠BDC)=180°，即2∠BDC=180°+∠A，即∠BDC=90°+12∠A.【练习】27.如图，在△ABC中，已知∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，∠BAC=80°，则∠BOC的度数是()A.130°B.120°C.100°D.90°【分析】先求出∠ABC+∠ACB的度数，根据平分线的定义得出∠OBC=12∠ABC，∠OCB=12∠ACB，求出∠OBC+∠OCB的度数，根据三角形内角和定理求出∠BOC即可．【解答】解：∵∠A=80°，∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=100°，∵BO、CO分别是△ABC的角∠ABC、∠ACB的平分线，∴∠OBC=12∠ABC，∠OCB=12∠ACB，∴∠OBC+∠OCB=12(∠ABC+∠ACB)=12(180°-∠A)=50°，∴∠BOC=180°-(∠OBC+∠OCB)=180°-50°=130°，故选：A．28.如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE，BF分别是∠BAC和∠ABC的角平分线，它们相交于点O，∠AOB=125°，则∠CAD的度数为()A.20°B.30°C.45°D.50°【分析】根据∠AOB=125°和三角形内角和，可以得到∠OAB+∠OBA的度数，再根据AE，BF分别是∠BAC和∠ABC的角平分线，即可得到∠BAC+∠ABC的度数，进而得到∠C的度数，再根据AD是BC边上的高，即可得到∠CAD的度数．【解答】解：∵∠AOB=125°，∴∠OAB+∠OBA=55°，∵AE，BF分别是∠BAC和∠ABC的角平分线，它们相交于点O，∴∠BAC+∠ABC=2(∠OAB+∠OBA)=2×55°=110°，∴∠C=70°，∵AD是BC边上的高，∴∠ADC=90°，∴∠CAD=20°，即∠CAD的度数是20°．故选：A．29.如图，AD，CE都是△ABC的角平分线，且交于点O，∠DAC=30°，∠ECA=35°，则∠ABO的度数为．【分析】根据角平分线的定义可得出∠BAC=60°、∠ACB=70°，结合三角形内角和可得出∠ABC=50°，由三角形的三条角平分线交于一点，可得出BO平分∠ABC，进而可得出∠ABO的度数，此题得解．【解答】解：∵AD平分∠BAC，CE平分∠ACB，∠DAC=30°，∠ECA=35°，∴∠BAC=2∠DAC=60°，∠ACB=2∠ECA=70°，∴∠ABC=180°-∠BAC-∠ACB=50°．∵△ABC的三条角平分线交于一点，∴BO平分∠ABC，∠ABC=25°．∴∠ABO=12故答案为：25°．30.已知在△ABC中，∠A=100°，点D在△ABC的内部连接BD，CD，且∠ABD=∠CBD，∠ACD=∠BCD．(1)如图1，求∠BDC的度数；(2)如图2，延长BD交AC于点E，延长CD交AB于点F，若∠AED-∠AFD=12°，求∠ACF的度数．【分析】(1)依据三角形内角和定理以及角平分线的定义，即可得到∠BDC的度数；(2)设∠ACF=α，则∠BCD=α，∠CBD=40°-α=∠ABD，依据三角形外角性质，即可得到∠AED=∠ACF+∠CDF，∠AFD=∠ABE+∠BDF，再根据∠AED-∠AFD=12°，即可得到α的值．【解答】解：(1)∵∠A=100°，∴∠ABC+∠ACB=80°，又∵∠ABD=∠CBD，∠ACD=∠BCD，∴∠CBD=12∠ABC，∠BCD=12∠ACB，∴∠CBD+∠BCD=12(∠ABC+∠ACB)=40°，∴∠BDC=180°-40°=140°；(2)设∠ACF=α，则∠BCD=α，∵∠BDC=140°，∴∠CBD=40°-α=∠ABD，∵∠AED是△DCE的外角，∠AFD是△BDF的外角，∴∠AED=∠ACF+∠CDF，∠AFD=∠ABE+∠BDF，∴∠AED-∠AFD=∠ACF+∠CDF-∠ABE-∠BDE=α-(40°-α)=12°，解得α=26°，∴∠ACF=26°．31.已知任意一个三角形的三个内角的和是180°．如图1，在△ABC中，∠ABC的角平分线BO与∠ACB的角平分线CO的交点为O(1)若∠A=70°，求∠BOC的度数；(2)若∠A=a，求∠BOC的度数；(3)如图2，若BO、CO分别是∠ABC、∠ACB的三等分线，也就是∠OBC=13∠ABC，∠OCB= 13∠ACB，∠A=a，求∠BOC的度数．三角形内角和定理求出即可；(2)根据三角形的内角和定理求出∠ABC+∠ACB，根据角平分线的定义求出∠OBC+∠OCB，根据三角形内角和定理求出即可；(3)根据三角形的内角和定理求出∠ABC+∠ACB，求出∠OBC+∠OCB，根据三角形内角和定理求出即可．【解答】解：(1)∵∠A=70°，∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=110°，∵在△ABC中，∠ABC的角平分线BO与∠ACB的角平分线CO的交点为O，∴∠OBC=12∠ABC，∠OCB=12∠ACB，∴∠OBC+∠OCB=12(∠ABC+∠ACB)=55°，∴∠BOC=180°-(∠OBC+∠OCB)=125°；(2)∵∠A=α，∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-α，∵在△ABC中，∠ABC的角平分线BO与∠ACB的角平分线CO的交点为O，∴∠OBC=12∠ABC，∠OCB=12∠ACB，∴∠OBC+∠OCB=12(∠ABC+∠ACB)=12(180°-α)=90°-12α，∴∠BOC=180°-(∠OBC+∠OCB)=180°-90°-12α=90°+12α；(3)∵∠A=α，∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-α，∵∠OBC=13∠ABC，∠OCB=13∠ACB，∴∠OBC+∠OCB=13(∠ABC+∠ACB)=13(180°-α)=60°-13α，∴∠BOC=180°-(∠OBC+∠OCB)=180°-60°-13α=120°+13α．32.已知△ABC中，∠A=60°，在图(1)中∠ABC、∠ACB的角平分线交于点O1，则计算可得∠BO1C=120°：(1)在图(2)中，设∠ABC、∠ACB的两条三等分角线分别对应交于O1、O2，得到∠BO2C．则∠BO2C=；(2)在图(3)中请你猜想，当∠ABC、∠ACB同时n等分时，(n-1)条等分角线分别对应交于O1、O2⋯O n-1，则∠BO n-1C=(用含n的代数式表示)．【分析】(1)根据三角形的内角和等于180°得出(∠ABC+∠ACB)，再由∠ABC、∠ACB的两条三等分角线分别对应交于O1、O2得出∠O2BC+∠O2CB的度数，进而可得出结论；(2)根据n等分的定义求出∠O n-1BC+∠O n-1CB的度数，在△O n-1BC中，利用三角形内角和定理列式整理即可得解．【解答】解：(1)在△ABC中，∠A=60°，∴∠ABC+∠ACB=180°-60°=120°，∵O2B和O2C分别是∠B、∠C的三等分线，∴∠O2BC+∠O2CB=23(∠ABC+∠ACB)=23(180°-60°)=120°-23×60°；∴∠BO2C=180°-(∠O2BC+∠O2CB)=180°-120°-23×60°=60°+23×60°=100°．故答案为：100°；(2)∵O n-1B和O n-1C分别是∠B、∠C的n等分线，∴∠O n-1BC+∠O n-1CB=n-1n (∠ABC+∠ACB)=n-1n(180°-60°)=(n-1)×180°n-(n-1)×60°n；∴∠BO n-1C=180°-(∠O n-1BC+∠O n-1CB)=180°-(n-1)×180°n-(n-1)×60°n=(n-1)×60°n+180°n=60°+120°n．故答案为：60°+120°n．【模型6双外角平分线模型】【结论】如图所示，∠ABC的外角平分线BD和CD相交于点D，则∠BDC=90°-12∠A.【证明】设∠EBD=∠CBD=x，∠BCD=∠FCD=y.由△BCD的内角和为180°,得x+y+∠BDC=180°.①易得2x+2y=180°+∠A.①由①得x+y=180°-∠BDC.③把③代人②,得2(180°-∠BDC)=180°+∠A，即2∠BDC=180°-∠A，即∠BDC=90°-12∠A.【练习】33.如图，∠ABD和∠ACE是△ABC的外角，BF和CG分别是∠ABD和∠ACE的角平分线，延长FB和GC交于点H．设∠A=α，∠H=β，则α与β之间的数量关系为．【分析】根据角平分线定义设∠ABF=∠DBF=θ，∠ACG=∠ECG=φ，则∠ABD=2θ，∠CBH=∠DBF=θ，∠ACE=2φ，∠BCH=∠ECG=φ，∠ABC=180°-2θ，∠ACB=180°-2φ，在△ABC中由三角形内角和定理得α+180°-2θ+180°-2φ=180°，即θ+φ=90°+1/2α，在Rt△HBC中由三角形内角和定理得β+θ+φ=180°，据此可得α与β之间的数量关系．【解答】解：∵BF和CG分别是∠ABD和∠ACE的角平分线，∴设∠ABF=∠DBF=θ，∠ACG=∠ECG=φ，则∠ABD=2θ，∠CBH=∠DBF=θ，∠ACE=2φ，∠BCH=∠ECG=φ，∴∠ABC=180°-∠ABD=180°-2θ，∠ACB=180°-∠ACE=180°-2φ，在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∴α+180°-2θ+180°-2φ=180°，整理得：θ+φ=90°+12α，在Rt△HBC中，∠H+∠CBH+∠BCH=180°，∴β+θ+φ=180°，∴β+90°+12α=180°，整理得：α+2β=180°．∴α与β之间的数量关系为α+2β=180°．故答案为：α+2β=180°．34.在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的平分线相交于点P．∠ABC的外角平分线与∠ACB的外角平分线相交于点Q，当∠Q=65°，则∠BPC=°．【分析】由三角形内角和定理得∠QBC+∠QCB=180°-∠Q=115°，∠ABC+∠ACB=180°-∠A，∠BPC= 180°-(∠PBC+∠PBC)，根据角平分线定义得∠EBC=2∠QBC，∠FCB=2∠QCB，则∠EBC+∠FCB=2 (∠QBC+∠QCB)=230°，再根据三角形外角性质得∠EBC=∠A+∠ACB，∠FCB=∠A+∠ABC，则∠EBC+∠FCB=2∠A+∠ABC+∠ACB=180°+∠A，由此得180°+∠A=230°，则∠A=50°，然后根据∠ABC的平分线与∠ACB的平分线相交于点P．得∠PBC+∠PBC=12(∠ABC+∠ACB)=65°，据此可得∠BPC的度数．【解答】解：如图所示：∵∠Q=65°，∴∠QBC+∠QCB=180°-∠Q=115°，∠ABC+∠ACB=180°-∠A，∠BPC=180°-(∠PBC+∠PBC)，∴∠EBC =2∠QBC ，∠FCB =2∠QCB ，∴∠EBC +∠FCB =2(∠QBC +∠QCB )=2×115°=230°，由三角形外角性质得：∠EBC =∠A +∠ACB ，∠FCB =∠A +∠ABC ，∴∠EBC +∠FCB =2∠A +∠ABC +∠ACB =2∠A +180°-∠A =180°+∠A ，∴180°+∠A =230°，∴∠A =50°，∵∠ABC 的平分线与∠ACB 的平分线相交于点P ，∴∠PBC =12∠ABC ，∠PBC =12∠ACB ，∴∠PBC +∠PBC =12(∠ABC +∠ACB )=12(180°-∠A )=90°-12∠A =65°，∴∠BPC =180°-(∠PBC +∠PBC )=180°-65°=115°．故答案为：115．35.如图，点F ，C 在射线AN 上，点B ，E 在射线AM 上，∠MEF 与∠NFE 的角平分线交于点P ，∠MBC 与∠NCB 的角平分线交于点G ．若∠G =67°，那么∠P =°．【分析】根据三角形内角和定理和角平分线的性质分别用角A 表示出∠G 和∠P 即可．【解答】解：∵∠MEF 与∠NFE 的角平分线交于点P ，∴∠G =180°-12∠NCB +12∠MBC =180°-12(180°-∠ACB )+12(180°-∠ABC ) =180°-12[180°+180°-(∠ACB +∠ABC )]=180°-12(180°+∠A )=90°-∠A =67°，∵∠MBC 与∠NCB 的角平分线交于点G ，∴∠P =180°-12∠NFE +12∠MEF =180°-12(180°-∠AFE )+12(180°-∠AEF ) =180°-12[180°+180°-(∠AEF +∠AFE )]=180°-12(180°+∠A )=90°-∠A =67°，故答案为：67°．36.如图，△ABC 中，∠CAB =n °，∠CBA =m °，点D 是△ABC 三个内角平分线交点，延长DB 到点G ，∠FCB 与∠CBG 的平分线将于点E ，若BE ∥AC ，则45n +35m =．义得∠CBE=12∠CBG=90°-14m°，然后根据BE∥AC得∠FCB+∠CBE=180°，进而得4n+3m=360°，由此可得45n+35m值．【解答】解：∵∠CAB=n°，∠CBA=m°，∴∠FCB=∠CAB+∠CBA=n°+m°，∵BD平分∠CBA，∴∠CBD=12∠CBA=12m°，∴∠CBG=180°-∠CBD=180°-12m°，∵BG平分∠CBG，∴∠CBE=12∠CBG=90°-14m°，∵BE∥AC，∴∠FCB+∠CBE=180°，即n°+m°+90°-14m°=180°，整理得：4n+3m=360°，∴4 5n+35m=15(4n+3m)=15×360°=72°．故答案为：72°．37.如图，在△ABC中，∠ABC=∠ACB，BD是△ABC内角∠ABC的平分线，AD是△ABC外角∠EAC的平分线，CD是△ABC外角∠ACF的平分线，以下结论不正确的是()A.AD∥BCB.∠ACB=2∠ADBC.∠ADC=90°-∠ABDD.BD平分∠ADC【分析】A、由AD平分△ABC的外角∠EAC，求出∠EAD=∠DAC，由三角形外角得∠EAC=∠ACB+∠ABC，且∠ABC=∠ACB，得出∠EAD=∠ABC，利用同位角相等两直线平行得出结论正确．B、由AD∥BC，得出∠ADB=∠DBC，再由BD平分∠ABC，所以∠ABD=∠DBC，∠ABC=2∠ADB，得出结论∠ACB=2∠ADB，C、在△ADC中，∠ADC+∠CAD+∠ACD=180°，利用角的关系得∠ADC+∠CAD+∠ACD=∠ADC+2∠ABD+∠ADC=2∠ADC+2∠ABD=180°，得出结论∠ADC=90°-∠ABD；D、用排除法可得结论．【解答】解：A、∵AD平分△ABC的外角∠EAC，∴∠EAD=∠DAC，∵∠EAC=∠ACB+∠ABC，且∠ABC=∠ACB，∴∠EAD=∠ABC，∴AD∥BC，故A 正确．B 、由(1)可知AD ∥BC ，∴∠ADB =∠DBC ，∵BD 平分∠ABC ，∴∠ABD =∠DBC ，∴∠ABC =2∠ADB ，∵∠ABC =∠ACB ，∴∠ACB =2∠ADB ，故B 正确．C 、在△ADC 中，∠ADC +∠CAD +∠ACD =180°，∵CD 平分△ABC 的外角∠ACF ，∴∠ACD =∠DCF ，∵AD ∥BC ，∴∠ADC =∠DCF ，∠ADB =∠DBC ，∠CAD =∠ACB∴∠ACD =∠ADC ，∠CAD =∠ACB =∠ABC =2∠ABD ，∴∠ADC +∠CAD +∠ACD =∠ADC +2∠ABD +∠ADC =2∠ADC +2∠ABD =180°，∴∠ADC +∠ABD =90°∴∠ADC =90°-∠ABD ，故C 正确；不妨设，D 选项正确，可以推出AB =AD =AC ，推出∠ACB =∠ACD =∠DCF =60°，显然不可能，故D 错误．故选：D ．38.如图，AD ，BD 分别是△ABC 的外角∠BAF ，∠ABG 的角平分线；AE ，BE 分别是∠DAB ，∠ABD 的角平分线；AM ，BN 分别是∠FAD ，∠DBG 的角平分线．当∠C =( )时，AM ∥BN ．A.45°B.50°C.60°D.120°【分析】由角平分线的定义可求得∠MAB =34∠FAB ，∠NBA =34∠ABG ，再由三角形的外角性质可得∠FAB =∠C +∠ABC ，∠ABG =∠C +∠BAC ，再由三角形的内角和得∠ABC +∠BAC =180°-∠C ，要使AM ∥BN ，则可使∠MAB +∠NBA =180°，从而可求解．【解答】解：∵AD 是△ABC 的外角∠BAF 的角平分线；AM 是∠FAD 的角平分线，∴∠DAB =∠FAD =12∠FAB ，∠MAD =12∠FAD ，∴∠MAB =34∠FAB ，同理可得：∠NBA =34∠ABG ，∵∠FAB =∠C +∠ABC ，∠ABG =∠C +∠BAC ，∠ABC +∠BAC =180°-∠C ，∴∠FAB +∠ABG =2∠C +∠ABC +∠BAC ，∴∠MAB +∠NBA=34∠FAB +34∠ABG =34(∠FAB +∠ABG )=34(2∠C +∠ABC +∠BAC )=34(2∠C +180°-∠C )=34(180°+∠C )，要使AM ∥BN ，则∠MAB +∠NBA =180°，即34(180°+∠C )=180°，解得：∠C =60°．故选：C ．【模型7内外角平分线模型】【结论】如图所示，∠ABC 的内角平分线BD 和外角平分线CD 相交于点D ，则∠D =12∠A .【证明】设∠ABD =∠DBC =x ，∠ACD =∠ECD =y .由外角定理得2y =∠A +2x ，①y =∠D +x .②把②代人①,得2(∠D +x )=xA +2x ,即∠D =12∠A .【练习】39.如图，在△ABC 中，∠ABC =∠ACB ，∠ABC 的角平分线和∠ACB 的外角平分线交于点P ；若∠BPC =25°，则∠ACB 的度数为()A.25°B.50°C.65°D.70°【分析】由角平分线的定义可得∠PBC =12∠ABC ，∠ACP =∠DCP =12∠ACD ，从而可求得∠DCP =90°-12∠ACB ，再利用三角形的外角性质得∠DCP =∠PBC +∠P ，从而可求解．【解答】解：如图，∵∠ABC 的角平分线和∠ACB 的外角平分线交于点P ，∴∠PBC =12∠ABC ，∠ACP =∠DCP =12∠ACD ，∵∠ABC =∠ACB ，∴∠PBC =12∠ACB ，∠DCP =12(180°-∠ACB )=90°-12∠ACB ，∵∠DCP 是△BCP 的外角，∠BPC =25°，∴∠BPC +∠PBC =∠DCP ，25°+12∠ACB =90°-12∠ACB ，解得：∠ACB =65°．故选：C ．40.如图，BE 是△ABC 中∠ABC 的平分线，CE 是∠ACB 的外角的平分线，如果∠ABC =40°，∠ACD =100°，则∠A +∠E =()A.40°B.90°C.100°D.140°【分析】由BE 平分∠ABC ，CE 平分∠ACD ，利用角平分线的定义，可求出∠CBE ，∠DCE 的度数，由∠ACD 是△ABC 的外角，∠DCE 是△BCE 的外角，利用三角形的外角性质，可求出∠A ，∠E 的度数，再将其代入∠A +∠E 中，即可求出结论．【解答】解：∵BE 平分∠ABC ，CE 平分∠ACD ，∴∠CBE =12∠ABC =12×40°=20°，∠DCE =12∠ACD =12×100°=50°．∵∠ACD 是△ABC 的外角，∠DCE 是△BCE 的外角，∴∠A =∠ACD -∠ABC =100°-40°=60°，∠E =∠DCE -∠CBE =50°-20°=30°，∴∠A +∠E =60°+30°=90°．故选：B ．41.如图，△ABC 的外角∠ACD 的平分线CP 与内角∠ABC 的平分线BP 相交于点P ，若∠BPC =40°，则∠CAP 的度数为()A.40°B.50°C.55°D.60°【分析】根据外角与内角性质得出∠BAC 的度数，再利用角平分线的性质以及直角三角形全等的判定，得出∠CAP =∠FAP ，即可得出答案【解答】解：延长BA ，作PN ⊥BD ，PF ⊥BA ，PM ⊥AC ，设∠PCD =x °，∵CP 平分∠ACD ，∴∠ACP =∠PCD =x °，PM =PN ，∵BP 平分∠ABC ，∴∠ABP =∠PBC ，PF =PN ，∴PF =PM ，∵∠BPC =40°，∴∠ABP =∠PBC =∠PCD -∠BPC =(x -40)°，∴∠BAC =∠ACD -∠ABC =2x °-(x °-40°)-(x °-40°)=80°，∴∠CAF =100°，在Rt △PFA 和Rt △PMA 中，P A =P A PM =PF ，∴Rt △PFA ≌Rt △PMA (HL )，∴∠FAP =∠P AC =50°．故选：B ．42.如图，在△ABC 中，∠ACB <∠A ，BD 是角平分线，BE 是边AC 上的高，延长BD 与外角∠ACF 的平分线交于点G ．以下四个结论：①∠ABD =∠CBD ；②∠ABE +∠A =90°；③∠G =12∠A ；④∠A -∠ACB =2∠EBD ．其中结论正确的个数是()31A.1B.2C.3D.4【分析】由三角形的角平分线的含义可判断①，由三角形的高的含义可判断②，证明∠ABC =2∠GBC ，∠ACF =2∠GCF ，∠ACF =∠ABC +∠A ，∠GCF =∠GBC +∠G ，从而可得出∠G =12∠A ，可判断③，由2∠EBD =2(90°-∠ADB )，∠ADB =∠DBC +∠ACB ，可得2∠EBD =180°-(2∠DBC +2∠ACB )=∠A -∠ACB ，从而可判断④，从而可得答案．【解答】解：∵BD 是△ABC 角平分线，∴∠ABD =∠CBD ，故①正确；∵BE 是边AC 上的高，∴∠ABE +∠A =90°，故②正确；∵BD 是△ABC 角平分线，CG 平分∠ACF ，∴∠ABC =2∠GBC ，∠ACF =2∠GCF ，∵∠ACF =∠ABC +∠A ，∠GCF =∠GBC +∠G ，∴2∠GCF =2∠GBC +∠A ，∴∠G =12∠A ，故③正确；∵2∠DBE =2(90°-∠ADB )，∠ADB =∠DBC +∠ACB ，∴2∠DBE =180°-(2∠DBC +2∠ACB )=180°-(∠ABC +2∠ACB )=180°-(180°-∠A +∠ACB )=∠A -∠ACB ，故④正确；∴正确的有①②③④共4个，故选：D ．43.如图，在△ABC 中，∠A =60°，∠ABC 和外角∠ACD 的平分线交于点A 1，∠A 1BC 和∠A 1CD 的平分线交于点A 2，⋯，∠A 2023BC 和∠A 2023CD 的平分线交于点A 2024，则∠A 2024的度数为()A.3022024 °B.3022023 °C.6022024 °D.6022023°【分析】根据角平分线定义设∠ABA 1=∠CBA 1=α，∠ACA 1=∠DCA 1=β，则∠ABC =2α，∠ACD =2β，由三角形外角性质得∠DCA 1=∠CBA 1+∠A 1，∠ACD =∠ABC +∠A ，即β=α+∠A 1，2β=2a +∠A ，由此得∠A 1=12∠A ，同理：∠A 2=12∠A 1=122∠A ，∠A 3=12∠A 2=123∠A ，⋯，以此类推，∠A n =12n ∠A ，据此可得当∠A =60°时，∠A 2024的度数．【解答】解：∠ABC 和外角∠ACD 的平分线交于点A 1，∴设∠ABA 1=∠CBA 1=α，∠ACA 1=∠DCA 1=β，∴∠ABC =2α，∠ACD =2β，由三角形外角性质得：∠DCA 1=∠CBA 1+∠A 1，∠ACD =∠ABC +∠A ，即β=α+∠A 1，2β=2a +∠A ，∴2(α+∠A 1)=2α+∠A ，32∴∠A 1=12∠A ，同理：∠A 2=12∠A 1=122∠A ，∠A 3=12∠A 2=123∠A ，⋯，以此类推，∠A n =12n ∠A ，∴当∠A =60°时，∠A 2024=122024∠A =6022024°．故选：C ．44.如图，在△ABC 中，∠A =∠ABC ，BH 是∠ABC 的平分线，BD 和CD 是△ABC 两个外角的平分线，D 、C 、H 三点在一条直线上，下列结论中：①DB ⊥BH ；②∠D =90°-12∠A ；③DH ∥AB ；④∠H =12∠A ；⑤∠CBD =∠D ，其中正确的结论有()A.2个 B.3个 C.4个 D.5个【分析】①根据BH 、BD 是∠ABC 与∠CBE 的平分线，可得∠ABC =2∠CBH ，∠CBE =2∠CBD ，再由邻补角的性质，可得①正确；②根据BD 和CD 是△ABC 两个外角的平分线，可得∠D =180°-12(180°-∠ABC )-12(180°-∠ACB )，可得②正确；③根据∠A =∠ABC ，可得∠BCF =∠A +∠ABC =2∠ABC ，可得∠BCD =∠ABC ，可得③正确；④根据∠D =90°-12∠A ，∠DBH =90°，可得④正确；⑤根据∠ABC +∠CBE =180°，BD 平分∠CBE ，可得∠CBD =90°-12∠ABC ，再由∠A =∠ABC ，可得∠CBD =90°-12∠A ，可得⑤正确，即可求解．【解答】解：①∵BH 、BD 是∠ABC 与∠CBE 的平分线，∴∠ABC =2∠CBH ，∠CBE =2∠CBD ，∵∠ABC +∠CBE =180°，∴∠CBH +∠CBD =90°，即∠DBH =90°，∴DB ⊥BH ，故①正确；②∵BD 和CD 是△ABC 两个外角的平分线，∴∠D =180°-∠DBC -∠DCB=180°-12∠EBC -12∠BCF =180°-12(180°-∠ABC )-12(180°-∠ACB )=12(∠ABC +∠ACB )=12(180°-∠A )=90°-12∠A ，故②正确；③∵∠A=∠ABC，∴∠BCF=∠A+∠ABC=2∠ABC，∵CD是∠BCF的平分线，∴∠BCD=12∠BCF=∠ABC，∴DH∥AB，故③正确；④∵∠D=90°-12∠A，∠DBH=90°，∴∠H=90°-∠D=12∠A，故④正确；⑤∵∠ABC+∠CBE=180°，BD平分∠CBE，∴∠CBD=12∠CBE=12(180°-∠ABC)=90°-12∠ABC，∵∠A=∠ABC，∴∠CBD=90°-12∠A，∵∠D=90°-12∠A，∴∠CBD=∠D，故⑤正确．综上所述，正确的有5个．故选：D．45.在苏科版数学教材七下第43页我们曾经研究过内外角平分线夹角问题．小聪在研究完上面的问题后，对这类问题进行了深入的研究，他的研究过程如下：(1)【问题再现】如图(1)，若∠MON=90°，点A、B分别在OM、ON上运动(不与点O重合)，BC是∠ABN的平分线，BC的反向延长线交∠BAO的平分线于点D．则∠D=°；(2)【问题推广】①如图(2)，若∠MON=α(0°<α<180°)，(1)中的其余条件不变，则∠D=°(用含α的代数式表示)；②如图(2)，∠MON=α(0°<α<180°)，点A、B分别在OM、ON上运动(不与点O重合)，点E是OB上一动点，BC是∠ABN的平分线，BC的反向延长线与射线AE交于点D，若∠D=12α，则AE是△OAB的角平分线吗？请说明理由；(3)【拓展提升】如图(3)，若∠NBC=1m∠ABN，∠DAO=1m∠BAO，试探索∠D和∠O的数量关系(用含m的代数式33。

(新教材)人教A版高中数学必修第二册课件：6.4.3 第4课时三角形中的几何计算

【解析】 (1)在△ABC 中，由正弦定理，得siAnCB＝siBnCA，所以 AC ＝BCs·insAin B＝6×sisnin301°20°＝6 3. 又因为 C＝180°－120°－30°＝30°，所以 S△ABC＝12×6 3×6×12＝9 3.
(2)由余弦定理，得 a2＋b2－ab＝4，又△ABC 的面积等于 3，所以
三角形的面积公式 (1)S＝12a·ha＝12b·hb＝12c·hc(ha，hb，hc 分别表示边 a，b，c 上的高)． (2)S＝12absin C＝12bcsin A＝12acsin B. (3)S＝12(a＋b＋c)·r(r 为△ABC 内切圆的半径)．
■名师点拨三角形的面积公式 S＝12absin C 与原来的面积公式 S＝12a·h(h 为 a 边上的高)的关系为 h＝bsin C，实质上 bsin C 就是△ABC 中 a 边上的高．
解：(1)由正弦定理sinb B＝sinc C，得 sin B＝bsicn C＝12，因为在△ABC 中，b<c 且 C＝120°，所以 B＝30°. (2)因为 A＋B＋C＝180°，所以 A＝180°－120°－30°＝30°，所以 S＝12bcsin A＝ 43.
本部分内容讲解结束
第六章平面向量及其应用
第 4 课时三角形中的几何计算
第六章平面向量及其应用
考点有关三角形面积的计算
三角形的综合问题
学习目标掌握三角形的面积公式的简单推导和应用能够运用正、余弦定理解决三角形中的一些综合问题
核心素养逻辑推理、
数学运算
数学运算
问题导学预习教材 P53 T10 和 P54 T18 两个题目，思考以下问题：如何用三角形的边和角的正弦表示三角形的面积？

1.2.2三角形当中的几何计算(1)

sin(A B) sin C; cos(A B) cosC; tan(A B) tan C;
(5)sin(A－B)＝0⇔A＝B；
(6)在ABC中，A B a b sin A sin B.
(7)sin sin 或若、是三角形的内角则有
（8）在△ABC 中，三边分别为 a，b，c(a<b<c) (1)若 a2＋b2>c2，则△ABC 为锐角三角形． (2)若 a2＋b2＝c2，则△ABC 为直角三角形． (3)若 a2＋b2<c2，则△ABC 为钝角三角形.
.
[解]
证法一(角化边）：左边＝ab－－ccab22＋＋22abcccc22－－ba22
＝a2－2ca2＋b2·b2－2cb2＋a2＝ba＝22RR
sin sin
Hale Waihona Puke B A＝ssiinn
B A
＝右边，
其中 R 为△A BC 外接圆的半径．
∴ab－－ccccooss
B A
＝ssiinn
B A
.
[针对训练 2]
人教版高中数学必修5第一章《解三角形》
1.2.2三角形中的几何计算
学习目标
1.记住正弦定理、三角形的面积公式及余弦定理和其推论； 2．会用正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式，余弦定理的推论计算三角形中的一些量
难点：探寻解题的思路与方法.
知识点梳理 1.正弦定理
a b c 2R(其中R为ABC外接圆的半径) sin A sinB sinC
【典例 3】
(3)∵|A→B＋A→C |＝ 6， ∴|A→B|2＋|A→C |2＋2A→B·A→C ＝6，即 c2＋b2＋2＝6，∴c2＋b2＝4. ∵c2＝2，∴b2＝2，b＝ 2. ∴△A B C 为正三角形． ∴S△ABC＝ 43×( 2)2＝ 23.

2020-2021学年北师大版数学必修5课后习题：2.2 三角形中的几何计算含解析

攀上山峰，见识险峰，你的人生中，也许你就会有苍松不惧风吹和不惧雨打的大无畏精神，也许就会有腊梅的凌寒独自开的气魄，也许就会有春天的百花争艳的画卷，也许就会有钢铁般的意志。

祝：学子考试顺利，学业有成§2三角形中的几何计算课后篇巩固探究1.在△ABC中,若A=105°,B=30°,BC=√6,则角B的平分线的长是()A.√32B.2√2C.1D.√2解析:设角B的平分线与AC交于点D,则在△BCD中,∠BDC=120°,∠BCD=45°,BC=√6,由正弦定理可知BD=1.答案:C2.在△ABC中,若AC=√7,BC=2,B=60°,则BC边上的高等于()A.√32B.3√32C.√3+√62D.√3+√394解析:如图,在△ABC中,由余弦定理可知,AC2=AB2+BC2-2AB·BC cos B,即7=AB2+4-2×2×AB×12.整理得AB2-2AB-3=0.解得AB=3或AB=-1(舍去).故BC 边上的高AD=AB ·sin B=3×sin60°=3√32. 答案:B3.若△ABC 的周长等于20,面积是 10√3,A=60°,则BC 边的长是( )A.5B.6C.7D.8解析:在△ABC 中,分别用a ,b ,c 表示边BC ,CA ,AB.依题意及面积公式S=12bc sin A ,得10√3=12bc×sin60°,即bc=40. 又周长为20,所以a+b+c=20,b+c=20-a.由余弦定理,得a 2=b 2+c 2-2bc cos A=b 2+c 2-2bc cos60°=b 2+c 2-bc=(b+c )2-3bc ,所以a 2=(20-a )2-120,解得a=7.答案:C4.在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c 且满足c sin A=a cosC.当√3sin A-cos (B +π4)取最大值时,A 的大小为( ) A.π3B.π4C.π6D.2π3解析:由正弦定理得sin C sin A=sin A cos C.因为0<A<π,所以sin A>0,从而sin C=cos C.又cos C ≠0,所以tan C=1,则C=π4, 所以B=3π4-A. 于是√3sin A-cos (B +π4)=√3sin A-cos(π-A ) =√3sin A+cos A=2sin (A +π6). 因为0<A<3π4,所以π6<A+π6<11π12,所以当A+π6=π2, 即A=π3时,2sin (A +π6)取最大值2. 答案:A5.导学号33194042在△ABC 中,若C=60°,c=2√2,周长为2(1+√2+√3),则A 为( )A.30°B.45°C.45°或75°D.60° 解析:根据正弦定理,得2R=a+b+c sinA+sinB+sinC=2(1+√2+√3)sinA+sinB+sinC =c sinC=2√2sin60°=4√63,所以sin A+sin B+sin60°=√322√32+22,所以sin A+sin B=√32√2,即sin A+sin(A+C )=√32√2⇒sin(A+60°)+sin A=√32√2⇒√3sin(A+30°)=√3(√3+12√2⇒sin(A+30°)=√6+√24,所以A+30°=75°或A+30°=105°,所以A=45°或A=75°.答案:C6.已知三角形的一边长为7,这条边所对的角为60°,另两边之比为3∶2,则这个三角形的面积是 .解析:设另两边分别为3x ,2x ,则cos60°=9x 2+4x 2-4912x 2,解得x=√7,故两边长为3√7和2√7,所以S=12×3√7×2√7×sin60°=21√32. 答案:21√327.已知在△ABC 中,AC=2,AB=3,∠BAC=60°,AD 是△ABC 的角平分线,则AD= .解析:如图,S △ABC =S △ABD +S △ACD ,所以12×3×2sin60°=12×3AD sin30°+12×2AD×sin30°,所以AD=6√35. 答案:6√38.在△ABC中,若AB=a,AC=b,△BCD为等边三角形,则当四边形ABDC的面积最大时,∠BAC= .解析:设∠BAC=θ,则BC2=a2+b2-2ab cosθ.S四边形ABDC=S△ABC+S△BCD =12ab sinθ+√34BC2=√34(a2+b2)+ab·sin(θ-60°),即当∠BAC=θ=150°时,S四边形ABDC取得最大值.答案:150°9.已知△ABC的一个内角为120°,并且三边长构成公差为4的等差数列,则△ABC的面积为.解析:设三角形的三边依次为a-4,a,a+4,可得a+4的边所对的角为120°.由余弦定理得(a+4)2=a2+(a-4)2-2a(a-4)·cos120°,则a=10,所以三边长为6,10,14,S△ABC=12×6×10×sin120°=15√3.答案:15√310.已知△ABC的重心为G,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若2a GA⃗⃗⃗⃗⃗ +√3bGB⃗⃗⃗⃗⃗ +3c GC⃗⃗⃗⃗⃗ =0,则sin A∶sin B∶sin C= .解析:因为G 是△ABC 的重心,所以GA ⃗⃗⃗⃗⃗ +GB ⃗⃗⃗⃗⃗ +GC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,又2a GA⃗⃗⃗⃗⃗ +√3bGB ⃗⃗⃗⃗⃗ +3c GC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,所以2a GA ⃗⃗⃗⃗⃗ +√3bGB ⃗⃗⃗⃗⃗ -3c (GA ⃗⃗⃗⃗⃗ +GB⃗⃗⃗⃗⃗ )=0,即(2a-3c )GA ⃗⃗⃗⃗⃗ +(√3b-3c )GB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,则{2a -3c =0,√3b -3c =0,所以a ∶b ∶c=3∶2√3∶2,由正弦定理,得sin A ∶sin B ∶sin C=3∶2√3∶2.答案:3∶2√3∶211.导学号33194043(2017全国2高考)△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c.已知sin(A+C )=8sin 2B 2. (1)求cos B ;(2)若a+c=6,△ABC 的面积为2,求b.解(1)由题设及A+B+C=π,得sin B=8sin 2B 2, 故sin B=4(1-cos B ).上式两边平方,整理得17cos 2B-32cos B+15=0,解得cos B=1(舍去),cos B=1517. (2)由cos B=1517得sin B=817, 故S △ABC =12ac sin B=417ac. 又S △ABC =2,则ac=172. 由余弦定理及a+c=6得b 2=a 2+c 2-2ac cos B=(a+c)2-2ac(1+cos B)=36-2×172×(1+1517)=4.所以b=2.12.导学号33194044(2017全国3高考)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知sin A+√3cos A=0,a=2√7,b=2.(1)求c;(2)设D为BC边上一点,且AD⊥AC,求△ABD的面积.解(1)由已知可得tan A=-√3,所以A=2π3.在△ABC中,由余弦定理得28=4+c2-4c cos2π3,即c2+2c-24=0.解得c=-6(舍去),c=4.(2)由题设可得∠CAD=π2,所以∠BAD=∠BAC-∠CAD=π6.故△ABD面积与△ACD面积的比值为12AB·AD·sinπ612AC·AD=1.又△ABC的面积为12×4×2sin∠BAC=2√3,所以△ABD的面积为√3.。

全等三角形(4种模型2种添加辅助线方法)(学生版)

全等三角形(4种模型2种添加辅助线方法)1.题型一：一线三等角模型2.题型二：手拉手模型3.题型三：半角模型4.题型四：旋转模型5.题型五：倍长中线法6.题型六：截长补短法题型一一线三等角模型过等腰直角三角形的直角顶点或者正方形直角顶点的一条直线。

过等腰直角三角形的另外两个顶点作该直线的垂线段，会有两个三角形全等(AAS)常见的两种图形：题型二手拉手模型【基本模型】一、等边三角形手拉手-出全等二、等腰直角三角形手拉手-出全等两个共直角顶点的等腰直角三角形，绕点C旋转过程中(B、C、D不共线)始终有①△BCD≌△ACE；②BD⊥AE(位置关系)且BD=AE(数量关系)；③FC平分∠BFE；12题型三半角模型过等腰三角形顶点两条射线，使两条射线的夹角为等腰三角形顶角的一半这样的模型称为半角模型。

常见的图形为正方形，正三角形，等腰直角三角形等，解题思路一般是将半角两边的三角形通过旋转到一边合并成新的三角形，从而进行等量代换，然后证明与半角形成的三角形全等，再通过全等的性质得到线段之间的数量关系。

解题技巧：在图1中，△AEB 由△AND 旋转所得，可得△AEM ≌△AMN ，∴BM +DN =MN∠AMB =∠AMNAB =AH△CMN 的周长等于正方形周长的一半在图2中将△ABC 旋转至△BEF ，易得△BED ≌△BCD 同理得到边角之间的关系；总之：半角模型(题中出现角度之间的半角关系)利用旋转--证全等--得到相关结论.题型四旋转模型31一、奔驰模型旋转是中考必考题型，奔驰模型是非常经典的一类题型，且近几年中考中经常出现。

我们不仅要掌握这类题型，提升利用旋转解决问题的能力，更重要的是要明白一点:旋转的本质是把分散的条件集中化，从而解决问题2二、费马点模型费马点就是到三角形的三个顶点距离之和最小的点.最值问题是中考常考题型，费马点属于几何中的经典题型，目前全国范围内的中考题都是从经典题改编而来，所以掌握费马点等此类最值经典题是必不可少的.题型五倍长中线法三角形一边的中线(与中点有关的线段)，或中点，通常考虑倍长中线或类中线，构造全等三角形.把该中线延长一倍，证明三角形全等，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法.主要思路：倍长中线(线段)造全等4在△ABC 中AD 是BC边中线延长AD 到E ，使DE =AD ，连接BE作CF ⊥AD 于F ，作BE ⊥AD 的延长线于E 连接BE延长MD 到N ，使DN =MD ，连接CD截长补短法截长补短法在初中几何教学中有着十分重要的作用,它主要是用来证线段的和差问题,而且这种方法一直贯穿着整个几何教学的始终.那么什么是截长补短法呢?所谓截长补短其实包含两层意思,即截长和补短.截长就是在较长的线段上截取一段等于要证的两段较短的线段中的一段,证剩下的那一段等于另外一段较短的线段.当条件或结论中出现a +b =c 时，用截长补短．1.补短法：通过添加辅助线“构造”一条线段使其为求证中的两条线段之和，在证所构造的线段和求证中那一条线段相等；2.截长法：通过添加辅助线先在求证中长线段上截取与线段中的某一段相等的线段，在证明截剩部分与线段中的另一段相等。

北师大版高中数学必修五课件§2三角形中的几何计算

由正弦定 (1) m∥n ―→ asin A＝bsin B ―→ 理得a＝b ―→ △ABC为等腰三角形
由余弦定 (2) m⊥p ―→ a＋b＝ab ―→ 理求出ab ―→ S△ABC
[解题过程] (1)∵m∥n， ∴asin A＝bsin B，即 a·2aR＝b·2bR，其中 R 是三角形 ABC 外接圆半径， ∴a2＝b2，a＝b， ∴△ABC 为等腰三角形．
2.三角形内角和定理
在△ABC 中
(1)A＋B＋C＝ π ； (2)sin (A＋B)＝ sin C，cos(A＋B)＝－cos C ， cos
A＋2 B＝ sin C2，
sin
A2＋B＝ cos
C 2.
3．三角形的面积公式
(1)用边 a 及 a 上的高 ha 表示为 S＝21aha； 1
(2)用两边 a，b 及夹角 c 表示为 S＝ 2absin C； (3)用三边 a，b，c 及内切圆半径 r 表示为 S＝
ab＝(a＋b)2－ab＝(2 3)2－2＝10，
∴AB＝ 10.
(3)S△ABC＝12absin
C＝21absin
120°＝12×2×
23＝
3 2.
已知△ABC 的角 A、B、C 所对的边分别是 a、b、c，设向量 m＝(a，b)，n＝(sin B，sin A)，p＝(b－2，a－2)．
(1)若 m∥n，求证：△ABC 为等腰三角形； (2)若 m⊥p，边长 c＝2，角 C＝π3，求△ABC 的面积．
即 142＝x2＋102－20xcos 60°，∴x2－10x－96＝0，
∴x＝16(x＝－6 舍去)，即 BD＝16.
在△BCD
中，由正弦定理 sin
∠BCCDB＝sin∠BDBCD，

(完整版)三角形中几何计算、解三角形实际应用举例

三角形中的几何计算、解三角形的实质应用举例1．仰角和俯角在视野和水平线所成的角中，视野在水平线的角叫仰角，在水平线的角叫俯角 (如图① )．2．方向角从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如 B 点的方向角为α(如图② )．3．方向角相关于某一正方向的水平角(如图③ )(1)北偏东α°即由指北方向顺时针旋转α°抵达目标方向．(2)北偏西α°即由指北方向逆时针旋转α°抵达目标方向．(3)南偏西等其余方向角近似．【思虑研究】 1.仰角、俯角、方向角有什么差别？以平面几何图形为背景，求解相关长度、角度、面积、最值和优化等问题，往常是转变到三角形中，利用正、余弦定理加以解决．在解决某些详细问题时，常先引入变量 (如边长、角度等 )，而后把要解的三角形的边或角用所设变量表示出来，再利用正、余弦定理列出方程，解之．以平面几何图形为背景，求解相关长度、角度、面积、最值和优化等问题，往常是转变到三角形中，利用正、余弦定理加以解决．在解决某些详细问题时，常先引入变量 (如边长、角度等 )，而后把要解的三角形的边或角用所设变量表示出来，再利用正、余弦定理列出方程，解之．如右图， D 是直角△ ABC 斜边 BC 上一点， AB＝AD，记∠ CAD＝，∠ ABC＝β.(1)证明： sin＋cos 2β＝0；(2)若 AC＝ 3 DC，求β的值．【变式训练】 1.如图，在四边形ABCD 中，已知 AD⊥ CD，AD ＝10，AB＝14，∠ BDA＝ 60°，∠ BCD＝ 135°，则 BC 的长为________．求距离问题要注意：(1)选定或确立要创立的三角形，要第一确立所求量所在的三角形，若其余量已知则直接解；如有未知量，则把未知量放在另一确立三角形中求解．(2)确立用正弦定理仍是余弦定理，假如都可用，就选择更便于计算的定理．例题 2.如下图，甲船由A岛出发向北偏东45°的方向作匀速直线航行，速度为15 2海里 /小时，在甲船从 A 岛出发的同时，乙船从 A 岛正南 40 海里处的 B 岛1出发，朝北偏东θtanθ＝2的方向作匀速直线航行，速度为10 5海里 /小时．(1)求出发后 3 小时两船相距多少海里？(2)求两船出发后多长时间距离近来？近来距离为多少海里？丈量高度问题一般是利用地面上的观察点，经过丈量仰角、俯角等数据计算物体的高度，这种问题一般用到立体几何知识，先把立体几何问题转变为平面几何问题，再经过解三角形加以解决．例题 3，如图，丈量河对岸的塔形建筑 AB，A 为塔的顶端， B 为塔的底端，河两岸的地面上随意一点与塔底端 B 处在同一海拔水平面上，现给你一架测角仪 (能够丈量仰角、俯角和视角 )，再给你一把尺子 (能够丈量地面上两点间距离 )，图中给出的是在一侧河岸地面 C 点测得仰角∠ ACB＝，请设计一种丈量塔建筑高度 AB 的方法 (此中测角仪支架高度忽视不计，计算结果可用丈量数据所设字母表示 )．【变式训练】3. A、B 是海平面上的两个点，相距800 m，在A 点测得山顶C 的仰角为 45°，∠ BAD＝120°，又在 B 点测得∠ ABD＝45°，此中 D 是点 C 到水平面的垂足，求山高 CD.丈量角度问题也就是经过解三角形求角问题，求角问题能够转变为求该角的函数值．假如是用余弦定理求得该角的余弦，该角简单确立，假如用正弦定理求得该角的正弦，就需要议论解的状况了．例题 4，在海岸A处，发现北偏东45°方向，距离A处(3－1) n mile的 B 处有一艘走私船，在 A 处北偏西 75°的方向，距离 A 处 2 n mile 的 C 处的缉私船受命以 10 3 n mile/h 的速度追截走私船．此时，走私船正以 10 nmile/h 的速度从 B 处向北偏东 30°方向逃跑，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？【变式训练】 4.如下图，甲船以每小时302海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行．当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的北偏西 105°方向的 B1处，此时两船相距20海里．当甲船航行20分钟抵达 2 处时，A乙船航行到甲船的北偏西120°方向的 B2处，此时两船相距 10 2海里，问乙船每小时航行多少海里？1．解三角形的一般步骤(1)剖析题意，正确理解题意分清已知与所求，特别要理解应用题中的相关名词、术语，如坡度、仰角、俯角、方向角等．(2)依据题意画出表示图．(3)将需求解的问题归纳到一个或几个三角形中，经过合理运用正弦定理、余弦定理等相关知识正确求解．演算过程中，要算法精练，计算正确，并作答．(4)查验解出的答案能否拥有实质意义，对解进行弃取．2．解斜三角形实质应用举例(1)常有几种题型丈量距离问题、丈量高度问题、丈量角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等．(2)解题时需注意的几个问题①要注意仰角、俯角、方向角等名词，并能正确地找出这些角；②要注意将平面几何中的性质、定理与正、余弦定理联合起来，发现题目中的隐含条件，才能顺利解决．从近两年的高考试题来看，利用正弦定理、余弦定理解决与丈量、几何计算相关的实质问题是高考的热门，一般以解答题的形式考察，主要考察计算能力和剖析问题、解决实质问题的能力，常与解三角形的知识及三角恒等变换综合考察．1．(2012 ·江西卷 )E，F 是等腰直角△ ABC 斜边 AB 上的三平分点，则tan∠ECF＝ ()16233A.27B.3C. 3D.42．(2012 ·陕西卷 )如图， A，B 是海面上位于东西方向相距5(3＋ 3 )海里的两个观察点，现位于 A 点北偏东 45°， B 点北偏西 60°的 D 点有一艘轮船发出求救信号，位于 B 点南偏西 60°且与 B 点相距 20 3 海里的C点的营救船立刻前去营救，其航行速度为 30 海里 / 时，该营救船抵达 D 点需要多长时间？。

§2 三角形中的几何计算

公式的作用有哪些？
可解的三角形
①已知两角和任一边， ①已知三边，求各角. 求另一角和其他两条边. ②已知两边和它们的夹 ②已知两边和其中一边角，求第三边和其他两的对角，求另一边和其个角. 他两角.
1.能够正确运用正弦定理、余弦定理等知识、方法解决一些与测量以及几何计算有关的实际问题.(重点、难点） 2.通过对全章知识的总结提高，系统深入地掌握本章知识及典型问题的解决方法.
答：该机器人最快可在线段 AD 上离点 A 7 dm 的点 C 处截住足球.
【变式练习】
在△ABC 中，已知 AB＝4 6，cos∠ABC＝ 6，AC 边上的中
3
6
线 BD＝ 5，求 sin A 的值．
【解题关键】要求 sin A 的值，需根据“D 是 AC 的中点”这个条件，取 BC 的
中点 E，连结 DE，则 DE∥AB，所以∠ABE＋∠BED＝180°，根据题目中的条件
求解．
【变式练习】
已知⊙O 的半径为 R，在它的内接三角形 ABC 中，有 2R(sin2A －sin2C)＝( 2a－b)sin B 成立，求△ABC 面积 S 的最大值．
【解题关键】先根据已知式子由正弦定理把角转化为边的关系，然后运用余弦定理整理求出△ABC面积S的最大值．
解析: 由已知条件得
3
2
（1）求 b 的值.
（2）求 ABC 的面积.
【解析】（1）由题意知： sin A
1 cos2 A
3 3
，
sin B sin（A ） sin Acos cos Asin cos A
2
2
2
6 3
，
由正弦定理得：

高中数学第2章解三角形22三角形中的几何计算课件北师大版必修5

第2页
1．与传统的三角形面积的计算方法相比，用两边及其夹角正弦值之积的一半求三角形的面积有什么优势？
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答：主要优势是不必计算三角形的高，只要知道三角形的 “基本量”就可以求其面积．
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2．求三角形面积的常用公式．答：(1)S＝21aha(a 为 BC 的边长，ha 为 BC 边上的高)． (2)S＝a4bRc(R 是三角形外接圆的半径)． (3)S＝2R2sinAsinBsinC(R 是三角形外接圆的半径)．
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【解析】 ∵tanB＝12，∴0<B<π2 .
∴sinB＝
55，cosB＝2 5
5 .
又∵tanC＝－2，∴π2 <C<π.
∴sinC＝2
5 5，cosC＝－
5 5.
第9页
则 sinA＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC
＝ 55×(－ 55)＋255×255＝35.
∵sinaA＝sibnB，∴a＝bssiinnBA＝
∴S＝12absinC＝2
3 3.
第15页
题型二正、余弦定理的综合问题与方程思想例 2 在四边形 ABCD 中，已知 AD⊥CD，AD＝10，AB＝ 14，∠BDA＝60°，∠BCD＝135°，求 BC 的长．
第16页
【思路分析】欲求 BC，在△BCD 中，已知∠BCD，∠BDC 可求，故需再知一条边；而已知∠BDA 和 AB，AD，故可在△ABD 中，用正弦定理或余弦定理求得 BD.这样在△BCD 中，由正弦定理可求 BC.
第31页
2．等腰三角形的周长为 8，底边为 2，则底角的余弦值等于
()
2 A. 4
B．2 2
1

人教A版高中数学必修五课件《1.2.2三角形中的几何计算15分钟随堂验收》.pptx

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6.如图,在VABC中, BAC 120, AB 2, AC 1, uuur uuur
D是边BC上一点, DC 2BD,则AD BC
A. 8 B. 7 C. 5 D. 3
3
3
答案:A
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[来源:Z|xx|]
解析 :由余弦定理
8. 3
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7.在△ABC中,若BC=3,AB=10,AB边上的中线为7,则△ABC 的面积等于________________.
答案 : 15 3 2
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解析 : 设AB的中点为D,
CD 7, BD 1 AB 1 10 5. 22
又BC 3,由余弦定理可得
解析 : 设原直角三角形的三边长分别为a､b､c,
其中c为斜边长, 增加的长度为x,
三角形的最大角为C, 则cosC
(x a)2 (x b)2 (x c)2 x2 2x(a b c)(x a)(x b)
所以cosC 0,所以C为锐角.所以新三角形为锐角三角形.
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1.2.2三角形中的几何计算 15分钟随堂验收
[来源:ZXXK]
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1.如果把直角三角形的三边都增加同样的长度,则这个新的三角形的形状为()
A.锐角三角形B.直角三角形 C.钝角三角形D.由增加的长度决定答案:A
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4.用长度分别为2､3､4､5､6(单位:cm)的5根细木棒围成一个三角形(允许连接,但不允许折断),能够得到的三角形的最大面积为()
A.8 5cm2 B.6 10cm2 C.3 55cm2 D.20cm2